ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Διατύπωση προβλημάτων - Κατηγορίες εφαρμογών - Πράξεις με πίνακες

2 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (in short) Που αποσκοπεί η βελτιστοποίηση ενός συστήματος? Εντοπισμός των βέλτιστων συνθηκών «λειτουργίας» του. Επίλυση προβλήματος με χρήση μαθηματικών εργαλείων. Βήματα για τη μαθηματική περιγραφή: «Μετάφραση» δεδομένων και ζητούμενων σε μεταβλητές. Ορισμός αντικειμενικής συνάρτησης (και περιορισμών). Ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Προϋπόθεση: Ορθή διατύπωση του προβλήματος. Απαιτείται η κατανόηση όλων των παραμέτρων 2

3 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Τοπική βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς: Να ευρεθεί σημείο Χ R n ώστε f(χ ) f(χ) για κάθε Χ R n με την ιδιότητα Χ - Χ < ε για ε > 0 οσοδήποτε μικρό. Ολική βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς: Να ευρεθεί σημείο Χ R n ώστε f(χ ) f(χ) για κάθε Χ R n. Τοπική βελτιστοποίηση με περιορισμούς: Να ευρεθεί σημείο Χ R n ώστε f(χ ) f(χ) για κάθε Χ R n με την ιδιότητα Χ - Χ < ε για ε > 0 οσοδήποτε μικρό, με συνθήκες c i (Χ) < = > 0 (i = 1,2,,m). Ολική βελτιστοποίηση με περιορισμούς? 3

4 ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Προσαρμογή πειραματικών δεδομένων: Έστω σύνολο δεδομένων (t i,y i ), i=1,2,,m, και ένα μοντέλο f(t,x) με παραμέτρους {x 1, x 2,, x n }, και ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων ώστε η προσέγγιση f(t i,x) y i να είναι η βέλτιστη στα επιτρεπόμενα (από το μοντέλο) πλαίσια. Αυτό ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης αθροίσματος τετραγωνικών όρων Q(X) = [f(t i,x) - y i ] 2. Αντικειμενικές συναρτήσεις αυτού του τύπου επιτρέπουν την εφαρμογή μεθόδων όπως πχ. η γραμμική παλινδρόμηση. 4

5 ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχεδιασμός ολοκληρωμένων κυκλωμάτων: Η οριζόντια κάτοψη των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων είναι παραλληλόγραμμη, οπότε ύψος και πλάτος κάθε κυκλώματος αποτελούν μεταβλητές του προβλήματος. Περιορισμοί εμφανίζονται στο μέγεθος των κυκλωμάτων (συνολική επιφάνεια), αλλά και στο χρονισμό (το κύκλωμα πρέπει να λειτουργεί σε προδιαγεγραμμένη ταχύτητα). Αντικειμενική συνάρτηση Απορροφώμενη ισχύς. Πρόβλημα βελτιστοποίησης = Εύρεση των διαστάσεων των λειτουργικών μονάδων ώστε να ελαχιστοποιούν την απορροφώμενη ισχύ ικανοποιώντας τους περιορισμούς. 5

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Ελάχιστο μήκος σκάλας ώστε να ακουμπάει και στο έδαφος και σε τοίχο με ορθογώνιο εξόγκωμα. Μεταβλητές του προβλήματος: Ύψος y, οριζόντια προβολή x. Μήκος σκάλας: d = x 2 + y 2. Ομοιότητα τριγώνων ΑΒΓ, Α Β Γ : x = x a y β βx xy + ay = 0 Αντικειμενική συνάρτηση: d(x) = x 2 + βx x α 2 6

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Υδραυλικά βέλτιστη διατομή δεξαμενής, με βάση το ότι, για δεδομένη επιφάνεια, η παροχή είναι μέγιστη όταν η βρεχόμενη περίμετρος γίνεται ελάχιστη. Μεταβλητές προβλήματος: Πλάτος πυθμένα α, βάθος ροής β. Γεωμετρικά μεγέθη: Εμβαδό υγρής διατομής Ε = αβ. Βρεχόμενη περίμετρος Π = α +2β. Διατύπωση προβλήματος βελτιστοποίησης: (α opt,β opt ) min[π(α,β)], υπό τη συνθήκη E(α,β) = αβ = Ε 0. 7

