KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE
|
|
|
- Ἀπόλλωνιος Αλεξάνδρου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE
2 Kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti neprebrojivo (beskonačno mnogo vrijednosti. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE UVOD Razlike diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli: - područje vrijednosti diskontinuirane varijable predstavlja konačno ili prebrojivo mnogo diskontinuiranih (diskretnih vrijednosti - područje vrijednosti kontinuirane varijable predstavlja neki interval na brojevnom pravcu ili čak čitav pravac Za razliku od diskretnih slučajnih varijabli gdje svaka vrijednost varijable ima neku konačnu vjerojatnost, svaka moguća vrijednost kontinuirane slučajne varijable imat će infinitezimalno malenu vjerojatnost (npr: visina studenata ili temperatura otopine. Stoga, kod kontinuirane varijable vjerojatnost možemo pridružiti NEKOM INTERVALU, ali pojedinačna vrijednost varijable ima VJEROJATNOST NULA!
3 DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE (kratka digresija! za diskretnu slučajnu varijablu koja može poprimiti vrijednosti,, funkcija vjerojatnosti je funkcija za koju vrijedi: kumulativna funkcija raspodjele diskretne slučajne varijable X je funkcija sa sljedećim svojstvima F ( 0 i 0 p( i ta funkcija pokazuje kolika je vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi bilo koju vrijednost manju od 0 ili jednako 0 (kraj digresije!
4 FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI - kod diskretne varijable govorili smo o funkciji raspodjele vjerojatnosti koja je svakoj vrijednosti varijable pridruživala određenu vjerojatnost - kod kontinuirane slučajne varijable uvodimo funkciju gustoće vjerojatnosti f(, koja. ima slijedeća svojstva: f ( 0. f ( d - ukoliko područje vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nije čitav pravac, već samo određeni interval [a,b] te vrijedi da je f(=0 za svaki vrijednost varijable izvan tog intervala, onda možemo pisati : b a f ( d 3. f ( d P -pri tome su i bilo koje dvije vrijednosti varijable koje zadovoljavaju nejednakost <
5 FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI. f ( 0. f ( d -ovo svojstvo je potrebno kako bi vjerojatnost bila normirana, odnosno ovim svojstvom se zadovoljava uvjet da vjerojatnost sigurnog događaja bude (odnosno to je vjerojatnost da varijabla poprimi bilo koju vrijednost iz područja svoje definicije
6 Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla poprimi vrijednost unutar segmenta a X b je dana sa sljedećim integralom: b a a F b F d f b X a P ( ( ( ( FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI ( P d f 3. - nadalje, iz ovog uvjeta proizlazi jasno da je vjerojatnost pridružena točno određenoj vrijednosti i kontinuirane varijable jednaka nuli (integral je nula
7 Funkcija gustoće vjerojatnosti nije vjerojatnost, ali je tom funkcijom određena vjerojatnost koja pripada određenom intervalu! FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI - grafička interpretacija navedenih svojstava Funkcija gustoće vjerojatnosti nije vjerojatnost već je to funkcija koja opisuje relativnu vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla poprimi određenu vrijednost, odnosno to je funkcija koja određuje vjerojatnost da varijabla poprimi određenu vrijednost unutar određenog intervala. f(d je element vjerojatnosti i predstavlja vjerojatnost da varijabla poprimi određenu vrijednost unutar intervala [, +d]
8 KUMULATIVNA FUNKCIJA RASODJELE Funkcija gustoće vjerojatnosti f( je derivacija kumulativne funkcije raspodjele F(: f( = F ( Odnosno, kumulativnu funkcija raspodjele F( može se na ovaj način definirati iz funkcije gustoće vjerojatnosti f(: F ( f ( d - vrijednost kumulativne funkcije raspodjele (F( kontinuirane varijable u nekoj točki 0, (F( 0 predstavlja vjerojatnost da varijabla poprimi vrijednost jednaku ili manju vrijednosti 0 - u geometrijskoj interpretaciji to je površina ispod krivulje
9 KUMULATIVNA FUNKCIJA RASODJELE Kumulativna funkcija raspodjele (F je funkcija koja potpuno opisuje raspodjelu vjerojatnosti za kontinuiranu slučajnu varijablu X, a ima sljedeća svojstva: F je monotono rastuća funkcija : b a - F(b F(a F je kontinuirana s desne strane: lim a F( F( a 3 F je normirana i vrijedi: lim F( 0 lim ( F - vrijednost kumulativne funkcije raspodjele (F( kontinuirane varijable u nekoj točki 0, (F( 0 predstavlja vjerojatnost da varijabla poprimi vrijednost jednaku ili manju vrijednosti 0
10 KUMULATIVNA FUNKCIJA RASODJELE vrijednost funkcije F u točki predstavlja vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju ili jednaku vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost a X b je: P (a X b = P(X b P(X a = F(b F(a gdje se koristi činjenica da je {X a} U {a X b} = {X b} podsjetnik - vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi točno određenu vrijednost je: P (X = = 0
11 KUMULATIVNA FUNKCIJA RASODJELE Vrijednost kumulativne funkcije raspodjele F u točki predstavlja vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju ili jednaku F ( P( X f ( d
12 KOMPLEMENTARNA KUMULATIVNA FUNKCIJA RASPODJELE Vrijednost komplementarne kumulativne funkcije F C raspodjele predstavlja vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost veću od neke određene vrijednosti : F ( P( X F( f ( d C
13 KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA sažetak Slučajna varijabla je kontinuirana ili ima kontinuiranu raspodjelu ako je njena (kumulativna funkcija raspodjele kontinuirana. Raspodjela vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable se ne može prikazati funkcijom koja bi različitim vrijednostima varijable pridružila neku određenu vjerojatnost. Budući da oko svake vrijednosti kontinuirane slučajne varijable postoji neka okolina koja sadrži neprebrojivo beskonačno mnogo vrijednosti, zbroj tih svih vjerojatnosti ne bi bio konačan. Stvarno značenje imat će samo vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla poprimi vrijednost iz određenog intervala.
14 MOMENTI (očekivana vrijednost, varijancija, - definiranje očekivane vrijednosti i varijancije slično je onome koje smo načinili kod diskretne slučajne varijable, s tom razlikom da smo ovdje sumu zamijenili integralom općenito i i f ( d - naziva se i-tim ishodišnim momentom (uz uvjet da navedeni integral apsolutno konvergira ' i i ( f ( d - naziva se i-tim središnjim (centralnim momentom (uz uvjet da navedeni integral apsolutno konvergira
15 DIGRESIJA
16 DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE srednja ili očekivana vrijednost diskretne slučajne varijable je zbroj udaljenosti svih slučajnih varijabli od njihove srednje vrijednosti jednak je nuli (analogija sa osnovama statistike i srednjom vrijednosti gdje smo rekli da je srednja vrijednost ona za koju vrijedi da je oko nje suma odstupanja nula Teorem y a b
17 DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE varijanca diskretne slučajne varijable varijanca govori o raspršenju slučajnih varijabli oko njihove srednje vrijednosti, a naziva se još i srednji kvadrat odstupanja
18 KRAJ DIGRESIJE
19 OČEKIVANA VRIJEDNOST f ( d - srednja ili očekivana vrijednost kontinuirane slučajne varijable s pridruženom funkcijom gustoće vjerojatnosti f( ' ( f ( d 0 - odstupanje od srednje odnosno očekivane vrijednosti (kao i kod diskretne varijable gdje smo definirali srednju vrijednost kao vrijednost za koju je suma odstupanja svih varijabli nula
20 VARIJANCIJA ( f ( d - varijancija (ili drugi središnji moment kontinuirane slučajne varijable s pridruženom funkcijom gustoće vjerojatnosti f( - standardna devijacija pozitivna vrijednost drugog korijena varijancije
21 NEKE KONTINUIRANE RASPODIJELE
22 KONTINUIRANA JEDNOLIKA (PRAVOKUTNA RAZDIOBA Neka je varijabla definirana na intervalu [a, b], a funkcija f( pripadajuća funkcija gustoće vjerojatnosti za koju vrijedi da na intervalu [a, b] ima vrijednost f(=c (C je konstanta, dok za vrijednosti izvan intervala [a, b] vrijedi f(=0. S obzirom na prethodno navedena svojstva funkcije gustoće vjerojatnosti, mora vrijediti: C b a Za navedenu kontinuiranu slučajnu varijablu s pripadajućom funkcijom gustoće f(=/(b-a kažemo da ima pravokutnu ili jednoliku raspodjelu. Odnosno, kontinuirana slučajna varijabla ima kontinuiranu jednoliku (pravokutnu raspodjelu na intervalu [a, b] ako je njena funkcija gustoće vjerojatnosti na tom segmentu konstantna, a izvan njega jednaka 0.
![KONTINUIRANA JEDNOLIKA (PRAVOKUTNA RAZDIOBA Kolika vjerojatnost pripada intervalu [, ] slučajne kontinuirane varijable](/docs-images/82/86890798/images/23-0.jpg "raspodijeljene po jednolikoj (pravokutnoj raspodjeli?")
23 KONTINUIRANA JEDNOLIKA (PRAVOKUTNA RAZDIOBA Kolika vjerojatnost pripada intervalu [, ] slučajne kontinuirane varijable raspodijeljene po jednolikoj (pravokutnoj raspodjeli? ( P d f općenito: ( a b d a b d f P konkretno: - grafička interpretacija:
24 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA, ; ( f ( e f d e F F (, ; ( Za kontinuiranu slučajnu varijablu vrijedi da ima Gaussovu ili normalnu raspodjelu ukoliko je njena funkcija gustoće vjerojatnosti: Pripadajuća kumulativna funkcija raspodjele u tom slučaju je :
25 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA - Gaussova raspodjela je simetrična s obzirom na pravac =μ - krivulja je zvonolika oblika s dvije točke infleksije T (μ-σ i T (μ+σ, što implicira da će krivulja biti to uža (a time i viša jer je normirana na što je σ manja (slijedeća slika - asimptotski se približava osi
26 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA
27 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA Ukoliko uvedemo novu varijablu: u Dobit ćemo pojednostavljeni izraz: ( u e u
28 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA Gaussova raspodjela je centrirana u nuli i za σ= dobijemo jediničnu ili standardnu normalnu raspodjelu: ( u e u za koju su pripadajuće vrijednosti tabelirane. Iz standardne normalne raspodijele jednostavno izračunamo ogovarajuće vrijednosti za inicijalnu funkciju f(: Pripadajuća kumulativna raspodjela ili Gaussov integral pogreške: ( ( u f du e u u u ( ( ( u f
29 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA Notacija : Gaussova ili normalna raspodjela sa srednjom vrijednosti μ i varijancijom σ : N(μ, σ Slučajna varijabla X ima Gaussovu ili normalnu raspodjelu: X ~ N(μ, σ (jedinična standardna Gaussova ili normalna raspodjela N (0,
30 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA Ako je X ~ N(μ, σ, tada je (X μ/σ ~ N (0,. Ako je X ~ N(μ, σ, tada je ax + b ~ N(aμ+b, a σ. Ako su X i X neovisne slučajne varijable koje imaju normalne raspodjele: X ~ N(μ, σ i X ~ N(μ, σ onda vrijedi da su (X + X te (X - X također normalne raspodijele: X + X ~ N(μ +μ, σ +σ X - X ~ N(μ -μ, σ -σ
31 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA vjerojatnost - neka je kontinuirana slučajna varijabla čija je funkcija gustoće vjerojatnosti Gaussova raspodjela: ~ N(μ, σ ( e f - uvedemo supstituciju : u - vjerojatnost da ta varijabla poprimi neku vrijednost iz intervala (, jest: d e P (
32 - i dobijemo jediničnu Gaussovu raspodjelu za varijablu u (u~n (0, te je pripadajuća vjerojatnost : NORMALNA (GAUSSOVA RASPODJELA vjerojatnost du e P u u u ( u u - pretpostavimo da je =μ (time je u =0, pripadajuća vjerojatnost je tada: du e P u P u u 0 ( ( - sa slike vidimo kolika je pripadajuća vjerojatnost
33 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA vjerojatnost - postoje tablice s tabeliranim vrijednostima vjerojatnosti za različite vrijednosti u - zbog simetričnosti Gaussove raspodijele u tablici se nalaze samo pozitivne vrijednosti u
34
35
36
37 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA vjerojatnost Primjer: ~ N(μ=0, σ =4, izračunajte: a vjerojatnost da je slučajna kontinuirana varijabla veća od 7 i manja od,5. b vjerojatnost da poprimi bilo koju vrijednost manju od,5 c vjerojatnost da poprimi vrijednost veću od,5. RJEŠENJE: jer se tražene vrijednosti varijable nalaze s lijeve i a tražena vjerojatnost je P(7 < <,5 = P(u + P(u s desne strane očekivane vrijednosti izvršimo supstituciju i izračunamo: u = ( 7-0 / =,50; u = (,5-0 / = 0,75 iz tablice očitamo: P(u = P(,50 = P(u = P(0,75 = 0,4339 0,7337 P(7 < <,5 = P(u + P(u = 0, ,7337 = 0,70656 b P( <,5 = 0,5+ P(u = 0,77337 koristimo činjenicu da je Gaussova raspodjela simetrična te je vjerojatnost da je varijabla negativna jednaka 0,5. c P( >,5 = 0,5- P(u = 0,663
38 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA vjerojatnost - u primjeni se često nailazi na slučajeve u kojima se traži vjerojatnost za intervale poput: (μ u σ < < μ + u σ -iz tablice vidimo da pri normalnoj raspodijeli 95,45 % vrijednosti varijable zadovoljava nejednakost: μ σ < < μ + σ (99,73 % za μ 3 σ < < μ + 3 σ
39 Teorem: Zadano je N međusobno nezavisnih slučajnih varijabli, opisanih proizvoljnim gustoćama vjerojatnosti. Ako od tih varijabli napravimo novu slučajnu varijablu oblika zbroja ( X =/N(X +X + +X N, tada je raspodjela gustoće vjerojatnosti te nove varijable dana Gaussovom raspodjelom. Ova je tvrdnja utoliko točnija što je N veći broj (ukoliko populacija osnovne varijable nije raspodijeljena po Gaussovoj raspodijeli poželjno je da je N barem veći od 30. NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA SREDIŠNJI GRANIČNI TEOREM TEOREM: Neka je dana populacija sa srednjom vrijednošću μ i standardnom devijacijom σ. Neka je srednja vrijednost od n slučajno odabranih nezavisnih opservacija iz te populacije. Distribucija uzorkovanja srednje vrijednosti približava se normalnoj sa očekivanjem μ i standardnom devijacijom σ (n -/ kada n
40 NORMALNA (GAUSSOVA RASPODIJELA SREDIŠNJI GRANIČNI TEOREM Ovaj se teorem naziva središnji (centralni granični teorem. Njime Gaussova raspodjela dobiva iznimno važno mjesto u statističkoj teoriji. Prvi ga je postavio Laplace 8, a strogi dokaz daoje Lyapunov pri tome je srednja vrijednost srednjih vrijednosti uzoraka jednaka je srednjoj vrijednosti populacije: μ = μ - standardna devijacija srednjih vrijednosti uzoraka je manja od standardne devijacije populacije, a jednaka je standardnoj devijaciji populacije podijeljenoj s drugim korijenom ukupnog broja podataka u uzorku: X n
41
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti, tada je
Višekomponentne slučajne varijable Srednje vrijednosti i momenti Definicija srednje vrijednosti Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA Seminarski rad KOLEGIJ: Odabrana poglavlja inženjerske matematike AKADEMSKA GODINA: 2016/2017
Kontinuirane slučajne varijable.
Kontinuirane slučajne varijable. Diskretne slučajne varijable povezane su s prebrojavanjem u nekom pokusu. One primaju konačan skup vrijednosti (ili možda beskonačan, ali je tada nužno prebrojiv i diskretan).
5. lekcija. Kontinuirane slučajne varijable.
5. lekcija. Kontinuirane slučajne varijable. Diskretne slučajne varijable povezane su s prebrojavanjem u nekom pokusu. One primaju konačan skup vrijednosti (ili možda beskonačan, ali je tada nužno prebrojiv
PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
VJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.
Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica