Numerička matematika 4. predavanje
|
|
- Ἀελλώ Ἰουλία Ταμτάκος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Numerička matematika 4. predavanje Saša Singer web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumMat 2009, 4. predavanje p.1/67
2 Sadržaj predavanja Rješavanje linearnih sustava: Pivotiranje u LR (LU) faktorizaciji. Teorija perturbacije linearnih sustava. Hilbertove matrice. Uloga reziduala i iterativno poboljšanje rješenja. Struktura LR (LU) faktorizacije. Matrice za koje ne treba pivotiranje. Simetrične pozitivno definitne matrice. Faktorizacija Choleskog. Pivotiranje u faktorizaciji Choleskog. NumMat 2009, 4. predavanje p.2/67
3 Informacije Bitno: nadoknada uskršnjeg petka je sutra subota, , od u (003). Nadoknada predkolokvijskog petka je sljedeći tjedan subota, 4. 4., od u (003). Kolegij Numerička matematika ima demonstratora! Sonja Šimpraga termin je četvrtkom, od Pogledajte oglas na oglasnoj ploči za dogovor. NumMat 2009, 4. predavanje p.3/67
4 Informacije nastavak Bitno: Oživile su i domaće zadaće iz NM. Realizacija ide automatski preko web aplikacije, slično kao na Prog1. Pogledajte na službeni web kolegija, pod zadaće. Tamo su početne upute. Skraćeni link je Direktni link na aplikaciju za zadaće je NumMat 2009, 4. predavanje p.4/67
5 Informacije nastavak Moja web stranica za Numeričku matematiku je mat/ Skraćena verzija skripte 1. dio (prvih 7 tjedana): mat/num mat1.pdf Skraćena je za okruglo 30 stranica! Skraćena verzija skripte 2. dio (drugih 7 tjedana): mat/num mat2.pdf NumMat 2009, 4. predavanje p.5/67
6 Informacije nastavak Na molbu Sanje Singer i Vedrana Novakovića, za goste je otvorena i web stranica kolegija Matematika 3 i 4 na FSB-u. Tamo možete naći dodatne materijale za neke dijelove NM, posebno vježbe i riješene zadatke. Predavanja su malo nježnija od naših. Početna stranica je Zatim potražite Katedra za matematiku i onda: odete (kliknete) na kolegije Matematika 3 i 4, kliknete na gumb Prijava kao gost, na stranici potražite blok 3 Numerička matematika. Iskoristite! Naravno, smijete pogledati i ostalo! NumMat 2009, 4. predavanje p.6/67
7 Veza Gaussovih eliminacija i LR faktorizacije Može se pokazati da je Neka je matrica R dobivena LR faktorizacijom jednaka matrici R dobivenoj Gaussovim eliminacijama. A (k) matrica na početku k-tog koraka Gaussovih eliminacija, a A (k+1) matrica dobivena na kraju tog koraka. Onda se A (k+1) može matrično napisati kao produkt pri čemu je... A (k+1) = M k A (k), NumMat 2009, 4. predavanje p.7/67
8 Veza Gaussovih eliminacija i LR faktorizacije M k = I k 1 1 m k+1,k 1 m k+2,k m n,k 1 a m ik su odgovarajući multiplikatori u k-tom koraku. Na kraju eliminacija, nakon n 1 koraka, dobijemo gornju trokutastu matricu R, R := A (n) = M n 1 M n 2 M 1 A. NumMat 2009, 4. predavanje p.8/67
9 Veza Gaussovih eliminacija i LR faktorizacije Sve matrice M k su regularne, jer su M k donje trokutaste s 1 na dijagonali, pa postoje njihovi inverzi. Onda se A može napisati kao gdje je A = M 1 1 M 1 2 M 1 n 1 R := L = 1 m 21 1 L R,.. m m n1 m n2 m n,n 1 1. Iz jedinstvenosti LR faktorizacije slijedi da je R = R. NumMat 2009, 4. predavanje p.9/67
10 Parcijalno pivotiranje u LR faktorizaciji Veza LR faktorizacije i Gaussovih eliminacija upućuje nas da pivotiranje vršimo na isti način kao kod Gaussovih eliminacija. Ako koristimo parcijalno pivotiranje, onda se LR faktorizacija tako dobivene matrice permutiranih redaka, zapisuje kao PA = LR, pri čemu je P matrica permutacije. Matrica permutacije P u svakom retku i stupcu ima točno jednu jedinicu, a ostalo su nule. P je uvijek regularna matrica pokažite to! NumMat 2009, 4. predavanje p.10/67
11 Parcijalno pivotiranje u LR faktorizaciji Ako znamo permutiranu faktorizaciju PA = LR, kako ćemo riješiti linearni sustav Ax = b? Najjednostavnije je lijevu i desnu stranu (slijeva) pomnožiti s P, pa dobivamo PAx = LRx = Pb. Oprez: kad permutiramo, istovremeno zamjenjujemo retke u obje radne matrice (L I) i R, tj. permutiramo dosadašnje multiplikatore i jednadžbe. Kako realiziramo permutacije u algoritmu? NumMat 2009, 4. predavanje p.11/67
12 Parcijalno pivotiranje u LR faktorizaciji Realizacija permutacija: Fizički zamjenjujemo retke u radnoj matrici A u kojoj formiramo L i R, L I u strogo donjem trokutu od A, R u gornjem trokutu od A. Moramo pamtiti permutaciju P, zbog naknadne permutacije desne strane vektora b. Matrica P se pamti kao vektor p, koji na mjestu i ima indeks stupca j gdje se nalazi jedinica u i-tom retku od P, tj. p[i] = j P ij = 1. NumMat 2009, 4. predavanje p.12/67
13 Parcijalno pivotiranje u LR faktorizaciji Primjer. Ako u LR faktorizaciji sustava s 3 jednadžbe zamijenimo prvi i treći redak, pa onda trenutni drugi i treći redak, onda će se P, odnosno, p mijenjati ovako: P : p : , NumMat 2009, 4. predavanje p.13/67
14 Potpuno pivotiranje u LR faktorizaciji Ako koristimo potpuno pivotiranje, dobivamo LR faktorizaciju matrice koja ima permutirane retke i stupce obzirom na A, tj. PAQ = LR, gdje su P i Q matrice permutacije. Skica rješenja. Q je unitarna, pa iz PA = LRQ T, uz pokratu Q T x = z, imamo PAx = LR(Q T x) = LRz = Pb. Dakle, jedina razlika obzirom na parcijalno pivotiranje je da na kraju treba izokretati rješenje z da se dobije x, tj. x = Qz. NumMat 2009, 4. predavanje p.14/67
15 Parcijalno vs. potpuno pivotiranje Možemo li i na temelju čega reći da je potpuno pivotiranje bolje od parcijalnog? Tradicionalno to se čini na temelju pivotnog rasta. Pivotni rast (ili faktor rasta ) je omjer najvećeg (po apsolutnoj vrijednosti) elementa u svim koracima eliminacije, i najvećeg elementa u originalnoj matrici ρ n = max i,j,k a (k) ij max i,j a ij. Intuitivno je jasno da nije dobro da elementi rastu po apsolutnoj vrijednosti, jer bi to moglo dovesti do gubitka točnosti. NumMat 2009, 4. predavanje p.15/67
16 Pivotni rast Koliki je pivotni rast kod parcijalnog pivotiranja? Korištenjem relacija za poništavanje elemenata a (k+1) ij = a (k) ij m ik a (k) kj, m ik 1, za parcijalno pivotiranje vrijedi a (k+1) ij a (k) ij + a(k) kj 2 max a (k) ij. i,j Prethodna ocjena, za n koraka algoritma daje pivotni rast ρ p n ρ p n 2 n 1. NumMat 2009, 4. predavanje p.16/67
17 Pivotni rast Već je J. H. Wilkinson primijetio da se taj pivotni rast može dostići za sve matrice oblika Eksponencijalno rastu elementi posljednjeg stupca. Ovo je samo umjetno konstruirani primjer, a u praksi je takvih matrica izrazito malo, pa se parcijalno pivotiranje ponaša mnogo bolje od očekivanog. NumMat 2009, 4. predavanje p.17/67
18 Pivotni rast Za potpuno pivotiranje pivotni rast ρ c n može se ograditi odozgo s ρ c n n 1/2 (2 3 1/2 n 1/(n 1) ) 1/2 cn 1/2 n (log n)/4, ali ta ograda nije dostižna. Ovo je dokazao J. H. Wilkinson, šezdesetih godina prošlog stoljeća. Dugo se mislilo da vrijedi ρ c n n. Medutim, nadeni su primjeri matrica kad to ne vrijedi. Kontraprimjer (konstruiran godine), matrice reda 13 ima pivotni rast ρ c n = NumMat 2009, 4. predavanje p.18/67
19 Teorija perturbacije linearnih sustava NumMat 2009, 4. predavanje p.19/67
20 Teorija perturbacije linearnih sustava Teorija perturbacije linearnih sustava bavi se ocjenom (po elementima i/ili po normi) koliko se najviše promijeni rješenje sustava x, ako se malo promijene elementi A i/ili b. Problem. Neka je Ax = b, A F n n regularna, a b zadani vektor. Zanima nas koliko će se najviše promijeniti rješenje x ovog problema, ako perturbiramo A, odnosno, b. Pojednostavnimo problem i pretpostavimo da je A fiksna matrica, a dozvoljene su perturbacije samo vektora b. NumMat 2009, 4. predavanje p.20/67
21 Koliko je dobro uvjetovan linearni sustav? Za prethodni problem ulazni podaci su elementi od A i b njih n 2 + n, rezultat je vektor x F n, a pripadna funkcija problema je f : F n F n je x = f(b) := A 1 b. Iz prethodnog predavanja znamo da je relativna uvjetovanost problema (samo, umjesto x, pišemo b) κ rel (b) = (condf)(b) := bf (b) f(b). NumMat 2009, 4. predavanje p.21/67
22 Koliko je dobro uvjetovan linearni sustav? Za višedimenzionalne probleme, da bismo dobili jedan broj u prethodnoj formuli, uzmemo normu, a derivacija je gradijent, pa je f(b) = A 1, κ rel (b) = b 2 A 1 2 A 1 b 2 = Ax 2 A 1 2 x 2. Gledamo najgoru moguću uvjetovanost, po svim vektorima b, max b n b 0 κ rel (b) = max x n x =0 Ax 2 x 2 A 1 2 = A 2 A 1 2. NumMat 2009, 4. predavanje p.22/67
23 Primjer Za mjeru uvjetovanosti sustava, možemo uzeti: cond A := A 2 A 1 2. Ako je uvjetovanost mala, mora li onda rješenje računalom biti dobro? Primjer. Sjetimo se sustava Ax = b, gdje je [ ] [ A =, b = Za vježbu izračunajte da je cond A ]. NumMat 2009, 4. predavanje p.23/67
24 Primjer Je li to dobro uvjetovan sustav? Jest! Digresija. Nije teško pokazati da za regularne matrice vrijedi 1 = A A 1 A 2 A 1 2 = cond(a), a jednakost se dostiže za unitarne matrice. Uvjetovanost je loša ako je cond(a) 1. U prethodnom sustavu je nešto pošlo po zlu? Što? Na bitnom mjestu u računu došlo je do underflow-a mali broj je pretvoren u nulu, i više ne možemo govoriti o malim relativnim perturbacijama. NumMat 2009, 4. predavanje p.24/67
25 Hilbertova matrica Primjer. Kod aproksimacije polinomima javljaju se linearni sustavi oblika H n x = b, gdje je H n Hilbertova matrica reda n, tj H n =. 1 1 n n n 1 n n 1. NumMat 2009, 4. predavanje p.25/67
26 Hilbertova matrica Da bismo ispitali točnost rješenja, stavimo desnu stranu b(i) := n H n (i,j) = j=1 n j=1 1 i + j 1, tako da je rješenje sustava x T = [1, 1,..., 1]. Što možemo očekivati od rješenja takvog sustava? i = 1,...,n, Pogled na Frobeniusovu normu matrice A kaže da ona nije naročito velika, tj. H n F = n n 1 i + j 1 n n 1 = n. i=1 i=1 i=1 i=1 NumMat 2009, 4. predavanje p.26/67
27 Hilbertova matrica Medutim... ne treba gledati samo normu matrice!!! Uvjetovanost Hilbertovih matrica je vrlo visoka: n κ 2 (H n ) n κ 2 (H n ) n κ 2 (H n ) NumMat 2009, 4. predavanje p.27/67
28 Hilbertova matrica n = 2, 5 Za sustav s Hilbertovom matricom, u extended točnosti, umjesto svih jedinica u rješenju, dobivamo: Red 2 x(1) = x(2) = Red 5 x(1) = x(4) = x(2) = x(5) = x(3) = NumMat 2009, 4. predavanje p.28/67
29 Hilbertova matrica n = 10 x(1) = x(6) = x(2) = x(7) = x(3) = x(8) = x(4) = x(9) = x(5) = x(10) = Uvjetovanost: NumMat 2009, 4. predavanje p.29/67
30 Hilbertova matrica n = 15 x(1) = x(9) = x(2) = x(10) = x(3) = x(11) = x(4) = x(12) = x(5) = x(13) = x(6) = x(14) = x(7) = x(15) = x(8) = Uvjetovanost: NumMat 2009, 4. predavanje p.30/67
31 Hilbertova matrica n = 20 x(1) = x(11) = x(2) = x(12) = x(3) = x(13) = x(4) = x(14) = x(5) = x(15) = x(6) = x(16) = x(7) = x(17) = x(8) = x(18) = x(9) = x(19) = x(10) = x(20) = Uvjetovanost NumMat 2009, 4. predavanje p.31/67
32 Uvjetovanost Hilbertovih matrica Može se pokazati da za uvjetovanost Hilbertove matrice H n vrijedi formula κ 2 (H n ) ( ) 4n /4 πn za n. Dakle, iako Hilbertove matrice imaju idealna svojstva, simetrične, pozitivno definitne (čak totalno pozitivne), njihova uvjetovanost katastrofalno brzo raste! Krivci za to su elementi inverza H 1 n. NumMat 2009, 4. predavanje p.32/67
33 Inverz Hilbertove matrice Recimo, H5 1 izgleda ovako: H 1 5 = A kako tek izgledaju elementi H 1 20? NumMat 2009, 4. predavanje p.33/67
34 Inverz Hilbertove matrice Elementi inverza Hn 1 Hilbertove matrice mogu se eksplicitno izračunati u terminima binomnih koeficijenata (H 1 n ) ij = ( 1) i+j (i + j 1) ( ) ( )( ) 2 n + i 1 n + j 1 i + j 2. n j n i i 1 Lako se vidi da ovi elementi vrlo brzo rastu za malo veće n. Pogledajte NumMat 2009, 4. predavanje p.34/67
35 Još malo o perturbacijama linearnih sustava Ocjenu koliko se najviše promijenilo rješenje sustava Ax = b možemo dobiti i direktno i to po elementima/normi ako perturbiramo samo A ili samo b, ako perturbiramo i A i b. Pretpostavimo da smo perturbirali samo A. Umjesto sustava Ax = b tada rješavamo (A + A)(x + x) = b. Takoder, možemo pretpostaviti da za operatorsku normu perturbacije vrijedi A ε A. Komentar. Ako je ε točnost računanja, tolika perturbacija napravljena već pri spremanju elemenata matrice u računalo. NumMat 2009, 4. predavanje p.35/67
36 Perturbacija matrice A Oduzimanjem Ax = b od (A + A)(x + x) = b dobivamo A x + A (x + x) = 0. Množenjem slijeva s A 1 i sredivanjem dobivamo x = A 1 A (x + x). Uzimanjem norme lijeve i desne strane, a zatim ocjenjivanjem odozgo, dobivamo x A 1 A x + x ε A 1 A x + x εκ(a) ( x + x ), pri čemu je κ(a) = A A 1 uvjetovanost matrice A. NumMat 2009, 4. predavanje p.36/67
37 Perturbacija matrice A Premještanjem na lijevu stranu svih pribrojnika koji sadrže x dobivamo (1 εκ(a)) x εκ(a) x. Ako je εκ(a) < 1, a to znači i A A 1 < 1, onda je x εκ(a) 1 εκ(a) x, što pokazuje da je pogreška u rješenju približno proporcionalna uvjetovanosti matrice A. NumMat 2009, 4. predavanje p.37/67
38 Perturbacija vektora b Pretpostavimo sad da, umjesto sustava Ax = b rješavamo A(x + x) = b + b. Ponovno pretpostavljamo da je operatorska norma perturbacije vektora b b ε b. Oduzimanjem Ax = b od A(x + x) = b + b izlazi A x = b. Množenjem slijeva s A 1 dobivamo x = A 1 b. NumMat 2009, 4. predavanje p.38/67
39 Perturbacija vektora b Uzimanjem norme lijeve i desne strane, a zatim ocjenjivanjem odozgo, dobivamo x A 1 b ε A 1 b ε A 1 Ax ε A 1 A x εκ(a) x, što pokazuje da je pogreška u rješenju, ponovno, proporcionalna uvjetovanosti matrice A. Sada možemo generalizirati rezultat ako perturbiramo istovremeno i A i b. NumMat 2009, 4. predavanje p.39/67
40 Perturbacija matrice A i vektora b Teorem. Neka je Ax = b i gdje je (A + A) (x + x) = b + b, A ε E, b ε f, pri čemu je E neka matrica, a f neki vektor. Takoder, neka je ε A 1 E < 1. Tada za x 0 vrijedi ocjena x x ε 1 ε A 1 E ( A 1 f x + A 1 E ). NumMat 2009, 4. predavanje p.40/67
41 Perturbacija matrice A i vektora b Komentar: Uobičajeno se za E uzima A, jer je to pogreška koju napravimo spremanjem matrice A u računalo. Jednako tako, za f se uzima b. U tom slučaju je x x ε 1 ε A 1 A = ε 1 εκ(a) ε 1 εκ(a) = 2εκ(A) 1 εκ(a). ( A 1 b x + A 1 A ( ) A 1 Ax + κ(a) x ( ) A 1 A x + κ(a) x ) NumMat 2009, 4. predavanje p.41/67
42 Perturbacija matrice A i vektora b Dokaz (skica). Provodi se na sličan način kao za pojedinačne perturbacije. Ako od (A + A) (x + x) = b + b oduzmemo Ax = b, dobivamo A x = b Ax A x. Množenjem s A 1 slijeva, a zatim korištenjem svojstva operatorskih normi, lako izlazi traženo. NumMat 2009, 4. predavanje p.42/67
43 Uloga reziduala Kad smo računali računalom, umjesto pravog rješenja sustava x, dobili smo približno, ˆx. Veličinu zovemo rezidual rješenja. r = b Aˆx, Rezidual pravog rješenja x je r = 0! Medutim, ako je rezidual velik, onda sigurno nismo blizu pravom rješenju, ali rezidual može biti malen, a da izračunato rješenje sustava nije niti blizu pravom. NumMat 2009, 4. predavanje p.43/67
44 Uloga reziduala Primjer. Za sustav H 20 x = b izračunat u extended točnosti, s desnom stranom takvom da je x T = [1, 1,..., 1] rezidual je nula-vektor, a komponente rješenja su bile u stotinama. NumMat 2009, 4. predavanje p.44/67
45 Uloga reziduala Reziduali se obično koriste za poboljšavanje netočnog rješenja linearnog sustava. To se obično provodi u tri koraka. Izračuna se rezidual r = b Aˆx, pri čemu je ˆx izračunato rješenje sustava. Riješi se sustav Ad = r, gdje je d korekcija. Korekcija se doda izračunatom rješenju y = ˆx + d, što bi trebalo dati bolje rješenje. NumMat 2009, 4. predavanje p.45/67
46 Struktura LR faktorizacije Ako matrica A koja ulazi u LR faktorizaciju ima nekakvu strukturu, pitanje je kad će se ta struktura sačuvati. To je posebno bitno za sustave gdje je A takva da se bitna informacija o njoj može spremiti u bitno manje od n 2 elemenata. Ako ne pivotiramo, onda se čuvaju, recimo, sljedeće forme: R R L L NumMat 2009, 4. predavanje p.46/67
47 Kad ne moramo pivotirati? Odgovor. Postoje tipovi matrica kad ne moramo pivotirati. Na primjer, to su: dijagonalno dominantne matrice po stupcima, tj. matrice za koje vrijedi a jj > n i=1 i j a ij, dijagonalno dominantne matrice po recima, simetrične pozitivno definitne matrice o njima malo kasnije. NumMat 2009, 4. predavanje p.47/67
48 Kad ne moramo pivotirati? Za dijagonalno dominantne matrice po stupcima treba samo pokazati da iza prvog koraka eliminacije ostaju dijagonalno dominantne po stupcima. 1. Zaključak. a 11 0 i maksimalan po apsolutnoj vrijednosti u 1. stupcu, pa sigurno možemo napraviti 1. korak eliminacije. Dobivamo matricu A (2) oblika [ A (2) = a 11 a 1 0 S pri čemu je S regularna (dokaz korištenjem determinanti). 2. Korak. Moramo pokazati da je matrica S dijagonalno dominantna po stupcima. ], NumMat 2009, 4. predavanje p.48/67
49 Kad ne moramo pivotirati? Za j = 2,...,n vrijedi n n a (2) ij = a ij a i1 a 1j a 11 i=2 i j i=2 i j n a ij + i=2 i j a 1j a 11 n a i1 i=2 i j (dijagonalna dominantnost obje sume) < ( a jj a 1j ) + a 1j a 11 ( a 11 a j1 ) = a jj a 1j a j1 a 11 (koristimo a b a b ) a jj a 1j a 11 a j1 = a (2) jj, što pokazuje da je i A (2) dijagonalno dominantna po stupcima. NumMat 2009, 4. predavanje p.49/67
50 Simetrične pozitivno definitne matrice Za simetrične/hermitske pozitivno definitne matrice radi se simetrizirana varijanta LR faktorizacije jer je 2 puta brža nego obična LR faktorizacija, čuva strukturu matrice A čak i kad računamo u strojnoj aritmetici, množenjem faktora uvijek dobivamo simetričnu matricu. Simetrizirana LR faktorizacija zove se faktorizacija Choleskog. Prisjećanje. Matrica je hermitska ako je A = A. Ako je A R n n, onda je hermitska matrica isto što i simetrična, tj. = T. NumMat 2009, 4. predavanje p.50/67
51 Simetrične pozitivno definitne matrice Pozitivna definitnost matrice se ne vidi odmah. Uobičajeno se unaprijed, iz prirode problema zna da je neka matrica pozitivno definitna. Matrica A F n n je pozitivno definitna ako je x Ax > 0 za svaki x 0, x F n. Ekvivalentni uvjeti za pozitivnu definitnost: sve svojstvene vrijednosti od A su pozitivne, tj. vrijedi λ k (A) > 0, za k = 1,...,n, gdje λ k označava k-tu najveću svojstvenu vrijednost; NumMat 2009, 4. predavanje p.51/67
52 Simetrične pozitivno definitne matrice Ekvivalentni uvjeti (nastavak): sve vodeće glavne minore od A su pozitivne, tj. vrijedi det(a k ) > 0, za k = 1,...,n, gdje je A k = A(1 : k, 1 : k) vodeća glavna podmatrica od A reda k. Digresija. Katkad se puno lakše vidi da neka matrica nije pozitivno definitna. Pokažite da nisu pozitivno definitne matrice koje na dijagonali imaju negativan element ili nulu. NumMat 2009, 4. predavanje p.52/67
53 Pozitivna definitnost i simetrija Za kompleksne matrice A C n n, može se pokazati da vrijedi A je pozitivno definitna = A je hermitska (A = A ). Za realne matrice A R n n to ne mora vrijediti, tj. pozitivno definitna matrica ne mora biti simetrična (može biti i A A T ). Medutim, u numerici se vrlo često koristi stroža varijanta pojma koja, po definiciji, uključuje i simetriju: Realna matrica A R n n pozitivno definitna ako je simetrična i za svaki x R n, x 0, vrijedi x T Ax > 0. Da ne bude zabune, u nastavku, koristimo strožu definiciju! U tom slučaju, originalni pojam (bez simetrije) katkad se zove samo pozitivnost matrice A. NumMat 2009, 4. predavanje p.53/67
54 Faktorizacija Choleskog Iz ekvivalentnog uvjeta odmah izlazi da za hermitsku/simetričnu pozitivno definitnu matricu uvijek može napraviti LR faktorizacija bez pivotiranja (v. Teorem)! Tvrdnja. Za hermitsku/simetričnu pozitivno definitnu matricu A, LR faktorizaciju možemo napisati u obliku A = LDL. Ta faktorizacija se obično zove LDL faktorizacija. U LR faktorizaciji matrice A faktor R rastavi se na R = DM D dijagonalna, M gornjetrokutasta s jedinicama na dijagonali. NumMat 2009, 4. predavanje p.54/67
55 Faktorizacija Choleskog Da se dobije takva faktorizacija, Dakle, dijagonalni elementi R stave se na dijagonalu od D, svaki redak u R podijeli se s dijagonalnim elementom u tom retku da se dobije M. A = LDM, M donjetrokutasta, regularna. Zbog hermitičnosti/simetrije vrijedi pa je LDM = MDL... A = A = (LDM ) = MDL, NumMat 2009, 4. predavanje p.55/67
56 Faktorizacija Choleskog (nastavak)... LDM = MDL. Množenjem slijeva s L 1 i zdesna s L dobivamo DM L = L 1 MD. Na lijevoj strani imamo produkt gornjetrokutastih matrica, a na desnoj strani donjetrokutastih, pa su ti produkti dijagonalne matrice. Te dijagonalne matrice su jednake D (jer i M i L imaju na dijagonali jedinice), pa je L 1 MD = D = MD = LD = M = L. NumMat 2009, 4. predavanje p.56/67
57 Faktorizacija Choleskog Nadalje, D ima pozitivne elemente, jer bi inače postojao vektor x takav da je (Ax,x) = (LDL x,x) = (DL x,l x) := (Dy,y) 0. Dakle, D možemo rastaviti na D = gdje je dijagonalna i ii = D ii. Tada LDL faktorizaciju možemo napisati u obliku: A = LDL = (L )( L ) = (L )( L ) = (L )(L ). NumMat 2009, 4. predavanje p.57/67
58 Faktorizacija Choleskog Uz oznaku R := (L ) dobivamo faktorizaciju Choleskog A = R R. Digresija. Mnogi slovom L označavaju L := L, pa se u literaturi faktorizacija Choleskog može naći napisana kao A = LL. Oprez: taj L nema jedinice na dijagonali! Kad znamo da postoji, Faktorizacija Choleskog se može i direktno izvesti, znajući da je A = R R. NumMat 2009, 4. predavanje p.58/67
59 Algoritam Ograničimo se na realni slučaj. Tada je i a ij = r ki r kj, i j, k=1 pa dobivamo sljedeću rekurziju za elemente: za j = 1,...,n : ( i 1 r ij = a ij r ki r kj )/r ii, i = 1,...,j 1, r jj = ( a jj k=1 j 1 k=1 r 2 kj) 1/2. Za j = 1 računamo samo r 11. Greške zaokruživanja moguć negativan izraz pod korijenom. NumMat 2009, 4. predavanje p.59/67
60 Algoritam Faktorizacija Choleskog za j = 1 do n radi { /* Nadi j-ti stupac od R */ /* Supstitucija unaprijed iznad dijagonale */ za i = 1 do j - 1 radi { sum = A[i, j]; za k = 1 do i - 1 radi { sum = sum - R[k, i] * R[k, j]; }; R[i, j] = sum / R[i, i]; }; NumMat 2009, 4. predavanje p.60/67
61 Algoritam /* Dijagonalni element */ sum = A[j, j]; za k = 1 do j - 1 radi { sum = sum - R[k, j]**2; }; ako je sum > 0.0 onda { R[j, j] = sqrt(sum) }; inače /* Matrica nije pozitivno definitna, STOP */ }; NumMat 2009, 4. predavanje p.61/67
62 Komentar na algoritam Uočimo da: se po prethodnoj rekurziji matrica R generira stupac po stupac, dok se u LR faktorizaciji R generirala redak po redak, a L stupac po stupac; ovo je tzv. jik varijanta algoritma, a naziv dolazi od poretka petlji uz prirodno imenovanje indeksa; ovo nije jedina varijanta za realizaciju algoritma. Složenost algoritma (broj aritmetičkih operacija) je približno jednaka OP(n) 1 3 n3, što je približno polovina složenosti LR faktorizacije. NumMat 2009, 4. predavanje p.62/67
63 Rješenje linearnog sustava Kad imamo faktorizaciju Choleskog A = R T R, onda se rješenje linearnog sustava Ax = b svodi na dva rješavanja trokutastih sustava koje lako rješavamo: R T y = b, Rx = y, sustav R T y = b supstitucijom unaprijed y 1 = b 1 /r 11 ( y i = b i i 1 j=1 r ji y j )/r ii, i = 2,...,n, NumMat 2009, 4. predavanje p.63/67
64 Rješenje linearnog sustava sustav Rx = y supstitucijom unatrag x n = y n /r nn ( x i = y i n j=i+1 r ij x j )/r ii, i = n 1,..., 1. Za razliku od LR faktorizacije, ovdje u obje supstitucije imamo dijeljenja. Zbog toga se često koristi LDL T oblik faktorizacije: u algoritmu nema računanja drugih korijena; rješavaju se tri linearna sustava: Lz = b, Dy = z, L T x = y. L ima jediničnu dijagonalu, pa štedimo n dijeljenja. NumMat 2009, 4. predavanje p.64/67
65 Može li LDL T za simetrične matrice? Može li se LDL T faktorizacija napraviti za bilo koju simetričnu matricu A (uz dozvolu da D ima i negativne elemente)? To ne vrijedi! Kontraprimjer: [ A = Pomaže li simetrična permutacija redaka/stupaca? Ne! Poopćenje na indefinitne matrice dobivamo tako da dozvolimo dijagonalne blokove reda 2 u matrici D. ], NumMat 2009, 4. predavanje p.65/67
66 Pivotiranje u faktorizaciji Choleskog I kod faktorizacije Choleskog možemo koristiti pivotiranje. Da bismo očuvali simetriju radne matrice, pivotiranje mora biti simetrično, tj. radimo istovremene zamjene redaka i stupaca u A A P T AP, gdje je P matrica permutacije. Simetrična zamjena dijagonalni element zamjenjuje mjesto s dijagonalnim! Standardni izbor pivotnog elementa u k-tom koraku je a (k) rr = max k i n a(k) ii, što odgovara potpunom pivotiranju u Gaussovim eliminacijama. NumMat 2009, 4. predavanje p.66/67
67 Pivotiranje u faktorizaciji Choleskog Ovim postupkom dobivamo faktorizaciju Choleskog P T AP = R T R, a za elemente matrice R vrijedi r 2 kk j i=k r 2 ij, j = k + 1,...,n, k = 1,...,n. Posebno, to znači da R ima nerastuću dijagonalu r 11 r nn > 0. NumMat 2009, 4. predavanje p.67/67
Numerička matematika 4. predavanje
Numerička matematika 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2011, 4. predavanje p.1/95 Sadržaj predavanja Rješavanje linearnih sustava: Hilbertove
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραNumerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραKosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda
V Hari i V Zadelj-Martić: Kosinus-sinus dekompozicija, mathe 10, veljača 007 1/14 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 10 http://emathhr/ Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE Ivica Gusić Lekcija 6 Linearni sustavi i njihovo rješavanje Lekcije iz Matematike. 6. Linearni sustavi i njihovo rješavanje I. Naslov i objašnjenje naslova U lekciji se obradjuje
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραNM Pred. 07/08 1. Numerička matematika. Integralni tekst predloška za predavanja 07/
NM Pred. 07/08 1 Numerička matematika Integralni tekst predloška za predavanja 07/08 Luka Grubišić 05.03.2008 NM Pred. 07/08 2 1 Uvodno predavanje 1.1 Pravila ocjenjivanja Numerička matematika (31427)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραPotpuno pivotiranje. Faktorizacija Choleskog
Potpuno pivotiranje Potpuno pivotiranje kao pivota odabire po modulu najveći element iz cijele podmatrice dolje desno Osim zamjene redaka, ovdje je dozvoljena i zamjena stupaca (preimenovanje tj mijenjanje
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. predavanje
Numerička matematika 2. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 2. predavanje p. 1/141 Sadržaj predavanja Uvodna priča o greškama
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραIterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 3. Iterativne metode za linearne sustave Nela Bosner, Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 20. listopada 2010. Sadržaj 1 Osnovne iterativne
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA MATEMATIKA. By Štreberaj ID: 10201
MATEMATIKA MATEMATIKA By Štreberaj 1 ID: 10201 Ovo je samo pregled, a cijela skripta (44 str.) te čeka u našoj SKRIPTARNICI! 1 Bok! Drago nam je što si odabrao SKRIPTARNICU za pronalazak materijala koji
Διαβάστε περισσότεραNumerička analiza 4. predavanje
NumAnal 2011, 4. predavanje p. 1/87 Numerička analiza 4. predavanje Autori: Saša Singer i Nela Bosner Predavač: Nela Bosner nela@math.hr web.math.hr/~nela/nad.html PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα4 Multigrid metode Osnove multigrid metoda Spektralna i algebarska slika multigrid metoda
Sadržaj 1 Uvod 5 1.1 Notacija.................................... 6 1.2 Vektorske norme i skalarni produkti.................... 6 1.3 Ortogonalnost................................. 6 1.4 Matrične faktorizacije............................
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραGeologija, Znanost o okolišu Matematika 1
1 Algebra matrica 11 Osnovni pojmovi Definicija 1 Neka su m i n prirodni brojevi Niz elemenata (a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn R m n posloženih u pravokutnu shemu A = a 11 a 12
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα1. Rješavanje diskretne Poissonove jednadžbe
1. POISSONOVA JEDNADŽBA 1D POISSONOVA JEDNADŽBA 1 1. Rješavanje diskretne Poissonove jednadžbe 1.1. 1D diskretna Poissonova jednadžba Poissonova jednadžba javlja se kod prijenosa topline, u elektrostatici,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα