PLOVNI PUTEVI I LUKE: poglavlje 2. Sadržaj

Transcript

1 PLOVNI PUTEVI I LUKE: pglavlje Sadržaj 0 UVOD GIBANJA MORA...1 IDEALNI VALOVI DEFINICIJA IDEALNOG VALA...1. VRSTE IDEALNI VALOVA....3 DETERMINISTIČKI OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA....4 MEANIKA VALOVA KRATKI PERIODA VRSTE I OSNOVA TEORIJA VALOVA KRATKI PERIODA TEORIJA VALOVA MALI AMPLITUDA ENERGIJA VALOVA MALI AMPLITUDA BRZINA GRUPE VALOVA TEORIJE VALOVA KONAČNI AMPLITUDA TROOIDALNA TEORIJA STOKESOVE TEORIJE KNOIDALNA TEORIJA IPERBOLIČNA TEORIJA VALOVA TEORIJA SOLITERNOG VALA (USAMLJENOG) TEORIJA STRUJNE FUNKCIJE KOMPARACIJA TEORIJA PRVOG I VIŠEG REDA PRIMJENA TEORIJA KONAČNI AMPLITUDA DEFORMACIJE VALOVA KRATKI PERIODA LOM VALOVA DEFORMACIJE VALOVA NA NAGNUTOM DNU USLIJED SMANJENJA DUBINE; UČINAK PLIĆINE - SOALING EFEKT DEFORMACIJA VALOVA USLIJED TRENJA S DNOM ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA OGIBANJE ILI DIFRAKCIJA VALOVA ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA PROPUŠTANJE ILI TRANSMISIJA VALOVA Sadržaj

2 0 UVOD 1 GIBANJA MORA IDEALNI VALOVI.1 DEFINICIJA IDEALNOG VALA I d e a l n i v a l je vema restriktivan fizikalni ili matematički mdel realng vala. Mdel je u dnsu na realni val restriktivan u tlik št je: dvdimenzinalan mnkrmatski jednstavan knstantne visine Mgu pstati sam u labratriju. Realni mrski valvi nemaju niti jednu d karakteristika idealnih valva, a sam iznimn im se u tm pgledu približuju (dugi valvi mrtvg mra). Idealni valvi su d v d i m e n z i n a l n i jer se šire sam u jednm pravcu pa im se treća dimenzija mže zanemariti. Karakteristika je idealnih valva da su m n k r m a t s k i. T znači da je peridički zakn pmaka fizičke pvršine mra dređen sam s jednm frekvencijm f cnst. Ak je f 1/T cnst prizlazi da je i T cnst, tj. perid idealng vala je knstantan. Valna dužina je tada takđer knstantna ak se dubina mra u smjeru rasprstiranja vala ne mijenja. Dakle, idealan val na nekj dubini ima stalan prfil. Nepravilni realni valvi su dređeni širkim spektrm frekvencija, a prfil je prmjenljiv p vremenu. Takđer su idealni valvi j e d n s t a v n i jer im se prfil dade pisati jednstavnim matematičkim funkcijama (bičn sinusnim ili drugim harmničkim funkcijama). Matematički mdel je jš restriktivniji d fizikalng jer sadrži jš i sljedeće restrikcije u dnsu na nepravilni realan val: a) fluid je hmgen i nestišljiv, gustća je knstantna; b) pvršinska napetst se mže zanemariti; c) Crilisv efekt se mže zanemariti; d) pritisak na fiz. pv. mra je jednličan i knstantan; e) fluid je idealan ili neviskzan; f) pjedini val je prmatran bez interakcije s stalim gibanjima vde g) dn je hrizntaln, čvrst nepmičng ruba št uključuje da čestice na dnu imaju vertikalnu brzinu nula; h) amplituda vala je mala, a frma vala je neprmjenljiva u prstru i vremenu; i) valvi su male strmine.1 DEFINICIJA IDEALNOG VALA

3 Prve tri su dpustive za predstavljanje svih inž. prblema; n ptebn je za neke spec. prbleme napustiti restrikcije (d), (e) i (f) št vdje nije razmatran. Napuštanje restrikcija (g), (h), (i) je snvn u mngim prblemima i razmatran je kasnije. Kd primjene restrikcije (g) na valve u vdi varijabilne dubine, s čime se srećem prilikm napredvanja vala prema plaži, ubičajen se uzima lkalna dubina. T mže biti i strg zaknjen za mnge praktične slučajeve kada je nagib dna blaži d 1:10, n ne bez teškća. Prgresivni val gibajući se prema plitkj vdi značajn mijenja svj blik. Efekti d viskziteta i utjecaj vertikalne brzine na pmičn dn mgu nekad biti meritrni, ali većinm mgu biti zanemareni.. VRSTE IDEALNI VALOVA Osnvna je pdjela idealnih pvršinskih valva prema veličini njihvg perida pa se mgu imenvati: v a l v i k r a t k i h p e r i d a (perid manji d cca 30 sek.) v a l v i d u g i h p e r i d a (perid veći d cca 30 sek.) Prvi imaju karakteristiku da je u pkretu pretežn pvršinski slj mra dk se dubinski sljevi znatn manje ili ništa ne pkreću. Elemenarne čestice se kreću u kružnim ili eliptičnim putanjama. Dk drugi imaju karakteristiku da pkreti zahvaćaju čitavu mrsku masu. Pri tme su putanje karikiran izdužene elipse tak da se učavaju sam hrizntalni pkreti tam-am. Prmjena gibanja čestica p dubini je mala u dnsu na prmjenu kd kratkih valva..3 DETERMINISTIČKI OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA D e t e r m i n i s t i č k i m n a č i n m p i s i v a n j a v a l v a dadu se u ptpunsti pisati sam idealni valvi prek zakna valne mehanike. Datira s pčetka razvja pmrske hidraulike, 19 st. Realni valvi ne mgu se na taj način zadvljavajuće pisati radi slučajne varijacije snvnih parametara. Blje slaganje s realnšću daje p r b a b i l i s t i č k i p i s p a r a m e t r a v a l v a statističkim ili spektralnim načinm. Jedan adekvatan fizikalni pis mrskih valva sadrži dvje: blik fizičke pvršine mra (prfila vala) gibanje čestice ispd prfila vala na bazi kjeg je dalje mguće prikazivanje energije valva, defrmacija valva te interakcija među sbm i s bjektima. a) O p i s b l i k a f i z i č k e p v r š i ne mra; t.j. v a l n g p r f i l a Najsnvniji parametri za pis valng prfila su visina [m], dužina L[m] i perid T[s] V i s i n a v a l a je vertikalna udaljenst d žlijeba d grebena vala. A m p l i t u d a a / je maksimalni pmak fizičke pvršine mra d srednjice vala. D u ž i n a v a l a L je hrizntalna udaljenst između dva uzastpna grebena. P e r i d v a l a T je vremenski perid između dva uzastpna prlaza grebena krz istu tčku. Visina i dužina L su parametri vala kji se mijenjaju s dubinm. Perid T se ne mijenja s dubinm.. VRSTE IDEALNI VALOVA

4 Sl.3::1 Opis prfila idealng vala S t r m s t v a l a je dns visine i dužine vala (/L), i ka bezdimenzinalan parametar vema se čest kristi kd pisa valva. Kreće se d 1/7 d 1/00, kd valva živg mra najčešće d 1/10 1/5. Gibanja valng prfila mgu se klasificirati p kriterija. 1: ak se prmatra gibanje p prstru mgu se razlikvati prgresivni i stjni valvi, : ak se gibanje valng prfila prmatra p vremenu mgu se razlikvati peridički i neperidički valvi Gibanje vdnih čestica je različit d gibanja valng prfila, a mže biti scilatrn i translatrn (Sl..3::1). Prgresivni val je naj kme se valni prfil; t.j valni greben ka najučljiviji, hrizntaln giba u dnsu na fiksnu tčku. Smjer u kme se greben giba je smjer rasprstiranja vala. Stjni val ili claptis je naj kme se valni prfil; t.j valni greben ka najučljiviji, pmiče sam gre-dlje na fiksnj pziciji. Karakteriziran je trbusima i čvrvima. Prvi uvijek imaju maksimalne amplitude, a drugi uvijek miruju. Stjni val nastaje ka rezultat superpzicije kd ttalne refleksije vala. Peridički val je naj kme se valni prfil: t.j. klebanje fizičke pvršine mra pnavlja u jednakim vremenskim intervalima. Neperidički val je naj kme se valni prfil: t.j. valni greben pjavi usamljen, ili se pnavlja u vrl dugim vremenskim intervalima tak da val izgleda usamljen (naziva se i sliterni val)..3 DETERM.OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA

5 Sl..3::1 Mdusi gibanja valng prfila i vdnih čestica idealnih valva Brzina rasprstiranja vala, ili sam brzina vala, c[m/s] je brzina pjedinačng brijega ili dla vala kjm se n rasprstire mrskm pvršinm u dnsu na fiksnu tčku Brzina scilatrng vala c dade se izraziti ka c L/T, dk se brzina translatrng vala ne da izraziti na taj način jer T. b) O p i s g i b a n j a v d n i h č e s t i c a i s p d v a l n g p r f i l a Gibanje vdnih čestica kd scilatrng vala dvija se p kružnim ili eliptičnim putanjama (trajektrijama) kje su manje-više na istm mjestu. Vdna čestica pređe cijelu putanju za jedan valni perid i t se na istm mjestu staln pnjavlja s tim istim peridm. Ak su trajektrije zatvrene takv gibanje vdnih čestica se naziva rtacin, a ak su približn zatvrene naziva se irtacin (Sl..3.::3). T kd rtacing gibanja ne daje nikakv napredvanje vdnih čestica u smjeru rasprstiranja vala, a kd irtacing gibanje daje vema mal napredvanje vdnih čestica u smjeru rasprstiranja vala (tzv. drift struju). S druge strane pkreti susjednih vdnih čestica su jednake peridičnsti (frekvencije), ali su međusbn pmaknuti u fazi. Neke čestice su na vrhvima svjih rbita, neke mal niže tak da se mže frmirati valvita fizička pvršina mra; t.j. valni prfil. Oscilatrni pmaci čestice vde mgu se dvijati tam-am, k pčetng mjesta, i p pravčastim trajektrijama različite rijentacije u prstru. U tm slučaju nikad nema napredvanja vdnih čestica u dnsu na pčetni plžaj.3 DETERM.OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA

6 Sl..3::3 Irtacin gibanje čestica vde, Skjelbreia (10) Vdne čestice kd translatrng vala permanentn, u znatnm iznsu, napreduju s valnim grebenm i ne vraćaju se na svje pčetn (riginaln) mjest. U prirdi su najčešći valvi kji su prgresivni, peridički, i scilatrni, pa će se u nastavku najprije definirati baš takvi valvi. Vidn im se rasprstire valni prfil (frma vala), a vdne čestice sciliraju manje više na istm mjestu. Val kji se približava bali je u interakciji s dnm. S bzirm na t kak dubina vde d na tm putu utječe na parametre vala mže se mre pdijeliti u tri zne: dubka vda, plitka vda, prelazna zna. Za neki val je v d a d u b k a ak dn ne utječe na njegve parametre ("ne sjeća dn") št se praktičn stvaruje za d > L/. U tm slučaju npr. brzina vala ne visi dubini mra c f(t). Takvi dubkvdni valvi se indeksiraju s " " ka npr. i L. Neki se val rasprstire u p r e l a z n m p d r u č j u ak je L/ > d > L/5. U tm slučaju dubina utječe na prmjenu parametara. Brzina vala je funkcija perida i dubine: c f (T,d). P l i t k p d r u č j e je definiran dubinm d < L/5, a brzina vala je funkcija sam dubine: c f(d). d/l πd/l tanh(πd/l) dubka vda > 1/ > π 1 prelazn pdručje 1/5 d 1/ 1/4 d π tanh (πd/l) plitka vda < 1/5 < 1/4 πd/l Tab..3::I Klasifikacija dubina mra s bzirm na valvanje Prilikm aplikacije zakna valne mehanike na realne valve treba strg vditi računa restrikcijama kjima je realni val sveden na idealni val (.1)..3 DETERM.OPIS VALOVA I VALNA OSNOVA

7 .4 MEANIKA VALOVA KRATKI PERIODA Nepraviln realn valvanje je kmpleksan fenmen i težak za (strgi) matematički pis - radi nelinearnsti, trdimenzinalnsti i slučajne prirde valva - kji tek danas dbiva specifičnu matematičku frmulaciju baziranu na valnim energetskim spektrima slučajng mra. Nasuprt tme, ranije ustanvljena valna mehanika determinističkm metdm uspijeva pisati prfil vala i gibanje čestica sam idealng vala kji je jednstavan, mnkrmatski i dvdimenzinalan (pglavlje.1.), a valvanje se dvija pd nekim uvjetima (a...i, pglavlje.1). Takav pis prikazuje se u vm pglavlju. V a l v i k r a t k i h p e r i d a su ni čiji su perdi manji d 30 sekundi. U inženjerskm tretiranju balnih prblema najinteresantniji su tkvi valvi perida 5-15 sekundi kji imaju najveću relativnu energiju d svih valva..4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA VALOVA KRATKI PERIODA Deterministički matematički mdeli kratkih valva mgu se temeljiti na dva različita kinematička principa: Eulervm (Sl. Sl..4-1::3a) kji se dnsi na pis gibanja svih čestica tekućine nekg prstra prek strujng ili brzinsk plje čije trenutn stanje slikavaju strujnice. T plje se dade matematički pisati prek brzinskg ptencijala Φ kji ima pznata svjstva da su njegve derivacije p x i z smjervima jednake kmpnentama vektra brzine vdne čestice u v x Φ/ x i w v z Φ/ z p tim istim smjervima (Sl..4.1::1). Plje se dade pisati prek strujne funkcije Ψ sa sličnim svjstvima derivacije p smjervima: u v x Ψ / z i w v z Ψ/ x. Lagrangevm (Sl. Sl..4-1::3b) kji se dnsi na pis gibanja pjedine čestice tekućine u prstru i vremenu rbitalnm trajektrijm. Ak je pčetni plžaj čestice (x, z ), tada su x i z krdinate njeng plžaja u trenutku t (Lagrangeve krdinate) izražene s: x x (x,z,t) i z z (x,z,t) št predstavlja trajektriju (zakn gibanja tčke) u parametarskj frmi. Kmpnente brzine i ubrzanja vdnih čestica u smjervima x i z dređene su s: dx dt d x ax dt i dz w dt d z az dt u T prizlazi iz činjenice da funkcije x i z, dnsn Langrangeve krdinate predstavljaju zakn gibanja vdne čestice u parametarskj frmi..4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

8 Sl..4.1::1 Metde pisivanja gibanja tekućine na primjeru prgresivng vala: a) pisivanje prek strujng plja prstra, Eulerva metda b) pisivanje trajektrijama čestica tekućine, Langrangeva metda. c - brzina vala u dubkm, c - brzina vala u prelaznm i plitkm pdručju.) Glavni interesi inženjera u vezi valva su gibanja vdnih čestica (amplituda, brzine rasprstiranja, brzine rtacije), prfil vala, fluktuacije tlakva i energije valva. Jednadžbe kje t pisuju dane su u vidu ekspnencijalng reda kd kjeg je ptencija sljedećeg člana veća d prethdng, a brj članva pada s padanjem strmsti vala. Terija kja uključuje sam prvi linearni član reda je l i n e a r n a t e r i j a, vrl je jednstavna za uptrebu i primjenjiva za najveći brj prblema valva male strmsti. Terije kje uključuju drugi, treći d peti član reda su terije višeg reda. Primjenjuju se u slučajevima kada se valvi male strmsti prstiru prema plitkj zni dk strmst vala raste. Nažalst, ve terije dbr pisuju sam idealne valve. Drugi ubičajeni nazivi su: linearna terija ili terija valva malih amplituda terije valva višeg reda ili terije valva knačnih amplituda..4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

9 Terija valva malih amplituda naziva se jš i linearna terija (I reda) ili AIRY-jeva prema njenm utemeljitelju gdine Najblje pisuje pnašanje valva u dubkj vdi. N uz svjesne, manje ili veće, pgreške praktičn se inženjerski primjenjuje za sve strmine i sva pdručja dubina. Terije valva knačnih amplituda nazivaju se jš i terije višeg reda. Razni autri su dali takva rješenja pisa valva. STOKES je 1880-tih gdina izni terije...5 reda najblje primjenjive za dubku i tranzitirajuću vdu kje su p njemu dbile i ime. KNOIDALNA terija predstavlja prihvatljivu aprksimaciju idealng vala u plitkj vdi, a terija SOLITERNI VALOVA zadvljavajuće predstavlja sbine valva u vrl plitkj vdi, blizu zne lma. U nvije vrijeme pjavila se terija STRUJNE FUNKCIJE - autr Dean. T je numerička metda razvijena za primjenu kmpjutera. Mže se primijeniti za dsta širk pdručje uvjeta. Valrizacija pjedinih terija najblje bi se prvela mjerenjem brzina čestica valva i tu pstji neklik puzdanih rezultata, ali i prilične teškće. veličina amplitude naziv i autr terije red terije 1. valvi malih amplituda Airy 1845 prvg reda ili linearna. valvi knačnih amplituda trhidalna, Gerstner 180, Stkes. reda 1880 Stkes 3. reda Stkes 4. reda Stkes 5. reda knidalna, Krtweg i De Vries 1995 hiperblična, Iwagaki 1968 sliterna, Businesque 187 t. strujne funkcije, Dean 1973 prelazna višeg reda ili nelinearne 1. i. reda 1. i. reda 1. i višeg reda višeg reda Tab..4.1::I Determinističke terije idealnih mrskih valva k r a t k i h p e r i d a kji su pvršinski, prgresivni, scilatrni, dnsn približn scilatrni, mnkrmatski i jednstavni..4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

10 Sl..4.1:: OBLICI VALA (karikirani) prema terijama knačnih pvršinskih mrskih valva Tadejević Zbg tga su dsljedne studije relativnj valrizaciji raznih valnih terija za dane uvjete kncentrirane na greške kje se dnse na rubne uvjete za različite terije su iznijeli dkumentiran Dean, Le Mehaute i Silvester. Ovdje će se prikazati valrizacija Le Mehaute-a (Sl..4.1::3). Osnva valnih terija, tj. matematički pis predčit će se u nastavku pretpstavljajući temeljna znanja prcesima na kntinuumu, karakteristikama ptencijala i hidrmehanici..4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

11 Sl..4-1::3. Pdručja na kjima vrijede pjedine valne terije prema Le Mehaute-u (9) Najveći brj terija mrskih valva uvdi Eulerv princi za pis gibanja vdnih čestica; t.j. b r z i n s k i p t e n c i j a l (Φ) ili njegvu rtgnalu s t r u j n u f u n k c i j u (ψ). Osnvna pretpstavka ptencijalng strujanja je da je n bezvrtlžn. Funkcije Φ(x,z,t) ili ψ(x,z,t) pisuju tk unutar fluida i njegve granice tak da je hriznt. i vert. kmp. brzine vdnih čestica u tčki (x,z) dana s parcijalnim derivacijama u v x φ x ψ...(.4-1:: 1) z.4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

12 w vz φ ψ...(.4-1 :: ) z x Kak je pznat iz hidrdinamike, strujanje je bezvrtlžn ak je na cijelm pdručju ispunjenm tekućinm zadvljen uvjet rt V 0; dnsn rt(gradφ) V ω i + ω j + ω k 0. U slučaju strujanja u ravnini x,z uvjet glasi: x y z ω y u w - z x 0 ili φ - φ z x x z 0. Radi definiranja matematičkg mdela idealng vala dane su na Sl..4.1::4 ptrebne znake. Cilj mdela je naći funkciju Φ(x,z,t) ili ψ(x,z,t), (iz njih dbivaju brzine i ubrzanja) i stale valne parametre: L, T,.... Sl..4.1::4 Definicija znaka vala Funkcije Φ ili ψ dbiju se na bazi matematičkg pisa vema restriktivng mdela (vidi pretpstavke a - i, pglavlje.1) idealnih valva.. Takav pis za Φ sadrži: 1 Jednadžbu prcesa za tk tekućine u pvršinskm valu pri irtacinm gibanju čestica vala (Laplaceva jednadžba kntinuiteta) ΔΦ 0 φ φ (.4-1 :: 3) x z. Kinematički rubni uvjet na mrskm dnu da je vertikalna brzina nula; t.j. da vdna čestica ne prbija dn (neprpusn dn)..4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

13 φ w-zd z -zd 0...(.4-1 :: 4) 3 Kinematički rubni uvjet na pvršini da kmpnenta brzine vdne čestice v n nrmalna na prfil vala mra biti jednaka nrmalnj brzini pmaka pvršine vala V n. T znači da čestica vde ne prbija fizičku pvršinu mra (vidi Sl..4.1::4). V n v n. dη η η η Vn ndη dt + dx + dz...(.4-1:: 5) dt t x z η f(x,t) η η dη dt + dx...(.4-1:: 6) t x vn φ...(.4-1:: 7) n Ak se pretpstavi da je η mal prema dužini vala L, nrmala na pvršinu vala će imati smjer približn jednak smjeru si z, a fizička pvršina vala će se približn pdudarati s si x. U tm slučaju φ vn _w z z η, a V n V z dx η η dx dz +...(.4-1:: 8) dt t x dt dt Pšt je prmatrana tčka valng prfila ujedn i djelić tekućine nda hrizntalna brzina valng prfila dx/dt mra biti jednaka hrizntalnj kmpnenti brzine vdne čestice u. Prema definiciji brzinskg ptencijala u Φ/ x pa se dbije: Vn η η + u t x V n V z η η φ + t x x z η...(.4-1:: 9) Kak se na pvršini vala brzina pmaka vala i brzina čestice mgu pistvjetiti imam V n v n η η φ φ + t x x z η z z η...(.4-1::11) 4 Dinamički rubni uvjet na pvršini da je pvršinski tlak p na svakm mjestu i u svak vrijeme nula (u prirdi nije). Ak Bernulli-jeva dinamička jednadžba pisuje irtacin gibanje fluida φ 1 φ φ p gz 0...(.4-1:: 1) t x z ρ uvrštenjem p 0 se dbije dinamički rubni uvjet.4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

14 φ 1 φ φ + + t x z ρ - gustća tekućine g - ubrzanje gravitacije z η + g η 0...(.4-1 :: 13) Ovakav pis valva predstavlja nelinearan mdel jer zadnja dva rubna uvjeta nisu linearna. S bzirm na t lineariziraju li se ili ne, dbiju se dvije vrste valnih terija: linearna terija i nelinearne terije, dnsn terije višeg reda. Spmenuta pretpstavka da su valvi mali pmaci fizičke pvršine fluida je najrespektivnija d svih pretpstavki (.1) prilikm frmiranja mdela i d nje ptiču teškće za primjenu kad visina vala pprima znatnu veličinu u dnsu na dužinu..4. TEORIJA VALOVA MALI AMPLITUDA Najelementarnija d svih terija je t e r i j a v a l v a m a l i h a m p l i t u d a ili jš nazvana l i n e a r n a t e r i j a dnsn prema autru A i r y j e v a t e r i j a (1845). Temeljena je na Eulervj metdi pisa gibanja tekućine. Ona je fundamentalng značenja mada nije jednstavna za primjenu. Matematički se Airyjeva terija mže značiti ka prva aprksimacija kmpletng pisa pnašanja scilatrnih valva. Ta terija daje uvid u sva peridička valna pnašanja i pis peridičkg valvanja adekvatng za najviše praktičnih prblema. N ne uključuje transprt mase, kji inače pstji, ili činjenicu pstjanja i z d i z a n j a s r e d n j i c e v a l a. U prethdnm matematičkm pisu mdela idealng valvanja.4-1 ustanvljen je da su rubni uvjeti na fizičkj pvršini mra nelinearni. Uklik je amplituda vema mala u dnsu na dužinu vala, rubni uvjeti na pvršini se mgu linearizirati i tada se pis valva sastji d jednadžbe prcesa φ φ + 0,d z η,- x +...(.4 - :: 1) x z i rubnih uvjeta φ z -z d η φ t z z0 φ t z0 0...(.4 - :: )...(.4 - :: 3) + gη 0...(.4 - :: 4).4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

15 Sl..4-::1 Prikaz znaka i naziva valng prfila kd linearne valne terije Jedin mguće rješenje grnjeg sustava diferencijalnih jednadžbi je trignmetrijska funkcija. Uz pretpstavku sinusidalng prfila vala: η a cs (kx -ωt),rješenjem grnjeg sustava jednadžbi dbije se brzinski ptencijal: [ k(d + z) ] a g ch φ sin(kx - ωt)...(.4 - ω ch(kd) :: 5) Pšt je uvjet bezvrtlžnsti φ φ + 0 z x x z strujanje. ispunjen, funkcija Φ pisuje ptencijaln Sinusidalni prfil pkretng vala (Sl..4-::1), temeljem kje je dbiven grnje rješenje za brzinski ptencijal, je jednadžba kja pisuje klebanje fizičke pvršine mra u funkciji vremena (t) i hrizntalne udaljensti (x) i mže se napisati ka: η a cs(kx -ω t), a uz π π k, ω, L T a...(.4 - :: 5) π π η cs x - t...(.4 - ::7) L T Pmaci vdnih čestica vala (u linearnj valnj mehanici) pćenit se dvijaju u e l i p t i č n i m p u t a n j a m a u plitkj i prijelaznj zni mra, a u k r u ž n i m p u t a n j a m a u dubkm mru VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

16 Sl..4-:: Utjecaj dubine na putanje čestica vala u (a) dubkj vdi, (b) prelaznm pdručju i (c) plikj vdi. Prema tme, pretpstavljen je u linearnj teriji da se čestice vde gibaju u zatvrenim rbitama tj. svaka čestica se vraća na svj pčetni plžaj nakn svakg valng ciklusa tzv. r t a c i n g i b a nj e. Mrisn i Crke (1953) su kmparirali labratrijska mjerenja gibanja vdnih čestica s valnm terijm i našli da rbite vdnih čestica nisu zatvrene tj. i r t a c i n g i b anj e. Ta razlika između linearne terije i pažanja pruzrkuje fenmen t r a n s p r t m a s e uslijed valva. Pvršinske i vlumenske inercijalne sile d valva kje naprežu knstrukcije se zasnivaju na hr. i vert. brzinama čestica u i w na hr. i vert. ubrzanjima. Iz definicije brzinskg ptencijala prizlazi φ φ u,w x z [ (z + d) ] agk ch k u ω ch(kd) [ (z + d) ] agk sh k w ω ch(kd) cs(kx - ωt)...(.4 - :: 7) sin(kx ωt)...(.4 :: 8) a lkalna ubrzanja vdenih čestica prizlaze daljnjim diferenciranjem p vremenu. g c th(kd)...(.4 - :: 9) k.4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

17 c gl πd th π L...(.4 - :: 10) Brzina rasprstiranja vala dana je s g c th(kd)...(.4 - :: 11) ω Ili c gt πd th π L...(.4 ::11a) Dužina vala je s peridm vezana zaknm: cl/t...lc T gt πd π d L th L th...(.4 :: 1) π L L Maximalna brzina čestice na dnu z -d dbije se uvrštavanjem (.4-::1) u (.4-::7) uz Θ 0: u (d) max Π T 1 sh( πd/l)...(.4 - :: 13) w 0...(.4-::14) U plićaku izraz se transfirmira i dbiva izgled u (d) max 1 d gd...(.4 - :: 15) i uspješn se mže primjenjivati sve d lma vala, ali ne i za lm..4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

18 π π Tab..4-::I Prikaz parametera vala prema linearnj (Airy) teriji valva ( u Θ Θ, L T fazni kut) O teriji malih amplituda mže se zaključiti da pisuje scilatrni prgresivni val kji je simetričan s bzirm na raz i ima blik sinusne funkcije. Nastala je linearizacijm rubnih uvjeta. Plazi d pretpstavke da su pmaci fizičke pvršine mra vema mali u dnsu na valnu dužinu. Općenit se mže pretpstaviti da jednadžbe ve terije vrijede za valve čija je strmina /L < 1/50, dnsn da vrijede za dubkvdn mre. Čestice vala se gibaju u zatvrenim rbitama, rtacin gibanje, i ne napuštaju svj plžaj. Napreduje sam frma vala. Jednadžbe kje pisuju prfil fizičke pvršine mra, brzine čestica, ubrzanja čestica i pmake čestica za linearnu (Airy-jevu) teriju su sumirane u tabeli.4-::i. T l a k ispd pvršinskg v a l a m a l e amplitude dbije se linearizacijm Bernullijeve dinamičke jednadžbe (.4-1::1) št daje.4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

19 φ p + + gz 0...(.4 - :: 16) t ρ Prvi član grnje jednadžbe mže se izraziti iz brzinskg ptencijala (jedn..4::5) ka φ ch[ π (d + z)/l] - ag cs(ax -ωt) t ch(pid/l) [ π (d + z)/l] φ ch - gη t ch(πd/l)...(.4 - :: 17) Uvrštavanjem (.4-::17) u (.4-::16) dbije se raspdjela tlaka p dubini ka ch[ π (d + z)/l] p ρg η - z...(.4 - :: 18) ch(πd/l) št na fizičkj pvršini mra iznsi p0, na nivu mirng raza tj. za z 1 0 iznsi p ρgη, a 1 na dnu gdje je z -d tlak iznsi p ρ g η + d Ovdje je ρ gustća mase fluida. ch(πd/l) Sl..4-::3 Tlak vala.4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

20 PR PROMJENA PARAMETARA PUČINSKOG VALA MALE AMPLITUDE PO DUBINI Zadatak: Prema pučinskm dubkvdnm valu male ampltitude 0 /L 0 /T0,6/100/8, treba p linearnj teriji prračunati valne parametre na pvršini i na 3 (m) ispd pvršine ak je dubina d 0 7,5 (m). Rješenje: 1 Izbr mjerdavne terije d Za 0, 115 gt dubkj vdi. i 0, 0009 gt prizlazi iz sl..4.1:: da se radi linearnj teriji u Valni parametri u dubkm pdručju a) Prfil vala π π η cs x t ; prfil vala (Tab..4.::I) L T π t0, η 0,3cs x ; 100 T π π t, η 0,3cs x ; pmaknuti prfil b) Strmst vala L 0,6 /100 1/167 strmina vala 0 / VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

21 u 0 brzina napredvanja čestica u smjeru vala brzina transprta masenema transprta mase c) Brzina napredvanja vala u dubkm pdručju: gl c 0 9,81*100 1,5 ( m / s) π π brzina napredvanja grebena vala d) Putanja vdne čestice na pvršini, (z0): 0 A 0 B 0 r 0 0,3 (m) putanje čestice vde na pvršini-kružnica e) Brzina vdne čestice na pvršini, (z0): v max 0 μ max 0 ω max r 0 0 π * 0,3* π 0, 4 T 8 (m/s) brzina kruženja čestica na pvršini f) Putanja vdne čestice ispd pvršine (z-3 m): πz π 3 L r 0,3* 100 ( 3m ) r0e e 0,3* 0,65 0, (m) radijus kruženja čestica na dubini 3 (m) g) Brzina vdne čestice ispd pvršine, (z-3 m):.4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

22 r( 3m) π *0,* π v( 3m ) 0,16 ( m/s) brzina kruženja česticana dubini 3 (m) T 8 u ( 3m) 0 brzina napredvanja čestica u smjeru vala brzina transprta masenema transprta mase PR..4..: DEFORMACIJA PARAMETARA VALA MALE AMPLITUDE U PRIJELAZNOM PODRUČJU Zadatak: Pučinski val se rasprstire kmit na balnu crtu (grebeni valva paralelni s balnm crtm). Ravn pjeskvit dn ima pad u dubinu d 1:50. Treba drediti klik pučinski val 0,6/100/8 kad dđe na dubinu d5 (m) prmijeni svje parametre. Rješenje: 1 Izbr mjerdavne terije Ptrebn prračunati defrmiranu valnu visinu u članu /gt, (Sl..4.1::). Visina vala na dubini 5 m Za valve kji su generirani u dubkj vdi i šire se bez akcije vjetra (mrtv mre), a dlaze u plitk vrijedi prema linearnj teriji: 0 K S visina vala pri dubini d5m K S 0,93 keficijent prmjene visine d plićine čitan iz dijagrama.4.4.::3, d 5 za 0, 5 L 100 0,6*0,930,56 (m) Prema Slici.4.1::, za T8 (s) i d5 (m) čitan za d/gt 0,04 i /gt 0,00089 da se radi valvima u prelaznm pdručju i linearnj teriji..4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

23 ) Valni parametri u prijelaznm pdručju mra a) Visina vala 0,56 m b) Dužina vala π d π * 5 L L0th 100 * th... Implicitna jednadžba. Rješava se iteracijm. L L Pretpstavim: L93 (m) * π * * th 100 * 0,934 93, Ist se dbije krištenjem dijagrama sa sl..4.4.::3 Za d/l 0 0,5 prizlazi d/l0,7 št daje L93 m. c) Strmst vala 0,56 L 93 ( 0 /L 0 1/167) strmst vala u plitkm raste d) Brzina napredvanja vala u prelaznm pdručju gl πd 9,81* 93 π * 5 c th th 11,6 (m/s) π L π 93 Brzina vala u prijelaznm pada. (c 0 1,5 m/s) e) Putanja vdne čestice na pvršini, z0 ( π ( d + z) / L) sh( πd / L) ( π ( d + z) / L) sh( πd / L) ch A sh B Dakle, radi se elipsi. πd 0,56 cth *1,063 0,97 m L 0,56 0,8 m.4.1 VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

24 f) Brzina čestice vde na pvršini, z0 rizntalna kmpnenta brzine, u gt ch( π ( d + z) / L) u cs Θ L ch πd / L ( ) najveća brzina za csθ1 Θ0,π,π,... tj. ispd grebena ili žljeba vala gt u 0,7 m/s (u 0 0,4 m/s) L Vertikalna kmpnenta brzine, w gt sh( π ( d + z) / L) w sin Θ najveća brzina za sinθ1 L ch( πd / L) π 3π Θ,,... tj. između dla i brijega vala gt πd w th 0,5 m/s (w 0 0,4) L L Brzina čestica vde u plitkm raste. g) Putanja vdne čestice na dubini, z-3 m A ch ( π ( d + z) / L) sh( πd / L),33 0,8 * 0,8 * 0,888 0,5,614 B sh ( π ( d + z) / L) sh( πd / L),097 0,8 * 0,8 * 0,8 0,,614 Putanja čestice je manja elipsa. ch(π (5 3) / 93) 0,8 sh(π * 5 / 93) m m sh(π (5 3) / 93) 0,8 sh(π * 5 / 93) h) Brzina čestice vde na dubini, z-3 m ( π ( d + z) / L) ch( πd / L) ( π ( d + z) / L) ch( πd / L) gt ch,33 u cs Θ 0,36 * *1 0,0 L,8 gt sh,097 w sin Θ 0,36 * *1 0,18 L,8 Brzine čestica vde padaju s dubinm. m/s m/s j) Maximalna brzina čestica vde na dnu z-5 m gt 1 0,6 9, umax d 0,09 m/s L ch(πd / L) 93 3,14 5 ch VRSTE I OSNOVA TEORIJA V. KR. PER

25 .4..1 ENERGIJA VALOVA MALI AMPLITUDA Sl..4-.1::1 Energija valva malih amplituda Ptencijalna i kinetička energija vala za elementarni stupac (d+η) dx 1, dnsn za elementarni vlumen dx dz 1 dade se izraziti ka (d + η ) de ρ g dx 1...(.4 1:: 1) p. u + w u + v dek dm ρ dx dz 1...(.4.1:: ) Uvrštavanjem pznatih veličina η, u, w, u grnje jednadžbe mže se izraziti ttalna energija s de de p + de k E de p + de k Ttalna energije vala E za jednu valnu dužinu i jediničnu širinu je dakle suma kinetičke E k i ptencijalne E x energije : ρg L ρg L ρg L E E k + E p +...( :: 3) Lak je učiti da su ptencijalna i kinetička energija vala jednake. S p e c i f i č n a e n e r g i j a vala ili raspdjela e n e r g i j e je ttalna energija vala na jediničnu pvršinu : E ρg L 1 8 E gdje je ρ gustća fluida. [J/ m ]...( :: 4 ).4..1 ENERGIJA VALOVA MALI AMPLITUDA

26 PR : ENERGIJA VALA Zadatak: Treba izračunati ukupnu energiju valng pdručja (m) ak su parametri vala /L/T3,8/145/9,6. Rješenje: ρg E... specifična energija vala (J/m ) 8 g 104*9,81*3,8 3 E ρ *100*100 *100* *10 kj 8 8 ρ104 (kg/m 3 ) gustća mrske vde.4.. BRZINA GRUPE VALOVA G r u p a v a l v a je sukcesivni niz d 3 d 15 (ili više) valva na nekm mjestu kjima valna visina manje - više simetričn raste, a zatim pada. Kncept brzine grupe valva se pisuje razmatrajući interakciju dva sinusidalna vala η 1 i η jednake visine, ali mal različite dužine i brzine rasprstiranja. Ta dva sinusidalna vala se nazivaju kmpnente valne grupe, a predstavljaju rastav valng prfila neke valne grupe na Furierv red d dva člana. Brzina kjm se grupa valva rasprstire pćenit nije jednaka brzini kjm se rasprstire pjedinačna kmpnenta grupe. Brzina grupe značava se sa c g, brzina neke kmpnente grupe se naziva fazna brzina. Valvi kji se šire u dubkj ili prelaznj vdi, s gravitacijm ka primarnn pvratnm silm, imaju brzinu grupe manju neg li je brzina faza. Važnst kncepta valne grupe je u tme da se prtk valne energije (energetski fluks) dvija brzinm valne grupe c g. (Dean, s.98), a kntinuitet energetskg fluksa se kristi u matematičkim mdelima za bjašnjenje i prračun valnih defrmacija..4.. BRZINA GRUPE VALOVA

27 Sl..4-.::1 Grupa valva (a), spektralni rastav jednstavne grupe na faze η 1 i η (b) π π π π η η1+ η cs x - t + cs x - t...(.4 -. :: 1) L1 T 1 L T Supersnizacijm dvaju linearnih valva nasta je nvi linearni val L - η csπ L L1 L 1 T x - -T T 1T 1 L+ t csπ L L1 L 1 T x - +T T 1T ili drugačije napisan uz k π/l, cl/t, π/t kc ω k 1 - k η cs ω1 - ω k 1 + k x - t cs 1 t ω1 + ω x - t...(.4 -. :: ) Fizikaln gledajući, brzinu grupe valva predstavlja brzina zamišljene anvelpe na grupi valva. Kak prvi član jednadžbe (.4-.::) predstavlja tu anvelpu η anv. k1 k ω 1 ω cs x t aanv cs( k anv x - ω anv t) i ima frmu linearng vala mže se brzina anvelpe izraziti s k ω anv anv k1 - k ω 1 ω L anv T 4π k1 - k anv L1 L L - L 4π T 1 T ω 1 ω T - T 1 1 c anv L T anv anv ω1 -ω cg...(.4 -. :: 3) k1 - k a jednadžbu.4-.::3 dade se izraziti ka.4.. BRZINA GRUPE VALOVA

28 cg Δ( ω ) Δ(kc) Δk Δk Uklik su razlike među brzinama i dužinama faza diferencijaln male cg d(kc) dc c + k c - dk dk dc L dl Uvrštavanjem jednadžbe (.4-::10) u grnju jednadžbu dbije se brzina valne frnte za prijelazne dubine vde 4πd 1 L cg 1+ c nc...(.4 -. :: 4) 4πd sh L 4πd 1 L n 1+...(.4. :: 5) 4πd sh L U dubkj vdi (4πd/L)/sh (4πd/L) je približn nula a c g 1/ c. U plitkj vdi sh (4πd/L) 4πd/L; c g 1 c gd. Dakle faktr n se mijenja d 1/ d TEORIJE VALOVA KONAČNI AMPLITUDA Sinus (ili ksinus) mže pisati prfil vala čija je visina ekstremn mala u dnsu na dužinu. π π η cs x - t a csθ...(.4-3 :: 1) L T Ovakav pis jednstavng vala snva je terije malih amplituda ili linearne terije, a sim grnje pretpstavke uključuje u sebi i zanemarivanje članva višeg reda rubnih uvjeta. Kad strmst vala pstaje relativn veća, nelinearne članve rubnih uvjeta na fizičkj pvršini mra kd matematičkg pisa idealng valvanja (.4-1) nije mguće ignrirati. Napredvanje čestica prgresivng vala u smjeru rasprstiranja vala, tj. transprt mase i izdizanje srednjice vala takđer su eksperimentaln dkazane istine kje mdel linearng vala ne dražava. Spmenute činjenice, narčit uključivanje nelinearnih članva, uključuju generalnije terije ubičajen nazvane terija valva knač nih amplituda. Kmpletniji pis valvanja (prfil,pmaci, brzine, pmaci...) mže se dbiti baš takvim terijama i t ka suma nedređeng brja sukcesivnih aprksimacija, pri čemu je svaki pribrjnik u nizu krekcija prethdng..4.. BRZINA GRUPE VALOVA

29 Sl..4.-3::1 Prfil vala knačne amplitude Prfil vala npr. dan je s 3 η a csθ + a B(L,d) csθ + a B3(L,d) cs3θ + n + a Bn(L,d) csnθ; θ (kx - ωt)...(.4-3 :: ) gdje je a / kd terije prvg i drugg reda, te a < / kd terije trećeg i viših redva. B,B 3...B n su znake za funkcije d valne dužine L i dubine vde d. Linearna terija pdrazumijeva sam prvi član s desne strane grnje jednadžbe. Ddavanje sljedećih članva predstavlja viši stupanj aprksimacije prfila vala. Tak je npr. rdinata prfila vala trećeg reda definirana s prva tri člana iste jednadžbe. Ostali članvi, iza prvg, reprezentiraju krekciju sinusng prfila vala i izdizanje srednjice vala Δ iznad mirng raza mra te je prfil vala knačne amplitude nesimetričan, a bzirm na MR s višim brijegvima i plićim dlvima neg li kd sinusidalng vala. Strmina vala knačne amplitude, kad n dlazi u pliću vdu, je prikazana na Sl..4-3:: gdje strmina za dani /L u dubkj vdi naraste na strminu /L kak relativna dubina pada. Prast strmine se dgađa sve dk ne bude pstignuta nestabilnst frme vala, tj. kada se valvi lme kd teretske vrijednsti strmine L max L b ili više realistički (na bazi eksperimenata) L max L b πd 0,14 th...(.4-3 :: 3) L πd 0,14 th...(.4-3 :: 3) L čemu će biti više gvra u glavi Srednjica vala je zamišljena hrizntalna ravnina u sredini između grebena i žljeba vala tak da je amplituda mjerena d nje jednaka na bje strane, a /. Udaljenst grebena vala d MR se značava s a c, udaljenst žlijeba vala d MR s a t, tak da je a c + a t. Omjer a c / prikazan je na grnjj plvici Sl..4-3:: prema relativnj dubini d/l, a na bazi Stkesve i knidalne terije..4.3 TEORIJE VALOVA KONAČNI AMPLITUDA

30 Sl..4-3:: Izdizanje srednjice i strmina prgresivnih valva, Silvester (6). Granica lma je značena tčkastim linijama za razne nagibe dna sve d ptpun hrizntalng dna, kada je d b 1,8 b dnsn b /d b 0, TEORIJE VALOVA KONAČNI AMPLITUDA

