1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

Transcript

1 Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις ίδιες πράξεις με το και, επιπλέο, η εξίσωση α έχει τουλάχιστο μία ρίζα Έστω ο φαταστικός αριθμός τέτοιος, ώστε Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ είαι το σύολο τω αριθμώ της μορφής α+ β, όπου αβ, είαι πραγματικοί αριθμοί Re z Ο αριθμός α λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται α Ο αριθμός β λέγεται φαταστικό μέρος του z και συμβολίζεται β Im( z ), α+ β Re+ Im άρα z z z Α β, τότε ο z α+ α είαι πραγματικός αριθμός, οπότε z Im( z) β Α α, τότε ο z + β β λέγεται καθαρά φαταστικός αριθμός και αυτοί οι αριθμοί αποτελού έα υποσύολο του που συμβολίζεται με Ι Οπότε: z I Re( z) α Γεωμετρική ααπαράσταση μιγαδικού αριθμού Σε κάθε μιγαδικό αριθμό z εός καρτεσιαού επιπέδου και ατιστρόφως α+ β, αβ, μπορούμε α ατιστοιχίσουμε το σημείο M αβ, Το σημείο Μ λέγεται εικόα του μιγαδικού z και συμβολίζεται με M( z) Το διάυσμα OM λέγεται διαυσματική ακτία του z Ο άξοας λέγεται πραγματικός άξοας και περιέχει τις εικόες τω σημείω M α, τω μιγαδικώ z α + α Ο άξοας λέγεται φαταστικός άξοας και περιέχει τις εικόες τω τω φαταστικώ αριθμώ z + I σημείω M,β β β Σε κάθε μιγαδικό z α+ β ατιστοιχεί και η διαυσματική του ακτία OM Το επίπεδο του οποίου τα σημεία είαι εικόες μιγαδικώ αριθμώ λέγεται μιγαδικό επίπεδο χ β O Μ(z) α χ Ισότητα μιγαδικώ Μηδεικός μιγαδικός Δύο μιγαδικοί αριθμοί z α+ β και w γ+ δ είαι ίσοι, α και μόο α α γ και β δ Δηλαδή: z w α γ και β δ 3

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ mιγαδικοι Αριθμοι Συέπειες z α και β z α ή β Παρατήρηση Στο σύολο δε επεκτείεται η διάταξη, που ισχύει στο Δηλαδή, δε έχου όημα σχέσεις, όπως z> w ή z< w Α όμως ααφέρεται ότι z > με z α+ β, τότε θα πρέπει α> και β Δηλαδή z ΙΙ Πράξεις στο σύολο Πρόσθεση μιγαδικώ Έστω z α+ β και z γ+ δ Ορίζουμε: z z + ( α+ β )+( γ+ δ) ( α+ γ)+ ( β+ δ) + + και Im( z + z ) Im( z )+ Im( z ) Ισχύει: Re( z z ) Re z Re z Γεωμετρική ερμηεία Το άθροισμα z+ zπαριστάεται με τη διαυσματική ακτία OM του σημείου M( z+ z) η οποία βρίσκεται με το καόα του παραλληλογράμμου Δηλαδή: OM OM+ OM Η διαυσματική ακτία του αθροίσματος τω μιγαδικώ z και z είαι το άθροισμα τω διαυσματικώ ακτίω τους O Μ (z ) Μ (z ) Μ(z +z ) χ Αφαίρεση μιγαδικώ Είαι: z z z + ( z )( α+ β)+ ( γ δ) ( α γ)+ ( β δ) και Im( z z ) Im( z ) Im( z ) Ισχύει: Re( z z ) Re z Re z

3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Γεωμετρική ερμηεία Θεωρούμε το ατίθετο διάυσμα του OM ( γδ) ( γ δ), Τότε το σημείο M έχει συτεταγμέες, και είαι η εικόα του z Είαι OM OM OM+ OM ON Δηλαδή η διαυσματική ακτία της διαφοράς τω μιγαδικώ z και z είαι η διαφορά τω διαυσματικώ ακτιώ τους Ο Μ (z ) Μ (z ) χ Μ ( z ) Ν(z z ) Γεικά, α θεωρήσουμε το παραλληλόγραμμο που δημιουργού οι διαυσματικές ακτίες τω z, z, τότε η μια διαγώιος του είαι η διαυσματική ακτία του αθροίσματος z+ z και η άλλη διαγώιος είαι η διαυσματική ακτία της διαφοράς z z Ο Μ (z ) Μ (z ) Μ(z +z ) χ Πολλαπλασιασμός μιγαδικώ Έστω οι μιγαδικοί z α+ β και z γ+ δ, τότε: z z ( α+ β) ( γ+ δ) αγ ( + δ) + β( γ+ δ) αγ + αδ+ βγ+ βδ αγ + αδ+ βγ βδ ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) Άρα z z ( α+ β) ( γ+ δ) ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) Ν(z z ) Συζυγής μιγαδικός Για το μιγαδικό z α+ β ορίζουμε το συζυγή του z που είαι: z α+ β α β Είαι: zz ( α+ β)( α β) α + β Επειδή είαι και α β α+ β, οι α+ β, α β λέγοται συζυγείς μιγαδικοί Διαίρεση μιγαδικώ Έστω οι μιγαδικοί z α+ β και z γ+ δ, Για α εκφράζουμε το πηλίκο z α + β z γ+ δ, πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με το συζυγή του παραομαστή, οπότε: z α + β ( α+ β )( γ δ) ( αγ βδ)+ ( βγ αδ) αγ + βδ βγ αδ + z γ+ δ γ+ δ γ δ γ + δ γ + δ γ + δ ( ) + 5

