ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γνωριμία με τη Mathematica 11. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Βασικές αρχές 34. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Λίστες 74. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Δισδιάστατα γραφικά 101

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γνωριμία με τη Mathematica 11. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Βασικές αρχές 34. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Λίστες 74. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Δισδιάστατα γραφικά 101"

Transcript

1

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γνωριμία με τη Mathematica Συμβολισμοί και Συμβάσεις 1. Ο Πυρήνας και η Εμπροσθοφυλακή 1.3 Οι Ιδιοτροπίες της Mathematica 1.4 Η Mathematica Δίνει Ακριβή Αποτελέσματα 1.5 Βασικές Αρχές της Mathematica 1.6 Κελιά 1.7 Βοήθεια 1.8 Πακέτα 1.9 Μια Πρόγευση Αυτών που θα Aκολουθήσουν ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βασικές αρχές 34.1 Σταθερές. "Ενσωματωμένες" Συναρτήσεις.3 Βασικές Αριθμητικές Πράξεις.4 Αλφαριθμητικά.5 Ανάθεση Τιμής, Αντικατάσταση, και Λογικές Σχέσεις.6 Αθροίσματα και Γινόμενα.7 Βρόχοι.8 Εισαγωγή στη Σχεδίαση Γραφημάτων.9 Συναρτήσεις Οριζόμενες από το Χρήστη.10 Πράξεις με Συναρτήσεις.11 Υπομονάδες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Λίστες Εισαγωγή 3. Δημιουργία Λιστών 3.3 Χειρισμός Λιστών 3.4 Θεωρία Συνόλων 3.5 Πίνακες και Μήτρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Δισδιάστατα γραφικά Σχεδίαση Γραφημάτων Συναρτήσεων μίας Μεταβλητής 4. Περισσότερες Διαταγές Γραφικών 4.3 Ειδικά Δισδιάστατα Γραφήματα 4.4 Κινούμενες Εικόνες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Tρισδιάστατα γραφικά Σχεδίαση Γραφημάτων Συναρτήσεων δύο Μεταβλητών 5. Άλλες Διαταγές Γραφικών 5.3 Ειδικά Τρισδιάστατα Γραφήματα 5.4 Βασικά Σχήματα Αρχέτυπα Τρισδιάστατων Γραφικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εξισώσεις Επίλυση Αλγεβρικών Εξισώσεων 6. Επίλυση Υπερβατικών Εξισώσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Άλγεβρα και τριγωνομετρία Πολυώνυμα 7. Ρητές και Αλγεβρικές Συναρτήσεις 7.3 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 7.4 Οι Τεχνικές της Απλοποίησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Διαφορικός λογισμός Όρια 8. Παράγωγοι 8.3 Μέγιστες και Ελάχιστες Τιμές 8.4 Δυναμοσειρές 9

4 10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ολοκληρωτικός λογισμός Αντιπαράγωγοι 9. Ορισμένα Ολοκληρώματα 9.3 Συναρτήσεις που Ορίζονται με Ολοκληρώματα 9.4 Αθροίσματα του Riemann ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Λογισμός σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Μερικές Παράγωγοι 10. Μέγιστες και Ελάχιστες Τιμές 10.3 Ολικό Διαφορικό 10.4 Πολλαπλά Ολοκληρώματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Αναλυτικές Λύσεις 11. Αριθμητικές Λύσεις 11.3 Μετασχηματισμοί Laplace ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γραμμική άλγεβρα Διανύσματα και Μήτρες 1. Πράξεις με Μήτρες 1.3 Χειρισμός Μητρών 1.4 Γραμμικά Συστήματα Εξισώσεων 1.5 Ορθογωνιότητα 1.6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 1.7 Διαγωνιοποίηση και Κανονική Μορφή Jordan ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α.1 Γνήσιες Συναρτήσεις Α. Θέματα Α.3 Υποδείγματα 341 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ 347

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Άλγεβρα και τριγωνομετρία 7.1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Καθώς τα πολυώνυμα κυριαρχούν στη άλγεβρα, η Mathematica παρέχει διαταγές αποκλειστικά γι' αυτά. Η διαταγή PolynomialQ[παράσταση, μεταβλητή] επιστρέφει την τιμή True αν η παράσταση είναι πολυώνυμο της μεταβλητής. Αν όχι, επιστρέφει την τιμή False. Η διαταγή Variables[πολυώνυμο] επιστρέφει μια λίστα με όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές του πολυωνύμου. Η διαταγή Coefficient[πολυώνυμο, τύπος] επιστρέφει το συντελεστή που έχει ο τύπος του πολυωνύμου. Η διαταγή Coefficient[πολυώνυμο, τύπος, n] επιστρέφει το συντελεστή που έχει ο τύπος της νιοστής (n) δύναμης του πολυωνύμου. Η διαταγή CoefficientList[πολυώνυμο, μεταβλητή] επιστρέφει μια λίστα με τους συντελεστές των δυνάμεων της μεταβλητής του πολυωνύμου, ξεκινώντας από τη δύναμη μηδενικής τάξης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 PolynomialQ[x + 3x + ] True PolynomialQ[x + 3x + /x] False PolynomialQ[x + 3x + /y, x] Η Mathematica αντιμετωπίζει τον "τύπο" /y ως σταθερά ως προς x. True ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ poly1 = (x + 1) 10 ; poly = x 3-5x y + 3xy - 7y 3 ; Variables[poly] {x, y} Coefficient[poly1, x, 5] 5 189

6 190 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 Coefficient[poly, x] 3y Coefficient[poly, y, ] 3x Coefficient[poly, x y ] 3 CoefficientList[poly1, x] {1, 10, 45, 10, 10, 5, 10, 10, 45, 10, 1} CoefficientList[poly, x] {-7y 3, 3y, -5y, 1} CoefficientList[poly, y] {x 3, -5x, 3x, -7} Συχνά, είναι βολικό να εκφράζουμε τη λύση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με τη μορφή λογικής παράστασης. Για παράδειγμα, αν x 4 = 0, τότε x = ή x =. Μπορείτε να εκφράζετε τις ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιώντας τις ειδικές διαταγές, Roots και NRoots. Οι λύσεις δίνονται σε διαζευκτική μορφή και χωρίζονται με το σύμβολο (λογικό σύμβολο ή). Η διαταγή Roots[αριστερό σκέλος = = δεξιό σκέλος, μεταβλητή] επιστρέφει τις λύσεις μιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Η διαταγή NRoots[αριστερό σκέλος = = δεξιό σκέλος, μεταβλητή] προσεγγίζει αριθμητικά τις λύσεις της πολυωνυμικής εξίσωσης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης x 4 + x 3 8x 5x + 15 = 0 που είναι μεγαλύτερες από το. solutions = Roots[x 4 + x 3-8x - 5x + 15 = = 0, x] Το && είναι το λογικό σύμβολο και της Mathematica. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη διαταγή Simplify, solutions && x > //Simplify δείτε την Ενότητα 7.4. x= = 5 numericalsolutions = NRoots[x 4 + x 3-8x - 5x + 15 = = 0, x] x = = x = = x = = x = =.3607 numericalsolutions && x > //Simplify x = =.3607 Ο αλγόριθμος διαίρεσης πολυωνύμων ορίζει ότι για δύο πολυώνυμα, p και s, για τα οποία ισχύει ότι βαθμός (p) βαθμός (s), υπάρχουν δύο μοναδικά ορισμένα πολυώνυμα, q και r, τέτοια ώστε p ( x) = q( x) s( x) + r( x) όπου βαθμός (r) βαθμός (s) Οι διαταγές της Mathematica οι οποίες επιστρέφουν το πηλίκο και το υπόλοιπο είναι οι παρακάτω: Η διαταγή PolynomialQuotient[p, s, x] επιστρέφει το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου p με το s, συναρτήσει του x, και παραλείπει το υπόλοιπο, αν υπάρχει. Η διαταγή PolynomialRemainder[p, s, x] επιστρέφει το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου p με το s. Ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από το βαθμό του s. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 p = x 5-7x 4 + 3x - 5x + 9; s = x + 1; q = PolynomialQuotient[p, s, x]

7 ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ x-7x +x 3 r = PolynomialRemainder[p, s, x] -1-4x Η διαταγή Expand[πολυώνυμο] αναπτύσσει γινόμενα και δυνάμεις, και εκφράζει το πολυώνυμο με τη μορφή αθροίσματος των επιμέρους όρων. Η διαταγή Factor[πολυώνυμο] επιχειρεί να παραγοντοποιήσει το πολυώνυμο με κοινούς παράγοντες ακεραίους. Αν η διαδικασία παραγοντοποίησης δεν είναι επιτυχής, το πολυώνυμο παραμένει αμετάβλητο. Η διαταγή FactorTerms[πολυώνυμο] παραγοντοποιεί το πολυώνυμο εξάγοντας ως κοινούς παράγοντες τις κοινές σταθερές των όρων του. Η διαταγή FactorTerms[πολυώνυμο, μεταβλητή] παραγοντοποιεί το πολυώνυμο εξάγοντας ως κοινό παράγοντα κάθε κοινό μονώνυμο που δεν περιέχει τις μεταβλητές. Η διαταγή Collect[πολυώνυμο, μεταβλητή] εκφράζει το πολυώνυμο δύο ή περισσότερων μεταβλητών ως πολυώνυμο της μεταβλητής. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 poly = 6x y 3 z 4 + 8x 3 y z x y 4 z 3 ; Factor[poly] x y z 3 (5y + 3yz + 4xz ) Το πολυώνυμο poly έχει παραγοντοποιηθεί πλήρως. FactorTerms[poly, x] y z 3 (5x y + 3x yz + 4x 3 z ) Εξαγωγή μόνο των παραγόντων που δεν περιέχουν το x. FactorTerms[poly, y] x z 3 (5y 4 + 3y 3 z + 4xy z ) Εξαγωγή μόνο των παραγόντων που δεν περιέχουν το y. FactorTerms[poly, z] x y (5y z 3 + 3yz 4 + 4xz 5 ) Εξαγωγή μόνο των παραγόντων που δεν περιέχουν το z. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 poly = 1 + x + 3y + 4xy + 5x y + 6xy + 7x y ; Collect[poly, x] 1 + 3y + x( + 4y + 6y ) + x (5y + 7y ) Εξαγωγή των παραγόντων που είναι δυνάμεις του x. Collect[poly, y] 1 + x + (3 + 4x + 5x )y + (6x + 7x )y Εξαγωγή μόνο των παραγόντων που είναι δυνάμεις του y. Εξ ορισμού, η διαταγή Factor επιτρέπει την ανάλυση μόνο σε ακέραιους παράγοντες. Ωστόσο, υπάρχουν άλλες επιλογές με τις οποίες μπορείτε να υποσκελίζετε αυτή την προεπιλογή. Η επιλογή Extension {επέκταση1, επέκταση, } σας επιτρέπει να ορίσετε μια λίστα με τους αλγεβρικούς αριθμούς που θέλετε να συμπεριλάβετε. (Αν πρέπει να χρησιμοποιήσετε μία μόνον επέκταση, δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε άγκιστρα {}.) Η επιλογή Extension Automatic διευρύνει την περιοχή ώστε να συμπεριληφθούν και οι όποιοι αλγεβρικοί αριθμοί εμφανίζονται στο πολυώνυμο. Η επιλογή GaussianIntegers True επιτρέπει την παραγοντοποίηση ως προς το σύνολο των ακεραίων στους οποίους έχει προσαρτηθεί η φανταστική μονάδα. Εναλλακτικά, η φανταστική μονάδα (ή I) μπορεί να συμπεριληφθεί στη λίστα των επεκτάσεων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Factor[x 8-41x ] (-+x)(+x)(-5+x )(4+x )(5+x ) Factor[x 8-41x , GaussianIntegers True] (- + x)(- +x)( +x)( + x)(-5 + x )(5 + x ) Factor[x 8-41x , Extension 5]

8 19 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ x)(- + x)( + x)( 5 + x)(4 + x )(5 + x ) Factor[x 8-41x , Extension {I, 5}] -( 5 - x)( 5 - ix)( 5 + ix)(- + x)(-i + x)(i + x)( + x)( 5 + x) Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ GCD) των πολυωνύμων p 1, p, είναι το πολυώνυμο με το μεγαλύτερο βαθμό που τα διαιρεί τέλεια (επιστρέφει υπόλοιπο 0). Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ LCM) των πολυωνύμων p 1, p, είναι το πολυώνυμο με το μικρότερο βαθμό που διαιρείται τέλεια από αυτά τα πολυώνυμα. Η διαταγή PolynomialGCD[p1, p,...] υπολογίζει το μέγιστο κοινό διαιρέτη των πολυωνύμων p1, p,... Η διαταγή PolynomialLCM[p1, p,...] υπολογίζει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πολυωνύμων p1, p,... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 p = (x - 1)(x - ) (x - 3) 3 ; q = (x - 1) (x - )(x - 3) 4 ; PolynomialGCD[p, q] (-3 + x) 3 (- + x)(-1 + x) PolynomialLCM[p, q] (-3 + x) 4 (- + x) (-1 + x) Εξ ορισμού, και οι δύο διαταγές PolynomialGCD και PolynomialLCM υποθέτουν ότι οι συντελεστές των πολυωνύμων είναι ρητοί αριθμοί. Όπως και στη διαταγή Factor, έτσι και εδώ μπορείτε να χρησιμοποιείτε την επιλογή Extension για να ορίσετε λίστες αλγεβρικών αριθμών (και φανταστικών αριθμών) που θέλετε να συμπεριλάβετε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 p = x - 5; q = x + 5 PolynomialGCD[p, q] 1 PolynomialLCM[p, q] ( 5 + x)(-5 + x ) Αν δε χρησιμοποιηθεί η επιλογή Extension Automatic, τότε η 5 θα θεωρηθεί ως ξεχωριστή μεταβλητή. PolynomialGCD[p, q, Extension Automatic] 5 + x PolynomialLCM[p, q, Extension Automatic] (-5 + x ) Αν και η Mathematica αναπτύσσει αυτόματα γινόμενα και πηλίκα που είναι υψωμένα σε ακέραιους εκθέτες, αν ο εκθέτης δεν είναι ακέραιος η παράσταση θα παραμείνει αμετάβλητη. Με τη διαταγή PowerExpand μπορείτε να αναγκάσετε τη Mathematica να "κατανείμει" τον εκθέτη στα στοιχεία της παράστασης. Η διαταγή PowerExpand[παράσταση] αναπτύσσει ένθετες δυνάμεις, δυνάμεις γινομένων και πηλίκων, καθώς επίσης ρίζες και λογαρίθμους γινομένων και πηλίκων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 (a b) 5 a 5 b 5 (a b) x Η Mathematica κατανέμει τον εκθέτη επειδή είναι ακέραιος.

