Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 (G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G

12 u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O 9 A (G, {v}, {v}) B (G,, {v}) C (G, {v}, ) G C[, 2] B0 B4 B1, B2 B3 F 1, F 2 F 4

13

14 V V (V, E) G G V (G) E(G) V (G) E(G) {x, y} E(G) x y {x, y} G V (G) u, v {u, v} E(G) k 1 P k = ( {u 1,..., u k+1 }, { {u1, u 2 },..., {u k, u k+1 } }) u 1 u k+1 P k k 1 C k = ( {u 1,..., u k }, { {u 1, u 2 },..., {u k 1, u k }, {u k, u 1 } } k 1 K k = ( {u 1,..., u k }, { {u i, u j } 1 i < j k }) A, B k l K k,l = (A B, { {u, v} u A v B } ) S V (G) S G[S] = ( S, { {u, v} E(G) {u, v} S })

15 F E(G) F G[F ] = ( e F e, F ) G G G e E(G) G G u, v V (G) G {u, v} E(G) u G N G (u) = {e E(G) u e} e \ {u} u G G (u) = N G (u) G δ(g) = { G (u) u V (G)} G (G) = { G (u) u V (G)} d d d u, v V (G) G G u, v V 1,..., V k G[V i ] 1 i k G u, v V (G) G G G Γ G R 2 Γ G G F e F e = V (G) F G L 1 = l 1 1,..., l 1 p L 2 = l 2 1,..., l 2 q L 1 L 2 l 1 1,..., l 1 p, l 2 1,..., l 2 q L 1 L 2 n 2 n Σ Σ Σ G

16 L L w Σ w L L Σ G G Σ G L G I L L L G G I G k k G G w Σ w

17 G R 3 R 3 Γ R 3 Π = {x i 1 i k} Γ y : [0, ) Γ t(y) [0, ) i {1, 2,, k} y(t(y)) = x i (t(y)) y(t) t Γ x i (t) i k t(y) k Γ Γ G = (V, E)

18 u v p(v) v r(v) v s(u, v) {u, v} u v S e E(G) e e S S E(S, i) i S i S E(S, i)

19 E(S, 0) = i 1 E i i Q i = E(S, i 1) E i E(S, i) Q i E(G)\Q i S E(S, i) = E(G) i G i S E i i S E(S, i) Q i i i i 1 i j E(S, i) E(S, j) S G (S) G S (G) = { G (S) S G} E(G) = (G) = 0 G (T ) = 2 T e

20 G (G) T (T ) = 3 (T ) (T ) K 3,3 (K 3,3 ) = 4 (K 3,3 ) = 5 G (G) (H) = 2 (G) = 3 H G G (G) (G) (G) (G) G = (V, E) G e G {x, y} E {x, u xy } {u xy, y} u xy V (G) = (G e ) G n G e E (G) = (G n )

21 G (G) 1 (G) (G) + 1 (G) (G) (G) + 1 (G) (G) (G) + 1 k k + 1 k k + 1 (G) (G) (G) (G)

22

23 d

24 k k k G G (G) k > 1 G (G) 3 u u G (G) T (T ) = 2

25 G (G) G G (G) = (G) G (G) = 4 G (G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 G n s {1,..., n 1} s (G) s n 1 (G) = (G) G 1 (G) = 3 G s (G) (G) s {1,..., n 1}

26 G (G) G G (G) = 4 G (G) k k G X V (G) v X k v X \ {v} X = {u V (H) H (u) = 6} 6 H 6 H G (G) + 1 = {k G k } H (H) = 7

27 G S i {1,..., S } G[E(S, i)] (G), (G) (G) (G), (G) (G) S G (G) = 2 (G) = 3 G

28 G (G) (G) S G = (V, E) i i i E(S, i 1) C E(S, i) = E(G) \ E(C) E(S, i) E(G) \ E(S, i) q G q q q (G) (G) G (G) = (G) C q = 0 0 (G) = (G)

29 G S G (S) = k S G (S ) k k G k (G) k {,,,,, }

30 G (A 0, Z 0 ),..., (A n, Z n ), A i E(G) Z i V (G) 0 i n A 0 = A n = E(G) A i Z i = ( e A i e) ( e E(G)\A i e) 0 i n Z i 0 i n Z i Z i 1 A i = A i 1 Z i Z i 1 A i e e E(G) \ A i 1 Z i Z i = (Z i 1 \ {u}) {v} u Z i 1 v V (G) \ Z i 1 {u, v} E(G) \ A i 1 u A i 1 A i = A i 1 {e} {u, v} v Z i = Z i 1 A i = A i 1 {e} e E(G) \ A i 1 Z i 1

31 S = (A 0, Z 0 ),..., (A n, Z n ) G G (S) = { Z i 0 i n} (G) = { G (S) S G} G X 0,..., X n E(G) X 0 = X n = E(G) X i \ X i i n X i A i G X E(G) G (X) = ( e) ( e X e E(G)\X X 0,..., X n G k G (X i ) k 0 i n G (G) k G k S = (A 0, Z 0 ),..., (A n, Z n ) G G (S) k G (A i ) Z i 0 i k G (A i ) k A 0,..., A n k G k k X = X 0,..., X n G k 0 i n ( G(X i ) + 1) 0 i n X i e)

32 X G (X i 1 X i ) G (X i ) 1 i n X = X 0, X 1,..., X i 1, X i 1 X i, X i+1,..., X n, k X, Y G (X Y ) + G (X Y G (X) + G (Y ) G (X i 1 X i ) G (X i 1 ) k X = X 0, X 1,..., X i 1, X i 1 X i, X i+1,..., X n, k X i 1 X i X i 1 X i 1 = X i X i 1 X i X i \ X i 1 = 1 X G δ(g) 2 X 0,..., X n G k X i \ X i 1 = {e i } 1 i n S A i = A i 1 {e i } 1 i n S j {1,..., n} A j = {e 1,..., e j 1 } A i = A i 1 {e i } 1 i j Z i k 0 i j G (X j 1 ) = Z j G (X j 1 ) e j X j \ X j 1 X j 1 e j G (X j 1 ) e j G (X j 1 ) k Z j+1 = Z j e j A j+1 = A j e j e j e j G (X j 1 ) v e j v v G (X j ) u e j u G (X j 1 ) \ G (X j ) u E(G)\X j Z j+1 = (Z j \{u}) {v} A j+1 = A j e j u e j v k S (X i 1 X i ) \ X i 1 1 X i+1 \ (X i 1 X i ) 1 (X i 1 X i ) \ X i 2 1 X i \ (X i 1 X i ) 1

33 G G (G ) = (G) S G G k G k G k G k (G) (G) G G S α : {1,..., S } V (G) α(i) = G (E(S, i)) α α(i) α(j) + α(i) α(j) α(i) + α(j), S i S j < i

34 (G) (G), (G), (G), (G) (G) G (G) = (G) G {,,,,, } W i K i K i K j i = j K i K j i < j (W ) = 281 (W ) = 290 W

35 T (T ) = (T ) k 4 G (G) = 4k + 1 (G) = 4k + 2 G (G) = 4 (G) = 5

36

37 G (G) (G), {,,,, } G {,,,, } α (G) = (G) (G) α (G) = 1, 5 G

38 G G G G n α (G) = ( n) T (T ) (T ) 2 (T ) 2 T α (T ) < 2

39 {α (G) G n } = 2 n

40

41 G = (V, E) u V e = {x, y} E u xy V G G \ u = (V \ {u}, {{u 1, u 2 } E u 1, u 2 u}) u G \ e = (V, E \ {e}) e G/e = (V \ {x, y} {u x,y }, {{u 1, u 2 } E u 1, u 2 {x, y}} {{u xy, v} v N G (x) N G (y) \ {x, y}}) e u xy H G H G G H G G G H G G G H G

42 ,, G G H G H G C = {K 2,i i = 1, 2,...} k 2,i K 2,j k 2,i K 2,j i j k 2,i K 2,j i, j K 2,1 K 2,2 K 2,3 C = {K 2,i i = 1, 2,...} C C {,, } H G G C H C C C G 1, G 2,... C G i, G j G i G j C C (C) G \ C (C) C T (T ) = {K 3 } {,, } P (P) = {K 5, K 3,3 } C G \ C (C) C C G \ C

43 (C) G C O (C) O G (C) C C[, k] = {G G (G) k} {,,,,,,,, } k k 1 C[, k], C[, k] C[, k] C[, k], C[, k] C[, k] k 1, (C[, 1]) ({u, v}, {{u, v}}) (C[, 2]) = {K 3, T } T (C[, k]) (C[, k]) (C[, k]) k = 1, 2 (C[, 2]) K 3 T T

44 C (C[, 1]) = {K 3, K 1,3 } C[, 1] (C[, 1]) (C[, 1]) (C[, 1]) (C[, 1]) (C[, 1]) (C[, 1]) C (C) (C) (C) (C) (C[, 2]) (C[, 2])

45 (C[, 2]) (C[, 2]) (C[, 3]) (C[, 3]) (C[, 2])

46

47 f : G N n(g) m(g) n(g) = V (G) m(g) = E(G) (G) G (G) = { G (u) u V }

48 G G G = (V, E) X 1,..., X r V i=1,...,r X i = V {x, y} E i {1,..., r} {x, y} X i 1 i j k r X i X k X j G k X 1,..., X r { X i i = 1,..., r} = k 1 (G) = k { X i i = 1,..., r} P n e 1,..., e n X i = e i i = 1,..., n (P ) = 1 C u u u X i (C) = 1 G (G) = (G) + 1 H G H G

49 G P = X 1,..., X r k P i, j, k 1 i < j < k r X i, X j, X k X i X j X k k 1 k k 1 G (G) G (G) (G) (G) + 1 G u 1 u 3 u 6 u 2 u 5 u 4 {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G (G) = (G)

50 G P = X 1,..., X r P i {1,..., r} G[X 1 X i ] G (G) k k 1 G (G) 2 (G) + 1 G P k C 2k + 1 C 2k + 3 (G) (G) + 2 G S k G S 2k + 3 G (G) (G) 2 (G) + 3 X 1,..., X r G

51 G X i X i X i, X j i j = 1 X j X i X k X i X k X j X i G G = (V, E) G X 1,..., X r V T V (T ) = {1,..., r} i=1,...,r X i = V {x, y} E i {1,..., r} {x, y} X i i, j, k {1,..., r} j T i k X i X k X j G k ( X 1,..., X r, T ) k 1 (G) = k G (G) = (G) = 2 G (G) = (G) + 1 k k

52 u 2 u3 u 4 u 8 u 9 u 10 u 1 u 5 u 6 u 7 u 11 G u 1 u 2 u 3 u 3 u 4 u 5 u 4 u 5 u 6 u 4 u 6 u 7 u 4 u 6 u 8 u 8 u 9 u 9 u 10 u 11 u 9 u 10 u 2 u 4 u 5 u 6 u 8 u 1 u 3 u 4 u 4 u 3 u 5 u 6 u u 8 9 u 6 u 7 u 9 u 11 G G = (V, E) X 1,..., X r V G i=1,...,r X i = V {x, y} E x X F (y) y X F (x) F (u) = { i {1,..., r} u X i } G k X 1,..., X r k 1 (G) = k G = (V, E) V = n L = u 1,..., u n u L L L V G u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8, u 9, u 10 G 1 (G) = (G) + 1

53 u 8 u 10 u 9 u 7 u 5 u 6 u 1 u 2 u 3 u 4 G = (V, E) V = n L = u 1,..., u n (G, L) = { i j {u i, u j } E} G k L (G, L) = k (G) = k G = (V, E) G G G E G G G G (G) = { (G ) G G} (G) = 2 G (G) (G) G (G) = (G)

54 G G = (V, E) E = m L = e 1,..., e m e i L ( ) ( ) L (e i ) = e j e j 1 j i i<j m L (L) = { L (e) e E} G (G) = {(L) L } E = 1 (G) = 0 { u 1 } { u 2, u2 } { u 3, u3 } { u 4, u3 } { u 5, u5 } { u 6, u5 } { u 7, u7 } u 8, { u7 } { u 9, u9 } { u 10, u9 } u 2 G (G) (G) G (G) = (G) (G) (G) G P = {p 1,..., p r } G ΛG = (V (G) {p 1,..., p r}, E(G) {{p 1, p 1},..., {p r, p r}} {p 1,..., p r} V (G) = Λ 1 G = (V (G) \ P, {{u 1, u 2 } E u 1, u 2 P }) G (G) = (ΛG) (G) = (Λ 1 G) G (G) (G) (G) + 1

55 (G) = (G) + 1 (G) = (G) (G) (G) + 2 (G) = (G) (G) = (G) + 1 (G) (G) (G) (G) (G) + 1

56

57 k k G = (V, E) V k V V 1, V 2 { } {x, y} E x V 1, y V 2 k k k

58 k G (G) = (G)+1 k k k k k C G C k (G) k k T n (T ) O(n) k T T T (T ) O(n n)

59 k A (G) = k {,, } (T ) T A (T ), (T ) k T G n (G) 3 O(n) k C G H G H G O(n 3 ) n = V (G) C (C) O 1,..., O (C) G G C O i G O i (C) O(n 3 ) n G C C (C) C (C) C[, k] C[, k] C[, k] C O(n 3 )

60 G (G) 2 (G) 2 (G) 3 k G = (V, E) (G) k V (G) k C C k 1 k G k 1 (G) k G = (V, E) O( V + E ) 1 k k Π L Π Σ G N Σ (I, k) L Π I Π k I

61 k G k k k G k k (G) k k G n(g) k n(g) Π A O(f(k) p(n)) f p n Π F P T A : G N H G H G (H) (G) C[, k] = {G G (G) k} k N k G k k (G) k : G N k (C[, k]) g : N N g(k) = (C[, k]) G G

62 (C[, k]) g(k) (G) k O(g(k) n 3 ) k k l G = (V, E) P l (G) k (G) k O(2 p(k) n) p n = V G O(n 2 ) l k (k) (G) O(2 p(k) n 2 ) k 2 ko(1) n G = (V, E) (G) k (G) k (G) k k

63 O = {C i, i N} G G C, C O C C C C G G C[, 2]

64 B u C v B u v C u v G (G) = 2 (G, S, S ) G S S V (G) G = (G, S, S ) G G S

65 K 2,3 K + 2,3 K 4 O 1 S S S G S S S S (G, S, S ) S = {v 1,..., v S } S = {v 1,..., v S }. (G, S, S ) G u u E = {{v 1, u },..., {v S, u }} E = {{v 1, u },..., {v S, u }}. G S, S V (G) (S 1, S 2 ) G S (G, S, S )

66 O 2 O3 O 4 O 5 O 6 O 7 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 E(S, i) = E i E(S, i) E = i E(S, i) = E(G) \ E i (G, S 1, S 2 ) (S 1, S 2 ) G (G, S 1, S 2 ) (G, S 1, S 2 ) (G) = (G,, ) G (G) (G) G E E E(G) G (E, E ) G E = A 1,..., A r i {1,..., r 1} E A i E(G) \ E i {1,..., r 1} A i+1 \ A i 1 A 1 = E

67 O8 O 9 O 8, O 9 A r = E(G) \ E (E, E ) G i {1,..., r} G[A i ] (E, E ) G A 1 A r (E, E ) E G i {1,..., r 1} E i G (E, i) = G (A i ) + q i q i A i 2 A i \ A i 1 A i E G (E) = { G (E, i) i {1,..., r 1}} G S, S V (G) (G, S, S ) (E, E ) (G, S, S ) (G, S, S ) (E, E ) (G, S, S ) (E, E )

68 G (G, S, S ) = (G, S, S ) G = (G, S, S ) (S 1, S 2 ) S k S i {1,..., S } E i = E(S, i) \ E(S, i 1) L i E i i {1,..., S } i S e L i e L = L 1 L S E = A 0,..., A r E(G ) A 0 = A i = A i 1 {e i } e i i L A s = E s {1,..., S } A t = E t {1,..., S } E = A s,..., A t (E, E ) G E (E) S G (E ) j {0,..., E } i j A j \ A j 1 E ij h j A hj \ A hj 1 L ij E h j,..., j G (E, h j ) l {h j + 1,..., j} G (A l ) G (A hj ) q l = 0 G (E, h j ) k G (E ) k q hj q hj = 0 G (E, h j ) = G (A hj ) S G (A hj ) i j S S k G (E, h j ) k q hj = 1 i j S p(x) s(y, x) x x G (A hj ) G (A hj ) i j G (A hj ) + 1 k G (E, h j ) k S G (A hj ) = G (A hj 1) \ {y} (h j 1) G (A hj 1) G (A hj ) k 1 G (E, h j ) k G (E, E ) E = A 1,..., A r G (E) = k E

69 E (E, E ) E = A 1,..., A r k i {1,..., r 1} V (A i ) V (A i+1 ) A i E(G ) V (A i ) (E, E ) i V (A i ) V (A i+1 ) L = e 1,..., e n E(G ) \ A i A i j i A j = A j A i+1 = A i {e 1 } A i+2 = A i {e 1, e 2 },..., A i+n = A i {e 1,..., e n } j i + n A j = A j {e 1,..., e n } j = 1,..., n G (A i+j ) = G (A i) j i + n G (A j ) G (A j) k (S, S ) G S k S S p(u ) S s(u, vi ) 2 S S S 0 E(S, 2 S ) = A 1 u V = V (G ) \ S \ {u } l u {1,..., r} u V (A lu ) L = u 1,..., u V V i j l ui l uj i {1,..., V } u i e i A lui 1 \ A lui v i e i E v i G (A lui 1) u i u i G (A lui ) E = {e 1,..., e V } A j j {1,..., r} A j 1 E < A j E i {1,..., V } S i v i G (A lui ) S i p(u i ) s(v i, u i ) S i G (A lui 1) \ G (A lui ) S = S 0 S 1 S V E A j j = 1,..., l u1 S i {1,..., V 1} A j j {l ui,..., l ui+1 1} V (A lui ) A j j {l u V,..., r} V (A lu V )

70 A j j {1,..., r} G (A j ) G S mj m j (A E ) \ (A j 1 E ) A E A j A A 1 = E A j G (A j +1) G S mj +1 A j +1 G (A j +1) G (A j ) m j +1 = m j A j +1 {e mj +1 } = (A j +1 E ) \ (A j E ) v mj +1 G (A j ) v mj +1 G (A j +1) u mj +1 G (A j +1) G (A j +1) = G (A j ) {u mj +1 } S mj +1 p(u mj +1 ) v mj +1 G (A j +1) u mj +1 G (A j +1) G (A j +1) = G (A j ) v mj +1 G (A j +1) G (A j +1) = ( G (A j ) \ {v mj +1 }) {u mj +1 } S mj +1 s(v mj +1, u mj +1 ) V S (i) i S V S = V S (1),..., V S (r) i S j V S (i) = V (A luj ) i {1,..., S } G [V S (i)] i {1,..., 2 S } i 2 S + 1,..., r G [V S (i + 1)] (i + 1) S r(u) G [V S (i+1)] = G [V S (i)] r(u) u V S (i) v u G (A luj 1) \ G (A luj ) j {1,..., V } u A luj {u, v} A luj V S (i) = V (A luj ) p(u) S {u, v} v V S (i) p(u) G [V S (i+1)]

71 s(v j, u j ) j {1,..., V } G [V S (i + 1)] G [V S (i)] u j v V S (i) i v j v j G (A luj ) s(v j, u j ) v j u V S (i) = V (A luj ) v j G (A luj ) u A luj {v j, u} A luj (i + 1) S G [V S (i + 1)] S (S 1, S 2 ) S 0 v V S u u i {1,..., V 1} E(S, S 0 S i 1 + 1) = = E(S, S 0 S i 1 + S i ) = A lui+1 1 i = V E(S, S 0 S V ) = A r S S 2 S S = G (E, 1) k j > 2 S G k (j +1) p(u i ) i {i,..., V } G (A lui 1) G (A lui 1) < k p(u i ) k G (A lui 1) = k u i G (A lui ) = G (A lui 1) {u i } G (A lui ) = k + 1 u i G (A lui ) = G (A lui 1) G (E, l ui ) = G (A lui ) + 1 = k + 1 S k (G 1, S1, S1 ) (G 2, S2, S2 ) (G 1, S1, S1 ) (G 2, S2, S2 ) (G 1, S1, S1 ) r (G 2, S2, S2 ) ϕ : V (G 2 ) V (G 1 ) v V (G 1 ) G 2 [ϕ 1 (v)] {v, u} E(G 1 ) G 2 [ϕ 1 (v) ϕ 1 (u)] ϕ(s 2 ) = S 1

72 ϕ(s 2 ) = S 1 G 1, G 2 G 1 G 2 (G 1,, ) r (G 2,, ) G G G G/e e = {x, y} u e ϕ : V (G) V (G/e) ϕ(x) = ϕ(y) = u e ϕ(u) = u u V (G) V (G/e) ϕ (G/e,, ) r (G,, ) G 1, G 2 ϕ : V (G 2 ) V (G 1 ) (G 1,, ) r (G 2,, ) G 2 G 2 G 1 σ : V (G 2) V (G 1 ) x, y V (G 2) {x, y} E(G 2) {σ(x), σ(y)} E(G 1 ) v V (G 1 ) G 2 [ϕ 1 (v)] u v σ(u v ) = v σ {x, y} E(G 1 ) G 2 [ϕ 1 (v) ϕ 1 (u)] σ (G 1, S1, S1 ) (G 2, S2, S2 ) (G 1, S1, S1 ) r (G 2, S2, S2 ) (G 1, S1, S1 )) (G 2, S2, S2 )) E = A 1,..., A r (E2, E2 ) G 2 = (G 2, S2, S2 ) k (E1, E1 ) G 1 = (G 2, S2, S2 ) k ϕ (G 1, S1, S1 ) r(g 2, S2, S2 ) ψ ϕ ψ(u 2 ) = u 1 ψ(u 2 ) = u 1 ψ (G 1, S 1 {u 1 }, S 1 {u 1 }) r (G 2, S 2 {u 2 }, S 2 {u 2 }) f = {x, y} E(G 1 ) E f E(G 2 ) ψ 1 (x) ψ 1 (y) E f e f E = {e f f E(G 1 )} E = A 1 E,..., A r E G 1 i {1,..., r 1} G 1 (E, i) G 2 (E, i)

73 v v v v v A (G, {v}, {v}) (C[, 2]) D 1 = O 1 O 12 O 1 O 2,..., O 9 O 10 O 11 O 12 O 10 : A v O 11 : B v O 12 : C v D 1 (C[, 2]) D 1 (C[, 2]) D 1 (C[, 2])

74 v v v v v v v v v v v v B (G,, {v}) v v v v v v C (G, {v}, ) G C[, 2] G G

75 B C G C[, 2] B 4 B 0 B 0 B 1 B 3 B 4 x B 2 w c 1 c 2 B2 c 3 c 4 B 3 B 4 y F 1 F2 F 4 G C[, 2] B 0 B 4 B 1, B 2 B 3 F 1, F 2 F 4

76

77

78

79

80

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,

1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667

!#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 !"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 3: Ψηφιακός χάρτης διαχείριση - 1 ο μέρος Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *&

! # $%%&$$'($)*#'*#&+$ $&#! #, &,$-.$! $-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *& ! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *& '*$$%!#*#&-!5!&,-/+#$!&- &"/ "$,&/#!6$7,&78 "$% &$&'#-/+#!5*% 3 +!$ 9 &$*,2"%& #$- 3 '*$%#

Διαβάστε περισσότερα

X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u)

X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) Κεφάλαιο 7 Οι εξισώσεις Codazzi και Gauss Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με μια βαθύτερη κατανόηση της καμπυλότητας Gauss. Θα ορίσουμε τα σύμβολα του Christoffel, τα οποία είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ % # "& #! $! !! % " # '! $ % !! # #!!! ) " ***

!  # $ % # & #! $! !! %  # '! $ % !! # #!!! )  *** ! " # $ % # # $ # # "& # $! $! #!! % " # '! $ % "!! $ "!!! # ( #!!! ) #! " *** # .....5.......9..........9.....4.3....... 9.4. -...3.......36....36......4.3....45.3......46.3......5.3.3....59.3.4.......65

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Άσκηση 1 Να εφαρμόσετε τη διαδικασία της επίλυσης στα πιο κάτω προτασιακά σύνολα. (α) { P(a,f(f(x))) }, { P(y,z), P(y, f(f(z))) }, {P(x,b), Q(x)}, {P(x,b),Q(x)} Η Μέθοδος της Επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα διατήρησης πίεσης

Συστήματα διατήρησης πίεσης Περιεχόμενα Συστήματα διατήρησης πίεσης Σελίδα Δοχεία διαστολής για εφαρμογές θέρμανσης, ψύξης και ηλιακά συστήματα reflex NG και N 4 reflex S 5 reflex G 6 reflex G - Εξαρτήματα για δοχεία διαστολής 7

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ. - ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Μεγιστοποίηση εμβαδού με τον περιορισμό της περιμέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδοχές - Φορτία. Οροφοι : 3 Υπόγεια: 0. Επικάλυψη δαπέδων= 0.80[kN/m²], Τοίχοι σε δάπεδα= 0.00[KN/m²] γg=1.35, γq=1.50. I, α=0.160g=1.

Παραδοχές - Φορτία. Οροφοι : 3 Υπόγεια: 0. Επικάλυψη δαπέδων= 0.80[kN/m²], Τοίχοι σε δάπεδα= 0.00[KN/m²] γg=1.35, γq=1.50. I, α=0.160g=1. Παράδειγμα εκτύπωσης FEDRA... Παραδοχές - Φορτία Ονομασία Εργου-Μελέτης Διεύθυνση έργου Μηχανικός Μελετητής Παράδειγμα εκτύπωσης FEDRA ΙΩΑΝΝΙΝΑ Μηχανικός Α... Γενικά Χαρακτηριστικά Κτιρίου Οροφοι Οροφοι

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

ΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Παππάς Χρήστος - Επίκουρος Καθηγητής Κβαντισμένα μεγέθη Ένα μέγεθος λέγεται κβαντισμένο όταν παίρνει ορισμένες μόνο διακριτές τιμές, δηλαδή το σύνολο των τιμών του δεν

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ-ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ REED SOLOMON

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ-ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ REED SOLOMON ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ-ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Β' ΟΜΑΔΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΝΣΩΜΑΤΩΜΕΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΡΟΥΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Το Πρόβλημα της Συνάντησης Πολλών Πρακτόρων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Το Πρόβλημα της Συνάντησης Πολλών Πρακτόρων k 2 n k n k n n k n k k S S k 2 n O(n) O(k n) O(kn) O( n) ) O(k n) O(n) O( n) O(n) O( k) O(n k) O( k) O( n n n k n k > 2 Ω( n + k) k n n k k n n n/2 S = d 1,..., d k m > 1 j 1 m, j k k S S O(k n) k n k

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΒΛΑΒΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΙΧΟΠΟΙΙΑΣ ΣΕ ΥΠΟ ΚΛΙΜΑΚΑ ΚΤΙΡΙΑ ΤΟΙΧΟΠΟΙΙΑΣ ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέματα εξέτασης στο μάθημα «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ57) Ηράκλειο, 9 Μαΐου 009 Θέμα 1 ο (μονάδες.0) Έστω ο τανυστής προβολής P= 1 n n, όπου n

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών ΦΥΣ - Διαλ.08 Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών q q Το μεγάλο πλεονέκτημα του Lagrangian φορμαλισμού είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογισθούν οι δυνάμεις των δεσμών Ø Υπάρχουν περιπτώσεις που χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t

S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά

Διαβάστε περισσότερα

103 Α Α Α % Α 22 22 15,777 15.53 33.5 11,839 11.67 25.9

103 Α Α Α % Α 22 22 15,777 15.53 33.5 11,839 11.67 25.9 %- & Α -Η Η Α- Ω Ο Α Ο Ω Ο Α Ο Α Ο Ο Ο Α ΧΟ Η Α Ο Η / ΧΟ Η Ο Α... Α..Α.... Ο Α... Α..Α.. 127 Α Α Α Α Α Α Α % Α 21 21 20,924 18.40 36.8 19,434 17.15 34.2 127 Α Α Α Α Α Α Α %.. α 2 2 18,978 16.57 33.0 17,638

Διαβάστε περισσότερα

2742/ 207/ /07.10.1999 «&»

2742/ 207/ /07.10.1999 «&» 2742/ 207/ /07.10.1999 «&» 1,,,. 2 1. :.,,,..,..,,. 2., :.,....,, ,,..,,..,,,,,..,,,,,..,,,,,,..,,......,,. 3., 1. ' 3 1.., : 1. T,, 2., 3. 2 4. 5. 6. 7. 8. 9..,,,,,,,,, 1 14. 2190/1994 ( 28 ),,..,, 4.,,,,

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡOΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔHΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦEΡΟΝΤΟΣ - ΣΥΜΒΑΣΙΟYΧΟΙ ΥΠΑΛΛΗΛΟΙ ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ I - ΟΔΗΓΟΙ (ΑΝΔΡΕΣ/ΓΥΝΑΙΚΕΣ) EPSO/CAST/S/8/2014 I.

ΠΡOΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔHΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦEΡΟΝΤΟΣ - ΣΥΜΒΑΣΙΟYΧΟΙ ΥΠΑΛΛΗΛΟΙ ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ I - ΟΔΗΓΟΙ (ΑΝΔΡΕΣ/ΓΥΝΑΙΚΕΣ) EPSO/CAST/S/8/2014 I. ΠΡOΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔHΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦEΡΟΝΤΟΣ - ΣΥΜΒΑΣΙΟYΧΟΙ ΥΠΑΛΛΗΛΟΙ ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ I - ΟΔΗΓΟΙ (ΑΝΔΡΕΣ/ΓΥΝΑΙΚΕΣ) EPSO/CAST/S/8/2014 I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατόπιν αιτήματος των θεσμικών οργάνων της Ευρωπαϊκής Ένωσης, η Ευρωπαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0 u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = 0 C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ + ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Α 9.543 9.720-177 -1,8% Α Α 3.327 5.644-2.317-41,1% Α 9.448 9.629-181 -1,9% Α Α 3.758 3.174 584 18,4% Page 1 of 8

Α 9.543 9.720-177 -1,8% Α Α 3.327 5.644-2.317-41,1% Α 9.448 9.629-181 -1,9% Α Α 3.758 3.174 584 18,4% Page 1 of 8 Ο Ο Α Α Α Α 817 Α % Α 10.338 10.651-313 -2,9% Α Α Α 817 Α % Α 8.708 8.136 572 7,0% Α Α Α 817 Α % Α. Α. % 8.981 8.651 330 3,8% Α Α Α 817 Α % Α. Α. % 10.078 10.430-352 -3,4% Α Α Α 817 Α % Α. Α.. 9.288 Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ. της 6ης Νοεμβρίου 2006

ΑΠΟΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ. της 6ης Νοεμβρίου 2006 18.11.2006 EL Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 320/53 ΑΠΟΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της 6ης Νοεμβρίου 2006 για την κατάρτιση των καταλόγων τρίτων χωρών και εδαφών από τα οποία επιτρέπονται οι εισαγωγές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Γενικά. 2. Πεδία Ορισµού

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Γενικά. 2. Πεδία Ορισµού ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Γενικά Συνάρτηση είνι µι διδικσί µε την οοί φτιάχνουµε διτετγµέν ζεύγη ριθµών της µορφής (x,y) σύµφων µε ένν συγκεκριµένο κνόν ου ονοµάζετι τύος της συνάρτησης y= f (x) Πράδειγµ: ίνετι η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 1ης ΙΟΥΛΙΟΥ 1994 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 1ης ΙΟΥΛΙΟΥ 1994 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II Ν. 55()/94 ΠΑΑΤΑ ΠΩΤ ΤΣ ΕΠΣΣ ΕΕΔΑΣ ΤΣ ΔΚΑΤΑΣ Α. 2889 της 1ης ΥΛΥ 1994 ΝΘΕΣΑ ΕΣ II πεί Συμπλημτκύ Πϋπλγμύ Νόμς (Α. 19) τυ 1994 εκδίδετ με δημίευη τη Επίημη Εφημείδ της Κυπκής Δημκτίς ύμφ με τ Άθ 52 τυ Συτάγμτς.

Διαβάστε περισσότερα

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 222/5

Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 222/5 18.8.2012 Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 222/5 ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΕ) αριθ. 751/2012 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της 16ης Αυγούστου 2012 για τη διόρθωση του κανονισμού (ΕΚ) αριθ. 1235/2008 για τον καθορισμό

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός προϊόντων 2012 Edition GR

Οδηγός προϊόντων 2012 Edition GR Οδηγός προϊόντων 2012 Edition GR Reflex Βασιστείτε σε μας! Το όνομα Reflex είναι πασίγνωστο στην Ευρώπη και σε ολόκληρο τον κόσμο ως κορυφαία επιλογή για συστήματα ελέγχου πίεσης σε εφαρμογές θέρμανσης,

Διαβάστε περισσότερα

ο χάρτης το γράφημα Σχήμα 5.3

ο χάρτης το γράφημα Σχήμα 5.3 KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 5.1. Ανακάλυψη Ο W. Leibniz, σε επιστολή του το 1679 προς τον C. Huygens, παρατήρησε ότι "μας χρειάζεται ένα άλλο είδος ανάλυσης, γεωμετρικής ή γραμμικής, που να ασχολείται απ' ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα / 77 Επαναληπτικές

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic Algebrac -1.

Ask seic Algebrac -1. Ask seic Algebac. : Θεωρούμε τον πίνακα A = ω ω ω ω () όπου ω είναι μια κυβική ρίζα της μονάδος (φανταστική). Να υπολογίσετε τους πίνακες A, A, A. : Ας είναι οι πίνακες M = ( x /x ) (, N = y ) και P =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001

!#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%'  (&! #!$/001 !"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Χρονική απόκριση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Στα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ x x x y y x y?? Ευριπίδης Μάρκου Ευάγγελος Κρανάκης Άρης Παγουρτζής Ντάννυ Κριζάνκ ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΜΑΡΚΟΥ Τµήµα Πληροφορικής µε Εφαρµογές στη Βιοϊατρική Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ανάλυση ροής φορτίου Υπεύθυνος μαθήματος thpapad@ee.duth.gr Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ Περιεχόμενα Μαθήματος Γενικά Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

«Το θεώρημα του Keeler»

«Το θεώρημα του Keeler» «Το θεώρημα του Keeler» Μάντζος Γεώργιος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Επιβλέπουσα Καθηγήτρια Κα Λαμπροπούλου Σοφία Εισαγωγή Το Prisoner of Benda είναι ένα καταξιωμένο επεισόδιο της

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # = Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν

Διαβάστε περισσότερα

4. Μεταβλητες. Probability Theory Ι. Θεωρια Πιθανοτητων Ι. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) WINTER SEMESTER (3 st ) Iωαννης Αντωνιου

4. Μεταβλητες. Probability Theory Ι. Θεωρια Πιθανοτητων Ι. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) WINTER SEMESTER (3 st ) Iωαννης Αντωνιου Θεωρια Πιθανοτητων Ι ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) Τμημα Μαθηματικων Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Probability Theory Ι WINTER SEMESTER (3 st ) School of Mathematics Aristotle University of Thessaloniki

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να σημειώσετε με σωστό η λάθος: 1. Ο συμβολομεταφραστής είναι πρόγραμμα που μετατρέπει ένα πρόγραμμα από γλώσσα υψηλού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα