Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit"

Transcript

1 rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D TAMPR 2009

2 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D , TOUKOKUU 2009 rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit 2. korjattu painos TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO ISBN ISSN

3 !"##""$%" %&'$(")"*+*", -# $"./*0$""%/. 1 2$3%&%($4")/5$6%( &*"'*$% $%"* 7 1 &+*.'%%(!%&.".+* &*"'*$% $(%( 7 1 2$3%&%($4")/5(!.&'* $(%( &))( 4")/5/.#'*( /%$(%( &*"'*$. : 17 -*+%((. %(%"%/ ) 1 7 ;*#$"%"". +**"$+..*(*/$ 1 < =.'*.".+$"* "$%"#&*'%("%$"* : < -%+$""+)!.. 1> <?$(# '** 9$ %&''$ */*&*0#$"* 18 A 1 B*0#"* 0* 4*//$"% 7 1 2(** $(%( #40%/ #$("$ (%%" */C#&$" $" D%&..""*+*" */C#&$" $" 7: 17 D%/$!.." 0* α β '*&$("* 7: 17 F&*(G4 *(6 H #.(6 < 1< D*$'*//$%%( %"$("))(!%&.".+*" */C#&$" $" < 1< I$./#$". 0))46" <1 1< J%(%%""$%" */C#&$" $" <7 K(6.'"$##(!%&.".+* */C#&$" $%(..(($""%/. 18!!&#'$ #$("$*/C#&$" %$"* <: 18 L!"$ #$("$#(C%/ 18 A MN O O PQ 7 9&$//$"%( 0#.''#0%( ')$""%/#(C%/

4 7 2%"%& $($"$"%( ))&%//$"%( *."# **""$%( Q N < (."4$( =#&&$$( D&*""$( */C#&$" $ 81 < F#%&$( =##&%( */C#&$" $ <1 * H $($( *&!$( */C#&$" $ 8, I+..("*$(%( I..((*".( +%&'#( 6 %"$(") 0* +*4+*"$ D*&$.".#(C%/ *,, : OO Q 8 9("&#!$* :< 8 I"**""$%" '##6*. %(%"%/ )" :8 81 ($+%&**/$" '##6$" 0* %(%"%/ )" :, 87 -%!%/$( $+$( '##6*. :: 8< =.'*.".+$$( /$"#$4$(!%&.".+* '##6*. %(%"%/ ) ::, I4%&##6 */C#&$" $" >, -*?%C* */C#&$" $" >7,1 =#("% *&/# */C#&$" $" I*".((*$"%"". %"$(")!.. >: : $((*''*$*/C#&$" $%(..(($""%/."%'($$'#$"* < : **'* +#$ * < : :1 -#4'# : D%&.*/C#&$" %0*, : -$"*( &*(''*., : 9./%&$( '/$ "%'($$''* : :1 -*0$""%/. "*./.'#* > :7 =*"&$$$%( '%&"#/*'.

5 ;) ) #($"% #( "*&'#$"%"". ')"%"")+)'$ ;*!%&%%( /$#!$"#( "$%"#0%(')$""%/"$%"%$ 6%( /*$"#'%( #!$("#0*'#//* /C#&$" $" =#($"%%( #4%$/.'% $"#(* #( ") ')"")) 0# "*$( */*( #!!$'$&0** I.#$"%/"*+$* /%$%$"'$) #+*" %$ %&'$'$ F&**&6$( 0* F&*"/%( #& %($( 0*.$6%( J##6&$G4$( 0* ;* *$*( 7 /%$( H %&C$( 0* ;*&6#$( 8 % ') -%+$"$($( : '$&0*" /C#&$" $%( *(*/#$("$$( '%'$""+)" J&*4* $( 0*.$6%( < 0* I%6C%$G'$( 0* /*0#/%" ( 7 %$"'%" 9&$"$%"$ '*((*""** 4.# $#$6*.# %('$%/$(%( #!!$'$&0* 1 =.." '$&0*//$../.%""%/#( '$&0*" '%'$""+)" */C#&$" $$'*( %&$ %&$"$*/.%$ $$( -.'$0*/"* %6%//"%"))( %((*''#"$%"#$(* *"% *"$$'*(!%&."%$"* %$ $(6.'"$#!%&$** "% /#C*&$" $.('"$#!%&."**"$#" 0* "#6%(()'5$/*'%((*( */'%%" //* #( '%&&*""..."* $*!#"%($ 0* /#C*&$" $.('"$#$6%( # $(*$..'$* 0#$"* 0*"'#* "#$".+*"$ ') "%"))( # a m 0* n #+*" &%**/$/.'.0* a 0 ($$( a 0 = 1 a 1 a 1 = a = 1 a (a m ) n = a mn = (a n ) m a m a n = a m+n. # /#C*&$" $( '*("*/.+.//* %$ #/% %&'$"") ($$( '*("*/.'. 0)"%"))( %&'$"% )"") )$( "%46))(.%$( %$ %&'$'$ *!"##""$"%( %&'$("50%( 4"%6%) # a b 0* c #+*" 1

6 (#//**..&%!$* &%**/$/.'.0* ($$( a = b log b a log 1 = 0 log(ab) = log a + log b log b a = a log b a log b = b log a log b a = log c a log c b 1 log b a = log b a 1 = log b a 1 log b a = log a b log log n = log(log n) log k n = (log n) k. =%&'$(") a "*&'#$""**..&$("* '#'#(*$/.'.* x 0#//*!)"%% x a?*"**"$ a "*&'#$""**!$%($(") '#'#(*$/.'.* x a I%.&**+$*. *'**+#0* "*&+$"**( 5 "#$".+*"$ n i = i=1 n i 2 = i=1 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 n 2 i = 2 n+1 1 i=0 n i=0 a i = an+1 1 a 1, 0# a 1 0* n ia i i=0 = nan+2 (n + 1)a n+1 + a (a 1) 2, 0# a 1 7

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

8 @

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x P 2 G 0#'$( +%&''# L('# G +)&$"%"")+$) k //* +)&$//) L/'##( P 3 S 0#.''# '#'#(*$/.'.0* 9"$ 0#.'#( S %6$**($ L(C%/ $$( P1 /$$""+$) "!$//$$) */C#&$" $"%#&%%""$$* ' '$) #+*" %$ %&'$'$ P %.&**+*" L('# #/% 3 ** */C#&$" $* 0#'* &*"'*$%% #(C%/ *( P D*/0#('# ( &*"'*$% P $%%( './.. *$'** 0* "$/** '.( ')"%"))( *((%"".* */C#&$" $* D*/0#('# P ( &*"'*$% 8

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n ;$/*( "%%"* &$$!!.%( n +#$ #//* %$ %&'$'$ "*!*.'%( %$"") $%%( "*&+$""*+$%(.$"$!*$''#0%( "*$ H $""$%( /.'. ))&) "*$ 0#'$(.. #!$+*"$ +*/$""...&% ;$/*("%%"* &$$!!.%( *46#/ /$$* +*/$("#0* +#$+*" #//* %$ %&'$'$ +%&"*$/.0%( /.'. ))&) "$%"( $/.'*(.#&$".'%&"#0%( ))&) */$#40%/ *( '.".'%&"#0%( ))&) "*$ %$()'%//#*$'* %/$ */C#&$" $(.#&$""* $%%( "#6%//$..6%* './.+* *$'* /C#&$" $( A *(*/$( "*&'#$".'%(* #( %/+$"")) '.$('*!*/0#( A /.+.( n.(' "$#(* "*&+$"%% *$'** 0* "$/** 44 0* "*!*.'%* %$( "6"))( 0#4"* **( *!"##""$$* /)&*0* *&+$#$"* 0#"'* $/ *$%+*" $"%( *$'* "*$ "$/*+**"$. ')"")" '.( n '*+** &*0*""* /C#&$" $%( *$'* 0* "$/*+**"$."%( "*&''* /*'% $(%( #(.%$( +*$'%** /%%() &$$" ")) %"") "$%6%"))( '*+.( "!!$ ;)") +*&"%( ))&$"%//))( '#/ % %&'$(")"*!** 0#$* "*&''#0* '%&"#$ $* %$ 4.# $#$6* ;*&'*"%//**(.('"$#$"* f : N R 0* g : N R ;)//5$( ))&$"%//))( f #( O(g) 0# #( #/% ** %//*$%"!#$"$$+$%" +*'$#" c 0* n 0 %"") f(n) c g(n) '.( n n 0 f #( Ω(g) 0# #( #/% ** %//*$%"!#$"$$+$%" +*'$#" c 0* n 0 %"") f(n) c g(n) '.( n n 0 f #( Θ(g) 0# #( #/% ** %//*$%"!#$"$$+$%" +*'$#" c 1 c2 0* n0 %"") c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) '.( n n 0,

11 =))&$"%/ $) #/%+$"* $"%$*&+# %&'%$")!))")$$$( 0# #/%"%""*$$$( %"").('"$#" **+*" +*$( %$ (%C*"$$+$$* *&+#0* ;)//*$(%( #/%". #( ")$( *46#//$(%( $//) *! "##""$$* %&'$("50) ')"%"))( 0*"'#* +*$( &%.&$+**"$."%( 4"%6%) /%%() "*& +$"**( %&'$(")) O(g) 0#"* ')"%"))( 0#'. $//#$('$( '.( 5 Θ(g) #!$$ 96%//) %&'$""$$( f #( O(g).%$( %&'$"))( 5 f = O(g) ;)) %$ '.$"%('**( #/% '% "*+*(# *$%"* 4")..&..6%"* $') #( ") 4.# $#$6* ')$"%/")%) O %&'$( "50) $)/")+$) /*.%''%$"* I* *!)"%% "$%"%('$( 5 Ω 0* Θ %&'$((5$//% ;*&''**( #""*%( //) ))&$"%//" '#/ % %&'$(")"*!** ))&$""%/%+)" '.'$(.('"$#$6%( 0#.''#0* 9$ %&'$'$ %&'$(()//) O(n ))&$"%//))( %//*$(%(.('"$#$6%( 0#.''# 0#4#( '../.+*" 2 ) '*$''$ (%.('"$#" 0#$//% +#$6**( +*/$"* //) #/%+*" %46#" ")"")+)" +*'$#" c 0* n0 '.( -*.%''%%* g(n) = n 2 2n 3 + 4n 2 + n 3 = 2n 3 + O(n 2 ) O %&'$(") "./'$"**( ($$( %"") O(n +#$"*$$$( "*&+$""*%* '#&+*"* 0#//*$( '# 0#.''##( 2 ) '../.+*//*.('"$#//*.""* ")) 4"%6%) %$ #//* '$$((#".(%$"* $') ($ %(# *$(%(.('"$# % #/$$ O %&'$(()//%!)"%+)" %$ %&'$'$ ))((5" f(n) = O(f(n)) '.( #( +*'$# co(f(n)) = O(f(n)) = O(cf(n)) c O(f(n)) + O(f(n)) = O(f(n)) O(O(f(n))) = O(f(n)) O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n)) O(f(n)g(n)) = f(n)o(g(n)) #'. '$&0*//$..6%* ')"%"))(!$''. o "* "*&'#$""* **( %$ "$.''** O "* %.&** +*"$ f #( o(g) 0# '*$'$//* +*'$#$//* c > 0 #( #/% ** %//*$(%(!#$"$$+$(%( +*'$# n 0 %"") f(n) c g(n) '.( n n0 9$ %&'$'$ 2n #(.""* o(n %$ #/%?*"**+*"$ ))&$"%//))( "*&'#$""* 2 ) 2n 2 o(n 2 ) ω **( %$ "$.''** Ω * -#C*&$" $( '*("*/.+.//* %$ O %&'$(()( 4"%6%) #/% %&'$"") '.(4*( '*("*/.'. #( ''5")..&%!$ +*'$# ;) ) 0#4".. $$") %"") '*("*/.+.(..((# +*"** +*'$#//* '%&"# $"* ''5")!$%(%!$%( 0* %$ +*'$#$"%( '*("*/.'.0%( /$)'$ %$ 5'))( %'!# (%("$* #/%+** /#C*&$" $( '*("*/.'.* +#$ '.$"%('**( '#&+*"* "#$%//*!"##""$%" %&'$(")"*+*" /$$""+)" /)4%$%"$ &*0* *&+#( ')$""%%%%(?#$6**( %$ %&'$'$ "#6$"** %"") 0# lim n f(n) g(n) = a, :

12 '.( a #(!#$"$$+$(%( &%**/$/.'. ($$( f(n) #( Θ(g)?*"**+*"$ "*!*.'%%( f(n) lim n g(n) = 0 /$$"" # $(*$.. f(n) #( o(g(n)) 0* "*!*.'%%( f(n) lim n g(n) = # $(*$.. f(n) #( ω(g(n)) $//) '.( L/'##( f(n) = am D#/(# $ n m + a m 1 n m a 1 n + a 0 f(n) #( +#$6**( '$&0#$""** O(n m ) n 1 f(n) a m n m + a m 1 n m a 1 n + a 0 = ( a m + a m 1 /n a 1 /n m 1 + a 0 /n m )n m ( a m + a m a 1 + a 0 )n m. 96%//) #/%+*( ))&$"%/ )( %($ )$%( '#46*( +*'$#" +#$6**( (" +*/$"* %.&**+*"$ c = a m + a m a 1 + a 0 0* n0 = 1 ;*+*//$$* &%.&$+**"$.'$* %$$("+$).('"$#$6%( '*+.+*.4"%0* #+*" %$ %&'$'$ %.&**+*" +*'$# %/$ 5""%%( '#'# %$ +*$'."* &%.&$"*&!%%%%( O(1) /#C*&$" $(%( ")//5$( 5"%"") %$ +#$6* /.'%* '#'#(**( O(log n) /$(%**&$(%( O(n) %$ %&'$'$ #(%" /*0$""%/.*/C#&$" $" O(n logn) O(n 2 ) (%/$5//$(%(.*6&*"$G O(n 3 ) '.."$#//$(%( G. H $G ')")((5//$(%( %())!$%($//) n ( *&+#$//* O(2 n ) %'!#(%("$**/$(%( O(n!)?*$''* *!"##""$%" *$'*+**"$."%( /)&*0*" #+*"'$(.%$( ")&'%$ )" */C#&$" $%( +%&"*$/.!%&."%%" ($$( #( ") #""** 4.# $##( %"") 0#$6%('$( */C#&$" $%(!*4$ *" "*!*.'%" %$$("+)" ')")((5( "$/*("%$* ($$( 4*& +#$( %"") +#$6**( "#$ $* '%'$ ))&)$"%( *$'*+**"$."%(!%&."%%//* 0# */C#&$" $* ".//**( ')"") ))( 4*&+#$( #( #40%/ #$(($( 4%/!!#. ")&'%)) >

13 !$%($//) ( *&+#$//* +#$ *!"##""$%"$ "%4#'* */C#&$" $ "#$ $* 4%$'#"$ n (#!%* */C#&$" $ +#$ "*&+$"* %(% )( "$/** '.$( 4$"**!$ */C#&$" $ 0* (. %%&$%( */C#&$" $( "*&''.. 0* (. %%&$(%( "* H $$/$.. #+*" 4") ")&'%$") '.$( */C#&$" $( (#!%.!"##""$"%( /)&*0#0%( ')""55( /$$"" % %/'%) %". %"") "./#'%" #+*" &$$!!. *""# $* "#"%.".'%"* $//) &%.&$"*&+% $/ *$"**( 0#('.( "*!*.'%%( /$$""+)(..&%%( *+.//* ;#$**/"* *!"##""$(%( "./# %$ +)/"") )"") '%&&# $"))( */C#&$" $( ')"") " $%") ')")((5( "$/*("%$* $//) +*'$# n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n */'$#$%"* '#'#(*$/.'."*./.'#"* *&+#* # L x #( "*./.'#* ($$(!*/*."%"**( %(!*$''* "*./.'#*.."#$(!*/*."%"**( *&+# > x ;*!*.'%( '##'$ +#$6**( +*/$"* */'$#$6%( /.'. ))&) n )"%"))( '.+*( */C#&$" $* j := 1 j n L(j) x j := j j > n j := 0 7 j.+* 9"$(") $+$" 0* 1.#&$"%"**( '%&&*( 0* #/%!$%(.#&$".'%%( './.. 0#'$( +*'$#*$ '* /C#&$" $( *$'*+**"$. &$$!!.. $$ &$+$(.#&$".'%&&#$"* D*4$ ** "*!*.' %*.#&$".'%&"#0* #( n 0*!*&4*** "*!*.'%* %'$ ))&)$(%(.#&$".'%&"#0%( /.'. ))&) ()"")$$ #/%+*( (#$( n/2 0#"* %.&*$$ '%'$ ))&)$%( "*!*.'%( *$'*+**"$.'%'$ O(n) ;*&'*"%//**( '%'$ ))&)$%( "*!*.'%( *$'*+**"$."* '.$"%('$( 4$% *( "*&'% $( ;*&'#$""*'##( q "#6%(()'5$"") %"") x #( "*./.'#* L 0* #/'##( Ii "*!*. 0#* x #( "*./.'#(!*$'** i.( #/%"%"**( %"") */'$#$6%( $0*$("$ "*./.'#* #(

14 "**$%"$ 0*'*.".(." +#$6**( +%&"*$/.0%( /.'. ))&) '%'$ ))&)$%) "*!*.'%* k '$&0#$""**.#6#* k = = q n = n p(i i )i + (1 q)(n + 1) = i=1 n i=1 q(n + 1) 2 n i=1 q i + (1 q)(n + 1) n i + (1 q)(n + 1) = q n(n + 1) + (1 q)(n + 1) n 2 + (1 q)(n + 1) = ( 1 q 2) (n + 1). # "$%6%"))( %"") x #( "*./.'#* " q = 1 ($$( k = (n + 1)/2 # "** %$ %&'$'$ ($$( q = 1/2 k = 3(n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n) +#$6**( %$"")) 6$3%&%($4")/5() T(n) { c 1, 2T(n/2) + c 2 n, '.( n = 1 '.( n > 1.

15 #&" i, j i = j xi 1 m := (i + j 1)/2; 7 %&C%(#&" i, m #&" ) < m + 1, j).+* -# $"./*0$""%/. 2$3%&%($4")/5( #** T(1) c1 *(#"**( &%.(*%46#'$ /% ** #** $/ #$""** &%'.&$$+$$$( '.".$4$( './.+*( *0*( 0* '*$''%%(..4.( /*'%("**( 2T(n/2) +%& c2 n "*$/." /$"*( 0*'* $(%( 0* 46$") $(%( './.+*( *0*(.( #/%"%"**( %"") n #( '*''#%(!#"%($ ($$( #(C%/ *( 0*'# %(%% "**( =5 4% $( 4.# *"**( %"") ") ) #/%". %$ /#.''** "*&'*"%/.( /%$"") ;*+#$""%%(* #( %$""))) T(n)./0%".*.#6#* %/$ n ( 0* +*'$#$6%( *+.//* ' $('%&"*$(%( "*!* 6$3%&%($4")/5( &*"'*$% $%'$ #( *&+*"* #$'%* &*"'*$. 0* %( 0)/ '%%( +*& $".* *&+*.'%( #$'%%//$..6%"* &+*"**( (" %"") T(n) an log n+b 0#$//*$( +*'$#$//* a 0* b 0* #"%"**( "%4")+)'$ ##$""** *&+*. $(6.'"$#( *+.//* #$'%*'$.( n = 1 ($$(?*'$#( c1 #( $$ #/"*+* +)4$("))( 4")..&$ a 1 log 1 + b = b b '.$( c1 ;%46))( $(6.'"$# #/%". '.( 0* +)$"%"))( %"") T(k) ak log k + b k < n?#$6**( '$&0#$""** T(n) an log n + b. T(n) 2T(n/2) + c 2 n 2(a n 2 log n 2 + b) + c 2n = an log n 2 + 2b + c 2n = an(log n log 2) + 2b + c 2 n = an log n an + 2b + c 2 n. K(6.'"$#"#6$". #/$$ +*/ $ 0# +$$ %'$ '$&0#$"%"".* /*.%'%""* +#$"*$$$( *&+$#$6* /5!)$( /*.%''%%//* an log n + b ;) ) #( *46#//$"* 0# +*'$# a +*/$"**( #!$+*"$ I%/+$ "%"))( $//*$(%( *&+# +*'$#//% a #( *((%""*+* 9!)4")/5 #( +#$ ** 0# an log n an + 2b + c 2 n an log n + b an + b + c 2 n 0 %/$ a c 2 + b/n. #'* #/%"%""$$( %"") n > 1 ($$( +#$6**( +*/$"* a c2 + b. # $$ +*/$"**( b = c 1 0* a = c 1 + c 2 ($$( #( +#$ ** T(n) (c 1 + c 2 )n log n + c 1 %/$ /# $"./*0$""%/.( *$'*+**"$. #( O(n log n). 1

16 2$3%&%($4")/5( &*"'*$. *&+*.'%%(!%&.".+*//* %(%"%/ )//) */'** /%%() $//) %"") /*'%"**( &*"'*$. 0#$//*$(!$%($//) "*!*.'$//* 0*!&$"))(!))""%/% ))( &*"'*$.( /%$(%(.#"# -5"(%%( &*"'*$.( #$'%%//$.. #( "$%"%('$( "#6$"%""*+* "*+*//$%"$ ')"%"))( $(6.'"$#"* ;*&'*"%//**( %$ %&''$()!$'*/*0$""%/.(.$G'#&" '%'$ ))&)$") *$'*+**"$."* ;)) %$ %&'$) *&+*. %$!%&.".!$%("%( "*!*."%( "."'$ $%%( +**( *$'*$%!**( "$%"## %!$'*/*0$""%/."* D$'*/*0$""%/.*4*( /*0$"%//**( "*./.''# A[1...j] %.&**+*"$?*/$"**( 0*'#*/'$#'$ 0#'$( /*0$"%/"*+$"* /.+.$"* )&0%"%"))( "*./.''# ($$( %"") #*"*./.''# A[1...k 1] $)/")) 0*'#*/'$#"*!$% (% )" 0* A[k...j] $")..&% *" "*$ 4")..&%" */'$#" 1 *"'%"**( &%'.&$$+$%"$ #*"*./.'#$"* A[1...k 1] 0* A[k...j]. *'# #$$( A[1...k 1] 0* A[k...j] +#$6**( "%46).('"$#//*!*&"$"$#( 0#'* %$"%"))( '.+** 1.".(!*&"$"$#( i, j *$'*+**"$. #( O(j i 1). $("%C%&!*&"$"$#( i, j $("%C%&!$+#" */'$# $("%C%& l, r l := i r := j 1 *! A[l], A[r] 7 A[l].alkio <!$+#" l := l + 1 < A[r].alkio!$+#" r := r 8 l > r l.+* 1 -$"*( #$". *'#*/'$# +#$6**( +*/$"* #(%//* %&$ "*+*//* I%.&**+** #/%"%"**( ')"%"")+)( %/ /*$"* %(%""%/) %"") %"$"))( "*./.'#( */."* '*'$ %&$..&"* */'$#"* 0* +*/$"**( ($$")..&%!$ # /*0$"%/"*+$* /.'.0* #( +)4% )( '.$( '*'$ ($$( (6!$+#"!*/*.""** *&+#( (#//*.+*( 7.$G'#&" */$#40%/ ** #/%"%"**( (6!$+#".('"$#(!*/*.""*+*( ()$( +*/$".( 0*'#*/'$#(! 1, n O(n log n)" ;#6$"%"**( +)$"% $$() %&$'#$"*!*.'%* %"") $'))( *&+# %$ %$$(( "*. /.'#* 4") '%&"**.%* $( 0* %"") '*$''$ */'.0)&0%"'%" #+*" 4") "#6%(()'5$$) )"%"))( %&'$(")) p(i) $$") "#6%(()'5$6%") %"")!*&"$"$#( 1, n ".#""** #*"*. /.'#" 0#$6%( '##" #+*" i 0* n i */'$#"* ;)//*$%" 0*#" **6**( '.( 0*'#*/'$# #(.. &..0)&0%"'%) (i+1) /*0$"%/"*+$"* /.+.$"* ;#6%(()'5$ $//% %"")..&..6%/"**( 7

17 .$G'#&" i, j $("%C%&!$+#" */'$#!$+#"$(6% $("%C%& 0*'#*/'$#( $(6%'$!$+#"$(6% (6!$+#" i, j!$+#"$(6% 0 1!$+#" := A[!$+#"$(6% ]. */'$# 7!*&"$"$#(!$+#" k := i, j, <.$G'#&" i, k k, j 8.+* 7 D$'*/*0$""%/. /.'. #( "*./.'#(!*$'** #( 1 #""* % "./$$ +*/$".'$ 0*'#*/'$#'$ #( "*. (i + 1) n /.'#( "#$%*!*$'** #/"*+* $")!$%(%!$ /.'. ;) )( "*!*4". *( "#6%(()'5$ #( i ;#6%(()'5$ $//% %"") "*./.'#( %($ )$%)!*$'** #( /*0$"%/"*+$"* /.+.$"* n 1..&..6%/"**( (i+1) /.'. 0* %"") $$") "./%% 0*'#*/'$# #( 1 i ;#$(%( *46#//$.. #( n n 1 %"")..&..6%/"**( (i + 1) /.'. #( "*./.'#(!*$'** 0*!*$'** #( $")!$%(%!$ /.'. ;) )('$( "*!*4". *( "#6%(()'5$ #( 1 i?#$6**( $$ '$&0#$""** n n 1 %/$ p(i) = 1 i n n 1 + i 1 n n 1 = %'$ ))&)$%//% *0*//% **6**( 6$3%&%($4")/5 T(n) = T(n) = I#+%//%"**( (" '**+** { { 2i n(n 1). c 1, n 1 i=1 p(i)[t(i) + T(n i)] + c 2n, c 1, n 1 i=1 2i [T(i) + T(n i)] + c n(n 1) 2n, n 1 f(i) = 1 n 1 (f(i) + f(n i)), 2 i=1 i=1 0#'*!)"%% '*$'$//*.('"$#$//* f.( n > 1 **6**( T(n) 1 2 = n 1 ( i=1 2i n(n 1) i=1 '.( n = 1 '.( n > 1 '.( n = 1 '.( n > 1 ( ) 2(n i) ( ) ) T(i) + T(n i) + T(n i) + T(i) + c 2 n n(n 1) 1 n 1 ( ) T(i) + T(n i) + c2 n = 2 n 1 T(i) + c 2 n. n 1 n 1 )$( 4")/5 #( **"..#"##( T(n) = { c 1, 2 n 1 n 1 i=1 T(i) + c 2n, < i=1 '.( n = 1 '.( n > 1

18 ;#6$"%"**( %"") *&+** *//* **". &*"'*$. T(n) cn log n '.( c #( +*'$# 0* n 2 #( #$'%*.( n = 2 ($$( *&+*.'%(.'**( T(2) 2c log 2 = 2c 4")/5(!%&."%%//* #( T(2) T(i) + 2c 2 = 2c 1 + 2c ?#$6**( $$ +*/$"* c c1 + c K(6.'"$# 2 #/%". '.( /.'$ +#$6**( '$&0#$""** T(i) ci log i 2 i < n i=1 i=1 T(n) 2 n 1 T(i) + c 2 n = 2c 1 n 1 n n 1 T(i) + c 2 n. n 1 K(6.'"$# #/%".'%(!%&."%%//* +#$6**( +$$ %'$ '$&0#$"%"".* /*.%'%""* *&+$#$6* /5!)$( /*.%''%%//* 2 n 1 ci log i + 2c 1 n 1 n 1 + c 2n. i=2 L"%"**( ')""55( %&'$(") b = 2c 1 n 1 + c 2n = = = i=2 i=2 I%( *+.//* +#$6**( '$&0#$""** 2c n 1 i log i + b = 2c ( n/2 i log i + n 1 n 1 ( n/2 2c i(log n 1) + n 1 i=1 n 1 i=1 i=n/2+1 ) i log n + b n 1 i=n/2+1 ) i log i + b ( n/2 2c n 1 ) (log n 1) i + (log n) i + b n 1 i=1 i=n/2+1 ( 2c ( ) ( n ( n )) ( 3n ( n )) ) log n 1 n log n b ( 2c (n 2 n 1 2 n ) ( n 2 log n n ) ) + b. 4 ;*&'*"%//**( %&$'%%( "%& %0) 2c ( n 2 ) 0* n 2c ( n 2 + n n n * ) I**6**( ( 2c n 2 n 1 2 n ) = 2c n (n 1) = cn 2 n 1 2 ( 2c n 2 n n ) = 2c n 2c (n + 2) 4 n 1 8 n 1 n 8 (n 1) = cn 4. ;)4)( %((%) #( #(($"."". ##$""* **( %"") T(n) cn log n cn + b.( +*/$"**( 4 ($$( c 4c 1 + 4c 2 cn + b 0 ;)//5$( #( T(n) cn log n

19 *"'*$"**(..6%//%%( '#46*( 6$3%&%($4")/5 " #/%"%"**( %"") n #(.#"#* 2 k I#+%/"* *//* "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) +#$6**( '$&0#$""** T(n) 2T(n/2) + c 2 n 2(2T(n/4) + c 2 n/2) + c 2 n 2 ( 2(2T(n/8) + c 2 n/4) + c 2 n/2 ) + c 2 n... ;#$"* *//* ")") i '%&"** **6**( T(n) 2 i T(n/(2 i )) + ic 2 n. #'* n = 2 k **6**( %&$"$%"$ T(n) 2 k T(1) + kc 2 n c 1 n + c 2 n log n %/$ T(n) #( O(n logn) //) #/%+** &*"'*$.* #/%"%"**( %"") n = 2 k ;) ) #/%". %$ /#.''** "*&'*"%/.( /%$"") # ($ $"")$( #/%"%"**( %"") T(n) #( '*+*+*.('"$# '."%( &%.&$+**"$. "%( '#46*//* 0#'%%('$( *$(* #( *$*(/*$"* ($$( +#$6**(!))"%//) %.&**+*"$ # n %$ #/% '*''#%(!#"%($ ($$( % #( 0#$6%('$( '*''#%(!#"%($%( +)/$).(' 2 k 1 < n < 2 "$#( k T '*+*+..6%(!%&."%%//* #( ")//5$( T(2 96%//) "#6$"%""$$( k 1 ) T(n) T(2 k ) %"") //% T(2 0#//*$( +*'$#//* k ) c2 k log 2 k c "!)"%% '*''#%(!#"%($%( +)/$) #/%+*//%?#$6**( $$ +*/$"* ))&$"%/ )( n T(n) c2 k log 2 k c(2n) log(2n) = 2cn log n + 2cn.'*$%" +*'$#" 5 n //% %/$!)"%% T(n) = O(n log n) #'* * *(/*$(%(!))""%/ #( *46#//$(%( /%$%"$'$( +#$6**( #(C%/ *( '##( #/%""** #/%+*( #!$+**.#"#* ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) T(n) = { 1, 2T(n/2) + 2, I#+%//%"**( "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) I**6**( '.( n = 2 '.( n = 2 k 0* n > 2. T(n) = 2T(n/2) + 2 = 2(2T(n/4) + 2) + 2 = 4T(n/4) = 4(2T(n/8) + 2) = 8T(n/8) =... i = 2 i T(n/2 i ) + 2 j. j=1 #'* &%.(*%4"# #( ))&$"%/" *&+#//* n = 2 +#$6**(!.&'* $"* "#$"** k 1 '%&"** I**6**( k 1 T(n) = 2 k 1 T(n/2 k 1 ) + 2 j = 2 k 1 T(2) + 2 k 2 j=1 = 2 k k 2 = 2 k /2 + 2 k 2 = 2 log n /2 + 2 log n 2 = n/2 + n 2 = 3n/2 2. 8

20 A ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) { '.( 1, n = 1 T(n) = '.( 2T(n/2) + log n, n = 2 k 0* n > 1. I#+%//%"**( "** "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) I**6**( T(n) = 2T(n/2) + log n = 2(2T(n/4) + log(n/2)) + log n = 4T(n/4) + 2 log(n/2) + log n = 4(2T(n/8) + log(n/4)) + 2 log(n/2) + log n = 8T(n/8) + 4 log(n/4) + 2 log(n/2) + log n =... i 1 = 2 i T(n/2 i ) + 2 j log(n/2 j ). j=0.( i = k = log n **6**( k 1 k 1 T(n) = 2 k T(n/2 k ) + 2 j log(n/2 j ) = n + 2 j log 2 k j j=0 j=0 k 1 k 1 k 1 = n + 2 j (k j) = n + k 2 j j j=0 j=0 j=0 = n + k(2 k 1) ((k 1)2 k+1 k2 k + 2) = n + k2 k k k2 k k+1 + k2 k 2 = n + k2 k+1 k k2 k k+1 2 = 2 k+1 k 2 + n = 2n log n + n 2 = 3n log n 2. Q ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) { '.( 1, n = 1 T(n) = '.( 2T(n/2) + 6n 1, n = 2 k 0* n > 1. I#+%//%"**( "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) I**6**( 2 j T(n) = 2T(n/2) + 6n 1 = 2(2T(n/4) + 6n/2 1) + 6n 1 = 4T(n/4) + (6n 2) + (6n 1) = 4(2T(n/8) + 6n/4 1) + (6n 2) + (6n 1) = 8T(n/8) + (6n 4) + (6n 2) + (6n 1) =... i 1 = 2 i T(n/2 i ) + 6in 2 j..( i = k = log n **6**( j=0 k 1 T(n) = 2 k T(n/2 k ) + 6n log n 2 j = nt(1) + 6n log n 2 k + 1 j=0 = n + 6n log n 2 log n + 1 = 6n log n + n n + 1 = 6n log n + 1.,

21 P ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) { '.( 1, n = 1 T(n) = '.( 3T(n/2) + n 2 n, n = 2 k 0* n > 1. I#+%//%"**( "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) I**6**( T(n) = 3T(n/2) + n 2 n = 3(3T(n/4) + n 2 /4 n/2) + n 2 n = 9T(n/4) + 3(n 2 /4 n/2) + (n 2 n) = 9(3T(n/8) + n 2 /16 n/4) + 3(n 2 /4 n/2) + (n 2 n) = 27T(n/8) + 9(n 2 /16 n/4) + 3(n 2 /4 n/2) + (n 2 n) =... i 1 i 1 = 3 i T(n/2 i ) + n 2 (3/4) j n (3/2) j. j=0 j=0 =.#'*"**( %($( '*4"* 0)/'$ )$") 4"%%(/*'%""*+** 0* n 2 i 1 j=0 (3/4) j = n 2(3/4)i 1 3/4 1 = 4n2 ((3/4) i 1) i 1 n (3/2) j = 2n((3/2) i 1). j=0 )$6%( *+.//* T(n) +#$6**( '$&0#$""**.#6#* T(n) = 3 i T(n/2 i ) + 4n 2 4n 2 (3/4) i + 2n 2n(3/2) i.?*/$"**( "** i = log n ;)//5$( **6**( T(n) = 3 log n + 4n 2 4n 2 (3/4) log n + 2n 2n(3/2) log n = n log 3 + 4n 2 + 2n 4n 2nlog 3 2nnlog 3 n log 4 n log 2 = n log 3 + 4n 2 + 2n 4n log 3 2n log 3 = 4n 2 + 2n 5n log 3. ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) { '.( n = 1 T(n) = 1, at(n/b) + d(n), : '.( n > 1,

22 '.( a 0* b #+*" +*'$#$"* 0* d 0#'$(.('"$# L"%"**( "%4")+)'$ "#6$"** %"") "*&'*"%/"*+**.#"#* #/%+*( 4")/5( &*"'*$.//* #( %$" k 1 T(n) = a k + j=0 a j d(b k j ), '.( n = b k. ;%& $) a k *(#"**( &*"'*$.( 4# #C%%($%'$ #*'$ 0*. */*.%'%""* %!)4# #C%%($ %'$ #*'$ I#+%//%""*%* 6$3%&%($4")/5(!.&'* $ %(%""%/) **6**( ( n ) ( ( n ) ( n )) T(n) = at + d(n) = a at + d + d(n) ( b b 2 b n ) ( n ) ( ( n ) ( n )) = a 2 T + ad + d(n) = a 2 at + d ( b 2 b b 3 b 2 n ) ( n ) ( n ) = a 3 T + a 2 d + ad + d(n) =... b 3 b 2 b ( n ) i 1 = a i T + b i j=0 ( n ) a j d. b j B.# $#$ *//* %"") n = b k +#$6**( +$$ %$(%( /*.%'% '$&0#$""**.#6#* k 1 a k + j=0 a j d(b k j ), '.( n = b k. ( n ) + ad + d(n) b.('"$#"* d *(#"**( 4 %4 0# d(nm) = d(n)d(m). 9$ %&'$'$.('"$# d 1 (n) = n α #(./"$!/$'*"$$+$%( $//) (nm) α = (n) α (m) α I%( $0**(.('"$# d2 (n) = log n %$ #/%./"$!/$'*"$$+$(%( $//) d2 (nm) = log nm log n log m = d 2 (n)d 2 (m) 96%//) **". "./# +#$6**( +$%/) '$&0#$""** '$('%&"*$%!**(.#"##( 0# "$%6%"))( %"") d #(./"$!/$'*"$$+$(%(.('"$# ;)//5$( #( +#$ ** k 1 k 1 a j d(b k j ) = d(b) k j=0 j=0 ( a d(b) ) j = d(b) k ( k a d(b)) 1 a 1 d(b) = ak d(b)k a 1, d(b) '.( a d(b) ;) )( %$"'%( *+.//* +#$6**( "#6$"** %.&**+* ')""5'%/!#$(%( /*.% T(n) = a! b " { 1, at(n/b) + d(n), n = 1 n > 1 O ( n log a) b, T(n) = O ( n log d(b)) b, O ( n log b d(b) log b n ), >! a > d(b)! a < d(b)! a = d(b)"

23 .( a > d(b) ($$( a k d(b) k a 1 d(b) #( ;)//5$( #( %/$.( ($$( O(a k ) T(n) O(a k ) O(n log b a ) a < d(b) a k d(b) k a 1 d(b) #( ;)//5$( #( %/$.( ($$(./"$!/$'*"$$ O(d(b) k ) T(n) O(d(b) k ) O(n log b d(b) ) a = d(b) +$..#/%".'%( 0)/'%$")!))""%/) %$ +#$6* "%46) ;)//5$( +#$6**( '.$"%('$( '$&0#$""** k 1 j=0 aj d(b k j ) = d(b) 0* #( k k 1 j=0 1 = d(b)k k = n log b d(b) log b n T(n) O ( n log b d(b) log b n ) ;*&'*"%//**( 4")/5$") 0* T(n) = T(n) = T(n) = { { { 1, 4T(n/2) + n, 1, 4T(n/2) + n 2, 1, 4T(n/2) + n 3, '.( n = 1 '.( n > 1 '.( n = 1 '.( n > 1 '.( n = 1 '.( n > 1. *$'$* 4")/5$) #( a = 4 0* b = 2 0#"%( &*"'*$.( 4# #C%%($(%( #* #( a log n b = n log b a = n /$ 2 )) 4")/5) #( d(b) = 2 < 4 = a 0#"%(?* T(n) = O(n log 4 2 ) = O(n 2 ) "**+*"$ '%'$ )$%) 4")/5) #( /$ ** 4")/5) #(!.#/%"**( 0* d(b) = 2 2 = 4 = a T(n) 0* = O(n log 2 4 log 2 n) = O(n 2 log n) d(b) = 2 3 > 4 = a T(n) = O(n 3 ) *"'*$"**( 4")/5 T(n) = { 1, 2T(n/2) + n log n, '.( n = 1 '.( n > 1. ;)) 4")/5) #( a = b = 2 4")/5( 4# #C%%($(%( #* #( a k = n log b a = n log 2 2 = n..('"$# d(n) = n log n %$ #/%./"$!/$'*"$$+$(%( 0#"%( -*.%""* %$ +#$6* #+%/"** 9!)4# #C%%($(%( #* #( k 1 k 1 k 1 a j d(b k j ) = 2 j 2 k j log 2 k j = 2 k (k j) j=0 j=0 j=0 = 2 k 1 k(k + 1) = 2 log n 1 log n(log n + 1) = n 2 (log2 n + log n).

24 9!)4# #C%%($(%( #* ))&)) $$ 4")/5( T(n) '*+.+*.46$( T(n) #( O(n log 2 n) ;) )( */*'#46*( */.* *((%".( 6$3%&%($4")/5( &*"'*$. +#$6**( %6%//) %$"%"(!%&."%%//* *("** 4# #C%%($%( 0* %!)4# #C%%($%( #*(. *(*.#6#* k 1 a k + a j d(b k j ). j=0.( 6$3%&%($4")/5 %$"")) &%'.&$$+$%( */C#&$" $( *$'*+**"$."* ($$( 4# #C%%($(%( #* +*"** #*#(C%/ $%( &*"'*$..( './.+** *$'** 0* %!)4# #C%%($(%( #*..4.( /* '%("**( #(C%/ *( 0*'* $(%( &*"'*$.( '#'#* $(%( #$"* './.+** *$'**.(!&$ "))( "%4#"* **( */C#&$ $* #( "$%6%"")+) '.!$ #* ))&)) *$'*+**"$.'%( # %$ %&'$'$ 4# #C%%($(%( #* #( ))&))+) %$ '*((*"* "%4#"** &*"'*$.( '#'#* $"* #$"* +**( */C#&$" $( "%4#"* $%'$ #(C%/ * #( 0*%""*+* #$$( "#$%//* "*+*//* -# $"./*0$""%/.( *$'*+**"$."* '.+** 6$3%&%($4")/5 T(n) { c 1, 2T(n/2) + c 2 n, '.( n = 1 '.( n > 1. ;) )( */*'#46*( %&'$((5$//) #( $$ a = b = 2 0* d(n) = c2 B# #C%%($%'$ #*'$ n **6**( 2 log 0* %!)4# #C%%($%'$ #*'$ n = n k 1 k 1 2 j c 2 2 k j = 2 k c 2 = c 2 2 k k = O(n log n). j=0 j=0 /C#&$" $( "%4#"* $%'$!$")$$!") "%4#"* **( /# $".+*$4%""* ;) ) %$ %/+)"$ '))( #/% *46#//$"* =54% $( 4.# *"**('$( %"") /# $"./*0$""%/. #( *!"##""$ %"$ #!"$ **/$(%( %&))) /**0** /*0$""%/. %(%"%/ $%( /.#'** 96%//$%( %$ #/%./"$!/$'*"$$+$(%( %$ %&'$( 6$3%&%($4")/5.('"$#?*'$#//* %$ #/% -*.%%( +**"$ **.#"#* $//) %$ '.$"%('**( #/% +*$'."."* %!)4# d(n) # = c 2 n c C%%($%( #*( *!"##""$%%( ')"")" $%%( 2 ;) )!$")) /%$%"$'$(!*$''*(*.(' "$#( d +*'$#'%&&#$( +#$6**(.(#4"** 0# &*"'*$.'$ &$$"")) *!"##""$(%( "./# -*.% +#$6**( $$ '$&0#$""**..6%//%%( 4$% *( /%$% )).#6#* %.&**+*( /*.%%( "*!**( T(n) = { a b c! e " 1, at(n/b) + cd(n) + e, O ( n log a) b, T(n) = O ( n log d(b)) b, O ( n log b d(b) log b n ), n = 1 n > 1! a > d(b)! a < d(b)! a = d(b)"

25 ;*&'*"%//**( %$ %&''$() 6$3%&%($4")/5) { 1, T(n) = 2T(n 1) + n, 9&$ n ( *&+#$//* **6**( %.&**+*" 4")/5" '.( n = 1 '.( n > 1 T(n) = 2T(n 1) + n T(n 1) = 2T(n 2) + n 1... T(n i) = 2T(n i 1) + n i... T(2) = 2T(1) + 2.?*/$"**( /*+%("*0$'$ 2 0, 2 1,...,2 i,...,2 n 2 0* '%&&#"**( **6." 4")/5"!.#/$""*$( /*+%( "*0$//* I**6**(..6%" 4")/5" T(n) = 2T(n 1) + n 2T(n 1) = 2 2T(n 2) + 2(n 1)... 2 n i T(n i) = 2 n i 2T(n i 1) + 2 n i (n i) 2 n 2 T(2) = 2 n 2 2T(1) + 2 n *'% *//* () ) 4")/5"!.#/$""*$( 4"%%( **6**(... n 2 n 1 T(n) = 2 n 1 T(1) + (n i)2 i = (n i)2 i. i=0 )$( T(n) #( **"..#"##( 0#"* #( $%+%((%"" 0# %6%//$%( */*'#46*( %$ %&'$) I**6**( T(n) = 2 n+1 n 2 i=0 ;*&'*"%//**( #+%//."* 0#* "%46))( 0#(#!%&)'')$$) #!%&**"$#$"* * **( "$%"#&*'%( "%%%%( 0* 4*/."**( "$%")) '#'# #!%&**"$#0#(#(.#&$".*$'* L!%&**"$#0#(#(.#&$".*$'** +#$6**( *&+$#$6* '$"")$"%( #!%&**"$#$6%(!*4$!$%( "*!*."%(!%&."%%//* )$( **"* +* *&+$# +#$ '.$"%('$( #//* /$$*(!%$ $"$(%( $//)!*4$( "*!*. %$ %4') +#$'**( "#$".* '%&&*"* "#$%%( ;#$(%(!%&$("%$(%( "*!* #( ')"")) '%'$ ))&)$%( "*!*.'%( *(*/$) L(C%/ *(* #( ")//5$( #!$+$%( "#6%(()'5$0*'*. $%( /5") $(%( 1

26 "* ;*&'*"%//**(!$(#* 0#"* ')$"%//))( T #!%&**"$#$//* 0#"'*.#6#".+*" k (k 0) '."."* 0* 46%") '*!!*/%""* '."."* =$') #( *$'*+**"$. '.( "%46))( m '*+**"$. #( T #!%&**"$#$"* '$''5) '$"")$%( */.(!%&$( "40))(!$(##( 46%(!#! "*$!.4 '.".( *$ T #!%&**"$#(!*4$ *( "*!*.'%( *$'*+**"$. #( m D*4$ *( "*!*.'%( *$'*+**"$. *("** $$ '#'# #!%&**"$#0#(#( *$'*+**"$.'%' $ I%//*$$* O(m 2 ) T #!%&**"$#$"* 0#"'* "*&+$"%+*" *$'** '$''5) %$ ( #!%&**"$#( m m 0#(#* +#$ '.$"%('**( #//* '.$( '$ '*!!*/%.( "%46))( m '*!!*/%""* ($$(!$(##( +$%6))( 4"%%() T #!%&**"$#$"* m */'$#"* =5!#! '.".0* +#$ ")//5$( #//* '#&'%$("**( '*!!*/%""* L!%&**"$#0#(#( *0*("*&+% #( $$ '#&'%$("**( m 2m ;*#$"%"". +**"$+..*(*/$!&'$$ 0#4"* **( '#'# 0#(#( +**"$ *( *0*( *(*/#$ */ /* #!$+*"$ '$"")$$) #!%&**"$#$"* ;*#$"%"".* +**"$+..*(*/$) +#$6**( "*&'*"%//* *$(*'$( '*46%"* %&$/*$%"* '%'%())( * *(*&+#$%"* ()'5'./ *"* 44 4."*'$( #!%&**"$#0#(#( #!%&**"$#"* '#4"$ #( ')"%"")+$) n ' $''5) # #!%&**"$# "*&+$"%% +)4% )( *$'** ($$( ')"") )"5( *$'* 0)) ))"55( # n '$''5) %$ &$$") ($$( ')"%"))( ))"50) "*$ #"%"**( /*$(** # */6# #( /#!.*!#$ "$$+$(%( ($$( 46%( #!%&**"$#( "*#$"%"". *$'*+**"$. #( n.//*'$( T #!%&**"$#//* #( ')"5))( '$''5) ;#$%//* '$'5/ /) *'%"**(!.4 "#$%//* *'%"**( 0#'$(!#! "*$!*((**( % ))"55( #'*!#! '.".0* #( '#&'%$("**( 4")!*/0#( '.$(!.4 '.".0* ($$( ))"5" &$$"")+)"!#! '.".0%( *'* $%%( 46%( T #!%&**"$#( "*#$"%"". *$'*+**"$. #( 4 4 0*"%//**( %"") "$%"#&*'%("%%( 0#'*$%%( "$/*("%%%%( D /$$"" &% **/$/.'. Φ(D) 0#"* *(#"**(!#"%("$**/$'$ #.#&$"%"**( 4%/!!#0* #!%&**"$#$"* ($$(!#"%("$**/$ '*+** '*//$$" #!%&**"$#"!$%(%(")+)"!#"%("$**/$* L!%&**"$#( i "*#$"%"". *$'* ))&$"%//))( 4")/5//) '.( a = t + Φ(D ) Φ(D) a t = Φ(D) = Φ(D ) = "#6%//$(%( *$'*!#"%("$**/$ %((%( #!%&**"$#"* 0*!#"%("$**/$ #!%&**"$#( 0)/'%%( ;*&'*"%//**( #!%&**"$#0#(#* 0#* #( m #!%&**"$#"* -*'%"**( 4"%%( #!%&**"$#$6%( "*#$"%"." *0*" m a i = i=1 m (t i + Φ i Φ i 1 ) = i=1 m t i + Φ m Φ 0, '.( Φ0 #(!#"%("$**/$ #!%&**"$#0#(#( */'*%* 0* Φm %( /#!!.%* ;#6%//$(%( *$'* +#$ 6**( '$&0#$""**.#6#* m t i = i=1 i=1 m a i + Φ 0 Φ m. i=1 # %/$ Φ0 ($$( "*#$"%"".* *$'** +#$6**( ')"")) *&+$#$"*%* "#6%//$"* Φ m 0 Φ 0 Φ *$'** /5!)$( ;) ) #( m 0* '.( *46#//$"* %$ %&'$'$ $//#$( '.( +*/$"**(!#"%("$**/$ ($$( %"") ;) ) +*"**!*(''$$&$( ()'% ") $/ *( /*$(*(#""#* Φ 0 = 0 Φ i 0 i > 0 7

27 ?*/$"**(!$(#%$ %&'$)!$(#(!#"%("$**/$'$ Φ(!$(# )!$(#* #/%+$%( */'$#$6%( /.'. ))&) #!$(#* #( r */'$#"* 0*.#&$"%"**( T #!%&**"$# 0#'* "%'%% k!#! #!%&**"$#"* ($$( a = t + Φ(!$(# ) Φ(!$(# ) = (k + 1) + (r (k 1)) r = 2. =.'*.".+* /$"* #( %$ %&''$ (.'*.".+$"* "$%"#&*'%("%$"* 0#$"* "*&'*"%//**( 0*"'#* "*&'% $( ;*&'#$".'%(* #( %/+%("))!%&$("%$%( +**"$+..*(*/$( 0* "*#$ "%".( +**"$+..*(*/$( +)/$") %&#* & 41 #( "%4")+)() //)!$")) */'$#0#.''#* 0#"* ')$"%//))( #!%&**"$#$//* *GG% x %"$ */'$# x 0#.'#"* $(%&" x /$)) */'$# x 0#.''##( 6%/%"% x!#$"* */'$# x 0#.'#"* I*(*'$&0*#(C%/ * +#$6**( &*"'*$"* "%4#''**"$ ')"") )//) %&$/*$$* H $(**&$!.$"* I%. &**+** "*&'*"%//**( '.$"%('$( #(C%/ *( &*"'*$% $"* 0)&0%") )""5 )( /$('$"%"( /$ "*( *+.//* /'$# %"$"))( /$"*"* ') )//) /$"** /)!$ */."* /)4"$%( /'$#"* /$)"")%) +*& $"*. 6."**( */.'$ $$") %"") */'$# %$ +$%/) #/% /$"** /'$#(!#$"* $%'$ % */.'$ %"$"))( '."%( #!%&**"$#* *GG% L!%&**"$#$6%( '."*((.'$"* #/%"%"**( %.&**+** /$"*( ((%( */'$#( %"$(") "*$!#$"# *'** '$''5) i i */'$#( /$) *'** i + 1 '$''5) 0# /$"*(!$".. %((%( /$)") #( i #!%&**"$# $(%&" x +#$ /$)") x ( $4$( "*4*(* '#4"**( /$"** $/ *( /$)'."*( (.'$* #!%&**"$#( *GG% 4"%6%) +#$6**( $$&")) $/ *$%'$ $4$( "*4*(* '#4"**( x x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

28 0#*!$6%"))( //) +$$""*./*'.&%$"* 0* )$/"%"))( */'$#" /*'.&%$6%(.'**( /*'%+**..&..0)&0%"'%) L"%"**( ')""55( %&'$(") px */'$#( x +$$""*."#6%(()'5$6%//% 0*'*. ** p 0* A (p) 0*'*. **( p /$$""+)//% %"$(")'."*((."%( #6#".*&+#//% '.( ')"%"))( 4%.&$ "$$''** A )&0%"%/4%.&$"$$''#0* +%&&*"**(.%$( #!"$ **/$%%( "**""$%%( 0)&0%"'%%( 0#"* ')"%"))( %&'$(")) 2D # # D%&$("%$%"$ 4%.&$"$$''#0* #( +%&"*$/". %"$(")'."*((."%( #6#".*&+#0%(!%&."%%//* '%'$ ))&)$%( "*!*.'%( *(*/$ L(!""" "#6$"* **( %.&**+*" "./#'%" '*$'$//% 0*'*. $//% p (p) = (p) (p) 2 (p) (p) '*$'$//* 0* 4")..&.. #( +#$ ** +*$( '.( /$"** #( '*'$ */'$#"* "*$ (p) */'$#$//* p x = 1/n x )")((5) #( '.$"%('$( 4.# *"". %"") = "#$ $$ /%%()!*&% $( '.$( ; ;) )!%&.".. $$4%( %"") = ( '."*((..!!%(%% '#4"$ #6#".*&+#**(!*/0#( (#!%* $( '.$( ; ( '."*((. I%.&**+** "*&'*"%//**( /$"*4%.&$"$$''#0%( "*#$"%"".0* *$'*+**"$.'$* L/%"%"**( */.'$ %"") */'$#0#.''# #( '$$("%) " #!%&**"$#0#(#.#6#"..!%/')"))( *GG% #!%&** "$#$"* L!%&**"$#0#(#( S +**"$ *"* *0*"* #+%//%""*%* 4%.&$"$$''** A ')"%"))( %& '$(")) CA (S) A! S C (S) 2C(S). *$''$%( 4%.&$"$$''#0%( *$'*+**"$..#6#".. %$ ") ))+$") 0* ") )) +$") +%&"*$/.$"* /$"*( */'$#$6%( 0* %"$"")+)( */'$#( +)/$//) ;) ))+$) +%&"*$/.0* #( '*$'$//* 4%.&$"$$'#$//* 4") #("* $$"")) $$ ##$""** %"") = 4%.&$"$$''* "%'%% '#& '%$("**( '*'$ '%&"** ($$(!*/0#( %$ ") ))+$) +%&"*$/.0* '.$( 2D ;) ) +#$6**( "#6$"** %&$'%%( 0#'*$%//% */'$#!*&$//% (A, B) = 4%.&$"$$'*( "%'% )" %$ ") ))+)" +%&"*$/." */ '$#$6%( A 0* B +)/$//) &$$!!.+*"!%/')"))( A ( 0* B ( '%'$()$%") 0)&0%"'%") /$"* * /'$#$6%( '%'$()$(%( 0)&0%"!.#/%"**( &$$!!.. $$") '.!** #( +$$ %'$ %"$"" +$$""*.'%".$4$( */'$#$4$( %$+)" $$4%( +*$'."* L/%"%"**( %"") #!%&**"$#0#(#* S #( m '*!!*/%""* *GG% A 0* n '*!!*/%""* *G G% B #!%&**"$#$"* /%$"") /#.''** *""* +#$6**( #/%""** %"") 2D m n. '*!!*/%""* /$"** #'*$%%( */'$# B #( = %((%( ( %$ */'$#"* A %$ ") ))+$) A, B +%&"*$/.0* "%46))( $$ m ") ))+))( +%&"*$/..( /$$"" ( 0* ( 0)&0%"'%( A B +*$4". $(%( ;)//*$$* +*$4"#0* +#$ #//* '#&'%$("**( 2m -*.%%( 7 &*0* #( "$.''* " $") %$ +#$!*&*("** ;) )( ##$""* $%'$ "*&'*"%//**( */.'$ /$"** 0#* #( (%/0) */'$#"* L!%&**"$#0#(#//* S = (ABCD) t #( C (S) = (1 + = 4%.&$"$$'*(.'*$(%( '."*((. &$$!!.. /$"*( */'.$)//5") # /$"* #(

29 */.'$ 0)&0%"'%) D C B A ($$( C (S) /%$%"$ +#$ = ( )t = 16t #//* C (S) = t 0* k."*((."%(.4"%%'$ **6**( i=1 i C (S) = tk 2 C (S) C (S) = tk2 t k i=1 i = k2 k(k + 1)/2 = 2k k + 1..( k '*+** ($$(.46% /)4%" '*4"* 0* +*/$"% *//* k "*&!%%'$..&%'$!))"))( $%/$+*/"*$%( /)4%//% '*''#"* ; 4%.&$"$$'*//% %$ +#$6* "#6$"** -*.%%( 7 '*/"*$"* "./#"* ;) ) ()46))( "*& '*"%/% *//* /$"** 0#('* */'.$)/"5 #( A B C D L!%&**"$#0#(#( (D) t "./#'%(* +*$4"*+*" */'$#" D 0* "#$".+*"$!*$''#0**(.""* %$+)" %"%(% '#4"$ /$"*( */'.* L!%&**"$#0#(#( '."*((. #( 10t L!"$ **/$%* "**""$%* 0)&0%"'%) D 0* #+*" /$"*( */.* 0* '."*((. #( (1 + 2)t #( $$ C (S) > 2C (S). I%.&**+** "*&'*"%//**( 6(** $$* */'$#0#.''#0* L"%"**( "%4")+)'$ "#6$"** I/%* "#&$( 0* ;*&0*($( +*4+* "./# 0#'* '#&+** 2D 4%.&$"$$'*( -*.%%* 7 $%/$+*/"*$%//* 4%.&$"$$'*//* L"%"**( ')""55( %.&**+*" %&'$(()" F A (S) X A (S) = C A (S) = m = $/ *$"%( +*$4"#0%( /.'. ))&) $(%&" = 0* *GG% #!%&**"$#$6%( 4"%6%) *'.//$"%( +*$4"#0%( /.'. ))&) '#'#(*$'."*((. $/ *( *'.//$$* +*$4"#0* #!%&**"$#0#(#(!$".. #'* = 4%.&$"$$''* "%'%% +*$( $/ *$$* +*$4"#0* #( X (S) = 0 '*$'$//* #!%&**"$# 0#(#$//* S Q! A!! S! m C (S) 2C A (S) + X A (S) F A (S) m. = 4%.&$"$$'*//* ;#6$".'%* "*&'*"%//**( &$((*''*$( '*4"* /$"** ;#$"* ()$") //)!$6%"))( 0* "#$"* '$/!*$/%+*//* 4%.&$"$$'*//* A -$"#$4$( "%46))( *$(* ") )//%%( * *" #!%&**"$#" )"%"))( /$"#$"* +*"**+*"$ ($ $"'$) = /$"* 0* A /$"*?*/$"**(!#"%("$**/$.('"$#'$ /$"#$* #/%+$%( $(+%&$#$6%( /.'. ))&) $(+%&$#//* "*&'#$"%"**( %/ /*$"* */'$#!*&$* (i, j) 0#('* */'$#$6%( '%'%()$(%( 0)&0%" #( %&$/*$(%( = /$"** '.$( A /$"** /'."$/*("%%* #/% *" /$"*" #+*" "40$) 0#"%(!#"%("$**/$ #( */.'$ > #'*!#"%("$**/$ #( /.'. ))&) ($$( % #( *$(* %$ (%C*"$$+$(%( ;*#$"%"". *$'* *&+$#$ $$ "#6%//$"* *$'** /5!)$( L/'##( i #!%&**"$#( '#4"%%(* #/%+*( */'$#( $(6%'$ A /$"** 0* #!%&**"$#( '. c "*((. A A /$"** -*.% "./%% "#6$"%"".* '.( ()"%"))( %"") = /$"** "*#$"%"". *$'*+**"$. #( %&$ #!%&**"$#$//% %.&**+* *GG% 2i 1 = 2c A 1 $(%&" 2(i + 1) 1 = 2c A 1 8

30 6%/%"% i = c A 2c A 1 $/ *$(%( +*$4"# A /$"** 1 *'%"". +*$4"# A /$"**?)$""%%( %!)4")/5( #$'%*(!.#/%( "%& $" 0* 2CA **6**( '#/ %"* %($ )$%") (S) m #!%&**"$#"* ;%& $" 0*!.#/%"**( **6**( '*46%"* 0)/'$ )$%") #!% XA (S) F A (S) &**"$#"* ;*&'*"%//**( %&$'%%( '."*'$( #!%&**"$#"* ;*&'*"%//**( */.'$ *GG% #!%&**"$#"* 0#'* '#46$".. A /$"*( $$4%( */'$##( 0#'* #(!*$'** i L/%"%"**( %"") ") ) */'$# #( = /$"**!*$'** k L/%"%"**( %6%//%%( %"") #( ($$6%( */'$#$6%( /.'. ))&) 0#"'* %6%/")+)" %"$"") */'$#"* = /$"**.""* #+*" x %( i 0)/0%) A /$"** ;)") %.&** %"") 4"%$$) %6%/")0$) %"$"$//) */'$#$//* #( k 1 x '*!!*/%""* = /$"*( 4%.&$"$$''* $$&")) %"$"( */'$#( /$"*(* */'..( ;) ) *$4%.""** i!#"%("$**/$(.."#'%( $//) #* $(+%&$#$"*!#$"...""* "#$**/"*..$* $(+%&$#$"* "./%% "$/*//% D#$".+$%( $(+%&$#$6%( /.'. ))&) #( xi 0*..$* $(+%&$#$"* (" '*!!*/%""* " +#$6**( ))&)") "*#$"%"". *$'* = /$"** %&'$(") k 1 xi Φ "*&'#$""**!#"%("$**/$(.."#"* a = t + Φ = k + (k 1 x i ) x i = 2k 2x i 1 = 2(k x i ) 1 2i 1.?$$ %$(%( %!)4")/5!)"%% $//) 4"%$$) %6%/")0$) +#$ %"$"$//) */'$#$//* #//* '#&'%$( "**( i 1 0* k xi i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i /$"#0%(!$".. %((%(..6%( */'$#( /$)") ;*#$"%".//% *0*//% a $$!)"%% a i i = 2i + 1 = 2(i + 1) 1 = 2c A 1.?$%/) #( ')$""%/% )"") 6%/%"% #!%&**"$#( "*!*. L/%"%"**( '."%( *GG% #!%&**"$#( '#46*//* %"") #!%&**"$# '#46$".. $$4%( A /$"*( */'$##( 0#'* #(!*$'** 0* %"") i ") ) */'$# #( = /$"**!*$'** k 96%//%%( '."%( *GG% #!%&**"$#('$( '#46*//* #/%"%"**( %"") xi #( ($$6%( */'$#$6%( /.'. ))&) 0#"'* %6%/")+)" '%$") */'$#"* /$"**.""* #+*" %( 0)/0%) = A /$"** /'$#(!#$"* $(%( +#$ *$(#*"**( +)4%(")) $(+%&$#$"* +)4%(('%(..&.. #( xi ;*#$"%"".* *$'** +#$6**( (" *&+$#$6* %.&**+*"$ a = k x i i 2c A 1. )$( /*.%%( "#6$". #( +*/ $,

31 ;*&'*"%//**( 0#4#('$( "$%"#&*'%("%%%%( '#46$".+** #!%&**"$#0#(#* L!%&**"$#$6%( "#"%.".'%( '*((*/"* #( &*"'*$%+** "$%6%"))('5 '#'# #!%&**"$#0#(# %".')"%%( +*$ #('# "$%6#* '%&&*//**( +*$( '$ #!%&**"$# 0#'* #(.#&$"%""*+* /#!!..( %((%( '.$( %/+$)) $') #!%&**"$# #( %.&**+* # '#'# #!%&**"$#0#(# "$%6%"))( %".')"%%( *(#"**( 0#(#( "#"%.""*+** */C#&$" $* # $(% */C#&$" $'$ # #!%&**"$#" "$%6%"))( '$ '%&&*//**( #( '%%) #(/$(% */C#&$" $ I*(*'$&0*#(C%/ *( "*!*.'%* # $(% */C#&$" $ +#$$ "#$ $* %$ %&'$'$ ($$( %"") % /*'$$ %&$ */'$#$4$( /$$""+$%( +$$""*."%( /.'. ))&)" %".')"%%( 0* 0)&0%")$$ /$"*( '$$("%))( +$$""*. &%'+%($%(.'**( /*'%+**( 0)&0%"'%%( = 0* ; 4%.&$"$$'*"!.#/%"**( "#$ $+*" #(/$(%!%&$*""%%//* )"%"))( */C#&$" $( A '."*((.'%"* #(C%/ **( P /$$""+)) #!%&**"$#0#(#* I %&'$(")) ca (I) 0* #/'##( #!"$ **/$%( #(/$(% "*$ # $(% */C#&$" $( '."*((. c opt (I) L(/$(% */C#&$" $* A *(#"**( G#!%"$"$+% #(C%/ ** P 0# #( #/% ** %//*$%" +*'$#" a 0* b %"") '*$'$//* #!%&**"$#0#(#$//* I #( +#$ ** c A (I) ac opt (I) + b. $/!*$/.''$(%( */C#&$" $ "#$ $$ $$ '*$'$//* 5""%$//) '#&'%$("**( a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log n) #$*$( # +%//.'$* #( ")&'%)) %"") 0#'*$%( '$"")$%( #!%&**"$#( './.""* * *$'* #(!$%(%!$ '.$( 0#'$( *((%"". &*0* ;)//5$(.'*.".+** "$%"#&*'%("%%* 0#'. *"".+*" +*$'%*" #!%&**"$#" +#$+*" #//* /$$*( 4$"*$"* =.'*.".+$//% "$%"#&*'%("%$//% #+*" "!$//$$) %.&**+*" # $(*$..6%" 9$ "*//%((%"* "$%"#* "$%"#&*'%("%%( "$/*"* +&"?-!..* #/%+*" '#&'%."$%6#" #'*$%( #!%&**"$#( 4"%6%) #+%//%"**( 4 4 4%.&$"$$''** "$%"#&*'%( "%%(..""* $%'$ B%.&$"$$''** #+%//%"**( #'%*"$ # &$$!!. *""* "$%"#&*'%("%%( "$/*"* #'* "$/*"$%"#0* %$ "*//%((%"*.'*.".+*" "$%"#&*'%("%%" ))")+)" "$/** =.'*.".+*" "$%"#&*'%("%%" #+*".%$( 4%/!!#0* "#"%.""** =#+% "# &#(" 4%.&$"$$'*( +*"$(% 0)&0%"!.$"* ')$"%/")%) #( #+% "# &##" ))("5 0#'* (#"** 0..&%'$ %( #/.( 0#4#( +$$ %'$ #( +$$"*"". I% %$ '.$"%('**( #/% "%4#'* "*#$"%".*'**( $%/%) L( ($ $"")$( #/% ** $%/$+*/"*$%(!$"'$) #!%&**"$#0#(#0* 0#$6%( '%'$ ))&)$(%( *$'*+**"$. ")") %(%"%/ )) ')"%"")%) #( +%&&*((#//$(%( #/.0%( /.'. ))&))( *//$ #!%&**"$#0#(# +#$6**(.#6#"** $4$( "*4*(* n #/.$%%( n > 3 n!*&$//$(%(0)&0%"!..4.( %.&**+*"$ "%46))( *GG% #!%&**"$#" 0)&0%"'%) *+*$ $$( 1, 2,..., n ;./#'%(* #!%&**"$#0#(#( */'.#*"* #( +*% *//% +$(#, 1, 2,..., n 2 2!.. 0#'* "%'%% 0#(#( /#!!.#*( #!%&**"$#" '*//$$'$ L!%&**"$#0#(#( '."*((. #( > n 2 %/$ #!%&**"$#$6%( "*#$"%"". *$'*+**"$. #( Ω(n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x.4"%%( "%4")+)!..( 0*'* $(%(!/$" (x) "#"%."%"**( #!%&**"$#//* *GG% (x) 0#'* (#"** */'$#( x!..( 0..&%'$ 0* *46#//$"** 0# *( '. *(!..( */$!..( $& 1

34 splay T T T 1 T * 8 -%+$""+$%(!.$6%( 46$") $(%( &#""* $%( %&$//$%'$!..'$.+**, #( %$"%"" #!%&**"$#( #/% *" +%&$#" x 0)) 0#'#!$%(%!$%( "*$..&%!$%( *+*$("%(.#6#"* *(!..( 0..&%'$ splay tai T T T 1 T 2 T 1 T 2.+*, -%+$""+)(!..( #!%&**"$#!/$" x /'$#( x /$)) $(%( insert(x) */#$"%"**( "%'% )//) #!%&**"$# *GG% (x) # x /5"!.."* %$ $") +#$6* $((% %()) /$)") # x %$ #/%!..*!))" 4*'.!#/'. x )) %"$" ")%) /%4"%%( 0#"* %$ +#$6* %()) 0*"'** %"%%(!)$( #46$"%"**( *GG% #!%&**"$# ")4)( */'$##( 0* (#"%"**( %!..( 0..&%'$ D..(..$ 0..&$ #( */'$#"* x /)4$(()!$%(%!$ "*$..&%!$ */'$#?#$6**( $$ 0*'**!.. '*4"%%( #**( ($$( %"") #*" "./%+*" %(!..( +*% *'$ 0* #$'%*'$ */$!..'$ 0#('* 0..&%'$ "./%% x ' '.+* : split x T T 1 T 2 T 1 T 2.+* : -%+$""+)(!..( #!%&**"$# $(%&" x /'$#( x!#$"# 6%/%"% (x) */#$"%"**( "%'% )//) *GG% (x) D..( 0..&%'$ (#.%%(!#$ "%""*+*( */'$#( x +*%( 0* #$'%* */$!.. 46$"%"))( #!%&**"$#//* 0#$( /'$#(!#$"# /%+$" "+)")!.."* #( %$"%"" '.+** > access x join T T T T 1 2.+* > /'$#( x!#$"* $(%( /%+$""+)")!.."* -%+$"#!%&**"$#( "*#$"%"". *$'*+**"$. n #/.$%*!..* #( O(log n) #'*.." #!%&**"$#"!%&.".+*" *GG% #!%&**"$##( &$$"")) "./#'%( "#6$"* $(%( $//% 1 T

35 ;#6$"."* +*&"%( '$$((%"))( /%+$""+)(!..( 0#'*$%%( #/..( i '$$("%) wt(i) > 0 I#/.( i 44 s i #( */'$#$6%(!*$(# $$() */$!..* 0#('* 0..&$ i #( I#/.( r(i) #( log s(i) 0* "*&'*"%/"*+*( /%+$""+)(!..(!#"%("$**/$ #( %( #/.0%( *"%$6%(. * ;#6$".'%* 4*'.!#/'.*!#/'. 0..&%"* +$$"*""..( */'$##( "*&'*"%//**( '*'$ * '%/"* '%&&*//**( D#"%("$**/$(.."#'%( /*'% $%'$ #( 4.# $#$"*+* 4*'.!#/.( #/.0%( */$!.$6%(.."#'%" '.( "%46))(.'*.""* $#!%&**"$#( '../.+*" &#"**"$#" #'*$%//% '*46%( *'%/%%( #*//% +#$6**( %&$'%%( "#6$"** "#6$".'%( '$"$'#46*" /5"+)" *&"$''%/$"* I/%*"#& *(6 ;*&0*( I%/ *60."$(C H $(*& %*&G4 "&%% 0' 1 1 %"") 0# t #( '%$%( 4*'.!#/.( #*( /$( #/. 0* v #( %( */$( #/. ($$( "*#$"%"". *$'* "#6%//$%( *0*( '$''5) %/$ 4*'.!#/.//* %6%"( *"'*( 0*!#"%("$**/$(.."#'%(. * #( '#&'%$("**( 3(r(t) r(v)) + 1 = O(log s(t) s(v) ). A x y B C (a) A B x y C A x y B z C D (b) A B x C y z D A y x B z C D (c) y x A B C D.+* #"**"$#" 4*'.!#/.//* %"$"")%) #/.* x #'*$%//% "*!*.'%//% #( #/% ** 5 %"&$(%( +*"$(% ;./# **+."%"**( '.( %$ %&'$'$ '.+*( "*!*.'%* (b) 4.# $#$6**( *"%$6%(.."#'%" #/.$* x y 0* z ;#$(%(!%&."*!*. #( % 0#* '*'$ *'%/"* %6%"%) './0%"**( +.#&#"%//%%( +*% *//% 0* #$'%*//% '.+* (c) 9&$'%%( #( +$%/) ')$"%/")+) % "$/*((% '.+* (a) 0#* 4*'.!#/.(!$".. #(!*&$"#( 0* '*'$ *'%/"* '%&&*//* %"%(% 0* $%( /$)'$ 4*'.!#/.//* #( '$ /$ ))&)$(%( )& ) B*'.!#/'.* %6%"%) #/.0%( &##/$" +*$4".+*" ($$( %"") /*'%""*%* '#'# 4*'.!#/.( '."*((..'**( "./%+*" t v +*$( 0..&%( *"% r(t) 0* %"$"")+)( */'$#( *"% r(v).$6%( 4*'.!#/.( #/.0%( *"%$6%(.!$".%*. *"*!#$ P n! t" (v) 3(r(t) r(v)) + 1 = O(log s(t) s(v) ). %.&** %"") '*$''$%( "*+*(# *$"%( /%+$""+))(!..4.( '#46$".+$%( #!%&**"$#$6%( *GG% $(%&" 6%/%"% 0#$(!/$" "*#$"%"". *$'*+**"$. #( O(log n) #( +#$ ** '*$'$//*!*$(#0%( wt(i) > 0 +*/$((#$//* ;*&'*"%//**( "$/*((%""* 0#* m *GG% #!%&**"$#"* '#46$"%"**( /%+$""+))(!..4.( 0#* #( n #/.* 0* 0#'*$ %( #/.(!*$(# #( 1 ;)//5$( #/.(..&$( *46#//$(%( '#'# #( s+ 0*!$%($( = 1 n 11 z

36 *46#//$(%( '#'# #( s 46%( #!%&**"$#( "*#$"%"". *$'* #( = 1 n '#&'%$("**( a = 3(r(t) r(v)) + 1 = 3(log s(t) log s(v)) + 1 3(log 1 log 1 n + 1) = 3 log 1 n + 1 = 3 log n + 1. D#"%("$**/$!$%(%(%% #!%&**"$#0#(#(.#&$".'%( *$'*(* '#&'%$("**( Φ = n (log s + log s ) = i=1 n log n = n log n, j=1 0#"%( #!%&**"$#0#(#( "#6%//$(%( *$'* #( '#'%$("**( a + Φ = m(3 log n + 1) + n log n = O((n + m) log n + m). # 46%( #!%&**"$#(!*4$ *( "*!*.'%( *$'*+**"$. #/$$ O(logn) '."%( #( "$ /*((% %$ %&'$'$?-!.$6%( '#46*//* #/$$ #!%&**"$#0#(#( '."*((. O(m log n) # $$ "*&'*"%//**( "*&!%%'$!$"'$) #!%&**"$#0#(#0* #( /%+$""+)!.. 4") "%4#'* '.$(?-!.. ;)//5$( ($ $"")$( '%&"#0*(* #/%+*( "%& $( n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h!*/*."* #*0#.'#( h!$%($ )( */'$#( *&+# 0*!#$"*!$%($( */'$# 0#.'#"* $(%&" x, h /$)) */'$# x #*0#.''##( h %/6 h1, h 2 /$)) '*$''$ #*0#.'#( h2 */'$#" #*0#.''##( h1 0* ".4#* h2 %') *'% (.// h.#6#"* "40) #*0#.''# 0#('* ($ $ #( h #'*$(%( 0#.''# %$"%"))( H $(**&$!..(* 0#('* 0#'*$%* #/.* #( */'$# 0#('* *&+# #(!$%(%!$ '.$( '*$''$%( %( 0)/'%/)$"%( *&+#" **( 0..&%* #( *$(* %(!$%($( */ '$# F$(**&$!..( '."."**( 0..&%"* */'*+** #$'%$"* ##$""$ $* %.&**+**!#/'.* +*"**+*"$ % 4 */'** 0..&%"* 0* %.&** +*%!$* ##$""$ $* 17

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε: Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Οκτώβριος

Διακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Οκτώβριος ΔιακριτάΜαθηματικά Γιάννης Εμίρης http://eclass.uoa.gr/ Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Αλγόριθμοι Ρυθμόςαύξησηςσυναρτήσεων[Rosen 3.2] Διακριτά Μαθηματικά Ορισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης

Παραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης Τάξη των Συναρτήσεων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 1. Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ) 2. Να δειχθεί ότι η n 2 δεν είναι O(n). 3. Αληθεύει ότι n 3 =

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 25 Φεβρουαρίου 2015 1 / 53 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 27/11/2008 1 / 55 Γενικό πλάνο 1 Ανάλυση αλγορίθµων 2 Συµβολισµοί

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι Απόδοση Αλγορίθμων Πληροφορικής 1 Απόδοση Αλγορίθμων Συνήθως υπάρχουν πολλοί τρόποι (αλγόριθμοι) για την επίλυση ενός προβλήματος. Πώς επιλέγουμε μεταξύ αυτών; Πρέπει να ικανοποιηθούν δύο (αντικρουόμενοι)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 1 Εισαγωγικές έννοιες Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 1 1 / 57 Περιεχόµενα 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ορθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1

Ορθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Ανάλυση Αλγορίθμων Θέματα Θέματα: Ορθότητα Χρονική αποδοτικότητα Χωρική αποδοτικότητα Βελτιστότητα Προσεγγίσεις: Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 4: Αναδρομικές σχέσεις και ανάλυση αλγορίθμων Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΕΠΛ 231 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΕΡΓΑΣΙΑ 1 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 22/02/10

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΕΠΛ 231 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΕΡΓΑΣΙΑ 1 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 22/02/10 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΚΥΠΡΟΥ ΕΠΛ231 ΔΟΜΕΣΔΕΔΟΜΕΝΩΝΚΑΙΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝΕΡΓΑΣΙΑ1 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:22/02/10 1.Νααποφασίσετεποιεςαπότιςπιοκάτωπροτάσειςείναιαληθείςαποδεικνύοντας τιςαπαντήσειςσας. (i)αν και,τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις (2) Άσκηση 1

Ασκήσεις (2) Άσκηση 1 Άσκηση 1 Ασκήσεις () Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Υποθέστε ότι συγκρίνουμε την υλοποίηση της ταξινόμησης με εισαγωγή και της ταξινόμησης με συγχώνευση στον ίδιο υπολογιστή. Για εισόδους μεγέθους n,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας

Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 2: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου

Διαβάστε περισσότερα

!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667

!#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 !"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 6) 1 / 20 Ρυθμοί αύξησης Γραμμικός ρυθμός αύξησης: n, 2n, Πολυωνυμικός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ανάλυση αλγορίθμων

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ανάλυση αλγορίθμων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ανάλυση αλγορίθμων Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Aνάλυση Αλγορίθμων Είσοδος Αλγόριθμος Έξοδος Ένας αλγόριθμος είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Li % % % % % % % % % % 3d 4s V V V V d V V V n O V V V O V n O V n O % % X X % % % 10 10 cm Li Li Li LiMO 2 Li 1 x MO 2 + xl + 1 + xe C + xl + 1 + xe Li x C LiMO 2 +C Li x C + Li 1 x MO 2

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Ανάλυση Αλγορίθμων

Κεφάλαιο 2 Ανάλυση Αλγορίθμων Κεφάλαιο Ανάλυση Αλγορίθμων Περιεχόμενα.1 Εισαγωγή... 0. Εμπειρική και Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθμων.....1 Εμπειρική Πολυπλοκότητα..... Θεωρητική Πολυπλοκότητα... 3.3 Ανάλυση Χειρότερης και Αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ240: οµές εδοµένων. ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2

ΗΥ240: οµές εδοµένων. ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 ΗΥ240: οµές εδοµένων ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 Εισαγωγή. ΗΥ240: Δοµές Δεδοµένων. Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου

Ενότητα 1 Εισαγωγή. ΗΥ240: Δοµές Δεδοµένων. Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου ΗΥ240: Δοµές Δεδοµένων Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων

Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ240: οµές εδοµένων

ΗΥ240: οµές εδοµένων ΗΥ240: οµές εδοµένων ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες. Β. Ζησιμόπουλος

Ευχαριστίες. Β. Ζησιμόπουλος ÂÆÁÃÇÃ ÁÃ ÈÇ ÁËÌÊÁ ÃÇÈ Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÂÀÆÏÆ ÌÅÀÅ ÈÄÀÊÇ ÇÊÁÃÀËÃ ÁÌÀÄ ÈÁÃÇÁÆÏÆÁÏÆ ÌÇÅ ËÂ ÏÊÀÌÁÃÀËÈÄÀÊÇ ÇÊÁÃÀË Ð Ö ÑÓ ÈÓÐÙÔÐÓ Ø Ø º Ñ ÔÓÙÐÓ Ò ¾¼¼ Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερμά τους συνεργάτες μου στο Τμήμα Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 1η: Εισαγωγή Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 1η: Εισαγωγή Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 1η: Εισαγωγή Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ240: Δομές Δεδομένων Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθημα 2ου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕ. Ι..Ε.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕ. Ι..Ε. ΑΣΚΗΣΗ 1 ΟΜΑ Α 2 Στην ακόλουθη άσκηση σας δίνονται τα έξοδα ανά µαθητή και οι ετήσιοι µισθοί (κατά µέσο όρο) των δασκάλων για 51 πολιτείες της Αµερικής. Τα δεδοµένα είναι για τη χρονιά 1985. Οι µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 1. α. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά μεγέθους τις παρακάτω συναρτήσεις χρονικής πολυπλοκότητας αλγορίθμων: nlogn, n logn,

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 2 ιαίρει και Βασίλευε Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 2 1 / 140 ιαίρει και Βασίλευε

Διαβάστε περισσότερα

ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων

ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων ρυθμός αύξησης συναρτήσεων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα Ασυμπτωτικός συμβολισμός Καθιερωμένοι συμβολισμοί και συνήθεις συναρτήσεις 2 ασυμπτωτική πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης Συγχωνευτική

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Τηλ , Fax: , URL:

Τηλ , Fax: , URL: Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Παναγιώτα Φατούρου faturu@cs.uoi.gr Σεπτέµβριος, 2005 Τµήµα Πληροφορικής, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Τ.Θ. 1186, Γραφείο Α26, Τηλ. +30 26510 98808, Fax:

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές Δεδομένων Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://elss.ueb.gr/ourses/inf6/ Άνοιξη 6 - I. ΜΗΛΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 6 - Ι. ΜΗΛΗΣ - - ASYMPTOTICS Αλγόριθμοι Τρείς κρίσιμες ερωτήσεις για κάθε αλγόριθμο για ένα πρόβλημα:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

οµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ

οµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 εδοµένα Σύνολο από πληροφορίες που πρέπει να αποθηκευτούν σε έναν υπολογιστή Υπολογιστικό Μοντέλο ένας επεξεργαστής και µεγάλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ. Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN

ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ. Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN ΡΗ 009-10 16/1/009 3:4 μμ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN AWGN) ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΕ ΜΕΤΑΔΟΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως

Διαβάστε περισσότερα

pi r p p c i i c i (0) i c i (x) i c i, av i c i i C i i C i P i C i W i d d D i i D i p i D in D out e e F F = I c j i i J V k i k b k b = K ic i K id i n P m P Pe i i r si i r p R R = R T V W i x x X

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,

1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 23 Μαρτίου 2017 1 / 170 Αναδροµή ιαίρει

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

ROVER (MG ROVER GROUP LTD)

ROVER (MG ROVER GROUP LTD) 100 114 D 38 52 01/92 + 0822-8962 237,40 0811-8962 134,20 115 D TUD 5 42 57 12/94 + 0822-8963 237,40 0811-8963 134,20 1500 (Triumph) 1.5 42 62 10/70-12/74 0800-0175 11,00 1.5 49 66 01/72-12/74 0800-0175

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

959 Ν. 108/87. E.E., Παρ. I, Αρ. 2235,

959 Ν. 108/87. E.E., Παρ. I, Αρ. 2235, E.E., Παρ. I, Αρ. 5, 1.6.87 959 Ν. 108/87 πρί Ειδικύσς Σμπληρματικής Πιστώσς (Ταμίν Αναπτύξς) Νόμς (Αρ. 9) τ 1987 κδίδται μ δημσίση στην πίσημη φημρίδα της Κπριακής Δημκρατίας σύμφνα μ τ Άρθρ 5 τ Σντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-

!#$ %&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'- !!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

1o Φροντιστήριο ΗΥ240

1o Φροντιστήριο ΗΥ240 1o Φροντιστήριο ΗΥ240 Άσκηση 1 Αποδείξτε τη μεταβατική και τη συμμετρική ιδιότητα του Θ Μεταβατική Ιδιότητα (ορισμός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)) Για να ισχύει f(n)= Θ(h(n))

Διαβάστε περισσότερα

(a 1)!b! (a + b 1)! και a!(b 1)! (a + b 1)!, (a + b)! = (a + b 1)!(a + b) = (a + b 1)!a + (a + b 1)!b,

(a 1)!b! (a + b 1)! και a!(b 1)! (a + b 1)!, (a + b)! = (a + b 1)!(a + b) = (a + b 1)!a + (a + b 1)!b, Κεϕάλαιο 1 Ακέραιοι Αριθμοί Σύνοψη Σ αυτό το κεϕάλαιο θα εξετάσουμε τις βασικές έννοιες της αριθμητικής των ακεραίων αριθμών, καθώς και τον χρόνον εκτέλεσης των στοιχειωδών πράξεών τους, τον μέγιστο κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στου Αλγόριθμους Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Ανάλυση Θεωρία Γράφων Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθµων. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθµων. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 2 Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθµων Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 2.1 Υπολογιστική Επιλυσιµότητα "For me, great algorithms are the poetry of computation.

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

auth Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο

auth Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο Σχεδίαση Αλγορίθμων Διαίρει και Βασίλευε http://delab.csd.auth.gr/courses/algorithms/ auth 1 Διαίρει και Βασίλευε Η γνωστότερη ρημέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: 1. Διαιρούμε το στιγμιότυπο του προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 2 Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 2.1 Υπολογιστική Επιλυσιμότητα "For me, great algorithms are the poetry of computation.

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24 !! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων Ενότητα 2

Δομές Δεδομένων Ενότητα 2 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Θέματα Απόδοσης Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3.0 Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 0-7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Διαίρει και Βασίλευε Quick-sort και Merge-sort

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!! ! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**.

!  #! $ %&! '( #)!' * +#,  -! %&! !! !  #$ % #  &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**. ! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!!! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / 0123 4 # ' -. + &' (, % #. -5 0126, 2**., 2, + &' %., 0, $!, 3,. 7 8 ', $$, 9, # / 3:*,*2;

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Απόκριση Συχνότητας. Φώτης Πλέσσας

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Απόκριση Συχνότητας. Φώτης Πλέσσας Ανάλυση Κυκλωμάτων Απόκριση Συχνότητας Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Εισαγωγή Η συμπεριφορά του κυκλώματος στην ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, καθώς μεταβάλλεται η γωνιακή συχνότητα ω, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικό Υπόβαθρο. Περιεχόμενα Κεφαλαίου

Θεωρητικό Υπόβαθρο. Περιεχόμενα Κεφαλαίου 2 Θεωρητικό Υπόβαθρο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 2.1 Μαθηματικά Εργαλεία.................... 34 2.2 Συμβολισμοί Πολυπλοκότητας............... 39 2.3 Χρήση Συμβολισμών στην Ανάλυση............ 45 2.4 Χειρισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 9 ο Ταξινόµηση Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ταξινόµηση Εισαγωγή Selection sort Insertion sort Bubble sort

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός & Πρόρρηση. Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων

Υπολογισμός & Πρόρρηση. Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων Υπολογισμός & Πρόρρηση Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων d du d Θερμοδυναμικές Ιδιότητες d dh d d d du d d dh U A H G d d da d d dg d du dq dq d / d du dq Θεμελιώδεις Συναρτήσεις περιέχουν όλες τις πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα