ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.
|
|
|
- Τέρις Τρικούπης
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ελευθερίου Β. Χρυσούλα Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, εκέμβριος 24
2
3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ελευθερίου Β. Χρυσούλα Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την η εκεμβρίου 24. Ν. Καραμπετάκης E. Αντωνίου Ο. Κοσμίδου Καθηγητής Α.Π.Θ. Επικ. Καθηγητής Α.Τ.Ε.Ι.Θ. Αναπλ. Καθηγήτρια.Π.Θ.
4 .. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyright Ελευθερίου Β. Χρυσούλα, 24. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.
5
6
7 A(ρ)β(t) = ρ := d dt C
8
9 A(ρ)β(t) = ρ := d dt C
10
11
12
13 m n A =[a ij ] [a ij ] A(s) =[a ij (s)] a ij (s) R A(s) R m,n [s] A ν = ( aij) ν i =, 2,..., m j =, 2,..., n ν =,,..., k A(s) =A + A s A k s k + A k s k A k A(s) s A(s) R p m [s] R [s] R A i R p m i =,,..., k p, m k A(s)
14 A(s) A(s) (A(s)) A(s) R p p [s] rank R A k = p ± A(s) R p p [s] A(s) R p p [s] A(s) A(s) =I p A(s) c r (A) (c c (A)) A(s) R p m [s] ranka(s) =p ranka(s) =m c r (A) c c (A) (A(s)) A(s) R p m [s]
15 A(s) i A(s) R i A(s) t(s) R[s] j A(s) A(s) R p m [s] I p (I m ) i, j A(s) i j i a
16 i a i A(s) j t(s) i t(s) j j i
17 A(s),B(s) R p m [s] U L (s) R p p [s] U R (s) R m m A(s) =U L (s)b(s)u R (s) U L (s) R p p [s] A(s) =U L (s)b(s) U R (s) R m m A(s) =B(s)U R (s) p m A(s) R p m [s] I P A(s)I m = A(s) A(s),B(s) R p m [s] U L (s) R p p [s] U R (s) R m m [s] U L (s)a(s)u R (s) =B(s) U L A(s)U R (s) =U L A(s) =U (s)b(s)u (s) L (s)u L(s)A(s)U R (s) =U (s)b(s) (s)b(s) A(s)U R(s)U (s) =U (s)b(s)u (s) R R L L R
18 U L (s) Rp p [s],,u R (s) Rm m [s] A(s),B(s) R p m [s] U L (s) R p p [s] U R (s) R m m [s] B(s),C(s) R p m [s] U L(s) R p p [s] U R(s) R m m [s] U L (s)a(s)u R (s) =B(s) U L(s)B(s)U R(s) =C(s) U L(s)B(s)U R (s) =C(s) U L (s)u L (s)b(s)u R(s) =U L (s)c(s) B(s)U R(s)U R (s) =U L (s)c(s)u R (s) B(s) =U L (s)c(s)u R (s) U L (s)a(s)u R (s) =B(s) U L (s)a(s)u R (s) =U L (s)c(s)u R (s) A(s) =U L (s)u L (s)c(s)u R (s)u R (s) A(s) =[U L(s)U L (s)] C(s)[U R (s)u R(s)] [U L(s)U L (s)] R p p [s] [U R (s)u R(s)] R m m [s] U L (s),u L(s),U R (s),u R(s)
19 A(s) R p m [s] rank R(s) A(s) =r r {p, m} A(s) S C A(s) (s) Rp m [s] S C A(s)(s) =block[diag { ε (s),ε 2 (s),ε 3 (s),..., ε r (s), p r, m r } ] C A(s) ε i (s) R [s] ε i (s) ε i+ (s) i r a ij A(s) a (s) A(s) a i (s) a j (s) a (s) a i (s) =a (s)q i (s)+r i (s),α j (s) =a (s)q j (s)+r j (s) i =, 2, 3,..., p j =, 2, 3,..., m
20 r i (s),r j (s) r j (s) j q j (s) a j (s) r j (s) a (s) s r 2,..., r 2p,r 2,..., r m i q i (s) j q j (s) a (s) a 22 (s) a 2m (s) a p2 (s) a pm (s) a ij (s),i=2, 3,..., p j =2, 3,..., m a (s) a (s) a (s)
21 ε (s) b 22 (s) b 2m (s) b p2 (s) b pm (s) b ij (s) ε (s) b ij (s) i =2,..., p j =2,..., m ε (s) ε 2 (s) c 33 (s) c 3m (s) c p3 (s) c pm (s) ε 2 (s) ε (s) c ij (s),i=3,..., p, j = 3,..., m ε 2 (s) ε (s) ε 2 (s) ε r (s) r < {p, m}
22 r ε i (s) A(s) ε i (s) ε i+ (s) i r ε i (s) ε i (s) = Δ i(s) Δ i (s),i=,..., r Δ (s) =, Δ i (s) = i i A(s) Δ i (s) A(s) A(s) λ s C ε i (s) i r λ s,s =,..., ν A(s) ε i (s) ε i (s) = ν s= m is (s λ s ) (s λ s ) m is m s m 2s... m rs,s=,..., ν A(s) λ s s + A(s) = s + R 2 2 [s] (s +2) 2 A(s) a = s +
23 a 2 (s) a 2 (s) a (s) a 2 (s) =a (s)q 2 (s)+=(s +) + 2 q 2 (s) s + s + = s + (s +2) 2 (s +2) 2 } {{ } V a 22 (s) a (s) (s +2) 2 = s 2 +4s +4=(s +)(s +3)+ 2 s +3 s + = s + (s +3) (s +2) 2 (s +)(s +3) (s +2) 2 } {{ } U 2 s + = s + s + (s +)(s +3) (s +2) 2 (s +)(s +3) } {{ } V 2 s + s + s + = s + (s +)(s +3) (s +)(s +3) } {{ } V 3
24 s + s + = (s +)(s +3) (s +)(s +3) s + s + } {{ } U 2 2 s +2 (s +)(s +3) = (s +)(s +3) (s +) s + s + (s +)(s +2) 2 } {{ } U 3 2 (s +)(s +3) (s +)(s +3) (s +)(s +3) = (s +)(s +2) 2 (s +)(s +2) 2 } {{ } V 4 U L (s) =U 3 (s)u 2 (s)u (s) = = (s +3) (s +) } {{ }} {{ }} {{ } U 3 U 2 U (s +) = (s +2) 2 (s +3)
25 U R (s) =V (s)v 2 (s)v 3 (s)v 4 (s) = = (s +)(s +3) (s +)(s +3) = } {{ }} {{ }} {{ }} {{ } V V 2 V 3 V 4 SA(s)(s) C =U L (s)a(s)u R (s) = (s +3) = s + s + = (s +2) 2 (s +) (s +2) 2 (s +)(s +3) (s +)(s +2) 2 (C λ R r n,j λ R n n ) J λ λ λ λ J λ = λ λ λ (C λ,j λ ) A(s) λ A(s) λ n
26 C λ C λ J λ rank = n C λ J n λ A k C λ J k λ A C λ J λ + A C λ = λ i =,..., j (C λi R r n i,j λi R n i n i ) A(s) C = ( ) C λ,c λ2,..., C λj J = blockdiag (J,J 2..., J j ) n = n + n n j (C λ,j λ ) A(s) s + A(s) = s + R 2 2 [s] (s +2) 2 A(s) = s 2 + s } {{ } } {{ } } {{ } A 2 A A C =,J = 2 2 A(s) =(s +)(s +2) 2 2 A(s)
27 rank C CJ 2 = =2 2 2 A 2 CJ 2 + A CJ + A C = 2,2 A(s) R r r [s] l C λ,λ 2..., λ l SA(s)(s) C =diag,,,...,,f }{{} k (s),f k+ (s),..., f r (s) k A(s) C k r f i (s) R [s] A(s) f j (s) f j+ (s) j = k, k +,..., r f k (s),..., f r (s) f k (s) =(s λ ) σ k (s λ 2 ) σ 2k...(s λ l ) σ lk f k+ (s) =(s λ ) σ k+ (s λ 2 ) σ 2k+...(s λ l ) σ lk+ f r (s) =(s λ ) σ r (s λ 2 ) σ 2r...(s λ l ) σ lr σ ik σ ik+... σ ir,i =, 2,..., l f j (s) = (s λ i ) σ ij f j (s),j = k, k +,..., r f j (s) (s λ i ) σ ij A(s) s = λ i [ r ] n := f j (s) = j=k l r i=j j=k σ ij
28 n U L (s),u R (s) U L (s) A (s) U R (s) =S C A(s) u j (s) R r [s] j = k, k +,..., r U R (s) u q j (s) :=( ) d q ds q uj (s) f j (s) j = k, k +,..., r β i jq := q! u(q) j (λ i ) j = k, k +,..., r q =,,..., σ ij λ i C, i l A(s) σ ik σ ik+... σ ir i l j = k, k +,..., r β i j,β i j,..., β i jσ ij λ i A(s) σ ij C ij := ( ) βj,β i j, i..., βjσ i ij 2,βjσ i ij R r σ ij λ i λ i J ij := λ i λ i
29 i l j = k, k +,..., r C ij J ij C i := (C ik,c ik+,..., C ir ) R r m i J i := (J ik,j ik+,..., J ir ) R m i m i m i := σ ik + σ ik σ ir A(s) C := (C,C 2,..., C l ) R r n J := blockdiag (J,J 2,..., J l ) R n n [ r ] n := m + m m l = f j (s) = j=k l r i= j=k σ ij s + A(s) = s + (s +2) 2 A(s) A(s) S C A(s)(s) =U L (s) A (s) U R (s)
30 (s +3) s + s + = +(s +)(s +3) (s +) (s +2) 2 (s +)(s +3) = (s +)(s +2) 2 λ =,λ 2 = 2 l =2 SA(s) C (s) k =2 k =2=r j = k, k +,..., r j 2 σ ij i l =2 σ 2,σ 22 σ 2 =,σ 22 =2 n =2+=3 βjq i := q! u(q) j (λ i ) q =,..., σ ij U R (s) = = (s +)(s +3) ( u (s) ) u 2 (s) u (s) = u 2 (s) = (s +)(s +3) β2,β 2,β β2 = u 2 ( ) =,β2 2 = u 2 ( 2) =,β2 2 = u 2 ( 2) = C 2 =(β 2),C 22 =(β 2 2,β 2 22)
31 σ 2 =,σ 22 =2 J 2 =( ),J 22 = 2 2 A(s) C =(C 2,C 22 )= J = blockdiag (J 2,J 22 )= 2 2
32
33 A (ρ) β (t) =,t A (ρ) ρ := d dt A (ρ) R r r [s] β (t) :(, ) R r β (t) β (q) ( ) =β (q) (+) = β (q) (),q =,, 2 β (q) (t) q β (t) t A (ρ) =A + A ρ A k ρ k + A k ρ k A i R r r,i=,,..., k β ( ),β () ( ),..., β (k ) ( ) β (t), 2,..., k t = λ C
34 A (ρ) A (ρ) = [ t μ β (t) = μ! β + tμ (μ )! β t ]! β μ + β μ e λ t β i C, i =,,..., μ, β β (t) A (λ ) β = A () (λ ) β + A (λ ) β = μ! A(μ) (λ ) β + (μ )! A(μ ) (λ ) β A () (λ ) β μ + A (λ ) β μ = β,β,..., β μ A (ρ) λ C β R r,β λ C A (ρ) β,..., β μ λ C A (ρ) β (t) μ> β,β,..., β μ
35 β β,β β,β,..., β μ, 2,..., μ λ C A (ρ) β j (t),j =,,..., μ β j (t) =[ρi r λ I r ] j β (t) = [ t μ j (μ j)! β t μ j + (μ j )! β t ]! β μ j + β μ j β j (t) {β μ (t),β μ (t),..., β (t),β (t)} e λ t [β μ (t),β μ (t),..., β (t) β (t)] = t t μ! (μ )! t μ 2 (μ 2)! [β,β,..., β μ,β μ ] t! t μ μ! t μ (μ )! e λ t
36 Ψ(t) :=[β μ (t),β μ (t),..., β (t) β (t)] C := [β,β,..., β μ,β μ ] R r (μ+) λ λ λ J := R (μ+) (μ+) λ λ Ψ=Ce Jt t t μ! (μ )! t μ 2 (μ 2)! e Jt = t! t μ μ! t μ (μ )! A(s) SA(s) C (s) A(s) A(s)
37 [ βjq i t σ ij q t σ ij 2 q := (σ ij q)! βi j + (σ ij 2 q)! βi j t ]! βi j,σ ij 2 q + βj,σ i ij q e λ it i l, j = k, k +,..., r, q =,,..., σ ij [ ] Ψ ij (t) := βj,σ i ij (t),βj,σ i ij 2 (t),..., βj i (t),βj i (t) [ ] C ij := βj,β i j, i..., βj,σ i ij R r σ ij i l, j = k, k +,..., r λ i λ i λ i J ij := R σ ij σ ij λ i λ i λ i Ψ i (t) :=[Ψ ik (t), Ψ i,k+ (t),..., Ψ ir (t)] C i := [C ik,c i,k+,..., C ir ] R r m i J i := blockdiag [J ik,j i,k+,..., J ir ] R m i m i m i = σ ik + σ i,k σ ir
38 Ψ:=[Ψ (t), Ψ 2 (t),..., Ψ l (t)] C := [C,C 2,..., C l ] R r n J := blockdiag [J,J 2,..., J l ] R n n [ r ] n := m + m m l = f j (s) = S C A(s) = A(s) j=k Ψ Ψ X A (ρ) β (t) =,t s + s + A(s) = R 2 2 [s] (s +2) 2, 2 Ψ=Ce Jt e t J = blockdiag (J 2,J 22 )= 2 ejt = e 2t te 2t 2 e 2t
39 C =(C 2,C 22 )= Ψ=Ce Jt = e t e 2t te 2t = e t e 2t te 2t e 2t te 2t e 2t A (ρ) β (t) =,t B C = e t, e 2t e 2t, te 2t te 2t β (t)+ β 2 (t) = β (t) β 2 (t) = β 2 (t) t β (t) =[β (t),β 2 (t)] ρ ρ + ρ3 β (t) = A (ρ) β (t) = ρ + β 2 (t) SA(s) C A(s) = s + s3 s +
40 s + s3 (s2 s +) = s + s + s + }{{} s + = s + s + (s +) }{{} V 2 s + = s + (s +) (s +) } {{ } V 3 V s + = s + s + (s +) (s +) 2 }{{} U s + (s +) = (s +) 2 (s +) 2 } {{ } V 4 U R (s) =V V 2 V 3 V 4 = s2 s + s 3 s + U L (s) =U = s +
41 SA(s)(s) C = (s +) 2 λ =,l =,j = k, k +,..., r =2=r σ 2 =2,n=2,q =, u 2 (s) = s3 s + βjq i = { } β2,β 2 2 βjq i = q! u(q) j (λ i ) β2 = u 2 ( ) =,β22 = u () 2 ( ) = 3 C 2 =(β2,β 22) =C = C J 2 = = J = J
42 Ψ=Ce Jt = 3 e t = 3 e t te t = e t e t (t 3) e t e t B C = e t (t 3) e t, = (t 3) e t, e t e t
43 A(s) =A + A s A k s k + A k s k A i R r r,i=,,..., k,a k rank R(s) A(s) =r ( ) A (s) =s k A = A k + A k s A s k + A s k R r r [s] s SA(s) (s) A(s) R r r [s] s = {}}{ U L (s) A (s) U R (s) =SA(s) = blockdiag s q,..., s q k,i }{{} ν κ,,..., sˆq ν+ sˆq r }{{} k r ν ν r, q q 2... q k, < ˆq ν+ <... < ˆq r U L (s),u R (s) R r r [s] q i, (ˆq i ) A(s) s = ˆq := r i=ν+ ˆq i A(s) A(s) ν
44 Ã (s) s = A (s) Ã (s) s = S C (s) Ã (s) Ã(s) S (s) s = Ã(s) SA(s) (s) s = S Ã(s) (s) =diag [sμ,s μ 2,..., s μ j ],μ j >,j =, 2,..., r s =S (s) Ã(s) S A(s) (s) SA(s) (s) =s q S Ã(s) ( ) ( S = Ã(s) s s ),q = k ( s ) q SA(s) (s) ( ) Ũ L (s) =U L s ( ) Ũ R (s) =U R s A (s) s μ j,j =2, 3,..., r μ j := q q j >,j =2, 3,..., k μ j := q +ˆq j >,j = ν +,ν+2,..., r
45 q i,i=, 2,..., k A(s) s = μ j,j =2, 3,..., k s = j = μ j = ˆq i,i = ν +,ν +2,..., r s = μ j,j = ν +,ν +2,...r s = A(s) A (s) = s s2 + s + R 2 2 [s] s SA(s) (s) A (s) + Ã (s) =s 2 + s s 2 s = s s2 + s + s 2 s s 2 s S C (s) Ã (s) Ã(s)
46 s s2 + s + = s s2 + s + s s 2 s s 2 s 3 }{{}}{{}}{{} U Ã(s) Ã (s) s s2 + s + (s +) = s s 3 s 3 }{{}}{{}}{{} Ã (s) V Ã 2 (s) s = s s 3 } {{ } Ã 2 (s) } {{ } V 2 s 3 } {{ } Ã 3 (s) s = s s 3 s 3 s 4 } {{ }} {{ } } {{ } U 2 Ã 3 (s) Ã 4 (s) s s = s 4 }{{} Ã 4 (s) } {{ } V 3 s 4 }{{} Ã 5 (s) = = S C s 4 s 4 Ã(s) } {{ }} {{ } Ã 5 (s) V 4 S C (s) = Ã(s) }{{} S (s) = = s2 2 s 4 Ã(s) s= s 4 s 2+2
47 A (s) μ 2 = q +ˆq 2 =2+2=4 s = μ 2 = q q =2 2= SA(s) = s 2 = s2 s 4 s 2 A(s) s = q =2 s = ˆq 2 =2 ( ) Ũ R (s) =U R s Ũ R (s) =V V 2 V 3 V 4 = (s +) s = = (s +) (s2 + s +) s U R (s) = ( +) ( + +) s s 2 s = = s+ s s +s+s2 s 2 s = s+ s +s+s2 s 2 s
48 ( ) Ũ L (s) =U L s Ũ L (s) =U U 2 = = s 3 s s 3 + s U L (s) = = = + s 3 s s 2 s 3 s 2 s 3
49 (C R r μ,j R μ μ ) J λ = J = (C,J ) A(s) λ = Ã (s) λ = μã (s) Ã (s) =A k + A k s A s k + A s k R r r [s]
50 C C J rank = μ C J μ A C J k A k C J + A k C = r,μ λ i,i=, 2,..., r à (s) (C i R r μ i,j i R μ i μ i ) A(s) (C R r μ,j R μ μ ) C =(C,C 2,..., C r ) R r μ J = blockdiag (J,J 2,..., J r ) R μ μ μ = μ + μ μ r A (s) (C,J ) A (s) λ = à (s) A (s) = s s2 + s + R 2 2 [s] s à (s)
51 Ã (s) = s s2 + s + s 2 s s 2 A (s) C =,J = Ã (s) Ã (s) = s2 s 3 + s 4 + s 3 + s 2 = s 4 Ã (s) λ = 4 C C J rank = C J 2 =4 C J μ =3 A C J 2 + A C J + A 2 C = 2,4 Ã (s) s =
52 S C (s) à (s) s = Ã(s) S Ã(s) (s) ŨL (s), ŨR (s) ŨR (s) = [ũ (s), ũ 2 (s),..., ũ r (s)], ũ j (s) R r (s) Ũ L (s) à (s) ŨR (s) =S Ã(s) à (s)ũ Rj (s) =ũ Lj (s) s μ j,j = ν +,ν +2,..., r μ j = q +ˆq j,j = ν +,..., r ũ Lj (s) j ŨL(s) ũ (q) j (s), Ã(q) (s) q ũ j (s), à (s) s = q =,, 2,..., μ j,j = ν +,..., r x jq := q!ũ(q) j () x j,x j,..., x jr R r,j = ν +,..., r à (s) s = x j,x j,..., x jr R r,j = ν +,..., r à () x j = à () () x j + à () x j = )!Ã(μ j ) () x j + 2)!Ã(μ j 2) () x j (μ j (μ j à () x j,μ j = (C,J ) A (s)
53 A(s) = s s2 + s + R 2 2 [s] s A (s) Ã (s) s = S C (s) = S = Ã(s) s 4 Ã(s) s 4 q SA(s)(s) =s 2 = s2 s 4 s 2 Ũ R (s) = (s +) (s2 + s +) s = k = 2 j = ν +,..., r = 2 A(s) q q =,,..., μ j μ j =2+2=4 x jq 4 s = Ã (s) x jq = {x 2,x 2,x 22,x 23 } x 2 = () = (2 ++) = ũ!ũ2 2 (s) ŨR (s) x 2 =!ũ 2 () =,x 22 =,x 23 =
54 (C,J ) A(s) C = C 2 =(x 2,x 2,x 22,x 23 )= R r μ i = R 2 4 J = R 4 4
55 C j =(x j,x j,..., x j,μ ) R r μ,j j = R μ μ β ( ),β () ( ),..., β (q ) ( ) β ( ) = x jq+,β () ( ) = x jq+2,β (q ) ( ) = x jq+q q =,,..., ˆq j,j = ν +,..., r A (ρ) β (t) =,t β jq (t) =x j δ (q) (t)+x j δ (q ) (t) x jq δ () (t)+x jq δ (t)
56 x jq δ (t) ˆq r β (t) δ (t) ˆq r s = SA(s) (s) B A (ρ) β (t) =,t β i (t) B S C (s) Ã (s) s = Ã(s) S (s) Ã(s) S A(s) (s) A(s) ŨL (s), ŨR (s) Ũ R (s) =[ũ (s), ũ 2 (s),..., ũ r (s)],u j (s) R r (s) Ũ L (s) Ã (s) ŨR (s) =S Ã(s) (s) x jq := q!ũ(q) j () Ã (s) s = (C,J ) A(s) q =,,..., μ j,j = ν +,..., r
57 (C,J ) [ C j := C ν+, C ν+2,..., C ] r R r μ j [ J j := J ν+, J ν+2,..., J ] r R μ j μ j j = ν +,..., r ˆq j k ˆq j ˆq j ˆq j ( C j J j ) B Ψ = ˆq r i= C j J (i) j δ(i) (t) J μ j = q +ˆq j,j = ν +,..., r ˆq j B = μ j = r j=ν+ ˆq j j = ν +,..., r A(s) A(s) = s s2 + s + R 2 2 [s] s A (ρ) β (t) = A(s) s =
58 (C,J )=, ˆq j =2 C J 2 2 j =2 Ψ = ˆq r i= 2 = (i) C j J j δ(i) (t) = i= C 2 = J 2 = C 2 J (i) 2δ (i) (t) = C 2 J () 2δ () (t)+ C 2 J () 2δ () (t) = = δ (t)+ δ () (t) δ (t) δ (t) = + δ() (t) δ (t) = δ (t) δ() (t) δ (t) δ (t) ˆq r s = r 2 δ (t) B =, δ (t) δ() (t) δ (t)
59 A(s) = s + s2 s B k =2 s 2 +=s ( s)+,s= s à (s) =s 2 s s 2 = s + s2 s 2 s 2 s s s + s2 s 2 = s2 s + s 2 s 2 s s s 2 } {{ }} {{ } } {{ } Ã(s) V à (s) s2 s + s 2 = s s2 s s 2 s 2 s + s 2 } {{ }} {{ } } {{ } U à (s) à 2 (s) s s2 = s s2 s s 2 s + s 2 s + s 2 + s 3 } {{ }} {{ } } {{ } U 2 à 2 (s) à 3 (s)
60 s s2 s = s s + s 2 + s 3 s 3 + s 2 } {{ }} {{ } } {{ } Ã 3 (s) V 2 Ã 4 (s) s = s3 + s 2 s 3 + s 2 s } {{ }} {{ } } {{ } U 3 Ã 4 (s) Ã 5 (s) s3 + s 2 = s3 + s 2 s s s 4 s 3 } {{ }} {{ } } {{ } U 4 Ã 5 (s) Ã 6 (s) s3 + s 2 s3 s 2 = s 4 s 3 s 4 s 3 } {{ }} {{ } } {{ } Ã 6 (s) V 3 Ã 7 (s) = = = S C s 4 s 3 s 4 + s 3 s 3 Ã(s) ( + s) } {{ }} {{ } Ã 7 (s) V 4 S (s) = S Ã(s) A(s)(s) =s 2 = s2 s 3 s 3 s A(s) s = q =2 ˆq 2 = s = μ 2 = q +ˆq 2 =2+=3 μ 2 =3 s = s = Ã (s)
61 x jq = {x 2,x 2,x 22 },q =,,..., μ j =,, 2 j =2 ˆq 2 = Ũ R (s) =V V 2 V 3 V 4 = s 3 + s 2 + s x 2 = ũ 2 () =,x 2 =ũ () 2 () =,x 22 = 2!ũ(2) 2 () = C =,J = C 2 = R 2, J 2 =() R (C,J ) Ψ = ˆq r = i= C j J (i) j δ(i) (t) =C 2 J () 2δ (t) = δ (t) B = δ (t) δ (t) = t β (t)+ d3 β 2 (t) = dt 3 β 2 (t)+ dβ 3 (t) = dt β 3 (t) =
62 B ρ ρ 3 β (t) ρ β 2 (t) = β 3 (t) à (s) =s3 A ( ) s à (s) =s 3 s 3 s 3 s = s 3 s 2 s 3 s 3 s 3 s s 2 = s s 2 s 3 s 3 } {{ }} {{ } } {{ } Ã(s) V à (s) s 3 s 3 s s s 2 = s s 2 s 3 s 3 } {{ }} {{ } } {{ } U à (s) à 2 (s) s 3 s 3 s s 2 = s s 2 s 3 s 3 } {{ }} {{ } } {{ } à 2 (s) V 2 à 3 (s)
63 s s 2 = s s 6 s 3 s 3 } {{ }} {{ } } {{ } Ã 3 (s) V 3 Ã 4 (s) s s 6 = s s 6 s s 3 s 7 } {{ }} {{ } } {{ } U 2 Ã 4 (s) Ã 5 (s) s s 6 s = s = SC Ã(s) s 7 s 7 } {{ }} {{ } Ã 5 (s) V 4 k =3 S (s) = Ã(s) s 2 s 7 s 3 SA(s) (s) =s 3 s 2 = s s 7 s 4 A(s) s = q =3,q 2 = ˆq 3 =4 4 μ 3 = q +ˆq j = 3+4 = 7
64 s = Ã (s) μ =3 3= μ 2 = q q 2 =3 =2 s = s = μ 3 = q +ˆq 3 = 3+4=7 x jq = {x 3,x 3,x 32,x 33,x 34,x 35,x 36 },q =,,..., μ j =,,..., 7 =,,..., 6 j = 3 ˆq 3 =4 Ũ R (s) =V V 2 V 3 V 4 = s 3 s 4 x 3 = () =!ũ3,x 3 =!ũ() 3 () = 3s 2 = 4s 3 s= x 32 = 2!ũ(2) 3 () = 6s = 2,x 33 = 3!ũ(3) 3 () = 6 6 2s 2 24s s= x 34 = 4!ũ(4) 3 () = = 24,x 35 = 5!ũ(5) 3 () = 2 24 s= s= s= = = = x 36
65 C = R3 7,J = R 7 7 C 3 =, J 3 =
66 Ψ = ˆq r =4 i= C 3 J (i) 3δ (i) (t) = = C () 3 J 3δ (t)+ C () 3 J 3δ () (t)+ C (2) 3 J 3δ (2) (t)+ C (3) 3 J 3δ (3) (t) = = δ (t)+ δ () (t) + δ (2) (t)+ + δ (3) (t) = δ (t) + δ() (t)+ δ(2) (t)+ δ (t) δ () (t) δ (2) (t) δ (3) (t) + δ(3) (t) = δ (t)
67 B = δ (t), δ () (t), δ (2) (t), δ (3) (t) δ (t)
68
69 A(ρ)β (t) = B C = βjk i (t) = σ ij k= β jk t k e λ i(t) k =,,..., σ ij i =, 2,..., l i j = z,z +,..., r q N A (ρ) =A + A ρ A q ρ q A i R r r,i =, 2,..., q β i jk (t) BC A(ρ)β (t) =
70 C jk = ( ) βj i βj i... βjσ i ij R r σ ij λ j λ i λ i J ij = R σ ij σ ij λ i λ i β i jk (t) BC β i jk = ( t σ ij σ ij βi j+ ) tσ ij 2 σ ij 2 βi t j+...! βi jσ ij 2 + βjσ i ij e λ it i l, j = z,z+,..., r, k =,,..., σ ij A (λ ) β i j = A () (λ ) β i j + A (λ ) β i j = A(σij ) (λ ) β i j + (σ ij )! (σ ij 2)! A(σ ij 2) (λ ) βj i A () (λ ) β σij 2 + A (λ ) β σij =
71 q λ q (σ ij ) I q(q )λ q 2 I qλ q I λ q I σ ij (q )λ q 2 I λ q I ) (A ij λ q (σ ij ) I q A A σ ij I 2I 2λ I λ 2 I I λ I I } {{ } Q i βj i βj i βj i βj i = βjσ i ij 2 βj i βjσ i ij βjσ i ij 2 βj i βj i }{{} W i ( ) A (s) q =
72 Q i,w i Q i,w i Q, W ) ( ) (A q A A QW = A i R r r,i =,,..., q Q i,w i 2 r q = q + A(s) A (ρ) β (t) = β (t) = 3 3 e 2t }{{} β β 2 (t) = 3 e 2t + 3 }{{} β 3 3 }{{} β te 2t q = A (s) = A s + A λ =2,r =2 ) (A A I 2I β ( ) = I β β } {{ }} {{ } Q W
73 A i = a i a i3 a i2 a i4,i=, ) (A A β +2β 2β = β β ( ) Q, W A,A A (s) β = 3 3 ) (A A,β = = 3 ( ) c {{ 8 }, 38,,, { 58, 8 }},, A = 8 3 8,A = A (s) = s 8 3s + 8 5s + 8 8
74 A (s) = (s 4 2)2 q = q =2 A(s)
75 A (ρ) β (t) = A (ρ) R r r [ρ],ρ = d dt A (ρ) β (t) = ˆq j B = β j (t) = x jk δ (ˆq j k) (t) k= x jk C r, k ˆq j, j l q N A (ρ) =A + A ρ A q ρ q A i R r r,i =, 2,q
76 β j (t) B A (ρ) β (t) = C j = ( x j,x j,..., x j,q+ˆqj ) R r q+ˆq j,j j = R q+ˆq j q+ˆq j A(s) =A q s q A s + A A q A q A q A A 2 A 3 A q A A A 2 A q A q A A A q 2 A q A q A A A 2 A q A q }{{} rμ j rμ j x j x j x jq x jq x jq+ x jμj + }{{} rμ j = }{{} rμ j μ j = q +ˆq j n =,,..., q q
77 A(s) q = q à (n) () = n!a q q,n=,, 2,..., q à (n) () =,n= q +,q +2,..., q +ˆq =μ j à () x j = à () () x j + à () x j =!Ã(q) () x j + )!Ã(q ) () x j q (q à () x jq =!Ã(q) () x j + )!Ã(q ) () x j q (q Ã() () x jq + à () x jq + =!Ã(q) () x jμj (q q +) + )!Ã(q ) () x jμj q (q Ã() () x jμj 2 + à () x jμ j =
78 j = ν +,..., r ν A q x j = A q x j + A q x j = A q 2x j + A q x j + A q x j2 = A x j + A x j A q x jq = A x j + A x j A q x jq + A q x jq + = A x j ˆqj + A x j ˆqj A q x jμj 2 + A q x jμj = q = q,μ j = q +ˆq j A q A q A q A A 2 A 3 A q A A A 2 A q A q A A A q 2 A q A q A A A 2 A q A q }{{} rμ j rμ j x j x j x j ˆqj x j ˆqj x j ˆqj + x jq+ˆqj }{{} rμ j = }{{} rμ j β jl = x j δ (l) (t)+x j δ (l ) (t) x jl δ () (t)+x jl δ (t) l =,,..., ˆq j
79 β ( ) = x jl+,β () ( ) = x jl+2,..., β (q ) ( ) = x jl+q μ j = q +ˆq j ˆq j ) (A q A q A x jl x j x j x jq x jq x jq+ x j,q+ˆqj x j x jq 2 x jq x jq x j,q+ˆqj 2 x jq 2 x jq ) x (A q A q A A jq 2 = }{{} r r(q+) x j x j ˆqj x j x j x j ˆqj }{{}}{{} r(q+) μ j rμ j
80 x j x j x j ˆqj x j ˆqj x j ˆqj + x j,q+ˆqj x j x j ˆqj 2 x j ˆqj x j ˆqj x j,q+ˆqj 2 x j ˆqj 2 x j ˆqj ) x (A q A q A A j ˆqj 2 = }{{} r r(q+) x j x j ˆqj x j x j x j ˆqj }{{}}{{} r(q+) μ j rμ j ˆq j μ j = q +ˆq j A (s) q = A i A i R r r,i =,,..., q a ij μ j = q +ˆq j,j =, 2,..., l x j ˆqj,x j ˆqj +,..., x j,q+ˆqj, lq 2 A(s) = q q = q + 2
81 A i A (s) A (s) q = x j x j x j ˆqj x j ˆqj x j ˆqj + x j,q+ˆqj x j x j ˆqj 2 x j ˆqj x j ˆqj x j,q+ˆqj 2 x j ˆqj 2 x j ˆqj ) x (A q A q A A j ˆqj 2 = }{{} r r(q+) x j x j ˆqj x j x j x j ˆqj }{{}}{{} rμ j Q R r(q+) μ j A i A i R r r,i=,,..., q A i A i R r r,i=,,..., q Q q = q + 2 A(s) A (ρ) β (t) =
82 A(s) A(s) A (ρ) β (t) = β (t) = δ (t) =x δ (t) β 2 (t) = δ (t)+ δ () (t) =x δ (t)+x δ () (t) q = A(s) = A + A s A A A A A x x x 2 = ˆq =2 μ = q +ˆq =+2=3 r =2 x ji A i = a i a i3 x =,x =,x 2 = x x 2 a i2 a i4,i=, rμ = r (q +ˆq )=2(+2)=6 (q +)r 2 + lqr =(+)2 2 +
83 2= A x = A x + A x = A x + A x 2 = a a 2 = a = a =,a 3 = a 3 a 4 a 3 a a 2 + a a 2 = a + a a 2 = a 3 a 4 a 3 a 4 a 3 a 3 a 4 a + a a 2 = }{{} a = a 2,a 3 = a 4 a 3 + a 3 a 4 a a 2 + a a 2 x = a a 2 + a 2 x 2 }{{} = }{{} a 3 a 4 a 3 a 4 x 2 a 3 a 4 + a 4 x 2 () a 2 a 2 + a 2 x 2 = a 4 a 4 + a 4 x 2 = a 2 = a 2 + a 2 x 2 x 2 = a 2 a 2 a 2 a 4 = a 4 + a 4 x 2 a 4 = a 4 + a 4 a 2 a 2 a 2 = a 4a 2 a 2
84 A (s) a 2 = a 4 = A (s) = a 2 =,a 4 A =,A = a 2 }{{} a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 A (s) =A + A s = a 4 a 4 + a 4 s a 2,a 4 = A = a 2,A = a 2 a 2 a 2 a 2 }{{} a 4 A (s) =A + A s = a 2 a 2 + a 2 s a 2,a 4 A = a 2,A = a 2 a 2 a 2 a 2 }{{} a a 4 a 4 a 4 a 2 a 4 4 a 2 A (s) =A + A s = a 2 a 2 + a 2 s + a 4 s a 4 a 2 a 4 a 2
85 A(s) SA(s) = s ˆq = s 2 q = q +=2 A 2 x A A 2 x = A A A 2 x 2 A A A 2 x 3 ˆq =2 μ = q +ˆq =2+2=4 r =2 x ji A i = a i a i3 a i2 a i4,i=,, 2 x =,x =,x 2 = x,x 3 = x 3 x 2 x 4
86 (A + A s + A 2 s 2 ) A 2 x = A x + A 2 x = A x + A x + A 2 x 2 = A x + A x 2 + A 2 x 3 = a 2 a 22 = a 2 =,a 23 = a 23 a 24 a a 2 + a 2 a 22 = a + a 2 a 22 = }{{} a 3 a 4 a 23 a 24 a 3 + a 23 a 24 a = a 22 a 3 = a 24 a a 2 + a a 2 + a 2 a 22 x = a 3 a 4 a 3 a 4 a 23 a 24 x 2 a + a a 2 + a 2 x + a 22 x 2 = a 3 + a 3 a 4 + a 23 x + a 24 x 2 = }{{} a + a 22 a 2 + a 22 x 2 =,a 3 + a 24 a 4 + a 24 x 2 =, x 2 = a 2 a 22 a a 22 a 3 a 4 + a 24a 2 a 22 a 24a a 22 =
87 a a 2 + a a 2 x + a 2 a 22 x 3 = a 3 a 4 a 3 a 4 x 2 a 23 a 24 x 4 a a 2 + a x + a 2 x 2 + a 2 x 3 + a 22 x 4 = a 3 a 4 + a 3 x + a 4 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 = }{{} a a 2 + a 22 x + a 2 x 2 + a 22 x 4 =,a 3 a 4 + a 24 x + a 4 x 2 + a 24 x 4 =, x 4 = a + a 2 a 22 x a 2 x 2 a 22 a 3 a 4 + a 4 x 2 a 24a a 22 + a 24a 2 a 22 + a 24a 2 a 22 x 2 = x 4 x 4 = a 3 + a 4 a 4 x 2 a 24 x a 24 a a 2 + a 2 x 2 a 22a 3 a 24 + a 22a 4 a 24 a 22a 4 x 2 a 24 = a 22,a 24 a 2,a 2,a 4 a 2 = a a 3 = a 4 x 2 = a 4 = a 2a 24 a 22 x 4 = a 2 a 22 x a 22 x 4 = a 4 a 24 x a 24 A 2 = a 22,A = a 22 a 2,A = a 2 a 2 a 24 a 24 a 4 a 4 a 2 a 24 a 22
88 A(s) = a 2 + sa 22 a 2 + sa 2 + s 2 a 22 a 4 + sa 24 a 2 a 24 a 22 + sa 4 + s 2 a 24 A(s) = a 2 a 22 (a 2 a 24 a 22 a 4 ) SA(s) = s2 s 2 β (t) A (ρ) β (t) = A(ρ)β(t) = A (ρ) β (s) = a 2 + sa 22 s 2 a 22 + sa 2 + a 2 = a 2 sa 22 a 4 + sa 24 s 2 a 24 + sa 4 + a 2a 24 a 22 a 4 sa 24 a 22 = s a 24 ) = (si s a 22 a 2 a 22 x 2 I 2 A 2 x A A 2 x 2 a 24 a 4 a 24 ) = (si 2 I 2 A 2 β ( ) A A 2 β () ( )
89 A (ρ) β 2 (s) = a 2 + sa 22 s 2 a 22 + sa 2 + a 2 + s = a 4 + sa 24 s 2 a 24 + sa 4 + a 2a 24 a 22 a = 2 a 2 + sa 22 = a 22 (a 22 a 4 a 2 a 24 + sa 2 22a 24 ) a 22 x = s a 24 = s a 22 a 2 a 22 x 3 a a 24 a 4 a 4 a 24 x 24 a 24 ) = (si 2 I 2 A 2 x 2 = A A 2 x 3 ) = (si 2 I 2 A 2 β ( ) A A 2 β () ( ) a 22 =,a 24 a 2,a 4,a 4 x 2 = a = a 2 a 3 = a 4 a 2 = x 4 = a 4 a 24 x a 24 A 2 =,A = a 2,A = a 2 a 24 a 24 a 4 a 4 a 4 A (s) = a 2 sa 2 a 4 + sa 24 a 4 + sa 4 + s 2 a 24 A (s) =a 2 a 4
90 SA(s) = s2 s 2 a 22 =,a 24 a 2,a 4,a 4 x 2 a = a 2 x 2 = a 4 a 24 a 3 a 24 a 2 a a 2 + a 2a 4 a 2 a 2a 3 = a 24 a 24 a 2 a 3 = a 2 + a 2a 4 a 2 a 3 = a 2 a 24 + a 2 a 4 a 24 a 24 a 3 = a 2a 24 + a 2 a 4 a 2 x 4 = a 4 a 24 a2 4 + a a a 2 + a 3a 4 a 2 24 A 2 =,A = a 2 a 24 a 24 a 4 x a,a = 2 a 2 a 2 a 24 +a 2 a 4 a 2 a 4 A (s) = a 2 a 2 + sa 2 a 2 a 24 +a 2 a 4 a 2 + sa 24 a 4 + sa 4 + s 2 a 24 A (s) =a 2 a 4 + a2 2a 24 a 2 a 2 a 4 SA(s) = s2 s 2 a 22,a 24 =, a 2,a 4,a 4 x 2 = a 3 = a 4 a = a 2 a 4 =x 4 = a 2 a 22 x a 22 A 2 = a 22,A = a 22 a 2,A = a 4 a 2 a 2 a 4
91 A (s) = a 2 + sa 22 a 2 + sa 2 + s 2 a 22 a 4 sa 4 A (s) = a 4 a 2 SA(s) = s2 s 2 a 22,a 24 = a 2,a 4,a 2 x 2 a 3 = a 4 a x 2 = a 2 a 22 a a 22 a 4 a 3 a 4 + a 4a 2 a 22 a 4 a 4a a 22 = a 4 = a 4a 2 a 4 a a 4 x 4 = a a 22 + a2 2 + a 2+a 2 a 2 22 a 22 + a 2a x a 2 22 A 2 = a 22,A = a 22 a 2,A = a a 2 a 4 a 4 a 4 a 2 a 4 a a 4 A (s) = a + sa 22 a 2 + sa 2 + s 2 a 22 a 4 a 4 a 2 a 4 a a 4 + sa 4 A (s) = a 4 a 2 a2 a 4 a 22 + a a 2 a 4 a 22 SA(s) = s2 s 2 a 22,a 24 a,a 2,a 2,a 4
92 x 2 = a 2 a 22 a a 22 a 3 = a 4 a 24 a 24a 2 a 22 + a 24 + a 24a a 22 = a 4 a 24a 2 a 22 + a 24a a 22 = a 4a 22 a 24 a 2 + a 24 a a 22 a 4 = a 4a 2 a 4a + a 2a 24 a2 2a 24 + a 2a 24 a a 22 a 22 a 22 a 2 22 a 2 22 = a 4a 2 a 22 a 4 a a 22 + a 2 a 24 a 22 a 2 2a 24 + a 2 a 24 a a 2 22 = a 2a 3 a 22 a 4 a a 22 + a 2 a 24 a 22 a 2 22 = a 2a 3 a 4 a + a 2 a 24 a 22 A 2 = a 22,A = a 22 a 2,A = a 24 a 24 a 4 a a 2 a 4 a 22 a 24 a 2 +a 24 a a 22 a 2 a 3 a 4 a +a 2 a 24 a 22 A(s) = a + sa 22 a 2 + sa 2 + s 2 a 22 a 4 a 22 a 24 a 2 +a 24 a a 22 + sa 24 a 2 a 3 a 4 a +a 2 a 24 a 22 + sa 4 + s 2 a 24 A(s) = a a 2 a 3 a 4 a 2 a 2 a 4 a 22 + a 4 a 2 a 2 SA(s) = s2 a 22 s 2
93 a 24,a 22 = a 2 = A(s) = a 4 + sa 24 a 4 + sa 4 + s 2 a 24 a 24 =,a 22, a 4 = A(s) = a 2 + sa 22 a 2 + sa 2 + s 2 a 22 q = μ = q +ˆq =+2=3 r =2 ) (A A x x x 2 ( ) = }{{} x x r r(q+) } {{ } r(q+) μ j }{{} r μ j A i = a i a i2,i =, x =,x =,x 2 = x a i3 a i4 x 2
94 x ji,i =,, 2 A i,i =, x 2 = {,,, } r = A = ( ),A =(, ) A(s) = ( ) s q =2 μ = q +ˆq =2+2=4,r =2 A (s) x ) x x 2 x 3 ( ) (A 2 A A x x x 2 = x x x ji,i=,, 2, 3 A i,i=,, 2 x 2 =,x 3 = {{,,,,, 2}, {,,,,, }} A 2 =,A =,A = 2
95 A (s) = s s2 +2 s A (s) = 2 A R p m A R m p AA A = A A AA = A ( AA ) T = AA ( A A ) T = A A A T A A A = A β j (t) = ˆq j k= x jk δ ˆq j +k (t) x jk C r k ˆq j, j l ˆq j C j = ( x j,x j,..., x j ˆqj,x j ˆqj,..., x j,q+ˆqj 2,x j,q+ˆqj ),j =, 2,..., l
96 J C =(C,C 2,..., C l ) R r μ J 2,J = R μ μ J l l μ = μ j,μ j = q +ˆq j j= a Ã(s) =I r C(J ai n ) { (s a)v +(s a) 2 V (s a) q V q } q = ind (C, J) C CJ (V,..., V q ) CJ q C C(J ai n ) S q = C(J ai n ) q q+ˆq j k t q+ˆq j k β j (t) = x jk (q +ˆq j k )! k= j =, 2,..., l Ã(ρ) β(t) ( = Ã(ρ) =ρq A ρ )
97 q = ind (C, J) C j = ( x j,x j,..., x j ˆqj,x j ˆqj,..., x j,q+ˆqj 2,x j,q+ˆqj ),j =, 2,..., l J C =(C,C 2,..., C l ) R r μ J 2,J = R μ μ J l l μ = μ j,μ j = q +ˆq j j= C CJ S q = rank(s q )=n CJ q V =(V,..., V q ) C C(J ai n ) S q = C(J ai n ) q
98 Ã(s) =I r C(J ai n ) { (s a)v +(s a) 2 V (s a) q V q } A(s) =s q à ( ) s A(s) A(ρ)β(t) = β (t) = δ (t) =x δ (t) β 2 (t) = δ (t)+ δ () (t) =x δ (t)+x δ () (t) q = ˆq =2 μ = q +ˆq = +2=3 x ji = (x x x 2 ),i =,,..., 3 r =2 q = C = x,j = x 2 S q = S =(C) = x x 2 q = q =2 ˆq =2 μ = q+ˆq =2+2=4x ji =(x x x 2 x 3 ),i=
99 ,..., 4 q =2 C = x x 3,J = x 2 x 4 S q = S 2 = = C CJ 2 x x 3 = C x 2 x 4 = CJ x x 2 S q = x 2 x x 2 2 x 4 n =4 CJ = x x 3 = x x 2 x 4 x 2 q = ind (CJ)=2 a = Ã(s) =I 2 C(J ai 4 ) { (s a)v +(s a) 2 } V 2 Ã(s) =I 2 C(J I 4 ) { (s )V +(s ) 2 } V 2 V =(V,V 2 ) C C(J I 4 )
100 x x 3 C (V,V 2 )= x 2 x 4 = C(J I 4 ) 2 x 2 x x 3 2 x 2 x 4 x 2 C(J I 4 ) = C = C = x x 3 = x 2 x 4 = 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 4 x 2
101 Ã(s) = x x x 3 x 2 x 2 x 4 x x 3 (s ) +(s ) 2 x 2 x 4 2 x 2 x x 3 2 x 2 x 4 x 2 = s(sx 2 2 +x 2 s+sx +sx 4 +) x 2 2 +x 2+x +x 4 (s )(x 2 2s+sx 2sx 2 +sx 4 +) x 2 2 +x 2+x +x 4 (s )s (s 2 x 2 2 3s sx 2+s 2 x +2s 2 x 2 +s 2 x 4 +2s 2 +) x 2 2 +x 2+x +x 4 x 2 2 +x 2+x +x 4 A(s) =s 2 A ( s) x 2 2 +x 2+x +x 4 (x 2 (s ) 2 + sx 2 + s + x + x 4 ) x 2 2 +x 2+x +x 4 ( 2x 2 s + x + x 2 + x 4 2) s x 2 2 +x 2+x +x 4 x 2 2 +x 2+x +x 4 (s 2 sx 2 3s + x x 2 + x + x 4 +2)
102
103
104
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΚΥΡΙΑΚΟΥΛΑ Χρ. ΜΑΚΡΗ M.Sc. Γεωλόγος Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2015
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
ΣΕΙΣΜΟΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΧΩΡΟ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΕΙΦΟΡΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ
ΧΑΤΖΗΝΙΚΟΛΑΣ ΜΙΧΑΗΛ ΣΕΙΣΜΟΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΧΩΡΟ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΕΙΦΟΡΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ 2015 Copyright Μιχαήλ Χατζηνικόλας,
ITU-R P (2009/10)
ITU-R.45-4 (9/) % # GHz,!"# $$ # ITU-R.45-4.. (IR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.tu.t/itu-r/go/patets/e. (http://www.tu.t/publ/r-rec/e ) () ( ) BO BR BS BT F M RA S RS SA SF SM SNG TF V.ITU-R
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Ο ΗΓΙΕΣ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ ΙΑΤΡΙΒΩΝ & ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ
Ο ΗΓΙΕΣ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ ΙΑΤΡΙΒΩΝ & ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ Α. ΟΜΗ ΙΑΤΡΙΒΩΝ & ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ (με κεφαλαία γράμματα αναγράφονται τα υποχρεωτικά μέρη και με πεζά τα προαιρετικά) 1. Αρχική Ύλη (με λατινική αρίθμηση σελίδων) ΕΞΩΦΥΛΛΟ
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
P P Ô P ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FELIPE ANDRADE APOLÔNIO UM MODELO PARA DEFEITOS ESTRUTURAIS EM NANOMAGNETOS Dissertação apresentada à Universidade Federal
ο3 3 gs ftffg «5.s LS ό b a. L Μ κ5 =5 5 to w *! .., TJ ο C5 κ .2 '! "c? to C φ io -Ρ (Μ 3 Β Φ Ι <^ ϊ bcp Γί~ eg «to ιο pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U3
I co f - bu. EH T ft Wj. ta -p -Ρ - a &.So f I P ω s Q. ( *! C5 κ u > u.., TJ C φ Γί~ eg «62 gs ftffg «5.s LS ό b a. L κ5 =5 5 W.2 '! "c? io -Ρ ( Β Φ Ι < ϊ bcp «δ ι pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U (Ν φ ra., r
A hybrid PSTD/DG method to solve the linearized Euler equations
A hybrid PSTD/ method to solve the linearized Euler equations ú P á ñ 3 rt r 1 rt t t t r t rs t2 2 t r s r2 r r Ps s tr r r P t s s t t 2 r t r r P s s r r 2s s s2 t s s t t t s t r t s t r q t r r t
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
ΟΙΚΟΝΟΜΟΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΟΥ ΝΗΣΙΟΥ ΜΕ Α.Π.Ε
Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. ΟΙΚΟΝΟΜΟΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΟΥ ΝΗΣΙΟΥ ΜΕ Α.Π.Ε Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής: Γεμενής Κωνσταντίνος ΑΜ: 30931 Επιβλέπων Καθηγητής Κοκκόσης Απόστολος Λέκτορας
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica preparada
Mesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale
POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Ηλεκτρονικός οδηγός για τους φοιτητές ενός Α.Ε.Ι.
Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Ηλεκτρονικός οδηγός για τους φοιτητές ενός Α.Ε.Ι. Πτυχιιακή Εργασίία Φοιτητής: Δημήτριος Παπαοικονόμου ΑΜ: 36712
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΕΝΙΣΧΥΤΗ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΕΦΕ
Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΕΝΙΣΧΥΤΗ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΕΦΕ Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής: Κοκλιώτης Αναστάσιος
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
! "#$ %#&'()* ## # '$ $ +, -# * +./ 0$ # " )"1.0229:3682:;;8)< &.= A = D"# '$ $ A 6 A BE C A >? D
! "#$ %#&'()* ## # '$ $ +, -# * +./ 0$ # "1.0223456728777)"1.0229:3682:;;8)< &.= >&.=*>1#*>.*?*,#*'(!@ 4AB#/ $C A = D"# '$ $ A +, -#)? D "F,%+./-#)
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Laurent Monasse To cite this version: Laurent Monasse. Analysis of a discrete element method and coupling with a
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
f a o gy s m a l nalg d co h n to h e y o m ia lalg e br coh the oogy lagebr
- - - * k ˆ v ˆ k ˆ ˆ E x ˆ ˆ [ v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E x ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ Ex U U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ M v ˆ v M v ˆ ˆ I U ˆ I 9 70 k k ˆ ˆ - I I 9ˆ 70 ˆ [ ˆ - v - - v k k k ˆ - ˆ k ˆ k [ ˆ ˆ D M ˆ k k 0 D M k [ 0 M v M ˆ
pi r p p c i i c i (0) i c i (x) i c i, av i c i i C i i C i P i C i W i d d D i i D i p i D in D out e e F F = I c j i i J V k i k b k b = K ic i K id i n P m P Pe i i r si i r p R R = R T V W i x x X
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία
E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets
E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets Benoît Combès To cite this version: Benoît Combès. E fficient computational tools for the statistical
κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω...
{ ( a -r ν ρ ι -Μ Π ώτ 1 Γ '- fj T O O J CL κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω < US η ixj* ί -CL* λ ^ t A u t\ * < τ : ; Γ ν c\ ) *) «*! «>» Μ I Λ 1,ν t f «****! ( y \ \, 0 0 # Περικλή_ Χαντζόπουλο κ α ι θ έ λ
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
The q-commutators of braided groups
206 ( ) Journal of East China Normal University (Natural Science) No. Jan. 206 : 000-564(206)0-0009-0 q- (, 20024) : R-, [] ABCD U q(g).,, q-. : R- ; ; q- ; ; FRT- : O52.2 : A DOI: 0.3969/j.issn.000-564.206.0.002
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
ITU-R P (2012/02)
ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU
5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 7.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Ανάπτυξη διαδικτυακής διαδραστικής εκπαιδευτικής εφαρμογής σε λειτουργικό σύστημα Android
Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Ανάπτυξη διαδικτυακής διαδραστικής εκπαιδευτικής εφαρμογής σε λειτουργικό σύστημα Android Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής:
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12. Παρατηρησιμότητα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15. Ευστάθεια Συστημάτων (Ευστάθεια Lyapunov - Ασυμπτωτική Ευστάθεια) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]
![( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]](/thumbs/49/25424945.jpg "( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]")
1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter
þÿ ±½Äµ», ¹º» ½± Neapolis University þÿ À¹ÃÄ ¼Î½, ±½µÀ¹ÃÄ ¼¹ µ À»¹Â Æ Å
Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Law and Social Sciences http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2016 þÿÿ ÁÌ» Â Ä Â ÅÁÉÀ±Êº  šµ½ä þÿ Á Àµ ±Â ÃÄ ½ ±½Ä¹¼µÄÎÀ¹Ã þÿµåáéà±êº  ºÁ
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Συνάρτηση Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
381 Κ.Δ.Π. 124/77. ir = > > ^ dodo" CL. g ω. (χωρ.) 1/42 (χωρ.,ν. 1/38 (χωρ.) > (χωρ) < β ><ΧΧΧΧΧ «XX. χχχχχχυχχ. χχχχχχ»χχ. I >d < 3. ΙΊ d" 'ο.
1 Ε.Ε. Πρ. Ill (I) *Ap. 15, 20.5.77 81 Κ.Δ.Π. 124/77 ΓΛ 01 N fn ^ TJ ON 0 ι 00 Φ υ β UJ W υ 1. ' Η Ι _ UI Ύ LU ' W ι ι ν τ 7 ιι LU Ι. Γ (Ν ^.. i 1 1 Ι 5 Ι ι_ *. *- * I f 5 " LP O _. θt,_ Q η * 25. s? Q
Ε.Ε. Παρ. 1(H) Αρ. 3496, Ν. 33(IIV2001
Ε.Ε. Πρ. 1(H) Αρ. 496, 4.5.2001 1799 Ν. (IIV2001 περί Συμπληρωμτικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. ) τυ 2001 εκδίδετι με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδ της Κυπρικής Δημκρτίς σύμφων με τ Αρθρ 52 τυ Συντάγμτς. Αριθμός
r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
program Inner-Product-1 declare m: integer initially assign end 0..P 1 p program Vector-Sum-4 declare i: integer;
program name definitions of (nonglobal) variables state of the data space before execution transformations by the program { state of the data space after execution } program Inner-Product-1 m: integer
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu
(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A
ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F
P r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
Prés té r t r P Ô P P é té r t q r t t r2 t r t r t q s t r s t s t t s à t té rt rs r r ss r s rs tés r r ss r s rs tés 1 1 t rs r st r ss r s rs tés P r s 13 è îtr ér s r P rr îtr ér s rt r îtr ér s
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la
Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité Pierre Clairambault To cite this version: Pierre Clairambault. Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité. Autre [cs.oh].
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.
l dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14. Ελάχιστες Πραγματώσεις Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία
0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i
Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat
Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat Pierre Coucheney, Patrick Maillé, runo Tuffin To cite this version: Pierre Coucheney, Patrick
Σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας ακουστικών σημάτων με χρήση προγραμματιζόμενων διατάξεων πυλών. Πτυχιακή Εργασία. Φοιτητής: ΤΣΟΥΛΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ
Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας ακουστικών σημάτων με χρήση προγραμματιζόμενων διατάξεων πυλών. Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής:
3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371,
E.E., Παρ. I, Αρ. 271, 16.12. 607 Ν. 7.2/ περί Συμπληρματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 5) τυ 19 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς- - Αριθμός
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o
G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
La naissance de la cohomologie des groupes
La naissance de la cohomologie des groupes Nicolas Basbois To cite this version: Nicolas Basbois. La naissance de la cohomologie des groupes. Mathématiques [math]. Université Nice Sophia Antipolis, 2009.
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.
ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ. ΤΜΗΜΑ ΠΜΣ.. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ο ΤΙΤΛΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΙΣΗ ΣΤΟ ΚΕΝΤΡΟ
Εξώφυλλο ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ. ΤΜΗΜΑ ΠΜΣ.. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ο ΤΙΤΛΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΙΣΗ ΣΤΟ ΚΕΝΤΡΟ Όνομα Επίθετο φοιτητή/τριας [Με πεζά στοιχεία και στοίχιση
2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4
Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a
سال چهارم آموزش متوسطه رشته ی ریاضی و فیزیک
سال چهارم آموزش متوسطه رشته ی ریاضی و فیزیک آموزش جامع و کامل مباحث به همراه تمرین های آموزشی و جواب فصل اول :... فصل دوم :... فصل سوم :... فصل چهارم :... 8 www.g-l.ir : www.thtower.org 8 www.g-l.ir ge
Προηγμένος έλεγχος ηλεκτρικών μηχανών
Προηγμένος έλεγχος ηλεκτρικών μηχανών Ενότητα 4: Διπολικό Μοντέλο Ασύχρονης Μηχανής Επαμεινώνδας Μητρονίκας - Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών
ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 8 έκδοση DΥΝI-EXC08-016b Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή
ΣΤΑΥΡΟΥ. ΒΟΛΟΓΙΑΝΝΙ Η ΑΛΓΕΒΡΟ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Υπο λήθηκε στο Τµήµα Μαθηµατικών, Τοµέας Επιστή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Η/Υ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΤΑΥΡΟΥ. ΒΟΛΟΓΙΑΝΝΙ Η Πτυχιούχου Μαθηµατικού ΑΛΓΕΒΡΟ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός
... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
E.E., Παρ. I, 729 Ν. 17/91 Αρ. 2576,
E.E., Πρ. I, 729 Ν. 17/91 Αρ. 2576, 8.2.91 περί Πρϋπλγισμύ τυ Τμείυ Θήρ*; Νόμς τυ 1990 εκδίδετι με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδ της Κυπρικής Δημκρτίς σύμφν με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγμτς. Αριθμός 17 τυ 1991
1134 Ν. 8(ΙΙ)/2001. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 3475,
E.E.. (H) Α. 47,6.. 4. (ΙΙ)/ ί ϋλγμύ Τμί Τκκκώ ώ όμς κί μ μί ίμ φμί ς Κκής Δμκίς μφά μ Άθ Σάγμς. ίμ. Σκός ίλς. Έγκ λμής ό Τμί Τκκκώ ώ ύ 4.49.77 γ ή ές λήγ ς Δκμβί. ίκ ώ θ θύ. ίκς. μί ύμς μέ άθ γ κάλψ λλίμμς
"!$#&%('*),+.- /,0 +/.1),032 #4)5/ /.0 )80/ 9,: A B C <ED<8;=F >.<,G H I JD<8KA C B <=L&F8>.< >.: M <8G H I
"!$#&%('*),+.- /,0 +/.1),032 #4)5/.-076 4/.0 )80/ 9,: ;=@?4: A B C