ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επαναληπτικές ασκήσεις - Καμπυλότητα συνάρτησης - Γενικές συνθήκες NCM

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επίλυση 3 ασκήσεων (μαθηματικό υπόβαθρο) Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α = Να αναπτύξετε τη συνάρτηση f 1 (x 1,x 2 ) = sin(5x 1 ) + ln(3x 2 ) 4x 1 2 x 2 3 σε σειρά Taylor 2 ης τάξης γύρω από το σημείο (-1, 2). Για x 1 x 2 0 βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f 2 (x 1,x 2 ) =2x 1 + 3x 1 x x 2 x 1. 2

3 Γεωμετρία και σύνολα σημείων: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Το τμήμα που ενώνει κάθε Κυρτό ζεύγος σημείων βρίσκεται όλο εντός του συνόλου. Μη κυρτό Κάθε άλλο σύνολο. Πράξεις ανάμεσα σε κυρτά σύνολα σημείων: Τομή κυρτών συνόλων Κυρτό σύνολο. Ένωση κυρτών συνόλων Κυρτό σύνολο??? Κυρτός συνδυασμός Αν S R n κυρτό σύνολο, X ι S και λ ι 0 (ι = 1,, k) με σk ι=1 λ ι = 1, τότε και σk ι=1 λ ι Χ ι S. 3

4 ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Είδη καμπυλότητας (ομοίως με των συνόλων): Η f είναι κυρτή όταν το τμήμα που ενώνει τυχαίο ζεύγος σημείων δε βρίσκεται ποτέ κάτω από το γράφημά της. Η f είναι κοίλη στην αντίθετη περίπτωση (ποτέ πάνω). Ορισμός της κυρτότητας: Έστω κυρτό S R n και f: S R. (X 1,X 2 ) S και λ [0,1], η f είναι κυρτή (κοίλη) αν f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) ( ) λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ). Αν δεν ισχύει το =, το είδος της καμπυλότητας λέγεται γνήσιο. 4

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Kάθε συνάρτηση v: R n R λέγεται νόρμα αν είναι μη αρνητική στο R n, θετική στο R n {0} και ικανοποιεί τις σχέσεις v(ax) = a v(x) και v(x+υ) v(x) + v(υ). Δείξτε ότι κάθε νόρμα είναι κυρτή συνάρτηση. Για X 1, X 2 R n και λ [0, 1], από τη 2 η ιδιότητα της νόρμας: v λx λ X 2 v λx 1 ) + v( 1 λ X 2. Με βάση τώρα την 1 η ιδιότητα της νόρμας: v λx λ X 2 v λx 1 ) + v( 1 λ X 2 = λv X 1 ) + 1 λ v(x 2. Ισχύει η ιδιότητα του κυρτού συνδυασμού v(x) κυρτή. 5

6 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ f κοίλη (κυρτή) - f κυρτή (κοίλη). Αν λ ι 0, σk ι=1 λ ι = 1 και f ι κυρτές συναρτήσεις, τότε f Χ) = σk ι=1 f ι (X κυρτή και f σk ι=1 λ ι X ι σk ι=1 λ ι f(x ι ). Αν f 1, f 2 είναι κυρτές και f 2 (γνησίως) αύξουσα, τότε η σύνθεση [f 2 f 1 ](Χ) = f 2 [f 1 (Χ)] είναι (γνήσια) κυρτή. f κυρτή f X 1 X 2 X 1 f X 2 f X 1. Αν ισχύει 2 f 0 (> 0), τότε η f είναι (γνήσια) κυρτή. Κάθε κρίσιμο σημείο (γνήσια) κυρτής συνάρτησης f είναι και (το μοναδικό) ολικό ελάχιστο της f. 6

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Δείξτε ότι οι συναρτήσεις f 1 X = ln e x 1 + e x 2 και f 2 X = x 1 2 4x 1 x 2 + 5x 2 2 ln x 1 x 2 είναι κυρτές. Για την f 1 αρκεί να δείξουμε ότι 2 f 1 0: 2 f 1 = ex 1+x2 1 1 (e x 1+e x 2) Ιδιοτιμές του 2 f 1 0, 2 2 f 1 0. f 2 = g 3 + g 4, με g 3 X = x 1 2 4x 1 x 2 + 5x 2 2, g 4 X = ln x 1 x 2. Αρκεί να είναι οι g 3, g 4 κυρτές. Για τις ιδιοτιμές του 2 g 3 : 2 g 3 = γ 3Ι 2 g 3 = γ γ 3 10 = γ γ = 0. Θετικές ρίζες (s = 12, p = 4) 2 g 3 0 g 3 κυρτή. g 5 (y) = ln(y) κυρτή (g 5 y = y 2 > 0) g 4 κυρτή. 7

8 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Υπάρχουν συναρτήσεις κυρτές σε υποσύνολο του συνόλου στο οποίο αναζήτουμε βέλτιστη λύση: Σχεδόν κυρτή Με σημεία καμπής εντός του συνόλου. Ψευδοκυρτή Με τα ακρότατα στα όρια του συνόλου. Κριτήριο προσεγγιστικά κυρτών συναρτήσεων: Για κάθε ζεύγος (X 1, X 2 ) του κυρτού συνόλου S R n και κάθε λ [0, 1], η συνάρτηση f: S R θα καλείται σχεδόν κυρτή αν ισχύει η σχέση f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) max{f(x 1 ), f(x 2 )}. Στην περίπτωση όπου ισχύει f(x 1 ) (X 2 -X 1 ) 0, η f θα καλείται ψευδοκυρτή εάν συγχρόνως ισχύει ότι f(x 2 ) f(x 1 ). 8

9 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Εύρεση τοπικών ακροτάτων: Έλεγχος για κρίσιμα σημεία σε όλο το σύνολο τιμών? Εν γένει, αρκετά χρονοβόρο! Στην περίπτωση που η f έχει συγκεκριµένες ιδιότητες, η διαδικασία απλοποιείται Κατηγορίες των συνθηκών βελτιστοποίησης. Ικανές: Aρκεί να ισχύουν για να υπάρχει το ακρότατο. Aναγκαίες: Απαραίτητες προϋποθέσεις για το ακρότατο. 9

10 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΝΟΤ CONSTRAINED Οι συνθήκες ελαχιστοποίησης για προβλήματα που δεν έχουν περιορισμούς (NCM) δεν είναι όμοιες με αυτές για προβλήματα παρουσία περιορισμών (CM). Στα προβλήματα χωρίς περιορισμούς, οι συνθήκες εκφράζονται με βάση τις παραγώγους της f. Δυο αναγκαίες συνθήκες δείχνουν ότι σε σηµείο που είναι τοπικό ελάχιστο πρέπει να ισχύουν ορισμένες ιδιότητες. Μια ικανή συνθήκη εξασφαλίζει την ύπαρξη ελαχίστου. Οι συνθήκες χαρακτηρίζονται ως 1 ης ή 2 ης τάξης, ανάλογα με την τάξη της εμπλεκόμενης παραγώγου. 10

11 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Αναγκαία συνθήκη ΝCM 1 ης τάξης: Έστω f: S R n R συνεχώς διαφορίσιµη. Αν το X* S είναι τοπικό ελάχιστο της f, τότε ισχύει f(x*) = 0. Αναγκαία συνθήκη ΝCM 2 ης τάξης: Έστω f: S R n R συνεχώς διαφορίσιµη με παραγώγους 1 ης και 2 ης τάξης. Αν το X* S είναι τοπικό ελάχιστο της f, τότε f(x*) = 0 και ο πίνακας 2 f(x*) είναι θετικά ημιορισμένος. Ικανή συνθήκη ΝCM 2 ης τάξης: Έστω f: S R n R συνεχώς διαφορίσιµη με παραγώγους 1 ης και 2 ης τάξης, και X* S. Αν f(x*) = 0 και ο 2 f(x*) είναι θετικά ημιορισμένος, τότε το X* είναι τοπικό ελάχιστο της f. 11

12 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Με χρήση του θεωρήματος Sylvester: Αν η f: S R n R έχει το κρίσιμο σημείο X* S και D ii είναι η (i,i)-υποορίζουσα του 2 f(x*), τότε: - D ii (X*) > 0 για κάθε i Χ* τοπικό ελάχιστο. - (-1) i D ii (X*) > 0 για κάθε i X* τοπικό μέγιστο. - D ii (X*) <> 0 ως προς το i X* σημείο καμπής. - D ii (X*) = 0 για κάποιο i Τι ισχύει για το X*??? Εύρεση ακροτάτων με χρήση μόνο των f, 2 f!!! Αν η f είναι κυρτή, για να βεβαιώσουμε την ύπαρξη ενός ελαχίστου αρκεί το πρώτο τμήμα της ικανής συνθήκης. Υπενθύμιση: f κυρτή Kρίσιμο σημείο = Oλικό ελάχιστο. 12

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΡΙΤΟ Να ελαχιστοποιηθεί η g X = x 1 2 x 1 x 2 + x 2 2 3x 2. Οι αναγκαίες συνθήκες 1 ης τάξης: g x 1 = 2x 1 x 2 = 0, g x 2 = x 1 + 2x 2 3 (= 0). Λύση συστήματος Χ*=(x 1 *,x 2 *)=(1,2). Ικανή συνθήκη (υποορίζουσες του 2 g): 2 g = x 1 x 2 g x 1 g x 1 x 1 x 2 g x 2 = g x D 11 = D 22 = 2 > 0 Χ* τοπικό ελάχιστο. 13

14 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Επαναληπτικές ασκήσεις Καμπυλότητα συνάρτησης Γενικές συνθήκες NCM 14