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ mιγαδικοι Αριθμοι Ιδιότητες τω συζυγώ μιγαδικώ Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόες M( αβ, ) και M( α, β ) δύο συζυγώ μιγαδικώ z α+ β και z α β είαι σημεία συμμετρικά ως προς το πραγματικό άξοα β Μ(z) Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z α+ β και z α β, έχουμε: z z z+ z α Re( z) και Re( z) + χ Ο Μ (z) χ z z z z β Im( z) και Im( z) Α z α, τότε: z α+ α α z Δηλαδή, z z z Α z β I, τότε: z + β β β z Δηλαδή, z I z z Για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει: z z Για τους μιγαδικούς z,z,z αποδεικύεται ότι: z+ z z+ z z z z z z z z z v Για τους μιγαδικούς z, z,, z, είαι: v z+ z + + z z+ z + + z v z z z z z z z z z z v Α z z z z, τότε z z 6 Δύαμη μιγαδικού Οι δυάμεις εός μιγαδικού αριθμού z με εκθέτη ακέραιο ορίζοται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή: z z, z zz, z 3 z z, και γεικά z z z με και > Επίσης, α z, ορίζουμε: z, z, για κάθε z Ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω δυάμεω: κ κ λ κ+ λ z κ λ κ z z z, z, z λ z κλ κλ λ,, z Ιδιαίτερα για τις δυάμεις του έχουμε:, 6 ( ) ( ) 3 ( ) κοκ 8

5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Παρατηρούμε ότι οι δυάμεις του μετά το επααλαμβάοται μέχρι το 8 και είαι φαερό ότι, α προχωρήσουμε μέχρι το, θα συεχιστεί η επαάληψη τω δυάμεω κοκ Για το λόγο αυτό θεωρούμε τη ευκλείδεια διαίρεση του με το και έχουμε: υ π είαι π+ υ με υ3,,, π+ υ π υ Άρα, v υ π υ υ π, α α, α α, α α, α α υ υ υ υ3 Επίλυση της εξίσωσης αz +βz+γ, α,β,γ, α Α >, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις, τις: z, β ± α Α, τότε έχει μία διπλή πραγματική λύση, τη: z β α Α <, τότε έχει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις, τις: z β ±, α β γ Ισχύου οι σχέσεις: z+ z, zz α α 7

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ mιγαδικοι Αριθμοι Μεθοδολογία ασκήσεω - Λυμέες ασκήσεις η Κατηγορία Πράξεις μιγαδικώ Ότα δίεται μία παράσταση μιγαδικώ αριθμώ και θέλουμε α τη φέρουμε στη μορφή α+ β, χρησιμοποιούμε τις πράξεις που ορίσαμε στο και οι οποίες έχου τις ίδιες ιδιότητες με τις ατίστοιχες πράξεις στο Ισότητα μιγαδικώ- Μηδεικός μιγαδικός Έστω z α+ β και z γ+ δ Είαι z z α γ και β δ Έστω z α+ β, αβ, Είαι z α και β Σε ασκήσεις που υπάρχει Re ( z)ή Im( z), ατικαθιστούμε: z z Re( z) + z z και Im( z) Να γράψετε στη μορφή α+ β τους μιγαδικούς: z 3 και w ( + ) z 3 ( ) ( 3+ ) ( 3 ) ( 3+ ) w ( + ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: ( 3 + )+ + 8 ( + ) ( + ) ( 3 ) ± Α, τότε, εώ α, τότε + ( ) ( 3 6)+ ( ) 8

