5. POTENCIJALNA ENERGIJA ELASTI^NOG SISTEMA Pojam potencijalne energije elasti~nog sistema

Transcript

1 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema 5. POECIJAA EERGIJA EASIÔG SISEA 5.. Poam potecale eerge elat~og tema U predmetu ehaa II defa e poam potecalog pola egove oobe, ao poam potecale eerge. Ovde }e e amo taatvo abroat avaè oobe potecalog pola: a) eha~ rad u potecalom polu e zav od putae oom e re}e materala ta~a, ego amo od razle potecala po~etog raeg poloàa. b) U potecalom polu vred zao o odràu eerge, {to za~ da e rad pretvara u eergu obruto. c) U potecalom polu le oe deluu a materalu ta~u zave od poloàa materale ta~e u potecalom polu. Ovave le e azvau ozervatve le mau arater uutra{h la, er e uprotavlau retau ta~e a èg potecala a v{. d) ae le oe deluu uutar potecalog pola e zave od poloàa. Rad ovh la e poztva pr prelau materale ta~e a èg a v{ potecal, {to za~ da e rad ovh la traformra u potecalu eergu materale ta~e. Potecala eerga e poobot materale ta~e l tela da zvr{ rad u potecalom polu, zahvaluu} vom poloàu. Sve pobroae oobe defce vaè za potecalu eergu elat~og tema, er e pole elat~h la, tao e, potecalo pole. U prethodom poglavlu e zvede zraz za rad vah geeralah la: A (5.) Korte} oobu d) moè e re} da e potecala eerga tema edaa radu vah la a pomerama oa u poledca delovaa th la: (5.) Po{to e rad vah la eda egatvo vredot deformacoog rada, t. rada uutra{h la, moè e apat: S εd κd γd (5.3) Potecala eerga tema e azva deformacoa eerga. Dale, deforma elat~ tem poedue eergu da zvr{ rad dovola da e tem vrat u edeformao tae, {to b e delo uolo b e tem ratereto. Drugm re~ma, prlom optere}vaa elat~og tema vr{ e poztva rad, o e pretvara 75

2 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema u potecalu eergu optere}eog tema. U lu~au ratere}ea, ova potecala eerga b e pretvorla u rad uutra{h la, o e egatva om e elat~ tem vra}a u edeformao tae. Iz evvaletot dretog omplemetarog rada uutra{h la led evvaletot drete omplemetare potecale eerge. S EA EI GA (5.4) Sla 5.. a t a~ ao e to poazao za rad vah uutra{h la, zraz za dretu omplemetaru potecalu eergu e mo`e apat u vetorom oblu, preo pomeraa l preo la: (5.5) (5.6) Iz eda~a (5.5) (5.6) ao e da u potecala eerga omplemetara potecale eerga vadrate fuce geeralah pomeraa l geeralah la. 5.. Oobe potecale eerge elat~og tema Oobe potecale eerge omplemetare potecale eerge prot~u z ee defce. Potecala eerga omplemetara potecala eerga u uve poztve. Ovo e o~gledo z eda~e (5.4). Uzmau} u obzr eda~e (5.5) (5.6) to za~ da vred : > > (5.7) atrce rutot fleblot u poztvo defte, er u vadrate forme (5.7) poztva za ve vredot, odoo. Potreba dovola uvet da ea vadrata matrca bude poztvo defta e da u o ve aratert~e (optvee) vredot ve}e od ule: λ >,,,3,...,. 76

3 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema Potecala eerga od v{e utcaa e edaa um potecalh eerga uled delovaa vaog utcaa zaebo. Ova ooba e mo`e poazat a prmeru prazaom a lc 5.. Potecala eerga pomatrae prote grede uled delovaa ame le e:, a uled delovaa le :, gde u pomeraa ta~aa uled zaebh delovaa la. Uled delovaa obe le tovremeo, potecala eerga e edaa: ( ) gde u pomeraa ta~aa uled delovaa obe le tovremeo. Sla 5.. Razla zme u ove eerge zbra potecalh eerga od zaebh delovaa la e: ( ) ( ) ( ) ( ) apome e da potecala eerga tema a v{e la e zav od redoleda ao{ea la. Pretpotavmo da e u gorem lu~au prvo potavlea la. Potecala eerga tema e tada: Ao a ova tem potavmo lu, dodat rad }e bt eda: A ( ) ( ) Uupa potecala eerga e tada: A {to e edao potecalo eerg ada obe le deluu tovremeo. It rezultat e dobva, aravo, ada e prvo potav la pa la. 77

4 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema 5.3. otala potecala eerga elat~og tema Da b e potavo uvet ravoteè zme u vah uutra{h la or{teem eerge tema potrebo e uvet fucu oa u eb adr` rad vah la rad uutra{h la. Ovava eergeta fuca e u teor otruca uvedea pod pomom totala potecala eerga. otala potecala eerga e edaa zbru potecale eerge rada vah la: Π W (5.8) Prema eda~ (5.4) potecala eerga tema omplemetara potecala eerga tema u edae radu uutra{h la a promeem predzaom, odoo: S ε d κd γd Potecala eerga e moè zrazt ao rad vah la: (5.9) U zrazu za totalu potecalu eergu rad vah la W predtavla potreb rad vah la pr vra}au deformaog u edeforma poloà. Podrazumeva e da e ova rad vr{ a pomerama oa u poledca vah la, tao da e ova rad ra~ua prema obracu: W Uvr{tavaem eda~a (5.9) (5.) u eda~u (5.8) dobvamo: Π Uzmau} u obzr eda~e (5.4) (5.9) moè e apat: (5.) (5.) S Π d d d A ε κ γ u (5.) Dale, totala potecala eerga e edaa radu uutra{h la, odoo egatvom radu vah la. Uolo prv abra u eda~ (5.) zrazmo preo pomeraa, dobvamo: Π (5.3) Il u matr~om oblu: Π (5.4) 78

5 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema otala omplemetara potecala eerga e edaa zbru omplemetare potecale eerge radu vah la. Drugm re~ma oa e edaa totalo potecalo eerg, al e moèmo apat preo la: Π (5.5) Il u matr~om oblu: Π (5.6) 5.4. Dervaca potecale eerge. Prv teorem Catglao. Jeda~om (5.5) potecala eerga e zraèa preo geeralah pomeraa,,...,. Drugm re~ma, potecala eerga e vadrata fuca, 3 a promelvh:, (5.7) (,..., ) Prrat potecale eerge e utvar total dferecal gore fuce: Po{to e: d d d... d d (5.8) (5.9) Prva Catglao-va teorema gla: Prva parcala dervaca potecale eerge po edom od geeralah pomeraa e edaa odgovarau}o geeralao l (l oa delua e metu u pravcu geeralaog pomeraa). Uvr{tavau} (5.9) u (5.8) mamo: d d d (5.) 5.5. Dervaca omplemetare potecale eerge. Drug teorem Catglao. Prema eda~ (5.6) moèmo apat omplemetaru potecalu eergu ao fucu geeralah la:, (5.) (,..., ) 79

6 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema Potpuo aalogo ao e ura eo za potecalu eergu mamo: (5.) Druga Catglao-va teorema gla: Prva parcala dervaca omplemetare potecale eerge po geeralao l e edaa odgovarau}em geeralaom pomerau. Do pozatog obraca za prora~u pomeraa mo`e e do} pomo}u ove teoreme. Uolo eda~u (5.4) dervramo po l, dobvamo: S GA EI EA (5.3) Pree~e le u vaom preeu zave dreto od vah la mo`e e apat: gde u,, pree~e le zazvae ed~om lom., oa delue a metu u pravcu zadate vae le. Dervacom gorh eda~a dobva e: ; ; (5.4) Uvr{tavaem (5.4) u (5.3) dobva e pozat zraz za pomeraa: S GA EI EA (5.5) Ova obrazac e azva Catglao-ov tegral obrazac za pomeraa u oov e evvaleta axwell-ohr-ovom obracu za pomeraa. 8

