Matematička teorija polja

Transcript

1 Matematička teorija polja Skalarna i vektorska polja U nauci i tehnici često se posmatra određena fizička veličina u trodimenzionom euklidskom prostoru R 3.Najčešče je to posmatranje ograničeno na neku oblast R 3, gdje se pod oblašću podrazumjeva otvoren povezan skup u R 3. Ako neka fizička veličina ima određenu vrijednost u svakoj tački oblasti, onda je na taj način definisano polje te veličine. Ako je posmatrana veličina skalar (temperatura, pritisak, električni potencijal), onda sa kaže da je zadato skalarno polje te veličine, a ako je posmatrana veličina vektor (brzina, sila), kaže se da je zadano vektorsko polje te veličine. Matematička teorija polja izučavaskalarnai vektorska polja. Primjeri. 1. Zagrijano tijelo je skalarno polje temperature. U svakoj tački tijela zadata je skalarna veličina-temperaturatetačke. 2. Posmatrajmo nehomogeno čvrsto tijelo. Ako je u svakoj njegovoj tački definisana gustina, onda je unutar tijela definisano skalarno polje. Veličina definisana u svakoj tački polja je gustina. 3. Neka je u koordinatni početak smješteno neko tijelo mase m (smatraćemo ga materijalnom tačkom mase m). Jedinična masa koja se nalazi u proizviljnoj tački prostora biće privlačena ka koordinatnom početku silom koja je jednaka m (gdje je gravitaciona kostanta r 2 a r rastjanje jedinične mase od koordinatnog početka). Na taj način u svakoj tački C koja leži izvan mase koja privlači, definisan je vektor sile F, usmjeren ka koordinatnom početku i intenziteta m. U ovom slučaju imamo vektorsko polje, definisano je u cijelom prostoru osim r 2 koordinatnog početka (u koordinatnom početku vektor F nije definisan). 4. Neka je dio prostora R 3 (naprimjer, korito rijeke) ispunjen tečnošću kojasekreće. Tada je u svakoj tački iz definisan vektor brzine četice tečnosti koja je dospjela u tu tačku. Na taj način u je definisano polje brzina. Vektor brzine čestice u posmatranoj tački iz u primjeru 4. može zavisiti od vremena. Drugim riječima, može se desiti da brzina čestice koja je dospjela u tu tačku bude različita od brzine druge čestice koja je kasnije dospjela u tu tačku. Tada se kaže da je posmatrano polje nestacionarno. Ako brzina u svakoj tački zavisi samo od položaja te tačke, tj. brzina u datoj tački se ne mijenja tokom vremena, tada se kaže da je to polje stacionarno. Na dalje, mi ćemo posmatrati samo stacionarna polja.

2 Skalarno polje označava se U fm, ili U M, U M it.d. Ovdje je M promjenjiva tačka iz, U je broj (vrijednost skalarnog pola u tački M). Vektorsko polje označava se A AM, gdje je M promjenjiva tačka iz, aa vektor (vrijednost vektorskog polja u tački M ). Analitičko zadavanje skalarnog polja ekvivalentno je zadavanju realne funkcije tri promjenjive U fx,y,z. Zaista, svakoj tački Mx,y,z u oblasti definisanosti funkcije f odgovara određena vrijednost promjenjive U, atoznači da je u toj oblasti zadano stacionarno skalarno polje. Vektorsko polje se analitički zadaje A Px,y,z i Qx,y,z j Rx,y,zk, gdje su P, Q, R skalarne funkcije tri promjenjive x,y,z i predstavljaju projekcije promjenjivog vektora A na koordinatne ose.

3 Na primjer, izrazimo analitički vektorsko polje sile privlačenja iz primjera 3 (slika 1.). z F r C Sila privlačenja jedinične mase u tački C ima pravac radijus-vektora R, smjer suprotan smjeru radijus-vektora i intenzitet jednak m1.zato je R 2 x m y F m1 R R 2 R gdje je R R mr R 3, jedinični vektor koji ima Slika 1. pravac isti kao sila F, a znak minus ukazuje da vektori F i R imaju suprotne smjerove.imajući u vidu da je R x i y j zk i R x 2 y 2 z 2 dobije se analitički izraz za posmatrano vektorsko polje F m x i y j zk x 2 y 2 z 2 3/2. Među skalarnim i vektorskim poljima mogu se izdvojiti neki specijalni oblici polja. Tako se skalarno polje naziva ravanskim ako je u prostoru moguće izabrati takav dekartov koordinatni sistem da veličina koja definiše polje ne zavisi od jedne koordinate (naprimjer, z). Skalarno ravansko polje može se zadati formulom U fx,y. Vektorsko polje naziva se ravanskim ako je u prostoru moguće izabrati dekartov koordinatni sistem takav da vektor polja ne zavisi od jedne koordinate (naprimjer,z ) i leži u ravni gdje je ta koodinata konstantna (t.j. u ravni z const. ) Vektorsko ravansko polje može se zadati formulom A Px,y i Qx,y j. Među skalarnim poljima mogu se takođe izdvojiti, kao specifična, sferna polja. Skalarno polje naziva se sfernim ako skalarna veličina definisana poljem zavisi samo od rastojanja između tačke i koordinatnog početka. Skalarno sferno polje zadaje se formulom U f x 2 y 2 z 2. Tako na primjer, modul sile privlačenja tačke Mx,y,z jedinične mase k masi m smještenoj u koordinatnom početku, jeste skalarno sferno polje: F m x 2 y 2 z 2. U matematičkoj teoriji polja važno svojstvo polja je njegova neprekidnost. Definition Skalarno polje U fm je neprekidno u tački M 0,ako se za bilo koje 0 može naći takva okolina tačke M 0 da za sve tačke M koje pripadaju toj okolini je ispunjena nejednakost fm FM 0.

4 Dakle, skalarno polje U fm naziva se neprekidnim u tački M 0, ako razlika fm fm 0 teži nuli kad tačka M teži tački M 0. Ako je skalarno polje zadato analitički u dekartovom sistemu koordinata U fx,y,z onda je neprekidnost polja u tački M 0 x 0,y 0,z 0 ekvivalentna neprekidnosti funkcije fx,y,z u toj tački. Definition Vektorsko polja AM je neprekidno u tački M 0 akosezasvako 0 može izabrati takva okolina tačke M 0, da za sve tačke iz te okoline vrijedi nejednakost: Ako je polje zadato analitički AM AM 0. A Px,y,z i Qx,y,z j Rx,y,zk onda je neprekidnost tog polja ekvivalentna neprekidnosti sve tri funkcije Px,y,z, Qx,y,z, Rx,y,z. Tako je, na primjer, polje sile privlačenja iz primjera 3. neprekidno u cijelom prostoru osim u koordinatnom početku. U matematičkoj teoriji polja izučavaju se samo opća svojstva polja i ne daje se konketni fizički smisao veličinama zadatim u polju. Rezultati dobijeni u općoj teoriji polja se zatim u fizici i tehnici primjenjuju na konkretna fizička polja, na primjer na elektromagnetno polje, temperaturno polje i druga.

5 Nivo površi skalarnog polja. Izvod po pravcu. Posmatrajmo skalarno polje U fx,y,z. Definition Geometrijsko mjesto tačakaukojimaveličina U ima jednu istu vrijednost C naziva se nivo površ koja odgovara broju C. Na primjer, za polje U x y z nivo površ koja odgovara vrijednosti U 1 je ravan x y z 1, a nivo površ koja odgovara vrijednosti U 2 je ravan x y z 2, i t.d. Za bilo koje sferno skalarno polje nivo površi su sfere sa centrom u koordinatnom početku. Na primjer, za polje U 1 x 2 y 2 z 2 nivo površ U 4jesfera 1 4 ili x 2 y 2 z 2 1 x 2 y 2 z 2 4. Posmatrajmo proizvoljnu tačku Mx,y,z skalarnog polja. Ako se iz te tačke premjestimo u neku drugu tačku M 1 x,y,z tada se vrijednost funkcije skalarnog polja može promijeniti - povećati ili smanjiti. Jasno je da premještanju tačke duž različitih krivih brzina te promjene je različita.tako, na primjer, ako se tačka kreće duž krive koja leži na nivo površi tada funkcija neće mijenjati svoju vrijednost. Ako se tačka kreće duž krive koja spaja tačke na različitim nivo površima, onda će se vrijednost funkcije mijenjati nekom brzinom. Da bi se ocijenila brzina promjene funkcije pri premještanju tačke duž neke krive, uvodi se pojam izvoda funkcije po nekoj krivoj. Sradnja brzina promjene funkcije po luku MM 1 naziva se odnos prirasta funkcije (pri prelasku od M do M 1 ) i dužine luka MM 1. Srednja brzina jednaka je

6 fm 1 fm. MM 1 Ipak, srednja brzina ne karakteriše u potpunosti brzinu promjene funkcije: na nekim dijelovima luka MM 1 ta je brzina mala, a na drugim velika.određu- jući srednju brzinu ne može se ocjeniti ponašanje funkcije u blizini proizviljne tačke M. U tom cilju uzimaju se sve kraći i kraći dijelovi luka MM 1 i zatim prelazi na graničnu vrijednost ( zadržavajući kretanje tačke M 1 duž date krive, neograničeno se približujući tački M i dobija stvarna brzina promjene funkcije utački M (po datom luku) ili, drugim riječima, izvod po luku utački M. Da bi dali tačnu definiciju izvoda po luku, potrebno je prethodno uvesti pojam (usmjerenja) orjentisane krive. Neka je data kriva L koja prolazi kroz tačku M i na kojoj je izabran neki pravac kretanja (na primjer, taj pravac ukazuje strelica na slici 2.) Slika 2. Kriva sa izbrabim na njoj usmjerenjem naziva se usmjerena kriva. Neka je L usmjerena kriva, a M i M 1 dvije tačke na toj krivoj. Pod simbolom MM 1 pedrazumjevat ćemo dužinu luka MM 1,uzet sa znakom "plus" ako tačka M 1 slijedi poslije tačke M ( uskladu sa izbranim usmjerenjem na krivoj L ) ili sa znakom "minus", ako tačka M 1 prethodi tački M. Definition IzvodpokrivojLutački M naziva se granična vrijednost izraza fm 1 fm MM 1 kada tačka M 1,krećući sepokrivojl, teži ka tački M.

7 Izvod po krivoj L označava se f L i na osnovu definicije je f L lim M 1 M duž L fm 1 fm MM 1. U brojniku razlomka pod znakom limesa je prirast funkcije tri peomjenjive. Ao je funkcija fm diferencijabilna, onda prirast funkcije možemo zamijeniti punim diferencijalom praveći pri tome grašku koja je beskonačno mala višeg reda od (gdje je rastojanje između tačaka M i M 1 ). Zato je f L lim M 1 M duž L f f f x y x y z. # MM 1 Na slici 3. vidi se da je Analogno se dobija lim MM 1 y MM 1 y cos pa je lim MM 1 MM 1 lim MM 1 y MM 1 x MM 1 cos, MM 1 MM 1 lim MM 1 cos 1 cos z MM 1 cos z L M β β 1 y x O Slika 3. y

8 Kako je beskonačno mala višeg reda u odnosu na MM 1 dobijamo lim MM 1 MM 1 0. Prelazeći sadanagraničnu vrijednost u ref: tp1, dobijamo f L f x cos f y cos f z cos, # f gdje su parcijalni izvodi f f x y z utački M, a,, uglovi koje tangenta na krivu L u tački M gradi sa koordinatnim osama. Iz formule ref: tp2 može se izvesti slijedeći zaključak: IzvodpokrivojLutački M ne zavisi od oblika krive nego samo od usmjerenja tangentnog vektora na krivu L u tački M. Slika 4. Zaista, ako kroz tačku M prolaze dvije krive L 1 i L 2 iutački M imaju isti tangentni vektor, onda su izvodi funkcije f po krivim L 1 i L 2 međusobno jednaki (slika4.). Zbog toga može se ubuduće govoriti ne o izvodu po krivoj, nego o izvodu po pravcu. Definition Izvod po pravcu vektora utački M naziva se izvod po bilo kojjm krivoj L koja nprolazi kroz tačku M i dodiruje vektor. Primjetimo da su specijalni slučajevi izvodi u pravcu koordinatnih osa: f vektora i, -izvodupravcuvektora j, f -izvodupravcuvektorak, gdje su i, j, k y z ortovi na koordinatnim osama. f x - izvod u pravcu

9 Gradijent skalarnog polja Neka vektorska polja (ne sva) su u tijesnoj vezi sa skalarnim poljima. Relacija izmeđuta dva tipa polja uspostavljena je pomoću "gradijenta"- vektora koji igra značajnu ulogu u skalarnom polju. Neka je skalarno polje definisano skalarnom funkcijom fx,y,z koja je diferencijabilna u posmatranoj oblasti. Definition Gradijent gradf date skalarne funkcije fx,y,z je vektorska funkcija definisana sa gradf f x i f y j f z k U fizici i nženjerstvu dosta je popularan diferencijalni operator (čita se "nabla"), pa se može pisati Intenzitet vektora gradf je x i y j z k, gradf f f x i f y j f z k. grad f f x 2 f y 2 f z 2 Na primjer, ako je fx,y,z 2x yz 3y 2,tadajegradf f 2 i z 6y j yk. Imajući u vidu definiciju gradijenta lako se mogu dokazati slijedeće osobine vektora gradf: grad f 0,akojef const. gradf g grad f grad g grad f g g grad f f grad g grad f g g grad f f grad g g 2,akojeg 0

10 Gradijent karakteriše najbrži rast u skalarnom polju Theorem Neka je fm fx,y,z skalarna funkcija koja ima neprekidne prve parcijalne izvode. Tada gradf postoji i njegov pravac i smjer je nazavisan od izbora koordinatnog sistema u prostoru. ako je u nakoj tački M gradm nije nula vektor, onda on određuje pravac najbržeg rasta funkcije f u tački M. Dokaz. Nađimo izvod od fx,y,z u pravcu nekog vektora a i b j ck. Pravac vektora određen je cosinusima uglova koje taj vektor gradi sa koodrinatnim osama: Sada je cos a, cos b, cos c. a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 f f x cos f y cos f z cos a 2 b 2 c 2 gradf. # Kako je skaarni produkt dva vektora jednak proizvodu njihovih modula i kosinusa ugla koji međusobno grade, onda se posljednja jednakost može zapisati f gradf cos gradf, gradf cos gradf,. # Desna strana jednakosti ref: tp4 je projekcija geadijenta na pravac. Dakle,izvod u pravcu jednak je projekciji gradijenta na taj pravac. Odavde je jasno da, od izvoda u tački M u raznim pravcima, izvod u pravcu gradijenta je najveći i jednak je modulu gradijenta. Time se otkriva smisao gradijenta: pravac vektora gradf je pravac u kojem funkcija skalarnog polja fx,y,z raste najvećom brzinom. Uočimo da u pravcu koji je suprotan pravcu gradijenta, funkcija opada najvećom brzinom. Dakle, gradijent je vektor koji je u svakoj tački skalrnog polja potpuno definisan (intenzitet, pravac i smjer). Na taj način sam gradijent obrazuje novo polje koje je vektorsko. Kaže se: skalarno polje je rodilo (formiralo, obrazovalo) vektorsko polje.

11 Primjer 1. Dato je skalarno polje u x3 y 2 z. U kom pravcu funkcija polja najbrže raste ako polazimo iz tačke M1,2,1? Rješenje. Gradijent u proizvoljnoj tački x,y,z: grad u u x Gradijent u tački M1,2,1 : i u y j u z k 3x2 y 2 z i 2x3 y z j x3 y 2 z 2 k. grad um 12 i 4 j 4 k. Vektor grad um određuje pravac u kojem funkcija najbrže raste ako polazimo iz tačke M. Izvod u pravcu gradijenta je: u max grad um Gradijent je vektor normale na nivo površ Theorem Neka je f diferencijabilna skalarna funkcija koja reprezentuje površ S : fx,y,z c const. Tada ako je gradfm 0, gdjejemtačka na površi S, onda je gradfm vektor normale na Sutački M. Dokaz. Postavimo kroz tačku M liniju l koja leži na nivo površi S grad u f const. Kako funkcija u ne mijenja svoju vrijednost kada se M r τ tačka kreće po liniji l, toje f 0. l Kako je izvod po krivoj l jednak t izvodu po pravcu tangente, onda je f 0. Slika 5. Kako je f 0igrad f 0, onda koristeći formulu ref: tp4 : f grad f cos grad f,, zaključujemo da je ugao grad f, Primjer 2. Naći jedinični vektor normale na konusnu površ: z 2 4x 2 y 2 utački M1,0,2.

12 Rješenje. Konus je nivo površ f 0zafx,y,z 4x 2 y 2 z 2. Prema tome gradf 8x i 8y j 2zk, autački M, gradfm 8 i 4k. Sada je jedinični vektor normale n 0 gradf gradf 2 5 i 1 5 k. Sve tangente postavljene u tački M na krive koje leže u nivo površi nalaze se u jednoj ravni (akojegrad u 0utački M). Ta ravan naziva se tangentna ravan na nivo površ u tački M. Ako tačka Mx 0,y 0,z 0 onda je vektor tangentne ravni: grad ux 0,y 0,z 0 u x x 0,y 0,z 0 i u y x 0,y 0,z 0 j u z x 0,y 0,z 0 k, a jednačina tangentne ravni S utački Mx 0,y 0,z 0 : u x x 0,y 0,z 0 x x 0 u y x 0,y 0,z 0 y y 0 u z x 0,y 0,z 0 zz 0 0. Primjer 3. Napisati jednačinu tangentne ravni na konusnu površ: z 2 4x 2 y 2 utački M1,0,2 Rješenje. U primjeru 2. dobili smo gradf 8x i 8y j 2zk i gradfm 8 i 4k, paje jednadža tangentene ravni u M : 8 x 1 0 y 0 4 z 2 0, odnosno 2x z 0. Primjetimo da u tački 0,0,0 ne postoji tangentna ravan na datu konusnu površ (jer je gradf0,0,0 0).

13 Vektorsko polje. Vektorske linije. U svakoj tački prostora ili njegovog dijela određen je vektor v - kaže se da je zadato vektorsko polje. VektorvM ja zadat ili se može izračunati, ima određen intenzitet i pravac. Koordinatni oblik vektorskog polja je gdje je v v x i v y j v z k, v x v x x,y,z, v y v y x,y,z, v z v z x,y,z. Kaže se još: vm je vektorska funkcija skalarnog argumenta. Jedan od važnih pojmova vezanih za vektorsko polje je pojam vektorske linija polja. Definicija. Vektorska linija stacionarnog vektorskog polja je krive linija čije tangente u svakoj svojoj tački imaju pravac vektora polja (slika 6.). Slika 6. Ako je zadano polje neke sile, onda se vektorske linije tog polja nazivaju silnice tog polja. Evo nekoliko primjera vektorskih linija. 1. U vektorskom polju sile privlačenja iz primjera 1. vektorske linije su prave usmjerene ka koodrinatnom početku. 2. U polju brzina pri stacionarnom kretanju tačnosti, vektorske linije su trajektorije kretanja

14 čestica tečnosti. 3. U polju gradijenta A grad u vektorska linija duž koje skalrna veličina u najbrže raste. Ta linija se naziva linija najbržeg rasta funkcije u. Da bi našli analitički izraz za vektorsku liniju polja A Px,y,z i Qx,y,z j Rx,y,zk, postupit ćemo na slijedeći način. Neka je parametarski oblik vektorske linije x xt, y yt, z zt. Tada vektor tangente u proizvoljnoj tački te linije polja ima oblik x t i y t j z t k. Prema definiciji vektorske linije,taj vektor je kolinearan vektoru polja u tački x,y,z. Zatosu odgovarajuće projekcije tih vektora proporcionalne: x t Px,y,z y t Qx,y,z z t Rx,y,z # Iz definicije slijedi da je vektor v kolinearan sa diferencijalom d r dx,dy,dz vektora položaja tačke M, pa je uvjet kolinearnosti: d r v 0. U skalarnom obliku: dx v x dy v y dz v z Iz ovog sistema diferencijalnih jednačina nalazimo vektorske linije. Ako su v x, v y i v z neprekidne funkcije i imaju neprekidne parcijalne izvode i vektor v 0 (tj. bar jedan od v x, v y i v z je različot od nule), onda na osnovu teoreme o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja diferencijalnih jednadžbi, kroz svaku tačku M vektorskog prostora prolazi jedna i samo jedna vektorska linija.

15 Protok vektorskog polja kroz površinu. Posmatrajmo glatku ograničenu površ S koja se nalazi u nekom vektorskom polju A. Izaberimo na toj površi određenu stranu, koju nazovimo pozitivnom stranom; suprotnu stranu površi nazovimo negativnom. Kaže se da je takva površ kod koje su izabrane pozitivna i negativna strana orjentisana površ. Neka je n 0 jedinični vektor normale u tački M na površ S, pri čemu je taj vektor usmjeren od negativne ka pozitivnoj strani površi. Posmatrajmo funkciju fm A n 0. Ona je definisna u svim tačkama površi S. Akoje A P i Q j Rk, i uglovi koje vektor n 0 zaklapa sa koordinatnim osama su redom,, (tj. n 0 cos i cos j cosk), tada je fm Pcos Qcos Rcos. Ta funkcija je neprekidna na površi S.Zato postoji integral od FM po površi S. Taj integral definiše novi pojam u vektorskom polju - protok vektorskog polja kroz površinu. Definition Protokom vektorskog polja A kroz orjentisanu površinu S naziva se površinski integral skalarnog proizvoda A n 0 po površi S, gdje je n 0 jedinični vektor normale na površ S orjentisan od negarivne ka pozitivnoj strani površi S. Ovdje je definicija protoka vaktorskog polja data za slučaj glatke površi. Ako je orjentisana površ S dio po dio glatka, tada se pod protokom vektorskog polja kror površ S podrazumjeva algebarska suma protoka kroz svaki glatki dio površi S. Ako je površ S zatvorena, tada se obično vanjska strana pozitivnom, a unutrašnja negativnom. Na taj način, pod n 0 (uslučaju zatvorene površi S ) podrazumjeva se jedinični vektor vanjske normale. Razjasnimo fizički smisao protoka vektorskog polja u slučaju hidrodinamičke interpretacije tog polja. Neka A P i Q j Rk brzina čestice u tački M. Razmotrimo protok tog polja kroz neku površ S u datom pravcu: A n 0 ds lim S dims i 0 n i1 A n 0 M i S i Svaki sabirak A n 0 S i približno je jednak zapremini one količine tečnosti koja je prošla M i kroz elementarnu površ S i u izabranom pravcu za jedinicu vremena. Zaista, smatrajući elementarnu površ S i približno ravnom imamo da je zapremina tečnostikojajeprošlakroztu površinu za veoma mali interval vremena t, jednaka zapremini cilindra čija je osnova S i a izvodnica ima pravac vektora A (u tački M i ) i brojno je jednaka A t, tj gdje je ugao između vektoraa i normale n 0. V i,t A t S i cos,

16 Kako je A cos A n 0 M i, onda se može pisati V i,t A n 0 M i S i t. Količina tečnosti koja proteće krozs i za jedinicu vremena jednaka je A n 0 S i,a M i količina tečnosti koja za jedinicu vremena proteće kroz cijelu povr S, jednaka je približno n V A n 0 S i # M i1 i Gornja jednakost je približna jer smo pri njenom izvođenju smatrali da je elementarna površina S i ravna, a vektor n 0 isti na cijeloj površi S i. Približna jednakost ref: tp6 je tačnija što su dijametri površi S i manji, tako da u graničnom procesu (kad diams i 0) ona prelazi u tačnu jednakost, tj. V A n 0 ds. S Dakle, uslučaju hidrodinamičke interpretacije vektorskog polja, protok kroz orjentisanu površ S jednak je količini tečnosti koja za jedinicu vremena protekne kroz tu površ (u pravcu od negativne ka pozitivnoj strani površi). Primjetimo da ako tečnost teče u suprotnom smjeru, protok će biti negativan. Ako na nekim dijelovima površi S tečnost teče u jednom, a na nekim u drugom smjeru, tada je protok kroz S jednak algebarskom zbiru protoka kroz dijelove te površi.

17 Uslučaju zatvorene površi S, ako je protok kroz S pozitivan, to znači da iz dijela prostora koji omeđava površ S ističe višetečnosti nego što utiče u nju. U tom slučaju se kaže da unutar S postoje izvori koji konstantno proizvode tečnost. Suprotno, ako je protok negativan, kaže se da unutar S postoje ponori koji gutaju tečnost. Primjer. Dato je vektorsko polje A x y i y x j zk. Izračunati protok vektorskog polja kroz površinu sfere radijusa 1 i sa centrom u koordinatnom početku. Rješenje. U datom slučaju normala na površ u svakoj tački podudara se sa radijus vektorom te tačke.zatojejedinični vektor normale n 0 R R x i y j zk x 2 y 2 z 2 x i y j zk, jer je x 2 y 2 z 2 1 za svaku tačku na površi sfere. Sada je pa je protok jednak S A n 0 x yx y xy z 2 x 2 y 2 z 2 A n 0 ds S x 2 y 2 z 2 ds S Ovdje je ponovo korišteno da je na površi sfere x 2 y 2 z ds S 4.

18 Divergencija vektorskog polja Protok vektorskog polja kroz zatvorenu površ S ponekad ukazuje na produktivnost tog dijela V prostora koji je ograničen sa S. To se objašnjava tim da ako se dato vektorsko polje posmatra kao polje brzina čestica tečnosti koja se kreće, onda je protok kroz S jednak količini tečnosti "proizvedenoj" unutar V. Uzevši odnos protoka kroz S i zapremine V, dobijamo srednju produktivnost oblasti V.Ipak, srednja produktivnost još dovoljno dobro ne karakteriše intenzivnost vektorskog polja u okolini neke tačke date oblasti: neki dijelovi posmatrane oblasti V mogu biti produktivniji od drugih. Zato da bi se ocijenila produktivnost u blizini bilo koje tačke M, koja leži unutar oblasti V, potrebno je sve manju i manju oblast koja okružuje tačku M. U graničnom procesu (pri stezanju oblasti V utačku M) dobija se veličina koja dobro karakteriše "produktivnost" vektorskog polja u okolini tačke M. Taveličina naziva se divergencija polja u tački M. Definition Divergencijom vektorskog polja Autački M naziva se granična vrijednost odnosa protoka kroz površinu koja okružuje tačku M i zapremine oblasti ograničene tom površinom. Granična vrijednost se određuje pri stezanju površi u tačku M : diva lim VM A n 0 ds S V. One tačke vektorskog polja u kojima je divergencija pozitivna nazivaju se izvorima, a one u kojima je divergencija negativna nazivaju se ponori. Neka je vektorsko polje A zadano analitički A P i Q j Rk, gdje su P,Q,R skalarne funkcije koje imaju neprekidne parcijalne izvode prvog i drugog reda. Potražimo analitički izraz za divergenciju u tački M. Opišimo oko tačke M proizvoljnu zatvorenu površ i označimo sa V onaj dio prostora koji ograničava ta površ (slika 7.)

19 z S M M cp O v y Tada je x Slika 7. diva lim VM A n 0 ds S V lim VM Pcos Qcos RcosdS S, V gdje su,, uglovi koje vanjska normala gradi sa koordinatnim osama. Koristeći formulu Gauss-Ostrogradskog površinski integral napišimo u trojni integral: diva lim VM V P x Q y V R z Na trojni intrgral primjenimo teorem o srdnjoj vrijednosti. Prema toj teoremi unutar V postoji tačka M sr takva da je Zato je V diva lim VM lim VM P x Q y R z V P x Q y V R z dv V dv P x Q y R. z M sr dv P x Q y R : z M sr lim VM V P x. Q y Kada se tijelo V steže u tačku M, tada se i svaka njegova unutrašnja tačka (pa tako i tačka M sr ) teži M. Ali tada, zbog neprekidnosti funkcije P Q R njena vrijednost u tački M x y z sr teži njenoj vrijednosti u tački M. Zatoje diva A x x A y y A z z V R z M sr. # gdje se svi parcijalni izvodi računaju u tački M. Formula ref: tp7 se i koristi za

20 izračunavanje divergencije vektorskog polja. Ako je Pcos Qcos RcosdS protok vektorskog pola A P i Q j Rk, S onda koristeći formulu ref: tp7 može se formula Gauss-Ostrogradskog Pcos Qcos RcosdS S napisati u tzv. vektorskom obliku A n 0 ds S V divadv. V P x Q y R z Dakle, protok vektorskog polja A kroz zatvorenu površinu jednak je trojnom integralu divergencije diva po oblasti koja je ograničena tom površinom. Naravno, ova jednakost je tačnasamouslučaju kad je diva neprekidna u svim tačkama oblasti V. dv, Primjer. Koristeći formulu Gauss-Ostrogradskog izračunati protok vektorskog polja A x y i y x j zk kroz površinu sfere radijusa 1 i sa centrom u koordinatnom početku. Rješenje. Izračunajmo prvo divergenciju datog vektorskog polja: Sada je protok jednak diva x y x A n 0 ds S V y x y z z divadv 3dV 3V V

21 Uvedena veličina divergencija vektorskog polja jeste skalar. Kako se usvakoj tački M vektorskog polja A može izračunati skalarna veličina divam, onda se kaže da je vektorsko polje A generisalo skalarno polje diva. U tehnici se još često kaže da divergencija pretstavlja izdašnost izvora u tački, odnosno gustinu fluksa. Za oznaku se koristi i Hamiltonov operator "nabla" x y z, pa ako je A A x i A y j A z k,pišese A A x x A y y A z z Koristeći zapis ref: tp7 i osobine izvoda, lako se mogu dokazati slijedeće osobine: div u v divu divv,. div f v fdivu v gradf, f skalar.

22 Cirkulacija vektorskog polja po konturi Posmatrajmo vektorsko polja A P i Q j Rk i zatvorenu konturu l koja se nalazi u tom polju. Definition Krivolinijski integral Pdx Qdy Rdz naziva se cirkulacija vektorskog polja po konturi l. l Jasno je da cirkulacija zavisi i od pravca kretanja po konturi: promjenom pravca kretanja po konturi mijenja se i znak cirkulacije. AkojedatonekovektorskopoljeA A x i A y j A z k, onda se još može pisati A x dx A y dy A z dz A d r, l Ako je vektorsko polje A polje sile A tj. vektor A je sila, onda linijski integral izražava rad sile polja pri premještanju tačke po krivoj l. l Posmatrajmo čvrsto tijelo koje rotira ugaonom brzinom oko neke ose, na primjer oko z-ose (slika 8.) x ω r K r z O Slika 8. R r r R r 0 R r R 0 v r y Brzina A svake taćke tijela koje rotira zavisi od položaja te tačke.posmatrajmo vektorsko polje brzina. Označimo sa vektor čiji je intenzitet jednak ugaonoj brzini, pravac z-ose i smjer takav da tijelo vrši pozitivnu rotaciju. Tada je k. Vektor brzine A u bilo kojoj tački Mx,y,z okomit je na inar R 0, gdje je R radijus vektor tačke, a R 0 radijus vektor centra kružnice pokojoj se kreće tačka M. Kakoje

23 A R R 0 R R 0 R. Kako je A R y i x j, onda cirkulacija vektora A po krugu C : x acos, y bsin, z 0, je A d r y dx x dy C C 2 asinasin acos acos d 0 2 a 2 2S, gdje je S površina kruga. Primjetimo da cirkulacija po bilo kojem krugu mkoji leži u Oxy ravni je jednaka 2S, čak i kad centar tog kruga ne leži u koordinatnom početku. Gustina cirkulacije vektorskog polja. Rotor vektorskog polja. Posmatrajmo vektorsko polje A P i Q j Rk, gdje su funkcije P, Q, R neprekidne i imaju neprekidne parcijalne izvode prvog reda u tački M 0 i u njenoj okolini. Postavimo kroz tačku M 0 neku površinu S i na toj površi postavimo zatvorenu konturu l, koja okružava tačku M 0 (slika 9.). x O z s Slika 9. n r σ M0 t y Izabravši određeni pravac na toj konturi, izračunajmo cirkulaciju A d l. l Jasno je da taj integral zavisi od konture l i, uopšte govoreći, teži ka nuli kad se kontura l steže u tačku M 0. Definition Odnos cirkulacije po konturi l i površine onog dijela površi S, koja je ograničena datom konturom, naziva se srednja gustina cirkulacije. Dakle, srednja gustina cirkulacije jednaka je

24 A d l l. Ako se kontura l steže u tačku, ali tako da kontura cijelo vrijeme ostaje na površi S, onda i površina teži ka nuli. Pri tome granična vrijednost srdnje gustine cirkulacije naziva se gustina cirkulacije u tački M 0 po površi S. Dakle, gustina cirkulacije jednaka je lim A d l l. # lm 0 Da bi izračunali gustinu cirkulacije u tački M 0 transformišimo linijski integral u ref: tp9 u površinski (koristeći formulu Stokesa) a zatim primjenimo teoremu o srednjoj vrijednosti. Dobijamo lim A d l l lm 0 lim diam0 lim diam0 S R y R y Pdx Qdy Rdz l lim lm 0 Q z cos P z Q z cos P z R x R x cos Q x Q x P y cos d cos P cos y Msr. Uglovi, i određuju pravac normale na površ S (pravac normale je određen tako da je u saglasnosti sa pravcem obilaska konture l), a tačka M sr je naka tačka iz oblasti. Pri stezanju površi, tačka M sr teži ka tački M 0, a vrijednost funkcije R y Q z cos P z R x cos Q x P y cos utački M sr teži ka vrijednosti te funkcije u tački M 0 (po pretpostavci prvi izvodi funkcija P,Q i R su neprekidni i takođe suicos, cos, cos neprekidne funkcije tačke M (pretpostavlja se da je površ S glatkau nekoj okolini tačke M 0 ). Dakle, gustina cirkulacije u tački M 0 jednaka je R y Q z cos P z R x cos Q x P y cos. # Iz izvedene formule zaključuje se da gustina cirkulacije u tački M 0 zavisi: -od zadanog vektora A P i Q j Rk (jer u izrazu za gustinu cirkulacije ulaze prvi izvodi tih funkcija); -od vektora normale n na površ S utački M 0 (jer u izrazu za gustinu cirkulacije ulaze cos, cos, cos koji određuju pravac normale). Istovremeno formula ref: tp10 govori da gustina cirkulacije u tački M 0 ne zavisi od površine S, nego samo od vektora normale na tu površ. Drugim riječima, ako kroz tačku M 0 prolazr dvije razlićite površi S 1 i S 2 koje imaju isti vektor normale u toj tački, onda je gustina

25 cirkulacije u tački M 0 na svakoj od površi ista. Zato se može govoriti ne o gustini cirkulacije po površi, nego o gustini cirkulacije u pravcu vektora n. Gustina cirkulacije vektorskog polja Autački M 0 u pravcu vektora n naziva se gustina cirkulacije po bilo kojoj površi S koja u tački M 0 ima normalu n. Definition Vektor čije su projekcije na ose: A z y A y z, A x z A z x, A y x A x y naziva se rotor vektora A i označava simbolom rota. Obzirom na uvedenu definiciju, vektor rota moguće jeračunati rota i j k. x y z A x A y A z Dakle, gustina cirkulacije vektorskog polja A utački M 0 upravcuvektoran jednaka je rota n 0. Kako je rota n 0 rota cos rota, n 0, i desna strana predstavlja projekciju rotora na pravac n,zaključujemo da je gustina cirkulacije u pravcu n jednaka projekciji rotora na taj pravac. Odavde je jasno da je gustina cirkulacije u tački M 0 najveća u pravcu rotora i tada je brojno jednaka rota.natajnačin uočavasesmisaorotora:to je vektor u pravcu kojeg je gustina cirkulacije u datij tački najveća. rota Dakle, rotor polja A u datoj tački jednak je najvećoj cirkulaciji u toj tački. rota A z y A y z i A x z A z x j A y x A x y k # je potpuno određen (po veličini, pravcu i smjeru) u svakoj tački polja. Na taj način sam rotor obrazuje novo vektorsko polje. Koristeći uvedene pojam rotora vektora, dobro poznata formula Stekesa iz matematičke analize može se zapisati u tzv. vektorskoj formi

26 Adr l rota n 0 ds. S Kaže se da je cirkulacija vektora duž zatvorene konture jednaka je protoku rotora vektora kroz površ ograničenu tom konturom. Pimjer 1. Izračunati rotor vektorskog polja A x 2 y 2 i y 2 z 2 j z 2 x 2 k u tački 0,0,1. Koristeći formulu ref: tp11 dobijamo specijalno, u tački 0,0,1 dobijamo rota 2z i 2x j 2yk, rota 2 i. Znači, gustina cirkulacije u tački 0,0,1 je najveća u pravcu vektora 2 i.toznači, ako biramo kontiure istih dimenzija oko tačke 0,0,1, koje leže u različitim ravnima, onda je cirkulacija najveća za konturu smještenu u ravni Oyz. Primjer 2. Posmatrajmo polje brzina tačaka čvstog tijela koje rotira ugaonom brzinom 0 oko ose Oz (slika 8.). Kako je brzina onda je u svakoj tački A 0 y i 0 x j, rota 0 0 k 2 0 k 2. Dakle, rotor brzine dva puta je veći od ugaone brzine. Pravila računanja divergencije i rotora Divergancija i rotor su diferencijalni operatori i mogu se računati po formulama ref: tp7 i ref: tp11. Koristeći osobine operacije računanja prvog izvoda funcije jedna promjenjive, lako se mogu dokazati slijedeća pravila računanja: 1. Divergencija i rotor konstantnog vektora jedaki su nuli. Zaista, ako je A a i b j ck konstantan vektor, onda se neposrednim računanjem

27 dobija diva 0irotA Divergencija i rotor imaju svojstvo linearnosti. To znači, ako je C aa bb, gdje su A i B vektorska polja, a a i b konstante, onda divc adiva bdivb rotc arota brotb 3. a) Neka je u skalarno polje, a A vektorsko polje. Tada je proizvod ua vektorsko polje, pa vrijede slijedeće formule div ua rot ua grad u A u diva grad u A u rota b) Neka su A i B dva vektorska polja. Tada vektorski proizvod A B definiše novo vektorsko polje za koje se lako provjerava da vrijedi div A B B rota A rotb Zadaci. 1) naći velićinu i pravac rotv utački M1,2,2 ako je v y z i x z j x y k. 2) Naći rad polja u 1 y i 1 z j 1 x k duž pravca između tačaka M1,1,1 i N2,4,8. x 2 y ) Izačunati cirkilaciju polja u y 3 i x 3 j k duž kruga. z 0 4) Naći rad polja v e yz i e zx j e xy k duž pravolijskog puta između tačaka O0,0,0 i M1,3,5. 3 (Rez. 3 4 e4 12e 2 5) Pomoću Štoksove formule izračunati cirkulaciju vektora u y i x j ck, c konst. duž kruga C : x 2 y 2 1, z 0. Neka specijalna vektorskih polja Vektorska polja su najčešće složena. To znači daveličine divergencija i rotor imaju različite vrijednosti od tačke do tačke vektorskog polja. Ipak među vektorskim poljima mogu se uočiti neka koja imaju neku karakteristiku istu u svim tačkama polja.

28 1 Solenoidno polje Ako je u svim tačkama neke oblasti G divergencija vektorskog polja A zadanog u G jednak nuli, onda se kaže da je polje A solenoidno u toj oblasti. Zbog diva 0 za solenoidno polje se još kaže da je bezizvorno polje. Na primjer, polje sile privlačenja F mr je solenoidno u bilo kojoj oblasti G koja ne R 3 uključuje koordinatni početak u kojem je smještena masa m koja formira silu polja. Zaista, kako je F mx x 2 y 2 z 2 3 i my x 2 y 2 z 2 3 j mz x 2 y 2 z 2 3 k, neposrednim računanjem dobijamo divf 0. U tački 0,0,0 veličina divf nije definisana. Theorem Da bi vektorsko polje zadato u oblasti G bilo solenoidno, potrebno je i dovoljno da je protok kroz bilo koju zatvorenu površinu, koja pripada G, jednak nuli. Da je uvjet dovoljan slijedi iz same definicije divergencije, a da je uvjet potreban iz teoreme Gauss-Ostrogradskog.

29 Primjer. Pri stacionarnom kretanju nestišljive tečnosti polje brzina je solenoidno. U cilju dokaza posmatrajmo proizvoljnu zatvorenu površ S koja se nalazi u tom polju. Zbog uvjeta nestišljivosti, količina tečnosti koja dolazi untar površi S za jedinicu vremena, jednaka je količini tečnosti koja se udaljava za isto vrijeme iz oblasti ograničene površinom S. Dakle, protok kroz proizvoljnu zatvorenu površinu u tom polju jednak je nuli, što znači daje divergencija polja jednaka nuli u svim tačkama. Dakle stacionarno polje brzina nestišljive tečnosti koja se kreće je stacionarno. 2. Bezvrtložno polje Ako je u svim tačkama vektorskog polja A rotor jednak nuli, polje se naziva bezvrtložnim. Oblast V naziva se jednostruko povezana onlast ako na svaku zatvorenu konturu koja pripada oblasti V je moguće pokriti s povši koja cijela pripada V. Primjeri jednostruko povezanih oblasti su: cio prostor R 3, unutrašnjost kugle, kugla sa svojom granicom, cio prostor bez jedne tačke. Prostor iz kojeg su izuzete sve tačke jedne prave nije jednostruko povezana oblast. Takođe ni torus nije jednostruko povezana oblast. Theorem Da bi vektorsko polje A bilo bezvrtložno, potrebno je i dovoljno da je cirkulacija po bilo kojoj konturi koja leži u oblasti V jednaka nuli. Dokaz. Uvjet je dovoljan. Neka je Ad l po bilo kojoj zatvorenoj konturi l koja leži u V. l Dokažimo da je rota 0 u svakoj tački oblasti V. Pretpostavimo suprotno, neka postoji tačka M 0 za koju je rota 0. Neka je npr. rota 10.) p M 0 a 0. Postavimo površ P kroz tačku M 0 okomito na vektor rota n r M 0 (rot A r ) σ t M 0 M 0 Označimo sa n normalu na ravan P, irot n A projekciju rotora na tu normalu. rot n A je skalarna funkcija definisana u tački M 0 iu njenoj okolini. U samoj tački M 0 vrijedi M 0 (slika

30 rot n A M 0 rota M 0 a Kako je rota neprekidna vektorska funkcija (jer komponente vektora A, po pretpostavci, imaju neprekidne parcijalne izvode prvog reda), onda je i rot n A neprekidna funkcija. Zato se oko tačke M 0 može opisati takva okolina (na površi P), da se u cijeloj toj okolini vrijednost funkcije rot n A razlikuje od rot n A za manje od a.akojelkontura te okoline, onda M 2 0 primjenjujući teoremu Stokesa u vektorskoj formi, dobijamo l Ad l rot n Ad a 2 0, gdje je oblast ograničena konturom l. Natajnačin, pretpostavivši da je rota 0 bar u jednoj tački, dolazi se ko kontradikcije. Dakle, ako je Ad l 0 po bilo kojoj konturi, tada je l rota 0. Uvjet je potraban. Neka je rota 0usvimtačkama oblasti V. Posmatrajmo proizvoljnu zatvorenu konturu L koja leži u oblasti V, i dokažimo da je L Ad l 0. U tom cilju nasadimo na L površ S. Kako je oblast V jednostruko povezana, onda možemo izabrati S tako da cijela pripada V. Primjenjujući teoremu Stokesa u vektorskoj formi, dobijamo L Ad l S rot n AdS 0 U posljednjoj jednakosti korišten je uvjet rota 0, pa je i projekcija rotora na n identički jednaka nuli. Dakle, ako je rota 0, onda je i L Ad l 0 za proizvoljnu konturu L. Timeje teorema dokazana. Neka je zadato vektorsko polje A. Kaže se da Ad l ne zavisi od puta integriranja ako za L bilo koje dvije tačke M 1 i M 2 iz polja veličina integrala po luku M 1 M 2 ne zavisi od oblika luka nego samo od njegovih krajnjih tačaka. Theorem Neka je zadato vektorsko polje u jednostruko povezanoj oblasti. Da integral L Ad l ne bi zavisio od puta integriranja, potrebno je i dovoljno da polje A bude bezvrtložno. Dokaz. Uvjet je dovoljan. Neka je rota 0. Tada je L Ad l 0 za bilo koju zatvorenu

31 konturu L. Uzmimo dvije proizvoljne tačke M 1 i M 2 i spojimo ih sa dva različita puta M 1 PM 2 i M 1 QM 2. Ako označimo sa L cijelu zatvorenu konturu M 1 PM 2 QM 1, dobijamo Kako je onda se jednakost ref: tp12 može prepisati ili L Ad l 0 M1 PM 2 Ad l M2 QM 1 Ad l 0 # M2 PM 1 Ad l M1 PM 2 Ad l, M1 QM 2 Ad l M1 PM 2 Ad l 0, M1 QM 2 Ad l M1 PM 2 Ad l. Na taj način dokazana je nezavisnost integrala od puta. Uvjet je potreban. Neka integral Ad l ne zavisi od puta. Tada je integral po bilo kojoj L zatvorenoj konturi C jednak nuli a tada je, prema prethodnoj teoremi, rota 0. Primjer 1. Polje A 3x 2 y 2 z 3x 2 i 2x 3 yz j x 3 y 2 3z 2 k definisano u svim tačkama prostora Oxyz je bezvrtložno. Računanjem se provjerava da je rota 0. Primjer 2. Polje sile privlačenja koje tvori masa m smještena u koordinatnom početku, takođe je bezvrtložno, što se direktno provjerava računanjem rota. 3. Potencijalno polje Definition Vektorsko polje A naziva se potencijalnim ako postoji takvo skalarno polje A grad. Funkcija se tada naziva potencijal vektorskog polja A.

32 Slijedeća teorema daje uvjete potencijalnosti vektorskog polja A P i Q j Rk, gdje su P,Q,R neprekidne funkcije sa neprekidnim parcijalnim izvodima prvog reda. Theorem Da bi polje A bilo potencijalno, potrebno je i dovoljno da ono bude bezvrtložno. Dokaz. Uvjet je potreban. Neka je A grad i j k.izračunavajući x y z neposredno rota i koristeći pri tom poznatu iz analize teoremu o jednakosti drugih mješovitih izvoda 2, 2 xy yx rota it.d., dobijamo 2 zy 2 yz i 2 xz 2 zx j 2 yx 2 xy k 0. Uvjet je dovoljan. Neka je rota 0. Tada Ad l ne zavisi od puta integriranja L, atada L podintegralna funkcija A d l je totalni diferencijal neke funkcije od tri promjenjive. Problem se, dakle, sve na traženje funkcije tri promjenjive ako je poznat totalni diferencijal te funkcije. Za određivanje potencijala, koriste se veze x P, y Q, z R.

33 Theorem Da bi izraz Pdx Qdy Rdz bio totalni diferencijal neke funkcije x,y,z, potebno je i dovoljno da je rotor vektorskog polja P i Q j Rk identički jednak nuli. Dakle, u potencijalnom polju linijski integral, u granicama od tačke M 1 do tačke M 2 od totalnog diferencijala funkcije x,y,z, jednak je razlici vrijednosti te funkcije u tačkama M 2 im 1. Ako je x,y,z potencijal polja neke sile, tada razlika potencijala u tačkama M 2 im 1 predstavlja veličinu rada koji vrši sila polja pri premještanju jedinične mase iz tačke M 1 um 2. U fizici i tehnici kaže se da M 2 M 1 predstavlja razliku potencijala. Primjer. Dato je polje sile privlačenja koje izaziva masa m 0 smještena u koordinatnom početku. Naći rad koji vrši polje pri premještanju tačke M jedinične mase iz položaja M 1 x 1,y 1,z 1 u položaj M 2 x 2,y 2,z 2. Sila polja data je sa F m 0 x i y j zk x 2 y 2 z 2 3/2 i lako se provjerava da je to potencijalno polje. Funkcija m 0 x 2 y 2 z 2 1/2 je potencijal tog polja. Razlika vrijednosti te funkcije u tačkama M 2 i M 1 daje veličinu rada polja pri prelasku jedinične mase iz M 1 u M 2. Zadaci. 1) Pokazati da je vektorsko polje A yz i xz j xyk potencijalno i naći njegov potencijal. 2) Naći potencijal vektorskog polja A 3x 2 2xy i x 2 2y z j y 3z 2 k. rez. x,y,z x 3 x 2 y y 2 zy z 3 C 3) Naći funkciju ako je dat njen totalni diferencijal d 3x 2 y 2 z 3x 2 i 2x 3 yz j x 3 y 2 3z 2 k rez. x 3 x 3 y 2 z z 3 C