1 Centar mase mehaničkog sistema

Transcript

1 M. Tadić, Predavanja iz Fizie 1, ETF, grupa P3, VIII predavanje, Centar mase mehaničog sistema Posmatrajmo najpre sistem materijalnih tačaa priazan na slici 1. Broj čestica u sistemu je n, a masa sistema je: m = m. (1) Slia 1: Uz definiciju centra mase mehaničog sistema. Centar mase mehaničog sistema od n-materijalnih tačaa je tača čiji je položaj određen sa: n r CM = m n r n m = m r. () m Treba uočiti da je centar mase tača u geometrijsom smislu, jer se u centru mase ne mora nalaziti nijedna materijalna tača sistema. Centar mase sistema materijalnih tačaa je zapravo ponderisana srednja vrednost položaja materijalnih tačaa u sistemu. U Deartovom oordinatnom sistemu: n (x CM i+y CM j +z CM ) = m (x i+y j +z ). (3) m Izjednačavanjem članova ispred odgovarajućih jediničnih vetora s leve i desne strane, dobijaju se izrazi za Deartove oordinate centra mase: x CM = y CM = z CM = n m x n m, (4) n m y n m, (5) n m z n m. (6) Primer. Naći centar mase sistema od dve materijalne tače masa m i m na međusobnom rastojanju L, ao na slici. y i z oordinate obe čestice su jednae nuli, pa su y CM = i z CM =. Za oordinatni početa postavljen ao na slici 1 x oordinata centra mase je: x CM = m +m L 3m 1 = L. (7) 3

2 Slia : Primer određivanja centra mase sistema od dve materijalne tače. Posmatrajmo sada ontinualno telo. To je telo sa ontinualnom raspodelom mase. Tela su izrađena od atoma i moleula i imaju disretnu struturu, ali su efeti ovave struture zanemarljivi u lasičnoj mehanici, tao da se može smatrati da je masa u telu ontinualno raspodeljena. Na osnovu analogije sa izrazom za r CM za sistem materijalnih tačaa: m r CM = rdm, (8) dm m gde su dva integrala po masi tela; integral u imeniocu je mdm = m, gde je m masa tela. Slia 3: Uz definiciju gustine u tači. Umesto integrala po masi, može se integraliti po zapremini. U tom smislu, posmatrajmo delić tela zapremine V i mase m u oolini tače r = (x, y, z) (videti sliu 3). Gustina u oolini tače r je: ρ = m V. (9) Gustina u tači r je: m ρ( r) = lim V V = dm dv. (1) Uz zamenu dm = ρdv, izraz za centar mase ontinualnog tela može se pisati u formi: Deartove oordinate centra mase su: r CM = x CM = y CM = z CM = V rρ( r)dv. (11) ρ( r)dv V V xρ(x,y,z)dv, (1) V ρ(x,y,z)dv V yρ(x,y,z)dv, (13) ρ(x,y,z)dv V V zρ(x,y,z)dv. (14) ρ(x,y,z)dv V

3 Slia 4: Uz definiciju površinse gustine u tači. Ao telo ima obli tane ravne ploče, može se definisati površinsa gustina. U tom smislu uočimo delić tela površine ds i mase dm, ao što je priazano na slici 4. Površinsa gustina u tači r je: σ( r) = dm ds. (15) Centar mase pločastih tela određuje se prema: S x CM = xσ(x,y)ds, (16) S σ(x,y)ds S y CM = yσ(x,y)ds. (17) Sσ(x,y)dS Slia 5: Uz definiciju podužne gustine (mase po jedinici dužine). Za tela oblia pravolinijse žice (slia 5), definiše se podužna gustina: µ = dm dx, (18) a izraz za centar mase je: x CM = xµ(x)dx µ(x)dx. (19) Primer. Odrediti centar mase negomogenog tela oblia valja od oga se gustina menja prema linearnoj funciji (slia 6): ρ(x) = ρ (1+x/L), () ao na slici 6. Ovde je L visina valja, a ρ je gustina u tačama donje osnove valja. U svaom poprečnom preseu raspodela mase je homogena, do je telo nehomogeno duž x ose. Odavde se može lao zaljučiti da je centar mase na x osi (asijalnoj osi simetrije valja): y CM =, z CM =, (1) 3

4 Slia 6: Primer određivanja centra mase nehomogenog tela. do se x oordinata centra mase računa na osnovu: gde je: Masa tela je: odnosno: Konačno je: ξ = S x CM = xρ(x)sdx L ρ(x)sdx = ξ m, () xρ(x)dx = S ( ) x ξ = Sρ + x3 L 3L m = S ( xρ 1+ x ) dx, (3) L ( 1 = Sρ L + 1 ) = Sρ L. (4) ρ(x)dx = Sρ ( 1+ x ) dx, (5) L ( m = Sρ L 1+ 1 ) = 3 Sρ L. (6) x CM = ξ m = 5Sρ L /6 3Sρ L/ = 5 L. (7) 9 Teorema o retanju centra mase mehaničog sistema Posmatrajmo sistem od n materijalnih tačaa. Jednačine retanja pojedinih materijalnih tačaa su: m 1 a 1 = F (int) 1 + F (iext) 1, (8) m a 1 = F (int) + F (iext), (9). (3) m n a n = F (int) n + F (iext) n. (31) 4

5 Sabiranjem ovih jednačina dobija se: m a = F (int) + F (ext). (3) Prva suma s desne strane jednaa je nuli, jer unutrašnje sile postoje u suprotno postavljenim parovima: m a = što je već dobijeno iz teoreme o promeni oličine retanja mehaničog sistema. Prema izrazu za centar mase: m r CM = F (ext), (33) m r. (34) Ovde je m = n m masa sistema. Ao diferenciramo ovu jednaost po vremenu: m d r CM dt = m d r dt = P, (35) odnosno: Drugo diferenciranje daje: Koristeći (33) dobija se: odnosno: m v CM = P. (36) m d r dt = md r CM dt = m a CM. (37) m a CM = m a CM = m a = F (ext) rez, (38) F (ext) = F (ext) rez. (39) Ovo je matematiči zapis teoreme o retanju centra mase mehaničog sistema. TKCM(ms). Centar mase se reće ao čestica mase jednae masi sistema na oju su primenjene sve esterne sile oje deluju na sistem. Ao je rezultantna esterna sila jednaa nuli ili ao je sistem izolovan, na osnovu TKCM(ms) sledi: F (ext) rez = m v CM = const v CM = const. (4) Ao je rezultantna spoljašnja sila na sistem jednaa nuli, centar mase se reće ravnomerno pravolinijsi ili miruje. 3 Kretanje mehaničog sistema sa promenljivom masom Postoji besrajno mnogo različitih oblia retanja objeata u prirodi. Na primer, za retanje objeata po površini Zemlje nužno je potrebna sila trenja. Drugi primer retanja je podizanje aviona, oje se dešava usled različitih pritisaa vazduha na donju i gornju stranu rila. Ova pojava se naziva aerodinamiči lift i za nju je suštinsi 5

6 bitno postojanje fluida u ome se avion reće (bez vazduha avion se ne bi odvojio od piste). Treći primer, oji je suštinsi različit od dva prethodno navedena, je retanje raete, za oje nije potrebna niti sila trenja niti fluid. Obli retanje raete naziva se reativno retanje i odvija se pomoću izbacivanja sagorelog goriva iz raete. Izbačeno gorivo deluje potisnom silom na raetu. Slia 7: Kretanje raete. Posmatrajmo raetu iz referentnog sistema vezanog za Zemlju u dva vremensa trenuta, t i t+dt i pretpostavimo da na raetu deluje spoljašnja sila F (na primer gravitaciona sila), ao što priazuje slia 7. Pretpostavimo da je u trenutu t+dt izbačeno sagorelo gorivo mase dm, čija je relativna brzina u odnosu na raetu v gr. Prema teoremi o promeni momenta oličine retanja: dp = Fdt. (41) dp je diferencijalno mala promena oličine retanja raete: dp = P(t+dt) P = (m+dm)( v +d v)+( dm) v g m v. (4) Ovde je v brzina raete u trenutu t, v+d v je brzina raete u trenutu t+dt, a v g brzina sagorelog goriva. Ova brzina je v g = v gr +( v +d v). (43) Koristeći (41), (4) i (43): (m+dm)( v +d v)+( v gr + v +d v)( dm) m v = m v +md v + dm v + dmd v dm v gr dm v m v = Fdt. (44) Odavde se izvodi jednačina retanja: m d v dt = F + dm v gr. (45) dt Drugi član sa desne strane ima dimenziju sile, tao da se poslednja jednačina može pisati u obliu: m d v dt = F + F p ; Fp = dm v gr. (46) dt F p se naziva potisna sila raete (engl.: thrust) raete. 1 Primetimo da je potisna sila proizvod brzine potrošnje goriva i relativne brzine goriva u odnosu na raetu. Jednačina (46) naziva se jednačina Meščersog ili I raetna jednačina. 1 Treba praviti razliu između potisne sile raete i Arhimedove sile potisa (engl.: buoyant force) oja deluje na tela u fluidima. 6

7 Poseban slučaj je retanje raete bez dejstva spoljašnje sile, odnosno samo pod dejstom potisne sile. Pretpostavimo da se sagoreli gasovi iz raete izbacuju suprotno retanju raete, tj da su vetori v i v gr antiparalelni. Uvedimo oznau µ = dm dt Modifiovana jednačina Meščersog je za slučaj F = : >. (47) ma = µv gr, (48) gde je a = dv/dt algebarsa vrednost intenziteta ubrzanja. Ova diferencijalna jednačina se može jednostavno integraliti ao je poznata algebarsa vrednost intenziteta brzine u početnom trenutu v(t = ) = v : Rešenje je: odnosno m m / dm m = dv v gr / v v. (49) ln m = v v, (5) v gr m v = v +v gr ln m m. (51) Ovo je jednačina (formula) Ciolovsog ili II raetna jednačina. Ona predstavlja zavisnost brzine raete od njene mase van gravitacionog polja (Zemlje ili drugih nebesih tela) ada na telo ne deluju spoljašnje sile. Treba uočiti da je zavisnost brzine od vremena sadržana u zavisnosti mase raete od vremena. Ao je µ = const i v = : v = v gr ln m m µt. (5) Raeta oja se lansira u vasionu sastoji se od orisnog tereta (apsule), oji se šalje na orbitu oo Zemlje ili na drugo nebeso telo, mase m ap, onstrutivnog materijala raete (rezervoara, motora itd.) mase m m i goriva u rezervoarima mase m g. Prema tome, početna masa raete je: do je rajnja masa raete, pošto potroši raetno gorivo: m = m ap +m m +m g, (53) m = m ap +m m. (54) Tipično je m m /m,8. Tipična brzina orisnog tereta na malim visinama, od neolio stotina m od Zemlje, je v 7, 5 m/s, a tipična brzina izbacivanja sagorelog goriva za vodoni-iseoni propelente (supstance oje se oriste za propulziju (poretanje) raete) je v gr 3,5 m/s. Za ovavu raetu, masu orisnog tereta od m ap = 5 t i v = m/s: m = m ap /(e v/vgr m m /m ) = 134 t. (55) Ovaj proračun ne uzima u obzir uticaj gravitacije, otporne sile sredine u ojoj se reće raeta i promenu ursa raete toom njenog retanja. U prasi je vrednost m oo t. Pri tome, tipična vrednost m rez /m g,9, Treba uočiti da raeta nije samo aspula. 7

8 a m g /m,9 (9% mase raete na startu čini raetno gorivo). Parametar raete je odnos mase goriva i rajnje mase raete (zbira masa orisnog tereta i onstrutivnog materijala raete): K C = m g m m +m ap. (56) K C se naziva broj Ciolovsog. Lao se može poazati da je rajnja brzina veća uolio je K C veće za dato v gr. Raete su efiasnije uolio se ista rajnja brzina postiže pomoću manje mase goriva na startu. Da bi se povećala efiasnost raete, prema jednačini Ciolovsog potrebno je smanjiti masu onstrutivnog materijala raete. Drugi mogući način za povećanje efiasnosti raete je povećanje relativne brzine goriva u odnosu na raetu. Spomenimo i da se za letove na udaljene nebese objete oriste višestepene raete, gde svai stepen ima svoje gorivo i svoj motor. Tava je, na primer, trostepena Saturn V raeta orišćena za slanje ljudi na Mesec u oviru Apolo programa. Razmotrimo sada poseban slučaj retanja raete u Zemljinom gravitacionom polju na malim visinama od površine Zemlje. Jednačina Meščersog je za ovaj slučaj: Ao je početna brzina raete v = m/s, lao se dobije: Ao je brzina potrošnje goriva onstantna: 4 Sudari m dv dt = mg dm dt v gr. (57) v = gt+v gr ln m m. (58) v = gt+v gr ln m m µt. (59) Sudari su ratotrajne intenzivne interacije dva ili više tela. Tela pri sudaru mogu interagovati ontatom ili posredstvom fizičog polja (na primer sudari naeletrisanih čestica, oje interaguju posredstvom eletričnog polja). Nadalje ćemo posmatrati sudare materijalnih tačaa ili čestica oje interaguju ontatom. Ovde ćemo razmatrati binarne sudare u ojima učestvuju dva tela, oje ćemo zvati "projetil" i "meta". Pored osobina materijala od ojih su sačinjeni učesnici sudara (na primer, meta se zarije u olovni blo, a zaustavlja na površini evlara), ishod sudara zavisi od sila oje deluju toom sudara i vremena sudara. U opštem slučaju, toom sudara pored unutrašnjih sila između učesnia sudara, deluju i spoljašnje sile. Prema teoremi o promeni oličine retanja mehaničog sistema je: P 1 P = I = F (ext) i dt = P 1 P = p i1 p i, (6) gde je n broj učesnia sudara, P oličina retanja mehaničog sistema pre sudara, a P 1 oličina retanja mehaničog sistema posle sudara. Ao je vreme trajanja sudara malo ( t = t 1 t ), impulsi esternih sila su vrlo mali. U graničnom slučaju ( t = ): t = t 1 t = I = t 1=t t F (ext) i dt =. (61) 8

9 Ovava aprosimacija se naziva aprosimacija trenutnog sudara. Pod aprosimacijom trenutnog sudara važi zaon o održanju oličine retanja i ada deluju spoljašnje sile: p i1 = p i. (6) Naravno, poslednji rezultat je u stritnoj važnosti za izolovan sistem, ada su implusi svih spoljašnjih sila egzatno jednai nuli. Za sve sudarne procese važi zaon o održanju uupne (ne samo mehaniče) energije. Dale, u opštem slučaju mehaniča energija učesnia sudara se transformiše u druge oblie energije: Učesnici se naon sudara mogu retati: 1. zajedno: sudar sa zahvatom;. razdvojeno: sudar sa raštravanjem. E i1 = E i. (63) Ao se čestice pre i posle sudara reću po istom pravcu, radi se o čeonom sudaru. Kod elastičnih sudara mehaniča energija učesnia sudara se ne transformiše u druge oblie energije. Ao učesnici interaguju ontatom, bez posredstva fizičog polja (E p = const), inetiča energija je onstantna. Prema tome, jednačine binarnih elastičnih sudara ontatom su: Poslednja jednačina se može dati i u obliu: p i1 = E i1 = p i1 m i = p i, (64) E i. (65) p i m i. (66) Najčešći problem u teoriji sudara je određivanje vetora oličine retanja svaog učesnia posle sudara (u trenutu t 1 ), na osnovu poznatih masa učesnia sudara i poznatih vrednosti vetora oličine retanja učesnia pre sudara (u trenutu t ). Kod neelastičnog (plastičnog) sudara ontatom dolazi do transformacije inetiče energije u druge oblie energije (na primer unutrašnju energiju učesnia sudara). Kod potpunog (idealnog, apsolutnog) neelastičnog sudara ontatom, gubita inetiče energije je masimalan i tela se po sudaru reću zajedno. U ovom slučaju radi se o neelastičnom sudaru sa zahvatom. Za neelastični sudar ontatom održanje inetiče energije, dale, ne važi, pa se na neelastični sudar može primeniti samo zaon o održanju oličine retanja mehaničog sistema: 5 Čeoni elastični sudar p i1 = p i, (67) Posmatrajmo sudar projetila mase m 1, oji se reće brzinom v 1 pre sudara i mete mase m, oja miruje pre sudara ( v = ). Sudar dve čestice je ilustrovan na slici 8. Brzine projetila i mete posle sudara su v 1 i v, 9

10 respetivno i imaju pravac retanja projetila pre sudara (čeoni sudar). Taođe, smatramo da je sudar trenutan i elastičan. Primer čeonog sudara je sudar dve bilijarse ugle ada se centar ugle projetila reće a centru ugle mete oja miruje. Slia 8: Čeoni elastični sudar. Pretpostavimo da se posle sudara meta rasejava unapred (u smeru retanja projetila pre sudara), a da projetil uzmiče unazad. S obzirom da je sudar trenutan i elastičan, važe zaoni o održanju oličine retanja i inetiče energije: m 1 v 1 = m 1 v 1 +m v (68) m 1 v 1 = m 1v 1 + m 1v. (69) Označimo odnos masa m /m 1 sa ξ: Jednačine (68) i (69) imaju obli: ξ = m m 1. (7) v 1 +v 1 = ξv, (71) v 1 v 1 = ξv. (7) Ao podelimo drugu jednačinu sa prvom: v 1 v 1 (v 1 +v 1 ) = v 1 v 1 v 1 +v 1 = 1 ξ. (73) Odavde sledi: v 1 = ξ 1 ξ +1 v 1. (74) Koristeći jednačinu (71): Zamenom dobijenog izraza za v 1 u poslednji izraz, sledi: Zamenjujući ξ sa m /m 1 u (74) i (76), sledi: v = 1 ξ (v 1 +v 1). (75) v = ξ +1 v 1. (76) U zavisnosti od odnosa masa m i m 1 mogući su sledeći slučajevi retanja: v 1 = m m 1 m +m 1 v 1, (77) v = m 1 m +m 1 v 1. (78) 1

11 I(a) m > m 1 v 1 > ; v >, što znači da meta uzmiče u suprotnom smeru od smera rasejanja projetila. I(b) m m 1 v 1 = v 1; v = ; ovaj slučaj odgovara rasejanju projetila o masivnu metu: projetil se rasejava unazad istom brzinom ao pre sudara, do meta ostaje u stanju mirovanja. II(a) m < m 1 v 1 < ; v >, što znači da je smer uzmicanja mete isti ao smer rasejanja projetila. II(b) m m 1 v 1 = v 1; v = v 1; ovaj slučaj odgovara rasejanju masivnog projetila o lau metu: projetil se rasejava unapred bez promene brzine, do se meta reće u istom smeru ao projetil dvostruom brzinom projetila pre sudara. III m = m 1 v 1 = ; v = v 1 : ovo je slučaj ada projetila preda svoju brzinu meti. Pored izvedenih izraza za brzine projetila i mete posle sudara, interesantno je izvesti izraz za relativni gubita inetiče energije projetila, E 1 E 1, (79) gde je E 1 = E 1 E 1 gubita inetiče energije projetila: ( E 1 = E 1 E 1 = E 1 1 E ) ) ) 1 E 1 = E 1 (1 v 1 (ξ 1) ξ v1 = E 1 (1 +ξ +1 ξ +ξ 1 (ξ +1) = E 1 (ξ +1). (8) Relativni gubita inetiče energije E 1 4ξ = = f(ξ) (81) E 1 (ξ +1) je masimalan za ξ = ξ, oje ćemo odrediti na osnovu uslova: df dξ =. (8) ξ=ξ Lao se nalazi Odavde sledi df dξ = 4(ξ +1) ξ (ξ +1) (ξ +1) 4 = 4(1 ξ)(1+ξ) (ξ +1) 4 = 4(1 ξ) (ξ +1) 3. (83) ξ = 1 m = m 1. (84) Lao je utvrdi i da je što znači da funcija f(ξ) ima masimum u ξ = ξ. Masimalni gubita inetiče energije projetila je: d f dξ <, (85) ξ=ξ E 1max E 1 = 1, (86) što znači E 1max = E 1, (87) odnosno gubita inetiče energije projetila je za m = m 1 potpun. 11