7 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema 5.6. Eergeta terpretaca ravoteè Eergeta terpretaca ravoteè u eom potecalom polu }e e obat a prmeru materale ta~e mae m, oa e alaz u gravtacoom potecalom polu. a lc 5.3. prazaa u tr ravoteà poloàa. U lu~au (a) ta~a e alaz u ravoteòm poloàu a mmalom potecalom eergom. Uled delovaa ee le, uz uloè meha~ rad, ta~a e dovede u ov poloà gde ma ve}u potecalu eergu. ao pretaa delovaa le, oa e vra}a u prvobt ravote` poloà. Ovava ravoteà e azva tabla ravoteà u arater{e ~eca da materala ta~a pr tavo ravote` ma mmalu potecalu eergu. (a) (b) (c) Sla 5.3. U ravoteòm poloàu (b) materala ta~a ma mamalu potecalu eergu. Uolo e oa zvede z tog ravoteòg poloàa, e}e e vratt u ta poloà, ve} }e e udalavat od ega, atoe}, uled delovaa ozervatvh la pola (gravtaca), zauzet poloà a mmalom mogu}om potecalom eergom. Ovava ravoteà e azva lablom tada ta~a ma mamalu potecalu eergu. U lu~au (c) ta~a e preme{tea z edog ravoteòg poloà u drug a tom potecalom eergom. aterala ta~a e e}e vratt u ravote` poloà, al e e}e udalavat od ega, pa e aè da e ta~a alaz u dfereto ravote`. Sl~a prcp va` za potecalo pole elat~h la. Kreu}emo od zraza za totalu potecalu eergu eog deformaog elat~og tema zraèu preo pomeraa deformaca: S GA Π W EAε d EIκ d γ d (5.6) Pretpotavmo da u datom temu aop{tea mala pomeraa, tao da e z edog deformaog taa pre{ao u drugo. Poledca toga mora bt promea totale potecale eerge: Π S Π EA( ε ε ) d EI( κ κ ) d ( γ γ ) d ( ) GA 8

8 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema Sre vaem goreg zraza, uz zaemaree ~laova ε, κ, γ ao malh vel~a v{eg reda, dobva e zraz za varacu potecale eerge: S GA Π EAεεd EIκκ d γγ d Korte} veze zme u pree~h la deformaca, dobvamo: S Π εd κ d γ d Dea traa gore edaot predtavla rad uutra{h vah la a dodatm deformacama, odoo pomerama. Kao dodata pomeraa mau arater vrtuelh pomeraa a deo tra mamo utvar zraz za uup vrtuel rad uutra{h vah la. Iz agrage-ovog prcpa vrtuelh radova led da za tem u ravote` ova rad mora bt eda ul: odoo: S εd κ d γ d Π (5.7) Re~ma azao: Stem e u ravote` ao e totala potecala eerga tacoara, t. ada e varaca totale potecale eerge edaa ul l od vh mogu}h pomeraa oa zadovolavau rube ulove po pomerama, ytem u ravote` ma oa pomeraa pr oma totala potecala eerga poprma tacoaru vredot. o za~ da u tau ravoteè totala potecala eerga ma etremu vredot. Da l e ta etrema vredot mmala l mamala moè e utvrdt a oovu predzaa druge varace potecale eerge. Upore uu} eda~e (5.6) (5.7) vdlvo e da e prva varaca ee fuce tra` a t a~ ao prva dervaca: f f f f ( x, x,... ) f f... f x x x Pomova razla zme u dervace varace e to {to e dervaca fuce e prrat uled ftezmalog prrata eh argumeata, a varaca fuce e promea vredot fuce zbog ee mogu}e promee u to ta~ bez promee argumeta. Dale, varaca fuce ma vrtuel arater, a matemata pravla za proalaèe varaca odgovarau oma za proalaèe dervaca. U ladu tm }emo potra`t drugu varacu totale potecale eerge: Π Π Π Π Π Π Π ε κ γ εκ εγ κγ Π ε κ γ εκ εγ κγ 8

9 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema Π Π Π GA EAd; EId; d ε κ γ ; Sve me{ovte druge dervace u edae ul., tao da mamo: S GA Π EAε d EIκ γ > Iz gore eda~e e vdlvo da druga varaca totale potecale eerge mora bt poztva, {to za~ da u tau ravoteè totala potecala eerga ma mmalu vredot. Uolo totalu potecalu eergu zrazmo lu~vo preo pomeraa, mamo: Π, (5.8) (,..., ) Potecala eerga pr varac pomeraa e: ( )( ) ( Π Π ) (5.9) Sre vaem goreg zraza, uz zaemaree ~laa ao male vel~e v{eg reda, dobva e zraz za varacu potecale eerge: Π (5.3) Za tem u ravote` varaca potecale eerge e edaa ul: Π ) (5.3) Il apao u matr~om oblu: ( ) Π (5.3) er u vrtuela pomeraa razl~ta od ule od deformablh tela. Sl~a razmatraa e mogu provet za omplemetaru potecalu eergu. Dale, ada pomatramo em u ravote` o e zloè prome la, uled ~ega e do{lo do promee uutra{h la. otala omplemetara eerga zraèa preo la e: S Π W d d d EA EI GA (5.33) Pr varac la dolaz do promee omplemetare eerge, tao da e varaca totale potecale eerge edaa: 83

10 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema S Π d d d EA EI GA Korte} veze zme u pree~h la deformaca, dobvamo: S Π ε d κ d γd a deo tra mamo zraz za uup omplemetar vrtuel rad, o prema agrage-ovom prcpu mora bt eda ul za tem u ravote`, {to za~ da e za tem u ravote` varaca totale omplemetare potecale eerge edaa ul. Π (5.34) Druga varaca totale omplemetare potecale eerge edaa e: S GA Π EA d EI > Sve me{ovte druge dervace u edae ul., tao da mamo: S GA γ Π EAε d EIκ > o za~ da druga varaca totale omplemetare potecale eerge mora bt poztva, {to za~ da u tau ravote`e totala omplemetara potecala eerga ma mmalu vredot. otalu omplemetaru potecalu eergu mo`emo zrazt lu~vo preo geeralah la: Π (,,..., ) (5.35) Potecala eerga pr varac pomeraa e: ( )( ) ( Π Π ) (5.36) Sre vaem goreg zraza, uz zaemaree ~laa ao male vel~e v{eg reda, dobva e zraz za varacu potecale eerge: Π (5.37) Za tem u ravote` varaca potecale eerge e edaa ul: Π (5.38) 84

11 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema Il apao u matr~om oblu: ( ) Π (5.39) 5.7. etoda la Jeda~om (5.39) praza e ulov ravoteè dat preo pomeraa, a zvede eergetm razmatrama elat~og tema. Pomatramo elat~ tem praza a lc 5.4. optere}e a tr le. otala omplemetara eerga e edaa: Π Sla 5.4. U gorem zrazu epozata u pomeraa araca omplemetare eerge, prema eda~ (5.39) e edaa: ~laov matrce fleblot. ( ) ( ) ( ) Po{to u varace la razl~te od ule, gora eda~a moè bt zadovolea edo u lu~au da u zadovolee lede}e eda~e, oe utvar predtavlau poledu vetoru eda~u u zrazu (5.39): U gorm eda~ama epozata u pomeraa fator o predtavlau pomerae ta~e od ed~e le oa delue a metu u pravcu le. Kao e pozato ova pomeraa e mogu zra~uat pomo}u axwell-ohr-ovog obraca, t. premoàvaem dagrama uutra{h la od ed~h la a metma. e utm, po{to e rad o temu o ma uv{e rubh ulova dath preo pomeraa, ove dagrame e mogu}e zra~uat. Stoga e potrebo ulot uv{e veze (rube ulove po pomerama) zamet h lama. a ta a~ e dobva 85

12 eora lh oa~a II Potecala eerga elat~og tema tat~ odre e oa~, gde e pree~e le mogu}e dobt lu~vo z ulova ravoteè. Dale, ada mamo tat~ odre e oa~, optere}e zadatm lama lama u uloem vezama X, praza a lc X X Sla 5.5. Sada vetor la ma {et ~laova, me utm po{to u le X 3 pozate mogu}e e a} hovu rezultatu, ou }emo oza~t a p, a pomerae a metu u pravcu rezultate a. Uolo pomeraa a metma la X oza~mo a, eda~a (5.39) poprma obl: p X X X P 3 3 P X X X P 3 3 P X X X P P 3 X X X P P P3 3 p gde u: X, X, X 3 epozate le u uloem vezama, pomerae a metu u pravcu le X od delovaa ed~e le u pravcu X, PP p pomerae a metu u pravcu le u pomeraa oa u X od delovaa optere}ea, a,, 3 zadata rubm ulovma. Uolo ema legaa oloaca ove vredot u edae ul. Prve tr eda~e, oma e opa ulov ompatblot, predtavlau pozat tem eda~a metode la, do e ~etvrta moè ortt za prora~u pomeraa ta~e u oo delue rezultata la, ao {to e ra~uau le u uloem vezama. oè e zalu~t da e eda~e metode la, eog elat~og uravoteèog tem, uve dobvau z ulova ompatblot pomeraa (vredot pomeraa odgovarau pomerama oa u zadata rubm ulovma) bez obzra a to ao e potavla rter ravoteè. 86