Note de curs "Mecanica teoretică"

Transcript

1 UNIVERSITATEA DE STAT B. P. HASDEU DIN AHUL FAULTATEA DE ENIE, INFRATIĂ ŞI ATEATIĂ ATEDRA DE INGINERIE ȘI ȘTIINȚE APLIATE Note de curs "ecaca teoretcă" Elaborat: lect. uv. Buea ara

2 uprs Itroducere...4 Scurt storc al mecac...4 odele...4 Smplfcăr ş abstracţ î mecacă...4 aptolul. Statca Noţu, cocepte ş legle fudametale ale mecac teoretce Forţe î mecacă Legle fudametale ale mecac teoretce Legea despre acţuea depedetă a forţelor. Paralelogramul de forţe Legăturle ş forţele de legătură Echlbrul soldulu rgd acţoat de forţe cocurete bectul ş problemele statc Reducerea sstemulu de forţe cocurete la o forţă reultată odţle de echlbru ale soldulu rgd acţoat de forţe cocurete Echlbrul soldulu rgd acţoat de forţe arbtrare ometul forţe î raport cu u puct ometul forţe î raport cu aa ometul cuplulu de forţe Reducerea uu sstem de forţe arbtrare. Torsor Aa cetrală a uu sstem de forţe. Teorema lu Vargo Forţe dstrbute Îcastrarea etrul de greutate Noţu geerale prvd cetrul de greutate etrele de greutate ale uor l, fgur ş corpur omogee...6 aptolul. ematca...7 Itroducere ematca puctulu Traectora puctulu. odul atural de defre a mşcăr puctulu Vectorul de poţe. odul vectoral de defre a mşcăr puctulu Vtea ş acceleraţa puctulu aur partculare ale mşcăr puctulu şcarea crculară ematca soldulu rgd Defrea mşcăr soldulu rgd Ughurle lu Euler Teorema de baă a cematc soldulu rgd Dstrbuţa vteelor Dstrbuţa acceleraţlor şcarea de traslaţe Rotaţa rgdulu î jurul ue ae Rotaţa uformă Rotaţa uform varată Turaţa, umărul de rotaţ şcarea plaă (pla-paralelă). Legle mşcăr Determarea traectorlor puctelor fgur plae Vteele puctelor rgdulu î mşcarea plaă etrul stataeu al vteelor Determarea vteelor puctelor fgur plae cu ajutorul cetrulu stataeu al vteelor...5

3 ..6. etodele de determare a poţe cetrulu stataeu al vteelor Acceleraţle puctelor rgdulu î mşcarea plaă şcarea soldulu rgd cu u puct f ematca mşcăr relatve a puctulu Geeraltăţ. Defţ Dervata absolută ş dervata relatvă a uu vector ompuerea vteelor ompuerea acceleraţlor auele aparţe acceleraţe orols...8 aptolul 3. Damca Damca puctulu materal lber bectul de studu al damc. Ecuaţle dfereţale ale mşcăr puctulu materal Reolvarea problemelor damc puctulu materal lber şcarea puctulu materal î câmpul omoge al forţe de greutate Damca mşcăr relatve a puctulu materal Ecuaţa fudametală a mşcăr relatve Echlbrul relatv. Greutatea puctulu materal şcărle relatve pe suprafaţa Pămâtulu Damca sstemelor de pucte materale Ecuaţle dfereţale ale mşcăr uu sstem de pucte materale Problema celor două corpur Ecuaţa dfereţală a mşcăr cetrulu maselor sstemulu de pucte materale Teorema mpulsulu sstemulu de pucte materale Impulsul sstemulu de pucte materale Teorema mpulsulu uu sstem de pucte materale Legea coservăr mpulsulu Damca uu corp de masă varablă Formula lu Ţolkovsk Teorema mpulsulu î caul medulu cotuu. Teorema lu Euler Teorema mometulu cetc al sstemulu de pucte materale ometul cetc al sstemulu de pucte materale faţă de u puct ş faţă de ae ometul cetc al rgdulu avâd o rotaţe î jurul ue ae fe Teorema mometulu cetc al sstemulu Legea coservăr mometulu cetc al sstemulu de pucte materale Teorema eerge cetce a sstemulu de pucte materale Eerga cetcă a uu sstem de pucte materale Teorema eerge cetce a sstemulu de pucte materale alcularea eerge cetce a uu sstem de pucte materale Eerga cetcă a uu rgd î mşcare de traslaţe Eerga cetcă a uu rgd î mşcare de rotaţe î jurul ue ae fe Eerga cetcă a uu rgd î mşcarea pla-paralelă Damca soldulu rgd ometele de erţe ale soldulu rgd. Tesorul de erţe etoda cetostatcă. Prcpul lu D'Alembert petru u puct sclaţle uu sstem cu u grad de lbertate sclaţle lbere sclaţle forţate...4 Bblografe...4 3

4 Itroducere. ecaca teoretcă este ştţa care studaă legle mşcăr mecace a corpurlor materale, adcă schmbarea poţe corpulu î tmp ş spaţu. ecaca teoretcă se împarte î tre părţ prcpale: - Statca, care studaă forţele ş codţle lor de echlbru; - ematca, care studaă mşcarea mecacă fără evdeţerea acţu forţelor; - Damca, care studaă legle mşcăr mecace. Scurt storc al mecac. Arstotel (384-3 î.e..), a stablt legea pârghe, legle damce ereuşte. Arhmede (87- î.e..), a stablt corect legea pârghe, a pus baele hdrostatc ş a determat cetrele de greutate ale uor fgur plae. Ncolaus operc ( ), a costatat că plaetele se mşcă î jurul aelor lor propr ş î jurul Soarelu. Iohaes Kepler (57-63), a stablt cele tre leg ale mşcăr plaetelor. Galleo Galle (564-64), a formulat prcpul relatvtăţ, prcpul erţe, teora cattatvă a mşcăr uu corp arucat sub u ugh faţă de la de orot. A stablt legle căder lbere a corpurlor, etc. Ghrsta Nuges (69-695), a determat forţa cetrfugă ş cetrpetă, a pus baa cocr, ect. Isaac Newto (643-77), a stablt legea de baă a damc, legea egaltăţ acţu ş reacţu, legea atracţe uversale, a trodus oţuea de masă, etc. Leohard Euler (77-783), fodatorul hdrodamc, teore avelor ş teore stabltăţ elastce a barelor, ect. P. S. Laplace (749-87), a trodus reacţule legăturlor. La evoluţa mecac au ma cotrbut ş cotrbue mulţ alţ savaţ celebr, fdcă mecaca este o ştţă cotuă. odele. Î mecacă se utleaă următoarele tpur de modele: - puctul materal repretă puctul geometrc, care posedă masă ş propretăţle uu corp; - la materală repretă la geometrcă, care posedă masă dstrbută pe lugme ş propretăţle ue bare sau a uu fr; - suprafaţa materală repretă o suprafaţă geometrcă, care posedă masă dstrbută pe are ş propretăţle ue plăc; - soldul rgd repretă corpul geometrc, care posedă masă dstrbută pe tot volumul ş propretăţle uu rgd. Spaţul repretă spaţul trdmesoal ft eucldc. Tmpul este cosderat absolut. asa repretă propretatea matere de a f ertă ş de crea u câmp gravtaţoal. Forţa este o mărme vectorală, ce repretă măsura teracţu dtre corpur. Smplfcăr ş abstracţ î mecacă. Puctul geometrc, care posedă masă, se umeşte puct materal. Dacă d teracţuea cu alte corpur puctul este eclus, puctul se umeşte puct materal olat. Sstemul format dtr-u aumt umăr de pucte materale, care acţoeaă recproc, se umeşte sstem mecac. Volumul ft, ce coţe î mod cotuu matera, se umeşte cotuul materal. 4

5 Dacă u sstem mecac u este deformabl ş dstaţele recproce ale puctelor materale ce îl formeaă, u varaă, depedet de caua ce ar tde să modfce aceste dstaţe, se umeşte sstem mecac rgd. ulţmea compactă de pucte materale îtr-u volum ft sau cotuul materal edeformabl se umeşte soldul rgd. Sstemul de pucte rgd, î raport cu care se efectuaă o mşcare, se umeşte sstem de referţă sau reper. aptolul. Statca.. Noţu, cocepte ş leg fudametale ale mecac teoretce.... Forţe î mecacă. ăsura acţu mecace a uu corp materal asupra altu corp se umeşte forţă. Forţa este o mărme vectorală determată de valoarea umercă, puctul de aplcaţe, drecţa ş sesul acţu. Utatea de măsură a forţe î Sstemul Iteraţoal (SI) este ewtoul (N), ar î sstemul tehc de utăţ (SS) u klogram-forţă (Kgf). Kgf 9,8 N; N, kgf Dreapta dusă d puctul de aplcaţe de-a lugul cărea este oretată forţa se umeşte suport sau le de acţue a forţe. Dacă asupra uu corp sold oarecare acţoeaă ma multe forţe smulta, atuc aceste forţe formeaă u sstem de forţe. Dacă ma multe ssteme de forţe dferte î redau rgdulu aceeaş mşcare, atuc aceste ssteme de forţe se umesc echvalete, ar forţa echvaletă a sstemulu se umeşte forţă reultată. Dacă asupra uu corp aflat î stare de echlbru, acţoeaă u sstem de forţe ş acesta îş păstreaă starea, atuc sstemul de forţe se umeşte echlbrat sau echvalet cu ero. D puct de vedere vectoral, forţa poate f repreetată pr vector aluecător sau vector legaţ î depedeţă de ca ş u poate f repreetată ccâd pr vector lber. Dacă asupra uu corp materal acţoeaă u sstem format d două forţe cu aceeaş drecţe, modul, dar sesur opuse, atuc obţem: F F F F ; Estă tre caur dferte de acţue a forţelor F ş F asupra uu rgd (fg..): - forţele u puct comu de aplcaţe astfel, îcât forţele se echlbreaă, ar rgdul rămâe î repaus; - forţele au suport comu, dar pucte dferte de aplcaţe astfel, îcât rgdul se deformeaă, părţle lu avâd o aumtă mşcare; - forţele au suportur paralele astfel, îcât rgdul se roteşte pâă câd ocupă poţa d caul do. Fg.. 5

6 Î caul câd forţele sut aplcate uu corp deformabl, atuc efectul mecac al forţelor depde poţa puctelor de aplcaţe, ar forţa este preetată uma prtr-u vector legat de puctul de aplcaţe. Î caul câd forţele sut aplcate uu corp rgd, fd egale ş drect opuse î dferte pucte ale rgdulu de pe suport comu, atuc forţa este preetată prtr-u vector aluecător. Dacă asupra uu rgd acţoeaă forţe d partea altor corpur, atuc aceste forţe se umesc eteroare, ar dacă asupra uu rgd acţoeaă forţe d partea altor pucte ale aceluaş rgd, atuc aceste forţe se umesc teroare.... Legle fudametale ale mecac teoretce. a) Legea îtâ (prcpul erţe). rce puct materal olat se află î stare de repaus or de mşcare rectle uformă, pâă câd asupra lu u vor acţoa alte forţe. b) Legea a doua (prcpul acţu). Raportul dtr greutatea corpulu P ş acceleraţa î cădere lberă î orce puct pe suprafaţa Pămâtulu g este o mărme costată petru corpul cosderat: P m, (.) g ude, mărmea m este masa grea sau masa gravfcă. Dacă asupra uu corp acţoeaă forţa de greutate P cu acceleraţa g ş forţa F cu acceleraţa a, atuc avem: P F, g a (.) P F a, g (.3) F ma. (.4) ude, mărmea m este masă ertă. S-a determat că masa gravfcă cocde cu masa ertă a corpulu. a mărme vectorală, se utleaă produsul dtre masă ş vtea puctulu materal, umt cattate de mşcare a puctulu sau mpuls ( q ). q mv. (.5) Newto a formulat legea a doua î felul următor: Dervata mpulsulu puctulu materal î raport cu tmpul este proporţoală cu forţa mprmată ş cocde cu ea î drecţe ş ses. d ( mv ) F, (.6) dt dv m F, (.7) dt ma F. (.8) Forţa mprmată este egală cu produsul dtre masa ş acceleraţa puctulu materal. c) Legea a trea (prcpul egaltăţ acţu ş reacţu). âd două corpur materale teracţoeaă, acţuea ş reacţuea sut egale ş drect opuse. 6

7 Fe două pucte ş astfel, îcât puctul acţoeaă asupra puctulu cu forţa F, ar puctul acţoeaă asupra puctulu cu forţa F (fg..), obţem; Fg.. F F. Acest prcpu se referă ş la corpurle materale stuate la dstaţă uul faţă de altul. Dacă forţele de acţue ş reacţue sut aplcate î puctele sau suprafeţele de cotact î caul a două corpur, care acţoeaă recproc pr cotact emjloct, se umesc forţe de suprafaţă. Î caul a două corpur, care se află la dstaţă, forţele de acţue recprocă se umesc forţe de volum sau de masă. âd două corpur teracţoeaă, raportul maselor lor este vers proporţoal cu modulele acceleraţlor respectve: m a. m..3. Legea despre acţuea depedetă a forţelor. Paralelogramul de forţe. Legea despre acţuea depedetă a forţelor se formuleaă: Îtr-u sstem de pucte materale, fecare d forţe aplcată uu puct materal u depde de acţuea altor forţe ale sstemulu. Reultă că, dacă asupra uu puct materal acţoeaă smulta u sstem de forţe, atuc fecare forţă î parte mpue puctulu materal o aumtă acceleraţe. Acceleraţa reultată se determă pr îsumarea vectorală a acceleraţlor comucate de fecare forţă aparte. Astfel, se poate formula aoma paralelogramulu: Două forţe aplcate îtr-u puct al corpulu au reultata aplcată î acelaş puct ş egală cu dagoala paralelogramulu, costrut pe aceste forţe, ca pe latur (fg..3). a F F R. (.) Fg..3 odulul reultate se poate determa pr egaltatea: R F F F cos, (.) F ude, α este ughul dtre forţele F ş F...4. Legăturle ş forţele de legătură. Dacă mşcarea uu rgd este lmtată de alte corpur, atuc acest rgd este supus la legătur, ar forţele de acţue ale legăturlor asupra rgdulu se umesc forţe de legătur sau reacţu. Aoma elberăr de legatur se defeţte astfel: dacă acţuea legăturlor se îlocueşte cu forţe de legătură, atuc soldul supus legătur magar poate f cosderat corp lber. Estă două tpur de forţe: forţe pasve, care u pot mpue mşcare soldulu, ş forţe actve, care td să deplasee rgdul. Tpurle de legătur cel ma des îtâlte sut:. Reaemul smplu oblgă u puct materal sau u puct al soldulu rgd să se găsească pe o suprafaţă, acesta avâd u grad de lbertate. 7

8 . Artculaţa sfercă feaă u puct al rgdulu, permţâdu- să se rotească orcum î jurul acestu puct, avâd tre grade de lbertate. Dacă repreetăm reacţuea R pr compoetele e pe aele tredrulu trdreptughc, se determă: R RX RY RZ, R X R Y RZ cos R, ;cosr, j ;cosr, k. R R R 3. Artculaţa cldrcă permte rgdulu să se rotească î jurul ae cldrulu. Forţa de legătură R se determă cu ajutorul celor două compoete R X ş R Y : R R X R Y R X RY cos R, ;cosr, j. R R ; 4. Legătura de tjă (bară rgdă subţre de greutate egljablă, artculată î ş ). Acest tp de legătură î suprmă puctulu al rgdulu u grad de lbertate ş îl oblgă să se afle la dstaţa varablă faţă de puctul f, astfel reacţuea are drecţa ş sesul e depde de sstemul de forţe actve. 5. Legătura fleblă (fre ş laţur perfect etesble). Î acest ca, reacţule sut oretate de-a lugul legătur î drecţa de la corp spre legătură... Echlbrul soldulu rgd acţoat de forţe cocurete... bectele ş problemele statc. Statca studaă codţle de echlbru ale puctulu materal, soldulu rgd sau ale uu sstem mecac.ua d sarcle mportate ale statc este studul operaţlor de trasformăr echvalete ale sstemelor de forţe cu scopul reducer lor la o formă cât ma smplă. Reolvarea problemelor depd arajarea sstemulu de forţe î spaţu. Estă următoarele tpur de ssteme de forţe:. sstem de forţe cocurete;. sstem de forţe arbtrare; 3. sstem pla de forţe; 4. sstem de forţe paralele. rce sstem de forţe coţe atât forţe pasve, cât ş forţe actve de legătură. Astfel, se pot reolva următoarele tpur de probleme:. Să se determe forţele ecuoscute, acţoate de ssteme de forţe actve ş de legătură, dacă se cuoaşte poţa de achlbru a uu puct materal sau rgd;. Să se determe parametr poţlor de echlbru, dacă se cuosc toate forţele actve care acţoeaă asuprapuctulu materal sau soldulu rgd; 3. Să se determe forţele ş caracterstcle ecuoscute, dacă se cuosc uele caracterstc ale poţe de echlbru a puctulu materal sau a soldulu rgd ş uele forţe mprmate.... Reducerea sstemulu de forţe cocurete la o forţă reulatată. Dacă lle de acţue ale tuturor forţelor dtr-u sstem se tersecteă îtr-u puct, atuc aceste forţe se umesc cocurete. 8

9 Fg..4 Fe dat u sstem de forţe cocurete F, F, F3,..., F aplcat uu sold rgd ş suporturle tuturor forţelor d sstem se tersecteaă îtr-u puct (fg..4 a), ar forţele fd repreetate pr vector aluecător, acestea pot f deplasate de-a lugul suporturlor sale pâă î puctul de tersecţe (fg..4 b). Petru a echvala sstemul de forţe dat cu reultata lu, se aplcă aoma paralelogramulu astfel, îcât î sstemul de forţe prmele două forţe se reduc la o reultată, care, apo se reduce cu forţa a trea ş se îlocueşte cu o reultată ouă ş.a.m.d. pâă câd rămâ doar două forţe ş se reduc pr îlocurea acestora cu reulata fală. R F. (.) Petru reducerea uu sstem de forţe cocurete la o reultată este ma smplu de utlat costrurea polgoulu de forţe, ca î fg..5. Petru determarea reultate se proecteaă forţele pe aele sstemulu de coordoate trdmesoal ş reultă: Fg..5 cos R F, R F, R F, (.3) R R R R, (.4) R R R R R,,cosR, j,cosr, k. R R (.5)..3. odţle de echlbru ale soldulu rgd acţoat de forţe cocurete. Dacă î polgoul de forţe al uu sstem echlbrat, etremtatea ultme forţe cocde cu orgea prme forţe, atuc se spue că polgoul forţelor este îchs. Astfel, î acest ca, avem: 9

10 R, F. (.6) Fg..6 Dacă sumele proecţlor tuturor forţelor pe aele sstemulu de coordoate trdmesoal sut echvalete cu ero, atuc puctul materal sau soldul rgd acţoat de u sstem de forţe cocurete se află î echlbru. Fe dat u sstem de tre forţe cocurete F, F, F aplcate uu sold rgd astfel, îcât suporturle forţelor F ş F se tersecteaă î puctul A (fg..6). Fdcă forţele sut vector aluecător, atuc forţele F ş F pot f aduse cu orgea î puctul de tersecţe al suporturlor lor, ş coform aome paralelogramulu, acestea se îlocuesc cu reultata R. Datortă faptulu, că forţa F 3 este vector aluecător, de asemeea, trece pr puctul A ş reultă că se află î acelaş pla cu forţele F ş F, ceea ce îseamă că forţele R ş F 3 se află î echlbru. F, F, F. (.7) Dacă sstemul de forţe cocurete se află îtr-u pla al sstemulu de coordoate, atuc obţem: F, F. (.8).3. Echlbrul soldulu rgd acţoat de forţe arbtrare..3. ometul forţe î raport cu u puct. Dacă forţele uu sstem aplcate î dferte pucte ale rgdulu au suporturle orcum arajate î spaţu, atuc aceste forţe formeaă u sstem de forţe arbtrare. Produsul vectoral dtre vectorul de poţe r, dus d puctul î puctul de aplcaţe al forţe, ş vectorul forţe F este mometul forţe F î raport cu u puct. F r F (.9) Poţa suportulu î raport cu puctul se determă cu ajutorul plaulu, care trece pr puctul ş suport, drecţe suportulu, perpedculare h dusă de la la suport, umtă braţ. ometul este u vector cu orgea î ş perpedcular pe plaul determat de puctul ş de suportul forţe astfel, îcât prvd d vârful lu, să se vadă forţa î ses atorar (fg..7). odulul mometulu F este: F r F rfs hf (.).

11 Dacă vectorul forţe F ş vectorul de poţe r vor f proectaţ pe aele sstemulu de referţă cu orgea î puctul, atuc mometul se calculeaă cu ajutorul uu determat: j k F (.) F F F reultă Astfel, cos (.) F F F F F j F F k. F F F ; F F ; F. F ;, ;cos, j ;cos, k. (.3) (.4) (.5).3.. ometul forţe î raport cu aa. Produsul dtre modulul proecţe forţe ş braţul e, luat cu semul corespuător se umeşte mometul forţe î raport cu o aă. F F h ude, h * este braţul forţe F faţă de puctul (fg..8)., (.6) Fg..8 Dacă corpul se roteşte sub acţuea forţe F î jurul ae î ses atorar, atuc mometul forţe va avea sem potv, ar dacă î ses orar, atuc va avea sem egatv. alculul mometulu forţe î raport cu aa are următoarele regul: ) Să se aleagă pe această aă u puct oarecare ş să se costruască plaul perpedcular pe aă; ) Să se proectee forţa pe acest pla; 3) Să se determe braţul proecţe forţe h *. ometul forţe î raport cu o aă este egal cu ero î următoarele caur: ) câd forţa ş aa sut paralele; ) câd la de acţue a forţe tersecteaă aa. Reultă că mometul forţe î raport cu o aă este egal cu ero, câd la de acţue a forțe se află î acelaş pla cu aa ometul cuplulu de forţe. Dacă două forţe ale uu sstem au suportur paralele, acelaş modul, dar sesur opuse, atuc acest sstem se umeşte cuplu de forţe. Fe u puct arbtrar al spaţulu ş forţele care formeaă cuplul F ş F d fg..9. F A F, F B F,

12 F F A F B F, Deoarece F F, reultă: F F A F B F A B F Fg..9 Deoarece A B BA, reultă: F F BA F. (.7) Dec, suma mometelor forţelor, care alcătuesc cuplul, u depde de poţa puctulu î raport cu care se calculeaă mometele. Produsul vectoral BA F se umeşte momet al F, F, astfel: cuplulu ş-l vom ota cu smbolul F F BA F AB F,. (.8) ometul cuplulu este u vector perpedcular pe plaul cuplulu ş are modulul egal cu modulul ue forţe d cuplu ş braţul cuplulu, cu ses atorar. Dacă otăm cu h braţul cuplulu, obţem F, F h. (.9) altă forţă F.3.4. Reducerea uu sstem de forţe arbtrare. Torsor. Fe u sstem de forţe arbtrare F F,..., F,, î care fecăre forţe F î este echvaletă o F egală cu ea, avâd orgea îtr-u cetru arbtrar ş cu mometul cuplulu de forţe egal cu mometul forţe F. Astfel, se obţe u sstem de forţe cocurete F F, F, F,,...,,..., de momete:, cu orgea î puctul, ş u sstem de cuplur de forţe F A F,,...,. (.3) Acest sstem se reduce la u sstem compus dtr-u vector reultat F ş u momet de cuplu reultat, astfel: F F F, (.3) F A F. (.3) Fg..

13 Dacă u sstem este compus dtr-o forţă cetrul, avâd codţa ca ughul dtre F ş torsor. Dacă vectorul reultat F ş mometul reultat mmal, ar acţuea lu se determă după regula burghulu. Estă următoarele caur:. F,, sstemul se reduce la u torsor vertabl;. F,, reultata trece pr cetrul de reducere ; 3. F,, sstemul se reduce la u cuplu de forţe; 4. F,, sstem echvalet cu ero. F ş u cuplu de forţe de momet, faţă de să u fe drept, atuc sstemul se umeşte, atuc sstemul se umeşte torsor.3.5. Aa cetrală a uu sstem de forţe. Teorema lu Vargo. Dreapta ce trece pr locul geometrc al cetrelor de reducere, ar torsorul sstemulu de forţe arbtrare este mmal, se umeşte aa cetrală a sstemulu. Fe, că ughul dtre F ş u este drept. Se va descompue mometul î două compoete (fg..):, (.33) cos, s. (.34) Fg.. Estă cetrul de reducere *, ude, ar *, î acest cetru avem u torsor mmal. Poţa cetrulu de reducere * se determă cu vectorul de poţe r ş reultă: * * r F, (.35) r F, (.36) r F, (.37) r r F, (.38) ude, este u parametru scalar. Teorema lu Vargo: Suma mometelor tuturor forţelor sstemulu î raport cu acelaş puct repretă mometul forţe reultate a uu sstem de forţe î raport cu u puct. 3

14 Dacă ughul α este drept, atuc mometul reultat se reduce la o reultată R, astfel se obţe: R F se auleaă ş sstemul de forţe. (.39).3.6. Forţe dstrbute. Forţele, care acţoeaă pe o utate de lugme, are sau volum, se umesc forţe dstrbute ş se caractereaă pr testatea q. q L F lm L, q L F S S lm, qv lm. S V F (.4) V Utățle de măsură ale testăţ sut N/m, N/m ş N/m 3. Forța reultată Q a sstemulu de forţe dstrbute se determă: Q Q Q ql q qs q qv q L ql, (.4) S qs, (.4) V qv. (.43).3.7. Îcastrarea. Legătura, care dă rgdulu toate gradele de lbertate, se umeşte îcastrare (fg..). Astfel, î sstem estă şase ecuoscute scalare: R, R, R, care sut proecţle reacţu R pe ae ş,,, proecţle mometulu de reacţue, R R R R, (.44). (.45) Fg...4. etrul de greutate..4. Noţu geerale prvd cetrul de greutate. etrul sstemulu de forţe de greutate se umeşte cetru de greutate. 4

15 5 Fe u sstem mecac varabl cu masa m ş forţa P de pucte materale cu masele m, m,..., m ş forţe de greutate P, P,..., P, astfel P = m g ( =,,..., ), ar P = mg. Poţa cetrulu de greutate se determă cu ajutorul vectorulu de poţe r ş cu coordoatele, ş pr relaţle: r m m Pr P r, (.46) m m, m m, m m. (.47) Rgdul poate f placă subţre curbă sau plaă. etrul de greutate al plăc subţr curbe omogee se determă: S ds S, S ds S, S ds S. (.48) etrul de greutate al plăc plae se determă: dd S, dd S. (.49) etrul de greutate se poate determa pr două metode:.etoda grupăr. etrele de greutate ale corpulu omoge cosderat u sstem d ma multe forme geometrce, se determă: V V, V V, V V, (.5) S S, S S, S S, (.5) L L, L L, L L. (.5).Propretatea de smetre. etrul de greutate se găseţte î pla, pe aă sau î cetrul de smetre, dacă corpul admte u pla, o aă sau u cetru de smetre. Fe că cetrul de greutate se află î plaul de smetre ş fecăre partcule de volum V cu coordoatele, ş î corespude smetrc o altă partculă j de volum V j cu coordoatele, ş, avem: V V, V V, V V. (.53) Fg..3

16 Fe că cetrul de greutate se află pe aa de smetre ş fecăre partcule de volum V cu coordoatele, ş î corespude smetrc o altă partculă j de volum V j cu coordoatele -, - ş, avem: V, V, V. (.54) V V V Fe că cetrul de greutate cocde cu orgea de coordoate ş fecăre partcule de volum V cu coordoatele, ş î corespude smetrc o altă partculă j de volum V j cu coordoatele -, - ş -, avem: V, V, V. (.55) V V V.4.. etrele de greutate ale uor l, fgur ş corpur omogee.. etrul de greutate al uu arc de crcumferţă. etrul de greutate al uu arc de crcumferţă AB de raă R se determă: s R. (.56). etrul de greutate al are trughulu se găseşte î puctul de tersecţe al medaelor. 3. etrul de greutate al are sectorulu de cerc. etrul de greutate al are sectorulu de cerc AB de raă R se determă: Rs. (.57) 3 4. etrul de greutate al ue calote sferce se determă: R H, (.58) ude, R raa sfere ş H îălţmea calote. 5.etrul de greutate al volumulu pramde ş coulu se determă: 3 S 4 SN, (.59) ude, SN segmet ce repretă dstaţa dtre vârful pramde sau al coulu ş cetrul bae. 6.etrul de greutate al volumulu sectorulu sferc se determă: h r, (.6) 3 ude, R raa sfere, r R - raa calote de sferă, H îălţmea calote sferce de raă R, 4 3 h H - îălţmea calote de sferă de raă r. 4 6

17 aptolul. ematca Itroducere. ematca studaă mşcarea mecacă, ceea ce îseamă schmbarea poţe uu corp faţă de alt corp î tmp ş u se ocupă de cauele, care produc mşcarea. Î cematcă corpul este cosderat corp geometrc cotuu ş fără masă, ce coţe u umăr ft de pucte. Noţule de baă ale cematc sut spaţul ş tmpul, ude spaţul este cosderat euclda, adcă trdmesoal, cotuu, otrop, ft ş omoge, ar tmpul absolut, ce u depde de mşcarea sstemulu de referţă. Î calcule aceste oţu de baă sut cosderate elmtate. Sstemul de pucte rgd, î raport cu care se studaă mşcarea rgdulu, se umeşte sstem de referţă sau reper, care pot f ssteme fe sau moble. Î cematcă puctul geometrc î mşcare se va um mobl... ematca puctulu.... Traectora puctulu. odul atural de defre a mşcăr puctulu. Locul geometrc al poţlor succesve ale uu puct î mşcarea sa î spaţu se umeşte traectora puctulu. Traectora poate f repreetată prtr-o le cotuă ş care depde de sstemul de referţă, î raport cu care se efectuaă mşcarea puctulu (fg..). Fg.. Fe puctul care se deplaseaă î tmp îtr-u sstem de referţă. Traectora puctulu se poate determa pr stablrea poţe moblulu î fecare momet de tmp. Dacă otăm cu s coordoata puctulu, care poate avea valor potve sau egatve ş petru determarea sesulu mşcăr, este ecesar să alegem pe traectore u puct de referţă, faţă de care se va aala mşcarea moblulu. Atuc î depedeţă de tmp vom avea: s = s(t), (.) care repretă legea mşcăr puctulu pe traectore sau ecuaţa orară a mşcăr, ar modul de defre al mşcăr se umeşte atural sau trsec. 7

18 ... Vectorul de poţe. odul vectoral de defre a mşcăr puctulu. Vectorul de poţe repretă vectorul dus d puctul de orge al sstemulu de referţă spre poţa moblulu la orce momet. Astfel, poţa puctulu î spaţu se determă cu ajutorul vectorulu de poţe r : r rt, (.) care repretă legea mşcăr puctulu î formă vectorală, ar modul de defre al mşcăr puctulu se umeşte vectoral. odurle de defre, atural ş vectoral, ale mşcăr puctulu î spaţu sut depedete ître ele. Dec, dacă se cuosc s(t) ş t r, obţem rs r. Dacă descompuem vectorul r î tre compoete cu drecţle aelor de coordoate, avem: r t t j t, (.3) k ude,, j, k - versor aelor de coordoate, ş. Deoarece vectorul r este o fucţe de tmpul t, reultă: Defereţala coordoate aturale s va f: = (t); = (t); (.4) = (t). ds d dt d dt d dt d d ( d) dt dt dt dt, (.5) ude, puctul deasupra fucţlor,, îseamă prma dervată a fucţlor respectve î raport cu tmpul, ar semul datea rădăc repretă sesul mşcăr puctulu. Legea mşcăr se determă pr tegrare î lmtele t = ş tmpul curet t: s t t..3. Vtea ş acceleraţa puctulu. dt. (.6) Dervata îtâ a vectorulu de poţe î raport cu tmpul repretă vtea puctulu. dr r v. (.7) dt Fg.. ărmea ce caractereaă rapdtatea vtee puctulu se umeşte acceleraţa puctulu. Acceleraţa repretă prma dervată a varaţe vtee v puctulu î tervalul de tmp t, dec: 8

19 a v. (.8)..4. aur partculare ale mşcăr puctulu. Estă patru caur partculare ale mşcăr puctulu î depedeţă de acceleraţa tageţală ş acceleraţa ormală.. a, a, puctul realeaă o mşcare rectle ş uformă, adcă acceleraţa este egală cu ero, ar vtea este costată.. a, a, puctul realeaă o mşcare euformă ş rectle pe o traectore curble cu raa de curbură v / a ft de mare. 3. a, a, puctul realeaă o mşcare cu vteă costată î modul pe o traectore curble cu raa ftă. 4. a, a, puctul realeaă o mşcare euformă pe o traectore curble...5. şcarea crculară. Traectora puctulu î mşcarea crculară repretă o crcumferţă. Î coordoate cldrce vtea se determă pr: v e sau k e v, (.9) ude, - vtea ughulară de rotaţe a vectorulu de poţe. Dacă v se poate scre relaţa: Fg..3.. (.) Dacă sstemul de coordoate se va rot î jurul ae, vom obţe:, (.) j j k j, (.) ude, - proecţa vectorulu pe aa. Î mod aalog se pot determa: j, k, jk. (.3).. ematca soldulu rgd.... Defrea mşcăr soldulu rgd. Petru studerea mşcăr puctulu legat de sstemul de referţă A se determă poţa uu puct oarecare î orce momet de tmp î raport cu sstemul de referţă f. ude, r A - vectorul de poţe al puctulu A: r r A, (.4) r, (.5) A A A j Ak 9

20 ude,, j, k - versor costaţ al sstemulu de referţă f. Atuc pot f determaţ versor sstemulu de referţă mobl: a, j b a j a3k b j b3 k k c. c j c3 k ude, a, a,...,c 3 cosusur drectoare. odţle, j, k, j, jk, k dau şase ecuaţ: a a a, 3 b b b3, c c3 b ab a3b3 c bc b3c 3 a ca c3a3 c, (.7) a, b, c. ele tre coordoate ale puctulu A î sstemul de referţă f ş cele tre cosusur drectoare determă poţa rgdulu ş î dă şase grade de lbertate.... Ughurle lu Euler. Fe dat u puct A, î care îş au orgea două ssteme de coordoate A ş A. la de tersecţe AN a plaelor A ş A se umeşte la odurlor. Ughul dtre aa A ş AN se umeşte precese, ughul dtre aa A ş AN se umeşte rotaţe propre ş ughul este ughul cu care trebue rottă aa A î jurul le odurlor (fg..5). oordoatele orcăru puct se pot determa cu ajutorul celor şase coordoate,,,,, 3 ş ecuaţle varabltăţ dstaţelor, care sut: d. (.8) j j j j Fg..5

21 ître ele...3. Teorema de baă a cematc soldulu rgd. Proecţle vteelor a două pucte ale uu rgd î mşcare, stuate pe o aă sut egale v v. (.9) B A Fe u rgd î mşcare faţă de u sstem de referţă f ş se duce d puctul A vectorul de modul costat către puctul B, atuc avem: r r, (.) B A Fg..6 ar pr dervare se obţe: d vb va, (.) dt ude, r, r, v, v - vector de poţe ş vteele puctelor A A B A B ş B. Dacă dervăm, care este costat, reultă ecuaţa teoreme de baă a cematc rgdulu...4. Dstrbuţa vteelor. Poţa uu puct arbtrar (fg..4) se determă cu ajutorul vectorulu de poţe: Dacă se derveaă această relaţe î raport cu tmpul, reultă: v v r ra j k. (.) A j k v u, (.3) ude, va - vtea puctulu A faţă de sstemul de referţă f. Vectorul u se determă cu ajutorul proecţlor lu pe aele sstemulu de referţă A: u u u u j k, A u j j j j k j, (.4) uk k jk kk. Dacă dervăm codţle, j, k, j, jk, k î raport cu tmpul, reultă: j k, u u u j jk, (.5) k jk. Se şte că u, ude - vtea ughulară a rgdulu, ş se obţe formula petru dstrbuţa vteelor uu rgd: v v A. (.6)

22 ..5. Dstrbuţa acceleraţlor. Dacă dervăm ecuaţa petru dstrbuţa vteelor se obţe ecuaţa petru dstrbuţa acceleraţlor: a a A, (.7) ude, aa - acceleraţa puctulu A ş - acceleraţa ughulară...6. şcarea de traslaţe. rce dreaptă dusă î tmpul mşcăr uu rgd rămâe paralelă cu ea îsăţ, se umeşte mşcare de traslaţe a rgdulu. Pe parcursul mşcăr de traslaţe, versor, j, k a sstemulu de referţă sut costaţ, adcă vtea ughulară este egală cu ero, dec reultă că ş acceleraţa ughulară este ulă, astfel: v v, a, (.8) deoarece,, atuc: A a A r, (.9) B r A de ude reultă: B A c, B A c, B A c3, ude c, c, c 3 costatele proecţlor vectorulu pe aele de coordoate...7. Rotaţa rgdulu î jurul ae fe. Dacă la mşcarea uu rgd, toate puctele stuate pe o aă rămâ fate pe ea, atuc rgdul eecută o mşcare de rotăţe î jurul ae fe. Astfel, poţa rgdulu, care eecută o mşcare de rotaţe î jurul ue ae fe, este determată de ughul, format de plaul al sstemulu de referţă mobl ş plaul al sstemulu de referţă f, care au orge comuă î puctul. Î acest ca rgdul are doar u grad de lbertate. t, (.3) care repretă legea mşcăr de rotaţe a rgdulu. Vtea de rotaţe se poate determa: k, (.3) ude, are drecţa ae de rotaţe, ar sesul lu fd depedet de semul dervate, adcă, dacă are ses atorar, are ses potv ş vers. Acceleraţa de rotaţe se determă cu relaţa: k. (.3) Dacă >, se realeaă o rotaţe accelerată, ar dacă <, se realeaă o rotaţe îtârată...8. Rotaţa uformă. Dacă vtea ughulară este costată, atuc rotaţa este uformă. t t, (.33)

23 care repretă legea rotaţe uforme a rgdulu. Fdcă ş t t t, se poate scre valoarea absolută a vtee ughulare:. (.34) t..9. Rotaţa uformă varată. Dacă acceleraţa ughulară este costată, atuc se produce o rotaţe uform varată. t t t t, (.35) care repretă legea rotaţe uform varate. Proecţa acceleraţe ughulare pe aa se poate determa pr relaţa:... Turaţa, umărul de rotaţ.. (.36) t t t Rapdtatea rotaţe repretă turaţa sau frecveţa de rotaţe (rot/m sau rot/s). Deoarece o rotaţe completă corespude ughulu, avem:. (.37) Numărul de rotaţ se oteaă cu N ş depde de ughul de rotaţe : N. (.38)... şcarea pla paralelă. Legea mşcăr. Dacă puctele uu rgd, pe tot parcursul mşcăr lu, sut coţute î plae paralele cu u pla f oarecare, atuc mşcarea rgdulu se umeşte mşcare pla paralelă. Î acest ca rgdul are tre grade de lbertate, adcă poţa rgdulu se determă cu ajutorul a tre parametr depedeţ: A A At At t. ; ; (.39) care repretă ecuaţle mşcăr pla paralelă a uu rgd (legea mşcăr). Dacă se cuosc aceste ecuaţ, se poate determa traectora, vtea ş acceleraţa puctulu.... Determarea traectorlor puctelor fgur plae. Traectora uu puct ales arbtrar al ue fgur plae se poate determa cu ajutorul coordoatelor sstemulu. Dacă d relaţle ş se elmă se obţe traectora puctulu î coordoate carteee. Î acest ca al mşcăr plae rgdul are u grad de lbertate. 3

24 ..3. Vteele puctelor rgdulu î mşcarea plaă. Fe dat u puct arbtrar al fgur plae (fg..7), al căru vteă este: v v v, (.4) A A ude, va - vtea uu puct oarecare A al fgur, v A k - vtea puctulu al fgur plae, care se roteşte î jurul puctulu A. Fg..7 D fgura, reultă A ş modulul vtee v A A. Dacă se cuoaşte vtea va uu puct oarecare A al fgur plae ş vtea ughulară, se poate determa vtea orcăru puct al fgur date...4. etrul stataeu al vteelor. Dacă vtea uu puct al fgur plae este ulă, atuc acest puct se umeşte cetru stataeu al vteelor. Fg..8 Fe date două pucte ale fgur plae, A ş P. Vtea puctulu A v A este dfertă de ero ş vtea puctulu P se va determa: vp va vpa. (.4) Vteele v A ş v PA sut perpedculare pe segmetul AP ş paralele ître ele, dar au sesur opuse, atuc reultă v AP v î modul. PA Dacă do vector au mărm egale, dar sesur opuse, atuc îsumaţ dau reultat ul: v P va vpa. Dec, reultă că, vtea puctulu P fd egală cu ero, puctul P este cetrul stataeu al vteelor. A..5. Determarea vteelor puctelor fgur plae cu ajutorul cetrulu stataeu al vteelor. Dacă poţa cetrulu stataeu ş proecţa vtee ughulare se cuoaşte, este posbl să se determe vtea uu puct oarecare al fgur. Astfel, se ueşte cetrul stataeu cu puctul, pr care trece ş perpedculara P ca suport al vectorulu v, a căru ses depde de semul proecţe vtee ughulare Z astfel, îcât, dacă Z >, fgura se roteşte î jurul puctulu P î ses atorar, ar dacă <, rotaţa are ses orar. Vteele puctelor sut drect proporţoale cu dstaţele pâă la cetrul stataeu al vteelor, putâdu-se determa grafc vteele puctelor de pe segmetul AN...6. etodele de determare a poţe cetrulu stataeu al vteelor. a. etrul stataeu al vteelor al uu corp mobl repretă puctul de cotact dtre două corpur, atuc câd u corp se rostogoleşte fără aluecare pe suprafaţa altu corp f. 4

25 b. Poţa cetrulu stataeu al vteelor se determă, dacă se cuosc vtea uu puct oarecare al fgur ş proecţa vtee ughulare. c. etrul stataeu al vteelor este determat de puctul de tersecţe dtre perpedcularele a două pucte oarecare ale fgur plae, care au drecţ eparalele ş sut cuoscute. d. etrul stataeu al vteelor este determat de puctul de tersecţe dtre dreapta dusă pr puctele fgur plae ş dreapta dusă pr etremtăţle vectorlor al vteelor puctelor respectve, a căror modul, drecţe ş ses sut cuoscute. e. Poţa cetrulu stataeu al vteelor va f determat de puctul de tersecţe, stuat la ft, dtre dreapta ce trece pr puctele respectve ş dreapta ce trece pr etremtăţle vectorlor al vteelor, dacă vteele a două pucte sut egale...7. Acceleraţle puctelor rgdulu î mşcarea plaă. Formula acceleraţe a uu puct oarecare (fg..9) este: Fg..9 a a a a, (.4) A A A ude, a A - acceleraţe de rotaţe, care este perpedculară pe segmetul A cu ses determat de semul lu semul proecţe, ş. odulele acceleraţlor aa - acceleraţe cetrpetă oretată spre puctul A ş depedetă de a A ş a A se determă: Reultă: a A A ; a A A. (.43) 4 a A A. (.44)..8. şcarea soldulu rgd cu u puct f. a. Dstrbuţa vteelor. Fe u puct f al uu rgd, care are vtea v egală cu ero ş de care este legat u sstem de coordoate cu orgea î acest puct. Acest sstem determă poţa puctulu faţă de sstemul de coordoate mobl. Atuc vtea uu puct oarecare va f: v r. (.45) 5

26 Dreapta, care trece pr toate puctele rgdulu, ce au vtee ule î mometul dat, se umeşte aă stataee de rotaţe sau aă stataee a vteelor. Această aă este determată de următoarele ecuaţ:. (.46) Deoarece vtea ughulară este oretată de-a lugul ae stataee de rotaţe, atuc reultă că vteele puctelor uu rgd cu u puct f sut dstrbute ca vteele puctelor uu rgd, ce eecută o mşcare de rotaţe î jurul ue ae fe, care cocde î mometul dat cu aa stataee de rotaţe. Locul geometrc al aelor stataee a vteelor, care sut costrute îtr-u reper mobl se umeşte co polodc, ar locul geometrc al aelor stataee a vteelor costrute îtr-u reper f se umeşte co herpolodc. Aceste cour au ca geeratoare comuă aa stataee de rotaţe, ar î tmpul mşcăr coul polodc se rostogoleşte fără aluecare pe coul herpolodc. b. Dstrbuţa acceleraţlor. Ţâd cot că acceleraţa puctulu f a al uu rgd este egală cu ero, acceleraţa puctulu va f: a r r (.47) sau ude, a - acceleraţe de rotaţe ş a a a, (.48) a - acceleraţe apetă. Deoarece drecţa acceleraţe ughulare u cocde cu drecţa vtee ughulare, acceleraţle puctelor uu rgd cu u puct f u sut dstrbute ca acceleraţle puctelor uu rgd ce eecută o mşcare de rotaţe î jurul ue ae fe. Acceleraţle sut dstrbute astfel, fdcă î caul uu rgd cu u puct f acceleraţa ughulară are două compoete: oretată de-a lugul vectorulu ş perpedculară pe vectorul : sau. (.49).3. ematca mşcăr relatve a puctulu..3.. Geeraltăţ. Defţ. şcarea uu puct oarecare faţă de u reper f se umeşte mşcare absolută. şcarea uu puct oarecare faţă de u reper mobl se umeşte mşcare relatvă. şcarea uu reper mobl faţă de u reper f se umeşte mşcare de trasport. Vtea ş acceleraţa uu puct oarecare faţă de u reper f se umesc vteă absolută v ş acceleraţe absolută a. Vtea ş acceleraţa uu puct oarecare faţă de u reper mobl se umesc vteă relatvă v r ş acceleraţe relatvă a r. Vtea ş acceleraţa reperulu mobl faţă de reperul f se umesc vteă de trasport v t ş acceleraţe de trasport a t..3.. Dervata absolută ş dervata relatvă a uu vector. Fe u vector u î fucţe tmpul t al uu reper mobl determat de proecţle lu pe acest sstem: 6

27 ude,, j, k - versor aelor reperulu mobl. u u u j u k, (.5) d u Dervata vectorulu u î fucţe de tmp îtr-u reper f se umeşte dervată absolută : dt du dt ude, versor, j, k - mărm varable. u u j u k u u j u k, (.5) d ~ u Dervata vectorulu u î fucţe de tmp îtr-u reper mobl se umeşte dervată relatvă : dt ~ d u u u dt ude, versor, j, k - mărm costate. Dec: du dt ~ d u dt j u k, (.5) t u. (.53) Reultă că dervata absolută a uu vector repretă suma dtre dervata relatvă a aceluaş vector ş produsul vectoral dtre vtea ughulară de trasport ş vectorul respectv ompuerea vteelor. Suma vtee de trasport ş vtee relatve repretă vtea absolută a uu puct oarecare ş se determă cu relaţa: v v t v r, (.54) ude, v r - vtea absolută a puctulu, vt v A t - vtea de trasport ( v A - vtea d ~ org A a reperulu mobl), v r - vtea relatvă a aceluaş puct r. dt.3.4. ompuerea acceleraţlor. Teorema lu orols: suma acceleraţe de trasport, acceleraţe relatve ş acceleraţe orols repretă acceleraţa absolută a uu puct oarecare ş se determă cu relaţa: a a a a, (.55) ude, a v - acceleraţa absolută a puctulu, a t a A t t t - acceleraţa de ~ d vr trasport, ar - acceleraţa relatvă a aceluaş puct, a t vr - acceleraţa orols. dt t r 7

28 .3.5. auele aparţe acceleraţe orols. şcarea absolută repretă mşcarea reultată a mşcăr relatve ş a mşcăr de trasport. Astfel, vtea reultată este suma a două vtee, îsă această afrmaţe u se referă la accelaraţ. Acceleraţa orols depde de rotaţa de trasport ş de mşcarea relatvă, ş vers. har dacă reperul mobl este costat, vectorul v v ş are dervata absolută dfertă de ero, ar r compoeta vtee de trasport t,datortă mşcăr relatve, îtr-u momet dat va f egală cu t r t v, provocâd o varaţe complemetară a aceste vtee. Astfel, acceleraţa totală orols va f egală: a v v v. t r t r t r aptolul 3. Damca. 3.. Damca puctulu materal lber bectul de studu al demc. Ecuaţle dfereţale ale mşcăr puctulu materal. Damca este partea mecac mecace, care studaă mşcarea puctulu (rgdulu) materal sub acţuea forţelor. Estă două probleme de baă ale damc: a. Să se determe forţele ce acţoeaă asupra puctulu (corpulu) materal, dacă se cuoaşte mşcarea lu mecacă. b. Să se determe mşcarea puctulu (corpulu) materal, dacă se cuosc forţele care îl acţoeaă. La reolvarea acestor probleme se utleaă ecuaţa fudametală a damc (legea a doua a lu Newto): r F ma mr, (3.) pe care, dacă o proectăm pe aele sstemulu de coordoate carteee, obţem ecuaţle dfereţale ale mşcăr puctulu materal: m, F m, (3.) F m. F Deoarece forţa F depde de tmp, de vectorul de poţe ş de vtea puctulu, obţem: pe care dacă o proectăm pe aele de coordoate, reultă: F F t, r, v, (3.3) t t t F F,,,,,,, F F,,,,,,, (3.4) F F,,,,,,. 8

29 3... Reolvarea problemelor damc puctulu materal lber. a. Reolvarea probleme îtâ a damc puctulu materal. Să se determe forţa ce acţoeaă asupra puctulu materal, dacă se cuoaşte mşcarea lu mecacă. Petru reolvarea probleme determă proecţle forţe ecuoscute pe aele de coordoate cu ajutorul dervatelor de ordul do ale fucţlor (t), (t), (t), după care se găseşte forţa cu relaţa: F F F j F k, F F F F, F F F,, cosf, j, cosf, k F cos. F F F b. Reolvarea probleme a doua a damc puctulu materal. Să se determe mşcarea puctulu materal, dacă se cuosc forţele care îl acţoeaă. Petru reolvarea probleme se tegreaă sstemul de ecuaţ dfereţale ş se obţe o fucţe depedetă de tmp, de coordoate ş de dervatele acestora trasformâdu-se îtr-o costată, umtă tegrală prmă a sstemulu de ecuaţ dfereţale: F t,,,,, F t,,,,, F t,,,,, t,,,,, c m,, m,, (3.5) m,,,, (3.6) ude, coordoatele puctulu materal,, sut ecuoscute ş care urmeaă a f determate, dacă se tegreaă acest sstem de ecuaţ: t t t, c c,, c, c3, c4, c5, 6, c, c3, c4, c5, 6, c, c3, c4, c5, 6, c c, (3.7), c c. Petru determarea proecţlor vteelor se derveaă î raport cu tmpul sstemul de ecuaţ obţut: t, c, c, c, c, c c, t t 3 4 5, 6 c, c, c3, c4, c5, 6 c, c, c3, c4, c5, 6, c, (3.8), c. Dacă se reolvă acest sstem de ecuaţ î codţ ţale t ;,, ;,, ; se obţ costatele de tegrare: c t,,,,,,,...,6. (3.9), Dacă se îlocuesc costatele de tegrare cu valorle lor, se obţ legle mşcăr puctulu materal acţoat de forţe cuoscute î codţ ţale: t,,,,, t,,,,, 3 t,,,,, 9,,,, (3.),.

30 3..3. şcarea puctulu materal î câmpul omoge al forţe de greutate. Fe u put materal cu masă m, care se mşcă î aproperea suprafeţe Terre. Astfel, î mometul ţal t=, poţa puctulu materal este determată de orgea sstemulu de coordoate ales ş are vtea v sub u ugh α faţă de orotală. şcarea puctulu î plaul va f determată de ecuaţle dfereţale:, g. (3.) Dacă tegrăm aceste ecuaţ ş î codţ ţale t, v cos, v v v s, costatele de tegrare c v cos, c s, atuc avem: v Fg. 3. v cos, gt v s. (3.) Dacă ma tegrăm ş mometul țal c 3 =, c 4 =, se obţe legea mşcăr puctulu materal î câmpul omoge al forţe de greutate: vt cos, vt s gt. (3.3) 3.. Damca mşcăr relatve a puctulu materal Ecuaţa fudametală a mşcăr relatve. Î acest ca mşcarea puctulu materal se aaleaă î raport cu repere moble, ude legea a doua alu Newto u se cofrmă. oform teoreme compuer acceleraţe a a a a t r se determă ecuaţa fudametală a mşcăr a puctulu materal î raport cu repere moble: ma r F R mat ma sau mar F R t, (3.4) ude, F - reultata forţelor actve, R - reultata forţelor de legătură, ar - acceleraţa relatvă, at - acceleraţa de trasport, a - acceleraţa orols, t - forţa de erţe de trasport, - forţa de erţe orols. Dec, dacă î ecuaţa leg a doua a lu Newto, forţelor actve ş de legătură se adaugă forţele de erţe de trasport ş orols, se obţe ecuaţa mşcăr puctulu materal faţă de u reper mobl. Dacă u reper mobl eecută o mşcare de traslaţe rectle ş uformă faţă de u reper f, atuc forţele de erţe de trasport ş orols se egaleaă cu ero, ar ecuaţa fudametală corespude leg a doua a lu Newto ş reperul se umeşte erţal: F ma r. (3.5) 3

31 3... Echlbrul relatv. Greutatea puctulu materal. Petru determarea stăr de repaus a uu corp materal faţă de u reper mobl, se utleaă ecuţa echlbrulu relatv al puctulu materal: F R. (3.6) Dacă cosderăm u puct materal, u corp oarecare î repaus relatv pe suprafaţa Terre, că fg., se obţe relaţa: t R P F. (3.7) t Fg. 3. Îtru cât, forţa de greutate a puctulu materal P ş forţa de atracţe a Terre F varaă d caua forţe cetrfuge t. Astfel, la pol P F mg ş î lattudea mg P, ude g acceleraţa greutăţ ş g * - acceleraţa mprmată puctulu materal de forţa F. Dacă se proecteaă ecuaţa după raă, se poate determa acceleraţa greutăţ: r g g cos. g oform calculelor efectuate r = m, ω =,76-4 rad/s, g * = 9,8m/s s-a determat acceleraţa varaă de la pol, ude este mamă g pol = g * = 9,83m/s, la ecuator, ude este mmă g ec g 9,78m / s. Această varaţe estă, d caua că Terra este 7 turttă la pol şcărle relatve pe suprafaţa Pămâtulu. âd u puct materal eecută o mşcare relatvă pe suprafaţa Pămâtulu, se evdeţaă acţuea forţe orols: m. (3.8) v r D această cauă mşcarea corpurlor spre pol devaă spre este ş mşcarea corpurlor spre ecuator d emsfera ordcă devaă spre vest, ar mşcarea corpurlor d emsfera sudcă devaă spre stâga mşcăr. şcarea puctelor de pe ecuator u devaă faţă de mşcarea lor pe merda, fdcă la ecuator vector ş vr sut colar. Î cădere lberă puctele materale devaă spre est. Dacă u corp oarecare eecută o mşcare pe la ecuatorulu de la est spre vest deve ma greu, ar dacă se mşcă de la vest spre est deve ma uşor. 3

32 3.. Damca sstemelor de pucte materale Ecuaţle dfereţale ale mşcăr uu sstem de pucte materale. Fe u sstem de pucte materale,,..., cu masele m, m,...,m. Dacă se cuosc forţele teroare sstemulu: F ş forţele eteroare e F, se determă ecuaţa dfereţală a mşcăr e F, m r F =,,...,. (3.9) Dacă se proecteaă această ecuaţe pe aele sstemulu de coordoate se obţ tre ecuaţ dfereţale de ordul do: m F e F, e F, m F (3.) m F e F Problema celor două corpur. Dacă ître două corpur acţoeaă forţa gravtaţe uversale ş forţele eteroare sut egljate, atuc se obţe problema celor două corpur. Fe două pucte materale ş, ca î fg Ecuaţle dfereţale ale mşcăr lor sut: mm r r G ; r r m mm r m r G, (3.) r r Fg. 3.3 d dt ude, r r r este dstaţa dtre aceste două pucte, reultă: m r m r. (3.) Dacă se troduce î relaţe vectorul de poţe al cetrulu maselor r, se obţe: v. v Reultă că cetrul maselor se mşcă rectlu ş uform Ecuaţa dfereţală a mşcăr cetrulu maselor sstemulu de pucte. şcarea cetrulu maselor uu sstem de pucte materale se defeşte ca mşcarea uu puct materal î care este cocetrată toată masa sstemulu ş este acţoat forţa egală cu suma tuturor forţelor eteroare ce acţoeaă sstemul. scarea cetrulu maselor este determată de ecuaţa dfereţală: e r F, (3.3) 3

33 ude, masa totală a sstemulu, r a - acceleraţa cetrulu maselor sstemulu, e F - reultata forţelor eteroare. Dacă suma forţelor eteroare, care acţoeaă asupra sstemulu de pucte materale, este egală cu ero, atuc vtea cetrulu maselor sstemulu este costată, ar dacă vtea ţală a cetrulu maselor sstemulu este ulă, atuc cetrul maselor este mobl Teorema mpulsulu sstemulu de pucte materale Impulsul sstemulu de pucte materale. Petru determarea mpulsulu uu sstem de pucte materale este ecesar să se cuoască masa sstemulu ş vtea cetrulu maselor lu: ude, sstemulu. m Q v, (3.4) - masa sstemulu de pucte materale, v r - vtea cetrulu maselor Teorema mpulsulu uu sstem de pucte materale. Teorema mpulsulu uu sstem de pucte materale: suma forţelor eteroare aplcate uu sstem de pucte materale repretă prma dervată a mpulsulu sstemulu î raport cu tmpul. dq F e. (3.5) dt Teorema mpulsulu poate f repreetată ş sub formă de tegrală î lmtele de la t pâă e la t, umtă mpulsul forţe F î tervalul de tmp t, ude t t t : Qt F Q t 33 t e dt. (3.6) Legea coservăr mpulsulu. Impulsul uu sstem de pucte materale este o mărme costată, dacă reultata forţelor eteroare, care acţoeaă asupra sstemulu, este egală cu ero: t Q Q. (3.7) Dacă se proecteaă această relaţe pe aele sstemulu de coordoate rectagulare se obţ tre tegrale: Q ; Q ; Q. (3.8) Damca uu corp de masă varablă. Damca uu corp cu masă varablă studaă tpul de mşcare î tmpul căreea masa corpulu varaă ş se determă cu ecuaţa geeralată a lu erşcersk: 3 dv e dm dm m F u u, (3.9) dt dt dt

34 e dm ude, F - reultata forţelor eteroare, P u - propulsa ejecţe partculelor fe de masă dt dm (-dm ) ş u - forţa de frâare produsă de captarea partculelor fe de masă dm. orpul dt eecută o mşcare de traslaţe Formula lu Ţolkovsk. Formula lu Ţolkovsk este: m. (3.3) v v ue l m f Dacă cosderăm această relaţe î caul uu tp de trasport î mşcare, atuc m f masa fală a trasportulu cosderată fără combustbl, m masa ţală, vtea u e depde de tpul m combustbululu, - umărul lu Ţolkovk, de ude reultă: m f v v ue l. (3.3) Teorema mpulsulu î caul medulu cotuu. Teorema lu Euler. Teorema lu Euler euţă: suma debtelor de mpuls pe secudă ale medulu uu volum oarecare,a reultate forţelor superfcale ş a reultate forţelor masce este ulă. Această teoremă este eprmată pr următoarea relaţe: m ~ v mv ~ F S F, (3.3) V ude, m ~ - debtul masc pe secudă, m ~ v ş m ~ v - debtele de mpuls pe secudă, FS - reultata forţelor superfcale, FV - reultata forţelor masce. Teorema mpulsulu î caul medulu cotuu este eprmată pr ecuaţa: v v F S FV m ~. (3.33) 3.4. Teorema mometulu cetc al sstemulu de pucte materale ometul cetc al sstemulu de pucte materale faţă de u puct ş faţă de ae. Toate mometele mpulsurlor ale tuturor puctelor materale ale uu sstem î raport cu orgea, fd îsumate, repretă mometul cetc al sstemulu: L r m v. (3.34) Dacă se proecteaă mometul cetc al sstemulu pe aele sstemulu de coordoate, se obţe mometul cetc faţă de ae: L L m m 34 v v v v ; ; (3.35)

35 L m v v ometul cetc al rgdulu avâd o rotaţe î jurul ue ae fe. Fe dat caul d fg. 3.4, ude puctul al uu rgd, cosderat sstem de pucte materale, eecută o mşcare de rotaţe î jurul ae. Î acest ca mometul de erţe faţă de aa va f: Fg. 3.4 ude, R L m R, (3.36) - raa traectore curbl formate î mşcarea puculu, m R m J - momet de erţe aal al sstemulu de pucte materale, reultă: L. (3.37) J Estă câteva caur partculare petru corpur omogee, ude mometul de erţe aal este, petru: mr. ldru omoge de raă R ş de masă m: J ; mr. Placă crculară fă de masă m ş de raă R: J ; 4 3. Bară subţre omogeă de masă m ş lugme l, câd aa trece pr etremtatea e: J ml ; 3 4. Bară subţre omogeă de masă m ş lugme l, câd aa trece pr cetrul maselor e: J ml ; 5. Sferă omogeă de masă m ş raă R: J mr ; 5 6. o omoge de masă m ş ude R este raa bae: J,3mR Teorema mometulu cetc al sstemulu. Teorema mometulu cetc al uu sstem de pucte materale, euţă: suma mometelor forţelor eteroare faţă de u puct f este egal cu dervata mometulu cetc al aceluaş puct, î raport cu tmpul ş se determă cu relaţa: d L dt e. (3.38) Dacă se proecteaă această relaţe pe aele de coordoate, avem: dl dt dl dt 35 e e ; ; (3.39)