Proiectarea sistemelor de control automat
|
|
- Κλειώ Ζωγράφου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Teoria sistemelor p. 1/28 Proiectarea sistemelor de control automat Paula Raica Departamentul de Automatică Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Dorobantilor, sala C21 Baritiu, sala C14 Tel: (Dorobanţilor) Tel: (Baritiu) (key: ts2012)
2 Teoria sistemelor p. 2/28 Introducere Performantele unui sistem automat: stabilitate, raspuns acceptabil, sensibilitate mica la variatiile parametrilor, are eroare stationara minima, este capabil sa reduca efectele perturbatiilor. Proiectarea unui sistem automat = planificarea sau aranjarea structurii sistemului si selectarea unor parametri si componente adecvate. Pentru a modifica raspunsul sistemului se introduce un element in structura sistemului cu reactie: compensator sau regulator.
3 Teoria sistemelor p. 3/28 Abordari in proiectarea sistemelor Performantele unui sistem automat : In domeniul timp: timp de raspuns, suprareglaj, timp de crestere, eroare stationara, etc localizarea polilor si zerourilor sistemului inchis In domeniul frecventelor: pulsatia de rezonanta, latimea de banda, marginea de fază, etc. Se considera ca procesul a fost optimizat cat de mult a fost posibil si functia de transfer a procesului nu se poate modifica. Un compensator trebuie realizat fizic. El este de exemplu un circuit electronic (cu amplificatoare operationale sau circuite RC)
4 Teoria sistemelor p. 4/28 Proiectarea cu locul radacinilor LR este o metoda grafică pentru determinarea locaţiei polilor sistemului închis, pe baza polilor şi zerourilor sistemului deschis, când un parametru din sistem variază de la 0 la infinit. LR arată efectele ajustării unui parametru şi informaţii despre răspunsul tranzitoriu Pentru proiectarea unui regulator este uneori necesar ca LR să fie modificat pentru ca sistemul închis sa indeplinească setul de performanţe impus. Proiectarea pe baza LR: modificarea locului prin adăugarea unui compensator astfel incât polii dominanţi ai sistemului să poată fi plasaţi într-o locaţie dorită.
5 Teoria sistemelor p. 5/28 Efectele adăugării unui pol LR se mută spre dreapta scade stabilitatea relativă, creşte timpul de răspuns (= 4/partea reală a polului) Daca se adaugă un pol în origine (efect integrator) sistemul devine mai putin stabil. Efectele adaugării polilor pentru un sistem de ordinul 1.
6 Teoria sistemelor p. 6/28 Efectele adăugării unui zero LR se mută spre stânga sistemul devine mai stabil, cu timp de răspuns mai mic Zero în origine (efect derivator) - scade timpul de răspuns Figura din stânga: Sistem stabil pentru factor de amplificare (K) mic si instabil pentru K mare. Se adaugă un zero jw jw jw jw s s s s
7 Teoria sistemelor p. 7/28 Compensatoare Un compensator cu funcţia de transfer G c (s) se leagă în serie cu procesul G(s) pentru a obţine o funcţie de transfer în buclă deschisă G c (s)g(s)h(s) dorită. R(s) G c (s) H(s) G(s) C(s) G c (s) = k M i=1 (s+z i) N j=1 (s+p j) Compensatorul G c (s) se poate alege astfel încât să modifice locul rădăcinilor sau răspunsul în frecvenţă. Problema se reduce la alegerea polilor şi zerourilor compensatorului. Vom considera întâi că G c (s) este un sistem de ord. 1.
8 Teoria sistemelor p. 8/28 Elemente cu avans de fază G c (s) = k(s+z) s+p, z < p Răspunsul în frecvenţă Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Dacă polul e neglijabil p >> z şi zeroul se află în origine element derivator G c (s) = k p s
9 Teoria sistemelor p. 9/28 Elemente cu întârziere de fază G c (s) = k(s+z) s+p, z > p Răspunsul în frecvenţă Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Dacă zeroul e neglijabil z >> p şi polul se află în origine element integrator G c (s) = kz s
10 Teoria sistemelor p. 10/28 Noţiuni ref. la eroarea staţionară R(s) E(s) G(s) G(s) = k M i=1 (s+z i) s N Q i=1 (s+p i) Intrare treaptă. R(s) = 1/s C(s) ǫ ss = lim s 0 s(r(s) C(s)) = lim s 0 sr(s)(1 G(s) 1+G(s) ) = lim s 0 sr(s) 1+G(s) ǫ ss = 1 1+G(0) = 1 1+K p K p = constanta erorii staţionare la poziţie.
11 Teoria sistemelor p. 11/28 Eroarea staţionară Intrare rampă. R(s) = 1/s 2 ǫ ss = lim s 0 1 s(1+g(s) = lim s 0 Eroarea staţionară depinde de numărul N. N = 0 e ss = N = 1 ǫ ss = lim s sg(s) s[k M i=1 (s+z i)]/[s Q i=1 (s+p i)] = 1 k z i / = 1 p j K v K v = constanta erorii staţionare la viteză. N 2 e ss = 0
12 Teoria sistemelor p. 12/28 Proiectarea regulatoarelor "lag" cu LR Se caută un regulator pentru cazul în care răspunsul sistemului este satisfăcător în regim tranzitoriu, dar nu are performanţe bune în regim staţionar (are eroare staţionară) Compensarea constă în creşterea amplificării în bucla directă fără a schimba caracteristicile răspunsului tranzitoriu. Pentru a nu aduce modificări mari în LR, contribuţia de fază a regulatorului trebuie să fie mică (de ex. 5 o sau 2 o ); Zeroul şi polul regulatorului se plasează relativ aproape unul de altul şi aproape de origine pentru ca polii dominanţi să nu fie mutaţi semnificativ din locaţia lor originală.
13 Teoria sistemelor p. 13/28 Proiectarea regulatoarelor cu LR Regulatorul, in acest caz, are funcţia de transfer: G c (s) = s+z, z > p s+p Eroarea staţionară a unui sistem necompensat cu funcţia de transfer în buclă deschisă G(s) este: ǫ ss = lim s 0 sr(s) 1+G(s) Exemplu: Pt.un sistem deschis cu un pol în origine: K v = lim s 0 sg(s) Dacă G(s) se scrie ca: G(s) = k M i=1 (s+z i) s Q i=1 (s+p i) K v a sistemului necompensat: K v = k M i=1 (z i) Q i=1 (p i)
14 Teoria sistemelor p. 14/28 Proiectarea regulatoarelor cu LR Se adaugă regulatorul şi se determină K v compensat K vcomp K vcomp = lim s 0 sg c (s)g(s) = lim s 0 (G c (s))k v = k z p zi pj Dacă polul şi zeroul regulatorului se aleg astfel încât z = α p < 1 K vcomp va creşte cu z/p = α. Pentru ca z/p să fie mare şi z şi p să fie relativ apropiaţi comparativ cu polii dominanţi, se plasează aproape de origine. z se alege mic în comparaţie cu pulsaţia naturală a polilor dominanţi (aprox ω n /10)
15 Teoria sistemelor p. 15/28 Algoritmul 1. Se schiţează LR al sistemului necompensat (fără regulator). 2. Se determină polii dominanţi care îndeplinesc performanţele în regim tranzitoriu 3. Se calculează factorul de amplificare k la polii dominanţi şi constanta erorii staţionare. 4. Se compară constanta erorii staţionare cu cea dorită raportul dintre zeroul şi polul regulatorului z/p. 5. Se localizează zeroul aproape de origine în comparaţie cu ω n a polilor dominanţi. 6. Se calculează polul p din raportul z/p
16 Teoria sistemelor p. 16/28 Exemplu Se consideră un sistem cu funcţia de transfer în buclă deschisă: G(s) = k s(s+2) Se cere ca factorul de amortizare al polilor dominanţi să fie ζ = 0.45 şi constanta erorii staţionare la viteză să fie K vcomp = 20. Din LR rezultă că polii cu ζ = 0.45 sunt: r 1,2 = 1±j ±j2 La r 1,2, factorul de amplificare este: k s(s+2) = 1 s= 1+j2 k = ( 1+j2)(1+j2) = 5
17 Teoria sistemelor p. 17/28 Exemplu Constanta erorii staţionare la viteză a sistemului necompensat este: K v = lim s 0 sg(s) = k 2 = 2.5 Raportul zeroului şi polului regulatorului este: z p = α = K vcomp = 20 K v 2.5 = 8 Se alege z = 0.1 şi polul rezultă p = 0.1/8. Diferenţa fazelor introduse de p şi z la polii dominanţi este de aprox. 1 o, şi de aceea s = 1 ± j2 este tot locaţia polilor dominanţi. Funcţia de transfer în buclă deschisă a sistemului compensat este: G c (s)g(s) = 5(s+0.1) s(s+2)(s )
18 Exemplu Teoria sistemelor p. 18/28
19 Teoria sistemelor p. 19/28 Compensarea pe baza LR Specificaţiile sunt date în domeniul timp: localizarea polilor sistemului închis, suprareglaj, timp de răspuns, factor de amoritzare etc. Se consideră un sistem care e instabil sau are un răspuns tranzitoriu necorespunzător In bucla de reglare se introduce un element cu avans de fază în serie cu procesul.
20 Teoria sistemelor p. 20/28 Compensarea pe baza LR 1. Specificaţiile sistemului închis locaţia dorită a polilor dominanţi 2. Se schiţează LR a sistemului necompensat şi se verifică dacă performanţele pot fi îndeplinite fără compensator. 3. Se plasează zeroul direct sub polii dominanţi (sau la stânga primilor doi poli reali) 4. Se determină polul compensatorului astfel încât condiţia de fază (LR) este îndeplinită pentru sistemul compensat. 5. Se evaluează factorul de amplificare şi eroarea staţionară. 6. Dacă eroarea stationară nu e corespunzătoare se repetă paşii de mai sus.
21 Teoria sistemelor p. 21/28 Proiectarea regulatoarelor Se adaugă un zero la stânga primilor doi poli reali (pentru a nu afecta caracterul dominant al polilor doriţi). Explicaţie!
22 Teoria sistemelor p. 22/28 Proiectarea regulatoarelor Polii doriţi sunt plasaţi pe LR suma algebrică a fazelor este 180 o în acel punct. Se calculează unghiul de la polii dominanţi la polul compensatorului astfel încât să se respecte condiţia de fază. Se calculează factorul de amplificare.
23 Teoria sistemelor p. 23/28 Exemplu Se consideră un sistem de control cu reacţie negativă unitară cu funcţia de transfer a sistemului deschis: G(s) = k s 2 Răspunsul sistemului închis este oscilant pentru că: T(s) = G(s) 1+G(s) = k s 2 +k Specificaţiile pentru sistemul închis sunt: Timp de răspuns, t s 4 sec Supraregajul răspunsului la treaptă M p 35%.
24 Teoria sistemelor p. 24/28 Exemplu Se alege un regulator G c (s), unde G c (s) = s+z s+p, z < p Factorul de amortizare ζ se obţine din: Din timpul de răspuns: M p = e πζ/ 1 ζ ζ 0.32 t s = 4 ζω n 4 ζω n 1 Polii vor fi plasaţi la un unghi de max α = arccosζ = 71.3 o, măsurat de la axa reală negativă.
25 Teoria sistemelor p. 25/28 Exemplu Se aleg polii dominanţi r 1,2 = 1±j2 cu ζ = 0.45 α 64 o. Se plasează zeroul regulatorului sub polii dominanţi s = z = 1. Faza totală la polii dominanţi este: (G c (s)g(s)) s=r1 = (r 1 +z) 2 (r 1 +0) (r 1 +p) = 90 o 2(180 o α) θ p = 142 o θ p = 180 o
26 Teoria sistemelor p. 26/28 Exemplu 180 o = 142 o θ p θ p = 38 o s = p = 3.6 Regulatorul este: G c (s) = k(s+1) s+3.6 şi funcţie de transfer în buclă deschisă a sistemul este: G c (s)g(s) = k(s+1) s 2 (s+3.6) Factorul de amplificare k se calculează din condiţia de modul: G c (s)g(s) s=r1 = 1, k = s 2 (s+3.6) s+1 = s= 1+j2 2 = 8.1
27 Teoria sistemelor p. 27/28 Exemplu PI Examplu PI Funcţia de transfer a unui sistem necompensat este: G(s) = k 1 (2s+1)(0.5s+1) Se mai cere M p 10% ζ 0.6. Polii dominanţi se plasează sub un unghi α < 53 o undek 1 poate fi modificat. Se adaugă un regulator PI (pentru e st = 0) G c (s) = k 2 + k 3 s = k s+k 3 /k 2 2 s Se determină zeroul regulatorului astfel încât partea reală a polilor să fie ζω n = 0.75 t s = 4/(ζω n ) = 16/3
28 Teoria sistemelor p. 28/28 Exemplu PI Se determină locaţia zeroului z = k 3 /k 2 din condiţia de fază: 180 o = 127 o 104 o 38 o +θ z θ z = 89 o, z = 0.75 Se calculează factorul de amplificare: k = k 1 k 2 = 1.25(1.03)1.6 1 = 2.08 Zeroul k 3 /k 2 trebuie plasat la stânga polului s = 0.5 pentru ca polii impuşi să fie dominanţi. Deşi polii complecşi domină răspunsul, factorul de amortizare al sistemului închis este puţin mai mic decât ζ = 0.6 datorită zeroului.
Analiza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departamentul de Automatică Str. Dorobanţilor 7, sala C2, tel: 0264-40267 Str. Bariţiu 26, sala C4, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραAnaliza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 71-73, sala C21, tel: 0264-401267 Str. Baritiu 26-28, sala C14, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραProiectarea sistemelor de control automat
Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 7-73, sala C2, tel: 264-4267 Str. Baritiu 26-28, sala C4, tel: 264-22368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραLUCRAREA nr.6: Sinteza SRA. Criteriul Ziegler Nichols
LUCRAREA nr.6: Sinteza SRA. Criteriul Ziegler Nichols. Scopul lucrării În practica industrială apar frecvent probleme privind sinteza compensatoarelor în cazul unor instalaţii relativ simple, caracterizabile
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραManipulatoare si roboti industriali. Conf.dr.ing. Marian Poboroniuc
Manipulatoare si roboti industriali Conf.dr.ing. Marian Poboroniuc Elemente introductive legate de controlul robotilor manipulatori Control clasic Regulator PID Control cu metode avansate Regulatoare bazate
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραLaborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență.
Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență. 1. Introducere...1 2. Stabilitatea sistemelor liniare...1 2.1 Stabilitatea internă...2 2.2 Stabilitatea externă...3 2.3. Exemple...4
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραA1. Valori standardizate de rezistenţe
30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCircuite Integrate Analogice Celule fundamentale
Circuite Integrate Analogice Celule fundamentale Structuri fundamentale de AO/OTA Facultatea de Electronică Telecomunicații și Tehnologia Informației Doris Csipkes Departamentul de Bazele Electronicii
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότερα( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)
Seminar 5: Sieme Analogice iniare şi Invariane (SAI) SAI po fi caracerizae prin: - ecuaţia diferenţială - funcţia de iem (fd) H() - funcţia pondere h - răpunul indicial a - răpunul la frecvenţă H(j) ăpunul
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραStabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp
Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp In continuare ne vom referi la sisteme liniare si invariante in timp cauzale. http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ps/cap4_stabilitate.pdf Analiza stabilitatii
Διαβάστε περισσότεραAnaliza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener
Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραTeorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale
Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 3. STABILIZATOARE DE TENSIUNE
CAPTOLL 3. STABLZATOAE DE TENSNE 3.1. GENEALTĂȚ PVND STABLZATOAE DE TENSNE. Stabilizatoarele de tensiune sunt circuite electronice care furnizează la ieșire (pe rezistența de sarcină) o tensiune continuă
Διαβάστε περισσότεραCircuite electrice in regim permanent
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραStabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότεραStabilitatea circuitelor cu reacţie
Lucrarea 21 Stabilitatea circuitelor cu reacţie Scopul lucrării: prezentarea schemei bloc, a terminologiei şi a criteriilor de stabilitate specifice circuitelor cu reacţie, exemplificarea acestora folosind
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραLucrarea nr. 5 STABILIZATOARE DE TENSIUNE. 1. Scopurile lucrării: 2. Consideraţii teoretice. 2.1 Stabilizatorul derivaţie
Lucrarea nr. 5 STABILIZATOARE DE TENSIUNE 1. Scopurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare serie şi derivaţie; -
Διαβάστε περισσότεραCircuit rezonant LC paralel
Circuit rezonant LC paralel Scopul lucrarii...1 Descrierea circuitului...1 Ecuatii de stare...1 Ecuatii TTN...2 Calculul functiei de transfer H(s)...2 Metoda I: divizor de tensiune...2 Metoda II: ecuatii
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραTransformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
Διαβάστε περισσότεραIdentificarea sistemelor
Identificarea sistemelor Ingineria sistemelor, anul 3 Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Lucian Buşoniu Partea II Analiza răspunsurilor la treaptă şi impuls Motivare În general: În anumite cazuri un
Διαβάστε περισσότεραMăsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor
4. Măsurarea impedanţelor 4.2. Măsurarea rezistenţelor în curent continuu Metoda comparaţiei ceastă metodă: se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor ~ 0 montaj serie sau paralel. Montajul serie (metoda
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραLecţia a 4-a. Estimarea stării. Compensarea cu estimator
Lecţia a 4-a. Estimarea stării. Compensarea cu estimator Ideea de estimare a stării Reacţia inversă după stare nu poate fi realizată (implementată) efectiv fără cunoaşterea stării curente. S-a văzut (cazul
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραI. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Διαβάστε περισσότεραa. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.
1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότεραLucrarea nr. 7: Reprezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. Criterii de stabilitate
Lucrarea nr. 7: prezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. Criterii de stabilitate. Scopul lucrării Se va face analiza comportării în frecvenţă a sistemelor de reglare automate (reprezentarea hodografului
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραLucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii)
ucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii) A.Scopul lucrării - Verificarea experimentală a rezultatelor obţinute prin analiza circuitelor cu diode modelate liniar pe porţiuni ;.Scurt breviar teoretic
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2: Sisteme
Prelucrarea semnalelor Capitolul 2: Sisteme Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PS cap. 2: Sisteme p. 1/64 Sisteme discrete Sistem discret: transformă
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότερα