10 m Perioda titranja je 1.26 s. Vježba 001 Oprugu mase 900 g, konstante opiranja 10 N/m, povučemo 6 cm prema dolje i pustimo da titra.

Transcript

1 Zadatak 00 (ea, inazija) Opruu ae 00, kontante opiranja 0 N/, povučeo c prea doje i putio da titra. Izračunajte periodu titranja. Rješenje 00 Perioda titranja ovii ao o ai oprue i kontanti opiranja. = 00 = 0. k, k = 0 N/, x = c, =? 0. k 0. k = π = π = π =.6. k N 0 N 0 Perioda titranja je.6. Vježba 00 Opruu ae 900, kontante opiranja 0 N/, povučeo 6 c prea doje i putio da titra. Izračunajte periodu titranja. Rezutat:.88. Zadatak 00 (Siniša, tehnička škoa) Opruu ae 800, kontante 80 N/, povučeo c iz poožaja ravnoteže prea ore i putio da titra. Izračunajte:. periodu titranja. kružnu frekvenciju. fazni poak. napišite jednadžbu titranja. dje je oprua nakon početka titranja 6. koika je brzina tijea nakon početka titranja. Rješenje 00 = 800 = 0.8 k, k = 80 N/, A = c = 0.0, t =, t =, x =?, v =?. Ako tijeo obješeno o eatičnu opruu izvučeo iz poožaja ravnoteže za neki poak x i putio a, ono će haronički titrati. Pooću kontante eatičnoti k ožeoizračunati periodu titranja: 0.8 k 0.8 k = π = π = π = π 0.0 = π 0. =. 0. = k N k. Kružnu frekvenciju ožeo izračunati pooću jedno od ova dva izraza: Na prijer iz Obrati pozornot da e još piše π k ω =, ω =. π π rad. rad 6.8 rad rad ω = = = = = 0 = ω = 0 rad ω = 0 = 0.

2 . Budući da je oprua povučena prea ore iz poožaja ravnoteže, poak x jednak je apitudi A, x = A = 0.0, pa iz jednadžbe poaka za vrijee t = 0 ijedi x = A in(ω t + φ) => 0.0 = 0.0 in(ω 0 + φ) => 0.0 = 0.0 in φ / : 0.0 => in φ = => => φ = 90. Anaono da je oprua povučena prea doje iz poožaja ravnoteže fazni poak bio bi 70.. Jednadžba titranja oprue ai: x = A in(ω t + φ), dje je A apituda, ω kružna frekvencija, t vrijee i φ fazni poak. U naše učaju je: x = 0.0 in (0 rad t + 90 ). Morao paziti da e u jednadžbi pojavjuju radijani, Zato radijane pretvarao u tupnjeve. Pati: Zato je. Budući da je jednadžba titranja π rad = rad = = 7 0. π. rad 0 0 ω = 0 = 0 7 = 70. rad 0 0 ω = 0 = 0 7 = 70 i tupnjevi, 90. x = 0.0 in(0 rad t + 90 ) ii u tupnjevia x = 0.0 in( 70 0 t + 90 ) za vrijee t = bit će x = 0.0 in( ) => x = 0.0 in( ) => x = 0.0 in 660 => 6. Brzina pri haroničko titranju računa e po izrazu: Za vrijee t = brzina će iznoiti: v = 0 rad v = => x = v = ω A co(ω t + φ). 0.0 co( 70 0 rad + 90 ) => v = co( ) => co 0 => v = 0. co 0 => v = 0.6.

3 Vježba 00 Opruu ae 00, kontante opiranja 0 N/, povučeo c iz poožaja ravnoteže prea ore i putio da titra. Izračunajte:. periodu titranja. kružnu frekvenciju. fazni poak. napišite jednadžbu titranja. dje je oprua 0. nakon početka titranja Rezutat:. = ω = 0 rad/. φ = 90. x = c in(0 t + 90 ). x = 8.6 c. Zadatak 00 (Maja, edicinka škoa) Koika je perioda titranja ateatičko njihaa dujine ako e naazi u dizau:. koje toji. koje e iba jednoiko prea ore. koje e iba jednoiko prea doje. koje e iba prea ore ubrzanje a. koje e iba prea doje ubrzanje a 6. koje e iba prea doje ubrzanje a = 7. koje e iba prea doje ubrzanje a =. Rješenje 00 Perioda titranja ateatičko njihaa dujine računa e po forui dje je ubrzanje ie teže. = π,. = π. = π. = π. = π + a. = π a 6. = π, a = = π =. a o je betežinko tanje, njihao ne titra, otaje u poožaju u koje e nañe.. 7. = π, a = = π = π = i π = i. a Broj i je iainarna jedinica, i =, = i, ita je perioda kao da dizao toji, ai titra oko ornjea vertikano poožaja. Vježba 00 Koiki je period titranja ateatičko njihaa dujine ako e naazi u dizau koje e iba jednoiko prea ore? ( = 0 / ) Rezutat:.8. Zadatak 00 (Ine, inazija) Spirana oprua dua 0 c pričvršćena je jedni voji kraje na horizontanu podou. S viine 0 c od podoe puti e na opruu ruda ekane ine. Pri padu ina abije opruu na dujinu c. Koju će dujinu iati oprua ino na vrhu nakon što e iri? Rješenje 00

4 = 0 c = 0.0, h = 0 c = 0.0, d = c = 0.0, x =? h x d Zbo zakona o očuvanju enerije, projena ravitacijke potencijane enerije ine bit će jednaka eatičnoj potencijanoj eneriji abijene oprue: E p = E ep. () Gina e putia za 0. : h = h d = = 0. i proijenia voju ravitacijku potencijanu eneriju za Budući da je oprua abijena za 0. : njezina eatična potencijana enerija iznoit će: E p = h = 0. = 0.. = d = = 0., Zbo () ijedi: E ep = k k ( 0.) 0.0 k. = = E p = E ep => 0. = 0.0k / : 0. => Nakon što e iri, oprua će biti abijena ao težino ine: F = G => k = => [zbo ()] => k = 0.09k / : k Dujina oprue x bit će jednaka: => = 0.09k () x = = 0 c.9 c =. c. => = 0.09 =.9 c. Vježba 00 Spirana oprua dua 0 c pričvršćena je jedni voji kraje na horizontanu podou. S viine c od podoe puti e na opruu ruda ekane ine. Pri padu ina abije opruu na dujinu c. Koju će dujinu iati oprua ino na vrhu nakon što e iri? Rezutat:.9 c. Zadatak 00 (Ana, inazija) Koica ae 60 k, brzine /, zautave e abijajući duu opruu za = 0 c. Odredite vrijee zautavjanja. Rješenje 00 = 60 k, v = /, = 0 c = 0.0, t =? itranje je ibanje kod kojea tijeo proazi, ibajući e u dva uprotna jera, tano iti dio krivuje (najčešće kružnice) ii pravca. Poožaj ravnoteže je poožaj u koje tijeo iruje. Kad tijeo titra, u to je poožaju najanja potencijana, a najveća kinetička enerija. Zbroj tih dviju enerija (zanearivši ubitke) je taan i jednak najvećoj potencijanoj ii najvećoj kinetičkoj eneriji. o je nepriušeno titranje: E k + E p = E k ax = E p ax.

5 Haroničko titranje nataje djeovanje eatične ie F = k ii neke drue ie proporcionane eonaciji. ada je perioda titranja: = π. k Ova forua upotrebjava e obično kod titranja ae koje nataje djeovanje eatične ie oprue; k je kontanta oprue (a znači iu potrebnu za jedinično produjenje oprue). Općenito, k je faktor proporcionanoti izeñu ie i eonacije. v Kod abijanja oprue kinetička enerija koica preazi u potencijanu eneriju oprue: 60 k / /: v v = k v = k k = = = 0. k k N = = =. ( ) Naši o kontantu oprue. Kada bi koica ae bia pričvršćena na opruu titraa bi periodo = π. k Budući da abijanje oprue traje četvrtinu periode, vrijee zautavjanja je: π 60 k π k t = = π = = = 0.7. k N k Vježba 00 Koica ae 60 k, brzine /, zautave e abijajući duu opruu za = 0 c. Odredite vrijee zautavjanja. Rezutat: 0.7. Zadatak 006 (Xena, inazija) Napiši jednadžbu haroničko titranja aterijane točke ako je početni fazni kut: a) 0 b) π c) π d) π e) π. Apituda titranja je c, a perioda titranja 8 ekundi. Prikaži rafički va navedena titranja. Rješenje 006 Poak, eonacija ii udajenot x od poožaja ravnoteže aterijane točke koja haronički titra, ijenja e vreeno prea π t x = A in, dje je x eonacija, tj. udajenot točke koja titra od poožaja ravnoteže u bio koje trenutku, A apituda, tj. akiana eonacija i vrijee jedno titraja ii perioda. Ako aterijana točka ne počinje titrati iz poožaja ravnoteže, eonacija x ijenja e vreeno

6 π t x = A in ( + ϕ), dje je φ početni fazni kut. a) φ = 0, A = c, = 8, x =? π t π t π t x = A in ( + ϕ) = c in ( + 0) = c in. 8 / c t / π b) φ =, A = c, = 8, x =? π t π t π π t π x = A in ( + ϕ) = c in ( + ) = c in ( + ). 8 / c t / c) φ = π, A = c, = 8, x =? π t π t π t x = A in ( + ϕ) = c in ( + π ) = c in ( + π ). 8 / c t / d) φ = π, A = c, = 8, x =? -6 π t π t π π t π x = A in ( + ϕ) = c in ( + ) = c in ( + ). 8 6

7 / c t / c) φ = π, A = c, = 8, x =? π in ( t π ) in ( t π x = A + ϕ = c + π ) = [ in ( α + π ) = inα ] = c in t. 8 / c t / Vježba Napiši jednadžbu haroničko titranja aterijane točke ako je početni fazni kut π. Apituda titranja je c, a perioda titranja 8 ekundi. Prikaži rafički navedeno titranje. Rezutat: π t π t π π t π x = A in ( + ϕ) = c in ( + ) = c in ( + ). 8 / c t / Zadatak 007 (ajantvena vozačica, inazija) Koika je dujina niti njihaa ako u je frekvencija Hz? Rješenje 007 ν = Hz = -, = 9.8 /, =? Mateatičko njihao je njihao (zaišjeno) koje ia neratejivu nit bez ae i kojea je aa kuice koja njiše koncentrirana u jednoj točki. Uz ae apitude takvo njihao izvodi haroničke titraje. Vrijee jedno titraja ateatičko njihaa jet = π, 7

8 dje je dujina njihaa, a akceeracija obodno pada. Budući da izeñu frekvencije ν i periode potoji veza, ožeo piati Perioda je: Iz forue za periodu izračunao dujinu : ν = ν = =. ν = = = = 0.. ν Hz / / /: = π = π = π π = π a a 0. = = = = = 9.8 = 0.0 =. c. π b b π. Vježba 007 Koika je dujina niti njihaa ako u je frekvencija 8 Hz? Rezutat: Zadatak 008 (ajantvena vozačica, inazija) Odredi kontantu oprue ako je na nju obješen ute ae 00 koji učini 0 titraja u ekunde. Rješenje 008 = 00 = [00 : 000] = 0. k, n = 0, t =, = 9.8 /, k =? Frekvencija je broj ophoda (ii titraja) u jedinici vreena (u ekundi). Iz frekvencije ako nañeo period: Perioda titranja je: n 0 ν = = = = = = = = t ν Hz Hz 0.. / / π = π = π = π k k = π /: k = k k k π a a π. k N k = = = = = 0. k = = b b 0. Vježba 008 Odredi kontantu oprue ako je na nju obješen ute ae 00 koji učini 0 titraja u ekunde. Rezutat: N 8

9 Zadatak 009 (ajantvena vozačica, inazija) Kada e na opruu objei ute ae 0. k tada utav titra periodo. Koiku au treba dodati da bi e perioda titranja povećaa puta? Rješenje 009 = 0. k, =, =?, =? Budući da je prea uvjetu zadatka =, ijedi:, /: / = π k = π π = π π = k k k k k Dodati treba: = 9 / k = 9 = 9 0. k =. k. k k = =. k 0. k = k. Vježba 009 Kada e na opruu objei ute ae 0. k tada utav titra periodo. Koiku au treba dodati da bi e perioda titranja povećaa puta? Rezutat: = 7. k. Zadatak 00 (ajantvena vozačica, inazija) Njihao ia dujinu 0 c i periodu, a druo njihao dujinu 70 c i periodu. Ne računajući i odredi dujinu njihaa koje ia periodu +. Rješenje 00 = 0 c, = 70 c, =? Iz forua za periode: potavio uvjet:, = π, = π = π, /: = + π = π + π π = + a a / / = = + = + = + b b ( a + b) = a + ab + b, a b = a b = + + = = 0 c + 0 c 70 c + 70 c = 8. c. Vježba 00 Njihao ia dujinu 0 c i periodu, a druo njihao dujinu 0 c i periodu. Ne računajući i odredi dujinu njihaa koje ia periodu +. Rezutat: 70 c. Zadatak 0 (ajantvena vozačica, inazija) Kako e odnoe periode ako dujinu njihaa povećao %? Rješenje 0 =, = + % = =. 0,? = Gedao ojer perioda: 9

10 π a a.0 = = = = = = = =.0 = b b π Znači da je: =.0. Vježba 0 Kako e odnoe periode ako dujinu njihaa povećao 6%? Rezutat: =.0. Zadatak 0 (ajantvena vozačica, inazija) Apituda titranja je 6, a perioda 0.. Početna faza je 7/6. Napiši jednadžbu titranja i odredi eonaciju. ekunde nakon početka titranja. Rješenje 0 A = 6, = 0., φ = 7/6, t =., x(t) =? Jednadžba titranja je π π x( t) = A in t + ϕ ii x( t) = A in ( ω t + ϕ ), ω =. Sada jednadžba titranja ai: π π 7 7 x( t) A in t ϕ 6 in t 6 in π = + = + = t Eonacija za t =. iznoi: x( t) 6 in π. 6 in. = + =. + = 6 in.70 + = = [džepno računao potaviti u tanje rada (od): RAD (radijani)] =. 0. Vježba 0 Apituda titranja je, a perioda 0.. Početna faza je 7/6. Napiši jednadžbu titranja i odredi eonaciju. ekunde nakon početka titranja. Rezutat:.. Zadatak 0 (ajantvena vozačica, inazija) Dva jednotavna njihaa čija je razika dujina c zanjihana u itodobno. Za ito vrijee jedno učini 0 titraja, druo 6 titraja. Odredi dujine njihaa. Rješenje 0 Kraće njihao brže titra (ia anju periodu). o e vidi iz forue = π jer je perioda upravo razjerna drui korijeno dujine njihaa. = +, =, t = t, n = 0, n = 6, =? 0

11 Budući da e frekvencija ν ože izraziti na dva načina: n ν = t ν = ijedi n = t = n. t Zbo uvjeta zadatka: t = t n = n π = π /: π = 0 = 6 / 6 / = = 6 ( + ) = 6 6 Dujine njihaa u: + 0 = 6 = 0 /: = 0 c. = + c = 0 c + c = 7 c, = = 0 c. Vježba 0 Dva jednotavna njihaa čija je razika dujina c zanjihana u itodobno. Za ito vrijee jedno učini titraja, druo 8 titraja. Odredi dujine njihaa. Rezutat: = 7 c, = = 0 c. Zadatak 0 (ajantvena vozačica, inazija) Sat ateatički njihao zaotaje inute na dan. Za koiko pototaka treba anjiti dujinu njihaa da at ide točno? Rješenje 0 Kad je at točan, perioda njihaa je =. Dujina njihaa koja odovara toj periodi je / / = π = π = π = =. π π ijeko dana (tijeko ata) at zaotaje inute in = h = h. Znači da njihao u danu, ( = ), učini ( 0.0) = 86 0 titraja. Prea toe perioda njihaa je tada a dujina koja odovara toj periodi je = =, =. π

12 Nañio koiki je ojer dujina i njihaa, to jet π.9 = π = = = = = = π π U pototku to je: 00% = % = 99.8%. Dujinu niti njihaa treba kratiti 0.% (00% 99.8% = 0.%). Vježba 0 Sat ateatički njihao zaotaje at na dan. Za koiko pototaka treba anjiti dujinu njihaa da bi at išao točno? Rezutat: 8.6%. Zadatak 0 (ajantvena vozačica, inazija) Metana kua poujera 0 c vii na konopcu dujine. Odredi periodu titranja ovo utava. Rješenje 0 R = 0 c = [0 : 00] = 0., =, =? Draa vozačice, zadatak ovo tipa ože e ''voziti'', tj. riješiti na dva načina. R.inačica Pretpotavio da je to ateatičko njihao (pretpotavka vrijedi ao ako je R <<, tj. poujer kue je puno anji u odnou na dujinu niti. ada perioda iznoi:.inačica Zadano njihao je fizičko njihao pa je perioda: = π. I = π, L dje je I oent trooti, aa i L udajenot oi od redišta ae (težišta) njihaa. U ovo učaju je L = + R. Moent trooti aterijane točke ae na udajenoti r od oi rotacije je U dano zadatku to iznoi I = r. I = ( + R). Moent trooti kue poujera R obziro na o koja proazi redište je

13 Ukupni oent trooti zadano utava je I = R. I = R + ( + R). Sada je perioda fizičko njihaa jednaka: R + ( + R) R + ( + R) / I = π = π = π = L + R + R / ( ) ( ) /: ( ) ( ) ( ) ( ) R + + R /: R + + R = π = π = π = + R + R ( ) ( ) = π = Vježba 0 Metana kua poujera 0 c vii na konopcu dujine. Odredi periodu titranja ovo utava. Rezutat:.. Zadatak 06 (Marko, inazija) Ute učvršćen na niti dujine 7 c kruži jednoiko u vodoravnoj ravnini. Koika će biti perioda okretanja ako je nit otkonjena od vertikae za 0? Rješenje 06 = 7 c = [7 : 00] = 0.7, α = 0, = 9.8 /, =? α N α F cp r G Iz ike e vidi da na ute djeuju dvije ie: ia teža G i napetot niti N (ia kojo nit drži ute). Budući da e ute iba po kružnici, rezutanta ia jer prea redištu kružnice poujera r (centripetana ia!). π r Fcp =, G =, r = inα F G t cp = α π r inα π inα inα = /: = /:inα coα coα π co co 0.7 co 0 0 π α α = = / = π = π =.6. coα 9.8

14 Vježba 06 Ute učvršćen na niti dujine 7 c kruži jednoiko u vodoravnoj ravnini. Koika će biti perioda okretanja ako je nit otkonjena od vertikae za? Rezutat:.6. Zadatak 07 (Gabi, inazija) Razak izeñu prvo i četvrto čvora tojno vaa je 0 c. Koika je vana dujina? Rješenje 07 d = 0 c, λ =? Stojni va je oobit učaj interferencije dvaju vaova koji e u ito redtvu šire uprotni jerovia, a jednakih u dujina, apituda i podudaraju e u fazaa. Čvorovi tojno vaa u točke koje ne titraju (nepretano iruju). rbui tojno vaa u točke koje titraju najveći apitudaa. Udajenot od čvora (točka koja ne titra) do trbuha (točka koja titra akiano apitudo) vaa λ jednaka je:. λ Razak izeñu čvorova je:. vana dujina. čvor. čvor. čvor. čvor Budući da je razak izeñu prvo i četvrto čvora tojno vaa 0 c, vrijedi: λ λ = d = 0 / λ = 0 c. Vježba 07 Razak izeñu druo i peto čvora tojno vaa je 0 c. Koika je vana dujina? Rezutat: λ = 0 c. Zadatak 08 (Ana, inazija) U prvo učaju kuica ateatičko njihaa podine e do objeišta i puti da obodno pada. U druo učaju kuica e otkoni za ai kut iz ravnotežno poožaja i iputi da titra. Koiko iznoi ojer vreena u koje kuica tine u točku ravnotežno poožaja u prvo i druo učaju? Rješenje 08 t =? t Kada e kuica podine do objeišta i puti da obodno pada vrijee pada iznoi: = t t =. U druo učaju kuica e otkoni za ai kut iz ravnotežno poožaja i iputi da titra. Period titranja ateatičko njihaa dujine je: ravnotežni poožaj = π, dje je ubrzanje ie teže. Kad e kuica otkoni iz ravnotežno poožaja, vrijee potrebno da tine u točku ravnotežno poožaja je: π t = = π =.

15 Ojer vreena iznoi: t = = = = t π π π Vježba 08 U prvo učaju kuica ateatičko njihaa podine e do poovice objeišta i puti da obodno pada. U druo učaju kuica e otkoni za ai kut iz ravnotežno poožaja i iputi da titra. Koiko iznoi ojer vreena u koje kuica tine u točku ravnotežno poožaja u prvo i druo učaju? Rezutat: 0.6. Zadatak 09 (Mirta, inazija) Sat ateatički njihao ide naprijed inute na dan. Za koiko pototaka treba produjiti dujinu njihaa da at ide točno? Rješenje 09 Kad je at točan, perioda njihaa je =. Dujina njihaa koja odovara toj periodi je / / = π = π = π = =. π π ijeko dana (tijeko ata) at ide naprijed inute in = h = h. Znači da njihao u danu, ( = ), učini ( + 0.0) = 86 8 titraja. Prea toe perioda njihaa je tada a dujina koja odovara to periodu jet Nañio koiki je ojer dujina i njihaa, to jet = = =. π,

16 π.0 = π = = = = = = π π U pototku to je: 00% = % = 00.7%. Dujinu niti njihaa treba produjiti 0.7% (00.7% 00% = 0.7%). Vježba 09 Sat ateatički njihao ide naprijed at na dan. Za koiko pototaka treba produjiti dujinu njihaa da at ide točno? Rezutat: 8.%. Zadatak 00 (Mirta, inazija) Kuica jednotavno njihaa dujine izvedena je iz ravnotežno poožaja u točku A, a zati puštena. Ipod objeišta njihaa potavjen je tanak štap na udajenoti okoito na ravninu titranja. Koika je dujina njihaa ako kuica napravi puna titraja za ekunde? Rješenje 00 =, =, n =, t =, = 9.8, =? Pretpotavio da u apitude njihaa ae, a trenje zaneario. Njihao napravi poovicu titraja a dužino za vrijee pouperiode. Druu poovicu titraja njihao napravi a dužino za vrijee pouperiode. Vrijednoti tih pouperioda u: = π = π, = π = π = π. Ukupna perioda njihaa je: = + = π + π = π + = π +. Iz zadanih podataka dobije e perioda : n = t = = =.. t = n Sada je dujina njihaa jednaka: = π + / = π + / = π + 6

17 . = = c. = = = π π π O A Vježba 00 Kuica jednotavno njihaa dujine izvedena je iz ravnotežno poožaja u točku A, a zati puštena. Ipod objeišta njihaa potavjen je tanak štap na udajenoti okoito na ravninu titranja. Koika je dujina njihaa ako kuica napravi puna titraja za ekunde? Rezutat:.7. 7