Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
|
|
- Έρως Διδασκάλου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B. P2 Svaka prava sadrži bar 3 tačke. P3 Za ma koje 3 nekolinearne tačke A, B, C postoji tačno jedna ravan α koja ih sadrži. P4 Ako dve tačke A i B prave a pripadaju ravni α tada i svaka tačka prave AB pripada ravni α. P5 Ako dve ravni imaju jednu zajedničku tačku A tada one imaju bar još jednu zajedničku tačku. P6 Ma koje dve prave a i b jedne ravni imaju bar jednu zajedničku tačku. R1 Za ma koje tri različite tačke A, B i C neke prave postoji tačka D te prave takva da je A, B C, D. R2 Ako je A, B C, D tada je C, D A, B. R3 Za ma koje četiri različite tačke A, B, C, D neke prave važi tačno jedan od iskaza A, B C, D, A, C B, D, A, D B, C. R4 Ma koje dve različite tačke A, B neke prave dele skup svih ostalih tačaka te prave na dve disjunktne klase, tako da su dve razne tačke u istoj klasi ako i samo ako ne razdvajaju par A, B. R5 Neka su a, b, c, d četiri prave nekog pramena i neka su p i p dve prave koje ne pripadaju tom pramenu. Ako su A, B, C, D redom presečne tačke prave p sa pravama a, b, c, d i A, B, C, D redom presečne tačke prave p sa pravama a, b, c, d tada A, B C, D povlači A, B C, D. D Neke je skup svih tačaka prave p podeljen na dva disjunktna podskupa M i N, od kojih svaki sadrži bar dve tačke tako da ma koji par tačaka podskupa M ne razdvaja ni jedan par tačaka podskupa N. Tada na pravoj p postoje tačno dve tačke A i B takve da za svaki par tačaka P, Q različitih od A, B važi da ako P M, Q N tada A, B P, Q. Zadatak 0.1 Skup od n(n 2) raznih tačaka jedne prave razlaže tu pravu na n projektivnih duži. Zadatak 0.2 Jedna prava projektivne ravni ne razlaže tu ravan, dve prave razlažu ravan na dve oblasti, tri prave koje se ne seku u jednoj tački razlažu tu ravan na četiri oblasti. Dokazati.
2 1 Dezargova teorema i harmonijska konjugovanost Teorema 1.1 (Dezargova direktna i obratna) Neka su ABC i A B C dva trotemenika. Prave AA, BB i CC sadrže jednu tačku (centar perspektive) ako i samo ako presčne tačke odgovarajućih stranica AB A 1 B 1, BC B 1 C 1 i CA C 1 A 1 pripadaju jednoj pravoj (osa perspektive). Definicija 1.1 (Harmonijska konjugovanost) Par tačaka P, Q je harmonijski konjugovan paru tačaka R, S (pišemo H(P, Q; R, S)) ako postoji četvorotemnik A, B, C, D takav da je AB CD = Q, AD BC = P, DB P Q = R, AC P Q = S. Zadatak 1.1 Dat je četvorotemenik ABCD. Prave AB i CD se seku u tački U prave AC i BD u tački V, prava UV seče prave AD i BC redom u tačkama F i G, a prava BF seče pravu AC u tački L. Dokazati da se prave LG, CF AU seku u jednoj tački. Zadatak 1.2 Parovi pravih BC, AD; CA, BD; AB, CD odredjeni temenima četvorotemenika ABCD seku se redom u tačkama X, Y, Z. Prava XZ seče pravu AC u tački R i pravu BD u tački S. Dokazati da prave DR, AS i Y Z prolaze kroz jednu tačku. Zadatak 1.3 Svaka dva od tri trotemenika su u perspektivnom položaju u odnosu na isti centar. Dokazati da se njihove ose perspektive seku u jednoj tački. Zadatak 1.4 Tačka O priada ravni trotemenika ABC, a ne pripada ni jednoj njegovoj stranici. Prave AO, BO, CO seku prave BC, CA, AB redom u tačkama P, Q, R. Prave QR, RP, P Q seku prave BC, CA, AB redom u tačkama L, M, N. Dokazati da su tačke L, M, N kolinearne. Zadatak 1.5 Ako se pet parova odgovarajućih stranica dva četvorotemenika seku u tačkama jedne prave onda se i sešti par stranica seče u tački iste prave. Zadatak 1.6 U proizvoljan četvorougao Euklidske ravni upisan je trapez čije su osnovice paralelen jednoj dijagonali četvorougla. Dokazati da se bočne strane trapeza seku na drugoj dijagonali četvorougla. Zadatak 1.7 Primenom Dezargove teoreme rešiti seldeće konstruktivne zadatke Euklidske ravni: (i) Date su prave a i a koje se seku u tački S van crteža i tačka P van pravih a i a. Konstruisati pravu P S. (ii) Date su paralelne prave a i b i tačka P koja im ne pripada. Koristeći samo lenjir, kroz tačaku P konstruisati pravu s paralelnu pravama a i b. (iii) Data je prava c i tačke A i B koje joj ne pripadaju. Konstruisati presečnu tačku pravih c i AB bez konstrukcije prave AB. Zadatak 1.8 Neka prave a, b, c, d jednog pramena seku pravu p u tačkama A, B, C, D, a pravu p u tačkama A, B, C, D, redom. Dokazati da H(A, B; C, D) povlači H(A, B ; C, D ). Uputstvo: Dokazati prvo slučaj A = A. Zadatak 1.9 Definisati harmonijsku konjugovanost pravih H(a, b; c, d) dualno definiciji 1.1. Zadatak 1.10 Dokazati da važi H(a, b; c, d) u smislu Zadatka 1.9 ako i samo ako neka (a zato i svaka) prava x seče prave a, b, c, d u tačkama redom A, B, C, D takvim da važi H(A, B; C, D) Zadatak 1.11 Neka je O proizvoljna tačka u ravni trotemenika ABC koja ne pripada nijednoj njegovoj stranici. Konstruisati pravu koja prolazi kroz tačku O i seče prave BC, CA i AB redom u tačkama X, Y, Z tako da važi H(O, X; Y, Z). Zadatak 1.12 U ravni su date tavķe M i N i tačka O van njih. Proizvoljna prava a O seče prave M i N redom u tačkama A i B, a proizvoljna prava b O u tačkama C i D, redom. Odrediti geometrijsko mesto preseka AD BC.
3 2 Projektivna preslikavanja jednodimenzionih mnogostrukosti Jednodimenzione projektivne mnogostrukosti su: pramen tačaka (tačke jedne prave) pramen pravih (prave kroz jednu tačku ravni) pramen ravni (ravni kroz jednu pravu) Prva dva tipa su dualna u ravni, a prvi i treći su dualni u prostoru tako da je dovoljno razmatrati svojstva pramena tačaka p. Definicija 2.1 Bijekcija f : ω ω jednodimenzionih mnogostrukosti je projektivno reslikavanje ako čuva harmonijsku konjugovanost. Teorema 2.1 (Štautova teorema) Projektivno preslikavanje jednodimenzione mnogostrukosti na sebe jedinstveno je odredjeno slikama tri elementa. Zadatak 2.1 Projektivno preslikavanje f : ω ω jednodimenzionih mnogostrukosti je perspektivno ako i samo ako je zajednički element tih mnogostrukosti fiksan. Zadatak 2.2 Neka su A, B, C tri razne tačke prave p i A, B, C tri razne tačke prave p p Projektivno preslikavanje f : p p slika tačke A, B, C redom u tačke A, B, C. Konstruisati sliku D proizvoljne tačke D pri preslikavanju f. Zadatak 2.3 Uraditi prethodni zadatak kada je p = p. Zadatak 2.4 (Paposova teorema) Ako su tačke A, B, C kolinearne i tačke A, B, C X = BC B C, Y = AC A C, Z = AB A B kolinearne. kolinearne tada su i tačke 3 Projektivna preslikavanja dvodimenzionih mnogostrukosti Dvodimenzione projektivne mnogostrukosti su: polje tačaka (tačke jedne ravni) polje pravih pravih (prave jedne ravni) snop ravni (ravni kroz jednu tačku) snop pravih (prave kroz jednu tačku prostora) Prva dva tipa mnogostrukosti su medjusobno dualne u ravni, a druge dve u prostoru. Mi ćemo posebnu pažnju posvetiti prvim dvema. Definicija 3.1 Bijekcija f : π π dvodimenzionih mnogostrukosti je projektivno reslikavanje ako čuva harmonijsku konjugovanost. Ako su i π i π polja tačaka preslikavanje f se naziva kolineacija. Zadatak 3.1 Neka su ABCD i A B C D četvorotemnici i f kolineacija projektivne ravni koja preslikava tačke A, B, C, D redom u tačke A, B, C, D. Konstruisati sliku M date tačke M. Zadatak 3.2 Formulisati i uraditi zadatak dualan Zadatku 3.1. Zadatak 3.3 Neka su ABC i A B C dva trougla proširene afine ravni. Konstruisati sliku M proizvoljne tačke M u afinom preslikavanju koje tačke A, B, C preslikava redom u tačke A, B, C.
4 Zadatak 3.15 Data su prava s, tačka X 1 i trougao ABC. Odrediti prespektivno afino prelsikavanje čija je osa prava 3.1 Homologije (perspektivna preslikavanja)) Zadaci se odnose na proširenu Euklidsku ravan. Centar S - tačka kroz koju je svaka prava fiksna. Osa s - prava čija je svaka tačka fiksna. Protivosa u - prava koja se slika u beskonačno daleku pravu Protivosa inverznog preslikavanja v - prava koja je slika beskonačno daleke prave Zadatak 3.4 Dokazati: s u v. Zadatak 3.5 Dokazati da je homologija odredjena: 1. Centrom S, osom S i slikom A tačke A (A A ). 2. Centrom S, osom s i protivosom u. 3. Centrom S, osom s i protivosom v inverzne homologije. Zadatak 3.6 Konstruisati sliku trougla ABC pri prespektivnom preslikavanju kome su dati osa s, centar S i slika M tačke M. Zadatak 3.7 Dati su centar S, osa s i protivosa u perspektivnog preslikavanja f. Konstruisati sliku duži CD, C u. duži EF, EF u = P. pravih m i n takvih da m n u. kvadrata ABCD ako D u. kvadrata ABCD ako u seče kvadrat u tačno dvema tav ckama. Zadatak 3.8 Konstruisati perspektivnu sliku pravilnog šestougla ABCDEF ako je centar perspektive presek dijagonala AB i BE, osa prava AB, a protivosa prava DE. Zadatak 3.9 Data je tačka S, prava s i četvorougao ABCD.Odrediti perspektivno preslikavanje čiji je centar tačka S, osa prava s i koji preslikava četvorougao ABCD u četvorougao čije su dijagonale normalne. 3.2 Perspektivno afina preslikavanja Perspektivno preslikavanje sa centrom S i osom s je afino u sledećim slučajevima: 1. S konačna, s =. Preslikavanje je homotetija. 2. s =, S s. Preslikavanje je translacija. 3. S, s je konačna. Zadatak 3.10 Data je osa afinosti s i par odgovarajućih taǎka A i A. Konstruisati lik prespektivno afin datom trouglu ABC. Zadatak 3.11 Konstruisati sliku datog kvadrata ABCD pri homotetiji kojoj je dat centar S i slika M tačke M. Zadatak 3.12 Data su prava s, prava p i trougao ABC. Odrediti prespektivno afino preslikavanje čija je osa afinosti s, zraci afinosti paralelni pravoj p, a slika trougla ABC jednakokraki trougao A B C. Zadatak 3.13 Data je osa afinosti s, par odgovarajućih pravih M i m i prava paralelna zracima afinosti. Kostruisati prespektivno afinu sliku kvadrata ABCD takvog da A s, BD m i duže BD je podudarna datoj duži d. Zadatak 3.14 Data je osa afinosti s i paralelogram ABCD Odrediti perspektivno afino preslikavanje u kom datom paralelogramu odgobara kvadrat.
5 4 Krive drugog reda i krive druge klase Zadatak 4.1 Kroz tačku D stranice BC trotemenika ABC prolazi prava p koja seče stranice AB i CA redom u tačkama B i C. Prave BC i CB se seku u tački M. Šta je geometrijsko mesto tačaka M kada prava p opisuje pramen sa središtem D? Zadatak 4.2 Na pravoj d koja sadrži teme A trotemenika ABC nalazi se tačka P koja sa temenima C i B odredjuje redom prave c i b. Presečne tačke b AC i c AB odredjuju pravu m. Šta je geometrijsko mesto pravih m kada P d. Zadatak 4.3 U ravni su date četiri prave a, b, c, d koje se seku u tački S i tačke P, Q i R van tih pravih. Tačke A, B, C i D su tačke redom pravih a, b, c i d takve da su trojke A, P, B; B, Q, C; C, R, D kolinearne. Dokazati da postoji tačka T takva da AD T za proizvoljan izbor tačaka A, B, C, D. Zadatak 4.4 Date su prave b i c i tačke X, Y i Z. Šta je geometrijsko mesto tačaka A takvih da stranice BC, CA i AB trotemenika ABC sadrže redom tačke X, Y i Z i da važi B b, C c. Zadatak 4.5 Date su tri nekolinearne tačke A, S, T i prava p koja ih ne sadrži. Odrediti šta je geometrijsko mesto pravih MN, M = AS BT, N = AT SB, za proizvoljnu tačku B p. Rešiti sledeće konstruktivne zadatke na dva načina: primenom projektivnih preslikavanja i Paskalove ili Brianšonove teoreme. Formulisati dualne zadatke i rešiti ih. Zadatak 4.6 Dato je pet tačaka A, B, C, D, E nedegenerisane krive drugog reda i prava p kroz tačku E. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu e u tački E. Zadatak 4.7 Dato je pet tangenata a, b, c, d, e nedegenerisane krive drugog reda i tačka P na tangenti e. a) Konstruisati drugu tangentu krive kroz tačku P. b) Naći dodirnu tačku tangente e. Zadatak 4.8 Date su četiri tačke A, B, C, D nedenerisane krive drugog reda, tangenta a u tački A i prava p koja sadrži tačku B. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu krive u tački C. Zadatak 4.9 Date su četiri tačke A, B, C, D i tangenta a u tački A nedegenerisane krive drugog reda i tačka P na tangenti a. Odrediti drugu tangentu krive kroz tačku P. Zadatak 4.10 Date su tri tačke A, B, C i tangente a, b u tačkama redom A, B nedegenerisane krive drugog reda i prava p kroz tačku A. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu c u tački C. Zadatak 4.11 Date su tangente a, b i c i dodirne tačke A i B tangenata a i b krive drugog reda i prava p kroz tačku A. Odrediti drugu presečnu tačku prave p i krive drugog reda. Rešiti konstruktivne zadatke euklidske ravni. Zadatak 4.12 Date su dve tačke M i N, tangenta m u tački M parabole i pravac o ose parabole. Odrediti tangentu parabole u tački N. Zadatak 4.13 Date su četiri tangente p, q, r, s parabole i tačka T na tangenti s. Odrediti drugu tangentu parabole kroz tačku T. Zadatak 4.14 Date su četiri tačke A, B, C, D i PRAVAC q jedne asimptote hiperbole. Odrediti a) Tangentu u tački A. b) Asimptotu čiji je pravac dat. Zadatak 4.15 Date su asimptota q hiperbole, pravac asimptote p, tangenta t, njena dodirna tačka T i tačka X na asimptoti q. Odrediti drugu tangentu hiperbole kroz tačku X.
6 5 Razni zadaci Zadatak 5.1 Dokazati Paskalovu i Brianšonovu teoremu primenom Štajnerovih definicija za krive drugog reda i druge klase. Zadatak 5.2 U afinoj ravni date su prave s i p i trapez ABCD. Konstruisati perspektivno afino preslikavanje kome je prava s osa, zraci afinosti paralelni pravoj p, a trapezu ABCD odgovara jednakokraki trapez. Zadatak 5.3 Na ovalnoj krivoj drugog reda Γ date su tačke A, B, C i D. Ako proizvoljna prava l koja sadrži tačku A, seče prave CD, BD, CB u tačkama B, C, D, a krivu Γ u tački A, dokazati da dvorazmera (A, B, C, D ) ne zavisi od prave l A. Zadatak 5.4 Date su tri tangente l, m, i n i prava o paralelna osi parabole. Odrediti drugu presečnu tav cku prave o i parabole. Zadatak 5.5 (AK-objasniti i nacrtati) Dat je kvadrat ABCD i tačka S takva da je SA = 1 2AC i B(S, A, C). Kolinearno perspektivno preslikavanje f ima centar S, protivosu BD i tačku A preslikava u C. Odrediti sliku kvadrata ABCD pri ovom preslikavanju, osu s i sliku v beskonačno daleke prave. Zadatak 5.6 U projektivnoj ravni date su dve prave a i b i tačke P, Q i R van tih pravih. Ako je q proizvoljna prava koja sadrži tačku R i ako ona seče prave a i b redom u tačkama M i N, šta je skup presečnih tačaka pravih P M i QN? Zadatak 5.7 Date su asimptote a 1 i a 2 i tačka M hiperbole. Konstruisati tangentu na hiperbolu u tački M. Zadatak 5.8 Data je elipsa parom konjugovanih dijametara AB i CD. Odrediti bar jedno perspektivno afino preslikavanje koje elipsu preslikava u krug. Zadatak 5.9 Trotemenici ABC i A B C su u perspektivnom položaju, a P, Q i R su redom prešečne tačke parova pravih BC i B C, CA i C A, AB i A B. Ako tačke P, Q i R nisu kolinearne dokazati da je trotemenik LMN u perspektivnom položaju sa svakim od trotemenika ABC i A B C. Šta ako su P, Q i R kolinearne? Zadatak 5.10 Dokazati da je svaka involucija f projektivne ravni homologija. Dokazati da postoji kriva drugog reda invarijantna pri involuciji f. Zadatak 5.11 Data je kriva drugog reda Γ, prava x i tačka A. Šta je geometrijsko mesto preseka pravih P A i polara p tačke P u odnosu na krivu Γ, ako je P proizvoljna tačka prave x. Zadatak 5.12 Data je fiksna prava x i tri para odgovarajućih tačaka A, B, C i A, B, C, projektivnog preslikavanja. Konstruisati sliku date prave m pri tom preslikavanju. Zadatak 5.13 Projektivno preslikavanje je zadato fiksnom pravom x i slikama A, B, C datih tačaka A, B, C, redom. Konstrusati fisnu tačku tog preslikavanja. Zadatak 5.14 Ako je šestotemenik ABCDEF upisan u nedegenerisanu krivu drugog reda Γ dokazati da postoji nedegenerisana kriva drugog reda Γ oko koje je on opisan. Zadatak 5.15 Data je osa afinosti i odgovarajući par tačaka S i S. Tim preslikavanjem se krug k sa centrom u S preslikava u elipsu. Odrediti prečnike kruga k koji se preslikavaju u glavne ose elipse. Zadatak 5.16 Konstruisati malu osu elipse ako je data velika poluosa OA i jedna tačka M elipse. Zadatak 5.17 Data je elipsa parom konjugovanih dijametara. Konstruisati: a) Tangente na elipsu iz date tačke M. b) Presečne tačke elipse i date prave p. c) Veliku i malu osu elipse.
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραGeometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd
Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015. Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 19. novembar 2014. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE
LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραSadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραEuklidska geometrija II (1. dio)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati
Διαβάστε περισσότεραKružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu MASTER RAD Kružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora Tomović Siniša Beograd, Januar 2013. Mentor: Dr Zoran Lučić Članovi komisije:
Διαβάστε περισσότεραNeophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni MASTER RAD Autor Snežana Milosavljević Mentor dr Miroslava Antić Beograd
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραGeometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine
56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραDirihleov princip. Goran Popivoda. Prirodno matematički fakultet.
Dirihleov princip Goran Popivoda goc@t-com.me Prirodno matematički fakultet Pretpostavimo da je jato golubova doletjelo u golubarnik. U svojoj originalnoj verziji, Dirihleov princip kaže da ako ima više
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραPotencija taqke. Duxan uki
Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta
Διαβάστε περισσότερα