Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Transcript

1 Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια)

2 Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0- Για ένα πολυβάθμιο σύστημα που ταλαντώνεται ελεύθερα χωρίς απόσβεση, λόγω μόνο επιβαλλόμενων αρχικών μετατοπίσεων ή/και ταχυτήτων, το διάνυσμα της εξωτερικής διέγερσης είναι μηδενικό, {p(t)}={0}, και η εξίσωση (9) γράφεται {&&} + { } = { 0} m u k u (10) με αρχικές συνθήκες στο χρόνο t=0 { u} = { u(0) } και { u& } = { u& (0)} ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

3 Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση (...) Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0-3 Eλεύθερη αρμονική ταλάντωση Τίθεται το ερώτημα: Είναιδυνατότοδιβάθμιοσύστημανα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση, με κάθε σημείο του συστήματος να ταλαντώνεται με την ίδια συχνότητα διατηρώντας την ίδια σχετική θέση ως προς τα άλλα σημεία; Με μαθηματικούς όρους, αναζητούμε λύση της μορφής { } = { φ } ut () q() t n n (11) όπου η μετατοπισμένη θέση {φ n } δε μεταβάλλεται με το χρόνο. Η χρονική μεταβολή των μετατοπίσεων {u(t)} περιγράφεται από την απλή αρμονική συνάρτηση q ( t) = A cosω t + B sinω t = ρsin( ω t θ) n n n n n n (1) όπου A n και B n είναι σταθερές ολοκλήρωσης οι οποίες προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες της κίνησης. ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

4 Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση (...) Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0-4 Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (11) και (1) παίρνουμε { ut ()} = { φ } ( A cosω t+ B sinω t) n n n n n (13) όπου τα ω n και {φ n } είναι άγνωστα. Αντικαθιστώντας τώρα την εξίσωση (13) στην εξίσωση (10), παίρνουμε ( k ωn m ){ φn} q () n t = { 0} (14) Το q n =0 οδηγεί στην τετριμμένη λύση u(t)=0 που δηλώνει ακινησία του συστήματος. Επομένως οι ιδιοσυχνότητες ω n και οι ιδιομορφές {φ n } του συστήματος πρέπει να ικανοποιούν την εξής αλγεβρική εξίσωση ( k ωn m ){ φn} = { 0} ή k { φ } = ω m { φ } n n n (15a) (15b) ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

5 Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση (...) Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0-5 Η εξίσωση (15a) αποτελεί σύστημα Ν ομογενών αλγεβρικών εξισώσεων με Ν αγνώστους φ jn (j=1,,...,ν). Εκτός από την τετριμμένη λύση {φ n }={0}, γιαναισχύειη εξίσωση (15a) για κάθε χρονική στιγμή t, θα πρέπει η ορίζουσα του μητρώου που περιλαμβάνεται στην παρένθεση να ισούται με μηδέν: det ( k ωn m ) = Αναπτύσσοντας την ορίζουσα προκύπτει ένα πολυώνυμο βαθμού Ν ως προς. ω n (16) Η εξίσωση (16) είναι γνωστή ως η χαρακτηριστική εξίσωση (characteristic equation) ή εξίσωση συχνοτήτων (frequency equation). Η εξίσωση αυτή έχει Ν πραγματικές θετικές ρίζες λn = ωn, αφού τα μητρώα [m] και [k] είναι συμμετρικά (symmetric) και θετικά ορισμένα (positive definite). 0 ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

6 Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση (...) ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών Πολυβάθμια Συστήματα: Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, λn = ωn, που είναι γνωστές ως ιδιοτιμές (eigenvalues), δίνουν τις Ν ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης. Δ0-6 Για παράδειγμα, σε ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας υπάρχουν δύο ιδιοσυχνότητες ελεύθερης αρμονικής ταλάντωσης (ω 1 και ω ). Με γνωστή την ω n και αντικατάστασή της στην εξίσωση (15a) προκύπτει η ιδιομορφή {φ n }. Να σημειωθεί ότι το πρόβλημα ιδιοτιμών (εξίσωση (15a)) δεν προσδιορίζει τα διανύσματα {φ n } μονοσήμαντα, αλλά μόνο τη μορφή των διανυσμάτων ως σχέσεις αναλογίας μεταξύ των συνιστωσών τους φ jn (j=1,,,n). Στις Ν ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης ω n ενός Ν-βάθμιου συστήματος, αντιστοιχούν Ν ανεξάρτητα διανύσματα {φ n } τα οποία είναι γνωστά ως ιδιομορφές ταλάντωσης (modes of vibration). 008 Παναγιώτης Ρουσής

7 Πολυβάθμια Συστήματα: Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση (...) Δ0-7 Συνοψίζοντας, ένα ταλαντούμενο σύστημα με Ν βαθμούς ελευθερίας έχει Ν ιδιοσυχνότητες ω n (n=1,,,n), διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά (ω 1 <ω <...< ω Ν ), που αντιστοιχούν σε Ν ιδιομορφές {φ n }. Ο δείκτης n δηλώνει τον αριθμό της ιδιομορφής. Η πρώτη ιδιομορφή {φ 1 } είναι γνωστή ως θεμελιώδης ιδιομορφή. Αν οι αρχικές συνθήκες (αναλογίες τιμών αρχικών μετατοπίσεων) έχουν τη μορφή μίας ιδιομορφής {φ n }, τότε το σύστημα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με συχνότητα ω n. Σε αντίθετη περίπτωση, η ελεύθερηταλάντωσηδεθαείναι αρμονική. Αυτόείναισεαντίθεσημετησυμπεριφοράτωνμονοβάθμιων ταλαντωτών, οι οποίοι ταλαντώνονται αρμονικά με την ιδιοσυχνότητάτουςανεξάρτητααπότιςαρχικέςσυνθήκες. ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

8 Πολυβάθμια Συστήματα: Μητρώα Ιδιομορφών και Ιδιοσυχνοτήτων Δ0-8 Οι Ν ιδιοτιμές και Ν ιδιομορφές μπορούν να ενσωματωθούν σε μητρώα. Μητρώο ιδιομορφών [Φ] Οι Ν ιδιομορφές μπορούν να ταξινομηθούν σε ένα τετραγωνικό μητρώο, κάθε στήλη του οποίου είναι μία ιδιομορφή: [ ] [ φ ] φ φ L φ φ φ L φ M M O M φ φ L φ N 1 N Φ = jn = N1 N NN (17) Το μητρώο [Φ] λέγεται μητρώο ιδιομορφών (modal matrix). ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

9 Πολυβάθμια Συστήματα: Μητρώα Ιδιομορφών και Ιδιοσυχνοτήτων (...) Δ0-9 Μητρώο ιδιοσυχνοτήτων [Ω ] Οι Ν ιδιοτιμές ω n μπορούν να ταξινομηθούν σε ένα διαγώνιο μητρώο: ω1 0 L 0 0 ω 0 [ ] L Ω = M M O M 0 0 L ωn (18) Το μητρώο [Ω ] λέγεται μητρώο ιδιοσυχνοτήτων (spectral matrix). ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

10 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ0-10 Μητρώα Ιδιομορφών και Ιδιοσυχνοτήτων (...) Όπως έχει δειχθεί, κάθε ιδιοτιμή ικανοποεί τη σχέση { φ } ω { φ } [ k] = [ m] n = 1,,, N n n n ω n { φ n } και κάθε ιδιομορφή Κάνοντας χρήση των μητρώων ιδιομορφών [Φ] και ιδιοσυχνοτήτων [Ω ] είναι δυνατό να γράψουμε τις πιο πάνω σχέσεις σε μία μητρωϊκή εξίσωση: [ ] [ ] k Φ = m Φ Ω (19) ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής