α i y n i + h β i f n i = 0, Splošni nastavek je k
|
|
- Ελλεν Μπουκουβαλαίοι
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 10.4 Večkoračne metode Splošni nastavek je k α i y n i + h i=0 k β i f n i = 0, kjer je f i = f(x i, y i ), privzamemo pa še α 0 = 1. Če je β 0 = 0, je metoda eksplicitna, sicer pa implicitna. i=0
2 Adamsove metode Adamsove metode dobimo tako, da enačbo y = f(x, y) integriramo na [x n, x n+1 ] y n+1 y n = xn+1 xn y dx = xn+1 xn f(x, y)dx, f pa nadomestimo z interpolacijskim polinomom na točkah: a) x n, x n 1,..., x n k+1 : eksplicitne Adams-Bashforthove formule y n+1 = y n + hf n, napaka O(h 2 ), y n+1 = y n + h 2 (3f n f n 1 ), napaka O(h 3 ), y n+1 = y n + h 12 (23f n 16f n 1 + 5f n 2 ), napaka O(h 4 ). b) x n+1, x n,..., x n k+2 : implicitne Adams-Moultonove formule y n+1 = y n + hf n+1, napaka O(h 2 ), y n+1 = y n + h 2 (f n+1 + f n ), napaka O(h 3 ), y n+1 = y n + h 12 (5f n+1 + 8f n f n 1 ), napaka O(h 4 ).
3 Kombinacija prediktor korektor Ponavadi pri večkoračnih metodah uporabljamo prediktor-korektor kombinacijo ekplicitne in implicitne metode. Z ekplicitno metodo izračunamo prediktor y P n+1, za korektor implicitno metodo rešujemo iterativno tako, da na desno stran vstavimo približek y P n+1, na levi pa dobimo y K n+1. S tem se izognemo reševanju nelinearne enačbe. Primer je Milnov par y n+1 = y n 3 + 4h 3 (2f n f n 1 + 2f n 2 ), napaka O(h 5 ) : prediktor y n+1 = y n 1 + h 3 (f n+1 + 4f n + f n 1 ), napaka O(h 5 ) : korektor ki ga uporabljamo v obliki y (P ) n+1 = y n 3 + 4h 3 (2f n f n 1 + 2f n 2 ), y (K) n+1 = y n 1 + h 3 (f(x n+1, y (P ) n+1 ) + 4f n + f n 1 ).
4 Zgled uporabe metode prediktor korektor Milnov par y (P ) n+1 = y n 3 + 4h 3 (2f n f n 1 + 2f n 2 ), y (K) n+1 = y n 1 + h 3 (f(x n+1, y (P ) n+1 ) + 4f n + f n 1 ) uporabimo na y = y 5e x sin(5x), y(0) = 1. Denimo, da smo pri h = 0.1 že izračunali y 1 = , y 2 = , y 3 = , sedaj pa iščemo y 4. y (P ) 4 = (2 ( ) ( )) = y (K) 4 = ( ( ) ) = Postopek lahko nadaljujemo, y (K) 4 vnesemo na desno stran in dobimo nov približek. y (K2) 4 = ( ( ) ) = y (K3) 4 = ( ( ) ) = Sedaj nadaljujemo s točko y 4 = in gremo na računanje y 5.
5 10.5 Inherentna stabilnost Inherentna stabilnost je odvisna od problema in neodvisna od numerične metode. a) y = y 1, y(0) = 1, splošna rešitev je y(x) = Ce x + 1 in C = 0, numerično pa dobimo C 0. Problem je inherentno absolutno in relativno nestabilen. b) y = y + 1, y(0) = 1, splošna rešitev je y(x) = Ce x + 1 in C = 0, numerično pa dobimo C 0. Problem je inherentno absolutno in relativno stabilen.
6 c) y = y + e 2x, y(0) = 1, splošna rešitev je y(x) = Ce x + e 2x in C = 0, numerično pa dobimo C 0. Problem je inherentno absolutno nestabilen in relativno stabilen. d) y = y e 2x, y(0) = 1, splošna rešitev je y(x) = Ce x + e 2x in C = 0, numerično pa dobimo C 0. Problem je inherentno absolutno stabilen in relativno nestabilen. Pri relativni nestabilnosti včasih pomaga, če obrnemo interval in računamo nazaj.
7 Inducirana nestabilnost Inducirana nestabilnost se pojavi pri večkoračnih metodah. Metoda k α i y n i + h i=0 k β i f n i = 0 i=0 mora biti stabilna za enačbo y (0) = 0 (ničelna stabilnost). Dobimo diferenčno enačbo k α i y n i = 0. i=0 Njen karakteristični polinom k i=0 α iξ k i ima k ničel ξ 1,..., ξ k. Splošna rešitev (pri enostavnih ničlah) je k y n = A j ξ n j. j=1 Za stabilnost mora veljati (Dahlquistov izrek): ξ i 1 za i = 1,..., k, pri čemer je pri ξ j = 1 enostavna ničla.
8 10.6 Pregled metod v Matlabu V Matlabu je na voljo več metod za reševanje začetnih problemov, vse so adaptivne: ode45: Temelji na eksplicitnem Runge-Kutta pravilu reda 4 in 5 (podobno kot Fehlbergova metoda). To je metoda, ki najpogosteje daje dobre rezultate, zato je priporočljivo problem najprej poskusiti rešiti s to metodo. ode23: Temelji na eksplicitnem Runge-Kutta pravilu reda 2 in 3. Kadar ne zahtevamo velike natančnosti in v primeru majhne togosti je lahko metoda bolj učinkovita kot pa ode45. ode113: Gre za Adams-Bashworth-Moultonovo večkoračno prediktor-korektor metodo, kjer vedno naredimo en korak korektorja. Lahko je bolj učinkovita od ode45 v primerih, ko zahtevamo visoko natančnost in pa kadar je funkcija f iz diferencialne enačbe še posebej zapletena in želimo imeti čim manj izračunov f.
9 Togi primeri Prejšnje tri metode so namenjene za netoge sisteme. V primeru, ko ne dajejo dobrih rezultatov imamo lahko opravka s togim sistemom in takrat uporabimo naslednje metode: ode15s: Večkoračna metoda, ki temelji na metodah za numerično odvajanje. Je sicer manj učinkovita kot ode45, a deluje na zmerno togih primerih, ko ode45 odpove. ode23s: Uporablja modificirano Rosenbrockovo metodo reda 2. Kadar ne zahtevamo velike natančnosti je lahko bolj učinkovita kot ode15s in deluje na naketerih zelo togih primerih, ko ode15s odpove. ode23t: Varianta trapezne metode. Uporabna za zmerno toge primere kadar ne zahtevamo velike natančnosti. ode23tb: Varianta implicitne dvostopenjske Runge-Kutta metode, primerna za zelo toge sisteme.
10 Način uporabe Vse metode uporabljamo na enak način, zato je dovolj pogledati le uporabo npr. ode45. Osnovna uporaba je [x,y] = ode45( f,xab,y0), kjer metoda f določa diferencialno enačbo y = f(x, y), xab = [a b] je interval, na katerem rešujemo enačbo in y 0 je začetni pogoj y(a) = y 0. Kot rezultat dobimo vektorja izračunanih x in y. Dodatne opcije, s katerimi nastavimo npr. željeno natančnost, podamo v obliki [x,y] = ode45( f,xab,y0,options). Pri tem moramo opcije options podati ali prej definirati s pomočjo funkcije odeset. Tako npr. z options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,1e-8) povečamo relativno in absolutno natančnost (privzeti vrednosti sta 1e-3 in 1e-6). Če ima diferencialna enačba f poleg x in y še kakšne dodatne parametre, jih podamo v obliki [x,y] = ode45( f,xab,y0,options,p1,p2,...). Pri tem lahko kot options podamo prazem seznam [], kadar ne želimo spreminjati nastavitev. Z [x,y,s] = ode45( f,xab,y0,options) dobimo še vektor s s šestimi komponentami, ki nam povedo, kaj se je dogajalo med računanjem. Tako je s 1 število uspešnih korakov, s 2 število neuspešnih poskusov, s 3 število izračunov f, s 4 število izračunov Jacobijeve matrike parcialnih odvodov f po y, s 5 število LU razcepov in s 6 število reševanj linearnih sistemov.
11 Funkcije z dodatnimi parametri Diferencialne enačbe, kjer poleg x in y nastopajo še dodatni parametri uporabljamo v obliki [x,y] = ode45( f,xab,y0,options,p1,p2,...). Pri tem moramo paziti na to, da ima funkcija f po vrsti parametre x, y, flag, p 1, p 2,.... Parameter flag se uporablja za to, da diferencialna enačba po potrebi avtomatično poda začetne pogoje in interval, če tega ne uporabljamo pa moramo le pustiti prostor za nek parameter. Tako npr. s kombinacijo f=inline( x^2+y+p, x, y, flag, p ) [x1,y1]=ode45(f,[0 1],0,[],1) [x2,y2]=ode45(f,[0 1],0,[],2) rešimo diferencialni enačbi y = x 2 + x + 1 in y = x 2 + y + 2.
12 Dogodki Velikokrat rešujemo diferencialno enačbo y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, kjer točen interval [x 0, x n ] ni znan, saj je izračun točke x n, kjer pride do kakšnega dogodka, del same naloge. Tako lahko npr. rešujemo nalogo telesa, ki prosto pada z določene višine, zanima pa nas, v katerem trenutku zadane tla. Matematično formulirano imamo dano funkcijo g(x, y) in iščemo rešitev začetnega problema y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 in točko x, kjer je g(x, y(x )) = 0.
13 Dogodki v Matlabu V Matlabu to lahko rešimo tako, da v nastavitvah določimo kontrolno funkcijo g, ki pove, kdaj se je dogodek zgodil. function varargout = fdogodek(t,y,flag) switch flag case % Return dy/dt = f(t,y). varargout{1} = [y(2); -1+y(2)^2]; case events % Return [value,isterminal,direction]. varargout{1} = y(1); % Dogodek je, ko je y = 0 varargout{2} = 1; % Metoda se konca, ko pridemo do dogodka varargout{3} = 0; % Do nič lahko pridemo z obeh strani otherwise error([ Unknown flag flag. ]); end opts = odeset( events, on ); [t,y,tfinal] = ode45( fdogodek,[0 5], [1; 0],opts); tfinal plot(t,y(:,1), -,[0 tfinal],[1 0], o )
14 10.7 Robni problemi drugega reda Rešujemo y = f(x, y, y ) y(a) = α y(b) = β Najpreprostejši je linearni robni problem drugega reda y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = r(x), (1) y(a) = α, y(b) = β.
15 Kombinacija dveh začetnih problemov Izberemo ξ 1 ξ 2 in rešimo začetna problema, ki ustrezata enačbi (1) in y 1 (a) = α, y 1 (a) = ξ 1, y 2 (a) = α, y 2 (a) = ξ 2. Za poljuben λ je y = λy 1 + (1 λ)y 2 tudi rešitev enačbe (1) in ustreza pogoju y(a) = α, Sedaj λ določimo tako, da bo y(b) = β. Veljati mora λy 1 (b) + (1 λ)y 2 (b) = β, torej λ = β y 2(b) y 1 (b) y 2 (b).
16 Diferenčna metoda [a, b] ekvidistantno razdelimo s točkami x 0 = a, x 1,..., x n, x n+1 = b, kjer je x i = x 0 + ih in h = b a n+1. Odvode aproksimiramo s simetričnimi diferencami y i = y i+1 y i 1 2h + O(h 2 ), y i = y i+1 2y i + y i 1 h 2 + O(h 2 ). Dobimo sistem enačb y i+1 + 2y i y i 1 h 2 pri čemer je y 0 = α in y n+1 = β. rešimo na preprost način. p i y i+1 y i 1 2h + q i y i = r i, i = 1,..., n, Sistem je linearen in tridiagonalen, zato ga lahko
17 Primer uporabe diferenčne metode Rešujemo robni problem (1 + x 2 )y + 2xy x 2 y = 1 y( 1) = 0 y(1) = 0 z diferenčno metodo in h = 1/2. Dobimo sistem enačb za y 1, y 2, y 3 : (1 + ( 0.5) 2 ) y 2 2y (0.5) 2 + 2( 0.5) y 2 0 2(0.5) ( 0.5)2 y 1 = 1 (1 + (0.0) 2 ) y 3 2y 2 + y 1 (0.5) 2 + 2(0.0) y 3 y 1 2(0.5) (0.0)2 y 2 = 1 (1 + (0.5) 2 ) 0 2y 3 + y 2 + 2(0.5) 0 y 3 (0.5) 2 2(0.5) (0.5)2 y 3 = 1, ki ima rešitev y 1 = 0.24, y 2 = 0.365, y 3 = 0.24.
18 Diferenčna metoda in odvodi v robnih pogojih Če imamo splošne robne pogoje, kot npr. α 1 y(a) + β 1 y (a) = 0, in α 2 y(b) + β 2 y (b) = 0, si pomagamo s t.i. navideznimi točkami. Npr., če imamo v robnem pogoju odvod v točki a, potem ta odvod aproksimiramo s simetrično diferenco y 0 = y 1 y 1. 2h Nova neznanka y 1 je le navidezna. Ker mora tudi v točki a veljati diferencialna enačba, dobimo še enačbo y 1 + 2y 0 y 1 h 2 p 0 y 1 y 1 2h + q 0 y 0 = r 0 iz teh dveh enačb pa lahko izločimo y 1.
19 Ekstrapolacija Če podvojimo število točk, pričakujemo, da bomo dobili boljše približke. Ker za napako velja, da je reda h 2, lahko z uporabo ekstrapolacije, podobni tisti pri Rombergovi metodi, dobimo še boljše približke v tistih točkah, ki nastopajo tako v grobi kot v fini mreži.
20 Diferenčna metoda z metodo Numerova Metoda Numerova je implicitna metoda za diferencialno enačbo oblike y = f(x, y): y n+1 2y n + y n 1 = h2 12 (f n f n + f n 1 ) + O(h 6 ). Če ima linearni robni problem obliko y (x) + q(x)y(x) = r(x), lahko uporabimo metodo Numerova, saj je potem napaka reda O(h 6 ) namesto O(h 2 ). Dobimo sistem za i = 1,..., n: y i+1 2y i + y i 1 = h2 12 (q n+1y n+1 r n q n y n r n q n 1 y n 1 + r n 1 ).
21 Nelinearni robni problem Pri nelinearnem robnem problemu drugega reda je f nelinearna funkcija y in y. Zaradi nelinearnosti ne moremo uporabiti kombinacije dveh začetnih problemov. Uporabimo lahko diferenčno metodo, a dobimo nelinearni sistem z veliko neznankami. Nelinearne enačbe imajo sedaj obliko y i 1 2y i + y i+1 h 2 = f ( x, y i, y ) i+1 y i 1, i = 1,..., n. 2h Če nelinearni sistem rešujemo z Newtonovo metodo, je Jacobijeva matrika tridiagonalna, tako da se da sistem reševati dokaj ekonomično. Za začetni približek lahko vzamemo kar točke na daljici med (a, α) in (b, β), torej y i = α + i(β α)/n.
22 Strelska metoda Na voljo imamo tudi strelsko metodo. Pri strelski metodi rešujemo začetni problem y = f(x, y, y ), y(a) = α, y (a) = ξ. Rešitev je odvisna od parametra ξ, ki ga je potrebno izbrati tako, da bo y(b; ξ) = β.
23 Strelska metoda s tangentno metodo y = f(x, y, y ), y(a) = α, (2) y (a) = ξ. Če definiramo E(ξ) := y(b; ξ) β, potem iščemo tak ξ, da bo E(ξ) = 0. Uporabimo lahko katerokoli metodo za reševanje nelinearne enačbe. Če želimo uporabiti tangentno metodo, potem potrebujemo E (ξ) = y(b;ξ) ξ. Definiramo z := y ξ in z odvajanjem y = f(x, y, y ), y(a) = α, y (a) = ξ dobimo z = f y (x, y, y )z + f y (x, y, y )z, z(a) = 0, z (a) = 1. (3) Če rešujemo sistem (2) in (3), potem dobimo tudi vrednost odvoda funkcije E.
24 Prevedba na variacijski problem Reševanje robnega problema d dx ( p(x) dy ) + q(x)y = f(x), 0 x b, dx z robnima pogojema y(0) = 0 in y (b) + σy(b) = 0, kjer je p(x) δ > 0, q(x) 0 in σ > 0, je ekvivalentno iskanju funkcije y C 2 [0, b], ki zadošča robnima pogojema in minimizira funkcijo F (u) = b 0 ( ) p(x)u 2 (x) + q(x)u 2 (x) 2f(x)u(x) dx + p(b)σu 2 (b). Ideja Rayleigh-Ritzove metode je, da namesto y C 2 [0, b] iščemo približek oblike y(x) = n c i φ i (x), i=1 kjer so φ 1,..., φ n t.i. bazne funkcije.
25 Rayleigh-Ritzova metoda Iščemo minimum kjer je F (u) = b 0 ( ) p(x)u 2 (x) + q(x)u 2 (x) 2f(x)u(x) dx + p(b)σu 2 (b), u(x) = n c i φ i (x). i=1 Vsi parcialni odvodi po c i morajo biti enaki 0. Tako dobimo linearni sistem Ax = b za c 1,..., c n, kjer je a ij = b 0 ( ) p(x)φ i (x)φ j (x) + q(x)φ i(x)φ j (x) dx in b i = b 0 φ i (x) f(x) dx. Od izbire baznih funkcij je odvisno, ali bo sistem rešljiv in kako dober bo dobljen približek.
26 Metoda končnih elementov Metoda končnih elementov je Rayleigh-Ritzeva metoda, kjer za bazne funkcije izberemo t.i. piramidne funkcije φ i (x) = 0, 0 x x i 1, (x x i 1 )/h i 1, x i 1 < x x i, (x i+1 x)/h i, x i < x x i+1, 0, x i+1 < x b, kjer je 0 = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b in x i x i 1 = h i 1. φ n (x) je izjema, saj ima le levi neničelni del. Matrika A je sedaj tridiagonalna, saj sta φ i (x) in φ i (x) neničelna le na intervalu (x i 1, x i+1 ).
27 Elementi sistema Ax = b so: a ii = a i,i+1 = a i 1,i = b i = a nn = b n = xi 1 x i 1 h 2 i 1 xi + xi+1 x i xi x i 1 1 h 2 i 1 p(x)dx + xi+1 1 x i h 2 p(x)dx i xi+1 1 x i h 2 (x i+1 x) 2 q(x)dx, i = 1,..., n 1 i (x x i 1 ) 2 q(x)dx + 1 p(x)dx + h 2 i 1 x i 1 h 2 i 1 xi 1 x i 1 x n 1 x n 1 h 2 n 1 p(x)dx + xi+1 1 x i h 2 i h i 1 (x x i 1 )f(x)dx + p(x)dx + x n x n 1 1 h n 1 (x x n 1 )f(x)dx (x i+1 x)(x x i )q(x)dx, i = 1,..., n 1 xi+1 1 x i h 2 (x i+1 x)(x x i 1 )q(x)dx, i = 2,..., n i xi+1 x i 1 h i (x i+1 x)f(x)dx, i = 1,..., n 1 x n 1 x n 1 h 2 (x x n 1 ) 2 q(x)dx + p(b)σ n 1
8. Navadne diferencialne enačbe
8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραNekaj zgledov. J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21
Nekaj zgledov J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) 2011-2012 1 / 21 V robnih problemih rešitev diferencialne enačbe zadošča dodatnim pogojem, ki niso vsi predpisani v isti točki. Že osnovna zahteva, kot
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Poglavje 6 Navadne diferencialne enačbe 6.1 Uvod Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 je n-parametrična družina funkcij. Kadar želimo iz splošne rešitve
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραEnočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v
Enočlenske metode J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v skupino Runge-Kutta metod.
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότερα5.1 Predpogojevanje. K 1 Ax = K 1 b,
5.1 Predpogojevanje Konvergenca metod podprostorov za reševanje linearnega sistema Ax = b je v veliki meri odvisna od razporeditve lastnih vrednosti (in lastnih vektorjev) matrike A. Kadar je konvergenca
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode Bor Plestenjak soba 4.04 bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm asistent: Gašper Jaklič Režim 2 sklopa domačih nalog - 20% pisne ocene
Διαβάστε περισσότεραBor Plestenjak. Numerične metode. delovna verzija. verzija: 4. marec 2010
Bor Plestenjak Numerične metode delovna verzija verzija: 4. marec 200 Kazalo Uvod 7. Numerična matematika................................. 7.2 Plavajoča vejica...................................... 0.3
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode (matematika)
Bor Plestenjak Uvod v numerične metode (matematika) delovna verzija verzija: 5. oktober 202 Kazalo Uvod 5. Numerična matematika................................. 5.2 Plavajoča vejica......................................
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραProgrami v Matlabu za predmet numerične metode
Programi v Matlabu za predmet numerične metode 18. 04 2002 1 1 Reševanje nelinearnih enačb Napisali bomo program za reševanje nelinearnih enačb z uporabo posameznih metod. Rešujete nelinearne enačbe oblike
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραNumerična analiza. Bor Plestenjak. Fakulteta za matematiko in fiziko. Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04
Numerična analiza Bor Plestenjak Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04 govorilne ure: četrtek 11-12 oz. po dogovoru bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode 2011-2012 1 / 56 Jernej Kozak Jadranska 21, IV. nadstropje, št. 407. Iz dvigala, v desno, do konca hodnika in korak v smeri Krima.
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod Borut Jurčič - Zlobec Andrej Perne Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana 6 Kazalo Iterativno reševanje nelinearnih enačb 4 Navadna
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραDomača naloga 6: dušeno nihanje
Domača naloga 6: dušeno nihanje Vaje iz predmeta Numerične metode v fiziki Igor Grešovnik Kazalo: 1 Naloga 6a Nihanje... 1.1 Enačbe nihanja... 1. Numerično reševanje problema... 3 1..1 Reševanje sistema
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότερα11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραprimer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE
Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραJasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE. za finančno matematiko
Jasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE za finančno matematiko Ljubljana 211 naslov: DIFERENCIALNE ENAČBE ZA FINANČNO MATEMATIKO avtorske pravice: Jasna Prezelj izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Jasna
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραMetoda končnih elementov III
Metoa končnih elementov I Metoo končnih elementov (MKE uporabljamo pri praktičnem inženirskem in pri znanstvenoraziskovalnem elu najpogosteje. Spaa me variacijske metoe in jo je nekoliko težje razumeti
Διαβάστε περισσότεραUPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU
UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU 1. Hitrost in opravljena pot sonde pri padanju v zraku Za padanje v zraku je odgovorna sila teže. Poleg sile teže na padajoče telo deluje tudi sila vzgona, ki je enaka teži
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραOsnove numeričnega reševanja fizikalnih problemov
Osnove numeričnega reševanja fizikalnih problemov Kazalo Bojan Golli, Pedagoška fakulteta, Univerza v Ljubljani 1. Nekatere metode za reševanje navadnih diferencialnih enačb 2 1.1 Diskretizacija......................................
Διαβάστε περισσότεραRačunalniško vodeni procesi I
Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραIterativne numerične metode v linearni algebri
Bor Plestenja Iterativne numerične metode v linearni algebri sripta verzija: 2. januar 204 Kazalo Klasične iterativne metode za linearne sisteme 4. Uvod............................................ 4.2
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραVARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Seminar za Numerično analizo VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME Ljubljana, 004 Marjeta Krajnc . Uvod Subdivizija je postala v zadnjih letih zelo pomembno
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραIterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje. Simpleksna metoda.
Simpleksna metoda. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Kanonična oblika linearnega programa. min c T x p. p.
Διαβάστε περισσότερα