ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ"

Δευκαλίων Αντωνιάδης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ - Διαφορικός λογισμός (3D) - Πολυωνυμικό ανάπτυγμα - Τοπικά ακρότατα

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Άλγεβρα διανυσμάτων και πινάκων: Πίνακες και διανύσματα (ως μονοδιάστατοι πίνακες). Βασικές πράξεις πινάκων (πρόσθεση αντιστροφή). Εύρεση ιδιοτιμών ιδιοδιανυσμάτων πίνακα. Ανάλυση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Ιδιότητες και κανόνες διαφόρισης. Ολική παράγωγος Μερικές παράγωγοι. Ανάπτυξη σε πολυωνυμική σειρά (Taylor). Τοπικά ακρότατα Κρίσιμα σημεία. 2

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (3D) Μερικές παράγωγοι Ολική παράγωγος. Μερική ( f): Διαφόριση 1D ως προς κάποια μεταβλητή με σταθερές όλες τις υπόλοιπες μεταβλητές.

3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (3D) Μερικές παράγωγοι Ολική παράγωγος. Μερική ( f): Διαφόριση 1D ως προς κάποια μεταβλητή με σταθερές όλες τις υπόλοιπες μεταβλητές. Ολική (df): Μέση μεταβολή ως προς όλες τις μεταβλητές. Ορισμός ολικής παραγώγου: Αν f: R n R διαφορίσιμη σε κάθε διεύθυνση του R n, ορίζεται στο Χ 0 (x 10, x 20,, x n0 ) η df X = f X dx, με f X = f/ x 1 f/ x n την κλίση της f στο σημείο Χ 0. 3

4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Αποτελούν γενίκευση των παραγώγων 1 ης τάξης: Πίνακες τάξης (αριθμός μεταβλητών) x (τάξη παραγώγου). Παράδειγμα: Ολική παράγωγος 2 ης τάξης της f(χ): R n R. d 2 f X = dχ Τ 2 f X dx 2 f: Εσσιανός πίνακας της f (Ιακωβιανός της f, συμμετρικός λόγω ταυτότητος 2 f x i x j = 2 f x j x i ). 2 f = 2 f 2 f 2 f x2 1 x 1 x 2 x 1 x n 2 f 2 f 2 f x 2 x 1 x2 x 2 x n 2 f 2 f 2 f x n x 1 x n x 2 x2 n Διανυσματική συνάρτηση Πίνακας mx1 με στοιχεία (υποπίνακες) την κλίση κάθε συνιστώσας f m της F. 4

5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (3D) Παράγωγοι των γινομένων συναρτήσεων: u R n, X R nxn uχ = u X + u X. X, Υ R nxn Χ Υ = Χ Υ + Χ Υ. Κανόνας της αλυσίδας για σύνθετες συναρτήσεις: X R n, f, g, h: R n R, h = g f h X = g f X f X. Θεώρημα μέσης τιμής διαφορίσιμης συνάρτησης: Αν Χ, Υ D R n, τότε Ξ D ώστε f(υ) - f(χ) = f(ξ) (Υ Χ). Θεώρημα εφαπτόμενου επιπέδου: Αν Η: R n R m, S = {Χ R n : Η(Χ) = 0}, Χ 0 S h i γρ. ανεξ., ꓱ εφαπτόμενο επίπεδο της S στο Χ 0, Τ = {Υ R n : H X 0 Y=0}. 5

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Ποιές οι παράγωγοι df 1 Τdx, 2 f 2 των συναρτήσεων f 1 x = ln x n + sin(x) και f 2 Χ = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1? Η f 1 είναι σύνθεση των g 1 (u) = ln u, u = g 2 (x) = x n + sin(x). Είναι dg 1 Τdu = 1Τu και Τdx = nx n 1 + cosx, οπότε τελικά: df 1 = d[g 1 g 2 ] dx dx dg 2 = dg 1 du dg 2 dx = 1 x n +sinx nxn 1 + cosx. Όσον αφορά την f 2, ο Εσσιανός πίνακας θα δίνεται από: 2 f 2 = 2 f 2 x f 2 2 f 2 x 2 x 1 x2 2 2 f 2 2 f 2 x 1 x 2 x 1 x 3 2 f 2 x 2 x 3 2 f 2 2 f 2 2 f 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x2 3 =

7 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR Κεντρικής σημασίας για μεθόδους βελτιστοποίησης. Οι συντελεστές του πολυωνυμικού αναπτύγματος έχουν συγκεκριμένη σχέση με τις ολικές παραγώγους της f. Ορισμός αναπτύγματος Taylor: Χ, Y R n, διαφορίσιμη f: S R n R. f X+Y =f X + σ m=1 Υ T m f(x) m! Στο ανάπτυγμα διατηρούνται Μ όροι. Παράδειγμα: Σειρά 1 ης - 2 ης τάξης. 7

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Αναλύστε κατά Taylor γύρω από το Χ 0 = (1, 2, -1), με ακρίβεια 1 ης τάξης, την προηγούμενη συνάρτηση f 2. Για τον υπολογισμό του αναπτύγματος μας λείπει μόνο η παράγωγος 1 ης τάξης της f 2. Αυτή υπολογίζεται: f 2 = f 2 x 1 f 2 x 2 f 2 x 3 = x 2 + x 3 x 3 + x 1 x 1 + x 2. Με βάση το μαθηματικό τύπο της σειράς Taylor, έχουμε: f 2 X = f 2 X 0 + Χ X 0 T f 2 X 0 = = 1 + x 1 1 x 2 2 x T Με απλές πράξεις βρίσκουμε τελικά f 2 (X) = 1 + x 1 + 3x 3. 8

9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημεία όπου η f αποκτά ελάχιστη/μέγιστη τιμή. Αλλαγή μονοτονίας Μηδενισμός df Κρίσιμο σημείο. Ορισμοί ακροτάτων και κρίσιμων σημειών: Ένα σημείο X* είναι τοπικό ελάχιστο (μέγιστο) αν υπάρχει ρ > 0 ώστε f(x*) f(x) (f(x*) f(x)) για κάθε X D(Χ*, ρ). X* = ολικό ακρότατο ρ = ελεύθερη παράμετρος. Ένα σημείο X* είναι κρίσιμο αν f x i = 0 (i = 1, 2,, n). Μέθοδος υπολογισμού των ακρότατων??? Εύρεση κρίσιμων σημείων Έλεγχος καμπυλότητας f. Παράδειγμα: Κρίσιμο σημείο είναι ελάχιστο αν 2 f 0. 9

10 ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ 10

11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΡΙΤΟ Ποιά τα c 1,c 2 0 ώστε το (α,β) (0,0) να είναι κρίσιμο σημείο της f Χ = c 1 c 2 x x 1 sin c 2 x 2? Ποιο το f(α,β)? (α,β) κρίσιμο σημείο της f f(α,β) = f(α,β) = 0. x 1 x 2 Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους στο (α,β): f α, β = f(α,β) x 1 f(α,β) x 2 = 3c 1 c 2 a 2 + 2sin c 2 β 2c 2 αcos c 2 β. Η 2 η σχέση μηδενισμού δίνει c 2 β = π/2, ή αλλιώς c 2 = π/2β. Η 1 η σχέση, επειδή sin(c 2 β) = 1, γίνεται 3c 1 πα 2 /2β + 2 = 0, με τελικό αποτέλεσμα c 1 = - 4β/3πα 2. Με βάση τα παραπάνω, είναι f(α, β) = - 2α/3 + 2α = 4α/3. 11

12 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Διαφορικός λογισμός (3D) Πολυωνυμικό ανάπτυγμα Τοπικά ακρότατα 12

Σχετικά έγγραφα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διαφορικός λογισμός - Πολυωνυμικό ανάπτυγμα - Τοπικά ακρότατα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ 2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