8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA Sadržaj poglavlja

Transcript

1 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA Sadržaj poglavlja 8.1 Uvod 8.2 Metoda ultrazvuka 8.3 Metoda gama zračenja 8.4 Metoda neutronskog zračenja 8.5 Metoda merenja površinske tvrdoće 8.6 Magnetne i ostale specifične metode 8.7 Vibracione metode

2 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.1 Uvod Klasične metode ispitivanja materijala podrazumevaju primenu određenih postupaka koji se sprovode: Ili na uzorcima izrađenim od materijala koji se specijalno izdvaja za ovu svrhu, pri čemu se ta ispitivanja vrše pre početka, tokom i nakon izvođenja radova, Ili se data ispitivanja vrše na uzorcima materijala uzetim (izvađenim) iz gotovog (završenog) objekta. Bez obzira na broj uzoraka koji se u oba navedena slučaja podvrgava ispitivanju, stoji činjenica da se putem ovakvih ispitivanja, u suštini, definišu samo svojstva ispitivanih uzoraka i da se ovako dobijeni rezultati samo uslovno mogu preslikati na materijal predmetnog elementa (objekta).

3 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.1 Uvod Drugim rečima: Ako uzorci nisu izvađeni iz samog objekta oni, u opštem slučaju, mogu da pokažu vrlo različite vrednosti u poređenju sa vrednostima koje se odnose na materijal u samom objektu. Ako su uzorci izvađeni iz objekta, zbog njihovog, po pravilu, malog broja (pre svega u cilju što manjeg oštećenja objekta), oni nisu u stanju da pruže dovoljno pouzdane podatke o svojstvima materijala u objektu kao celini.

4 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.1 Uvod Navedeni razlozi, kao i značajan napredak na području primenjene fizike, elektronike i drugih naučnih disciplina, doveli su tokom poslednjih decenija do pojave i usavršavanja većeg broja metoda koje omogućavaju neposredna ispitivanja materijala ugrađenih u objekte, bez potrebe vađenja uzoraka. Ovakva ispitivanja materijala poznata su pod opštim imenom Ispitivanja bez razaranja ili Nedestruktivna ispitivanja. Ovi postupci primenjuju se najčešće u cilju: Određivanja (definisanja) pojedinih fizičko-mehaničkih svojstava, Kao metode defektoskopije materijala. Među ovim postupcima postoji veliki broj takvih koji se mogu primeniti na sve materijale (metoda ultrazvuka, rezonantne frekvencije i dr.), ali i takve metode koje se zasnivaju na specifičnostima pojedinih materijala, u kom slučaju se mogu primeniti samo na te konkretne materijale (na pr. magnetne metode kod gvožđa i čelika, ili metode merenja toplote hidratacije cementa na području maltera i betona).

5 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.1 Uvod Treba naglasiti, međutim, da se kod ispitivanja svojstava materijala putem metoda bez razaranja traženo svojstvo u najvećem broju slučajeva ne meri direktno, već se postupak svodi na merenje neke druge fizičke veličine koja je u funkcionalnoj vezi sa datim -traženim svojstvom. Logično, ovakav posredan način određivanja svojstava materijala, podrazumeva poznavanje zavisnosti između veličine koja se meri i svojstva materijala koje se ispituje. Zavisnosti o kojima je reč dobijaju se paralelnim ispitivanjima uzoraka materijala najpre nedestruktivnim postupkom koji je u pitanju, a zatim destruktivnim postupkom ispitivanja onog svojstva materijala koje se želi utvrditi.

6 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.1 Uvod Prednosti nedestruktivnih u odnosu na destruktivne metode ispitivanja su: Obezbeđuju očuvanje celine elementa koji se ispituje, Omogućavaju merenja na velikom broju mernih mesta i mogućnost višekratnog ponavljanja merenja, Ne zahtevaju mnogo vremena za vršenje merenja, Omogućavaju određivanje svojstava materijala u svakoj dostupnoj tački elementa (konstrukcije), Mogu da se primene i za merenja na standardnim uzorcima materijala, što omogućava poređenje dobijenih rezultata i utvrđivanja tačnosti merenja, kao i mogućnost definisanja zavisnosti između veličine koja se meri i svojstva materijala koje se ispituje.

7 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.1 Uvod Pored iznetih prednosti, ispitivanja bez razaranja imaju i određene nedostatke. Jedan od najvažnijih je činjenica da se do vrednosti željenog svojstva materijala po pravilu ne dolazi direktnim putem, već indirektno, preko nekog fizičkog parametra koji se meri, a koji sa traženim svojstvom materijala stoji u funkcionalnoj zavisnosti. Drugim rečima, do rezultata ispitivanja može se doći samo ako se poznaje funkcija: S = S (f v ) gde je S svojstvo materijala koje se ispituje, a f v -fizička veličina koja se meri. Do predmetne zavisnosti, kao što je navedeno, dolazi se paralelnim ispitivanjima na uzorcima posebno izrađenim u tu svrhu ili, što je još bolje, na uzorcima koji se vade iz konstrukcije (elementa) koja se ispituje, po završenom merenju nedestruktivnim postupkom.

8 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.1 Uvod Predmetne funkcije S u najvećem broju slučajeva imaju empirijski karakter i do njih se dolazi paralelnim ispitivanjima na istim uzorcima: najpre fizičke veličine f v, a zatim i željenog svojstva S. Na taj način, ukoliko se rezultati unesu u koordinatni sistem f v S, dobija se mogućnost grafičkog ili analitičkog definisanja potrebne zavisnosti videti Sl. 8.1.

9 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.1 Uvod Treba naglasiti da će se rezultati ovakvih ispitivanja, u zavisnosti od broja uzoraka putem kojih se određuju, grupisati u jednoj užoj, ili široj zoni, pa se do zavisnosti f v S najčešće dolazi putem aproksimacije, koja se bazira na stavovima matematičke statistike i teorije verovatnoće (regresiona analiza, metoda najmanjih kvadrata i dr. ) videti i tač. 9 ovog, Opšteg dela!