8 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η επίλυση γίνεται με εφαρμογή κάποιας τεχνικής. Μαθηματική διατύπωση Εφαρμογή τεχνικής Λύση. Είδος τεχνικής Είδος του προβλήματος. Είδος προβλήματος Είδος αντικειμενικής συνάρτησης! Διαστάσεις του προβλήματος min[f m (x 1, x 2,, x n )]: Ανάλυση μιας (n = 1) ή περισσότερων (n > 1) μεταβλητών. Βαθμωτή (m = 1) ή διανυσματική (m > 1) ανάλυση. Από μαθηματικής πλευράς, έχουμε να χειριστούμε έναν αριθμό m βαθμωτών συναρτήσεων υπό την παρουσία (πραγματικών) πινάκων με διαστάσεις m x n. 8

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ 9

10 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ορθογώνια διάταξη αριθμών στις m x n διαστάσεις. x i,j x ij Στοιχείο με θέση στη γραµµή i και στη στήλη j. Ανάστροφος πίνακας Χ Τ : T xij xji (Αντί)Συμμετρικός πίνακας: T ( ) Προσαρτημένος πίνακας Χ C : Αφαιρούμε τη γραμμή i και τη στήλη j από τον Χ Διάνυσμα = Μονοδιάστατος πίνακας: k X x. k1 10

11 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ειδικές κατηγορίες πινάκων: Μηδενικός Όλα τα στοιχεία ίσα με 0. Τετραγωνικός Ίσος αριθμός γραμμών στηλών (m = n). Διαγώνιος Τετραγωνικός, μόνο τα διαγώνια στοιχεία 0. Μοναδιαίος Διαγώνιος, όλα τα μη μηδενικά στοιχεία = 1. Πράξεις με πίνακες Πράξεις με τα στοιχεία τους! Πρόσθεση Αφαίρεση m x n πινάκων: ij ij ij Αντίθετος πίνακας ενός m x n πίνακα: X x ij ij. Γραμμική υπέρθεση: X Y x y z. ij ij ij ij X Y x y. 11

12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (συν.) Πολλαπλασιασμός τετραγωνικών πινάκων. Συνδυαστικό γινόμενο όλων των στοιχείων (ανά γραμμή/στήλη): n X Y x y. ij k 1 Αντίστροφος πίνακας: Χ -1 Χ = Ι. ik kj Αντίστροφος = Ανάστροφος Ορθογώνιος πίνακας. Θετικά ορισμένος Υ T X Υ > 0 για κάθε Υ 0 ϵ R n. Θετικά ημιορισμένος Υ T X Υ 0 για κάθε Υ 0 ϵ R n. 12

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΡΙΤΟ Να βρείτε για ποιές τιμές των α 1, α 2, α 3, α 4 ο πίνακας Α = α 1 α 2 α 3 α 4 είναι αντιστρέψιμος, καθώς και τον Α -1. Για να υπάρχει ο Α -1, πρέπει να ισχύει ότι Α 0: Οι προσαρτημένοι πίνακες είναι ίσοι με: Ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα ολοκληρώνεται: 13

14 ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Περαιτέρω απλοποίηση συμμετρικών πινάκων. Ορισμός διαγωνιοποίησης πίνακα: Κάθε συμμετρικός πίνακας αναλύεται ως Χ = U T D U, όπου U ορθογώνιος πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων του Χ και D διαγώνιος πίνακας με στοιχεία τις ιδιοτιμές του Χ. Υπολογισμός ιδιοτιμών ιδιοδιανυσμάτων: Επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών λι Χ = 0 Χ Ξ = λξ. Οι θετικά ορισμένοι πίνακες έχουν ιδιοτιμές > 0. Οι θετικά ημιορισμένοι πίνακες έχουν ιδιοτιμές 0. 14

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ Να υπολογιστεί το c ώστε να αποτελεί ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α = c το διάνυσμα Χ = Χ ιδιοδιάνυσμα του Α Yπάρχει λ ϵ R ώστε Α Χ = λχ. Κάνουμε τις απαιτούμενες πράξεις (πρόβλημα ιδιοτιμών):. Απάντηση: Όταν c = 5/2, μια ιδιοτιμή του Α είναι ίση με 3 και έχει ως αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το διάνυσμα Χ. 15

16 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Διατύπωση προβλημάτων Κατηγορίες εφαρμογών Πράξεις με πίνακες 16