7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Πρέπει: ( + ) ή () Α, από τη () είαι: + Α, από τη () είαι + ( ) ή 3 3 Δίοται οι μιγαδικοί αριθμοί z και z Να γράψετε τους μιγαδικούς αριθμούς z και z στη μορφή α + β Να βρείτε τα α,β, α z z Είαι z ( + )( ) ( + ) ( ) και z α β α β β α + Ισχύει 8 z z 6 5 ( β α) β α β 6 β 8 α α 5 (α β) β, α,β Να βρείτε τις τετραγωικές ρίζες του μιγαδικού z 6+ 8 Έστω +,, η τετραγωική ρίζα του zτότε: ( + ) , ω ω > ω 8 ± 8 ± 6ω 6 ω 8 ή ω απορρίπτεται 9

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ mιγαδικοι Αριθμοι Α, τότε και α, τότε Άρα, οι τετραγωικές ρίζες του 6+ 8 είαι οι μιγαδικοί + και [ ] 5 Έστω οι μιγαδικοί z και fz z z Να αποδείξετε ότι Im fz Re( z ) Im( z ) + Κάοτας ατικατάσταση στη σχέση που μας ζητείται α αποδείξουμε, ισοδύαμα έχουμε: fz fz z z z z Im fz Re( z) Im( z) ( + ) z z z + z z z z z z z z z z+ z z z z z z z ( z zz + z+ zz z + z) z z z z z z+ z z που ισχύει 6 Για κάθε z, z, z3 α αποδείξετε ότι z Im( z z ) + z Im( zz) + z Im( z z ) zz zz z z z z zz z zz z z zz z 3 ( 3) 3 3z Im( 3) + Im( 3 ) + 3Im( ) + z zz zz 3 z( zz3 zz3)+ z( zz 3 ( zz 3 ) )+ z3( zz zz ) zzz 3 zzz 3 + zzz 3 zzz 3 + zzz 3 z3zz

9 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ η Κατηγορία: Δυάμεις στο, Α ο είαι συγκεκριμέος αριθμός, τότε θα θεωρούμε τη ευκλείδεια διαίρεση : και έστω κ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο, ισχύει: κ+ υ, κ και υ,,, 3, οπότε: π+ υ π υ v υ π υ υ π,,,, α α α α υ υ υ υ3 Α ο δε είαι συγκεκριμέος αριθμός, τότε θέτουμε διαδοχικά: κ, κ+, κ+, κ+ 3 και σε κάθε περίπτωση θα υπολογίζουμε τη δύαμη Σχέση της μορφής (α+β ) +(ββ α ) Ότα θέλουμε α αποδείξουμε ή ότα ισχύει μία σχέση της παραπάω μορφής, τότε πολλαπλασιάζουμε το πραγματικό μέρος εός από τους δύο μιγαδικούς με (γιατί ), βγάζουμε κοιό παράγοτα στη παρέθεση αυτή το ή το και κάοτας πράξεις καταλήγουμε στο ζητούμεο ( ) Δύαμη μιγαδικού z 3 Βρίσκουμε τα z, z, ώστε α προκύψει αποτέλεσμα με βάση το οποίο α υπολογίζοται όλες οι δυάμεις του z Τα συηθισμέα αποτελέσματα είαι: ± ή ± ή ± 3 7 Να αποδείξετε ότι: Είαι: Να βρείτε τις δυατές τιμές της παράστασης Π (+ )( 3 )(+ ), ( + ) Είαι Π ( + )( )( + )( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ( ) ) Α κ, κ, τότε:, και Π ( + ) ( ) ( + ) κ κ ( ) κ ( ) Α κ+, τότε:, και Π ( + ) ( + ) ( ) ( + ) κ + κ + κ ( ) +, οπότε:, οπότε:

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ mιγαδικοι Αριθμοι ( ) Α κ+, τότε:, και οπότε: Π ( ) ( ) ( + ) κ + κ + ( ) κ+ ( ) ( ) ( ) κ κ Α κ+ 3, τότε: κ+ 3 3, και 3 οπότε: Π ( ) ( + ) ( + ) ( + ), 9 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 3 A και B , Οι αριθμοί,,,, είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ Οπότε: + + ( )( ) A Sv ( + ) ( ) A Α κ, κ, τότε: A κ + κ Α κ+, τότε: A κ+ + κ ( + ) + Α κ+, τότε: A κ+ + κ Α κ+ 3, τότε: A κ+ 3 + κ Οι αριθμοί,,,, είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με α και λόγο λ Οπότε: ( ) + ( B Sv ) + ( ) + ( ) + Α ο είαι άρτιος, τότε B +, εώ, α ο είαι περιττός, B ) ( Α α,β, α αποδείξετε ότι: (α + β 6 β α ) 6 ος τρόπος ( ) ( + ) α+ β β α α β β α α β α+ β 6