9 ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 193 (a b) x Η Mathematica άφησε την παράσταση αμετάβλητη επειδή δεν έχει οριστεί εκθέτης. PowerExpand[(a b) x ] a x b x Η διαταγή PowerExpand αναγκάζει τη Mathematica να αναπτύξει την παράσταση. Η διαταγή PowerExpand πρέπει να χρησιμοποιείται με μεγάλη προσοχή σε συναρτήσεις πολλών τιμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11 ab /.{a -1,b -1} 1 PowerExpand[ a b] a b PowerExpand[ a b] /.{a -1,b -1} -1 Η διαταγή PowerExpand αναπτύσσει την παράσταση και στη συνέχεια αντικαθιστά τα a και b με την τιμή 1. Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα που δείχνουν τη χρήση της διαταγής PowerExpand: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (a x ) y // PowerExpand a x y (a/b) x // PowerExpand a x b -x Log[xy] // PowerExpand Log[x] + Log[y] Log[x/y] // PowerExpand Log[x] - Log[y] Log[xy] // PowerExpand ylog[x] ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 5 y 7.1 Ελέγξτε αν η παράσταση 1 + x sin y + x cos y + x e είναι πολυώνυμο της μεταβλητής x. Είναι πολυώνυμο της μεταβλητής y; PolynomialQ[1 + xsin[y] + x Cos[y] + x 5 Exp[y], x] Σε αυτή την παράσταση, η μεταβλητή y θεωρείται ως σταθερά. True PolynomialQ[1 + xsin[y] + x Cos[y] + x 5 Exp[y], y] False 7. Ποιοι είναι οι συντελεστές του πολυωνυμικού αναπτύγματος του 5 ( x + 3) ; poly = (x + 3y) 5 ; CoefficientList[poly, x] {43, 810, 1080, 70, 40, 3}

10 194 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ Ποιος είναι ο συντελεστής του όρου poly=(x + y + z) 6 ; Coefficient[poly, x y z 3 ] 60 xy z 3 του αναπτύγματος του 6 ( x + y + z) ; 7.4 Δώστε το πλήρες ανάπτυγμα του 4 ( x + a +1). Expand[(x + a + 1) 4 ] 1 + 4a + 6a + 4a 3 + a 4 + 4x + 1ax + 1a x + 4a 3 x + 6x + 1ax + 6a x + 4x 3 + 4ax 3 + x Εκφράστε το ( + a +1) 4 x ως πολυώνυμο του x. Collect[(x+a+1) 4, x] 1 + 4a + 6a + 4a 3 + a 4 + (4 + 1a + 1a + 4a 3 )x + (6 + 1a + 6a )x + (4 + 4a)x 3 + x Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο poly = 6x 3 + x y 11xy 6y 3 5x z + 11xyz + 11y z xz 6yz + z 3 και λύστε ως προς z, έτσι ώστε poly = 0. poly = 6x 3 + x y - 11xy - 6y 3-5x z + 11xyz + 11y z - xz - 6yz + z 3 ; Factor[poly] (x + y - z)(3x + y - z)(x - 3y + z) Roots[poly = = 0, z] z = = x + y z = = 3x + y z = = -x + 3y Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου x + x 3x + 7x 10x + 5 με το x 4 και επαληθεύστε το αποτέλεσμα. p = x 5 + x 4-3x 3 + 7x - 10x + 5 s = x - 4 q = PolynomialQuotient[p, s, x] 15 + x + x + x 3 r = PolynomialRemainder[p, s, x] 65-6x checkpoly = q * s + r//expand 5-10x + 7x - 3x 3 + x 4 + x 5 checkpoly = = p True 7.8 Εκφράστε τον τύπο ( x + z) 3 + y ως πολυώνυμο της μεταβλητής z. Collect[(x + y + z) 3, z] x 3 + 3x y + 3xy + y 3 + (3x + 6xy + 3y )z + (3x + 3y)z + z 3

