ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ"

Γιάννης Μεσσηνέζης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επαναληπτικές ασκήσεις - Μέθοδος Lagrange - Γενικές συνθήκες (EC)

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θα επιλυθούν τρεις επαναληπτικές ασκήσεις. Να αναπτύξετε τη συνάρτηση: f 1 (x 1,x 2 ) = sin(8x 1 ) + ln(x 2 ) 6x 1 2 x 2 3, σε σειρά Taylor 2 ης τάξης γύρω από το σημείο (1, 2). Για x 1, x 2 > 0, να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση: f 2 (x 1,x 2 ) = 4x 1 + x 1 x x 2 x 1. Να βρείτε τις διαστάσεις του ανοικτού παραλληλεπίπεδου κουτιού που έχει δεδομένο (σταθερό) όγκο για τις οποίες το κουτί έχει την ελάχιστη επιφάνεια. 2

3 ΕΦΙΚΤΟΣ ΧΩΡΟΣ ΛΥΣΕΩΝ Εφικτό σημείο = Ικανοποιεί τους περιορισμούς. Σύνολο εφικτών σημείων = Εφικτή περιοχή. Μη κενή εφικτή περιοχή Αποτελούμενο πρόβλημα. Κυρτή (ως σύνολο) εφικτή περιοχή Κυρτό πρόβλημα. Επιθυμητές ιδιότητες εφικτής περιοχής: ΜAΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ 3

4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ CONSTRAINED Αναγωγή σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς: Καθορισμός της εφικτής περιοχής S του προβλήματος. Συμπερίληψη των μαθηματικών σχέσεων των περιορισμών στην αντικειμενική συνάρτηση f του NC προβλήματος. Υπάρχουν τρία είδη περιορισμών: Ισοτικοί: Της μορφής C(X) = 0. c i (x 1, x 2,, x n ) = 0. Ανισοτικοί: Της μορφής C(X) <> 0. c i (x 1, x 2,, x n ) <> 0. Μεικτοί: Της μορφής C(X) 0. c i (x 1, x 2,, x n ) 0. 4

5 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισμός ομαλού εφικτού σημείου: Σε πρόβλημα βελτιστοποίησης με αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και m συναρτήσεις περιορισμών C(Χ), αν σε κάποιο εφικτό σημείο Χ* τα c 1, c 2,, c m είναι και γραμμικά ανεξάρτητα, τότε το X* λέγεται και ομαλό σημείο. Περιορισμοί εμφανίζονται σε προβλήματα ως μίγμα ισοτήτων με ανισότητες, πχ. c i (X) = 0, c j (X) 0 Ενεργός περιορισμός: C(X) = 0 στο βέλτιστο Χ*. Μη ενεργός περιορισμός: C(X) <> 0 στο βέλτιστο Χ*. Παρατήρηση: Η θέση του Χ* μεταβάλλεται μόνο εάν αφαιρεθεί κάποιος από τους ενεργούς περιορισμούς! 5

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Με περιορισμούς x 1 0, x 2 0, x 2 - (x 1-1) 2 0, δείξτε ότι το Χ* = (x 1 *, x 2 *) = (1, 0) είναι εφικτό αλλά όχι ομαλό. Οι τρεις περιορισμοί εκφράζονται στη μορφή: w 1 (X) = - x 1 0, w 2 (X) = - x 2 0, w 3 (X) = x 2 - (x 1-1) 2 0. Αντικατάσταση του Χ* στις σχέσεις των τριών περιορισμών τους ικανοποιεί, οπότε το Χ* είναι εφικτό σημείο, και δίνει επιπλέον ότι οι w 2, w 3 είναι ενεργοί στο Χ*. Έλεγχος ομαλότητας σημείου (μέσω διανυσμάτων κλίσης): w 2 Χ = w 2 x 1 w 2 x 2 = 0 1, w 3 (Χ ) = w 3 x 1 w 3 x 2 = 0 1. w 2 Χ, w 3 (Χ ) γραμμικά εξαρτημένα (1, 0) μη ομαλό. 6

7 ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE Εφαρμογή όταν οι περιορισμοί είναι μόνο ισότητες! Ορισμός συνάρτησης Lagrange: Σε πρόβλημα βελτιστοποίησης με αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και m συνθήκες ισότητας C(Χ) = 0, ορίζουμε την συνάρτηση Lagrange ως L X, Λ = f X + Λ C(Χ), όπου Λ = (λ 1, λ 2,, λ m ) 0 οι πολλαπλασιαστές Lagrange. Σύνοψη του μετασχηματισμένου προβλήματος: Mεταβλητές: Οι αρχικές Χ μαζί με τους συντελεστές Λ. Ζητούμενο: Ελαχιστοποίηση της L ως προς τις Χ και Λ. Τύπος προβλήματος: Ελαχιστοποίηση χωρίς περιορισμούς! 7

8 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Η L δείχνει την ευαισθησία του ελαχίστου της f σε μικρές παραμετρικές μεταβολές των περιορισμών C. Βασικές ιδιότητες των L, Λ: Σύμπτωση ακροτάτων f και L. L X, Λ = f X Ευθυγράμμιση των κλίσεων στο βέλτιστο σημείο X. f X = Λ C(X ) Στο X, ο Λ δίνει τον ρυθμό μεταβολής της f ως προς C. L X, Λ Τ c i X = λ i 8

9 ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕC Αναγκαία συνθήκη EC (1 ης τάξης): Έστω πρόβλημα με m περιορισμούς C(Χ) = 0, αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και την συνάρτηση Lagrange L: Q R n+m R. Αν το Χ* S είναι τοπικό ελάχιστο τότε υπάρχει Λ* R m ώστε L(Χ, Λ ) = f(χ ) + Λ C(Χ ) = 0. Αναγκαία συνθήκη EC (2 ης τάξης): Έστω πρόβλημα με m περιορισμούς C(Χ) = 0, αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και την συνάρτηση Lagrange L: Q R n+m R. Αν το Χ* S είναι τοπικό ελάχιστο, τότε υπάρχει Λ* R m ώστε να ισχύει L(Χ, Λ ) = 0 και 2 L 0 στο εφαπτόμενο επίπεδο της C(X) = 0 στο Χ*. 9

10 ΙΚΑΝΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕC Ικανή συνθήκη EC (2 ης τάξης): Έστω πρόβλημα με m περιορισμούς C(Χ) = 0, αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και την συνάρτηση Lagrange L: Q R n+m R. Αν στο ομαλό σημείο Χ* S υπάρχει Λ* R m ώστε L(Χ, Λ ) = 0 και 2 L 0 στο εφαπτόμενο επίπεδο της C(X) = 0 στο Χ*, τότε το Χ* είναι τοπικό ελάχιστο. Σύνδεση με το αρχικό πρόβλημα: Απεικόνιση προβλήματος m περιορισμών με f διαστάσεων n σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς με f διαστάσεων n+m. Επιπλέον εξισώσεις (μια για κάθε στοιχείο λ i του Λ) που προκύπτουν από τους περιορισμούς του προβλήματος. 10

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Να υπολογιστεί η ακτίνα r και το ύψος h δεξαμενής κυλινδρικού σχήματος, με σταθερό όγκο V 0, ώστε η επιφάνειά της να είναι η ελάχιστη δυνατή.

11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Να υπολογιστεί η ακτίνα r και το ύψος h δεξαμενής κυλινδρικού σχήματος, με σταθερό όγκο V 0, ώστε η επιφάνειά της να είναι η ελάχιστη δυνατή. Επιφάνεια: S = 2πr(h +r) Όγκος: V 0 = πr 2 h. Αντικειμενική συνάρτηση: f(r, h) = 2πr(h + r). Περιορισμός ισότητας: c(r, h) = πr 2 h - V 0 = 0. Συνάρτηση Lagrange: L = f+λc = 2πr(h+r) + λ(πr 2 h-v 0 ). Αναγκαίες συνθήκες 1 ης τάξης: L r = π h + 2r + 2λ h = 0, Επίλυση συστήματος Kρίσιμο σημείο L h = πr 2 + λ r = 0, L λ = πr 2 h V 0 = 0. r = 3 V 0, 2π h = 3 4V 0, π λ = 2 3 2π r = 2. V 0 11

12 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Επαναληπτικές ασκήσεις Μέθοδος Lagrange Γενικές συνθήκες (ΕC) 12

Σχετικά έγγραφα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ - Εφικτός χώρος λύσεων - Συνάρτηση Lagrange - Γενικές συνθήκες ECM ΣΥΝΘΗΚΕΣ CONSTRAINED Ιδιαιτερότητες των προβλημάτων