ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Αριθμητικές μέθοδοι ελαχιστοποίησης ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ

Transcript

1 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Πρόβλημα Βελτιστοποίησης: Μεγιστοποίηση ή Ελαχιστοποίηση συνάρτησης στόχου: f(,..., N ) Καθορισμός του διανύσματος = [,..., N ], που καταλήγει σε μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της f(,..., N ). ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Ελαχιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής *: ολικό ελάχιστο της f() αν *: τοπικό ελάχιστο της f() και f( ) f() df (*) d df(*) > 0 d για όλα τα Πιθανά τοπικά ακρότατα ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f() α Άκρα διαστήματος ορισμού Κρίσιμα σημεία A A B Γ Στάσιμα σημεία: f'() Σημεία δεν ορίζεται η πρώτη παράγωγος: f'() Δ B Γ Δ b Αριθμητικές μέθοδοι ελαχιστοποίησης Πρόβλημα: Min f(), f(): συνάρτηση στόχου Επαναληπτική μέθοδος Newton: Αρχική τιμή o + df( ) df( ) =,,,... d d υπολογισμός τοπικού ελάχιστου (στάσιμου σημείου) δυσκολίες για πολύπλοκες συναρτήσεις 3 4

2 Αριθμητικές μέθοδοι ελαχιστοποίησης Μέθοδος Κλίσεων Αρχική τιμή o + = a a > 0 : +,,,... για όλα τα κριτήριο τερματισμού αργή σύγκλιση υπολογισμός τοπικού ελάχιστου δυσκολία στον υπολογισμό {a,,,...} df ( ) d f( ) < f( ) 5 Ελαχιστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών f(, ): f(), = [... N ] κλίση συνάρτησης: πίνακας Hess: df ( ) f ( ) f ( ) f( ) = =... d N f f f... N d f ( ) f H f ( ) = = d f f N N =... N : τοπικό ελάχιστο της f() = f ( ) όταν f ( f( ) =,.., N) O N ή και i H f (): θετικά ορισμένος πίνακας (για κάθε : H Τ > 0) 6 Αριθμητικές μέθοδοι ελαχιστοποίησης Μέθοδος Newton : o αρχικά επιλεγμένο διάνυσμα + = f( ) H f ( ) o υπολογισμός και αντιστροφή του πίνακα Hess =0,,... Μέθοδος Κλίσεων (μέθοδος ταχυτέρας καθόδου): o αρχικά επιλεγμένο διάνυσμα + = a f ( ) o κριτήριο τερματισμού :,,,... με a > 0 f( ) <ε 7 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ Μόνο ένας εξισωτικός περιορισμός Min f (,,..., Ν ) Μ.Π. φ (,,..., Ν ) Συνάρτηση LaGrange : L (,..., Ν, λ) = f (,..., Ν ) + λ. φ(,..., Ν ) Αναγκαίες συνθήκες ελαχίστου (πρώτης τάξης) : L i=, N L λ f φ + λ i =, N φ (,..., Ν ) 8

3 ΠΟΛΛΟΙ ΕΞΙΣΩΤΙΚΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Min f (,..., Ν ) Συνάρτηση LaGrange: M.Π. φ (,..., Ν ) L(,..., Ν, λ,..., λ Μ )=f (,..., Ν )+ λ φ (,..., Ν )+... +λ Μ φ Μ (,..., Ν ) φ Μ (,..., Ν ) Αναγκαίες συνθήκες ελαχιστοποίησης: L L λ j i =,..., N j =,..., M M f (,..., N) φ j(,..., N) + λ j i =,..., N j= ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΟΛΛΟΥΣ Min f () Μ.Π.φ () Τ Μ = [... Ν ]: ένα Ν-διάστατο διάνυσμα φ() = [φ ()... φ Μ ()] Τ : διανυσματική Μ-διάστατη συνάρτηση του Συνάρτηση LaGrange ( Μ λ R ): L (, λ) = f () + λ φ () φ j (,..., Ν ) j =,..., M 9 0 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΟΛΛΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ LaGrange Αναγκαίες συνθήκες βελτίστου : T f( ) + λ φ ( ) N φ ( ) T N f f f( ) = και N φ φ N φ ( ) = φμ φ Μ N Min f(, y) = + y Μ.Π. φ(, y) = 4--y Βέλτιστη λύση όταν : f(,y) = λ φ(,y) ή f(,y) +λ φ (,y) Συνάρτηση LaGrange: L(,y, λ ) = f(,y) +λφ(, y) L(, y, λ ) L L L = y 3

4 y z A f f z 0 F=5 F=9 F= Φ Φ Γ y Γραφική παράσταση της f(,y) = +y στο χώρο Οι ισοδυναμικές καμπύλες της f(,y)= +y 3 4 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ LaGrange Min f(, ) ΜΠ. φ(, ) : φ(, ) = b - g (,.., N ) ή g (,.., N ) = b f :κόστος διαδικασίας παραγωγής b * * (,.., N), λ * * df (,.., N) λ = : βέλτιστη λύση 5 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗ LaGrange Απόδειξη: * = *(b), λ* = λ*(b) ( λ ) = ( ) +λ ( ) = f( ) + b g ( (b)) L (b), (b) f (b) (b) b g (b) dl d (b) d λ (b) d (b) +λ (b) g( ) d (b) d λ (b) = L(, λ ) +φ( ) +λ (b) ( λ ) dl (b), (b) λ (b) = df ( (b) λ (b) = 6 4

5 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗ LaGrange Εφαρμογή σε οικονομική κατανομή φορτίου *(b), λ*(b): βέλτιστη λύση του προβλήματος οικονομικής κατανομής φορτίου b MW Min f() Μ.Π. g() = b Ελάχιστο ωριαίο κόστος λειτουργίας: f*(b) = f(*(b)) Αύξηση φορτίου κατά Δb MW Min f() Μ.Π. g() = b + Δb Νέοελάχιστοωριαίοκόστοςλειτουργίας f*(b + Δb) = f( *(b + Δb)) Ο πολλαπλασιαστής LaGrange λ * [ /MWh] δίνει την αύξηση του βέλτιστου ωριαίου κόστους λειτουργίας Δ f f( (b+δb)) f( (b)) λ (b) = του συστήματος, σε /h, όταν το φορτίο Δb Δb του συστήματος αυξάνεται κατά ένα MW 7 5