4. Sommerfeldov model metala

Transcript

1 4. Sommerfelov moel metala

2 Alalijsi metali

3 Plemeniti metali

4 Prijelazni metali prve grupe

5 4.. Plin slobonih eletrona To su osnovne pretpostave Sommerelova moela (198.g.), oji se u osnovni ne razliuje o Drueovog moela iz 1900.g.

6

7 Možemo zamisliti sloboni eletron oji se giba u zatvorenoj oci stranice L. Njegovo gibanja opisano je valnom funcijom ψ oja mora zaovoljavati Schröingerovu jenažbu, a i rubne uvjete. Kao prvo valna funcija mora iščezavati na granicama oce (rubni uvjet). Možemo cijeli prostor poijeliti na jenae oce i valna funcija se ne smije promijeniti za poma L iz jene oce u rugu (perioični rubni uvjet)

8 ψ (x+l) ψ (x) gje je ψ (x) 1/ L e ix ( je valni broj) U slučaju triimenzijsog moela umjesto L pišemo L V iz uvjeta perioičnosti slijei e i(x+l) e ix a to je ispunjeno samo ao je L π n

9

10 Uvrstimo i obivamo: Kolii je razma susjenih energijsih nivoa? Rai jenostavnost uzmimo jenoimenzionalni moel i ristal uljine L Na: E Energijsa razlia va susjena nivoa: Uzimajući u obzir n>>1 r h h E() ( n x + ny + n 8mπ ml h x h n () ( π n) 8mπ 8mπ te uslije N n h 1 E n+ 1, n << 1 Analogno π 1 ma N n + 1, n << 1 a N što znači a se za velie brojeve n, vantne varijable ao energija i valni broj pratiči mijenjaju ontinuirano ao u lasičnoj fizici (Bohrov princip orespoencije) Širina energijse vrpce ( ma π/a) h m h π Ema m ma ne ovisi o broju iona već samo svojstvima rešete. Na En + 1,n h E +1, n mn a n n h mn a h mn a z ) n [ ] (n+ 1) n

11 Gustoća stanja g(e): je brojčano jenaa broju vantnih stanja u jeiničnom intervalu energije i volumena V ( n) 1 n 1 g(e) n g(e) E E V E V Uupni broj energijsih stanja obit ćemo sumiranjem svih vantnih stanja (u svaom stanju mogu biti eletrona!!) onosno integriranjem po energijama o 0 o E o prije Rai jenostavnosti uzimamo VL 1 m n r V s, n g(e) E L n π n x x i prelazimo sa sume na integral V s, r r ( π) V s, ( π) g( E) E ( π ) V -prostor zamijenjujemo uglom n L ( π) 4π 1 π g( E) E pointegralne funcije) Onosno (ao su jenai ona su jenae i g(e) E π

12 Prisjetimo se erivirajmo: Uvrstimo uvrstimo u Dobivamo onačno za gustoću energijsih stanja u Sommerfelovu moelu Što nacrtano izglea h h me m E() h h m E m E E g(e) π h me m E h π me m g(e)

13 4. Eletronsi plin pri temperaturi apsolutne nule Na apsolutnoj nuli sva vantna stanja, o najnižeg o neog najvišeg popunjena su eletronima, a izna tog energijsa stanja su prazna. Energiju najvišeg popunjenog stanja na apsolutnoj nuli nazivamo Fermijva energija E F a pripani valni vetor Fermijev valni vetor F. Nađimo izraz za E F i F. N oncentracija pozitivnih iona Z broj oletiviziranih eletrona po ionu ZN oncentracija eletronsog plina Vezu između ZN i F nalazimo iz uvjeta a je uupan broj oletiviziranih eletrona jena broju zauzetih vantnih stanja na apsolutnoj nuli ρ() je Fermi-Diracova raspojela r ZN ρ( ) r s F r ρ() { 1 F 0 F

14 r ZN ρ( ) r s r ZN ρ( ) ( π ) sa sume prelazimo na integral integriramo o 0 o F F 4π ( π ) 0 1 r ( π) s, F F 4π 8π π E F F ZN onosno π h F h E F m m F ( ) / π ZN π ZN Tipične oncentracije eletrona u metalu iznose ZN 10 9 m -, pa je F m -.

15 Izraz za Fermijevu energiju možemo naći i ovao: Uvrstimo

16

17 Fermijevoj energiji možemo priružiti Fermijevu temperaturu T F E F / B Uslije veze viimo a energiji o 1 ev ogovara temperatura o K. U Tablici viimo a je Fermijeva energija u tipičnim metalima veća o 1 ev; znači Fermijeva temperatura iznosi neolio esetaa tisuća elvina, što olučujuće utječe na statističo ponašanje eletrona u metalima. Fermijeva energija >>o termičih energija KT zagrijavanjem metala o temperature taljenja, energija eletronso plina mijenja se vrlo malo.

18 Prosječna energija eletrona Uupna energija eletronsog plina u jeiničnom volumenu metala: U 0 ZN E /5 ZNE F

19 4.4. Toplinsi apacitet eletrona u metalima Prema lasičnoj statističoj fizici svai translacijsi stupanj sloboe ima prosjeu energiju ½ B T, za tri stupnja sloboe je prosječna energija / B T, znači prema Drueovom lasičnom moelu, eletronsi plin u metalu ima unutrašnju energiju te je prema efiniciji C V el δu/δt C l C rešete + C el 9/ R, a pousi aju na sobnoj temperaturi C R. Problem riješen primjenom Sommerfelovog moela 198.g. Eletroni su vantne čestice oje se ravnaju po Fermi-Diracovoj raspojeli 1 ρ(e) e E-E F KT + 1

20 Povišenjem temperature pobuđuju se samo čestice u poručju oo Fermijeve energije. Širina poručja je približno B T. Broj pobuđenih eletrona je mnogo mani o uupnog broja ZN te je stoga i oprinos toplinsom apacitetu mnogo manji o očeivanog lasičnog rezultata. Izračunajmo broj pobuđenih eletrona na vrlo jenostavan način: Pretpostavimo a gustoća stanja paa na nulu u energijsom intervalu širine B T i a oo Fermijeve energije ima pratiči onstantnu vrijenost ( pravoutni ). Množimo li gustoću stanja s intervalom energije obivamo približan broj pobuđenih eletrona N ef g(e F ) KT

21 Svaom pobuđenom eletronu energija se je povećala za KT, a ao njih ima N ef, za unutarnju energiju eletronsog plina možemo približno pisati U U o + N ef KT U o + g(e F ) (KT ) uslije C V el δu/δt C el V g(e F ) K T Točan proračun unutrašnje energije obiva se osta zahtjevnim proračunom poznatim ao Sommerfelov razvoj i obiva se π KBT CV g(ef ) što je pratiči isti rezultat (π / ) uvrstimo u m me izraz h ( ) F / g(e F ) E F π ZN π h m ZN π KBZNT obivamo (IZRAČUNATI!!!NE) g(ef ) CV E E π K napišimo u rugom obliu BZN KT CV prvi fator je jena E rezultatu lasične fizie, o rugi fator reucira taj rezultat (KT<<E F ) Možemo pisati i ao: C V γt B E F π K γ ZN F F F uvrstimo E F i ZN (IZRAČ.!!!NE) π h F γ F K B m

22 Uupni toplinsi apacitet će iznositi CV uu NK + γt time a je rugi član zanemariv na visoim temperaturama: No, ao je na vrlo nisim temperaturama oprinos optičih fonona toplinsom apacitetu zanemariv, ostaje samo oprinos austičih fonona i eletronsog plina C uu V ijeleći s T obivamo izraz Esperimentalno se mjeri γ β T + γt C uu V T γ esp β γ + βt i izračunata vrijenost m* zove se efetivna termiča masa eletrona 1π NK 5θ K F h B m