Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

## Transcript

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 (G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G

12 u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O 9 A (G, {v}, {v}) B (G,, {v}) C (G, {v}, ) G C[, 2] B0 B4 B1, B2 B3 F 1, F 2 F 4

13

14 V V (V, E) G G V (G) E(G) V (G) E(G) {x, y} E(G) x y {x, y} G V (G) u, v {u, v} E(G) k 1 P k = ( {u 1,..., u k+1 }, { {u1, u 2 },..., {u k, u k+1 } }) u 1 u k+1 P k k 1 C k = ( {u 1,..., u k }, { {u 1, u 2 },..., {u k 1, u k }, {u k, u 1 } } k 1 K k = ( {u 1,..., u k }, { {u i, u j } 1 i < j k }) A, B k l K k,l = (A B, { {u, v} u A v B } ) S V (G) S G[S] = ( S, { {u, v} E(G) {u, v} S })

15 F E(G) F G[F ] = ( e F e, F ) G G G e E(G) G G u, v V (G) G {u, v} E(G) u G N G (u) = {e E(G) u e} e \ {u} u G G (u) = N G (u) G δ(g) = { G (u) u V (G)} G (G) = { G (u) u V (G)} d d d u, v V (G) G G u, v V 1,..., V k G[V i ] 1 i k G u, v V (G) G G G Γ G R 2 Γ G G F e F e = V (G) F G L 1 = l 1 1,..., l 1 p L 2 = l 2 1,..., l 2 q L 1 L 2 l 1 1,..., l 1 p, l 2 1,..., l 2 q L 1 L 2 n 2 n Σ Σ Σ G

16 L L w Σ w L L Σ G G Σ G L G I L L L G G I G k k G G w Σ w

17 G R 3 R 3 Γ R 3 Π = {x i 1 i k} Γ y : [0, ) Γ t(y) [0, ) i {1, 2,, k} y(t(y)) = x i (t(y)) y(t) t Γ x i (t) i k t(y) k Γ Γ G = (V, E)

18 u v p(v) v r(v) v s(u, v) {u, v} u v S e E(G) e e S S E(S, i) i S i S E(S, i)

19 E(S, 0) = i 1 E i i Q i = E(S, i 1) E i E(S, i) Q i E(G)\Q i S E(S, i) = E(G) i G i S E i i S E(S, i) Q i i i i 1 i j E(S, i) E(S, j) S G (S) G S (G) = { G (S) S G} E(G) = (G) = 0 G (T ) = 2 T e

20 G (G) T (T ) = 3 (T ) (T ) K 3,3 (K 3,3 ) = 4 (K 3,3 ) = 5 G (G) (H) = 2 (G) = 3 H G G (G) (G) (G) (G) G = (V, E) G e G {x, y} E {x, u xy } {u xy, y} u xy V (G) = (G e ) G n G e E (G) = (G n )

21 G (G) 1 (G) (G) + 1 (G) (G) (G) + 1 (G) (G) (G) + 1 k k + 1 k k + 1 (G) (G) (G) (G)

22

23 d

24 k k k G G (G) k > 1 G (G) 3 u u G (G) T (T ) = 2

25 G (G) G G (G) = (G) G (G) = 4 G (G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 G n s {1,..., n 1} s (G) s n 1 (G) = (G) G 1 (G) = 3 G s (G) (G) s {1,..., n 1}

26 G (G) G G (G) = 4 G (G) k k G X V (G) v X k v X \ {v} X = {u V (H) H (u) = 6} 6 H 6 H G (G) + 1 = {k G k } H (H) = 7

27 G S i {1,..., S } G[E(S, i)] (G), (G) (G) (G), (G) (G) S G (G) = 2 (G) = 3 G

28 G (G) (G) S G = (V, E) i i i E(S, i 1) C E(S, i) = E(G) \ E(C) E(S, i) E(G) \ E(S, i) q G q q q (G) (G) G (G) = (G) C q = 0 0 (G) = (G)

29 G S G (S) = k S G (S ) k k G k (G) k {,,,,, }

30 G (A 0, Z 0 ),..., (A n, Z n ), A i E(G) Z i V (G) 0 i n A 0 = A n = E(G) A i Z i = ( e A i e) ( e E(G)\A i e) 0 i n Z i 0 i n Z i Z i 1 A i = A i 1 Z i Z i 1 A i e e E(G) \ A i 1 Z i Z i = (Z i 1 \ {u}) {v} u Z i 1 v V (G) \ Z i 1 {u, v} E(G) \ A i 1 u A i 1 A i = A i 1 {e} {u, v} v Z i = Z i 1 A i = A i 1 {e} e E(G) \ A i 1 Z i 1

31 S = (A 0, Z 0 ),..., (A n, Z n ) G G (S) = { Z i 0 i n} (G) = { G (S) S G} G X 0,..., X n E(G) X 0 = X n = E(G) X i \ X i i n X i A i G X E(G) G (X) = ( e) ( e X e E(G)\X X 0,..., X n G k G (X i ) k 0 i n G (G) k G k S = (A 0, Z 0 ),..., (A n, Z n ) G G (S) k G (A i ) Z i 0 i k G (A i ) k A 0,..., A n k G k k X = X 0,..., X n G k 0 i n ( G(X i ) + 1) 0 i n X i e)

32 X G (X i 1 X i ) G (X i ) 1 i n X = X 0, X 1,..., X i 1, X i 1 X i, X i+1,..., X n, k X, Y G (X Y ) + G (X Y G (X) + G (Y ) G (X i 1 X i ) G (X i 1 ) k X = X 0, X 1,..., X i 1, X i 1 X i, X i+1,..., X n, k X i 1 X i X i 1 X i 1 = X i X i 1 X i X i \ X i 1 = 1 X G δ(g) 2 X 0,..., X n G k X i \ X i 1 = {e i } 1 i n S A i = A i 1 {e i } 1 i n S j {1,..., n} A j = {e 1,..., e j 1 } A i = A i 1 {e i } 1 i j Z i k 0 i j G (X j 1 ) = Z j G (X j 1 ) e j X j \ X j 1 X j 1 e j G (X j 1 ) e j G (X j 1 ) k Z j+1 = Z j e j A j+1 = A j e j e j e j G (X j 1 ) v e j v v G (X j ) u e j u G (X j 1 ) \ G (X j ) u E(G)\X j Z j+1 = (Z j \{u}) {v} A j+1 = A j e j u e j v k S (X i 1 X i ) \ X i 1 1 X i+1 \ (X i 1 X i ) 1 (X i 1 X i ) \ X i 2 1 X i \ (X i 1 X i ) 1

33 G G (G ) = (G) S G G k G k G k G k (G) (G) G G S α : {1,..., S } V (G) α(i) = G (E(S, i)) α α(i) α(j) + α(i) α(j) α(i) + α(j), S i S j < i

34 (G) (G), (G), (G), (G) (G) G (G) = (G) G {,,,,, } W i K i K i K j i = j K i K j i < j (W ) = 281 (W ) = 290 W

35 T (T ) = (T ) k 4 G (G) = 4k + 1 (G) = 4k + 2 G (G) = 4 (G) = 5

36

37 G (G) (G), {,,,, } G {,,,, } α (G) = (G) (G) α (G) = 1, 5 G

38 G G G G n α (G) = ( n) T (T ) (T ) 2 (T ) 2 T α (T ) < 2

39 {α (G) G n } = 2 n

40

41 G = (V, E) u V e = {x, y} E u xy V G G \ u = (V \ {u}, {{u 1, u 2 } E u 1, u 2 u}) u G \ e = (V, E \ {e}) e G/e = (V \ {x, y} {u x,y }, {{u 1, u 2 } E u 1, u 2 {x, y}} {{u xy, v} v N G (x) N G (y) \ {x, y}}) e u xy H G H G G H G G G H G G G H G

42 ,, G G H G H G C = {K 2,i i = 1, 2,...} k 2,i K 2,j k 2,i K 2,j i j k 2,i K 2,j i, j K 2,1 K 2,2 K 2,3 C = {K 2,i i = 1, 2,...} C C {,, } H G G C H C C C G 1, G 2,... C G i, G j G i G j C C (C) G \ C (C) C T (T ) = {K 3 } {,, } P (P) = {K 5, K 3,3 } C G \ C (C) C C G \ C

43 (C) G C O (C) O G (C) C C[, k] = {G G (G) k} {,,,,,,,, } k k 1 C[, k], C[, k] C[, k] C[, k], C[, k] C[, k] k 1, (C[, 1]) ({u, v}, {{u, v}}) (C[, 2]) = {K 3, T } T (C[, k]) (C[, k]) (C[, k]) k = 1, 2 (C[, 2]) K 3 T T

44 C (C[, 1]) = {K 3, K 1,3 } C[, 1] (C[, 1]) (C[, 1]) (C[, 1]) (C[, 1]) (C[, 1]) (C[, 1]) C (C) (C) (C) (C) (C[, 2]) (C[, 2])

45 (C[, 2]) (C[, 2]) (C[, 3]) (C[, 3]) (C[, 2])

46

47 f : G N n(g) m(g) n(g) = V (G) m(g) = E(G) (G) G (G) = { G (u) u V }

48 G G G = (V, E) X 1,..., X r V i=1,...,r X i = V {x, y} E i {1,..., r} {x, y} X i 1 i j k r X i X k X j G k X 1,..., X r { X i i = 1,..., r} = k 1 (G) = k { X i i = 1,..., r} P n e 1,..., e n X i = e i i = 1,..., n (P ) = 1 C u u u X i (C) = 1 G (G) = (G) + 1 H G H G

49 G P = X 1,..., X r k P i, j, k 1 i < j < k r X i, X j, X k X i X j X k k 1 k k 1 G (G) G (G) (G) (G) + 1 G u 1 u 3 u 6 u 2 u 5 u 4 {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G (G) = (G)

50 G P = X 1,..., X r P i {1,..., r} G[X 1 X i ] G (G) k k 1 G (G) 2 (G) + 1 G P k C 2k + 1 C 2k + 3 (G) (G) + 2 G S k G S 2k + 3 G (G) (G) 2 (G) + 3 X 1,..., X r G

51 G X i X i X i, X j i j = 1 X j X i X k X i X k X j X i G G = (V, E) G X 1,..., X r V T V (T ) = {1,..., r} i=1,...,r X i = V {x, y} E i {1,..., r} {x, y} X i i, j, k {1,..., r} j T i k X i X k X j G k ( X 1,..., X r, T ) k 1 (G) = k G (G) = (G) = 2 G (G) = (G) + 1 k k

52 u 2 u3 u 4 u 8 u 9 u 10 u 1 u 5 u 6 u 7 u 11 G u 1 u 2 u 3 u 3 u 4 u 5 u 4 u 5 u 6 u 4 u 6 u 7 u 4 u 6 u 8 u 8 u 9 u 9 u 10 u 11 u 9 u 10 u 2 u 4 u 5 u 6 u 8 u 1 u 3 u 4 u 4 u 3 u 5 u 6 u u 8 9 u 6 u 7 u 9 u 11 G G = (V, E) X 1,..., X r V G i=1,...,r X i = V {x, y} E x X F (y) y X F (x) F (u) = { i {1,..., r} u X i } G k X 1,..., X r k 1 (G) = k G = (V, E) V = n L = u 1,..., u n u L L L V G u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8, u 9, u 10 G 1 (G) = (G) + 1

53 u 8 u 10 u 9 u 7 u 5 u 6 u 1 u 2 u 3 u 4 G = (V, E) V = n L = u 1,..., u n (G, L) = { i j {u i, u j } E} G k L (G, L) = k (G) = k G = (V, E) G G G E G G G G (G) = { (G ) G G} (G) = 2 G (G) (G) G (G) = (G)

54 G G = (V, E) E = m L = e 1,..., e m e i L ( ) ( ) L (e i ) = e j e j 1 j i i<j m L (L) = { L (e) e E} G (G) = {(L) L } E = 1 (G) = 0 { u 1 } { u 2, u2 } { u 3, u3 } { u 4, u3 } { u 5, u5 } { u 6, u5 } { u 7, u7 } u 8, { u7 } { u 9, u9 } { u 10, u9 } u 2 G (G) (G) G (G) = (G) (G) (G) G P = {p 1,..., p r } G ΛG = (V (G) {p 1,..., p r}, E(G) {{p 1, p 1},..., {p r, p r}} {p 1,..., p r} V (G) = Λ 1 G = (V (G) \ P, {{u 1, u 2 } E u 1, u 2 P }) G (G) = (ΛG) (G) = (Λ 1 G) G (G) (G) (G) + 1

55 (G) = (G) + 1 (G) = (G) (G) (G) + 2 (G) = (G) (G) = (G) + 1 (G) (G) (G) (G) (G) + 1

56

57 k k G = (V, E) V k V V 1, V 2 { } {x, y} E x V 1, y V 2 k k k

58 k G (G) = (G)+1 k k k k k C G C k (G) k k T n (T ) O(n) k T T T (T ) O(n n)

59 k A (G) = k {,, } (T ) T A (T ), (T ) k T G n (G) 3 O(n) k C G H G H G O(n 3 ) n = V (G) C (C) O 1,..., O (C) G G C O i G O i (C) O(n 3 ) n G C C (C) C (C) C[, k] C[, k] C[, k] C O(n 3 )

60 G (G) 2 (G) 2 (G) 3 k G = (V, E) (G) k V (G) k C C k 1 k G k 1 (G) k G = (V, E) O( V + E ) 1 k k Π L Π Σ G N Σ (I, k) L Π I Π k I

61 k G k k k G k k (G) k k G n(g) k n(g) Π A O(f(k) p(n)) f p n Π F P T A : G N H G H G (H) (G) C[, k] = {G G (G) k} k N k G k k (G) k : G N k (C[, k]) g : N N g(k) = (C[, k]) G G

62 (C[, k]) g(k) (G) k O(g(k) n 3 ) k k l G = (V, E) P l (G) k (G) k O(2 p(k) n) p n = V G O(n 2 ) l k (k) (G) O(2 p(k) n 2 ) k 2 ko(1) n G = (V, E) (G) k (G) k (G) k k

63 O = {C i, i N} G G C, C O C C C C G G C[, 2]

64 B u C v B u v C u v G (G) = 2 (G, S, S ) G S S V (G) G = (G, S, S ) G G S

65 K 2,3 K + 2,3 K 4 O 1 S S S G S S S S (G, S, S ) S = {v 1,..., v S } S = {v 1,..., v S }. (G, S, S ) G u u E = {{v 1, u },..., {v S, u }} E = {{v 1, u },..., {v S, u }}. G S, S V (G) (S 1, S 2 ) G S (G, S, S )

66 O 2 O3 O 4 O 5 O 6 O 7 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 E(S, i) = E i E(S, i) E = i E(S, i) = E(G) \ E i (G, S 1, S 2 ) (S 1, S 2 ) G (G, S 1, S 2 ) (G, S 1, S 2 ) (G) = (G,, ) G (G) (G) G E E E(G) G (E, E ) G E = A 1,..., A r i {1,..., r 1} E A i E(G) \ E i {1,..., r 1} A i+1 \ A i 1 A 1 = E

67 O8 O 9 O 8, O 9 A r = E(G) \ E (E, E ) G i {1,..., r} G[A i ] (E, E ) G A 1 A r (E, E ) E G i {1,..., r 1} E i G (E, i) = G (A i ) + q i q i A i 2 A i \ A i 1 A i E G (E) = { G (E, i) i {1,..., r 1}} G S, S V (G) (G, S, S ) (E, E ) (G, S, S ) (G, S, S ) (E, E ) (G, S, S ) (E, E )

68 G (G, S, S ) = (G, S, S ) G = (G, S, S ) (S 1, S 2 ) S k S i {1,..., S } E i = E(S, i) \ E(S, i 1) L i E i i {1,..., S } i S e L i e L = L 1 L S E = A 0,..., A r E(G ) A 0 = A i = A i 1 {e i } e i i L A s = E s {1,..., S } A t = E t {1,..., S } E = A s,..., A t (E, E ) G E (E) S G (E ) j {0,..., E } i j A j \ A j 1 E ij h j A hj \ A hj 1 L ij E h j,..., j G (E, h j ) l {h j + 1,..., j} G (A l ) G (A hj ) q l = 0 G (E, h j ) k G (E ) k q hj q hj = 0 G (E, h j ) = G (A hj ) S G (A hj ) i j S S k G (E, h j ) k q hj = 1 i j S p(x) s(y, x) x x G (A hj ) G (A hj ) i j G (A hj ) + 1 k G (E, h j ) k S G (A hj ) = G (A hj 1) \ {y} (h j 1) G (A hj 1) G (A hj ) k 1 G (E, h j ) k G (E, E ) E = A 1,..., A r G (E) = k E

69 E (E, E ) E = A 1,..., A r k i {1,..., r 1} V (A i ) V (A i+1 ) A i E(G ) V (A i ) (E, E ) i V (A i ) V (A i+1 ) L = e 1,..., e n E(G ) \ A i A i j i A j = A j A i+1 = A i {e 1 } A i+2 = A i {e 1, e 2 },..., A i+n = A i {e 1,..., e n } j i + n A j = A j {e 1,..., e n } j = 1,..., n G (A i+j ) = G (A i) j i + n G (A j ) G (A j) k (S, S ) G S k S S p(u ) S s(u, vi ) 2 S S S 0 E(S, 2 S ) = A 1 u V = V (G ) \ S \ {u } l u {1,..., r} u V (A lu ) L = u 1,..., u V V i j l ui l uj i {1,..., V } u i e i A lui 1 \ A lui v i e i E v i G (A lui 1) u i u i G (A lui ) E = {e 1,..., e V } A j j {1,..., r} A j 1 E < A j E i {1,..., V } S i v i G (A lui ) S i p(u i ) s(v i, u i ) S i G (A lui 1) \ G (A lui ) S = S 0 S 1 S V E A j j = 1,..., l u1 S i {1,..., V 1} A j j {l ui,..., l ui+1 1} V (A lui ) A j j {l u V,..., r} V (A lu V )

70 A j j {1,..., r} G (A j ) G S mj m j (A E ) \ (A j 1 E ) A E A j A A 1 = E A j G (A j +1) G S mj +1 A j +1 G (A j +1) G (A j ) m j +1 = m j A j +1 {e mj +1 } = (A j +1 E ) \ (A j E ) v mj +1 G (A j ) v mj +1 G (A j +1) u mj +1 G (A j +1) G (A j +1) = G (A j ) {u mj +1 } S mj +1 p(u mj +1 ) v mj +1 G (A j +1) u mj +1 G (A j +1) G (A j +1) = G (A j ) v mj +1 G (A j +1) G (A j +1) = ( G (A j ) \ {v mj +1 }) {u mj +1 } S mj +1 s(v mj +1, u mj +1 ) V S (i) i S V S = V S (1),..., V S (r) i S j V S (i) = V (A luj ) i {1,..., S } G [V S (i)] i {1,..., 2 S } i 2 S + 1,..., r G [V S (i + 1)] (i + 1) S r(u) G [V S (i+1)] = G [V S (i)] r(u) u V S (i) v u G (A luj 1) \ G (A luj ) j {1,..., V } u A luj {u, v} A luj V S (i) = V (A luj ) p(u) S {u, v} v V S (i) p(u) G [V S (i+1)]

71 s(v j, u j ) j {1,..., V } G [V S (i + 1)] G [V S (i)] u j v V S (i) i v j v j G (A luj ) s(v j, u j ) v j u V S (i) = V (A luj ) v j G (A luj ) u A luj {v j, u} A luj (i + 1) S G [V S (i + 1)] S (S 1, S 2 ) S 0 v V S u u i {1,..., V 1} E(S, S 0 S i 1 + 1) = = E(S, S 0 S i 1 + S i ) = A lui+1 1 i = V E(S, S 0 S V ) = A r S S 2 S S = G (E, 1) k j > 2 S G k (j +1) p(u i ) i {i,..., V } G (A lui 1) G (A lui 1) < k p(u i ) k G (A lui 1) = k u i G (A lui ) = G (A lui 1) {u i } G (A lui ) = k + 1 u i G (A lui ) = G (A lui 1) G (E, l ui ) = G (A lui ) + 1 = k + 1 S k (G 1, S1, S1 ) (G 2, S2, S2 ) (G 1, S1, S1 ) (G 2, S2, S2 ) (G 1, S1, S1 ) r (G 2, S2, S2 ) ϕ : V (G 2 ) V (G 1 ) v V (G 1 ) G 2 [ϕ 1 (v)] {v, u} E(G 1 ) G 2 [ϕ 1 (v) ϕ 1 (u)] ϕ(s 2 ) = S 1

72 ϕ(s 2 ) = S 1 G 1, G 2 G 1 G 2 (G 1,, ) r (G 2,, ) G G G G/e e = {x, y} u e ϕ : V (G) V (G/e) ϕ(x) = ϕ(y) = u e ϕ(u) = u u V (G) V (G/e) ϕ (G/e,, ) r (G,, ) G 1, G 2 ϕ : V (G 2 ) V (G 1 ) (G 1,, ) r (G 2,, ) G 2 G 2 G 1 σ : V (G 2) V (G 1 ) x, y V (G 2) {x, y} E(G 2) {σ(x), σ(y)} E(G 1 ) v V (G 1 ) G 2 [ϕ 1 (v)] u v σ(u v ) = v σ {x, y} E(G 1 ) G 2 [ϕ 1 (v) ϕ 1 (u)] σ (G 1, S1, S1 ) (G 2, S2, S2 ) (G 1, S1, S1 ) r (G 2, S2, S2 ) (G 1, S1, S1 )) (G 2, S2, S2 )) E = A 1,..., A r (E2, E2 ) G 2 = (G 2, S2, S2 ) k (E1, E1 ) G 1 = (G 2, S2, S2 ) k ϕ (G 1, S1, S1 ) r(g 2, S2, S2 ) ψ ϕ ψ(u 2 ) = u 1 ψ(u 2 ) = u 1 ψ (G 1, S 1 {u 1 }, S 1 {u 1 }) r (G 2, S 2 {u 2 }, S 2 {u 2 }) f = {x, y} E(G 1 ) E f E(G 2 ) ψ 1 (x) ψ 1 (y) E f e f E = {e f f E(G 1 )} E = A 1 E,..., A r E G 1 i {1,..., r 1} G 1 (E, i) G 2 (E, i)

73 v v v v v A (G, {v}, {v}) (C[, 2]) D 1 = O 1 O 12 O 1 O 2,..., O 9 O 10 O 11 O 12 O 10 : A v O 11 : B v O 12 : C v D 1 (C[, 2]) D 1 (C[, 2]) D 1 (C[, 2])

74 v v v v v v v v v v v v B (G,, {v}) v v v v v v C (G, {v}, ) G C[, 2] G G

75 B C G C[, 2] B 4 B 0 B 0 B 1 B 3 B 4 x B 2 w c 1 c 2 B2 c 3 c 4 B 3 B 4 y F 1 F2 F 4 G C[, 2] B 0 B 4 B 1, B 2 B 3 F 1, F 2 F 4

76

77

78

79

80

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

### Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

### M p f(p, q) = (p + q) O(1)

l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

### u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

### 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,

E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

### !"#!\$% &' ( )*+*,% \$ &\$ -.&01#(2\$#3 4-\$ #35667

!"#!\$% & &' ( )*+*,% \$ -*(-\$ -.*/% \$- &\$ -.&01#(2\$#3 4-\$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

### (x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

### Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

### Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη

Διαβάστε περισσότερα

### apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a

n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.

Διαβάστε περισσότερα

### !!" #7 \$39 %" (07) ..,..,.. \$ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

1 00 3 !!" 344#7 \$39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) \$ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )

Διαβάστε περισσότερα

### Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

### ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)

Διαβάστε περισσότερα

### τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

### Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

### m i N 1 F i = j i F ij + F x

N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

### Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 3: Ψηφιακός χάρτης διαχείριση - 1 ο μέρος Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

### ! "# \$"%%&\$\$'(\$)*#'*#&+\$ ""\$&#! "#, &,\$-.\$! "\$-/+#0-, *# \$-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##\$+!%2&\$*2\$ 3 4 #' \$+#!#!%0 -/+ *&

! "# \$"%%&\$\$'(\$)*#'*#&+\$ ""\$&#! "#, &,\$-.\$! "\$-/+#0-, *# \$-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##\$+!%2&\$*2\$ 3 4 #' \$+#!#!%0 -/+ *& '*\$\$%!#*#&-!5!&,-/+#\$!&- &"/ "\$,&/#!6\$7,&78 "\$% &\$&'#-/+#!5*% 3 +!\$ 9 &\$*,2"%& #\$- 3 '*\$%#

Διαβάστε περισσότερα

### Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων. Κεφάλαιο 1. Κοκολάκης Γεώργιος

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων Κεφάλαιο Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

### X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u)

Κεφάλαιο 7 Οι εξισώσεις Codazzi και Gauss Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με μια βαθύτερη κατανόηση της καμπυλότητας Gauss. Θα ορίσουμε τα σύμβολα του Christoffel, τα οποία είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

### ". / / / !/!// /!!"/ /! / 1 "&

! "#\$ # % &! " '! ( \$# ( )* +# ),,- ". / / /!"!0"!/!// /!!"/ /! / 1 "& 023!4 /"&/! 52! 4!4"444 4 "& (( 52! "444444!&/ /! 4. (( 52 " "&"& 4/444!/ 66 "4 / # 52 "&"& 444 "&/ 04 &. # 52! / 7/8 /4 # 52! "9/

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

### ! " # \$ % # "& #! \$! !! % " # '! \$ % !! # #!!! ) " ***

! " # \$ % # # \$ # # "& # \$! \$! #!! % " # '! \$ % "!! \$ "!!! # ( #!!! ) #! " *** # .....5.......9..........9.....4.3....... 9.4. -...3.......36....36......4.3....45.3......46.3......5.3.3....59.3.4.......65

Διαβάστε περισσότερα

### A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

### Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

### (a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

### 4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ 207 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ:.............................. Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά

Διαβάστε περισσότερα

### Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

### ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

### (a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

### 959 Ν. 108/87. E.E., Παρ. I, Αρ. 2235,

E.E., Παρ. I, Αρ. 5, 1.6.87 959 Ν. 108/87 πρί Ειδικύσς Σμπληρματικής Πιστώσς (Ταμίν Αναπτύξς) Νόμς (Αρ. 9) τ 1987 κδίδται μ δημσίση στην πίσημη φημρίδα της Κπριακής Δημκρατίας σύμφνα μ τ Άρθρ 5 τ Σντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

### Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με

Διαβάστε περισσότερα

### Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Άσκηση 1 Να εφαρμόσετε τη διαδικασία της επίλυσης στα πιο κάτω προτασιακά σύνολα. (α) { P(a,f(f(x))) }, { P(y,z), P(y, f(f(z))) }, {P(x,b), Q(x)}, {P(x,b),Q(x)} Η Μέθοδος της Επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

### 2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο

1. Έστω E το εφαπτόμενο επίπεδο στο γράφημα της f(x, y) = x 2 + 3xy στο σημείο (1, 1, 4). Σε ποιά σημεία της η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση 5x 2 + 3y 2 + z 2 = 9 έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

### Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

### Συστήματα διατήρησης πίεσης

Περιεχόμενα Συστήματα διατήρησης πίεσης Σελίδα Δοχεία διαστολής για εφαρμογές θέρμανσης, ψύξης και ηλιακά συστήματα reflex NG και N 4 reflex S 5 reflex G 6 reflex G - Εξαρτήματα για δοχεία διαστολής 7

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ. - ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Μεγιστοποίηση εμβαδού με τον περιορισμό της περιμέτρου

Διαβάστε περισσότερα

### ΗΥ360 Αρχεία και Βάσεις εδοµένων ιδάσκων:. Πλεξουσάκης

ΗΥ360 Αρχεία και Βάσεις εδοµένων ιδάσκων:. Πλεξουσάκης ιαχείριση Συναλλαγών II Tree Protocols Τζικούλης Βασίλειος redits:γιάννης Μακρυδάκης 1 ιαχείριση Συναλλαγών Συναλλαγή = Αδιάσπαστη Λογική Οµάδα Ενεργειών

Διαβάστε περισσότερα

### Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

### Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

### Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

### A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards

A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards Table of Contents Introduction (Arabic)... 1 Introduction (English)...396 Part One: Texts of the Constitutions

Διαβάστε περισσότερα

### Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

### 9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m

R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x

Διαβάστε περισσότερα

### HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015

Διαβάστε περισσότερα

### Παραδοχές - Φορτία. Οροφοι : 3 Υπόγεια: 0. Επικάλυψη δαπέδων= 0.80[kN/m²], Τοίχοι σε δάπεδα= 0.00[KN/m²] γg=1.35, γq=1.50. I, α=0.160g=1.

Παράδειγμα εκτύπωσης FEDRA... Παραδοχές - Φορτία Ονομασία Εργου-Μελέτης Διεύθυνση έργου Μηχανικός Μελετητής Παράδειγμα εκτύπωσης FEDRA ΙΩΑΝΝΙΝΑ Μηχανικός Α... Γενικά Χαρακτηριστικά Κτιρίου Οροφοι Οροφοι

Διαβάστε περισσότερα

### Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης

Διαβάστε περισσότερα

### Προαπαιτούµενη γνώση. Οµοµορφισµοί οµάδων, σχέση ισοδυναµίας και µετα- ϑέσεις. Το Θεώρηµα Lagrange, καθώς και το 1ο Θεώρηµα ισοµορφισµών.

Κεφάλαιο 5 ράση οµάδων Σύνοψη. Μελετάται η (αριστερή) δράση οµάδας σε σύνολο. Εισάγεται η έννοια µετάθεση-αναπαράσταση µιας οµάδας. Αποδεικνύεται το Λήµµα τροχιάςσταθεροποιητή και το Λήµµα Burnside. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

### ! " #! \$ % & \$ ' ( % & # ) * +, - ) % \$!. /. \$! \$

[ ] # \$ %&\$'( %&#) *+,-) %\$./.\$ \$ .\$0)(0 1 \$( \$0 \$2 3. 45 6# 27 ) \$ # * (.8 %\$35 %\$'( 9)\$- %0)-\$) %& ( ),)-)) \$)# *) ) ) * \$ \$ \$ %\$&) 9 ) )-) %&:: *;\$ \$\$)-) \$( \$ 0,\$# #)\$.\$0#\$ \$8 \$8 \$8 \$8,:,:,:,: :: ::

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Το Πρόβλημα της Συνάντησης Πολλών Πρακτόρων

k 2 n k n k n n k n k k S S k 2 n O(n) O(k n) O(kn) O( n) ) O(k n) O(n) O( n) O(n) O( k) O(n k) O( k) O( n n n k n k > 2 Ω( n + k) k n n k k n n n/2 S = d 1,..., d k m > 1 j 1 m, j k k S S O(k n) k n k

Διαβάστε περισσότερα

### f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

### Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

### ΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

ΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Παππάς Χρήστος - Επίκουρος Καθηγητής Κβαντισμένα μεγέθη Ένα μέγεθος λέγεται κβαντισμένο όταν παίρνει ορισμένες μόνο διακριτές τιμές, δηλαδή το σύνολο των τιμών του δεν

Διαβάστε περισσότερα

### Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ-ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ REED SOLOMON

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ-ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Β' ΟΜΑΔΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΝΣΩΜΑΤΩΜΕΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΡΟΥΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέματα εξέτασης στο μάθημα «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ57) Ηράκλειο, 9 Μαΐου 009 Θέμα 1 ο (μονάδες.0) Έστω ο τανυστής προβολής P= 1 n n, όπου n

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΒΛΑΒΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΙΧΟΠΟΙΙΑΣ ΣΕ ΥΠΟ ΚΛΙΜΑΚΑ ΚΤΙΡΙΑ ΤΟΙΧΟΠΟΙΙΑΣ ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

### Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών

ΦΥΣ - Διαλ.08 Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών q q Το μεγάλο πλεονέκτημα του Lagrangian φορμαλισμού είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογισθούν οι δυνάμεις των δεσμών Ø Υπάρχουν περιπτώσεις που χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

### S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014

Διαβάστε περισσότερα

### 2742/ 207/ /07.10.1999 «&»

2742/ 207/ /07.10.1999 «&» 1,,,. 2 1. :.,,,..,..,,. 2., :.,....,, ,,..,,..,,,,,..,,,,,..,,,,,,..,,......,,. 3., 1. ' 3 1.., : 1. T,, 2., 3. 2 4. 5. 6. 7. 8. 9..,,,,,,,,, 1 14. 2190/1994 ( 28 ),,..,, 4.,,,,

Διαβάστε περισσότερα

### 103 Α Α Α % Α 22 22 15,777 15.53 33.5 11,839 11.67 25.9

%- & Α -Η Η Α- Ω Ο Α Ο Ω Ο Α Ο Α Ο Ο Ο Α ΧΟ Η Α Ο Η / ΧΟ Η Ο Α... Α..Α.... Ο Α... Α..Α.. 127 Α Α Α Α Α Α Α % Α 21 21 20,924 18.40 36.8 19,434 17.15 34.2 127 Α Α Α Α Α Α Α %.. α 2 2 18,978 16.57 33.0 17,638

Διαβάστε περισσότερα

### Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά

Διαβάστε περισσότερα

### Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

### Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

### Γενική Διεύθυνση Επικοινωνίας ΜΟΝΑΔΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΗΣ ΚΟΙΝΗΣ ΓΝΩΜΗΣ 15/09/2008 ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 2009

Γενική Διεύθυνση Επικοινωνίας ΜΟΝΑΔΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΗΣ ΚΟΙΝΗΣ ΓΝΩΜΗΣ 15/09/2008 ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 2009 Τακτικό Ευρωβαρόμετρο (EB 69) - Άνοιξη 2008 Πρώτα ανεπεξέργαστα αποτελέσματα: Ευρωπαϊκός μέσος όρος

Διαβάστε περισσότερα

### u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0

u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = 0 C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ + ϕ

Διαβάστε περισσότερα

### Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

### '( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( +

! " # \$ %&&' '( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( + %( ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((('& %('(,,

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΕΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. MyΤeachers.gr ΘΕΜΑΤΑ

MyΤeachers.gr ΟΝΟΜΑ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:./../.. ΒΑΘΜΟΣ : /100 ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 180 ΛΕΠΤΑ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ Α1. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΡOΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔHΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦEΡΟΝΤΟΣ - ΣΥΜΒΑΣΙΟYΧΟΙ ΥΠΑΛΛΗΛΟΙ ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ I - ΟΔΗΓΟΙ (ΑΝΔΡΕΣ/ΓΥΝΑΙΚΕΣ) EPSO/CAST/S/8/2014 I.

ΠΡOΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔHΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦEΡΟΝΤΟΣ - ΣΥΜΒΑΣΙΟYΧΟΙ ΥΠΑΛΛΗΛΟΙ ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ I - ΟΔΗΓΟΙ (ΑΝΔΡΕΣ/ΓΥΝΑΙΚΕΣ) EPSO/CAST/S/8/2014 I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατόπιν αιτήματος των θεσμικών οργάνων της Ευρωπαϊκής Ένωσης, η Ευρωπαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

### Α 9.543 9.720-177 -1,8% Α Α 3.327 5.644-2.317-41,1% Α 9.448 9.629-181 -1,9% Α Α 3.758 3.174 584 18,4% Page 1 of 8

Ο Ο Α Α Α Α 817 Α % Α 10.338 10.651-313 -2,9% Α Α Α 817 Α % Α 8.708 8.136 572 7,0% Α Α Α 817 Α % Α. Α. % 8.981 8.651 330 3,8% Α Α Α 817 Α % Α. Α. % 10.078 10.430-352 -3,4% Α Α Α 817 Α % Α. Α.. 9.288 Α

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΠΟΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ. της 6ης Νοεμβρίου 2006

18.11.2006 EL Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 320/53 ΑΠΟΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της 6ης Νοεμβρίου 2006 για την κατάρτιση των καταλόγων τρίτων χωρών και εδαφών από τα οποία επιτρέπονται οι εισαγωγές

Διαβάστε περισσότερα

### ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων

Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων 05-10-1 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; ( μον.) ii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

### 3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)

Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 1ης ΙΟΥΛΙΟΥ 1994 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II

Ν. 55()/94 ΠΑΑΤΑ ΠΩΤ ΤΣ ΕΠΣΣ ΕΕΔΑΣ ΤΣ ΔΚΑΤΑΣ Α. 2889 της 1ης ΥΛΥ 1994 ΝΘΕΣΑ ΕΣ II πεί Συμπλημτκύ Πϋπλγμύ Νόμς (Α. 19) τυ 1994 εκδίδετ με δημίευη τη Επίημη Εφημείδ της Κυπκής Δημκτίς ύμφ με τ Άθ 52 τυ Συτάγμτς.

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Γενικά. 2. Πεδία Ορισµού

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Γενικά Συνάρτηση είνι µι διδικσί µε την οοί φτιάχνουµε διτετγµέν ζεύγη ριθµών της µορφής (x,y) σύµφων µε ένν συγκεκριµένο κνόν ου ονοµάζετι τύος της συνάρτησης y= f (x) Πράδειγµ: ίνετι η

Διαβάστε περισσότερα

### Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

### Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 222/5

18.8.2012 Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 222/5 ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΕ) αριθ. 751/2012 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της 16ης Αυγούστου 2012 για τη διόρθωση του κανονισμού (ΕΚ) αριθ. 1235/2008 για τον καθορισμό

Διαβάστε περισσότερα

### Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

### x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

### ! "#\$%&'!()'"" %*+,-.+* "(*/0(/*'1 %+%/&2(#+)" 3#(4 0+)(#)/+/" (*2#("5 3#(4 02"' "(/1#'" +) (4' '6+&/(#+) +. 42%&+71#%&+#1" 2)1 8')'(#0 1#\$+*%4#"\$"

!"#\$%&' "( )*"'"+*,&' -.%&/*,0!"#\$ %& '"\$ (& )*+,- (.//& /02/3.! "#\$%&'!()'"" %*+,-.+* "(*/0(/*' %+%/&2(#+)" 3#(4 0+)(#)/+/" (*2#("5 3#(4 02"' "(/#'" +) (4' '6+&/(#+) +. 42%&+7#%&+#" 2) 8')'(#0 #\$+*%4#"\$"

Διαβάστε περισσότερα