31 U dubkj vdi tj. za d L/ krivulje strmine su hrizntalne, a granična strmina vala prije lma visi sam strmsti vala /L kja je u tm slučaju reprezentirana s /L (vidi jš.4-4.1). Važan je zaključak da se val mže lmiti čak i nda ak ne sjeti dn, ali ima veliku strminu! π Δ, 4L a...(.4-3 :: 5) Za dubkvdne uvjete izdizanje srednjice (Stkes ) iznsi π + (1+ 1,57 h ac ) 4L L π (1-1,57 h at + )...(.4-3 :: 6) 4L L U pgledu gibanja čestica vala većina terije višeg reda pisuju približn scilatrne valve - irtacin kretanje, jer se fluid giba za mali izns u smjeru valng napredvanja kd svakg uzastpng vala. Prfil vala i pmaci vdnih čestica kakvi su gre pisani dgvaraju nelinearnm mdelu idealng vala iz kjeg rezultiraju terije valva višeg reda št slijede TROOIDALNA TEORIJA Prva upće razvijena valna terija nazvana je t r h i d a l n a t e r i j a, a razvi ju je češki fizičar Gersatner (180) na Lagrangevm principu. Odnsi se na valve knačnih amplituda. Mže se primijeniti na strmije valve u dubkj vdi. Nazvana je tak jer je prfil vala pisan krivuljm trhidm. Ne mže se uvijek prepručiti za uptrebu, jer gibanje čestica nije ka u prirdi, prfil vala pisuje sasvim precizn. Rješenje baziran na trhidalnj valnj teriji predstavlja egzaktn (dubka vda) ili približn (plitka vda) rješenje r t a c i n g k r e t a nj a, dk stale terije višeg reda daju asimptmatska rješenja (uslijed višekratnih rastava nekih derivacija i funkcija u redve i zanemarivanja njihvih članva višeg reda), ali više prirdng i r t a c i n g k r e t a n j a. Trhidalna terija je bazirana na Lagrangevj metdi pisa gibanja tekućine (Sl..4.1::1b) kja pisuje gibanje pjedine čestice tekućine u prstru i vremenu rbitalnm trajektrijm čestice. Ak je pčetni plžaj čestice (x, z ), tada su x i z krdinate njeng plžaja u trenutku t (Lagrangeve krdinate) izražene s: x x (x,z,t) i z z (x,z,t)...(.4-3.1::1) št predstavlja trajektriju (zakn gibanja tčke) u parametarskj frmi (Sl ::1b)..4.3 TEORIJE VALOVA KONAČNI AMPLITUDA

32 Sl :: Trajektrija gibanja vdne čestice u parametarskj frmi Kmpnente brzine i ubrzanja čestica dređene su s dx d x u ax dt dt...( :: ) dz w dt d z az dt št prizlazi iz činjenice da funkcije x i z dnsn Langrangeve krdinate predstavljaju zakn gibanja vdne čestice u parametarskj frmi. Plazne dinamičke jednadžbe gibanja jedne vdne čestice sastje se d Lagrangevih dinamičkih jednadžbi (dvdimenzinalan mdel) d x x d z z 1 p Rx + Rz + 0 dt z dt z ρ z 0,R z g), i jednadžbe kntinuiteta d x x d z z 1 p - Rx + - Rz + 0 dt x dt x ρ x...(.4-3.1::3) gdje su R x i R z kmpnente ubrzanja vanjskih vlumnih sila (R x dx dz (x,z) dx ( x,z ) dz f( x,z ) TROOIDALNA TEORIJA

33 (x,z) ( x,z ) x x z x x z z z D...(.4-3.1:: 4) kja ima značenje da determinanta D mra biti knstantna tj. nevisna vremenu t. Za rješenje vih jednadžbi ptrebn je pznavati zakn gibanja čestice iz čega slijede izrazi za stale valne parametre i veličine ka št su brzina rasprstiranja vala, pritisak ispd vala, pritisak na vertikalnu stijenku i dr. Gerstnerv dprins na tm plju sastja se u definiranju zakna gibanja valne čestice za dubku vdu. Sl :: Prfil, gibanje čestica i parametri dubkvdng prgresivng vala knačne amplitude prema teriji Gerstnera. Prema njegvm zapažanju krz pkuse u labratriju čestica vrši rtacin gibanje tj. rbitira u zatvrenj kružnj putanji.ak se prmatra niz čestica p dubini njihv se radijus rtacije smanjuje s dubinm p ekspnencijalnm zaknu. r a e k z a e π z L Dakle čestica u takvm valnm gibanju ne napreduje u hrizntalnm smislu. Napreduje sam frma vala. Kasnija labratrijska ispitivanja pkazala su stanvit, dduše mal, hrizntaln napredvanje čestice vala tak da na stvarn izvdi i rtacin gibanje. Ova razlika čini snvnu zamjerku trhidalnj teriji. Gerstnerv zakn gibanja prmatrane valne čestice u dubkj vdi kji je u funkciji srednje pzicije tčke (x,z ) i vremena dan je s: x x - a e z z a e -k z k z sin(k x -ω t) cs(k x ω t) (.4-3.1::5) Izraz za prfil vala u parametarskj frmi mže se dbiti iz jedna-džbi (.4-3.1::5) držeći z 0 i t0, a varirajući x št daje krivulju t r h i d u TROOIDALNA TEORIJA

34 Gemetrijski se trhida dade knstruirati ktrljanjem kruga radijusa R L/π 1/k ispd hrizntalne ravnine -z R. Uklik unutar kruga dredim tčku na distanci r a / d središta ta će tčka pisati trhidu definiranu jednadžbama na Sl ::. Izdizanje srednjice dubkvdng vala Δ iznad mirng raza prračunava se izjednačavanjem vlumena valvitg i mirng mra na jednu valnu dužinu: L [(d + Δ ) - z ] 0 št daje L 0 (z - Δ dx 1 L 0 ) dx 0 d dx 1 1 π Δ k a...( :: 6) 4Lsub Indeks " " značava da se radi dubkvdnm valu. Integracijm dinamičkih jednadžbi (.4-3.1::3) uz supstituciju zakna gibanja (.4-3.1::5) dbije se tlak ispd prfila vala: p x x z z -gz - - x ρ t x t x p x x z z gz z ρ t z t z p gz aω e x ρ -kz sin(kx -ωt) p kz gz aω e cs(kx ωt)-a ω ke z ρ p a ω kz gz e cs(kx ωt) ρ k p a ω gz e ρ k kz cs(kx a ω ωt) + -kz e -kz Kak je z z - ae -kz cs (kx - ωt) grnje jednadžbe pprimaju blik p g ρ z + ω - 1 a g esupk z cs( kx ω t)...( ::7) gk p a g ω e ρ g -kz + z + ω - 1 a g e gk k z cs(kx ω t) Uzmim na trenutak da prfil vala miruje.tada je i tlak na nekj valvitj ravnini na dubini z ispd vala knstantan tj. nevisan vremenu radi čega drugi član zadnje jednadžbe mra biti nula. T će se desiti ak: ω -1 0 gk t.j. π L 1, gt gt gt L c, π π c gl...(.4-3.1:: 8) π π p ρg e 4L -kz + ρg z...( :: 9) Izraz prezentira brzinu rasprstiranja dubkvdng Gerstnervg vala. Lak se mže učiti identičnst grnjeg izraza s izrazm za brzinu dubkvdng vala prema linearnj teriji. Iz druge jednadžbe TROOIDALNA TEORIJA

35 (.4-3.1::7) prizlazi tlak ispd vala. Ist vrijedi i za stale parametre kji pisuju gibanje čestice ispd vala. Tlak ispd vala prizlazi iz druge jednadžbe (.4-3.1::7) Na kncu, mže se pkazati da jednadžbe (.4-3.1::5) predstavljaju egzaktn rješenje Lagrangevg sistema, jer uvrštene u jednadžbu kntinuiteta (.4-3.1::4) daju: D1- a -kz k e tj. D je funkcija sam d krdinata pžetng plžaja. Takđer se mže pkazati da se gibanje valne čestice pisan Gerstnervim načinm ne da prikazati ptencijalm, jer pstji vrtlžnst za svaku tčku valvanja sim u dubini z. Kak se razmatra gibanje u ravnini x,z vektr rtacije vdne čestice je u w ω y - z x Primjenm u x/ t i w z/ t dbije se vrtlžnst različita d nule. ωa k e ω y 1-a k e -kz -kz (.4-3.1::10).4.3. STOKESOVE TEORIJE S t k e s je razvi teriju knačnih amplituda kja zadvljava blje d trhidalne. Bazirana je na Eulervm nelinearnm mdelu valva (pglavlje.4-1). Stkesve terije višeg reda rezultiraju frmulacijama za pis vala u vidu reda trignmetrijskih funkcija, u kjima su keficijenti reda funkcije d visine i dužine vala te dubine vde. Stkes je predstavi asimpttsk (vrl blisk mdelu) rješenje za dubkvdni i r t a c i n i v a l sa stalnim prfilm vala. Rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi nelinearng matematičkg mdela idealng vala dbi je razvjem nelinearnih članva u Taylrv besknačni red i zatim riješi sustav diferencijalnih jednadžbi. Prema tme klik je članva Taylrvg reda uze u bzir razvi je terije. d 5. reda. Mgu se razviti terije jš višeg reda, n ne ne daju značajniji dprins pisu valva. Stkesva terija dbr interpretira idealni prgresivni dubkvdni val relativn veće strmine čije se čestice irtacin gibaju, a prfil vala je knstantan. Transprt mase i izdizanje srednjice kji egzistiraju u prirdi bilježja su ve terije. Izrazi za brzinu rasprstiranja vala i valnu dužinu prema teriji drugg reda su identični nima kje daje terija prvg reda TROOIDALNA TEORIJA

36 Sl ::1 Prfil dubkvdng Stkesvg vala reda u uspredbi s prfilm linearng vala ( prva kmpnenta Stkesvg vala) gt ππ c th π L gt L π η πd th L π ch(kd) a cs(kx - ωt) + 8L sh (kd) 3 [ + ch(kd) ] cs (kx - ωt)...(.4-3. :: 1) Prfil vala p teriji drugg reda je za razliku d terije prvg reda sastavljen d dvije kmpnente. Za dubku vdu (d > L) grnja jednadžba pprima blik π π π η cs x - t + L T 4L 4π 4π cs x - t...(.4-3. :: ) L T Očit da prva kmpnenta predstavlja prfil vala prvg reda, a druga krekciju tg prfila i izdizanje srednjice. Krekciju dbivaju takđer izrazi za brzinu i pmake čestica vde STOKESOVE TEORIJE

37 3 π + 4 L 3 π + 4 L agk ch[k(z + d)] u cs(kx - ω t) + ω ch(kd) ch[k(z + d)] c cs(kx - ω t)...(.4-3. :: 3) 4 sh (kd) agk sh[k(z + d)] w sin(kxωt) + ω ch(kd) sh[k(z + d)] c cs(kxωt)...(.4 3. :: 4) 4 sh (kd) Lak je pkazati da je zadvljen uvjet bezvrtlžnsti u/ z- w/ x0. Terija dakle pisuje ptencijaln strujanje kak je i predpstavljen u pglavlju.4-1, str. 13. Pmaci čestica vde d srednjeg plžaja u x i z smjeru dani su s ch[k(z + d)] π 1 ξ - sin(kx ω t) + sh(kd) 8L sh (kd) 3 ch[k(z + d)] π ct ch[k(z + d)] 1- sin(kx - t) + (.4-3. :: 5) ω sh (kd) L sh (kd) sh[k(z + d)] 3 π ζ cs(kxωt) + sh(kd) 16 L sh[k(z + d)] cs(kxωt)...(.4 4 sh (kd) 3. :: 6) Sl..4-3.:: Krdinate pmaka čestice vala, Brzina transprta mase(ξ su krd. pmaka vdne čestice d njeng srednjeg plžaja kd valva knačnih amplituda) U izrazu (.4-3.::5) za pmak vdne čestice u x smjeru ξ, zadnji član nije peridičan i izražen je ka prdukt vremena i knstante u visnsti dubini i peridu vala. Izraz prikazuje kntinuirani prirast hr. pmaka čestice u smjeru napredvanja vala. Pmak za kji se čestica premjesti krz jedan perid (Sl..4-3.::3) kad se pdijeli s peridm vala daje srednju brzinu d r i f t - s t r u j e d v a l v a U(z) kja se jš naziva b r z i n a t r a n s p r t a m a s e. π U(z) L c ch[k(z + d)]...(.4-3.:: 7) sh kd.4.3. STOKESOVE TEORIJE

38 Jednadžba (.4-3.::7) ukazuje da se transprt fluida valvima dvija u smjeru rasprstiranja valva ka na Sl..4-3.::3a. Ak transprt mase u vdi akumulira mase u nekm pdručju, fizičke pvršina vde mra se izdizati frmirajući na taj način gradijent tlaka št uzrkuje pvratnu struju. N t jednadžba (.4-3.::7) ne dražava! Sl..4-3.::3 Staza čestice vala knačne amplitude - irtacin gibanje P r t u s t r u j a kja se javlja ka dgvr će pnv uspstaviti raspred masa. Lnguet-iggius 1953, 1960; Mitchim 1940; Miche 1944; Ursell 1953; Russel i Osari su definirali strujanje ispd vala tak da je net transprt mase u vertikalnm smislu nula. Sl..4-3.::3a Vertikalni prfil Stkes-ve drift struje ispf vala Jednadžba.4-3.::7, pznata ka Stkesv izraz za transprt mase, izvedena je za besknačn dugi kanal knstantne dubine bez razmatranja utjecaja viskznsti. T znači da navedena jednadžba ne dgvara stvarnm stanju u prirdi jer ne zadvljava sljedeća dva uvjeta: [Ippen] 1) Prema jednadžbi kntinuiteta, net transprt mase krz bil kji vertikalni presjek mra biti jednak nuli: 0 U(z)dz 0..(.4-3.::8) h ) Zbg utjecaja viskznsti mra vrijediti: U(z) 0, za z -d Kak bi zadvlji navedene uvjete, Lnguet-iggins (1953) je pstavi prblem za dvdimenzinalni valni mdel u realnj tekućini knstantne dubine i knačne duljine. Mdel na pčetku ima pdručje valne generacije (tj. valni generatr u labratriju), a na kraju plažu. Dbi je jednadžbu kja sadrži kndukcijske i.4.3. STOKESOVE TEORIJE

39 knvekcijske članve. Prvi uzimaju u bzir efekte viskznsti, a drugi efekte knvektivne akceleracije. Budući da dbivenu jednadžbu nije mguće riješiti uz zadržavanje ba efekta, Lnguet-iggins je predlži dva rješenja: 1) Kndukcijsk rješenje dbiven izstavljanjem efekta knvektivne akceleracije i zadržavanje efekta viskznsti. Kndukcijski članvi pisuju difuziju vrtlžnsti s dna i pvršinskih graničnih sljeva u tijel tekućine zbg viskznih sila Za unutrašnjst tekućine gdje je viskznst mala, kndukcijsk rješenje definiran je jednadžbm: U(z) z z sh(kd) 3 z ch[ k(z + d) ] kd sh(kd) (.4 3. :: 9) U0 d d + kd d gdje je U 0 definiran jednadžbm.4-3.::7. Raspdjela brzine transprta mase p dubini prikazana je na Sl.4-3.::3b. Kndukcijsk rješenje vrijedi za dns π << 1, gdje je δ debljina graničng slja, ali Russell i Osri (1958) δ eksperimentima su pkazali dbr pklapanje paženih rezultata s Lnguet-igginsvim rješenjem čak i za π>>δ. Sl..4-3.::3 b Raspdjela brzine transprta mase p dubini prema Lnguet-igginsvm kndukcijskm rješenju (jednadžba.4-3.::9) Za z -d, jednadžba.4-3.::9, tj. brzina kndukcijske struje na dnu, pprima blik 5 5 π c U(z) z d 0 4 L sh kd ( ) U....(.4-3. ::10) Grnji izraz dade se napisati u visnsti Reynldsvm brju δ R δ. ν Budući da je maksimalna brzina vdne čestice na dnu prema Stkesvj teriji.reda u max u max π, za z -d, i δ 4πνT, T sh(kd) mže se Reynldsv brj pisati.4.3. STOKESOVE TEORIJE

40 umaxδ ν 4π ν R δ 1/ Izraz.4-3.::10 tada prelazi u 3 T sh(kd) ( U(z) ). R z d 5π 4L T 1/ sh(kd) 5ν 16π δ ) Knvekcijsk rješenje izstavljanjem viskznih članva i zadržavanjem članva d knvektivne akceleracije, kji pisuju kretanje vrtlga uzrkvan strujm transprta mase u tijel tekućine d krajnjih granica mdela (valni generatr i plaža), dbiva se jednadžba blika d dt Ψ 0 čije rješenje bitn visi rubnim uvjetima na ba kraja D mdela i nedređen je za prgresivne valve [Wiegel 61]. Uz pretpstavku da je knvekcijska brzina mala u uspredbi s kndukcijskm, kmpletna distribucija brzine transprta mase dana je izrazm.4-3.::7, št zadvljava inženjerske ptrebe. Maksimalna strmst prgresivng vala, stabilnstt prgresivng gravitacijskg vala ili njegva suprtnst lm vala razgraničeni su prek maksimalne strmsti vala. Maksimalna strmst vala u dubkm je knstanta, a u prijelaznj i plitkj vdi je funkcija valne dužine i dubine vde. Stkes je (1880) stabilnst vala definira prek brzine i dredi teretski da val mže stati stabilan sam ak čestice vde na brijegu vala imaju manju brzinu neg li je brzina vala tj. v < c. Ak strmst vala pstane tak velika da brzina čestice na grebenu premaši brzinu vala, val će pstati nestabilan i slmiti se. Stkes je prnaša i jedan gemetrijski kriterij lma tj. da će se valvi kji imaju kut grebena manji d 10 slmiti (kut između dvaju pravaca tangencijalnih na prfil grebena vala). Mgućnst pstjanja vala s kutm grebena jednakim 10 pkaza je Wiltn (1914). Sl..4-3.::4 Prfil vala nepsredn prije lma (Stkes,Wiltn 1914) Michell (1893) je stabilitet vala definira prek maksimalne strmine vala i prnaša da je u dubkj vdi teretska granica strmine vala: L max 1 0,14...( :: 8) velck (1918) je ptvrdi Michellvu frmulu, a Miche (1944) je da graničnu strminu za prelaznu i plitku znu (d < L /) uz ravn dn bez prmjene blika tj. bez lma:.4.3. STOKESOVE TEORIJE

41 L max L max πd πd th 0,14 th...(.4-3. :: 9) L L Ove zaknitsti su ptvrđene labratrijskim ispitivanjima KNOIDALNA TEORIJA Knidalna terija nsi naziv prema Jacbijevj eliptičnj funkciji cn kjm se pisuje valni prfil. Prilikm razvja Stkesve terije pretpstavljena je mala strmina vala /L. U plitkj vdi relativna dubina d/l ima prvrazredan utjecaj na pmake fizičke pvršine mra i čestica vala. Prema tme, prilikm razmatranja valva knačnih amplituda treba uzeti u bzir i parametar /d. Na taj način mže se definirati Ersellv parametar. d U L 3 L 3 d...( :: 1) U pdručju gdje je U<<1 vrijede Stkesve terije. U pdručju U>>1 val se definira s napredvanjem tj. Ne mže imati trajnu frmu. U prelaznim pdručju mgu egzistirati valvi trajng blika: knidalni valvi. T su dugi scilatrni valvi, knačne amplitude, znatne strmine i trajne frme, kji se rasprstiru u relativn plitkj vdi. Egzistenciju knidalnih valva ustanvi je Bussinesg (1877), a teriju su razvili Krteweg i De Vries (1895.). Termin c n i d a l je uptrebljen, jer je prfil vala pisan Jacbijevm eliptičnm ksinus funkcijm, kja se ubičajen značava s cn. Ova terija zahtijeva prez s respektm za stvarnu primjenu u inženjerskim prblemima. Takđer je teška za prračun. Ranije uptrebe ve terije su razvile grafičke i tabelarne funkcije (Wiegel. 1960, Maseh i Wiegel 1961.), n primjena je i dalje zapetljana. U uptrebi su knidalna terija 1 reda i knidalna terija. reda. Ka št je rečen, te terije najblje pisuju valn gibanje u relativn plitkj vdi ili tčnije rečen, pdručje primjene (prema Laitneu 1963.) je u dubinama manjim d 1/8 d 1/10 valne dužine (d/l < 1/8 ) 1/10) ili za U > 6 (vidi i Sl..4-1::). Karakteristike vala dane su u funkciji eliptičkih integrala K(k) i E(k) d mdula eliptičkg integrala k kji nema fizikaln značenje, a dređuje se iz dijagrama u visnsti Ursellvm parametru, k se kreće u granicama 0 < k < 1. Kada je k 0 knidalna terija prelazi u linearnu, a kada ja k 1 prelazi u sliternu KNOIDALNA TEORIJA

42 Sl ::1 Definicijska skica za knidalne valve Ak se pretpstavi prfil vala u bliku η cn ( ), gdje je cn ( ) kvadrat eliptičkg ksinusa tj. x t,mgu se na bazi matematskg pisa valvanja u.4-1 dbiti približna rješenja 1. i. reda cn K(k) -,k L T prikaza krz sljedeće izraze: rješenje 1. reda η cn ( ) 1 E(k) c g d t 1+ - d t k K(k) L 16 d 3 3 k K(k) rješenje. reda c E(k) 3 k + K(k) 4 1 E(k) g d t 1+ + d t k K(k) d t k E(k) K(k) 4 k +14 k ( :: 3) 40 η cn ( 3 ) - 4 d t cn ( ) [ 1- ( )]...( :: ) cn 16 d t 7 k - L k K(k) 1+...( :: 4) 3 d t 8 k Sl :: Mdul eliptičkih funkcija i eliptičke funkcije u relaciji s Ursell parametrm.(6) ter. 1 reda: ter.. reda: KNOIDALNA TEORIJA

43 T 16 d 3 3 k K(k) g d t 1+ d t k 1 1 E(k) - K(k)...( :: 5) p ac k K(k) ρ w g( d s - d i ) ( ) p γ d s d i k K(k) E(k) (1- k )(8-3k ) - (8-7 k )...( :: 6) K(k) [ K(k)- E(k) ], [ K(k)- E(k) ] a c - 4 k 1 d t aprksimativni tlak ispd knidalng vala na svakm nivu d i iznad dna K(k) π/ 1 - k dx sin x...prvi eliptički integral π/ E(k) 1 - k sin x dx...drugi eliptički integral Knidalni val je peridičan val stalne frme i prema tme vrijedi cl/t. d max t 0,73...( ::7) Kada dužina knidalng vala pstaje jak duga (6 4), knidalna terija se transfrmira u sliternu teriju. S druge strane, kada /d pstaje infinitezimaln mal, knidalna terija se transfrmira u linearnu teriju (sinusidalni prfil vala). Granični uvjet knidalnih valva je: d t 1,37...( :: 8) max KNOIDALNA TEORIJA

44 Sl ::3 Relacija između k i T g/d prek relativne dubine vde /d, Wiegel 1960.(3) IPERBOLIČNA TEORIJA VALOVA Japanac Iwagaki je simplificira knidalne valne jednadžbe uvđenjem k 1 i E(k) 1 za K(k) 3. T jš ne znači dgađaj sliterng vala kada K 6 4. Ovdje je K dređen i mgu se prema njemu drediti visina vala i perid T. Ograničenje K 3 daje Ursell parametar (L )/d 3 48 sa d/l 1/1 za primjenu ve pseudknidalne terije. Alternativna granica je d (πl )/4. Simplifikacije dpuštaju da se karakteristike vala izraze krz primarne funkcije. Odns između K(k) i stalih valnih karakteristika za /d 0,55 su: 1/ 3 [ K(k) ] d/l 1-1,3...( :: 1) 16d d št je prikazan na Sl ::1. Za pretežni di /d uglata zagrada se mže zanemariti pa imam 1/ 3 L 3 L 3 16 d 16 d d Visina grebena (amplituda) iznad MR je dana : [ K(k) ]...( :: ) ac 1-1 K(k) 1-1d 1-1K(k) Brzina vala izražena je ka...( :: 3) d IPERBOLIČNA TEORIJA VALOVA

45 c gd ( :: 4) K(k) d K(k) d K(k) d K(k) d K(k) K(k) 4 0 d ili jednstavnije u dnsu na brzinu u dubkj vdi ka za slučaj kada se uglata zagrada jednadžbe (.4-3.4::1) izjednači s jedinicm: c πd π c L L K(k) d 1-5 8d 1+ 1 (Kk) d -1...( :: 5) Sl ::1 Funkcija za hiperbličnu teriju valva T rezultira prastm brzine hiperbličng vala prema Airyjevm valu u plitkj vdi kd tčke lma ka na Sl :: IPERBOLIČNA TEORIJA VALOVA

46 Sl :: Odns brzina hiperbličng vala i Airy-jevg plitkvdng vala c hip gd kd tčke lma u funkciji relativne dubine d/l, (Iwagaki),(6). L d K(k) d Dužina vala je dana s: K(k) 16d 3 3 L d 4 L K(k) d 1K(k) d 1/3-1/3-1/ 1-1+ π 1+ L 1 K(k) d 5 8d -1 K s...( ::7) ( :: 6) Odns L/L dan je krz izraz C/C. Ak se val rasprstire uprav na balu bez trenja i bez efekta refrakcije dbije tzv. k e f i c i j e n t p l i ć i n e K s /. kak je prikazan na Sl..4-4.::4. Načinjena je i vrl uspjela eksperimentalna verifikacija vg dnsa TEORIJA SOLITERNOG VALA (USAMLJENOG) Na granici knidalne terije dređeni aspekt valng pnašanja u vrl plitkj vdi mže se pisati zadvljavauće terijm s l i t e r n g v a l a. Za razliku d knidalne terije va je jednstavna za uptrebu. Sliterni val nije niti scilatran niti ima izražen trbuh. On je primjer translatrng vala, a sastji se d jedng nabra (brijega) iznad mirng raza kjemu ne predhdi niti ga slijedi nek drug uzdignuće ili uleknuće fizičke pvršine mra. Visina mu nije nephdn mala u dnsu na dubinu. U prirdi se rijetk frmira čisti sliterni val jer se na putujućem bridu vala ubičajen nalaze mali disperzivni valvi, n dugi valvi ka cunami pnašaju se pnekad približn ka sliterni valvi. Kad se scilatrni valvi šire u vema plitku vdu mgu se takđer aprksimirati sliternim valvima. U tm slučaju amplituda vala prgresivn raste, brijegvi se skraćuju i zašiljuju, a dlvi pstaju duži i spljšteniji. Ka št je u prethdnm pglavlju rečen, fizička pvršina mra kd knidalng vala se pmiče peridičn, n teži neperidičnm valu kada mdul k teži jedinici. Dakle, sliterni val je granični slučaj knidalng vala za k 6 1, K(k) K(1) 4. U tm se slučaju eliptični ksinus (cn) reducira na hiperbličnu sekans funkciju IPERBOLIČNA TEORIJA VALOVA

47 (sech). Redukcijm izraza za brzine i pmake knidalne terije 1. reda s graničnim mdulm k 1 dbiju se dgvarajući izrazi za sliternu teriju 1.reda prema Laitneu. Mguće su i terije viših redva. Sl ::1 Definicijska skica za sliterni val ka primjer translatrng prgresivng vala η sech 3 3 (x - ct) 4 d...zakn pmaka fizičke pvršine mra...(.4-3.5::1) V η dx 1 d 3-1/ 1...vl. vde iznad mrskg raza na jedinicu širine...(.4-3.5::) V je ujedn vlumen vala (masa) kji se transprtira naprijed. 90 % vlumena je sadržan u pdručju x ",4d, a 98 % u pdručju x "3,8d prilikm valvanja ρg ρ η dθ + η ( u +v )dz dθ ; -d + + E - - θ x - ct...( :: 3) kd dubine d. 3/ 3/ 3/ E 3 4 ρ g d 3d 8 ρ g ,54 ρ g ( d) d ( d) 3...( :: 4) c g(d + )...( :: 5) Ukupna energija sliterng vala na jedinicu širine sastji se d cca jednakg dprinsa ptencijalne i kinetičke energije. Ak se valvanje dvija na dubini d tada je 90 % ttalne energije sadržan u pdručju "1,6d, a 98 % u pdručju x ",1d. Ov pkazuje, da su i pred tga št je valna dužina besknačna, energija vala i vlumen sliterng vala kncentrirani u vema uskm pdručju k grebena vala. Brzina je dana jednstavnim izrazm kji je utvrđen labratrijskim mjerenjima (Daily i Stephan 1953.), a pstje i razni teretski izrazi. Brzine čestica sliterng vala u tčki (x,z) dana je izrazima 1+ csα chβ c N ( csα + chβ ) u(z,x) hrizntalna kmpnenta...(.4-3.5::6) TEORIJA SOLITERNOG VALA

48 sin α shβ c N ( csα + chβ ) w(z,x) vertikalna kmpnenta α M β M z d x d [rad] [rad] x,z... krdinate prmatrane tčke prema Sl ::1 M,N... funkcije d relativne visine vala /d dane na Sl :: 0,0 Sl :: Dijagrami nekih parametara slitarne terije (Munk 1949.),(6) Maksimalna veličina hrizntalne kmpnente brzine dbije se za slučaj x0, t0 max u(z) c N...( ::7) 1+ csα Izraz za hrizntalnu brzinu (u) čest se kristi za dređivanje sila kje djeluju na pmrske bjekte smještene u plitkj vdi TEORIJA SOLITERNOG VALA

49 Za knstrukcije izlžene lmljenim valvima se u istu svrhu primjenjuje izraz za brzinu vdne čestice na grebenu vala umax c g(d + h) jer su brzine vdenih čestica i brzina vala kd lma maksimaln izjednačene. Varijacija p dubini se zanemaruje (vidi.4-4.1) Tlak ispd sliterng vala visan je brzinama čestica vala, n tlak na bil kjem nivu za d i udaljenm d dna mže se aprksimirati s p ρ g ( d - d i )...( :: 8) s. McCwan je (1891) ustanvi da se sliterni val lmi kada brzina čestice vala na grebenu dstigne brzinu rasprstiranja št se zbiva u slučaju kada je: /d 0,78 Ili d b. 1,3 b ( ::9) gdje je d b dubina vde kd lma b visina lmljeng vala (vidi lm vala) na hrizntalnm dnu. Pstjanje sliternih valva tkri je (1845.) Russel. Teretsk tumačenje dali su Bussinesq (187.),Rayleigh (1876),McCwan (1891), Kuelegan i Pettersn (1940.) i Iwasa (1955.) TEORIJA STRUJNE FUNKCIJE D e a n va t e r i j a s t r u j n e funkcije je numerička metda i, ka št ime ukazuje, razvijena je d strujne funkcije kja je definirana u dnsu na brzine fluida kak je već rečen. Bazirana je na matematskm mdelu danm u tčki.4-1. Linije na kjima je ψcnst. su strujnice, paralelne u svakj tčki s vektrm lkalne brzine. Kd uptrebe strujne funkcije za pisivanje vala (umjest brzinskg ptencijala) ptrebn je prije zadvljiti kinematski rubni uvjet ptpun, uzimanjem fizičke pvršine mra za liniju s knstantnim ψ. Pdesna strujna funkcija kja ptpun zadvljava zahtjev kntinuiteta i nulte vertikalne brzine na mrskm dnu je dana s : ψ n A1 sh kz cs kx+ A sh kz cs kx+...+ A sh n kx n kx Red mže biti dpunjen d svakg stupnja bez predugih algebarskih manipulacija, pšt se kef. A 1... A n ražunaju za svaki val. U prračunu keficijenta dužina vala i vrijednst ψ na fizičkj pvršini mra trebaju biti tretirani ka nepznati. Prcedura za zadane, T i d je u prnalaženju svih nepznanica tak da je greška u dinamičkm rubnm uvjetu za veliki brj tčaka na fizičkj pvršini mra minimalna. Razne tehnike minimiziranja za takve nelinearne funkcije su sadržane u kmpjuterskim biblitekama. Pšt mže lak biti prtegnuta na svaki red, strujna funkcija je primjenjiva u širkm pdručju uvjeta. Ipak je ptreban prez u siguranju da numerički zadvljen rješenje ima fizikaln značenje (ptvrdu). Mdifikacija terije strujne funkcije pisana je prek uvđenja ddatng rubng uvjeta: da se zahtjeva da se fizička pvršina mra pdudara s paženim prfilm. S vim ddatnim graničenjem keficijenti su uređeni ka i prije da minimiziraju sve greške rubnih uvjeta. Kad je t jednm izvršen sve karakteristike vala mgu biti prračunate TEORIJA SOLITERNOG VALA

50 Direktna prcedura knačnih elemenata ili knačnih diferencija je danas uptrebljiva za rješavanje mngih prblema mehanike fluida uključujući i valn gibanje (npr. marker-cell tehnika). Takva rješenja su ipak rijetki "gsti" u prblemima peridičkih valva KOMPARACIJA TEORIJA PRVOG I VIŠEG REDA Kristi se za dbivanje uvida u izbr terije za pjedini prblem. Treba imati na umu da se l i n e a r n a t e r i j a (ili terija I reda ) primjenjuje na val kji je simetričan s bzirm na mirni raz, a čestice vde se kreću rtacin u zatvrenim rbitama. Terije višeg reda prikazuju frmu vala kja nije simetrična s bzirm na mirni raz, ali je simetrična s bzirm na vertikalnu liniju između grebena, a čestice vde se kreću irtacin - u tvrenim rbitama. Kd terije višeg reda pstji izdizanje srednjice vala iznad mirng raza, kd linearne terije ne. Sl ::1 Prfil vala knačne amplitude Linearna terija se mže puzdan primijeniti sam za valve vema male strmine /L <1/150,kada je izdizanje srednjice vala zanemariv mal i u takvim prblemima gdje transprt mase ne igra nikakvu ulgu. N u inženjerskj praksi primjenjuje se kd gtv svih strmina i svih dubina mra PRIMJENA TEORIJA KONAČNI AMPLITUDA Naprijed je prikazan da terije knačnih valva - terije višeg reda prestavljaju viši stupanj aprksimacije prfila vala i gibanja čestica vala s pažanim valm krz dpunu rubnih uvjeta u dnsu na linearnu teriju. Generaln, terije višeg reda teže tčnijem prračunu nekih valnih karakteristika neg linearne terije. Terije višeg reda mgu bjasniti pjave ka št je t r a n s p r t m a s e kji se ne mže bjasniti pmću linearne terije. Ak su amplituda i perid precizn pznati, ve terije mgu blje prračunati takve izvedene veličine ka št su brzina vala i vdnih čestica i plje tlaka pruzrkvan valvima neg lin. ter. Glede prmjene valne visine p dubini terije knačnih amplituda daju bitn blju interpretaciju za plićak blizu lma. Kad se zanimanje dnsi prvenstven na scilatrni realni val, dređivanje perida i visine realng vala je na bazi empiričkih pdataka. U takvim prblemima nepuzdanst tčnsti valne visine i perida vde nepuzdansti drugih dgvra, št negira efekt nelinearng valng prcesa. Prema tme, tada ne priliči psebni rad sadržan u nelinearnim terijma. Inženjer mra utrditi pdručje gdje razne valne terije vijede. Pšt se istraživači razilaze u graničnim uslvima za razne terije mraju se dzvliti neka preklapanja u definiranju pdručja. Le Mehaute (1969) je prikaza sliku.4-1:: radi ilustracije aprksimativnih granica važenja raznih valnih terija TEORIJA STRUJNE FUNKCIJE

51 Mnge terije nisu prikazane u Sl..4-1::, ali takđer mgu se uptrebljavati. Za dane vrijednsti (), (d) i (T) Sl..4-1:: mže biti krištena ka vdič prilikm izbra i usvajanja terije..4.4 DEFORMACIJE VALOVA KRATKI PERIODA Prfil i parametri vala prlaze razne faze pstupng defrmiranja kada se val rasprstire iz dubkg mra prema plitkm. Valni perid je jedini valni parametar kji se ne defrmira! U dubkm i prijelaznm pdručju se valne karakteristike mgu pisati linearnm i Stkesvim terijama, a u plićaku knidalnm ili sliternm Na snvi njih se izvde teretska bjašnjenja raznih defrmacija parametara uslijed reakcije valva s dnm. Reakcija praktički zapčinje kada dubina mra iznsi: d L št se jednstavn mže pkazati ak se prmtri visnst parametara vala u dubini (npr. za linearnu teriju valva). Izrazi za brzinu i dužinu vala glase gt πd c th, π L g T L π π d th L Ak je d L/ dbije se πd th th (nπ), n 1. Pšt je za vrijednst argumenata π ili veću tangens L hiperblni približn jednak 1, prizlazi da kd d L/ tj. u dubkm vrijedi gt g T c ; L π π dnsn ti parametri nisu visni dubini št znači da niti nema reakcije vala s dnm. Suprtn d tga, u plitkm (d < L/) prmjena svih parametara prema navedenim izrazima je u visnsti prmjeni dubine ( za πd d < L/ th th(nπ) 0 1 jer je n < 1) št znači da je reakcija vala s dnm prisutna. Ist vrijedi i za L stale parametre vala (razmtri prema tabeli.4-::i). Uz pstupne prmjene prfila i gibanja vdnih čestica, val se iz dubkg (s pučine) približava bali, n hće li se slmiti prije nje, na njj, prijeći ju ili se reflektirati, visi nagibu dna, strmini vala na tm mjestu, hrapavsti i prpusnsti dna. U svakm slučaju, rezultat je izdizanje niva mra na plaži ili čak na vertikalnm zidu, a knačni dseg niva se naziva v i s i n a u s p i n j a n j a. Prmatrajući rasprstiranje vala s pučine prema bali, kmit na knturu dna i balnu crtu (, Sl..4.4::1), prstrni i vremenski slijed defrmacija na nagnutm dnu bit će: defrmacija valva na nagnutm dnu uslijed smanjenja dubine (tzv. učinak plićine ili "Shaling efekt"), defrmacija valva uslijed trenja s dnm dbijanje ili refleksija valva na nagnutm dnu (zanemaruje se kd strmih valva i blag nagnutg dna, št je najčešći slučaj) i lm valva,.4.4 DEFORMACIJE VALOVA KRATKI PERIODA

52 Sl..4.4::1 Rasprstiranje vala nrmaln na knturu dna i balnu crtu Prve dvije znače n spmenut pstupn defrmiranje, n trenje uzima učešća i kd stalih defrmacija. Ak se valvi na nagnutm dnu rasprstiru ks na knturu dna i bale, javlja se defrmacija zvana zalmljavanje, ili refrakcija (Sl..4.4::). U prcesu refrakcije dvijaju se i četiri prethdn spmenute defrmacije! Sl..4.4:: Rasprstiranje vala ks na knturu dna i bal. crtu Ok vertikalne prepreke u mru valvi se gibaju ili difraktiraju (Sl..4.4::3), a na prepreci dbijaju ili reflektiraju. Prpusna prepreka (pdmrski vallm, pluurnjeni lukbran, šupljikavi lukbran) prpušta (transmitira) valve iza same prepreke..4.4 DEFORMACIJE VALOVA KRATKI PERIODA

53 Sl..4.4::3.Zalmljavanje ili difrakcija vala k završetka vertikalne prepreke (jednstrang lukbrana) i dbijanje ili refleksija vala d vertikalne prepreke Prilikm razmatranja stalih defrmacija bit će pretpstavljen da je dn glatk, neprpusn, saturiran i da su valvi idealni (mnkrmatski itd., vidi Sl..1). Svak dstupanje d vih pretpstavki bit će na mjestu naznačen LOM VALOVA Maksimalna strmina vala u d u b k j v d i bazirana na teretskim razmatranjima idealnih sliternih valva (Michell 1893.) dređena je izrazm L max 0, (.4-4.1:: 1) 7 Kd ve i kd manjih strmina vala, frma prgresivng vala staje stabilna Stkes je (1880) dredi da se maksimalna strmina javlja kada je grebenski kut 10 (Sl ::1). Tada je brzina čestice v na grebenu vala jednaka brzini rasprstiranja vala c. u v x c... uvjet stabilnsti vala (.4-4.1::) Sl ::1 Prfil vala nepsredn prije lma (Stkes,Wiltn 1914) Pvećanjem valne strmine, uslijed smanjenja dubine mra, brzina čestice na grebenu pstaje veća d brzine rasprstiranja vala št rezultira time da ne prbijaju valni prfil, javlja se nestabilnst rbitalng gibanja i lm vala pri čemu se di energije vala disipira, a di preinačuje u mehaničku energiju sekundarnih valva nakn lma (Sl ::). u v x > c... uvjet lma vala (.4-4.1:: a) LOM VALOVA

54 Dakle: uvjet lma vala je da brzina vdne čestice v na grebenu vala bude veća d brzine rasprstiranja vala c; pri čemu vdna čestica prbija valni prfil. Maksimalna strmina vala u prijelaznj i p l i t k j v d i d<l/; val mže zadržati stabilnu frmu, tj. neće se lmiti ak mu je strmina vala manja d neke maksimalne kju je u dnsu na dubinu (za hrizntaln glatk dn) definira Miche L max πd 1 πd th 0,143 th L 7 L L max πd th L...(.4-4.1:: 3) t.j. lmljeni valvi u plitkm mgu imati manju maksimalnu strminu neg li u dubkm jer je 0 < th(πd/l) < 1 za 0<d<L/. Danel je pkusima pkaza da je knstanta 0,1 bliže realnsti pa se dbije L max πd 0,1 th L 1 8,5 πd th...(.4-4.1:: 4) L Izrazi su primjenjivi i za sasvim blag nagnut dn plaže. Prikazani su na na grafu sa Sl..4-3::. Sl :: Prikaz faza lma vala u zni lma kada se val prstire prema plaži Uspredbm izraza za plitku i dubku vdu mže zaključiti da valvi u dubkj vdi mgu držati stabilnu frmu uz veću strmst neg li u plitkj vdi. S druge strane, dubkvdni valvi ne reagiraju s dnm, tak da im strmst mže pvećati sam vjetar i na taj način ih dvesti d lma kad se prekrači ( /L ) max. Nasuprt LOM VALOVA

55 tme, valvi u plitkm reagiraju s dnm št rezultira pvećanjem strmsti lmm u slučaju prekračenja (/L) max. Razmtrim sada pitanje na kjem mjestu plitkg nagnutg dna će se dgditi lm i kju visinu će val imati na tm mjestu (Sl ::3). Dk se pčetak valne defrmacije zna unaprijed(d L /), njezin kraj; t.j. mjest lma i visina lmljeng vala ne zna se unaprijed, jer bitn visi nagibu dna s1/m i knfiguraciji dna izraženj prek keficijenta refrakcije K R. Dubina gdje se t dgađa značava se ka dubina lma d b. Visina lmljeng vala je b. Munk je (1949) na bazi mdificirane terije sliterng vala, za slučaj hrizntalng ili blag nagnutg dna (knt.šelf. s1:50) upravng rasprstiranja vala na knturu dna (izbate ) tj. uključivši sam efekt plićine dbi: b 1 3,3 L 1/3...indeks lmljeng vala (.4-4.1:: 5) gdje je visina dubkvdng nerefraktirang vala. Sljedeći izraz za dns visine lmljeng vala i dubine lma izve je McCwan na bazi sliterne terije. d b b 0,78 d b b 1,8 1,3 d b 1,3...(.4-4.1:: 6) b b lm Sl ::3 Definicijska skica za lm vala. Za nagnute plaže (1:50 s 1:5 i strmije) blje je kristiti empiričke rezultate jer su gre navedeni izrazi prizašli razmatranjem terija idealnih valva uz sva tme pripadajuća graničenja. Te empiričke relacije prizašle su iz eksperimentalnih pdataka za nagibe s < 1:5 uz veliki rasap reultata, a dane su u vidu dijagrama na Sl ::4 i Sl ::5. Uzimaju u bzir jednlični nagib dna i refrakciju, čiji bitan utjecaj na parametre b i d b je dkazan (Iversen 195, Galvin 1969, Gda 1970). Takđer za nagnute plaže vršena su i druga ispitivanja čiji su rezultati dani u vidu matematičkih izraza. Tak su Le Mehaute i Kh (1968) na bazi pregleda dtadašnjih ispitivanja dali jedan izraz za indeks lmljeng vala b / dbr prilagđen stvarnsti: LOM VALOVA

56 b (s cs ) α 1,3 L b 1/7 1/4...(.4-4.1:: 7) a kji je primjenjiv za nagibe dna 1:50 s 1:5 i strmsti dubkvdng vala 1:500 /L 1:11. Prema tme je s tangens kuta nagiba dna prema hrizntali, a α b prilazni kut na pretpstavljenm mjestu lma kji se čita s plana refrakcije (Sl ::4). Za strme nagibe (sve d 1:1) indeks lmljeng vala je tabuliran kd Silvestra (6), a takđer na bazi Le Mehautevg rada. Dubina lma definirana je d Cllinsa i Wiera (1969) u frmi d b b d b b 0,7 + 5,6s...(.4-4.1:: 7) 1 β b...(.4-4.1:: 9) s pdručjem primjene za s 1:10, pa i d s 1:8. U slučaju strmih nagiba mgu pslužiti istraživanja Gulvina (1968) bazirana na radvima i eksperimentima Iversena, CERC-a, McCwana, gdje je dubina lma β b 1,8 za s 0 β b 1,4-6,85s za 0 s 1:14 β b 0,9 za 0 s 1:14 β b eksperimentalni keficijent (bez Ks!) Sl ::4 Indeks lmljeng vala b /, u funkciji strmine dubkvdng vala, CERC (9) LOM VALOVA

57 Sl ::5 Dubina lma u funkciji strmine lmljeng vala CERC (9) Lmvi valva mgu se prema Galvinu klasificirati u 4 tipa: prelijevanje (spilling) kd vrl blagg nagiba dna, prebačeni lm (plunging) s buhvaćenim mjehurm zraka - strm nagib dna, prpadajući lm (cllapsing) - prelazna frma i prlm vala (surging) kd vrl strmg nagiba dna. Kriteriji za pjedine vrste lma dani su na dijagramu Sl ::4. Ta infrmacija je d inženjerskg značaja ak se na nekm mjestu pksa predviđa kmpletna dispzicija vala tj. prebačeni lm. Sl ::6 Tipvi lma vala LOM VALOVA

58 U s p i nj a nj e ili p l a ž e nj e vala na ksm pksu plaže prstrn je i fizikaln vezan za lm vala, te će se stga vdje i prikazati. Metdu je razvi Van Drn (1965), a dnsi se sam na glatke pkse. Danas su već razvijene empiričke pa i teretske metde za hrapave pkse, ka št su na lukbranima balutvrdama. Jasn je da se uspinjanje bitn razlikuje za slučaj lmljeng i nelmljeng vala. Sl ::7 Keficijent A za lm vala na pksu, (unt),(6) će li biti lma ili ne, lak se mže drediti kristeći untv eksperimentalni način za strmije nagibe (znake na Sl ::7) L A ( a c α π /) (180 )...(.4-4.1:: 8) πd K L 1/ (.4 - απ 4.1:: 9) α je jednlični nagib dna, a veličina A se dbije iz dijagrama na Sl ::7 u visnsti brju K. Uklik je A manji d desne strane jednadžbe (.4-4.1::8), val se neće lmiti na pksu, a uspinjanje R empirički iznsi R a c A...(.4-4.1::10) a c je amplituda prgresivng vala iznad MR (prema dijagramu na str.7 Sl..4-3::). Uklik je A veće d desne strane jednadžbe (.4-4.1::8), val će se slmiti na pksu i tada uspinjanje R iznsi LOM VALOVA

59 R L 1/ α π...(.4-4.1:: 11) 180 Izraz se dnsi na upravni smjer prilaženja vala α 0. Uklik se javlja refrakcija na razmatranm pksu, izdizanje će biti manje u visnsti prilaznm kutu. PR LOM VALA Zadatak: Pučinski val 0 /L 0 /T3,8/145/9,6 nailazi nrmaln na ravn dn kje ima nagib 1:0. Pri kjj dubini dna se taj val lmi i kji su njegvi parametri, L, c, u max d nepsredn prije lma i u trenutku lma. Rješenje: 1) Visina lmljeng vala, b Kak su valvi kmiti na knturu dna, 0 0. Iz eksperimentalng dijagrama lma vala (Sl ::4) za 0 /L 0 3,8/1450,06 i za nagib s1:0 dbije se indeks lmljeng vala b / 0 1,3. b 1,3 0 1,3*3,8 4,9 m ) Dubina na kjj se val lmi, d b Prema eksperimentalnm dijagramu na Sl ::5 za dubinu lma za , gt nagib dna s1:0 dbije se: d b 1 b d b 1* b 4,9 m b i 3) Izbr mjerdavne terije za lm vala LOM VALOVA

60 b d Za b , i 0, 0054 (Sl..4-1::) prizlazi da je mjerdavna sliterna terija gt gt vala. N prema sliternj teriji d b 1,8* b št znači da se vaj parametar, p sliternj teriji, računa s 8%-tnm pgreškm. 4) Brzina vala c b i brzina čestica vde u max d c b g * ( b + d b ) 9,81* (4,9 + 4,9) 10 m/s (Tab..4.::I) u d max c b 10 m/s jer kad se val lmi brzine čestica vde dstignu brzinu rasprstiranja vala (inače su manje) DEFORMACIJE VALOVA NA NAGNUTOM DNU USLIJED SMANJENJA DUBINE; UČINAK PLIĆINE - SOALING EFEKT Odnsi se na pstepenu defrmaciju valva kratkih perida čiji je pravac rasprstiranja nrmalan na izbate mrskg dna (Sl..4-4.::1). Val kji napreduje prema plitkj vdi se transfrmira. Prmjenu dživljavaju parametri valng prfila: visina, dužina L i brzina rasprstiranja vala c, ka i parametri gibanja vdnih čestica: trajektrija ξ i ζ, brzina u i w i ubrzanje a x i a z. Jedini parametar kji se ne mijenja s dubinm je perid vala T (Sl..4-4.::)! Sl..4-4.::1 Valvi nrmalni na izbate.4.4. SOALING EFEKT

61 Sl :: Defrmacija vala na nagnutm dnu kad se val širi nrmaln na knturu bale bez efekta refrakcije i trenja SOALING EFEKT

62 Pretpstavim da nagib vala ima neznatan utjecaj na valne parametre. Tada se valvanje na bil kjem mjestu mže pisati terijm valva malih amplituda. Prmjena valne dužine s dubinm dredit će se iz sljedećeg razmatranja: gt L π πd th L dužina vala u prelaznm pdručju (.4-4.::1) L gt π d gt d L L th π th π π dužina vala u dubkm pdručju. L L Sada se prmjena valne dužine L s dubinm d dade izraziti d L d L 1 d d th π L L d cth π...(.4-4. :: ) L Za pznat (d/l ) iteracijm se dbije (d/l). Za niz pretpstavljenih vrijednsti (d/l ) d dubkg d plićaka mže se nacrtati dijagram (d/l) na Sl..4-4.::3. Prmjena brzine rasprstiranja vala s dubinm dbije se iz izraza za prmjenu valne dužine: d L d L L th π... th π L L L c c d c th π... L c d th π L Prema izrazu za prmjenu valne dužine i valne brzine vrijedi: L d. th π L L c c d d d Ak se za niz vrijednsti d/l prema izrazu cth π izračuna, ili sa Sl..4-4.::3 L L L čita, (d/l) i uvrsti u zadnji izraz mgu se nacrtati L/L i c/c krivulje na tj slici za bezdimenzinalnu prmjenu L i c u visnsti bezdimenzinalnj dubini d/l SOALING EFEKT

63 Sl..4-4.::3 Funkcije parametara valng prfila za bezdimenzinalnu dubinu d/l prema linearnj teriji, Wiegel (3) Prmjena valne visine s dubinm (isključivši trenje i refrakciju), dbije se izjednačenjem tka energije grupe valva krz jedinični vertikalni "kanal" tj. iz kntinuiteta tka valne energije ili energetskg fluksa (FE g /t) na jediničnu širinu grebena u dubkm i plitkm. F F. Tk valne energije je Eg N m F t s, a zbg knstantng perida valne grupe T g dvljn ga je prmatrati sam u tm graničenm vremenu, pa se dbije.4.4. SOALING EFEKT

64 F Eg Eg Lg Lg a uz cg dbije se F Eg cg Tg Tg t. Specifična energije valne grupe Eg dade se izraziti prek specifičnih energija dvije zamišljene kmpnente valne grupe predstavljene s dva linearna vala jednake valne visine (vidi.4-.): E g 1 E i E. Sada kntinuitet tka valne energije F F glasi: E c E cg...(.4-4. :: 4) g Pšt je nc c g 1 n 4πd 1+ L 4πd sh L...(.4-4. :: 5) c g n c 1 c, n 1...(.4-4. :: 6) iz grnje jednaksti prizlazi 1 ρ g 8 c g 1 ρ g c 8 g c c g g 1 n c c K s kd shkd 1 ; thkd K s...(.4-4. :: 7). K s je keficijent plićine (shaling cefficient) dan u vidu dijagrama na Sl..4-4.::3. U pdručju d/l < 0,01 tj. u plitkm mgu se uptrijebiti sljedeće aprksimacije: c c πd, L d L d π L 8πd L 1-4, n 1(.4-4. :: 8) Pšt je grnje razmatranje baziran na teriji valva malih amplituda, ne mže biti s velikm tčnšću apliciran na relativ strme valve. Za valve knačnih amplituda keficijent prmjene valne visine s prmjenm dubine dna K S dan je na sljedećem.4.4. SOALING EFEKT

65 dijagramu Sl..4-4.::4, prema Stkesvim terijama i hiperbličnj teriji. Dnja granična linija za /L 0 predstavja K s valva malih amplituda iz prethdne slike ili jednadžbe (.4-4.::7). Sl..4-4.::4 Keficijent plićine K s za valve knačnih amplituda u funkciji relativne dubine d/l, Iwagaki, (10). Na kncu se mže zaključiti da idealni val kratkg perida kji se rasprstire iz dubkg prema plitkj vdi prlazi frme vala male amplitude Stkesvg vala knačne amplitude knidalng vala ili hiprebpličng vala sliterng vala lma vala. N, kada će iz prethdne frme prijeći u navedenu ne visi sam dubini vde (efekt plićine), neg i efektu refrakcije i trenju s dnm. Svi vi efekti mijenjaju visinu vala (i strmst) kja udružena s peridm vala determinira najprikladniju teriju za frmalni pis valvanja DEFORMACIJA VALOVA USLIJED TRENJA S DNOM Mrska vda nije idealna tekućina. Ona ima stanviti viskzitet. Zbg tga će prilikm trenja vdnih cestica u valnm gibanju i njihvg trenja s dnm, dći d disipacije dijela valne energije, kja će se pretvriti u tplinu. Disipacija je tak mala da neće izazvati značajnu prmjenu valne energije pa se inženjerski zanemaruje. Uslijed tga će se visina zanemariv smanjivati u smjeru rasprstiranja vala. Pšt u dubkj vdi valn gibanje praktičn ne dpire d dna, gubitak mehaničke energije uslijed trenja s dnm ne pstji. U plitkm pdručju taj pstji, ali se ka mala vrijednst najčešće zanemaruje (već prema prblemu). Ak je 1 pznata visina vala u većj dubini, a nepznata visina u manjj dubini, na će se izračunati ka:.4.4. SOALING EFEKT

66 Kf 1 gdje je <1...( ::1) Keficijent smanjenja visine vala uslijed trenja K f (isključivši utjecaj plićine, refrakcije i prpusnsti dna) tada se izražava ka: Kf <1 a Kf f(1, _x, d, f)...( :: ) 1 uz pretpstavku jednlične dubine vde 1 je pznata visina vala, Δx je razmak između mjesta pznatg i nepznatg vala, d je dubina vde na mjestu tražene nepznate visine, a f je keficijent trenja. Prepruča se da f bude uzet sa 0,01 d 0,0. Sl ::1 Keficijent trenja vala s dnm prema ydraulic Frmulae, JSCE, 71.,(10). Psmički napn na dnu vala mže se ipak približn izraziti ka τ f ρ u (prema Jhansn-u i Putnam-u), u je hrizntalna kmpnenta brzine vdnih čestica u blizini dna. Usput navedim jš neke parametre kji karakteriziraju trenje vala s dnm. Brzina trenja na dnu izražava se s: 1/4 8 * νumax u, ν 10,1 10 πt -7 m /sek...( :: 3) gdje je ν kinematski keficijent viskznsti, a u max maksimalna hrizntalna brzina na dnu prema linearnj ili sliternj teriji (već prema tme kjj se dubini radi). Psmički napn na dnu ili vučna sila tada je τ * 3 ρ (u ) ρ 106 kg/ m...( :: 4) DEFORMACIJA VALOVA USLIJED TRENJA S DNOM

67 ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA Refrakcija je defrmacija valva na nagnutm dnu kada ni nailaze ks prema knturi dna.(sl.4-4.4::1). Manifestira se prmjenm smjera rasprstiranja vala, kja je udružena s prmjerm parametara vala. Smjer rasprstiranja vala kji putuje prema bali se u dvljn plitkj vdi (d < L/) na nagnutm dnu mijenja u visnsti dubini i kutu kjeg čini s knturm dna. Prmjena smjera uzrkvana je smanjenjem valne brzine u plićem uslijed čega di Sl.4-4.4::1 Rasprstiranje vala ks na knturu dna i bal. crtu. Valvi čine s knturm dna kut " št je uvjet da bi se dgdila refrakcija valng grebena kji napreduje u plićem zastaje u dnsu na di grebena kji se giba u dubljem i nda napreduje brže. Ta prmjena smjera se čituje pvijanjem grebena (kji su u dubkj vdi paralelni pravci), št u knačnm teži da se grebeni pstave paraleln s prsječnm knturm dna (izbatama), dnsn balnm crtm. Dužina vala idući prema bali se smanjuje, a strmst pvećava. Visina vala se na rtvima pvećava (razaranje bale), a u uvalama smanjuje (razlg egzistencije plaža) uslijed kncentracije dnn razlijevanja energije. Na SL :: "B " je širina snpa jedinične valne energije u dubkm (d L/),a "B" širina snpa u prijelaznm ili plitkm pdručju na dubini d<d t.j. na mjestu interesa. Tada se utjecaj refrakcije (bez utjecaja refleksije, plićine i trenja) na visinu vala na bil kjem mjestu dade izraziti: ' K r...kr ' ;...( ::1) gdje je Kr keficijent refrakcije i iznsi: B Kr, 1 Kr < 1...( :: ) B ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

