Numeričko modeliranje u geotehnici STABILNOST BESKONAČNE KOSINE

Transcript

1 str. 1 STABILNOST BESKONAČNE KOSINE Numeričkim mdeliranjem će se ilustrirati stabilnst besknačne ksine, za kju pstje analitički izrazi za faktr sigurnsti, kji prizlaze iz ravnteže elementa tla kjemu su dvije stranice vertikalne (d dubine z) a dvije su paralelne s nagibm ksine (pd kutm β) s tim da se grnja stranica elementa pklapa s pvršinm ksine. Ak suh tl ima zapreminsku težinu γ tada je efektivn naprezanje nrmaln na stranicu elementa na dubini z, paralelnu s ksinm σ 2 n = γ z cs β (1) dk je psmičn naprezanje na tj stranici (2) τ = γ z sin β cs β Tada je faktr sigurnsti ksine 2 τ f c + σ n tanϕ c + γ zcs β FS= = = τ τ γ z sin β cs β (3) dnsn c tanϕ FS = + γ z sin β cs β tan β (4) Ak je c =, izraz za faktr sigurnsti se pjednstavljuje na tanϕ FS = () tan β Grnji izraz () za faktr sigurnsti vrijedi i kada je tl u ptpunsti ptpljen vdm, dnsn kada je razina vde iznad ksine (za slučaj c = ). U izrazima (1) i (2) tada se pjavljuje γ = γ - γ w umjest γ, pa za c izraz (4) prelazi u c tanϕ FS = + γ z sin β cs β tan β (6) Ak vda struji niz ksinu, uslijed sile d strujanja vde, u izrazu (1) se pjavljuje γ, dk u izrazu (2) staje γ tak da faktr sigurnsti za c glasi

2 c γ tanϕ FS = + γ z sin β cs β γ tan β str. 2 (7) a za c = γ tanϕ FS = (8) γ tan β Treba učiti da se u izrazima (4), (6) i (7) za c pjavljuje dubina z na kjj se nalazi stranica prmatrang elementa tla paralelna s ksinm i da faktr sigurnsti visi tj dubini. Mdelirat će se di besknačne ksine pd nagibm V:H = 1:2 pa je tan β =, a β =26,6. Zapreminska težina tla je 21 kn/m 3. I. Suh tl s c = Mdel tla prikazan je na slici I-1. Ksina je duljine 67,8 m. Parametri čvrstće su c =, ϕ = 3. Efektivna su naprezanja jednaka ukupnima. I.1. Kružne klizne plhe Zadana je mreža središta kružnih kliznih plha, kje sve prlaze nžicm nasipa. Rezultati prračuna stabilnsti ksine prikazani su na slici I-2. Budući da je c =, za sve je dubine z isti faktr sigurnsti tan 3 FS = = 1,4, pa je tak dbivena vrl plitka kružna klizna plha, gtv na pvršini ksine, ka št prikazuje slika I-3. Prračunm je dbiven faktr sigurnsti 1,2. U vakvim se slučajevima (kada je c = ), središte kružne klizne plhe s najmanjim faktrm sigurnsti bičn pjavljuje na grnjem rubu mreže središta. Bez bzira klik visk zadali središta kružnih kliznih plha, u tm će slučaju uvijek izračunati najmanji faktr sigurnsti biti na grnjem rubu mreže središta kliznih plha, sa sve plićim kliznim plhama.

3 str Slika I-1. Mdel tla za prračun stabilnsti

4 str Slika I-2. Rezultati prračuna stabilnsti

5 str. Slika I-3. Klizna plha s najmanjim faktrm sigurnsti I.2. Zadana klizna plha U sljedećem će prračunu biti zadana ksina na ksini (slika I-4). Grnji di mdela, visine m, simulira besknačnu ksinu, kja je paralelna s dnjm ksinm. Parametri tla za grnju ksinu isti su ka u prethdnm primjeru, dk sada dnji di mdela ima zapreminsku težinu 18 kn/m 3 i parametre čvrstće c = 2 kn/m 2, ϕ = Slika I-4. Mdel tla s besknačnm ksinm i zadanm kliznm plhm

6 str. 6 Klizna je plha zadana p dnjem rubu besknačne ksine. Ovakva se klizna plha zadaje tak da se pd KeyIn Analysis Settings Slip Surface Slip Surface Optin izabere Fully Specified, zatim se pmću pcije Draw Fully-Specified Slip Surface ucrta klizna plha. Jš treba zadati središte rtacije klizne plhe pmću pcije Draw Slip Surface Axis. Zadat će se veći brj lamela u dnsu na default vrijednst d. Pd KeyIn Analysis Settings Advanced Number f slices zada se 1 lamela kak bi se minimizira utjecaj rezanja lamela na vrhu p hrizntalnj ravnini krz niži vrh lamele. Rezultat vg prračuna prikazan je na slici I-, gdje se vidi i zadana klizna plha. Faktr sigurnsti je 1,, isti ka i analitički. Na slici I-6 prikazane su sile na lamelu brj 44. Treba učiti da su za besknačnu ksinu međulamelarne sile. Vertikalna sila d 63 kn/m rezultat je umnška 21 x x,6, gdje je visina lamele m, a njena je širina,6 m Slika I-. Rezultati prračuna stabilnsti sa zadanm kliznm plhm

7 str. 7 Slice 44 - Mrgenstern-Price Methd Slika I-6. Sile na lamelu brj 44 II. Ptpljen tl s c = Ak je razina vde iznad tla, tl je ptpljen, ptpun saturiran i sada su efektivna naprezanja jednaka ukupnim naprezanjima umanjenim za tlak vde. II.1. Vda je zadana iznad tla ka materijal bez čvrstće Mdel tla, u kjem su zadane razina vde m iznad grnjeg lijevg ugla besknačne ksine i vda ka materijal bez čvrstće, prikazan je na slici II-1. Rezultati vg prračuna stabilnsti ksine prikazani su na slici II-2. Opet je dbiven faktr sigurnsti 1,, jer su faktri sigurnsti isti za suh i za ptpljen tl ak je c =. Na slici II-3 prikazana je raspdjela tlaka vde na snvicama lamela. Tlak vde raste duž snvica lamela d k 1 kpa d k kpa. Na snvici lamele brj 44 tlak vde iznsi 226, kpa.

8 str Slika II-1. Mdel tla za ptpljen tl Slika II-2. Rezultati prračuna stabilnsti za ptpljen tl

9 str. 9 Pre-Water Pressure vs. Slice # Tlak vde (kpa) Lamela Slika II-3. Tlak vde na snvicama lamela II.2. Zadana je urnjena težina tla Alternativni način prračuna stabilnsti ptpljenga tla je da se, umjest zapreminske težine tla, za grnji di mdela, kji je relevantan za prračun stabilnsti, zada urnjena težina tla γ = γ - γ w = 21 9,81 = 11,19 kn/m 3, bez zadavanja vde. Mdel tla isti je ka na slici I-4. Rezultati vg prračuna prikazani su na slici II-4. Opet je dbiven isti faktr sigurnsti ka za suh i ptpljen tl, 1,. Na slici II- prikazane su sile na lamelu brj 44. Opet, ka na slici I-6 nema sila na vertikalne stranice lamele. U dnsu na sliku I-6, gdje je vertikalna sila na lamelu d vlastite težine mase tla njme buhvaćene bila 63 kn/m, sada je va vertikalna sila bitn manja i iznsi 33,7 kn/m, u skladu sa zadanm urnjenm težinm tla.

10 str Slika II-4. Rezultati prračuna stabilnsti s urnjenm težinm tla Slice 44 - Mrgenstern-Price Methd Slika II-. Sile na lamelu brj 44

11 str. 11 III. Strujanje vde niz ksinu s c = Za strujanje vde niz ksinu treba prvesti prračun strujanja vde krz tl prgramm SEEP/W. Za besknačnu ksinu, ekviptencijale bi trebale biti kmite na ksinu, a strujnice paralelne s ksinm. Mdel tla kjim se takv strujanje krz tl mže simulirati prikazan je na slici III-1. Nagib ksine isti je ka i za mdel sa slike I-1. Keficijent prpusnsti je 1 x 1-7 m/s. Rubni uvjet na ksini zadan je tak da je piezmetarska visina, dnsn tlak vde,. Okmit na ksinu zadani su rubni uvjeti kji dgvaraju knstantnm hidrauličkm ptencijalu (ekviptencijale). Tak je na lijevm rubu zadan H = 39 m, št dgvara y krdinati čvra u grnjem lijevm uglu mdela. Na desnm je rubu zadan H = 24 m, št dgvara y krdinati čvra u grnjem desnm uglu mdela. Rezultati prračuna prikazani su na slikama III-2 i III-3. Na slici III-2 prikazana je strujna mreža, u kjj se vidi da su ekviptencijale kmite na ksinu, a strujnice s njm paralelne. Na slici III-3 prikazani su vektri strujanja vde, kji takđer idu paraleln s ksinm Slika III-1. Mdel tla i rubni uvjeti za strujanje vde niz ksinu

