3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

Transcript

1 Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru serii.. De rezolvat problemele fiale. 3.. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Dacă ( U ) este u şir de umere reale, cu ajutorul termeilor acestui N şir se poate costrui suma: () U + U U +... Deocamdată u am acordat o semificaţie acestei sume ifiite, ştim doar ce îseama o suma ifiită. Defiiţia. Se umeşte serie u şir ifiit de termei legaţi ître ei pri semul +. O serie se mai otează pri U, U, U, eseţial este că = = 0 = k+ mulţimea termeilor este ifiită. Cu termeii seriei () putem costrui u ou şir umeric ( S ) defiit pri: () S = U S = U + U M S = U + U+ K+ U S+ = S + U LLLLLLLLL Şirul ( S ) se umeşte şirul sumelor parţiale ale seriei (), S se umeşte suma parţială de ordiul. Acest şir caracterizează complet seria (), î

2 33 sesul că, fiid dat u şir ( ) are ca şir al sumelor parţiale şirul ( S ) dat. S, cosiderâd u S S =,, seria U Defiiţia. Vom spue că seria U este covergetă şi are suma S dacă şirul = sumelor parţiale ( S ) este coverget şi are limita S. Î acest caz vom scrie: (3) U = S = Dacă şirul ( S ) u are limita sau limita sa este ± spuem că seria este divergetă (u este covergetă). Exemplul. Fie r u umăr oarecare. Seria r se umeşte serie geometrică cu = 0 raţia r. Să presupuem că r. Atuci putem scrie: r S = = r r S = + r = + r (4) LLLLLLLL r r S = + r+ K+ r = = r r r LLLLLLLL Dacă 0 < r <, lim S =, deci r =. r = 0 r Dacă r >, r şi cum - r < 0 rezultă lim S =. Dacă r < -, ( r ) este emărgiit şi u are limită, deci şi ( S ) este diverget, adică seria geometrică este divergetă. Î cazul câd r =, S =, deci r =. = 0 Dacă r = -, S = + ( ) şi deci şirul ( S ) este u şir diverget, ceea ce 0 îseamă că seria geometrică este divergetă. Î cocluzie: dacă 0 < r <, seria geometrică este covergetă şi are suma r. Dacă r seria este divergetă, câd r cum lim S = spuem că seria are suma +. =

3 34 Observaţia. Deoarece studiul seriilor revie la studiul şirurilor sumelor parţiale o serie îtreagă de rezultate privid şirurile se pot extide asupra seriilor umerice. Observaţia. Î cele de mai sus e-am referit la serii de umere reale. Aceleaşi cosideraţii pot fi făcute câd termeii U sut elemete ale uui spaţiu î care avem defiită o covergeţă şi o operaţie de îsumare, deci putem vorbi de serii de umere complexe, U C, de serii de vectori, k U R, de serii de elemete ale uui spaţiu Baach (spaţiu liiar ormat complet). Observaţia 3. Studiul uei serii comportă: ) aalizarea aturii seriei, adică dacă este covergetă sau u; ) calculul sumei seriei î cazul câd aceasta este covergetă, acest calcul poate avea î vedere suma exactă sau aproximativă a seriei. Următoarele proprietăţi sut utile î studiul seriilor: P) Dacă schimbăm ordiea uui umăr fiit de termei, dacă adăugăm sau îlăturăm u umăr fiit de termei ai uei serii, seria îşi păstrează atura, adică dacă este covergetă rămâe covergetă (evidet îşi modifică suma), dacă este divergetă ramâe divergetă. P) Să presupuem că seria U U k k= + = este covergetă şi are suma S, atuci seria este de asemeea covergetă, suma acestei serii se oteaza R şi se umeşte restul de ordi al seriei date. Dacă î relaţia: (5) S= S + R facem pe să tidă la rezultă lim R = 0, adică este verificată proprietatea: Resturile uei serii covergete formează u şir coverget la 0. P3) Dacă seria U = este covergetă, atuci şirul sumelor parţiale este mărgiit. Îtr-adevar, ( S ) este coverget, deci este mărgiit. Î geeral, afirmaţia reciprocă u este adevarată, după cum rezultă di: Exemplul. Seria ( ) = 0 are ca şir al sumelor parţiale şirul: S = dacă este par şi S = 0 dacă este impar, care este u şir mărgiit, dar care u este coverget.

4 35 P4) Dacă seria U = este cu termei pozitivi ( U 0 petru orice ) şi are şirul sumelor parţiale mărgiit, atuci seria este covergetă. Îtr-adevar, şirul sumelor parţiale ( S ) fiid crescător şi mărgiit este coverget. P5) Dacă seria U = este covergetă, atuci şirul ( ) U N este coverget către 0. Îtr-adevar, lim U = lim ( S S ) = S S= 0. al termeilor săi P6) Dacă şirul termeilor seriei u este coverget către 0 seria este divergetă. Afirmaţia (P6) rezultă di (P5). Reciproca ei, î geeral, u este adevarată, după cum rezultă di: Exemplul 3. Să cosiderăm seria =, umită seria armoică. şirul avâd termeul geeral U = coverge la 0, totuşi vom arăta că seria este divergetă. Îtr-adevar: = K+ = K+ + K> + 4 > K+ + K 4 8 Deci, > = =. Petru seria = şirul sumelor parţiale ( S ) are termeul geeral S =, care coverge la, de ude rezultă că = =. P7) Fie seriile U, V covergete şi avâd sumele S şi S. Pri suma = = acestor serii U + V se îţelege seria W, ude W = U + V; pri = = = produsul seriei U cu u umar real α se îţelege seria: αu ; pri = = produsul formal al seriilor U şi V se îţelege seria Z, ude = = =

5 36 Z = UkV k. Î aceste codiţii, seria W este covergetă şi are k = = suma S + S, seria αu este covergetă şi are suma α S, iar dacă cel = puţi ua di seriile date este absolut covergetă (seria modulelor termeilor este covergetă) atuci seria Z este covergetă şi are suma egala cu = S S. 3.. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE Teorema. (Criteriul geeral al lui Cauchy) O serie U = este covergetă dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există N(ε) N astfel îcât petru orice N(ε) şi p : () U+ + U+ + K + U+ p < ε. Demostraţie: Fie { S } şirul sumelor parţiale ale seriei date. Di criteriul lui Cauchy petru şiruri umerice rezultă că şirul sumelor parţiale { S } este coverget dacă şi umai dacă el este u şir fudametal, ceea ce îseama că petru orice ε 0, există N(ε) N, astfel îcât petru orice N (ε) şi p sa avem: () S+ p S < ε. Dar iegalitatea () este aceeaşi cu () şi demostraţia este completă. Observaţia. Criteriul lui Cauchy are o mare importaţă teoretică î studiul seriilor. Pe baza lui se demostrează alte criterii care oferă codiţii suficiete de covergeţă. Observaţia. Îlocuid modulul cu orma corespuzătoare, criteriul lui Cauchy ramâe valabil î cadrul mai geeral al seriilor de elemete ditr-u spaţiu Baach (spaţiu ormat complet). Teorema. (Criteriul lui Abel) Dacă parţiale mărgiit şi dacă ( ) α N coverget către 0, atuci seria: U = este o serie care are şirul sumelor este u şir descrescător de umere pozitive

6 37 (3) αu = αu + αu+ K + αu+ K = este covergetă. Demostraţie: Î codiţiile date are loc: (4) αp αp+ = αp αp+ > 0, Up+ = Sp+ Sp, oricare ar fi p şi ( S p ) şirul sumelor parţiale ale seriei date. Vom arăta că seria dată satisface p criteriul lui Cauchy. α U + α U + K+ α U + α U = p + p + p + p ( S S ) α ( S S ) = α K + ( S S ) α ( S S ) ( ) K ( ) + α+ p + p + p + + p + p + p = = α+ S + S+ α+ α+ + + S+ p α+ p α+ p + + α + ps+ p ( ) K ( ) αp+ S + α+ α+ S+ + + α+ p α+ p S+ p + + α + p S+ p ( K ) M α+ + α+ α+ + + α+ p α+ p + α+ p = Mα+ ude M este o costată pozitivă care mărgieşte şirul modulelor sumelor parţiale ( S ). Cum şirul ( α ) este descrescător la 0 rezultă că petru orice ε > 0 ε există N(ε) N astfel îcât petru orice N( ε) α+ <, de ude rezultă că: M α U + U α + + α U < ε p + p petru orice N(ε) şi p, ceea ce arată, coform criteriului lui Cauchy, că seria dată este covergetă. Exemplul. Utilizâd criteriul lui Cauchy să se studieze covergeţa seriilor : cosa a) ; b). = 3 =

7 38 Exemplul. Uţilizâd criteriul lui Abel să se studieze covergeţa seriei ( ) =. Defiiţi ce este o serie covergetă, respecţiv o serie divergetă. Daţi exemple de serii covergete, respectiv de serii divergete. Eumeraţi proprietăţile geerale ale seriilor. Euţaţi criteriul lui Cauchy, respecţiv al lui Abel, de covergeţă a seriilor cu termei oarecare SERII SEMICONVERGENTE. SERII ALTERNANTE Defiiţia. Vom spue că o serie modulelor U = este covergetă. U = este absolut covergetă dacă seria Teorema. Orice serie absolut covergetă este covergetă. Demostraţie: Se aplică criteriul lui Cauchy şi se ţie seama de iegalitatea: () U+ + U+ + K+ U+ p U+ + Uu+ + K + U+ p. Observaţia. Afirmaţia reciprocă celei di Teorema, î geeral, u este adevarată, după cum rezultă cosiderâd seria ( ). Aceasta este = covergetă coform criteriului lui Abel, pe câd seria modulelor că u este covergetă (Exemplul 3 di 3..). = am arătat Defiiţia. O serie care este covergetă dar u este absolut covergetă se umeşte semicovergetă. Seriile semicovergete au uele proprietăţi deosebite, astfel proprietatea de îsumare î orice ordie a termeilor uei sume fiite de umere reale u mai este valabilă. De exemplu, î cazul seriilor armoice alterate, pri permutarea uor ( ) termei di seria = K se obţie seria =

8 K + K. Aceste două serii au aceeaşi k k 4k termei, dar scrişi î altă ordie. Notâd cu S suma seriei ( ) = avem: S= = + + = S K K, 3 4 ceea ce este absurd. Această cotradicţie arată că î cazul seriilor semicovergete modificarea ordiii de îsumare a termeilor este iterzisă. (di S= S rezultă S = = 0, vom vedea că S = l ). Defiiţia 3. Se umeşte serie alterată o serie de forma: () U U U U ( ) + + K = U 3 4 = cu U > 0 petru orice, sau de forma: (3) U + U U + U + K = ( ) U, 3 4 = care pri îmulţire cu - se reduce la prima forma (). Teorema. (Criteriul lui Leibitz) O serie alterată ( ) şirul modulelor termeilor ( ) U covergetă. Demostraţie: Dacă cosiderăm seria: (4) , aceasta are şirul sumelor parţiale, 0,, 0,, S mărgiit. Avâd î vedere că şirul ( ) criteriul lui Abel rezultă că seria ( ) = = U, petru care este descrescător şi coverget la 0 este =, S 0 =, care este u şir U este descrescător către 0, aplicâd U este covergetă. Î coţiuare e propuem să calculăm o margie superioară a erorii pe care o facem aproximâd suma uei serii alterate, care satisface criteriul lui Leibitz, pritr-o suma parţială. Să observăm că şirul sumelor parţiale ( ) S verifică urmatoarele iegalităţi: S = U ( U U ) ( U U )... ( U U ) < S (5) S = U U + U U U U > S ( ) ( ) ( ) + 3 4

9 40 petru orice. Di iegalităţile (5) rezultă şirul de iegalităţi : (6) S S4... S S+... S... S+... S3 S. Di (6) se deduce că, petru orice 0, avem : 0 S+ S S+ S+ = U+ (7) 0 S S S+ S = U+ Iegalităţile (7) se mai pot scrie sub forma : (8) ( ) 0 ( S S) U +, care permite formularea următorului rezultat deosebit de util petru evaluarea erorii făcute atuci câd suma uei serii alterate este aproximată pritr-o sumă parţială. Teorema 3. Dacă seria alterată ( ) = U are şirul ( ) U descrescător la 0, îlocuid suma S a seriei cu suma parţială S a uui umar fiit de termei facem o eroare mai mică decât primul terme eglijat U +. Eroarea este pri lipsă dacă este u umăr par şi pri adaos dacă este impar. Exemplul. Fie seria armoică alterată ( ) = (a) Să se calculeze suma acestei serii. (b) Câţi termei trebuie îsumaţi petru a obţie suma seriei cu sapte zecimale exacte. Rezolvare: (a) Seria este covergetă coform criteriului lui Leibiz. Fie S suma şi S suma parţială a acestei serii. Atuci: S= lim S = lim S. Dar: S = = = K K = = + + K Folosid idetitatea obţiută rezultă că:

10 4 S= S = lim lim... = lim = i= + dx = + x = l 0 (b) Aproximâd suma S cu S eroarea făcută este mai mică sau egală, î valoare absolută, cu. Deci, petru a se obţie suma seriei cu şapte zecimale + exacte trebuie ca , adică 0. Aşadar, umarul miim de termei care trebuie îsumaţi petru a obţie suma S cu şapte zecimale exacte este Defiiţi seriile semicovergete, respecţiv seriile absolut covergete. Daţi exemple. Defiiţi seriile alterate. Daţi exemple. Euţaţi criteriul lui Leibiz CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII CU TERMENI POZIŢIVI Fie U = o serie cu termei pozitivi ( U 0 petru orice ). Petru o astfel de serie pot apare doar cele două cazuri : a) seria este covergetă; b) seria este divergetă şi are suma S =. Deasemeea observăm că criteriile de covergeţă petru serii cu termei pozitivi sut criterii de absolut covergeţă petru serii cu termei oarecare. Teorema. (Primul criteriu al comparaţiei). Fie U, V termei pozitivi astfel că există N N astfel îcât: () U V petru orice N. Atuci are loc: a) dacă seria V = b) dacă seria U = este covergetă, rezultă că seria este divergetă, atuci şi seria = = U = V = două serii cu este covergetă, este divergetă.

11 4 Criteriul comparaţiei cu cele două părţi ale sale, a) partea de covergeţă şi b) partea de divergeţă utilizează serii covergete, respectiv divergete ca serii de comparaţie. Teorema. (Al doilea criteriu al comparaţiei). Fie seriile U, V, cu = = termei pozitivi. Presupuem că există N N astfel îcât: () U+ V + petru orice N. U V Atuci: a) dacă seria V este covergetă, rezultă că şi seria U este = = covergetă, b) dacă seria U este divergetă, rezultă că şi seria V este divergetă. = = U Demostraţie: Di () rezultă iegalitătea V V + V + care este echivaletă cu U U+, petru orice N. Dâd lui valori, obţiem şirul de iegalităţi : V V + (3) U U+ U+ U K K V V + V + V U Fie U k =, atuci k petru orice N, de ude rezultă U kv, V V petru orice N. Aplicâd primul criteriu al comparaţiei rezultă afirmaţiile a) şi b). Observaţia. Criteriile comparaţiei dau posibilitatea de a deduce dacă o serie este covergetă sau divergetă comparâd-o cu altă serie covergetă sau divergetă, de ude rezultă utilitatea cuoaşterii aturii a cât mai mai multe serii. Exemplul. Să se studieze covergeţa seriei ( ) = + 5. Observăm că + 5. Comparâd seria dată, după primul criteriu, cu seria geometrică 5 5 cu raţia r = < rezultă că seria dată este covergetă. = 5 Teorema 3. (Criteriul rădăciii umit şi al lui Cauchy). Fie seria cu termei pozitivi U =.

12 43 a) Dacă există N N şi k (0,) astfel îcât petru orice N U k, atuci seria dată este covergetă. b) Dacă U petru o ifiitate de termei, atuci seria dată este divergetă. Demostraţie: a) Di U k rezultă U k petru orice N. Cum seria geometrică k = U = b) Dacă U este covergetă, aplicâd primul criteriu al comparaţiei rezultă că seria este covergetă. rezultă că U petru o ifiitate de termei, î acest caz şirul termeilor seriei ( U ) u coverge la 0 şi deci seria este divergetă. Corolarul. Fie seria cu termei pozitivi avem: a) dacă k < seria dată este covergetă, b) dacă k > seria dată este divergetă. Exemplul. Să se studieze atura seriei U =. Dacă lim si α = lim si α lim si α π = = siα. Cum petru α 0 seria este covergetă. U = k atuci π, ude α 0,., rezultă că si (, ) α 0 şi Exemplul 3. Să se studieze covergeţa seriei. Observăm că = 3 + U =, de aici rezultă k = lim U 3 + = <, deci seria dată este 3e covergetă. Teorema 4. (Criteriul raportului umit şi al lui D Alambert). Fie seria cu termei pozitivi U =. a) Dacă există N N şi k (0,) astfel îcât U + k U petru orice N, atuci seria dată este covergetă.

13 44 b) Dacă există N N astfel îcât U U este divergetă. Demostraţie: + petru orice N, atuci seria dată a) Di U + k U rezultă U + ku, petru orice N. Scriid această iegalităte dezvoltat rezultă: UN+ kun U+ kun+ k UN LLLLLLLLLL p UN+ p k UN LLLLLLLLLL, de ude putem scrie p U UN ( k+ k + K + k + K ). = N+ Deoarece seria geometrică di parateza cu raţia k subuitară este covergetă rezultă că seria dată este covergetă. b) Di U U + termeilor seriei ( ) rezultă că U+ U petru orice N, ceea ce arată că şirul U este crescător şi deci u coverge la 0, ceea ce N arată că seria dată este divergetă. Corolarul. Fie Să presupuem că lim U = U+ = k U o serie cu termei pozitivi.. Atuci: a) dacă k < seria este covergetă, b) dacă k > seria este divergetă. Exemplul 4. Să se studieze covergeţa seriei!. = U+ k = lim = lim! = lim U ( + ) + = 0 <. Coform corolarului de mai! sus seria este covergetă. Observaţia. Criteriile de covergeţă de mai sus au fost obţiute pri comparaţie cu seria geometrică. Îlocuid seria geometrică, ca serie majorată, cu o altă serie covergetă se pot obţie alte criterii de covergeţă. Se pot stabili astfel oricât de multe criterii de covergeţă, dar î acelaşi timp se poate arăta că se pot găsi serii care u pot fi aalizate cu ajutorul criteriilor stabilite aterior, aşa

14 45 că u există u criteriu geeral de covergetă care să rezolve problema covergeţei oricărei serii. Observaţia 3. Î acest capitol e-am referit la serii de umere reale, ele sut cel mai des îtâlite î aplicaţiile matematice î tehică, ecoomie etc. Spaţiile cele mai geerale la care e-am referit îsă î capitolul precedet au fost spaţiile topologice, spaţiile metrice, spaţiile vectoriale ormate. Facem observaţia că î primele două se poate vorbi de covergeţa şirurilor dar u de covergeţa seriilor deoarece u este defiită o operaţie de aduare. Seriile pot fi studiate îsă î cadrul mai geeral al spaţiilor vectoriale ormate. Euţaţi criteriile de comparaţie privid covergeţa, respectiv divergeţa Euţaţi criteriul rădăciii, respectiv al raportului, privid covergeţa şi divergeţa seriilor.

15 46 Probleme fiale :. Să se studieze atura seriilor următoare şi î caz de covergeţă determiaţi suma lor : a) b) l. = 4 = +. Să se studieze atura seriilor folosid proprietăţile geerale ale acestora : a) = + b). + 3 = Să se studieze semicovergeţa şi absolut covergeţa seriilor: a) ( ) + b) + ( ) = = 3 4. Să se studieze atura seriilor folosid criteriile comparaţiei : a) 4 = 4 b) c) a si = = 3 5. Să se studieze atura seriilor folosid criteriul raportului : a) a b) ude a > 0 c) =! = ( + a + a... + a ) = 6. Să se studieze atura seriilor folosid criteriul rădăciii : a) + = 3 + = b) ( ( + )( + a) ) ude a > Utilizâd criteriul lui Cauchy să se studieze covergeţa seriilor : cosa a) ; b). = 3 = 8. Câţi termei trebuie îsumaţi petru a obţie suma seriei ( ) cu 4 zecimale exacte. = 0. Să se arate că suma ditre o serie covergetă şi o serie divergetă este tot o serie divergetă. Există serii divergete a căror sumă este o serie covergetă?

16 47