10 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka Kao što je poznato, pod ultrazvukom se podrazumevaju vibracije iste prirode kao i zvuk, ali vrlo visokih frekvencija - koje ljudsko uho nije u stanju da registruje. Ove vibracije, koje usuštini imaju mehanički karakter, odlikuju frekvencije > od Hz (20kHz). Za beton se koriste sonde (predajnik i prijemnik) sa frekvencijom (f) od khz, a za čelik znatno većom, 1,5 15 MHz. Brzine ultrazvuka (v) kroz beton iznose m/s, a kroz čelik 5850 m/s (iz poznate relacije f = v/λ proizlazi da su talasne dužine λ: za beton 1,7 10 cm, za čelik cca 0,04 0,4 mm). Za dobijanje ultrazvuka najčešće se primenjuje piezoelektrični metod, koji se zasniva na sposobnosti pojedinih kristalnih tela da pod dejstvom električne struje menjaju svoje dimenzije i na taj način proizvode visokofrekventne impulse. Ovi kristali imaju i sposobnost ispoljavanja suprotnog efekta: da pod uticajem visokofrekventnih impulsa dolazi do njihovog naelektrisanja (piezoefekat).

11 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka U praksi, ultrazvučni impulsi se dobijaju primenom specijalnih generatora impulsa (1); za unošenje impulsa u element koji se ispituje služe posebni predajnici (2); primenom ovih predajnika provode se UZ impulsi kroz ispitivani materijal (3) do prijemnika (4), pri čemu dolazi do prenosa podužnih, poprečnih ili površinskih ultrazvučnih talasa; primljeni impulsi pojačavaju se putem pojačivača (5) i šalju na indikator vremena (t). Blok šema uređaja za ispitivanje putem ultrazvuka

12 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka Ispitivanja su pokazala da najveću energiju, odnosno brzinu, imaju podužni (longitudinalni) talasi; poprečni talasi imaju 2 puta manju brzinu, dok brzina površinskih talasa iznosi 90% brzine poprečnih, tj. samo 45% brzine podužnih talasa S obzirom na to, tj. na veću tačnost merenja brzina prolaza ultrazvuka, u praksi se najčešće i primenjuje princip prenosa podužnih (longitudinalnih) ultrazvučnih talasa. Znajući dužinu puta (s) koju je ultrazvuk prošao kroz element i izmereno vreme prolaska (t), brzina (v) dobija se iz izraza: v=s/t (m/s) Brzina ultrazvuka kroz homogena tela zavisi od fizičkomehaničkih svojstava materijala, kao i od geometrijskih karakteristika tela. U važnosti su sledeće zavisnosti:

13 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka v = v v = = E D γ (1 (1 + E D 2 D µ ) γ E D µ D E D =v 2 g =E D (v, g ) E D =v 2 g (1-μ D2 )=E D (v, μ D, g) (1 )(1 µ D ) 2µ D ) γ E D =v 2 g f (μ D )=E D (v, m D, g) f ( µ ) = ) (1 Za slučajprolaska ultrazvuka kroz linijske elemente (prizme, cilindri), ako je h/a > 5 i a < λ/3 (λ>3a): Za slučaj prolaska ultrazvuka kroz površinske (pločaste) elemente, debljine d, kada je d < 2λ (λ>d/2): Za slučaj prolaska ultrazvuka kroz tela "neograničenih" dimenzija, kada je d 2λ (λ d/2 za beton je, npr. Λ 1,7 10 cm, d 3,4-20 cm): Za sračunavanje dinamičkog modula elastičnosti betona E D, iz izraza desno, za μ D se može usvojiti vrednost 0,15-0,25 (v. Vibracione metode) (1 ) D (1 + µ D µ D 2µ D )

14 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka U napred datim izrazimaza brzinu longitudinalnih talasa ultrazvuka figurišu: γ -zapreminska masa materijala, E D -dinamički modul elastičnosti materijala, μ D -dinamički Poasonov koeficijent materijala To znači da, ako je poznata brzina ultrazvuka v, postoji mogućnost da se korišćenjem datih obrazaca direktnim putem dođe do neke od ovih veličina (npr. ako je poznata zapr. masa γ, koja se dobija najelementarnijim merenjima mase i zapremine, na osnovu izmerene brzine v i usvojenog μ D može se odrediti E D što se u praksi vrlo često i koristi). Veličine γ, E D i μ D kod većine materijala stoje u određenoj funkcionalnoj vezi i sastrukturnim svojstvima poroznošću, čvrstoćom i nizomdrugih svojstava materijala. Ova veza u najvećoj meri važi za odnos zapreminske mase (poroznosti) i fizičko mehaničkih svojstava

15 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka S obzirom da brzina ultrazvuka čak i teorijski zavisi od vrednosti γ, može se zaključiti da je metodu ultrazvuka načelno moguće primeniti za određivanje svih onih svojstava materijala (E D, μ D, p, f p, otpornost na mraz i dr.), koja su u funkcionalnoj vezi sa zapreminskom masom materijala γ. Logično, imajući u vidu napred date izraze, neke od ovih veličina moguće je odrediti direktno, na bazi tih izraza, a neke se mogu odrediti samo na bazi odgovarajućih veza S=S(v), dobijenih paralelnim merenjima brzine v, pa zatim i veličine S(v) na uzorcima. Kako je za sve materijale u građevinarstvu, pa i za razne vrste betona, čvrstoća bez sumnje najznačajnije svojstvo, to se i metoda ultrazvuka vrlo često koristi za ocenu čvrstoće betona u gotovim konstrukcijama. Kada se ocenjuje čvrstoća betona u konstrukciji, međutim, metoda ultrazvuka može da ima dva dosta ozbiljna nedostatka, s obzirom da na brzinu ultrazvuka ne mogu da utiču dva bitna faktora, koja inače veoma utiču na čvrstoću (cementnih) betona: -Klasa (čvrstoća) primenjenog cementa (32,5; 42,5; 52,5 + simboli N ili R) - Ostvarena athezija između cementnog kamena i zrna agregata (čestice gline kod neadekvatno opranog agregata peska i šljunka veoma umanjuju atheziju i time znatno snižavaju čvrstoću, a ne umanjuju v)

16 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka P ortable U ltrasonic N on D estructive I ndicating T ester Ultrazvučna aparatura PUNDIT

17 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka S obzirom da je reč o merenju brzina longitudinalnih talasa, pri direktnom prenosu (a) dobijaju se talasi koji se u najvećoj meri propagiraju upravno na površinu sondi (predajnik i prijemnik), pa je i tačnost merenja najveća. Mogući položaji sondi pri ispitivanju Iz navedenih razloga, u praksi se, kad god je to moguće, vrše merenja direktnim postupkom a), dok se poludirektni, b) ili c), odnosno površinski postupak d), primenjuju samo onda kada su dve, odnosno tri naspramne površine ispitivanog elementa nedostupne.

18 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka EHO metoda Primena eho metode zahteva poseban tip ultrazvučne aparature, u kojoj postoji samo jedna sonda koja je u kontaktu sa materijalom. EHO uređaj emituje vrlo kratke impulse, blagodareći tzv. sinhronizatoru, čija je funkcija da istovremeno sa predajom impulsa isključi predajnik, a uključi prijemnik, tako da on bude spreman za hvatanje onih talasa kojinastaju odbijanjem osnovnih talasa od površine kojaograničava Princip primene eho metode posmatrani element.

19 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka

20 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka Defektoskopija Prikaz primene metode ultrazvuka u defektoskopiji

21 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka Defektoskopija Korišćenje senke za utvrđivanje prisustva defekata u materijalu

22 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka Defektoskopija Princip primene eho metode u defektoskopiji

23 8 ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.2 Metoda ultrazvuka Defektoskopija 2s 1 / t 1 = 2s 2 / t 2 tj. : s 1 / t 1 = s 2 / t 2 s s 1 2 = = c c x + 4x 2 c = x 4t t t t c = t cotgα (2l + t cotgα ) 2( t cotgα + l)

24 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.3 Metoda gama zračenja Ispitivanja materijala putem gama zračenja zasnivaju se na zakonima uzajamnog delovanja ove vrste zračenja i pojedinih supstanci. Nezavi - sno od hemijskog sastava materijala koji se ispituje, najčešće se koriste gama zraci sa energijom 0,5-1,5 MeV (nukleidi: Cz 137, Co 60, Ir 192) Gama zraci imaju veliku moć prodiranja kroz materijale, pri čemu, zavisno od gustine supstance, njihov intenzitet manje ili više slabi. Izvor zračenja se postavlja tako da se zračenje I 0 usmerava kroz materi - jal, pa se detektorom registruje intenzitet I nakon prolaza kroz materijal. a/ Geometrija širokog snopa (rasejanog zračenja) µ mγ d I = I 0B e b/ Geometrija uzanog snopa (metoda prozračivanja) I = I 0 e µ γ d μ m maseni koefic. slabljenja B parametar koji definiše uticaj rasejanog zračenja I r (za b/:b=1) m

25 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.3 Metoda gama zračenja Iz izraza za intenzitet zračenja (I) nakon prolaska kroz ispitivani materijal vidi se da je smanjenje intenziteta zračenja funkcija pojedinih svojstava materijala, pre svega zapreminske mase (γ), ali kako pokazuju ispitivanja, ovo smanjenje zavisi i od niza drugih svojstava (p, f, E i dr.) Sledi zaključak da se primenom gama zračenja mogu određivati sva svojstva materijala koja su na određen način u funkcionalnoj vezi sa γ Iz datih izraza se vidi da se oni direktno mogu koristiti za određivanje γ, uz poznato d, ili za određivanje d iz poznatog γ. Ukoliko se, pak, ova metoda koristi za odre - đivanje fizičko-mehanič - kih svojstava, potrebno je odrediti funkcije oblika: S = S 1 ( I ) ili S = S 2 ( I / I 0 )

26 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.3 Metoda gama zračenja Primena metoda gama - zračenja za ispitivanje tečnih materijala Ukoliko je reč o merenju svojstava tečnih materijala, primenjuju se sonde koje omogućavaju merenja u dubini mase. Ove aparature takođe mogu da rade na principu prozračivanja a) ili rasejanog zračenja b).

27 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.3 Metoda gama zračenja Primena gama - zračenja za defektoskopiju materijala Jedno od područja u kome se metoda gama zračenja najviše primenjuje je defektoskopija materijala. Kod defektoskopije se primenjuje princip geometrije širokog snopa ili postupak rasejanog zračenja. Sam postupak ispitivanja dovoljno je jasno ilustrovan na Sl Ovakav postupak je, ustvari, savremena varijanta nekada mnogo primenjivanog ispitivanja putem X zračenja. Zbog dva puta manje moći prodiranja kroz materijal od gama zračenja i vrlo velike potrošnje električne energije za dobijanje X zraka, ova metoda se danas sve manje primenjuje u praksi.

28 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.3 Metoda gama zračenja Primena metode gama - zračenja za defektoskopiju materijala

29 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.4 Metoda neutronskog zračenja Najčešće se primenjuje za određivanje vlažnosti materijala. Metoda se zasniva na zakonima usporavanja kretanja neutrona, tokom njihovog prodiranja kroz vlažan materijal. Pri prodiranju tzv. brzih neutrona kroz masu materijala, dolazi do njihovog sudaranja sa jezgrima mnogih atoma, pri čemu energija neutona slabi, čime se dobijaju tzv. spori neutroni % sporih neutrona stvara se sudaranjem sa jezgrima atoma vodonika, čije je prisustvo u većini građevinskih materijala vezano sa njihovom vlažnošću. Kao izvori brzih neutrona koriste se kombinacije Pu Be, Ra Be, Am Be a) Površinska merenja b) Dubinska merenja Eksperimentalnim putem određuje se zavisnost: H=H(N spor /N brz ) Tačnost određ. H: 0,2% do 0,3%

30 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.5 Metode merenja površinske tvrdoće Podatak o tvrdoći materijala omogućava vrlo pouzdano ocenjivanje drugih mehaničkih svojstava, u prvom redu njegove čvrstoće pri zatezanju i pri pritisku. Načelno se može govoriti o dve grupe metoda za definisanje tvrdoće, a preko nje i čvrstoće materijala: a) Metode koje se zasnivaju na utiskivanju -Manji otisak veća tvrdoća veća čvrstoća (i obratno) b) Metode koje se zasnivaju na odskoku -Veći odskok veća tvrdoća veća čvrstoća (i obratno)

31 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.5 Metode merenja površinske tvrdoće Premda se, kod ispitivanja betona i kod ispitivanja čelika, generalno, mogu primenitiobe grupe metoda, tj.: a) Metode koje se zasnivaju na utiskivanju i b) Metode koje se zasnivaju na odskoku, ipak, kao celishodnije, u građevinskoj praksi: Za ispitivanje betona uglavnom se primenjuju metode iz grupe b) sa odskokom: Šmitov (Schmidt) čekić ili sklerometar, dok se Za ispitivanje čelika uglavnom primenjuju metode iz grupe a) sa utiskivanjem: Brinelova metoda (sa kuglicom prečnika 10 mm) Najozbiljniji nedostatak (obe grupe) metoda merenja površinske tvrdoće sastoji se u činjenici da se ovim postupcima može pouzdano dobiti tvrdoća (pa samim tim oceniti i čvrstoća), na površini elementa, koja se ponekad može značajno razlikovati od tvrdoće (odnosno čvrstoće) u masi elementa: U slučaju ispitivanja betona ova razlika potiče od uslova nege betonskog elementa (uticaj temperature, vlažnosti, mraza i slično) U slučaju ipitivanja čelika do ovakve razlike može da dođe u slučaju tzv. površinske obrade čeličnih elemenata (cementacija, nitriranje)

32 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.5 Metode merenja površinske tvrdoće Kod ispitivanje betona, kao grubo nehomogenog materijala, međutim, postoji još jedan nedostatak ovih metoda veliko rasipanje rezultata merenja od mesta do mesta na površini elementa (konkretnije rasipanje veličina odskoka sklerometra) Ovaj nedostatak, međutim,za razliku od prethodno pomenutog, koji se ni u kom slučaju ne može eliminisati, relativno lako se može eliminisati ispitivanjem na većem broju mernih mesta. U tom smislu, ispitivanje betona na jednom mernom mestu podrazumeva (nakon prethodnog skidanja tankog, površinskog sloja) pripremu (obeležavanje) mreže sa najmanje 9 tačaka (preseka pravih linija na jednakom odstojanju), ali često i 16, ili čak 25 tačaka za merenje odskoka. Po završenom merenju ( otkucavanju ) sračuna se prosečna vrednost odskoka, a zatim eliminišu oni odskoci koji odstupaju za više od unapred utvrđene granice (najčešće 6 ili 7 mm) i tada odredi nova, merodavna vrednost Indeks sklerometra ili odskočni broj kao prosečna vrednost preostalih odskoka.

33 ISPITIVANJE BETONA BEZ RAZARANJA Metode merenja površinske tvrdoće Fotografija aparature tipa Proceq sa automatskim pisačem Skica podužnog preseka aparature (sasvim desno) Na slici desno: 1 udarni valjak, 2 udarna opruga, 3 udarna masa, 4 strelica na skali (5), koja se nalazi na spoljnoj strani aparature (kod aparature sa pisačem, ova strelica beleži visinu otskoka na posebnom papiru)

34 ISPITIVANJE BETONA BEZ RAZARANJA Metode merenja površinske tvrdoće Dijagram (proizvođača) za određivanje čvrstoće pri ritisku, u zavis - nosti od indeksa sklerometra i položaja ose aparata pri merenju

35 ISPITIVANJE BETONA BEZ RAZARANJA Metode merenja površinske tvrdoće HPS metod

36 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.6 Magnetne i ostale specifične metode Magnetne metode Zasnivaju se na merenju promena u magnetnom polju, u zavisnosti od prisustva defekata (za feromagnetne materijale) Postojanje finih, golim okom nevidljivih pukotina ili uključaka, utvrđuje se na osnovu deformacija linija magnetnog polja Za poprečne pukotine jednosmerna, za podužne naizmenična struja; uređaj se zove feromagnetofluks; na glatku, čistu površinu nanosi se suspenzija finog gvozdenog praha u ulju ili petroleumu

37 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.6 Magnetne i ostale specifične metode Električne metode U nizu slučajeva postoji izražena zavisnost između električnih veličina i fizičko mehaničkih svojstava materijala. Na primer, merenjem električne provodljivosti može se doći do podataka o poroznosti, vlažnosti i čvrstoći prirodnog kamena i betona. Tzv. termo električni metod zasniva se na zavisnosti između toplotne provodljivosti i vlažnosti nevezanih materijala (šljunka, peska, drobljenog kamena). Metoda fluorescencije Najčešće se primenjuje u defektoşkopiji metala. Površina metala premazuje se vrlo viskoznom, fluorescentnom masom, koja ostaje u prisutnim pukotinama i nakon brisanja. Osvetljavanjem obrisane površine UV (Ultra-violetnim) zracima (λ=3, m) može se otkriti položaj, veličina i pravac pružanja pukotina. Metode lokalne destrukcije Uglavnom se primenjuju za ispitivanje čvrstoće betona. Postoji veći broj ovakvih postupaka i svi se oni zasnivaju na merenju sile koja je potrebna da se sa površine betonskog elementa otkine komad betona određene veličine (više u Betoniма GM 2).

38 ISPITIVANJE BETONA BEZ RAZARANJA Metode lokalne destrukcije

39 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.7 Vibracione metode Zasnivaju se na zavisnostima koje postoje između pojedinih svojstava materijala i dinamičkih karakteristika sistema, realizоvanih na bazi tih materijala. Prizmatični uzorci (Sl. 8.19) se pobuđuju na oscilovanje: transverzalnim (a), longitudinalnim (b), ili torzionim oscilacijama (c). Svaki uzorak pod navedenim uslovima predstavlja dinamički sistem, a za svaki od ovih sistema postoji teorijski izraz koji definiše način njegovog oscilovanja. Radi se o slobodnim oscilacijama, sa frekvencijom osnovnog tona f (Hz). Na primer, za oscilovanje sistema sa Sl b): f = 1 2l E γ D Napomena: Ako se na istom uzorku izmeri i brzina U-zvuka v, moguće je odrediti i μ D. E D = 4 f 2 l 2 γ

40 8. ISPITIVANJE MATERIJALA BEZ RAZARANJA 8.7 Vibracione metode Putem pobuđivača, uzorak se izlaže prinudnom oscilovanju, pri čemu se frekvencije oscilacija pobuđivača instrumentom mogu menjati po volji. Proizvedene mehaničke oscilacije uzorka pretvaraju se u prijemniku u električne oscilacije, koje se pojačavaju i prenose do mernog instrumenta Menjanjem frekvencija pobuđivača može se podesiti da se ona poklopi sa sopstvenom frekvencijom slobodnih oscilacija uzorka (rezonancija) Rezonantna frekvencija je i frekvencija slobodnih oscilacija uzorka f. Uređaj za ispitivanje putem longitu - dinalnih oscilacija tipa ERUDITE E lectro dynamic R esonant frequency U ltrasonic D igital I ndicating T est E quipment

41 9. Definisanje karakteristika materijala Sadržaj poglavlja Ispitivanje materijala: Vrste ispitivanja prema karakteru Ispitivanja materijala postupcima sa razaranjem Ispitivanja materijala postupcima bez razaranja Ispitivanja materijala kombinacijom ova dva postupka 9.2 Vrste ispitivanja materijala prema svrsi i načinu sprovođenja, sa primenom standarda Standardna ispitivanja Naučna istraživanja Primena standarda i drugih propisa 9.3 Obrada rezultata ispitivanja Numeričko definisanje svojstava Stohastički karakter rezultata ispitivanja Neki postupci definisanja merodavnih svojstava materijala Primena matematičke statistike i teorije verovatnoće 9.4 Aproksimacija krivih

42 9. Definisanje karakteristika materijala 9.1 Ispitivanje materijala Ispitivanjima se dolazi do podataka neophodnih za praktičnu primenu materijala. Ovi podaci rezultati ispitivanja najčešće se izražavaju putem određenih brojnih vrednosti, koje označavaju konkretno svojstvo materijala. Vrednost koja se usvaja kao merodavna za neko svojstvo materijala nikada se ne dobija jednokratnim ispitivanjem, već se mora zasnivati na većem broju rezultata ispitivanja. Drugim rečima: Ocena izvesnog svojstva materijala može se dati samo na osnovu većeg broja identičnih ispitivanja, pri čemu se sa povećanjem ovog broja ostvaruje mogućnost tačnije ocene svojstva materijala.

43 9. Definisanje karakteristika materijala 9.2 Vrste ispitivanja: Standardna ispitivanja Standardna ispitivanja se vrše da bi se omogućio pravilan i racionalan izbor materijala za građenje pojedinih objekata, što treba da doprinese njihovoj funkcionalnosti, stabilnosti, estetici, trajnosti i ekonomičnosti. Imajući u vidu osobenosti građevinske proizvodnje, standardna ispitivanja se mogu podeliti na: Prethodna i Kontrolna ispitivanja. Prethodna ispitivanja sprovode se sa ciljem da se definiše, ili odabere, materijal koji će ispuniti postavljene zahteve, što znači da se ova ispitivanja po pravilu vrše pre započinjanja građenja objekata. Kontrolna ispitivanja imaju za cilj da se provere svojstva utvrđena prethodnim ispitivanjima, odnosno da se proveri ispunjenje predviđenih i deklarisanih svojstava materijala. Drugim rečima: Kontrolnim ispitivanjima se definišu svojstva materijala koji se ugrađuje u predmetni objekat i vrše poređenja dobijenih rezultata sa zahtevanim veličinama. Pored kontrole materijala koji se ugrađuje, u ovu grupu spada i kontrola već ugrađenog materijala (najčešće kombinacijom postupaka - sa razaranjem i bez razaranja).

44 9. Definisanje karakteristika materijala 9.2 Vrste ispitivanja: Standardna ispitivanja Prethodna ispitivanja imaju, svakako, najveći značaj kod izgradnje objekata od betona (jer tada izvođač radova, ili, eventualno, druga građevinska kompanija proizvodi ovaj materijal); u tom slučaju ova ispitivanja podrazumevaju: Prethodna isptivanja komponentnih materijala (agregata, cementa, vode, aditiva) Prethodna isptivanja svojstava svežeg i očvrslog betona Izbor komponentnih materijala, na osnovu prethodnih ispitivanja njihovih svojstava, odnosno svojstava svežeg i očvrslog betona (ponekad i sa dve ili više različitih vrsta cementa, agregata i aditiva) i usvajanje betonske mešavine za betoniranje konkretne konstrukcije. Prethodna ispitivanja vrše se i u slučaju primene gotovih materijala (opeka, crep, drvo, čelik i dr.). U ovom slučaju, međutim, izbor materijala vrši se na bazi njihovih svojstava deklarisanih od strane proizvođača, a prethodna ispitivanja se svode samo na proveru deklarisanih svojstava. I kontrolna ispitivanja, takođe, vrše se ne samo u slučaju primene betona, već i u slučaju primene gotovih materijala s obzirom na mogućnost da kod pojedinih isporuka ova svojstva ne odgovaraju u potpunosti deklarisanim svojstvima.

45 9. Definisanje karakteristika materijala 9.2 Vrste ispitivanja: Standardna ispitivanja Može se zaključiti da se standardna ispitivanja vrše radi neposredne primene dobijenih rezultata u praksi. Iz tih razloga svi rezultati koji se dobijaju moraju da budu direktno upotrebljivi, tj. način njihovog izražavanja i forma prezentacije moraju da budu u potpunosti saglasni sa zahtevima koje nameće rešavanje konkretnog problema. Rezultati moraju da budu logični, međusobno uporedivi i ne smeju da zavise od subjekta koji vrši ispitivanje. Jednom reči: Sva standardna ispitivanja moraju da budu reproduktivna, a disperzije rezultata, ukoliko se pojave, treba da budu isključivo vezane za materijal koji se ispituje. Sve ovo pokazuje da se kod standardnih ispitivanja ne može dozvoliti sloboda u smislu izbora metode, uslova ispitivanja, načina izražavanja rezultata i drugih faktora, jer bi se na taj način od slučaja do slučaja dobijali veoma različiti rezultati. (Na primer, rezultati ispitivanja čvrstoće bilo kog materijala značajno će se razlikovati pri različitim oblicima i dimenzijama uzoraka, pri različitim brzinama nanošenja opterećenja, u različitim termo higrometrijskim uslovima i dr.)

46 9. Definisanje karakteristika materijala 9.2 Vrste ispitivanja: Standardna ispitivanja Iz svih napred navedenih razloga standardna ispitivanja se uvek vrše na bazi odredaba raznih propisa, standarda, pravilnika, preporuka i dr., u kojima je sve što se tiče ovih ispitivanja potpuno precizno definisano. U propisima iz oblasti tehničkog zakonodavstva, za sve materijale i za sva njihova uobičajena ispitivanja, propisane su kompletne procedure ispitivanja: Način uzimanja uzoraka, Priprema uzoraka za ispitivanje, Oblik i broj uzoraka, Uslovi i postupci ispitivanja, Način obrade rezultata, Definisanje merodavnih (karakterističnih) veličina rezultata svojstava, Kriterijumi za ocenu prihvatljivosti rezultata ispitanog svojstva, i Drugi relevantni faktori. Primena propisane procedure ispitivanja određenog materijala obezbeđuje da se ispitivanje svojstava tog materijala uvek sprovodi pod istim uslovima, čime se istovremeno omogućava međusobno poređenje pojedinih rezultata ispitivanja.

47 9. Definisanje karakteristika materijala 9.2 Vrste ispitivanja: Naučna istraživanja Ispitivanja materijala koja imaju naučno istraživački karakter pripadaju kategoriji nestandardnih ispitivanja. Za ova ispitivanja ne postoje neka određena pravila, niti propisani postupci. Metod ispitivanja usvaja se zavisno od konkretnog problema koji se istražuje, pri čemu se uglavnom polazi od opštih principa, a u nekim slučajevima i od nekih analogija. Sadržaj i karakter ovakvih ispitivanja je izuzetno raznolik. Ispitivanja po pravilu traju vrlo dugo, zahtevaju veliki broj uzoraka, specifičnu opremu i kvalifikovane izvršioce ispitivanja. U pojedinim, ne tako retkim slučajevima, naučna istraživanja prethode definisanju novih metoda i postupaka standardnih ispitivanaja materijala.

48 9. Definisanje karakteristika materijala 9.2 Vrste ispitivanja: Primena standarda i drugih propisa Ispitivanja materijala u našoj zemlji sprovode se na bazi važećih srpskih standarda (SRPS, SRPS EN ili SRPS ISO), kao i primenom odgovarajućih pravilnika, preporuka i drugih zvaničnih dokumenata koji regulišu pitanja iz oblasti proizvodnje i primene građevinskih materijala. U nedostatku odgovarajućih domaćih propisa i standarda, postoji i mogućnost primene inostrane regulative, kao što su poznati svetski standardi: BS, DIN, ASTM, GOST i dr. U pojedinim slučajevima koriste se i preporuke pojedinih međunarodnih udruženja i organizacija, u čiju delatnost spada i problematika materijala: RILEM, CEB, CEA, FIP i dr.

49 9. Definisanje karakteristika materijala 9.2 Vrste ispitivanja: Primena standarda i drugih propisa S obzirom na veliku raznolikost postupaka i metoda ispitivanja u pojedinim zemljama, postoji težnja da se nacionalni standardi u što većoj meri usaglase (u Evropi je to najvećim delom već učinjeno, preko EN standarda). Ovo je, svakako, tesno povezano sa sve većim stepenom saradnje zemalja na privrednom polju, čemu ponekad veoma smeta postojeća neusaglašenost propisa i standarda. U tom cilju danas se radi na formulisanju međunarodnih standarda, ne samo u oblasti građevinarstva, već i u svim oblastima tehnike i tehnologije. U tome je posebno angažovana međunarodna organizacija za standardizaciju ISO i kao rezultat njenog rada na tom planu, postoji već sada vrlo veliki broj ISO standarda.

50 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Numeričko definisanje Mada se pri utvrđivanju pojedinih svojstava materijala mogu primeniti i postupci opisivanja i poređenja, ipak se najveći broj svojstava definiše putem numeričkih pokazatelja Primer postupaka opisivanja i poređenja Kolorimetrijska metoda za određivanje sadržaja organskih materija u agregatu: Nakon ispiranja određene količine peska u 3% - nom rastvoru NaOH i taloženja u menzuri, na osnovu boje rastvora iznad peska posle izvesnog vremena, ceni se sadržaj organskih materija -Opisivanjem: rastvor je bistar, otvoreno žute boje, mrke boje itd. - Poređenjem (sa etalon bojom ): Rastvor je svetliji ili rastvor je tamniji. Jedini ispravan način izražavanja svojstava materijala je njihovo numeričko definisanje. Kao rezultat većeg broja identičnih ispitivanja nekog svojstva (na većem broju uzoraka), dobiće se skup različitih numeričkih vrednosti. Može se tada postaviti pitanje uzroka manjeg ili većeg rasipanja rezultata, pitanje prihvatljive granice ovih rasipanja, kao i pitanje koja veličina u datim okolnostima može da se usvoji kao merodavna, tj. kao reprezentant datog svojstva.

51 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Stohastički karakter Iako se ispitivanja materijala uvek sprovode pod istim uslovima, zbog postojanja velikog broja uticajnih faktora, pojedini rezultati ispitivanja uvek će se međusobno razlikovati. Ove razlike uglavnom nisu i ne smeju da budu značajne, mada je i to u nekim slučajevima moguće. Razlozi za pojavu većih ili manjih razlika rezultata su uglavnom sledeći: Stohastički (slučajni) karakter samih svojstava materijala, Nemogućnost ispitivanja svih uzoraka pod apsolutno istim uslovima, Prisustvo različitih grešaka, koje se uvek javljaju pri merenju fizičkih veličina.

52 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Stohastički karakter Greške merenja uglavnom se mogu podeliti u tri grupe: Slučajne (neizbežne) greške, koje su posledica nesavršenosti mernih uređaja (instrumentalne greške) i čovečijih čula (lične subjektivne greške), koje su uvek različitog znaka. Sistematske greške, koje se javljaju zbog netačnosti (neizbaždarenosti) mernih uređaja; one su uvek istog smisla (znaka) i moraju se eliminisati. Grube greške, čiji je uzrok nedovoljna pažnja izvršioca tokom ispitivanja, te se i one uvek moraju isključiti.

53 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Stohastički karakter Ako se iz razmatranja eliminišu sistematske i grube greške merenja, ako se uzme u obzir stohastički karakter svojstava materijala i nemogućnost ispitivanja pod apsolutno istim uslovima, kao i neminovnost slučajnih grešaka, onda se može zaključiti da i: Celokupni rezultati ispitivanja imaju stohastički karakter. S obzirom na ovo, relativno lako se dolazi do odgovora na sva pitanja koja se odnose na tretman i postupke obrade eksperimentalnih rezultata.

54 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Definisanje merodavnih vrednosti S obzirom da se ispitivanjem materijala dolazi do jednog skupa numeričkih pokazatelja rezultata ispitivanja, može se sa velikom verovatnoćom smatrati da merodavna karakteristična vrednost ispitivanog svojstva leži između najveće i najmanje vrednosti u okviru ovakvog skupa. S obzirom na ovo, u praksi se kao merodavna karakteristična vrednost ispitivanog svojstva obično usvaja aritmetička sredina svih rezultata ispitivanja, ili se primenjuje neki drugi postupak koji se zasniva na stavovima matematičke statistike i teorije verovatnoće. Primena aritmetičke sredine u velikom broju slučajeva je potpuno opravdana, s obzirom da se svi rezultati grupišu oko ove vrednosti. Kako, međutim, uvek postoji i određeno rasipanje rezultata, aritmetička sredina se ne može posmatrati izolovano od pojedinačnih vrednosti iz skupa rezultata ispitivanja.

55 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Definisanje merodavnih vrednosti Naime, mora se voditi računa o međusobnim razlikama pojedinih vrednosti, o rasponu tih razlika, tj. o razlici između najmanje i najveće vrednosti, kao i o razlikama koje postoje između pojedinih rezultata i aritmetičke sredine. U pojedinim slučajevima polazi se od stava da najveću i najmanju vrednost, ili nekoliko najmanjih i nekoliko najvećih vrednosti (ili, pak, samo nekoliko najvećih vrednosti), treba isključiti pri sračunavanju aritmetičke sredine. Ponekad se ne toleriše veliko rasipanje rezultata, tako da se pri većim rasipanjima ispitivanje ne smatra važećim i mora se ponoviti.

56 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Definisanje merodavnih vrednosti I pri ovakvom tretmanu kao merodavna vrednost svojstva usvaja se aritmetička sredina, ali istovremeno uz uslov da ni jedan rezultat ne sme da odstupa od aritmetičke sredine za više od neke usvojene veličine (npr. za više od 20% ili, još češće 10%). Kada se radi o ispitivanju manjeg broja uzoraka, na primer svega tri, vrlo često se kao merodavan usvaja najnepovoljniji rezultat. Ponekad se ide još dalje, pa se propisuje smanjivanje, odnosno povećavanje najnepovoljnije vrednosti za određen procenat, kako bi se merodavna vrednost učinila još nepovoljnijom. Na taj način se obezbeđuje veća sigurnost u pogledu saglasnosti svojstava dobijenih ispitivanjima sa svojstvima materijala ugrađenih u objekat.

57 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Primena statistike i teorije verovatnoće Ukoliko se želi tačnije definisanje merodavnih svojstava materijala, tada u odnosu na skup rezultata treba primeniti stavove matematičke statistike i teorije verovatnoće. Treba samo napomenuti da primena ovog postupka po pravilu, zahteva veći broj rezultata ispitivanja, tj. veći broj uzoraka za ispitivanje. Kada se ispitivanjem dođe do skupa rezul - tata X i (i=1, 2, 3,..,n), najčešće se polazi od definisanja histograma, odnosno poligona frekvencije rezultata (videti sliku desno)

58 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Primena statistike i teorije verovatnoće Raspon između X min =X 1 i X max =X n, treba podeliti na izvestan broj jednakih, tzv. grupnih intervala (klasa) omeđenih veličinama X j (j=i, II,.., N, N+1) Za broj grupnih intervala (klasa) N najčešće se usvaja a kao reprezentant klase veličina: X j = j 0,5 ( X j + X + 1) Na slici desno, osim histograma (pravougaoni stupci) i poligona frekvencija (isprek. linija), data je i teorijska kriva (puna linija). N = n

59 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Primena statistike i teorije verovatnoće Nije teško zaključiti da histogram (poligon frekvencija) daje vrlo dobar uvid u raspodelu slučajne promenljive X i Pored ovoga, za raspodelu slučajne promenljive vezane su još neke važne veličine, kao što su: n Aritmetička sredina: 1 X = gde je n broj rezultata X i n i= 1 Medijana (ili polovina raspodele) predstavlja onu vrednost slučajne promenljive koja skup n podataka (rezultata ispitivanja) X i uređenih po veličini deli na dve grupe, sa podjednakim brojem elemenata skupa. Ako je broj rezultata n paran broj, medijana se usvaja kao poluzbir vrednosti dva srednja člana skupa. Slično medijani (50%) mogu se definisati: Donja (25%) i Gornja (75%) četvrtina raspodele. Maksimum raspodele predstavlja vrednost promenljive, odnosno klase sa najvećom frekvencijom (sa najvećom učestalošću videti prethodni slajd).

60 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Primena statistike i teorije verovatnoće Pojmovi aritmetička sredina (srednja vrednost), medijana i maksimum raspodele, nisu, međutim, dovoljni za definisanje merodavne (karakteristične) vrednosti rezultata ispitivanja. Da bi se došlo do pouzdanijih vrednosti potrebno je uzeti u obzir i ši r i n u r a s p o d e l e, koja se najčešće definiše putem pojma Disperzija rezultata ispitivanja (Srednje kvadratno odstupanje ili Standardna devijacija): S n = n 1 S obzirom da Disperzija rezultata (Standardna devijacija) ima dimenziju svojstva koje se ispituje, uveden je i pojam: Koeficijent varijacije: n i= 1 υ = ( X S n X i X ) 2

61 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Primena statistike i teorije verovatnoće Konačno, dolazi se do veličine koja se kod ispitivanja materijala najčešće usvaja kao merodavna, a to je: Karakteristična vrednost rezultata ispitivanja X k : X = X f ( p) k S n U izrazu za X k f(p) je koeficijent koji zavisi od fraktila p (%) Vrednosti koeficijenta f (p), za razne vrednosti usvojenog fraktila p, date su u tablici na sledećem slajdu. Kod ispitivanja materijala, danas se najčešće usvajaju vrednosti fraktila p od 5% ili 10%. Ove vrednosti fraktila p predstavljaju, u stvari, uslove da: najviše 5%, odnosno najviše 10%, svih (n) rezultata ispitivanja, može da ima vrednost nižu od karakteristične vrednosti X k. (U našoj regulativi je: za beton p=10%; za čelik p=5%).

62 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Primena statistike i teorije verovatnoće Tablica vrednosti koeficijenta f (p) u funkciji usvojenog fraktila p (krupnijim ciframa, podvučeno, date su vrednosti koje se najčešće koriste u praksi) p (%) 0,5 1,0 5,0 10,0 (16,0) 50,0 84,0 90,0 95,0 99,0 99,5 f (p) 2,576 2,326 1,645 1,282 (1,000) 0-1,000-1,282-1,645-2,326-2,576 Napred navedeni stavovi važe isključivo za normalnu (Gausovu) raspodelu slučajne promenljive i za dovoljno veliki broj podataka rezultata ispitivanja(smatra se da jeminimalni broj rezultata u ovom slučaju n=30). Pri n < 30 takođe se mogu primeniti stavovi matematičke statistike i teorije verovatnoće, ali se umesto Gausovog zakona raspodele mora primeniti tzv. Studentova raspodela, kada važi (vidi sledeći slajd):

63 9. Definisanje karakteristika materijala 9.3 Obrada rezultata ispitivanja: Primena statistike i teorije verovatnoće X = X f ( n, p, s) S k n U gornjem izrazu, kao što se vidi, parametar f zavisi od tri promenljive: Broja rezultata (n), Fraktila (p) i Nivoa poverenja (s) U tablici desno date su vrednosti f u zavisnosti od ove tri promenljive, tj. date su vrednosti f (n, p, s)

64 9. Definisanje karakteristika materijala 9.4 Aproksimacija krivih Ako se eksperimentalnim Ispitivanjem dođe do niza nume - ričkih podataka: X 1, X 2, X 3,... X n (videti priloženu skicu), sa aritmetičkom sredinom X najverovatnija vrednost slučajne promenljive X može da se dobije na osnovu principa najmanjih kvadrata, objašnjenog na sledećem slajdu

65 9. Definisanje karakteristika materijala Aproksimacija krivih Ovaj princip se formuliše ovako: Najverovatnija vrednost X 0 slučajne promenljive koja se dobija serijom identičnih eksperimenata je ona vrednost za koju je suma kvadrata razlika R izmerenih veličina X i i vrednosti X 0 najmanja. Kao što je poznato, ovakva formulacija u matemat. se svodi na sledeće: R R X n i= 1 i ( X i = = odakle X 0 n i= 1 2 n i= 1 ( X i X ( X n i X 2 0 ) = 0 ) 0 X0 ) = Xi n X0 = 0 i= 1 n 1 = n i=1 X i = X Prema tome, najverovatnija vrednost slučajne promenljive je aritmetička sredina X

66 9. Definisanje karakteristika materijala 9.4 Aproksimacija krivih Ako se tokom eksperimentalnih ispitivanja dođe do n parova vrednosti (p i, X i ) (videti skicu), gde između argumenta p i i veličine X i postoji neka funkcionalna povezanost, često je potrebno da se skup parova (p i, X i ) aproksimira određenom matematičkom funkcijom, analitički datom u obliku: X i = f (p i, a 1, a 2, a 3,.., a m ) U izrazu za X i : X i X i,rač

67 9. Definisanje karakteristika materijala 9.4 Aproksimacija krivih U datom analitičkom obliku za X i,sa a 1, a 2, a 3,..., a m označeni su izvesni parametri koji figurišu u konkretnoj funkciji X i, pa se primenom metode najmanjih kvadrata problem svodi na izračunavanje minimuma izraza R = R (X i, p i, a 1, a 2,..., a m ) tj. izraza: R = n i= 1 [ ] 2 X i X i, rač = [ X i f ( pi, a1, a2,..., am] S obzirom na oblik funkcije: X i = f(p i, a 1, a 2, a 3,..., a m ), do traženog minimuma dolazi se rešavanjem sistema jednačina koji se dobija kada se prvi izvod funkcije R po svakom od parametara a k (k=1, 2, 3,..., m) izjednači sa nulom, tj.: R a 1 = 0; R a 2 = n i= 1 0;..., R a m = 0 2

68 9. Definisanje karakteristika materijala 9.4 Aproksimacija krivih Primeri Aproksimacija linearnom funkcijom

69 9. Definisanje karakteristika materijala 9.4 Aproksimacija krivih Primeri Aproksimacija kvadratnom parabolom

70 9. Definisanje karakteristika materijala 9.4 Aproksimacija krivih Primeri Aproksimacija eksponencijalnom funkcijom sa dva parametra

71 9. Definisanje karakteristika materijala 9.4 Aproksimacija krivih Primeri Aproksimacija loaritamskom funkcijom

72 9. Definisanje karakteristika materijala 9.4 Aproksimacija krivih Primeri Aproksimacija eksponencijalnom funkcijom sa jednim parametrom