12 str Slika III-2. Strujna mreža za strujanje vde niz ksinu (ekviptencijale su u metrima) Slika III-3. Vektri strujanja za strujanje vde niz ksinu

13 str. 13 Sada treba mdelirati sličan mdel tla, sa strujanjem vde paraleln s ksinm, ali s vertikalnim stranicama, kji će dgvarati grnjem dijelu mdela sa slike I-4. Na vertikalnim stranicama nvg mdela treba zadati dgvarajuće rubne uvjete. Na slici III-4 prikazan je di gemetrije nvg mdela (kraća ksina d ne sa slike I-4) debljim linijama. Budući da su ekviptencijale kmite na ksinu, krz dnji lijevi i dnji desni uga mdela prlaze dgvarajuće ekviptencijale, čije vrijednsti treba zadati u tim čvrvima (tanje linije). Ove vrijednsti dgvaraju y krdinatama tčaka u kjima ekviptencijale sijeku grnji rub ksine (tčke A i B). Zanima nas vertikalna udaljenst x između tčke A i dnjeg lijevg ugla mdela, dnsn tčke B i dnjeg desng ugla mdela. Iz gemetrije sa slike III-4 prizlazi da je x = = = 2 2 cs β cs 26,6 4 m T znači da će rubni uvjet u dnjem lijevm i dnjem desnm uglu mdela biti hidraulički ptencijal, kji je za 4 m veći d y krdinata tih čvrva. Nvi mdel tla za simulaciju strujanja vde paraleln s ksinm, kji dgvara grnjem dijelu mdela sa slike I-4, prikazan je na slici III-. y krdinata tčke 2 sa slike III- je, št znači da u tm čvru treba zadati hidraulički ptencijal H = 44 m. y krdinata tčke 1 sa slike III- je 1, pa u tm čvru treba zadati hidraulički ptencijal H = 14 m. Duž ksine je zadana piezmetarska visina (dnsn tlak vde). Slika III-4. Gemetrija dijela nvg mdela s dgvarajućim ekviptencijalama na dnjim uglvima mdela (krz tčke A i B)

14 str Slika III-. Mdel tla za prračun strujanja vde paraleln s ksinm Čvr na lijevm rubu mdela između tčaka 2 i 3, dnsn na desnm rubu mdela između tčaka 1 i 2, udaljen je 2, m d uglva mdela. Analgn rubnm uvjetu u dnjim uglvima mdela, za ve je čvrve x = = = 2 2 2, cs β 2, cs 26,6 2 m št znači da će hidraulički ptencijal u tim čvrvima biti za 2 m veći d njihvih y krdinata. y krdinata srednjeg čvra na lijevm vertikalnm rubu mdela sa slike III- je 42,, št znači da u tm čvru treba zadati hidraulički ptencijal H = 44, m. y krdinata srednjeg čvra na desnm vertikalnm rubu mdela sa slike III- je 12,, pa u tm čvru treba zadati hidraulički ptencijal H = 14, m. Rezultati prračuna strujanja vde paraleln s ksinm za vaj su mdel prikazani na slikama III-6 (ekviptencijale) i III-7 (vektri strujanja). Ekviptencijale su kmite na ksinu, a vektri strujanja s njm paralelni.

15 44 2 Numeričk mdeliranje u getehnici str Slika III-6. Ekviptencijale (m) za strujanje vde paraleln s ksinm Slika III-7. Vektri strujanja za strujanje vde paraleln s ksinm

16 str. 16 Ovaj ćem mdel tla ukmpnirati u gemetriju mdela sa slike I-4. Odgvarajuća mreža knačnih elemenata za prgram SEEP/W prikazana je na slici III-8. Keficijent prpusnsti za dnji di mdela je 1 x 1-1 m/s. Rubni su uvjeti za grnji di mdela isti ka i u prethdnm mdelu. Za dnji di mdela je na njegvm lijevm grnjem rubu i na lijevj vertikalnj stranici zadan hidraulički ptencijal H = 44 m, a na desnm grnjem rubu i desnj vertikalnj stranici hidraulički ptencijal H = 14 m. Rezultati prračuna strujanja vde niz ksinu prikazani su na slikama III-9 (ekviptencijale) i III-1 (strujnice). U dijelu mdela kji nas zanima za prračun stabilnsti (grnji di mdela), ekviptencijale su kmite na ksinu, a sve se strujanje vde dvija sam u grnjem mdelu i vektri strujanja vde su paralelni s ksinm. Sada ćem u prgramu SLOPE/W kristiti tlak vde prračunat prgramm SEEP/W. Rezultati prračuna stabilnsti prikazani su na slici III-11. Očekivani faktr sigurnsti je, prema izrazu (8) 11,19 tan 3 FS = =,746 21, Faktr sigurnsti iz prračuna prgramm SLOPE/W je,747, št ukazuje na t da va ksina, sa strujanjem vde niz nju, nije stabilna Slika III-8. Mreža knačnih elemenata i rubni uvjeti za strujanje vde niz ksinu

17 42 18 Numeričk mdeliranje u getehnici str Slika III-9. Ekviptencijale (m) za strujanje vde niz ksinu Slika III-1. Vektri strujanja za strujanje vde niz ksinu

18 str Slika III-11. Rezultati prračuna stabilnsti ksine sa strujanjem vde niz ksinu IV. Suh tl s c IV.1. Zadana klizna plha Prv ćem prvesti prračun stabilnsti ksine sa zadanm kliznm plhm, paralelnm s ksinm, prema mdelu sa slike I-4. Sada je khezija 1 kn/m 2. Rezultati vg prračuna stabilnsti ksine prikazani su na slici IV-1. Očekivani je faktr sigurnsti, prema izrazu (4) 1 tan 3 FS = + = 1, sin 26,6 cs26,6, Prračunm prgramm SLOPE/W dbiven je isti rezultat.

19 str Slika IV-1. Rezultati prračuna stabilnsti ksine sa zadanm khezijm IV.2. Kružne klizne plhe Za razliku d prračuna stabilnsti ksine za tl kjemu je khezija, u slučaju khezije veće d nula, dbiju se kružne klizne plhe, kje su dublje d pvršine ksine. Za sve kružne klizne plhe ćem pstaviti da prlaze krz nžicu nasipa. Mdel tla je isti ka na slici I-1. Rezultati vg prračuna prikazani su na slici IV-2. Dbiveni faktr sigurnsti 1,78 dgvara bi kliznj plhi paralelnj s ksinm, kja je na dubini z d pvršine, a dbije se iz izraza tanϕ c c tanϕ FS z z FS tan β = = γ sin β cs β γ sin β cs β tan β 1 tan 3 z = 1,78 3,3 m 21sin 26,6 cs 26,6 =, Iz pdataka za lamele mže se vidjeti da je najdublja lamela kružne klizne plhe sa slike IV-2 visine 8,4 m.

20 str Slika IV-2. Rezultati prračuna stabilnsti ksine s kružnim kliznim plhama V. Ptpljen tl s c V.1. Zadana klizna plha Za ptpljen tl zadajem razinu vde m iznad grnjeg lijevg ugla besknačne ksine i vdu ka materijal bez čvrstće. Rezultati ve analize stabilnsti prikazani su na slici V-1. Očekivani je faktr sigurnsti, prema izrazu (6) 1 tan 3 FS = + = 1,847 11,19 sin 26,6 cs 26,6, U vm je prračunu dbiven gtv isti faktr sigurnsti, 1,848.

21 str Slika V-1. Rezultati prračuna stabilnsti ptpljene ksine V.2. Kružne klizne plhe Rezultati vg prračuna za ptpljen tl prikazani su na slici V-2 kada se vda zada ka materijal bez čvrstće, dnsn na slici V-3 kada se zada tlak vde iznad pvršine terena. Dbiveni faktri sigurnsti gtv su jednaki i klizne plhe s najmanjim faktrm sigurnsti su iste. Faktr sigurnsti 1,939 sa slike V-3 dgvara bi kliznj plhi paralelnj s ksinm, kja je na dubini z d pvršine, a dbije se iz izraza tanϕ c c tanϕ FS z z FS tan β = = γ sin β cs β γ sin β cs β tan β 1 tan 3 z = 1,939 4,1 m 11,19sin 26,6 cs 26,6 =, Ova je dubina veća neg št je bil u prračunu za suh tl s kružnim kliznim plhama, št se vidi i uspredbm slika IV-2 i V-3. Iz pdataka za lamele (prračun sa slike V-3) mže se vidjeti da je najdublja lamela kružne klizne plhe sada visine 9,34 m.

22 str Slika V-2. Rezultati prračuna stabilnsti ksine s kružnim kliznim plhama i vdm zadanm ka materijal bez čvrstće

23 str Slika V-3. Rezultati prračuna stabilnsti ksine s kružnim kliznim plhama i zadanim tlakm vde iznad pvršine terena VI. Strujanje vde niz ksinu s c VI.1. Zadana klizna plha Za strujanje vde niz ksinu, kristim prgram SEEP/W s istm mrežm knačnih elemenata i rubnim uvjetima ka za analgni prračun s c = (slika III-7). Rezultati ve analize stabilnsti prikazani su na slici VI-1. Očekivani je faktr sigurnsti, prema izrazu (7) 1 11,19 tan 3 FS = + =, sin 26,6 cs 26,6 21,

24 str. 24 U vm je prračunu dbiven gtv isti faktr sigurnsti,, Slika VI-1. Rezultati prračuna stabilnsti ksine sa strujanjem vde niz ksinu VI.2. Kružne klizne plhe Sada je ptrebn zadati mdel tla u kjem će se uz ksinu dnjeg mdela sa slike I-4 ukmpnirati slj tla, zapreminske težine 21 kn/m 3 i s parametrima čvrstće c = 1 kn/m 2, ϕ = 3, sličan nme sa slike III-, krz kji će vda strujati paraleln s ksinm. Ovaj će slj sada biti debljine 1 m kak bi bil mguće analizirati dublje kružne klizne plhe. Mdel tla za vaj primjer, s mrežm knačnih elemenata i rubnim uvjetima, za prgram SEEP/W prikazan je na slici VI-2. U svim čvrvima ksine zadana je piezmetarska visina (dnsn tlak vde). Na grnjem lijevm i vertikalnm lijevm rubu mdela zadan je hidraulički ptencijal H = m. Na grnjem desnm i vertikalnm desnm rubu mdela zadan je hidraulički ptencijal H = 1 m. Analgn prračunu za rubne uvjete na vertikalnim stranicama grnjeg dijela mdela sa slike III-, u prvj tčki lijeve vertikalne stranice vg mdela ispd njegvg grnjeg lijevg ugla, H = 39, m, u drugj je H = 39 m, u trećj H = 38, m a u četvrtj H = 38 m, jer je y krdinata četvrte tčke. U prvj tčki desne vertikalne stranice vg mdela ispd njegvg grnjeg desng ugla, H = 9, m, u drugj je H = 9 m, u trećj H = 8, m a u četvrtj H = 8 m, jer je y krdinata četvrte tčke.

25 1 Numeričk mdeliranje u getehnici str Slika VI-2. Mreža knačnih elemenata za prračun prgramm SEEP/W Rezultati prračuna strujanja vde paraleln s ksinm prikazani su na slici VI-3, gdje se vide ekviptencijale, kje su kmite na ksinu i dvije strujnice s njm paralelne u pdručju d interesa za prračun stabilnsti ksine. Na slici VI-4 su prikazani vektri strujanja paralelni s ksinm. Vidi se da se vektri srujanja pjavljuju sam u dijelu mdela kji dgvara materijalu d interesa Slika VI-3. Ekviptencijale (m) i dvije strujnice u pdručju d interesa

26 str Slika VI-4. Vektri strujanja u pdručju d interesa Treba svakak naglasiti da rubni uvjeti, kak su pstavljeni u vm mdelu, nisu realni, št se vidi i na strujnicama sa slike VI-3. Takvim sm rubnim uvjetima frsirali strujanje vde paraleln s ksinm u pdručju d interesa za prračun stabilnsti ksine. Sada se s tlakm vde iz prgrama SEEP/W ulazi u prračun stabilnsti ksine sa strujanjem vde paraleln s ksinm, prgramm SLOPE/W. Mdel tla sa zadanim kružnim kliznim plhama prikazan je na slici VI-. Rezultati vg prračuna prikazani su na slici VI-6. Dbiveni bi faktri sigurnsti 1,96 dgvara kliznj plhi paralelnj s ksinm, kja je na dubini z d pvršine, a dbije se iz izraza γ tanϕ c c γ tanϕ FS z z FS γ tan β = = γ sin β cs β γ sin β cs β γ tan β 1 11,19 tan 3 z = 1,96 3,4 m 21sin 26,6 cs 26,6 = 21, Iz pdataka za lamele mže se vidjeti da je najdublja lamela kružne klizne plhe sa slike VI-6 visine 6,76 m. Cijela je klizna plha unutar materijala d interesa, unutar kjeg vda struji paraleln s ksinm.

27 str Slika VI-. Mdel tla za prračun stabilnsti ksine s kružnim kliznim plhama

28 str Slika VI-6. Rezultati prračuna stabilnsti ksine s kružnim kliznim plhama