11 ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έστω ότι p = x 15x + 39x 40x + 1 και q = 4x 4x + 45x 9x + 6. Υπολογίστε το μέγιστο κοινό διαιρέτη (GCD) και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους (LCM) και αποδείξτε ότι το γινόμενό τους είναι ίσο με p q. p = x 4-15x x - 40x + 1; q = 4x 4-4x x - 9x + 6; a = PolynomialGCD[p, q] x - 11x + x 3 b = PolynomialLCM[p, q] (- + x)(6-9x + 45x - 4x 3 + 4x 4 ) Expand[a * b] = = Expand[p * q] True 7.10 Αναλύστε την παράσταση x 4 5 σε ακέραιους παράγοντες και έπειτα σε παράγοντες που περιέχουν τις τιμές 5 και Ι. Factor[x 4-5] (-5 + x )(5 + x ) Factor[x 4-5, Extension { 5, I}] -( 5-x)( 5-ix)( 5+ix)( 5+x) 7.11 Αναπτύξτε την παράσταση a b x y ln c. z 7. ΡΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η Mathematica διαθέτει μερικές διαταγές που μπορείτε να χρησιμοποιείτε με ρητές συναρτήσεις (κλάσματα). Η διαταγή Numerator[κλάσμα] επιστρέφει τον αριθμητή του κλάσματος. Η διαταγή Denominator[κλάσμα] επιστρέφει τον παρονομαστή του κλάσματος. Η διαταγή Cancel[κλάσμα] απαλείφει τους κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος. Η επιλογή Extension Automatic επιτρέπει την πραγματοποίηση πράξεων με τους αλγεβρικούς αριθμούς τού κλάσματος. Η διαταγή Together[παράσταση] προσθέτει τους όρους της παράστασης κάνοντας χρήση ενός κοινού παρονομαστή. Επίσης, απαλείφει τους κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και τον παρονομαστή αν υ- πάρχουν. Η διαταγή Apart[κλάσμα] εκφράζει το κλάσμα ως άθροισμα επιμέρους κλασμάτων.

12 196 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15 Επειδή η Mathematica εξ ορισμού μετατρέπει τους παράγοντες με αρνητικούς εκθέτες σε ισοδύναμους παράγοντες με θετικούς εκθέτες, τα αποτελέσματα των διαταγών Numerator και Denominator μπορεί να είναι διαφορετικά από τα αναμενόμενα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16 Numerator[frac] z 3 Denominator[frac] xy Η διαταγή ExpandNumerator[παράσταση] αναπτύσσει τον αριθμητή της παράστασης, χωρίς όμως να παρεμβαίνει στον παρονομαστή. Η διαταγή ExpandDenominator[παράσταση] αναπτύσσει τον παρονομαστή της παράστασης, χωρίς όμως να παρεμβαίνει στον αριθμητή. Η διαταγή ExpandAll[παράσταση] αναπτύσσει και τον αριθμητή και τον παρονομαστή της παράστασης, και εκφράζει το αποτέλεσμα ως άθροισμα κλασμάτων με κοινό παρονομαστή. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 17 ExpandNumerator[expr] ExpandDenominator[expr] ExpandAll[expr] ExpandNumerator[ExpandDenominator[expr]]

13 ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 197 Οι εφαρμογές των διαταγών που περιγράψαμε σε αυτή την ενότητα δεν περιορίζονται μόνο στις ρητές συναρτήσεις (κλάσματα πολυωνύμων). Μπορούν να χρησιμοποιηθούν το ίδιο αποτελεσματικά και σε αλγεβρικές παραστάσεις με ρίζες, και σε μη αλγεβρικές παραστάσεις με συναρτήσεις και μη ορισμένα αντικείμενα. Ακόμη, αν ορίσετε την επιλογή Trig True σε κάποια από αυτές τις διαταγές, η Mathematica απλοποιεί την παράσταση χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 19 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ f ( x) f ( a) 7.1 Η παράσταση χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς των παραγώγων. Απλοποιήστε αυτή x a 9 την παράσταση όταν η συνάρτηση f ( x) = x, και η τιμή του a = 3. f[x_] = x 9 ; a = -3; x + 79x - 43x x 4-7x 5 + 9x 6-3x 7 + x Εκφράστε το άθροισμα των κλασμάτων b a, d c, και f e με τη μορφή ενός μόνο κλάσματος. Together[a/b + c/d + e/f] 7.14 Αναπτύξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της συνάρτησης ( x + )( x + 3)(x 7) ( x + 5x + )( x 5)( x + 6) Ι

14 198 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 ΙΙ x + 3 7x x 7.15 Προσθέστε τα κλάσματα,, και, και εκφράστε το αποτέλεσμα με τη μορφή ενός 5x 7 3x + 1 x + 1 μόνο κλάσματος με ανεπτυγμένο τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Together[p + q+ r]//expanddenominator Αν δε χρησιμοποιήσουμε τη διαταγή //ExpandDenominator, ο παρονομαστής θα εκφραστεί σε παραγοντοποιημένη μορφή Ποιο είναι το ανάπτυγμα της συνάρτησης ( x 6 ( x 1) + 1)( x + 1) ( x 4) σε απλά κλάσματα; 7.17 Ποιο είναι το ανάπτυγμα της συνάρτησης του προηγούμενου προβλήματος σε απλά κλάσματα, όταν οι παρονομαστές είναι γραμμικοί μιγαδικοί αριθμοί; Για να "αναγκάσουμε" τη Mathematica να εκφράσει το αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας γραμμικούς μιγαδικούς αριθμούς, πρέπει να παραγοντοποιήσουμε την παράσταση x + 1 σε ( x + I)( x I) Εκφράστε τη συνάρτηση ( x x e + e ) 4 ως άθροισμα εκθετικών συναρτήσεων. Expand[(E x +E x ) 4 ] 4 x +4 5 x +6 6 x +4 7 x + 8 x

15 ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παρόλο που οι διαταγές που περιγράψαμε στην προηγούμενη ενότητα είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν και σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δεν έχουν τις δυνατότητες απλοποίησης που έχουν οι τριγωνομετρικές ταυτότητες. Μπορείτε να τις συμπεριλαμβάνετε στους υπολογισμούς σας, ορίζοντας την επιλογή Trig True. (Η προεπιλογή σε όλες τις διαταγές εκτός από τη Simplify είναι Trig False.) Η διαφορά φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Μπορείτε να χρησιμοποιείτε την επιλογή Trig True τόσο σε κυκλικές όσο και σε υπερβολικές συναρτήσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Expand[(Cosh[x] + Sinh[x] )(Cosh[x] - Sinh[x] )] Cosh[x] 4 - Sinh[x] 4 Expand[(Cosh[x] + Sinh[x] )(Cosh[x] - Sinh[x] ), Trig True] Cosh[x] + Sinh[x] Για τον περαιτέρω χειρισμό των τριγωνομετρικών παραστάσεων, η Mathematica διαθέτει τις παρακάτω ειδικές διαταγές, οι οποίες ισχύουν επίσης για τις κυκλικές και υπερβολικές συναρτήσεις. Η διαταγή TrigExpand[παράσταση] αναπτύσσει την παράσταση, χρησιμοποιώντας τις δυνατότητες ο- ρισμένων τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Η διαταγή TrigReduce[παράσταση] αναδιατυπώνει τα γινόμενα και τις δυνάμεις της παράστασης και τα εκφράζει με τη μορφή τριγωνομετρικών παραστάσεων με συνδυασμένα ορίσματα. Η παράσταση ανάγεται σε μια γραμμική τριγωνομετρική συνάρτηση δηλαδή, μια συνάρτηση χωρίς δυνάμεις ή γινόμενα. Η διαταγή TrigFactor[παράσταση] μετατρέπει την παράσταση σε μια ισοδύναμη τριγωνομετρική παράσταση χωρίς αθροίσματα και πολλαπλάσια γωνιών, την οποία στη συνέχεια παραγοντοποιεί. Στο παράδειγμα που ακολουθεί, θα δείξουμε τη διαφορά μεταξύ των διαταγών Expand και TrigExpand. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Expand[(Sin[x] + Cos[x]) ] Cos[x] + Cos[x]Sin[x] + Sin[x] TrigExpand[(Sin[x] + Cos[x]) ] 1 + Cos[x] Sin[x]

16 00 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 TrigExpand[Sin[x + y]] Cos[y]Sin[x] + Cos[x]Sin[y] TrigExpand[Sin[x]] Cos[x]Sin[x] TrigExpand[Sin[x + y]] Cos[x]Cos[y]Sin[x] + Cos[x] Sin[y] - Sin[x] Sin[y] Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιείτε τη διαταγή TrigExpand και σε υπερβολικές συναρτήσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 TrigExpand[Cosh[x + y]] Cosh[x]Cosh[y] + Sinh[x]Sinh[y] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 TrigReduce[Sin[x] + Sin[x]Cos[3x] 3 ] Η διαταγή TrigReduce αναδιατυπώνει την αρχική παράσταση και την εκφράζει με τη μορφή γραμμικής τριγωνομετρικής παράστασης. TrigReduce[Sinh[x] + Sinh[x]Cosh[3x] 3 ] Στο επόμενο παράδειγμα μπορείτε να δείτε τη διαφορά μεταξύ των διαταγών TrigFactor και Trig Reduce. Παρατηρήστε ότι η διαταγή TrigFactor διατυπώνει την παράσταση με τη μορφή γινομένου, ενώ η διαταγή TrigReduce την εκφράζει με τη μορφή αθροίσματος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 expr = TrigExpand[4Sin[x] Cos[x] 3 ] 3Cos[x] Sin[x] + Cos[x] 6 Sin[x] - 3Sin[x] 4-15Cos[x] 4 Sin[x] Cos[x] Sin[x] 6 - Sin[x] 8 TrigFactor[expr] 4(Cos[x] - Sin[x]) 3 Sin[x] (Cos[x] + Sin[x]) 3 TrigReduce[expr] Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι δυνατή και με τη διαταγή Solve. Επειδή όμως η διαταγή αυτή υπολογίζει μόνο τις κύριες λύσεις των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δεν επιστρέφει όλες τις λύσεις τους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Θεωρήστε την εξίσωση 1 cos x sin x + sin x = 0. equation=1-cos[x] - Sin[x] + Sin[x] = = 0 Solve[equation, x] Solve: : ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. (Επειδή η διαταγή Solve χρησιμοποιεί αντίστροφες συναρτήσεις, μπορεί να μην υπολογίσει όλες τις λύσεις.)

17 ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 01 Καθώς οι τριγωνομετρικές και οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι δυνατόν να αναπαρασταθούν με τη μορφή εκθετικών συναρτήσεων (στην περίπτωση των κυκλικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, με τη μορφή σύνθετων εκθετικών συναρτήσεων), η Mathematica παρέχει δύο συναρτήσεις μετατροπής: Η διαταγή TrigToExp[παράσταση] μετατρέπει τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις στην εκθετική μορφή τους. Η διαταγή ExpToTrig[παράσταση] μετατρέπει εκθετικές συναρτήσεις σε τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις. Μπορείτε επίσης να μετατρέπετε αντίστροφες τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις με τις διαταγές TrigToExp και ExpToTrig. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 TrigToExp[Cos[x]] TrigToExp[Sinh[x]] ExpToTrig[Exp[x]] Cosh[x] + Sinh[x] ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7.19 Απλοποιήστε την τριγωνομετρική συνάρτηση cos 1 x sin. x Παραγοντοποιήστε και απλοποιήστε τη συνάρτηση: sin x cos x + cos x. TrigFactor[Sin[x] Cos[x] + Cos[x] 4 ] Cos[x] 7.1 Λύστε την τριγωνομετρική εξίσωση 1 cos x sin x + 4sin x = 0. equation = 1 - Cos[x] - Sin[x] + 4 Sin[ x] = = 0; Solve[equation, x] Solve: : ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found.

18 0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [ΚΕΦ. 7 % //N Η εύρεση της λύσης με αριθμητική μέθοδο ίσως είναι πιο χρήσιμη. {{x }, {x }, {x.83487}, {x }} cos x 7. Προσθέστε και απλοποιήστε τη συνάρτηση: + tan x. 1+ sin x TrigReduce[%] Sec[x] 7.3 Προσθέστε και απλοποιήστε την παράσταση: Μερικές φορές, για να απλοποιήσετε πλήρως μια συνάρτηση μπορεί να χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε δύο η περισσότερες διαταγές απλοποίησης. sinh x cosh x + cosh x sinh x cosh x + sinh x 7.4 Κατασκευάστε έναν πίνακα τύπων πολλαπλών γωνιών για τα sin nx και cos nx, όπου n =, 3, 4, και 5. trigtable = Table[{n, TrigExpand[Sin[n x]], TrigExpand[Cos[n x]]}, {n,, 5}]; TableForm[trigtable, TableHeadings {None, {"n", " sin nx", " cos nx"}}] n n 7.5 Κατασκευάστε έναν πίνακα γραμμικών τριγωνομετρικών τύπων για το sin x και το cos x, όπου n =, 3, 4, και 5. trigtable = Table[{n, TrigReduce[Sin[x] n ], TrigReduce[Cos[x] n ]}, {n,, 5}]; TableForm[trigtable, TableHeadings {None, {"n", " sin n x", " cos n x"}}]

19 ΚΕΦ. 7] ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Εκφράστε την παράσταση x y e + χρησιμοποιώντας υπερβολικές συναρτήσεις και αναπτύξτε την. ExpToTrig[E x+y ] Cosh[x + y] + Sinh[x + y] TrigExpand[%] Cosh[x]Cosh[y] + Cosh[y]Sinh[x] + Cosh[x]Sinh[y] + Sinh[x]Sinh[y] Εκφράστε την παράσταση sinh 1 x και tanh x TrigToExp[ArcSinh[x]] σε εκθετική μορφή. TrigToExp[ArcTanh[x]] 7.4 ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΗΣ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορείτε να γράψετε κάποια αλγεβρική ή τριγωνομετρική παράσταση. Βέβαια, η ερμηνεία του όρου "απλοποίηση" μπορεί να διαφέρει από άτομο σε άτομο. Για παράδειγμα, στην επεξεργασία ρητών συναρτήσεων, η παράσταση ( x + 3) μπορεί να είναι προτιμότερη από τη x + 6x + 9, αλλά στο χειρισμό πολυωνύμων η τελευταία παράσταση είναι αναμφισβήτητα καταλληλότερη. Όπως διαπιστώσατε από τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, η Mathematica διαθέτει μια ποικιλία διαταγών οι οποίες σας επιτρέπουν να ελέγχετε πλήρως τον τρόπο εμφάνισης μιας παράστασης. Με την πρακτική εξάσκηση, θα μάθετε να χρησιμοποιείτε αυτές τις διαταγές έτσι, ώστε να διαμορφώνετε τις παραστάσεις ανάλογα με τις ανάγκες σας. Η Mathematica διαθέτει δύο διαταγές τις οποίες μπορείτε να χρησιμοποιείτε για να απλοποιείτε πολύπλοκες δομές. Η διαταγή Simplify[παράσταση] πραγματοποιεί μια σειρά μετασχηματισμών στην παράσταση, και ε- πιστρέφει την απλούστερη μορφή στην οποία καταλήγει. Η διαταγή FullSimplify[παράσταση] επιχειρεί μια μεγαλύτερη σειρά μετασχηματισμών στην παράσταση, κάνοντας χρήση βασικών και ειδικών συναρτήσεων, και επιστρέφει την απλούστερη μορφή στην οποία καταλήγει. Η διαταγή Simplify επιχειρεί να αναπτύξει, να παραγοντοποιήσει, και να εφαρμόσει άλλους βασικούς μαθηματικούς μετασχηματισμούς για να περιορίσει την πολυπλοκότητα της παράστασης. Η διαταγή Simplify, λόγω της αόριστης φύσης της, συνήθως είναι πιο αργή σε σχέση με άλλες πιο άμεσες εντολές. Η διαταγή Full- Simplify, αν και ίσως είναι κάπως πιο αργή, παράγει πάντα μια παράσταση η οποία είναι τουλάχιστον τόσο απλή όσο και αυτή που επιστρέφει η Simplify.

20

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο. Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα;

Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο. Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Χωρίς να αλλάξουμε τον τύπο των a,b,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Β. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Γενικά η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν έχουμε γινόμενο δύο συναρτήσεων Εκφράζεται με τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= f()g() - f ()g()d

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις

Αλγεβρικές παραστάσεις Αλγεβρικές παραστάσεις Κώστας Γλυκός Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ κεφάλαιο 1 197 ασκήσεις και τεχνικές σε 19 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 8 / 9 / 0

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών

Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α..8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α..9. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του Mathematica

Παρουσίαση του Mathematica Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66 Περιεχόμενα Ευρετήριο Πινάκων... 7 Ευρετήριο Εικόνων... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1-Περιβάλλον Εργασίας - Στοιχεία Εντολών... 13 1.1 Το Πρόγραμμα... 14 1.2.1 Εισαγωγή Εντολών... 22 1.2.2 Εισαγωγή Εντολών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ακρότατα συνάρτησης FindMinimum[f,{x, x 0 }] :βρίσκει ένα τοπικό ελάχιστο της f, ξεκινώντας από το σημείο x=x 0. FindMinimum[f,{x, x0}, {y, y 0 }], ] : τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο. ε την COMPUTATION MEETS KNOWLEDGE

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο. ε την COMPUTATION MEETS KNOWLEDGE Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία ε την Α λοί υ ολογισ οί 1 Επίσημη ιστοσελίδα Για τρεις δεκαετίες, η Mathematica έχει καθορίσει την κατάσταση της τεχνολογίας στον τομέα της εφαρμοσμένης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτη επαφή με το μαθηματικό πακέτο Mathematica

Πρώτη επαφή με το μαθηματικό πακέτο Mathematica Πρώτη επαφή με το μαθηματικό πακέτο Mathematica Με δύο λόγια, μπορούμε να πούμε ότι η Mathematica είναι ένα πρόγραμμα που το χρησιμοποιούμε για να κάνουμε αναλυτικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Ο λογισμός είναι λογικά εσφαλμένος, ωστόσο δίνει σωστά αποτελέσματα, γιατί τα λάθη αλληλοεξουδετερώνονται Αφού κατανοήσουμε το πνεύμα της απειροελάχιστης μεθόδου,

Διαβάστε περισσότερα

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)

β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5) ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),

Διαβάστε περισσότερα

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0 Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 1 από 28

Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 1 από 28 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο : α) Τι λέμε ταυτότητα; (ορισμό) β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες i) ( ) ii) ( ) γ) Πως πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο; (ορισμό) Θέμα ο :

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα