+ α. y y p x y q x. dx C. Q neprekidni u nekoj. = C. Pokažimo da integracija jednačine (*) y = const integraciona

Transcript

1 POJA DIFERENIJANE JEDNAČINE REŠENJE DIFERENIJANE JEDNAČINE OPŠE PARIKUARNO SINGUARNO REŠENJE DEF: Dfrcjlo jdčo vo jdču oj ržv u vu đu vo roljv o fucj jh vod: ( F( ; jvš rd vod u oj jdč vo rdo dfrcjl jdč DEF: Ršj dfrcjl jdč j v fucj oj dč dovoljv u jdču DEF: Jdorru orodcu fucj ϕ( od φ ( oj dč dovoljv dfrcjlu jdču rvog rd f( od F( vo oš ršj (oš grlo jdč DEF: Prulro ršj (rulr grl dfrcjl jdč j v o fucj ( oj doj ošg ršj jdč odgovrjuć o vrdo grcoh o Ao du dfrcjlu jdču dč dovoljv fucj ( oj j drž u jo oš ršju d ov fucj ( ršj (gulr grl jdč v gulro JEDNAČINE S RAZDVOJENI PROENJIVI U jdč: g( d f( d roljv u rdvoj v l ooj r jdč ojoj j j dfrcjl; r odrd roljvu o fucju od o Igrcjo dojo: g( d f( d d oč ulov ( odrdć o ; joj odgovrjuć rulro ršj oj dovoljv oč ulov ol: g( d f( d (* Očgldo jdo (* rvr u d o gorj grc DEF: Dfrcjl jdč I rd čj roljv ogu rdvoj ordo l o o r oož ro ov dfrcjl jdč rdvoj roljv 3 HOOGENA DIFERENIJANA JEDNAČINA PRVOG REDA DEF: Jdč f( ov hoog dfrcjl jdč o fucj f ( ož rdv u olu f( ϕ DEF: Fucju ( f vo hoogo fucjo -og o roljv o j vo λ f ( λ λ λ f( ( Q 4 JEDNAČINA PRVOG REDA KOJA SE SVODI NA HOOGENU JEDNAČINU DEF: Dfrcjlu jdču rvog rd f( vo hoogo u odou o j f ( hoog fucj ulog u odou j f ( λ λ λ f( f( 5 INEARNA DIFERENIJANA JEDNAČINA PRVOG REDA DEF: ro dfrcjlo jdčo rvog rd vo jdču ( q( ( oj j lr u odou ržu fucju ( j vod; r o u ( q ( d rd fucj vo roljv Nšo ržu f-ju u olu uv gd u u u( v v( f-j od ojh jd ož r rovoljo drug r d v od rv u o lu d jhov rovod dovoljv lru jdču ( Dl o j uv d j u v uv o u ( dojo u v uv ( uv q( Ao o v ( ro o rulro ršj jdč v ( v (* d r d u ( odrdo jdč uv q ( dv (** U jdč (* roljv rdvjju: ( d v j jo oš ršj l v ( d oro rulro ršj o - o j f-j: v ( d Uvršćujuć đu vrdo f-j u (** dojo du q( ( d q ( ( d d q( d ; dl d v ( d u q( d Oš ršj ( r o j ( d ( d q( d doj ooću dvju grcj Prulro ršj oj odgovr očo ulovu ( doj d u oš ršju v 6 BERNUIJEVA DIFERENIJANA JEDNAČINA RIKAIJEVA DIFERENIJANA JEDNAČINA N lr jdč vod ložj jdč o rco Bruljv: ( q( ( oj rdvlj lru jdču jdču u ojoj roljv ogu rdvoj Z rovoljo {} rjujo ldć ou: o r dlo ( ( q : uvodo ooću f-ju ( č d jdč vod lru o : ( ( ( q ( Oš ršj ov jdč j: q ( d ( ( ( d ( ( d oš ršj Bruljv jdč gl: ( d ( ( d ( q( d DEF: ( Dfrcjl jdč rvog rd ol ( q( r( (* u ojoj u ( rd fucj u rvlu r ( ( ( ov Rjv dfrcjl jdč Z ( jdč (* j lr r ( Bruljv jdč 7 JEDNAČINA S OANI DIFERENIJAO DEF: Jdč Pd ( Qd ( (* rdvlj jdču ol dfrcjlo l gu dfrcjlu jdču o u P( Q ( rd dfrcjl fucj oj dovoljvju ulov P Q (** gd u rcjl vod P Q rd u oj doj ol D Ao j lv r jdč (* ol dfrcjl d vž ulov (** oruo o j ulov uj d j lv r ol dfrcjl fucj u ( j jdč (* ol: du ( Pd ( Qd ( j j oš grl u ( dj: Požo d grcj jdč (* P( d Qd ( gd j ( rovolj č u ol D Pr vg o d j du( d d P( d Q( d ( ; u o lučju j: P ( Q ( ( ov jdo lo d j: o oro d ro d j u P( dϕ( (3; r co grco o v od Iro f-ju ϕ( ( o d vž drug od jdo ( dfrcrjo r ( jdčo doj rul Q ( : P d ϕ ( Q ( Q d ϕ ( Q ( šo č d j: Q ( ϕ ( Q ( j Q ( Q ( ϕ ( Q ( dl ϕ ( Q( ϕ ( Q( d (4 Ujuć u or (3 (4 ožo d j: u P( d Q( d Ijdčvjuć ovj r dojo urvo ( 8 INEGRAIONI FAKOR KOD JEDNAČINE SA OANI DIFERENIJAO Igrco for olžvo λ Pd ( Qd ( P Q λ( :{ λpd { λqd ( λp ( λq λ λ( P Q P Q ; P Q P λ Q λ ( dλ d P Q dλ λ Q # # # ( λ λ( d P Q dλ d d λ P 9 SVOĐENJE DIFERENIJANE JEDNAČINE OBIKA F( NA DIFERENIJANU JEDNAČINU PRVOG REDA f( : ϕ( ϕ( d SVOĐENJE DIFERENIJANE JEDNAČINE OBIKA F( NA DIFERENIJANU JEDNAČINU PRVOG REDA f f( ( d d d d d d d d d d d d d d j d f ( d DIFERENIJANE JEDNAČINE VIŠEG REDA OPŠE REŠENJE SVOĐENJE DIFERENIJANE JEDNAČINE F( NA DIFERENIJANU ( ( ( JEDNAČINU PRVOG REDA Dfrcjl jdč -og rd oj ož rš u odou - vod ož u olu ( ( f( Oš ršj jdč v od rovoljh grcoh o: ϕ( j odrđvj rulrog ršj ohodo d oč ulov ( ( ( Ao đo oš ( ( ršj dfrcr u u doj rul uo oč ulov doj od jdč oh ov o odrđujo og r dfrcjl jdč všg rd j jdč lr o ooj fucj j vod; v jdč ol: ( ( ( ( P( ( ( ( f gd u ( ( rd fucj ( : ( ( ( F ( ( ( ( F

2 HOOGENA INEARNA DIFERENIJANA JEDNAČINA DRUGOG REDA INEARNO NEZAVISNA REŠENJA DEERINANA VRONSKOG OPŠE REŠENJE DEF: r dfrcjl jdč drugog rd j jdč lr u odou ou f-ju j vod rvog drugog rd: ( q( f( ( Ao j (dč f( f( jdč ( j hoog o j d j o hoog lr dfrcjl jdč Rš hoogu lru dfrcjlu jdču č ć v j rvjl ršj j v ršj ( (dč EO: Ao j ( o ršj hoog lr dfrcjl jdč od j ( gd j rovolj o ršj jdč EO: Ao u ( ( ršj hoog lr dfrcjl jdč d j v jhov lr ocj ( ( ( ršj jdč DOKAZ Ao dv u dfrcro f-ju doćo: Ao d vo u ( ćo: ( q ( ( q ( q jr u o rovc ( ( ršj jdč ( u o r u grd dč jd ul Pr o lr ocj j ođ ršj d jdč DEF: Dv ršj ( ( jdč ( u lro v o j co odoo β ( l β rlčo od ul lro v o j u( ( co odoo β ( l β rlčo od ul DEF: Ao u ( ( dv ršj hoog jdč ( d fucol dr W( ov dr Vroog odo jdč EO: Ao u ( ( dv lro v ršj jdč ( d j odgovrjuć dr Vroog W( ( o u ( ( lro v ršj jdč d j W( DOKAZ Pođo od uro rov: ( o č d j W( W( u č gd j ( ( ( ( Porjo hoog lrh β lgrh jdč ( čj j β dr D W( o rvjlog rvjlo ršj { β } ooću og ćo orov ovu f-ju ( ( β( S oro ( u č vž ulov ( ( β( ( đu o f-j ( oč ulov ( dovoljv f-ju oj odgovr rvjlo ršju ( o rovrč Povoj or Dl W( ( Ao j u drugo lučju ( j d j očgldo W( EO: Ao u dv lro v ršj j v ršj jdč ( d j uv co d rvjl lr ocj h f-j ( Ao lo lr ocj rdvlj oš ršj jdč co j d ( držl o jdu ou ogl rdvlj oš ršj jdč ( I or ljučujo d od lo oj dv lro v rulr ršj hoog lr dfrcjl jdč drugog rd ožo forr jo oš ršj Zo žo d v dv lro v rulr ršj č fudl ršj hoog lr dfrcjl jdč drugog rd 3 NAAŽENJE OPŠEG REŠENJA HOOGENE INEARNE DIFERENIJANE JEDNAČINE DRUGOG REDA AKO JE POZNAO JEDNO NJENO PARIKUARNO REŠENJE SRUKURA OPŠEG REŠENJA NEHOOGENE INEARNE DIFERENIJANE JEDNAČINE EO: Ao j ( jdo rulro ršj jdč drugog rd ( q( od drugo lro vo ršj ( l jdč rvog rd DOKAZ Pr rovc j u j u u u u u o d j q u[ q ] u( u gd u lv r r u rdjoj grd doj r dč jd Zo oj: u u( o du j u o j jdč rvog rd o d u Odl lo (rdvjj roljvh u( ordo u ( o dol u EO: Oš ršj hoog lr dfrcjl jdč ( ( j r ošg ršj q odgovrjuć hoog jdč rovoljog rulrog ršj ( d hoog jdč: ( DOKAZ N j h ( oš ršj odgovrjuć hoog jdč ( rovoljo lo rulro ršj d hoog jdč Dfrcrj f-j h( ( dojo h( ( h( ( oro o lv r jdč oj: [ h ( h q ( h] [ ( q ( ] gd j r u rvoj grd dč jd ul r u drugoj grd j jd f ( jr j ( ršj hoog jdč Pr o f-j ( ( j ršj jdč Oš ršj ol ( h 4 HOOGENA INEARNA DIFERENIJANA JEDNAČINA DRUGOG REDA S KONSANNI KOEFIIJENIA Rrćo hoogu lru dfrcjlu jdču drugog rd: (* u ojoj u ofcj o Poržo jdo ršj jdč u olu gd ou r odrd o d f-j dč dovoljv u jdču Ko j č d r d ud dovolj d ( l oro d j ( Dl ožo ljuč d ć ocjl f-j ršj hoog jdč o o o j or (ršj vdr jdč v rrč jdč d hoog jdč D o orovl rrču jdču ( du hoogu jdču r d u (* uo vo vod o oo od Rlujo r oguć lučj or rrč jdč: rl rojv ( rl roj 3 u ojugovo ol or j Slučjv: ( Ao u β β β R d odh dojo dv ršj jdč: Očgldo j jhov olč: co ršj lro v Oš ršj u ovo lučju j: ( ( šo č d u R U o lučju dojo o jdo ršj: Po or o ojoj drugo ršj jdč drugog rd l jdč rvog rd lro rulro ršj u lo orć ou f-ju jdču: u ( dfrcjlu du u gd j d rrč jdč o d dojo: du d u u j u ( Sd j j Dl oš ršj ol: ( EO: Ao hoogu lru dfrcjlu jdču rl ofcj dovoljv ol f-j: u ( v ( d v od fucj u ( v ( dovoljv u jdču j u ( v ( u ršj jdč DOKAZ I ulov d f-j u ( v ( dovoljv šu jdču rol ( u u u ( v v v odl ljučujo ( oovu d j u u u v v v šo č d u u ( v ( ršj d jdč ( 3 Ao u or rrč jdč ojugovo ol: β β β d o dv ršj: ( β ( β gd j: (co β ± β ( β ± ± β co β ± β N oovu rhod or: co β β o j ( coβ β

3 5 EODA NEODREĐENIH KOEFIIJENAA ZA REŠAVANJE NEHOOGENE INEARNE DIFERENIJANE JEDNAČINE DRUGOG REDA SA KONSANNI KOEFIIJENIA Rrćo hoogu jdču: f( ( o ofcj čj j oš ršj r ošg ršj odgovrjuć hoog jdč og rulrog ršj Rorćo cjl lučjv d rulro ršj d jdč l ooću od odrđh ofcj ( Ao j f ( P( gd j P( olo d jdč ( rulro ršj ol: Q( gd j Q ( olo og o P( u o o j or rrč jdč d j o j or rrč jdč d očv všruo og or (j { } Kd ouo ršj u u jdču ( ofcj olo odrđuju o rcu odrđh ofcj ( Ao j u jdč ( f ( coβ β Ao rojv ± β u or Q ( odgovrjuć rrč jdč d jdč ( rulro ršj ol: Aco β B β o u rojv ± β or rrč jdč d rulro ršj jdč ol ( Acoβ B β ( 3 N j u jdč ( f ( [ P( co β Q( β ] gd u P( Q ( olo Ao ± β u or rrč jdč d rulro ršj ol [ R( co β S( β ] o u rojv ± β or odgovrjuć rrč jdč d rulro ršj r rž u olu: [ R( co β S( β ] 6 EODA VARIJAIJE KONSANI ZA REŠAVANJE NEHOOGENE INEARNE DIFERENIJANE JEDNAČINE DRUGOG REDA SA KONSANI KOEFIIJENIA Ov od oogućuj lžj rulrog ršj hoog lr dfrcjl jdč ( q( f( r o j oro oš ršj odgovrjuć hoog jdč Provo d o ( q( šl oš ršj h Prulro ršj ržćo u olu: ( ( (* (vrrćo o gd u ( ( o fucj oj r odrd ulov d ( dč dovoljv du hoogu jdču o lro v rulr ršj hoog jdč oč Dfrcrj (* dojo: ( ( ( ( Ao u ( ( o odr f-j d r ol o d v od očh o j o j: ( ( d doj: ( ( ( ( ( ( oožo l q( ( doćo: ( [ q ] ( [ q ] ( ( f( gd u r u grd jd ul jr u hoog jdč D f-j ( ( f( rdvljl rulro ršj hoog dfrcjl jdč or dovolj ulov: ( ( f( Ovj ( ( ulov (** čj j ( ( f( dr o šo o dol W( o č d rvo ožo rhodog ć ( ( : ( ( f( W( ( f( grcjo f-j W( ( ( 7 HOOGENE INARNE DIFERENIJANE JEDNAČINE VIŠEG REDA FUNDAENANI SISE REŠENJA DEERINANA VRONSKOG Nhoog lr dfrcjl jdč -og rd ol: f( ( ( ( odgovrjuć hoog jdč ol: Ao u v ( ( ( co o hoogu odoo hoogu jdču o ofcj EO: Ao j jdo ršj hoog jdč d j ( ( ( rovolj o ođ ršj jdč EO: Ao u ( ( ( ršj hoog jdč d j v jhov rvjl lr ocj ( co ršj jdč DEF: S od fucj ϕ ( ϕ ( ϕ ( j lro v o lo oj od h fucj ož rdv o rvjl lr ocj olh lro v o jd od h fucj ož rdv o rvjl lr ocj olh fucj DEF: S od đu oo lro vh rulrh ršj hoog lr dfrcjl jdč -og rd ov fudl ršj jdč EO: Oš ršj hoog jdč -og rd ol h gd j ( ( ( fudl ršj jdč u grco o EO: Ao jdo rulro ršj hoog jdč -og rd od rd jdč ož DEF: Ao u ( ( ( rulr ršj hoog lr dfrcjl jdč -og rd od odgovrjuć dr Vroog gl: W( EO: D od ( ( ( rulrh ršj ( ( ( hoog jdč -og rd o lro v (j fudl ohodo j d dovoljo d dr Vroog ud v douv rlč od : W( 8 OPŠE REŠENJE NEHOOGENE INEARNE DIFERENIJANE JEDNAČINE - OG REDA EODA VARIJAIJE KONSANAA EO: Oš ršj hoog jdč -og rd j r ošg ršj h ( odgovrjuć hoog jdč jdog lo ojg rulrog ršj ( hoog jdč: h j oro od vrjcj o: o u lučju hoog jdč drugog rd ol od rov d o u u oš ršju odgovrjuć hoog jdč uo grcoh o fucj ( ( ( d ( ( ( ož od odrđ ulov dovoljv olu hoogu jdču Dl rulro ršj ( hoog jdč ržo u olu ( ( ( gd f-j ( ( ( dovoljvju ulov: f( ( ( ( ovj dru W( v douv o d odl lo ( ( ( ( ( ( ( ržo rulro ršj 9 INEARNA DIFERENIJANA JEDNAČINA -OG REDA S KONSANNI KOEFIIJENIA ( I N j d hoog lr dfrcjl jdč -og rd: ( ( ( o ofcj U o lučju ć rrč jdč : EO-: Svo -oruo rlo oru rrč jdč odgovr rulrh ršj EO-: Svo ru r -roruh ojugovo olh or β β rrč jdč odgovr r rulrh ršj ol: co β co β co β β r r β β Pr o oš r rd všruo vh or r d ud jd u rrč jdč: r Oš ršj rdvlj lru ocju vdh rulrh ršj ( II Ao j d hoog jdč -og rd f( ( ( o ofcj d u lučjv ož or od odrđh ofcj Ao j d r jdč ol f ( [ P( co β Q( β ] ož o d rulro ršj hoog jdč ol o od hoog jdč drugog rd: r [ R( co β S( β ] gd j r rd všruo or R( S( odrd β rrč jdč u olo og čj ofcj r PIKAROVA EOREA O EGZISENIJI I JEDINOSI PARIKUARNOG REŠENJA DIFERENIJANE JEDNAČINE PRVOG REDA ddd d d d POJA SISEA DIFERENIJANIH JEDNAČINA RAZNI ZAPISI SISEA REŠENJE OPŠE REŠENJE I PROBE S POČENI USOVO N u o f-j vo roljv S od jdč oj uovljju vu đu vo roljv oh f-j jhovh rvh vod: F( F( v dfrcjlh jdč rvog rd Ao ož rš o vod oh f-j doj dfrcjlh jdč f( f( Z ovj ž d j u d orlo olu S oro d j d ož o roduž rorocj d d d ; f ( f ( o j v rč ol DEF: Fucj ( ( df dfrcjl rvlu ( vju ršj ( o o o dč dovoljvju j o j ( f( ( ( ( f ( ( ( v < < Svo ršj odrđuj v grlu rvu u (- doo rooru Pod oš ršj odruvo -rru flju f-j: ( ( oj dč dovoljv v vrdo vo roljv o ol Svo ršj oj doj ošg ršj fr vrdo o v rulro ršj

4 EGZISENIJA I JEDINOS REŠENJA PROBEA S POČENI USOVO ZA SISE DIFERENIJANIH JEDNAČINA N j d dfrcjlh jdč rvog rd u orlo olu: f ( f ( ( č rd ol dfo f-j ( f f Oov rol orj dfrcjlh jdč ož forul ldć č: d l ooj ršj ( ( ( oj dovoljv ulov ( ( ( Ao ooj d l j vo ršj jdvo l h vš? Ulov ( očo v oč ulov rol lžj ršj oj dovoljv d oč ulov v Košjv rol EO: (Pov or N u f-j f f df rd ( -doo rlldu: {( } P gd u ov rojv N j > vo d j f ( ( P N j jd h d ( rvlu ( h h r jdo ršj oj dovoljv ulov ( EO: (Prov or N u uj ulov Pov or j u o h { } Provo dlj d rlldu P ooj rcjl f vod j Provo o og j d u vd vod ogrč P j d ooj K > o d j f j K ( P j d rvlu ( h h jdo o jdo ršj oj dovoljv ulov ( 3 VEZA SISEA DIFERENIJANIH JEDNAČINA PRVOG REDA SA DIFERENIJANO JEDNAČINO -OG REDA N j d dfrcjl jdč -og rd rš o jvš vodu: ( ( f( ( Uvdo ov o fucj ldć č: ( 3 S oro č uvođj f-j ( o d j: 3 ( ; ( ( ( ( f f Pr o doj j ldć dfrcjlh jdč u orlo olu: 3 Jo j d j ( ršj jdč ( o o o j ( ( ršj ( ( Pr o ršvj jdč ( ožo ršvj oro 4 PRVI INEGRAI SISEA DIFERENIJANIH JEDNAČINA NEZAVISNOS PRVIH INEGRAA POREBAN I DOVOJAN USOV N j d dfrcjlh jdč u orlo olu: f( f( u ol D uj ulov oojj jdvo ršj Košjvog rol d DEF: Fucj ϕ( rdo dfrcjl rlč od o ol D v grl ol D o o o j: ϕ ( ( ( I gd j ( ( I oj ršj vo d ( ( ( D I j odgovrjuć o EO: N j f-j ϕ( rdo dfrcjl rlč od o ol D Por dovolj ulov d ϕ rdvlj grl ol D j d f f ( D DOKAZ # # # DEF: Jdo ϕ ( gd j ϕ( grl rovolj o v rv grl DEF: Prv grl ϕ ( ϕ ( vju v ol D o o o jdo ooj rdo dfrcjl f-j φ ol D D o d j: ϕ φϕ ( ϕ ϕ ϕ ( D U uroo ž d u d rv grl v EO: N u f-j ϕ ϕ df rdo dfrcjl ol D u: ϕ ( ϕ ( rv grl : ( Ao j ( D d u rv grl ϕ ϕ v D ( Ao j D ( D gd j D rovolj odol ol D d u rv grl ϕ ϕ v D 5 NAAŽENJE OPŠEG I KOŠIJEVOG REŠENJA SISEA POOĆU PRVIH INEGRAA N j d dfrcjlh jdč: f( f ( (* Ao j oo vh rvh grl dog r u ouo rš Z u: ϕ ( ϕ ( (** v rv grl j D ol ojoj j: ; d vo ( D rol lžj oog ršj oj dovoljv ulov ( ( vod ršvj lrh lgrh jdč: ϕ ( ( ϕ ϕ( ϕ( Ršvj (** ož doć do ošg ršj (* Uolo j oo vh rvh grl (* u ojd lučjv rd j oguć u ϕ ( ϕ ( ( v rv grl (* Ao lrh jdč ( ož rš r o doj : ψ ( ψ ( ( Uvršvj dojh vrdo u oldjh jdč (* doj od jdč oh f-j f ( ψ ψ f ( ψ ψ ( Ao j ( ( oš ršj ( uvršvj u ( dojo ržo u f-j od j č dolo do ošg ršj olog 6 SISEI DIFERENIJANIH JEDNAČINA VIŠEG REDA SNIŽAVANJE REDA Oš ol dfrcjlh jdč všg rd j: F( ( ( F ( (* Ao ( ( (* ož rš o jvš vod doj v orl ol všg rd: f ( ( ( ( f( (** S ( ( ( (** uv ož v od jdč rvog rd Uvdo : uvdh ( ( ld ( ( ( ( šo rdvlj dfrcjlh jdč O og oovu uvdh (** dojo još dfrcjlh jdč f ( f( Sd j d od dfrcjlh jdč rvog rd oh f-j 7 SISEI INEARNIH DIFERENIJANIH JEDNAČINA EGZISENIJA I JEDINSVENOS REŠENJA S lrh dfrcjlh jdč rvog rd j ol ( ( ( ( ( ( (* Ao r jd od f- j ( ( j dč jd ul (* v hoog U uroo (* vod : ( ( ( ( v hoog Košjv rol ov oj u lžju ršj ( ( oj dovoljv ulov ( ( gd u d rojv EO: N u f-j j ( ( j rd ( ( u rovolj rl rojv d (* jdo o jdo ršj ( čvo rvlu ( ( oo j dfo

5 8 HOOGENI SISEI DIFERENIJANIH JEDNAČINA OSNOVNA SVOJSVA OPŠE REŠENJE HOOGENOG SISEA Oo hoogog dfrcjlh jdč: A ( X ( gd j A ( rc rd d čj u l rd f-j EO: N j d hoog ( u l rc A ( rd f-j rvlu ( Ao j X ( ršj ( o j o ( X ( d j X ( < < DOKAZ Nordo ož do d j o vor ođ ršj ( Ko ršj X ( ju u vrdo u č o u rvlu ( uj ulov jdvo ršj o X ( orju ol čvo rvlu ( j X ( < < EO: N j d hoog ( ( ( o u X( X ( ršj ( ( ( ( u rovolj o d j X ( X( X ( ( X ( ( X ( ršj ( DOKAZ Ko u X ( ( X ršj ( o d j: ( ( ( d d d A ( X( A ( X ( A (( X( X ( A( X( < < j ( X ( ršj dog DEF: Z ršj X ( ( X žo d u lro v ( o o o ooj o od ojh j r jd rlč od ul o d j X ( X ( < < U uroo j o j X ( X ( < < ld d j žo d u ršj X ( ( X lro v ( EO: N u ( ( X( X ( ršj ( ( ( u l rc A ( rd f-j ( d j or dovolj ulov lru vo ršj X ( X ( d ( ( ( ( < < EO: N u l rc A ( rd f-j ( u ( X( ( ( X( lro v ršj ( ( d j vo ršj ( ol X ( X ( X ( < < gd u odgovrjuć o 9 FUNDAENANE ARIE HOOGENOG SISEA DIFERENIJANIH JEDNAČINA POREBAN I DOVOJAN USOV OPŠE REŠENJE SISEA IZRAŽENO PREKO FUNDAENANE ARIE DEF: rc Φ( rd v fudl rc A ( X ( o o o u olo rc Φ( d lro v ršj EO: N j rc Φ( ršj rč dfrcjl jdč d Φ A ( Φ u l rc A ( rd d ( d j Φ( fudl rc o o o j: d Φ( < < EO: N u l rc A ( rd ( Ao j Φ( fudl rc ( P j rovolj o gulr rc rd d j ψ ( Φ( P fudl rc ( 3 NEHOOGENI SISEI OPŠE REŠENJE NEHOOGENOG SISEA N j A ( X B ( d ( vor hoogog lrh dfrcjlh jdč Su ( rdružujo hoog : A ( X ( EO: Provo d u d l rc A ( vor B( rd ( N u X ( X ( lro v ršj hoogog ( j Y ( jdo rulro ršj hoogog ( d j vo ršj ( ol: X ( X ( X ( Y ( gd u odgovrjuć o DOKAZ N j X ( rovoljo ršj hoogog ( ogu odrd o o d j: X ( X( Y ( X( O og j: d ( X ( X ( Y ( d dy d d d A ( X( A ( X ( AY ( ( B ( A (( X( X ( Y( B ( Dl X( X ( Y ( dovoljv oč ulov o ršj j ršj ( oj X ( N oovu or o jdvo ršj j: X ( X ( X ( Y ( < < 3 EODA VARIJAIJE KONSANAA ZA NEHOOGENI SISE Oš ršj hoogog ož do odo vrjcj o N u ( X( ( ( X ( lro v ( ršj A ( X ( Poržo oš ršj d Jo j d j < < X ( ršj o o o j d d X X d d d d A ( ( X X B ( Ujuć u or d u X ( ( X d X d ršj hoogog dojo: d X B( j d d d d d ( Ko u X ( ( X d d d d ( lro v ršj hoogog dr lrh lgrh jdč j rlč od ul jdvo ršj d ( d v d d v ( F-j ( ( d odrđuju grcjo: ( v( d ( v( d ro f-j ( v od o oj jvljju r grcj Z o odrđ f-j ( j jo d j: X ( ( X( ( X( ( ( v ( d X ( v ( d X ( ršj Ko j ro: X ( X ( X ( X ( X( v( d X ( v( d o d j r ošg ršj hoogog rulrog ršj hoogog Rd dl o oš ršju hoogog U rčo olu: j Φ( fudl rc hoogog ( j o vor d j o šo j oo X ( Φ( oš ršj hoogog Poržo oš ršj hoogog A ( X B ( u olu d X ( Φ ( ( Pro ć X ( ršj hoogog o o o j d ( Φ ( ( A ( Φ ( ( B ( < < j d oro d dfrcrj rovod rc vor vž log forul o u lro lučju dφ( d( ( Φ ( A ( Φ ( ( B ( ( d d < < Ko j Φ( fudl rc ( d ( ć Φ dφ A ( Φ ( ( j ( A ( Φ ( ( d d ( vod d( d ( B ( Φ j d( Φ ( B( odl ld d gd j ( Φ ( Bd ( o vor Oš ršj j o X ( Φ( Φ ( Bd ( Φ(

6 3 REŠAVANJE HOOGENOG SISEA SA KONSANNI KOEFIIJENIA KARAKERISIČNA JEDNAČINA I KARAKERISIČNE VREDNOSI SISEA JEDNOSRUKI REANI KORENI Rro ršvj lrh dfrcjlh jdč o ofcj ( (* gd u j ( j o ( f-j rd rvlu ( Ršvj hoogog vod ršvj odgovrjućg hoogog : (** D o odrdl oš ršj (** dovoljo j ć lro vh ršj ovog Poržo ršj u olu: A λ A λ gd u A A λ λ λ o d j: λa λa So u (** dojo: ol rćvj λ A ( A A λ λ λ A ( A A A λ λ odl λ dojo hoog lrh lgrh jdč o A A : ( λ A A A ( λ A (*** Iruju o rvjl ršj ovog S (*** rvjl ršj o o o j jgov dr jd ul j λ λ (**** Jdč (**** v rrč jdč (** Rvoj vd dr doj olo -og o λ jdč (**** ršj λ λ oj vju rrč vrdo (** Krrč jdč ož u olu: d( A λi gd j A rc I j jdč rc rd j A I Roro lučj d u or rrč jdč jdoru rl d vo rg λ rc jd P λ vo ož dov u vrougo ol (r ro Guov od jdo loodo vh roljvh Olžo A A o ršju odgovr ršj ( λ A A A ( λ A jdo rvjlo ršj A λ A Ko vdo rrj vž vo j č dojo ršj (** oj vor ožo : A X A λ A X A λ λ S oro učju rovu d u λ λ đuoo rlč ršj X X u lro v rvlu ( Fudl rc (** j d : oš ršj vor λ λ A A Φ ( λ λ A A X ( Φ( gd j o 33 REŠAVANJE HOOGENOG SISEA SA KONSANNI KOEFIIJENIA KARAKERISIČNA JEDNAČINA I KARAKERISIČNE VREDNOSI SISEA JEDNOSRUKI KOPEKSNI KORENI U lučju d j λ ol or rrč jdč všruo r lčo o u lučju všruog rlog or odgovr u ršj ol: P λ P ( λ gd u ( P ( P ( olo r Kofcj ovh olo ođ odrđuju uvršvj u (* Sd doj lrh jdč ol ofcj oj lčo o u lučju všruh rlh or ož v ol r loodh r ( vh roljvh Rdvjj rlh grh dlov ovh ršj doj r rlh ršj oj ož o d u lro v; r -oruo ojugovo-olo ru or rrč jdč odgovr r lro vh ršj (* 34 REŠAVANJE HOOGENOG SISEA SA KONSANNI KOEFIIJENIA KARAKERISIČNA JEDNAČINA I KARAKERISIČNE VREDNOSI SISEA REANI VIŠESRUKI KORENI Roro d hoog o ofcj ( ( (* Uolo j X X ( X ( hoogog oš ršj rdružog (** oš ršj j ol: X X ( X( Y( gd j Y ( jdo rulro ršj (** S oro d rd o u o ofcj u lučjv do rulrog ršj Y ( ož doć odo odrđh ofcj N j: ( ( P(co β Q( β ( ( P (co β Q ( β gd u P ( P ( Q ( Q ( olo q q rvo N j r { q q} Prulro ršj rž u olu ( ( R (co Q ( β β ( ( R(co β Q( β gd u R ( ( R Q ( Q ( olo r odrđ ofcj j l ul (o ± β j or rrč jdč l j jdo všruo or ± β (o ± β j or rrč jdč Nodrđ ofcj odrđuju ulov d Y ( rdvlj ršj (* od odrđh ofcj ož r u lučju d u f-j ( ( rov f-j vdog ol 35 ODREĐIVANJE FUNDAENANE ARIE POOĆU ARIČNOG EKSPONENA N j d lr hoog o ofcj AX d ( Požo d j: Φ ( fudl rc Z o j o dfcj rčog o d A A A A o rc Φ ( dovoljv rču d dfrcjlu jdču A dφ A Φ Ko j o og d A A d Φ ( fudl rc ( Oš ršj ( do j r o : A X ( gd j o vor Ršj Košjvog rol AX d X ( X ož ođ ooću rčog o Ko j Φ ( A X ( ( X fudl rc ržo ršj j A A Ko j ( A A A A A( A ( X ( X ršj Košjvog rol do j : 36 SABINOS REŠENJA SISEA INEARNIH JEDNAČINA S KONSANNI KOEFIIJENIA DEF: N j ( ( oo ršj ( ( (* oj dovoljv oč ulov ( ( Do ršj j lo u lu juov o o o vo ε > odgovr > o d < ld ( ( < ε v gd j ( ( oo ršj (* oj dovoljv oč ulov ( ( N j d hoog : ( DEF: rvjlo ršj ( j lo u lu juov o o o vo ε > odgovr δ > o d ld gd j < δ ( < ε < do ( j oo ršj ( oj dovoljv oč ulov ( DEF: rvjlo ršj ( j o lo o o o j lo o og ooj > o d < ld l ( EO: rvjlo ršj ( j o lo o o o v or rrč jdč: λ λ ( ju gv rl dlov EO: (Hurvcov rrju Sv or jdč λ λ λ ju gv rl dlov o o o j > > EO: Ao r jd or jdč ( ov rl do od rvjlo ršj j lo u lu juov

7 37 INEARNE HOOGENE PARIJANE JEDNAČINE OSNOVNE EOREE OPŠE REŠENJE N j d jdč P( P( (* rovo d u f-j P P df rdo dfrcjl -dooj ol D ro j P( ( D Ršj (* j u gd j rovolj o D o došl do drugh rvjlj ršj jdč rdružujo : d d P( P( (** EO: F-j ϕ ( rdo dfrcjl rlč od o ol D j ršj jdč (* o o o j ϕ ( rv grl (** DOKAZ Ko j P( ( D (** ož u olu: d P ( d P ( (*** Provo d j ϕ ( rv grl (** j (*** Ko j od ( D P P P P j P P P šo č d f-j ( ϕ dovoljv jdču (* Provo d d j f-j ϕ ( ršj jdč (* j d j ( D P P P Ko j P( dlj j: P P ( P P D odl ljučujo d j ϕ ( rv grl (** EO: N u ϕ ϕ rv grl (** j F rovolj rdo dfrcjl f-j roljvh d j f-j u F( ϕ ϕ ršj jdč (* DOKAZ N oovu rvl dfrcrj ložh f-j j: F F og j F F P P F F F P F P (**** ϕ ϕ F P P F P P Ko u ϕ ϕ P P rv grl (** d j (**** ld d j P P j d f-j u F( ϕ ϕ dovoljv jdču (* Flj f-j u F( ϕ ϕ v oš ršj lr hoog jdč (* 38 PROBE S POČENI USOVO ZA INEARNU HOOGENU JEDNAČINU N j d lr hoog rcjl jdč: P( P( ( u f-j P P rdo dfrcjl ol D j r P( ( D Provo d ( D Košjv rol l rol oč ulovo jdču ( j ldć: ć oo ršj jdč ( oj dovoljv ulov u ( ϕ( ( gd j ϕ d rdo dfrcjl f-j Pro ( vž v v d ( D Poćo d od vd rov o jdč ( Košjv rol ( ršj S oro rov d d rvh grl P( P( dfh vh u ool č ( N u: ϕ ( ( v rv grl Z ϕ ( ( ϕ dojo : ( ϕ ( ( N j: λ λ ršj ( Roro ložu f-ju: u ϕλ [ ( ϕ( ϕ ( λ ( ϕ ( ϕ ( ] ršj ( o og j ( ( j u ( ϕ( j ( do ršj ovljog Košjvog rol 39 KVAZIINEARNE PARIJANE JEDNAČINE SVOĐENJE NA HOOGENU JEDNAČINU EO: N j f-j v v( u rdo dfrcjl ol D j D F-j v ( u j ršj jdč P( u P( u P ( u ( o o o j f-j u ( lco d v ( u ršj jdč P( u P( u P ( u ( DOKAZ Nđo rvo rcj vod lco d f-j Ao j v ( u (* lco d f-j u ( (* j: j u (** v Provo d j v v( u ršj jdč ( j d j Dljj oldjg d P P P dojo vvl d P P P (*** N oovu (** (*** j jdo P P P šo č d f-j u d (* dovoljv jdču ( N j v F( ϕ ϕ oš ršj lr hoog jdč ( gd u ϕ ( u ϕ ( u v rv d d grl rdružog du d j P P P F( ϕ ( u ϕ ( u lco do oš ršj vlr jdč ( 4 PROBE SA POČENI USOVO ZA KVAZIINEARNU JEDNAČINU N j d vlr jdč P( u P( u P ( u ( u f-j P P rdo dfrcjl ol D j r P( u ( D Provo ( u D Košjv rol l rol oč ulovo jdču ( j ldć: ć oo ršj jdč ( oj dovoljv ulov u ( ϕ( ( gd j ϕ d rdo dfrcjl f-j ro ( vž v v d ( ϕ( D Požo d Košjv rol ršj S: d d du P P P u ool č ( u vh rvh grl ϕ ( u ϕ ( u Z dojo ϕ ( u ϕ( u ( oj og vo rvh grl ršj o u ; j λ( λ( u λ( ršj ( Roro f-ju u lco dfu λ ( ϕ ( u ϕ ( u ϕλ ( ( ϕ( u ϕ ( u λ ( ϕ ( u ϕ ( u ( ršj jdč P( u P( u P ( u od rovo d j u ool č ( u do ršj jdč ( Z ld d j v ( ulov ( j dovolj Zljučujo d j ( do ršj Košjvog rol u ϕ( 4 EEENARNE FUNKIJE KOPEKSNE PROENJIVE Ao j do rvlo oj vo D dodljuj odrđ ol roj w žo d j šo: D d ol f-j ol roljv w f( Provolju f-ju ol roljv ožo dl d ldć č: w u( v( Elr f-j ol roljv: ( Polo w P( dfš P( gd u ol roljv ( Rcol P( f-j w R( dfš R ( gd u P( Q ( Q ( olo (3 Eocjl f-j w (co dfš (4 rgoorj f-j w w co dfšu co (5 Ivr f-j f-j w očv v - or Ijuć u vdu d j ρ ϕ rg j: w rg rg co π π w (6 Ivr f-j ocjl f-j v logr f-j očv l (7 Oš f-j w gd ož ol roj dfš : (8 Ao j ol l roj ( oš ocjl f-j w dfš l ooću 4 GRANIČNE VREDNOSI I NEPREKIDNOS FUNKIJE KOPEKSNE PROENJIVE DEF: Broj w j grč vrdo f-j f ( u č o o o vo ε > ooj ( ε > o d vo D < ( ε f( w < ε DEF: Broj j grč vrdo f-j f ( u č o o o v ( č D oj ovrgr odgovrjuć vrdo f-j ( f ( ovrgr w DEF: F-j f ( j rd u č l f ( f( w D o o o j

8 43 IZVOD FUNKIJE KOPEKSNE PROENJIVE KOŠI RIANOVI USOVI POJA ANAIIČKE FUNKIJE DEF: F-j f ( j dfrcjl u č o o o ooj oč grč vrdo olč f ( f( d EO: N j f-j f ( u ( v ( dfrcjl u č d u č ( ooj rv rcjl vod f-j u ( v ( ro j: ( ( ; ( ( ; (Koš-Rov ulov EO: Ao u f-j u ( v ( dfrcjl u č ( u č ( u uj Koš-Rov ulov d j f-j f ( u ( v ( dfrcjl u č 44 INEGRAI FUNKIJE KOPEKSNE PROENJIVE DEFINIIJA I SVOJSVA DEF: Ao ooj grč vrdo u S d oj j v od č odl rv or č od grč vrdo v grl f-j f ( duž rv olžv f ( d l f ( d AV 45 KOŠIJEVA EOREA ZA JEDNOSRUKO I VIŠESRUKO POVEZANU OBAS Ol D ćo v jdoruo ovo o v ro vor rv oj rd ol D ož uljj dfor u ču ušj ol D U uroo ol D ćo v všruo ovo N grc ol D oj od jd l vš our Rććo d grc ol D ol u ovo ru o r o ol D oj lv EO: (Košjv or N j jdoruo ov ol D ogrč ouro j f-j f ( lč D d j f( d EO: N j všruo ov ol D ogrč olj ouro ur our N j f-j f ( lč D d j: f( d gd j grc ol D oj oj od our DOKAZ N u G G rv oj jju ouro ož o d j ol ogrč rvo vljo od rvh G G r ču v od rvh j o G ol dv u jdoruo ov P f( d Ko grl duž rvh G G rčuju o dv u u đuoo uro rov o oru o d j: f ( d f( d f( d f( d f( d 46 NEODREĐENI INEGRA FUNKIJE KOPEKSNE PROENJIVE I OSNOVNA SVOJSVA EO: Ao j f ( lč f-j jdoruo ovoj ol D o D d j f-j: F( f( d lč D F ( f( D Svu f-ju F( ooo F ( f( D vo rv f-j f-j f ( ož o d j u vh rvh f-j d f-j f ( d F( c c gd j F( rovolj rv f-j ol o Su vh rvh f-j d f-j f ( vo odrđ grl f-j f ( očvo f ( d 47 KOŠIJEVE FORUE ZA FUNKIJE KOPEKSNE PROENJIVE EO: N j f-j f ( lč jdoruo ovoj ol D N j D j G rovolj our oo č oj rd ol f( D d j: f ( π d EO: N j G jdoruo ov ol D ogrč ouro j vod ( f ( lč f-j D f-j d ooj v f ( D D j! f( ( f d EO: Ao j f-j π ( f ( rd jdoruo ovoj ol D o j f( d vu ouru G držu u D d G j f ( lč f-j D 48 REZIDUU FUNKIJE KOPEKSNE PROENJIVE N j olov gulr f-j f ( Rduu f-j f ( u č dfš forulo R[ f ( ] f ( d gd j rovolj π our oj rd ol u ojoj j f-j f ( lč oj u vojoj uuršjo o drugh gulr f-j f ( EO: N j jdoruo ov ol D ogrč ouro j f ( lč f-j D o u očo ogo gulrh č oj rdju D d j f ( d π R[ f( ] # # #DOKAZ 49 DEFINIIJA APASOVE RANSFORAIJE I DOVOJNI USOVI ZA POSOJANJE N j f ( f-j rl roljv lovo rforcjo doj f-j rdružuj f-j ol roljv F( o forul: df F( [ f(] f( d Provo d f ( dovoljv ldć ulov: ( f ( j df rvlu [ ] ( f ( jvš očo ogo rd rv vr vo očo odrvlu rvl [ (3 f ( j ocjlog rd r j ooj rl o ov o o d j v > f ( Pod vd rov lov rforcj f-j f ( ooj EO: N f-j f ( dovoljv ulov ( ( (3 d f( d (* ovrgr v oj j R > DOKAZ N j β j R I β Z > j f( f( ( (** Z < j ( ( ( l d l j ( d ovrgcj grl (* ovrgr N oovu (** odl ld EO: N f-j f ( dovoljv ulov (( (3 d j F( f( d lč f-j u ol R > 5 APASOVA RANSFORAIJA FUNKIJE f ( Eocjl f-j f ( rl roj Io d j F( d d ( l (l ( ( N j R I β j β Ko j β β β ( ( ( j Z (co o d F ( (l co β l β ( ( < j R > ć ( l β P j R > ( l co β F ( Z R vd grč vrdo ooj lov rforcj f-j j df 5 APASOVA RANSFORAIJA FUNKIJE f( f( co rgoorj f-j co rl roj Ko j ć F ( d ( d ( ( l ( ( l ( ( ( Ko j (co( β ( β ( (co( β ( β gd j R β I o d j ( l ( ; l Pr o R > R > dojo F ( Korć forulu co logo ouj d j R > F ( cod 5 APASOVA RANSFORAIJA FUNKIJE f ( S f-j N j I d Z o d j I d l (l Slčo o lor (co β β gd j R β I ljučujo d j l Dl R > I Z rjujuć rcjlu grcju ulovo R > I d d R > u d dv od l I l I I dojo jr j og (coβ β R > ujo l I d rur (! v j I I Dl R >! j F ( d

9 53 DEFINIIJA JEDINIČNE ODSKOČNE FUNKIJE f ( u( APASOVA RANSFORAIJA FUNKIJE f ( N j > Jdč odoč f-j < dfš U ( F( U ( d U ( d U( d d l Io d j (l odl R > dojo F( 54 OSOBINA INEARNOSI ZA APASOVU RANSFORAIJU DOKAZ N f( E( f ( E( [ ( ] ( R j f F > [ f ( ] F ( R > d j [ cf( cf(] cf( cf( R { } > DOKAZ S oro dfcju lov rforcj oou lro odrđh grl o d j R > { } [ cf( cf( ] cf [ ( ] cf [ ( ] ( ( cf cf Ov oo vž f-j oj u ocjlo ogrč 55 AKO JE { f( } / F( / R > AKO JE {F( } F( R > N f ( E ( j [ f( ] F( R > N j > d j [ f( ] F R> DOKAZ Korć u o d j [ f( ] f( d f( d F R( R > 56 AKO JE { F ( } F( R > DOKAZAI DA VAŽI { f( } F( R > N f ( E ( j [ f( ] F( R > d j [ f( ] F( R> gd j rovolj rl roj [ f(] f( d f( d ( F( R( R > DOKAZ 57 NEKA JE { f( } F( R > ADA JE { f( u( } F( R > GDE JE > A ( JE JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKIJA N f ( E( j [ f( ] F( R > d j [ f( U( ] F( R> gd j > U ( j jdč odoč f-j DOKAZ S oro dfcju jdč odoč f-j j [ f( U( ] f( U( d f( U( d f( U( d f( d odl orć u dojo [ ( ( ] ( ( f U f d f( d F( R > 58 OSOBINA IZVODA ZA APASOVU RANSFORAIJU Oo vod N f ( E( f ( E( j [ f( ] F( R > [ f ( ] G( R > d j G ( F ( f( R > j [ f (] [ f(] f( R > DOKAZ Korć rcjlu grcju ( f ( d du v o d j R > [ f (] f ( d f( f( d l f( [ f( ] [ f( ] f( jr j og f ( ujo l f( R > 59 OSOBINA INEGRAA ZA APASOVU RANSFORAIJU Oo grl N f ( E( j [ f( ] F( R > d j [ f( ] F( ( R > DOKAZ f d Dožo rvo d f ( d E ( Z og f ( ld d j f ( d f( d d ( Korć rcjlu grcju o d j f( d f( d d f( d f( d l f( d [ f( ] [ f( ] F( l ( d du f( d v R > f d jr og f ( d ld d j l f( d R > 6 DEFINIIJA KONVOUIJE KOUAIVNOS KONVOUIJE OSOBINA KONVOUIJE ZA APASOVU RANSFORAIJU Kovolucj f-j f ( f ( j f-j g( df df Korć u g( f f f ( f ( d f f f ( f ( d f ( f ( d dojo f( f( d f f DOKAZ Doćo d vž ldć oo ovolucj: f( E( f E ( ( j [ f( ] F( R [ f ( ] F ( R > > d j [ f f ] F( F (R > { } Požo rvo d j g( f f E( gd j { } Zog ( f( f o d j : g( f( f( d ( d ( lov rforcj g( df j R > Proo or grcj ( < < o d j R > [ g ( ] f( f( d f( f( d d odl o u uuršj grlu dojo ( [ ( ] ( g f f( d d f( f( d d f( d f( d F( F( R> 6 AKO JE { f( } F( R > DOKAZAI {f(} F(R > N j f ( E( j [ f( ] F( R > d j [ f ( ] F ( R > DOKAZ F-j F( f( d j lč u ol R > Dfrcrj d d F ( f( d f( d d d dojo f( d [ f(]r > odoo [ f( ] F( R > 6 DOKAZAI DA JE AKO {f( / } F( dr > JE {f( } F( R > N f( f ( E( E( j [ f( ] F( R > j f( G (R > d > G ( F( d R f( F( dr > DOKAZ Dfrcrj lč f-j G( f( d dojo f( G( d F( Igrcjo u grc od S do dolo do G( d F( d j S G ( GS ( F( d Prlo grcu d RS dojo G ( F( d j og ( f f( ( RS GS d d S S ( R S j l GS ( R S 63 INVERZNA APASOVA RANSFORAIJA JEDNOZNAČNOS N j F( d f-j ol roljv Ao ooj f-j rl roljv f ( o d j [ f( ] F( f-ju f ( vo vro lovo rforcjo f-j F( oro ou ( [ ( ] ož o d vr f F lov rforcj f-j F( ogu "ogo" rlov đu oo EO: Ao f ( E( ( [ ( ] g( E( o j f F d ooj rvl ( cd S j ( [ ( ] G F duž vć od ul o j f ( g( vo ( c d Poldc ov or j ldć: o f ( g( dovoljvju ulov or u o u rd f-j d j f( g( >

10 64 EGZISENIJA INVERZNE APASOVE RANSFORAIJE I EINOVA FORUA EO: (lov forul N f-j F( ol roljv dovoljv ldć ulov: ( F( j lč f-j u ol R > ( l F ( uforo o rg (3 vo > grl F( d ovrgr d j f-j F( R > lov rforcj f-j f ( ro j > f ( F( π d > EO: N f-j F( dovoljv ulov lov forul N j o og f-j F( lč R o u očo ogo olovh gulr j > π DOKAZ Porjo ouru rdju d F( d R[ F( ] R oj oj od olurug R odč duž R rvoj R Očo olurug R Io d j: R R F( d F( d F( d R R dovoljo vlo v gulr f-j F( (oj u ovro gulr f-j F( l uur our R Sog j F( π R[ F( ] Pouj d j od R vd rov > l F( d R Prlo grcu d R dojo π F( d R[ F( ] 65 NAAŽENJE {P( / Q( } Nlžj vr lov rforcj olč R Z R P( N j Q ( P( F ( gd u P( Q ( olo ol Q ( roljv rl ofcj olo Q ( j vć od olo P( Svo všruo oru jdč Q ( odgovr o r ol A A A ( ( ( gd j všruo or Svo ru jdoruh ojugovo-olh or β β jdč A B Q ( odgovr o jd r ol ( β Svo ru všruh ojugovo olh or β β jdč Q ( odgovr o r ol A B A B A B ( β (( β (( β gd j všruo or β j or β Nlžj vr rforcj vod oovu lro lov rforcj lžj vr rforcj A A A B olč ol ( ( β A B Ivr lov rforcj ovh (( β r uv ož ć dro l lovh rforcj 66 NAAŽENJE {F( G( } Nlžj vr lov rforcj rovod F( ( ( F ( F ( N j F F ro j oo d j [ F( ] f( [ F( F( ] f( f( d [ F( ] f( U o lučju j 67 PRIENA APASOVE RANSFORAIJE NA DIFERENIJANE JEDNAČINE N j d Košjv rol f( ( ( ( ( ( Provo d ( ( f-j f ( ocjl rd r ož o d d ršj Košjvog rol ( ođ ocjl rd r Pro lov rforcj lvu du ru dfrcjl jdč dojo lgru jdču: ( X ( ( ( ( X ( ( 3 ( ( X( X( F( X( [(] gd j F( [ f(] Ršvj o X( dojo F( P( X( Q ( P( ( ( (* gd j Q ( Pro vr lov rforcj (* dojo F( P( ( Q ( 68 PRIENA APASOVE RANSFORAIJE NA SISEE DIFERENIJANIH JEDNAČINA Pro lov rforcj vu od jdč doj lrh lgrh jdč o rforcj oh f-j Ršvj ovog lžj odgovrjućh vrh rforcj doj ršj ( Hoog lr dfrcjlh jdč rvog rd: j d Košjv rol AX X( X gd j d X d A X Pro lov rforcj d dojo H( X A( gd j [ ] H( [ X(] [ ] Dlj j ( I A H( X gd j I jdč rc rd Odvd j ( ( Pro vr lov H I A X rforcj X ( [( I A X] [( I A ] X dojo ; ro vr rforcj rc ( I A doj lžj vr rforcj v j oo Pro d j [( I A ] fudl rc dog ( hoog lr dfrcjlh jdč rvog rd: j d Košjv rol A B( d X( lučju X gd u X A X d o u hoogo ( ( Io d j ( H( X AH( B( gd j H ( [ X(] B( [ B(] Odvd j H ( ( I A ( B( X j X ( [( I A ( B ( X] 69 PROSORI ( I POJA ( OKOINE POJA INEARNOG FUNKIONAA I PRVE VARIJAIJE FUNKIONAA ϕ Vrjco rču j ol u ojoj rr rol odrđvj ru fucol DEF: Z fucol J[ ( ] žo d j lr o j J[ ( β ( ] J[ ( ] βj[ ( ] β DEF: Ao rršj fucol ož u olu J J [ ( δ ] J [ ( ] [ ( δ] β( ( δ ρ( δ gd j lr fucol u odou δ β( ( δ d ρ( δ d glv lr do rršj fucol [ ( δ ] očv δ J v rvo vrjcjo fucol J[ ( ] 7 OSNOVNI PROBE VARIJAIONOG RAČUNA I OJEROVA JEDNAČINA Fucol J[ ( ] F[ ( ( ] d ( ( ( odrđvj ru fucol ( v oov rolo vrjcoog rču Provćo d j grd F dv u dfrcjl f-j o rguu v vrdo ( u oj ol U R d j f-j ( rdo dfrcjl odču [ ] Su v douvh f-j dfćo: ( ( [ ] ( Provćo d ( ( ooj douv f-j ( oju fucol ( dož ru vrdo Roro lu f-j * ( ( η( gd j R η ( vrjcj rgu ( D f-j * ( rdl uu douvh f-j R ooć f-j η ( or ( dovoljv ulov η( [ ] η( η( ( U o lučju f-j * ( jr ( [ ] * ( ( ( * * ( ( Z fr vrdo ( fucol * J ( ć rdvlj f-ju rlog rr : * * * Φ J( F( d F( η η d ( Ko o rovc grl * J ( dož ru * vrdo f-ju ( o ć f-j Φ ( ru vrdo j Φ ( [ F( ] η F ( η] d ( vu f-ju η ( oj dovoljv ulov ( Ao grl ( šo u olu [ F F ] d F η d F d ro rcjlu grcju od drugog grl d d F η d F η η F d η F d d d jr j η( η( olu d ulov ( ož u d F F ηd d ( gržov Φ ( ( l: N f-j f ( [ ] f-j η( ( r o η( η( Ao j vu vu f-ju η ( uj ulov f( η ( d d j f( [ ] DOKAZ Ao rov d j u oj č c < c< f( c r f( c > d oro rdo f-j f ( ooj rvl ( β : < < c< β < u o j f( > [ β ] Ao d orušo douvu f-ju η ( : β η( d j ( ( β < < β β f( η( d f( η( d šo j u rovrčo > rovo l odl ld d j [ ] f( Ao do l r r ( doj d r ( vž o u lučju df d j F F F F F d Ovj r rdvlj ohod ulov ru fucol ( u olu dfrcjl jdč drugog rd u odou rgu ( v Ojlrovo jdčo

11 7 OJEROVA JEDNAČINA KADA JE F F( S oro o d j u ovo lučju Ojlrov jdč oč ol odgovrjuć F ( j drž grcou ou u oš lučju or dovoljv grč ulov ( ( Pr o ršj rrog vrjcoog rol u oš lučju ooj; rl ooj o u cjl lučjv d rv F ( rol ro grč č ( ( F 7 OJEROVA JEDNAČINA KADA JE F F( U ovo lučju j F Ojlrov jdč vod df jdču d čj j rv grl F Ršvš ovu jdču rvog rd (oj drž o dojo d j f( odl doj u vdrur 73 OJEROVA JEDNAČINA KADA JE F F( Odgovrjuć Ojlrov jdč ol: df F F F d F Ao doj r oožo doćo ou vod df ( F d j df ( F F F F F F d j df ( F ( F F d F Pr o rv grl j F F šo rdvlj dfrcjlu jdču rvog rd oj drž oj ož rš o l uvođj rr jr 74 OJEROVA JEDNAČINA KADA JE F F( Ojlrov df ( jdč ol j f d šo č d j l l F Ao j d j - orodc rvh lj oju odrđuju dv rr Ao j rlh or orodc rvh F ( d o jd l vš r oj odgovr jdorr r oj drž u orodc rvh dv rr Dl u ovo lučju rl rdvljju v oguć rv 75 OJEROVA JEDNAČINA KADA JE F A ( B ( Odgovrjuć Ojlrov jdč ol db( A B d A B B B šo rdvlj oču dfrcjlu jdču u oš lučju or dovoljv ovlj grč ulov šo č d rr vrjco rol ršj u l rdh f-j u oš lučju Ao j A B d j Ad Bd ou dfrcjl grl d J ( A( B( d ( Ad Bd d v od rv ojoj vrš grcj j vrdo fucol J j o v douv rv odgovrjuć vrjco rol oj rd l