Nekaj zgledov. J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21

Transcript

1 Nekaj zgledov J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 V robnih problemih rešitev diferencialne enačbe zadošča dodatnim pogojem, ki niso vsi predpisani v isti točki. Že osnovna zahteva, kot je na primer eksistenca točne rešitve, ni vedno izpolnjena. Zgled Kako se upogne tanka, vodoravno postavljena palica, ki jo obtežimo s funkcijo q in togo vpnemo v enem krajišču ter naslonimo na drugem? Diferencialna enačba, ki ji oblika y zadošča, je y (4) + k y = q, torej četrtega reda. Če palico togo vpnemo v izhodišču a, dobimo robna pogoja y(a) = 0, y (a) = 0. V drugem krajišču je višina enaka, in ker je palica le naslonjena, je navor nič, torej y(b) = 0, y (b) = 0.

2 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Streljanje s topom Kako s topom zadeti določen cilj, če top stoji v točki (0, 0) ravnine IR 2, cilj pa je (a, 0) IR 2. Naj par (x(t), y(t)) označi položaj krogle v času t in v := (v x (t), v y (t)) njeno hitrost. Povzemimo preprost model, ki opisuje gibanje topovskega izstrelka z diferencialnimi enačbami. Te prepišemo v sistem enačb prvega reda, x = v x, y = v y, v x = u(y) v x v 2 /m, v y = g u(y) v y v 2 /m, kjer u označuje zračni upor, g zemeljski pospešek in m maso krogle. Za zračni upor uporabimo aproksimacijo u(y) = 1 2 c vsρ 0 e y y 0, kjer c v označuje koeficient upora, S presek izstrelka,

3 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Streljanje s topom - nadaljevanje ρ 0 gostoto zraka na morski gladini in y 0 višino, pri kateri se ta zmanjša za faktor e. Začetna hitrost izstrelka naj bo v 0. Če problem pogledamo kot začetni in top postavimo pod kotom θ, je x(0) = 0, y(0) = 0, v x (0) = v 0 cos θ, v y (0) = v 0 sin θ. Trajektorije izstrelka pri konsistentno izbranih enotah in konstantah c v = 0.2, ρ 0 = 1.25, y 0 = 10000, g = 9.81, m = 100, S = πr 2, r = 0.1 vidimo na sliki. Vendar nas v resnici ne zanima enoparametrična družina rešitev začetnih problemov, ampak tiste rešitve, ki zadenejo cilj, na primer točko (20000, 0). Za točke, ki so v dometu topa, vidimo, da obstajata dve rešitvi, dve različni topovski poziciji, ki zadeneta cilj. Resda ne po enakem času, a če smo še tu natančni in predpišemo, v katerem trenutku želimo zadetek, bo rešitev obstajala zelo redko.

4 Metode za reševanje robnih problemov J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Metode za reševanje robnih problemov delimo v dve skupini: metode, ki temeljijo na metodah, razvitih za reševanje začetnih problemov, metode, razvite neposredno za reševanje robnih problemov. Prvi skupini metod je skupen razmislek, kako robni problem prevesti na reševanje začetnih. Če je problem, ki ga rešujemo, linearen, je prevedba dovolj preprosta. Problem je linearen, če je linearna diferencialna enačba in so tudi takšni robni pogoji. Tudi za nelinearne probleme poznamo preprosto metodo, ki temelji na streljanju. V splošnem lahko trdimo, da je prevedba na začetne probleme učinkovita, če le deluje. Pokaže pa se, da temu ni vedno tako, kar bomo spoznali ob numeričnih zgledih. Tedaj je treba poseči po drugi skupini metod.

5 Metode, razvite posebej za robne probleme: J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 diferenčna metoda: odvode nadomestimo z deljenimi diferencami, kolokacija, rešitev iščemo v danem razredu funkcij, najpogosteje v prostorih zlepkov, metoda končnih elementov: diferencialno enačbo pretvorimo v variacijsko obliko in diskretiziramo. ipd.

6 Zapis robnih problemov, primeren za začetne metode J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Robni problem zapišemo lahko tudi v obliki, ki smo je vajeni iz reševanja začetnih problemov, kot sistem diferencialnih enačb prvega reda. Omejimo se na robne pogoje v krajiščih intervala a in b. Treba je poiskati zvezno odvedljivo vektorsko funkcijo y: [a, b] IR d, ki zadošča diferencialni enačbi in robnim pogojem y = f(x, y), x (a, b) g (y (a), y (b)) = 0. Zgoščen zapis (6) in (6) ne poenostavi zapisa numeričnih metod v tolikšni meri, kot ga je pri reševanju začetnih problemov. Za nekatere metode, kot je na primer diferenčna, pretvorba na sistem enačb prvega reda ni primerna.

7 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Linearni robni problem drugega reda y + p(x)y + q(x)y = r(x), x (a, b), z linearnima robnima pogojema α 0 y(a) + α 1 y (a) = α 2, β 0 y(b) + β 1 y (b) = β 2. Če izberemo y := (y i ) 2 i=1 := (y, y ), dobimo zgoščen zapis y = A(x)y + q(x), ( ) 0 1 A(x) :=, q(x) := q(x) p(x) ( ) 0, r(x) z ( ) (α0, α g (u, z) := 1 ), u α 2. (β 0, β 1 ), z β 2

8 Prevedba robnega na začetni problem J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Označimo z y(. ; s) rešitev začetnega problema y = f(x, y), x (a, b), y(a) = s. Za f, ki zadošča zahtevam eksistenčnega izreka, bo začetni problem imel rešitev za vsak s IR d. Ker rešujemo robni problem, iščemo s, za katerega so izpolnjeni robni pogoji g (s, y (b; s)) = 0. To pomeni, da smo reševanje robnega problema prevedli na iskanje rešitve sistema enačb, ki je v splošnem nelinearen. V izračunu funkcije g je skrito reševanje začetnih problemov. Ker izbiramo parametre s in pri tem skušamo zadeti robne pogoje, metodi rečemo strelska metoda. Za določen tip robnih problemov dokazuje eksistenco in enoličnost rešitve prav ena od poti strelske metode.

9 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Opozorilo Začetni problemi, ki jih spotoma rešujemo, imajo ob izpolnjenih predpostavkah vedno rešitev. To ne pomeni, da vedno obstaja tudi rešitev robnega problema. Ali da je celo zagotovljena njena enoličnost. Če sta diferencialna enačba in robni pogoji linearna v iskanem y, reševanje sistema naravno poenostavimo. Treba je poiskati dovolj veliko število neodvisnih rešitev, da njihovo linearno kombinacijo robni pogoji določajo enolično.

10 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Linearni robni problem Rešitev robnega problema iščimo kot linearno kombinacijo y = s u + v. Iskani u naj bo rešitev homogene, v pa nehomogene enačbe, u = A(x)u, v = A(x)v + q(x). Zahtevajmo, da y za vsak skalar s zadošča robnemu pogoju v začetni točki a. Sledita pogoja, ki jim morata iskani rešitvi u in v zadoščati na začetku. (α 0, α 1 ), u(a) = 0, (α 0, α 1 ), v(a) α 2 = 0. Nekaj svobode je še na voljo pri izbiri u(a) in v(a). Izberemo ju in rešimo oba začetna problema. To da drugi robni pogoj s s (β 0, β 1 ), u(b) + (β 0, β 1 ), v(b) β 2 = 0.

11 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Če je (β 0, β 1 ), u(b) = 0, rešitev homogenega problema zadošča obema homogenima robnima pogojema, konstanta s je poljubna in jo lahko vzamemo kar 0. Sicer pa (10) vrednost s določa kot s = (β 0, β 1 ), v(b) + β 2 (β 0, β 1 ), u(b) V obeh primerih dobimo iskano rešitev y = s u + v. Resda smo tu odmislili možne numerične težave pri izračunu u in v..

12 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 V nelinearnih primerih je treba uporabiti eno od znanih metod za reševanje sistema (6). Pri robnih problemih drugega reda rešujemo eno samo nelinearno enačbo in najpogosteje posežemo po metodah: regula falsi, sekantna metoda, tangentna metoda. Pri prvi izbiri je težava, da izberemo začetni vrednosti parametrov tako, da zadetka ujameta vrednost, ki jo ciljamo. Pri sekantni metodi prav tako potrebujemo dva začetna približka, a nas tudi lahko neomejeno odnese pri vsakem novem približku. Tangentno metodo dodajmo kot zgled.

13 na celotnem intervalu [a, b]. J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Robni problem drugega reda, tangentna metoda y = f (x, y, y ), x (a, b), y(a) = α, y(b) = β, v začetni obliki za y = y(. ; s) poenostavljen v y = f (x, y, y ), x (a, b), y(a; s) = α, y (a; s) = s. Drugi robni pogoj se glasi g(s) := y(b; s) β = 0. Za tangentno metodo potrebujemo poleg vrednosti g tudi vrednost odvoda d ds g(s) = y(b; s). s To izračunamo tako, da določimo vrednost odvodu y s (x) := y(x; s) s

14 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Robni problem drugega reda, tangentna metoda, nadaljevanje Z odvajanjem prvotne diferencialne enačbe dobimo y s = f y (x, y, y )y s + f y (x, y, y )y s, z odvajanjem začetnih pogojev še y s (a) = 0, y s(a) = 1. Da določimo g (s) = y s (b), moramo dodatno rešiti še en začetni problem, skupaj na vsakem koraku po dva.

15 Robni problemi kot diskretni sistemi enačb Diferenčna metoda je najpogosteje uporabljana metoda za reševanje robnih problemov. Temelji na diskretni aproksimaciji odvodov. Pri tej metodi ne uporabljamo prevedbe problema na sistem enačb prvega reda. Zato si od tu naprej poenostavimo zapis in predpostavimo, da je iskana funkcija skalarna. Vzemimo, da rešujemo robni problem reda m, ( y (m) = f x, y, y,..., y (m 1)), x [a, b], z robnimi pogoji ) g i (y(a), y (a),..., y (m 1) (a); y(b), y (b),..., y (m 1) (b) = 0, i = 1, 2,..., m. Interval vnaprej razdelimo na n podintervalov, najpogosteje ekvidistantno, x i = a + i h, i = 0, 1,..., n, h := b a, n (0.1) J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21

16 Zgledi diferenčnih aproksimacij odvodov J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Diskretne enačbe v točkah x i, ki so tako blizu enega od obeh krajišč intervala, da je treba upoštevati tudi robne pogoje, zahtevajo posebno pozornost. Neredko so prava nadloga pri pripravi programov za reševanje robnih problemov. Prav zato najpogosteje posežemo po aproksimacijah odvodov, ki temeljijo na kar se da malo sosednjih točkah. Če je le mogoče, so diferenčne aproksimacije simetrične, torej za red boljše kot primerljive nesimetrične, na primer y (x i ) = y (x i+1) y (x i 1 ) 2h y (x i ) = y (x i+1) 2y i + y (x i 1 ) h 2 ( + O h 2), ( + O h 2), y (4) (x i ) = y (x i 2) 4y (x i 1 ) + 6y (x i ) 4y (x i+1 ) + y (x i+2 ) h 4 + O (h 2)

17 Vzemimo diskretno aproksimacijo diferencialne enačbe v točki x i. Ker so odvode zamenjale diference, je nastala v vsaki od točk neka okrnitvena napaka. To vpeljemo kot definicijo lokalne napake pri reševanju robnih problemov. Definicija Lokalna napaka pri reševanju robnih problemov v dani točki je razlika, ki jo v tej točki dobimo, če od diferencialnega operatorja na gladki funkciji odštejemo diferenčno aproksimacijo na tej funkciji. V definicijo bi lahko vključili zahtevo, da je funkcija, ki nastopa, tudi rešitev diferencialne enačbe. Temu smo se izognili, saj vemo, da so z eksistenco rešitve lahko težave, lokalna napaka pa je vseeno dobro definirana. Tam, kjer to potrebujemo zaradi višjih redov aproksimacije, to posebej povemo. Ob diskretizaciji skušamo paziti, da je lokalna napaka v vseh točkah istega reda. Dobro je tudi ohranjati naravo diferencialnega operatorja: če je diferencialni operator simetričen ali pozitivno definiten, naj bo takšen tudi diskretni problem. J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21

18 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Diskretna aproksimacija z lokalno napako O ( h 2) Diferencialno enačbo v točki x i zamenja izraz y i 1 2y i + y i+1 h 2 y + p(x)y + q(x)y = r(x), x [a, b], + p i y i+1 y i 1 2h + q i y i = r i, i = 1, 2,..., n 1, z p i := p(x i ), q i := q(x i ) in r i := r(x i ). Označimo lokalno napako v x i z τ i. Za y C 4 ([a, b]) je ta drugega reda, ( ) τ i = τ i (y) = y (x i ) + p(x i )y (x i ) + q(x i )y(x i ) r(x i ) ( y(xi 1 ) 2y(x i ) + y(x i+1 ) h 2 + p(x i ) y(x i+1) y(x i 1 ) + 2h ) ( + q(x i )y(x i ) r(x i ) = O h 2).

19 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Diskretna aproksimacija z lokalno napako O ( h 2), nadaljevanje Linearna robna pogoja α 0 y(a) + α 1 y (a) = α 2, β 0 y(b) + β 1 y (b) = β 2 diskretiziramo tako, da je tudi tu lokalna napaka reda O ( h 2). Izberemo aproksimacijo α 0 y 0 + α 1 3y 0 + 4y 1 y 2 2h β 0 y n + β 1 3y n 4y n 1 + y n 2 2h = α 2, = β 2.

20 J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Diskretna aproksimacija z lokalno napako O ( h 2), nadaljevanje Dobimo sistem linearnih enačb za neznane y i, z matriko oblike IR n+1,n+1, ki je skoraj tridiagonalna. Gaussova eliminacija linearne sisteme enačb s takšno obliko matrike reši v linearnem času O (n).

21 Zgled konvergenčnega izreka J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21 Izrek Naj za robni problem y + p(x)y + q(x)y = r(x), x [a, b], y(a) = α, y(b) = β, velja q q < 0 za neko konstanto q. Funkcije p, q in r naj bodo gladke. Naj bo (y i ) n i=0 numerična rešitev, ki jo da diskretizacija, ki smo jo uporabili. Tedaj obstaja h 0 > 0, takšen, da za vse h, 0 < h h 0 velja ( max i y(x i ) = O h 2). 0 i n