68 Ak se uključi i defrmacije uslijed smanjenja dubine (Shaling efekt), prmjena valne visine refraktirang vala je: ' K r K s K r Sl :: Refrakcija valva i njeni učinci na uvale i rtve. Izraz za keficijent refrakcije izvdi se iz kntinuiteta energetskg prtka (fluksa) u dubkm i plitkm uzduž jedng energetskg snpa (prstr između dvije valne rtgnale Sl ) u kjem nema fluksa valne energije pprečn na valne rtgnale. Pritm se u bzir uzima zajedničk djelvanje refrakcije i defrmacije uslijed plićine unutar energetskg snpa. Ak je energetski fluks valne grupe u dubkj vdi "F ", a u plitkm "F" i ak je jedinična širina energetskg snpa u dubkm "B ", a u plitkm "B", nda je zagarantiran kntinuitet fluksa valne energije unutar energetskg snpa u dubkm i plitkm izrazm: B F BF Prema razmatranju iz pglavlja.4.4. vrijedi: B E c g B E c g ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

69 ρ g B 8 B ρ cg B nc B g 8 1 c c g B B 1 n c c K r K s...( :: 4) K r K s Iz prethdne slike je čit da je na rtu K r > 1, tj. refrakcija pvećava visinu vala, a u uvali K r <1, tj. visina vala se smanjuje. Prilikm refrakcije dgađa se jš trenje i refleksija pa je u tm slučaju kmpletna defrmacija visine vala: K s K f K refl K r K s K r...(.4-4.4::5) Sl ::3 Plan refrakcije (zalmljavanje) vala k jedng kruglg tka Sl ::4 Plan refrakcije: Razarajuće djelvanje refrakcije prušil je dne luku. Knfiguracija dna na udaljensti čak 0-tak milja fkusirala je energiju valva krajnji di lukbrana (x) ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

70 Keficijent trenja K f se mže drediti iz Sl ::1, n zbg malg utjecaja se čest zanemaruje. Keficijent plićine K s prema linearnj teriji dan je na Sl..4-4.::3, a prema teriji višeg reda na Sl..4-4.::4. Ubičajena je uptreba prvga. K refl se takđer ignrira. Refrakcija valva se dade inženjerski interpretirati planm refrakcije kji se sastji d grebena valva i kmitih linija na njih rtgnala (Sl ::3 i Sl ::4.) Plan valva, dnsn plan refrakcije, knstruira se u svrhu dbivanja pravca djelvanja valva na balu, ili knstrukciju, i radi dređivanja visine valva kji tu balu napadaju, a dlaze s pučine. Za tu svrhu ptrebn je pznavati knfiguraciju dna (izbate) te parametre valng prfila (, L, T) i smjer izvrng dubkvdng (pučinskg) vala, prije neg li vaj "sjeti dn". Prilikm rada nije dvljn ispitati sam djelvanje vala iz ng smjera dakle dlaze najveći valvi. Knfiguracija dna mže manje valve iz drugg smjera tak kanalizirati da uslijed refrakcije nastaje velika knentracija energije na prmatranj tčki bale kja daje najveću visinu refraktirang vala. Vidi se da je refrakcija slžen prblem gdje treba uzimati u bzir razne smjerve, veličine i dužine dlazećih pučinskih valva. Prilikm ispitivanja valva male visine (<1,5 m) u kratkim tvrenim ili ptpun zatvrenim uvalama treba vditi računa da, klik gd ih refrakcija pred balm mže sniziti, vjetar kji istvremen puše će ih prema svjj snazi i dubini vde pvisiti, te refrakcija nije mjerdavna! Vidi se da je refrakcija slžen prblem gdje treba uzimati u bzir razne dužine, smjerve i visine dlazećih pučinskih valva. Plan refrakcije se prikazuje na pmrskj karti, a izrađuje za razne smjerve dlaska valva prema bali d interesa. Ptrebn je neki puta načiniti planve za razne slučajeve mrskg raza. Plan se ubičajen radi za pdručje dubina međen s mrske strane pčetkm defrmacije d L / gdje valvi praktičn pčinju "sjećati dn", a s balne strane dubinm lma d b (Sl ::5). Dk se dubina pčetka defrmacije mže unaprijed drediti, dubina lma ne mže, pšt visi visini vala i nagibu dna na mjestu lma št unaprijed pznat. Stga se za svaki energetski snp različite širine i njemu pripadajućih i L u pdručju plićaka mra izvršiti ispitivanje na lm vala prema T znači da se prilikm praćenja rasprstiranja valva iz dubke vde prema bali, refrakcijska terija na bazi linearne terije valva mže uptrijebiti sam d neke dubine u plićaku nakn kje bi se prmjene parametara vala mrale dređivati prema knidalnj i sliternj teriji valva knačnih amplituda. Praksa se ipak sam zadvljava linearnm terijm. VRSTE METODA ZA IZRADU PLANOVA REFRAKCIJE Prve razvijene metde za idealne (mnkrmatske) valve kratkih perida derivati su linearne terije valva! Pstje i metde za izradu planva refrakcije valva dugih perida npr. za cunami valve (Keulegan i arrisn). Najjednstavnija je "ručna" m e t d a za mnkrmatske valve kratkih perida s m a n j i v a n j a v a l n e b r z i n e. Rezultat ve metde je slika valnih grebena: paralelnih i jednakg razmaka u dubkm i pvijenih sa skraćenim valnim dužinama "L" u prijelaznm i plitkm pdručju u nekm "zamrznutm" trenutku. Na tu sliku ručn su se crtale valne rtgnale (kmice na valne grebene). Kasnije je razvijena i "ručna" m e t d a r t g n a l a. Njen je rezultat slika valnih zraka ili rtgnala (bez crtanja valnih grebena) kje pkazuju prmjenu smjera rasprstiranja valva d dubkg d bale. Obje se temelje na linearnj teriji. Nakn tga razvijeni su i k m p j u t e r s k i p r g r a m i. za metdu rtgnala (Griswld, Mrrisn,Wilsn i dr.) na bazi linearne terije. Kasnije su prgrami i dalje razvijeni (Le Petit, Orr i erbich, Jen), a Kuelegan i arrisn su razvili prgram refrakcije cunami valva ka jedan plitkvdni fenmen. Sve spmenute metde izvde se iz ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

71 smanjenja valne brzine ili valne dužine prilikm rasprstiranja valva iz dubkg u plitk, na bazi linearne terije, št uzrkuje skraćenje i pvijanje valnih grebena pd utjecajem knfiguracije (batimetrije) dna: dnsn uzrkuje prmjenu smjer rasprstiranja valva "α" (valnih zraka ili valnih rtgnala). Obje spmenute metde ne daju plje valnih visina, neg se na na tčki d interesa ručn računa iz razmaka valnih rtgnala. Dakle, ve metde daju sam plje valnih grebena, ili smjerva rasprstiranja valva, u jednm trenutku, ne daju plje valnih visina. Sljedeća faza bili su kmpjutrski prgrami za mnkrmatske valve na temelju Businesquve, ili knidalne, terije temeljene na kntinuitetu kličine gibanja vdnih čestica. Daju plje parametara idealng (mnkrmatskg) valng prfila " i L" u vremenu na svakj tčki mdelskg rastera p vremenu. Aktualna faza su kmpjutrski prgrami za realne valve na temelju Businesquve, ili knidalne, terije temeljene na kntinuitetu kličine gibanja vdnih čestica.; tzv. spektralne metde. Daju plje parametara realng valng prfila ( i L) na svakj tčki mdelskg rastera p vremenu. Metda izrade plana refrakcije na bazi smanjivanja brzine rasprstiranja vala ili valne dužine M e t d a s m a n j i v a n j a v a l n e b r z i n e ili brzine r a s p r s t i r a nj a. razvijena je d uygensa. Prmatrajm na pmrskj karti (Sl ::5) jedan pznati greben vala kji se rasprstire prema bali u trenutku t 0. Val se na prmatranj dubini d rasprstire brzinm c, a greben će nakn vremena t prijeći distancu c t (u metrima). Ak se inkrement vremena uzme jednak peridu vala T, tada će se greben pmaknuti za L c T gdje je L dužina vala na istj dubini d. Kada je dubina d < L / brzina vala se smanjuje, a takđer i dužina. Za "svaku" tčku uzduž pznatg grebena dredi se smanjena L ili c s bzirm na dubinu ispd te tčke, a iz same tčke se na karti pvuče luk dužine L. Anvelpa svih lukva čini plžaj pmaknutg grebena. Pstepenim napredvanjem mže se dbiti slika valvanja za cijel razmatran pdručje (Sl ::5 ). Sl ::5 Refrakcija valva metdm smanjenih brzina ili dužina valva ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

72 Nakn tga se nacrtaju rtgnale i izvrši prračun visine vala na tčkama kje su d interesa. Ka prvi pznati greben uzima se naj nepvijeni na dubini d L/, a iterativni pstupak za izračunavanje smanjene valne dužine ili brzine rasprstiranja vala prikazan je u pglavlju Prema linearnj teriji (terija malih amplituda -Airy) idealnih valva, pglavlje.4-, vrijedi izraz za brzinu napredvanja vala u dubkj vdi : c gl π. Kada valvi dđu na plitk (d <L /) brzina se smanjuje prema izrazu: c gl πd th π L (.4-4.4::5) dnsn: c c πd th brzina vala u plitkm (.4-4.4::6) L Iz izraza (.4-4.4::5 ) i (.4-4.4::6) se vidi da se valna dužina i brzina u plitkm jednak mijenja i t p funkciji tangensa hiperblng, visn dubini i dužini vala L na dtičnj dubini. Na snvu tga mže se za svaku izbatu izračunati dgvarajuća dužina i brzina vala i nacrtati smanjena valna dužina na svakm presjeku valng grebena s izbatm. Pčinje se crtati iz dubkg. Izrade plana refrakcije metdm rtgnala Prvi plan refrakcije metdm rtgnala razvijen je d O Briena (194) primjenm analgije sa Snelliusvim zaknm gemetrijske ptike. U nastavku se daje metda rtgnala prema Silvesteru [Silvester I, 17] utemeljena na linearnj valnj teriji. c πd L th c L L...( :: 7) Ak sa prmatra jedna zamišljenu tčka (ne česticu vde) na grebenu vala kji se giba prema bali (Sl ::6) staza kju slijedi ta tčka bit će t. zv. rtgnala ili valna zraka. Brzina naredvanja te tčke u dubkm (d 0,5L ) bit će knstanta i iznsit će c gt/π, a u plitkm (d < 0,5 L ) će se mijenjati i iznsiti c gt/π th πd/l. Uklik greben vala dlazi ks na knturu dna (greben s izbatm čini kut α > 0), neke zamišljene tčke na grebenu nalazit će se na većj dubini neg druge. Tčke u dubkj vdi prijeći će tkm perida T distancu d tčke 1 d tčke veličine L, a ne u plićj vdi manju distancu d 3 d 4 veličune L 1 <L pšt je c < c. Iz trkuta 1,, 3 i, 3, 4 mže se pstaviti: L L11 sinα i sinα1, a izjednačenjem p 3 dbije se mjer: 3 3 sinα sinα 1 c c 1 L1 L LdnsnLLsinα1 L L1 sinα...(.4 - L 4.4 :: 8) ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

73 gdje je: α prilazni kut valne zrake (rtgnale) na dubkvdnu izbatu d ; kut između rtgnale i nrmale na dubkvdnu izbatu, a α 1 presječni kut valne zrake (rtgnale) s 1-vm izbatm d i ; kut između rtgnale i nrmale na 1-vu izbatu u prijelaznm pdručju. Sl ::6 Definicijska skica za refrakciju vala metdm rtgnala na paralelnim izbatama Iraz je istvrstan Sneliusvm zaknu gemetrijske ptike za lm (refrakciju) svijetla na granici dvaju sredstava različitg indeksa lma (refrakcije) visng gustći medija. sinα1 n1 sinα n0 u kjemu veća i manja gstća medija n 1 i n i zamijenjene veličinama L 1 (d 1 ) i L (d) kje su nekakvi reprezentanti većeg i manjeg utjevaja dubine mra na valve. Izraz prikazuje prmjenu smjera staze zamišljene tčke tj. rtgnale idući prema plićem mru. Dakle, rtgnale su u dubkm paralelni pravci, a u plitkm neparalelne krivulje (pligni), n u ba slučaja kmite na grebena valva. U slučaju r a v n i h p a r a l e l n i h i z b a t a i jednlikg nagiba dna mra, pznavajući prilazni kut α i kristeći izraz (.4-4.4::8), mže se drediti presječni kut α i na svakj dubini d i (Sl ::7). Li α i arc sin (sin α0)...( :: 8a) L Pritm s prv mra, za razmatranu izbatu dubine d i, izračunati L i /L iteracijm iz izraza.4-4.4::8. Prmjena smjera valne zrake αδ i u pdručju dubina d i-1 i d i iznsi: Δαi αi 1 α i...( :: 8b) gdje je: Δα i prelmni kut valne zrake (rtgnale) između rtgnala d i-1 i d i. a nansi se u sredini između izbata d i-1 i d i. ka na (Sl ::6). Prmjena smjera rtgnale d dubkg mra, pa sve d bale dbije se sukcesivnim nanšenjem prelmnih kuteva valne zrake Δα i ka na Sl :: ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

74 Sl ::7 Refrakcija valva metdm rtgnala za slučaj paralelnih izbata: α - prilazni kut rtgnale, α i - presječni kut rtgnale na i-tj izbati Navedeni izrazi dani su u bliku prikladng dijagrama (Sl ::8), tak da ih ne treba svaki puta računati ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

75 Sl ::8 Dijagram za refrakciju vala metdm rtgnala- dns presječng kuta α, prilazng kuta α, relativne dubine d/l i relativne valne dužine L/L (6) Keficijent refrakcije za paralelne izbate mže biti izražen sam u funkciji prilazng kuta α i presječng kuta α i. Naime, za slučaj paralelnih izbata dvije susjedne rtgnale (razmak u dubkm im je B ) su identične krivulje translatirane p izbati za knstantan međusbni pmak B s. Tada prema Sl ::9 vrijedi: K r B B i cs α cs α i gdje je: B B s csα širina valng snpa u dubkm, B i B s csα i širina valng snpa na dubini d i u prijelaznm i plitkm, α - prilazni kut dubkvdne rtgnale d, α i - presječni kut rtgnale s izbatm dubine d i ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

76 Sl Definicijska skica za dređivanje keficijenta refrakcije vala metdm rtgnala iz kuteva rtgnala prema izbatama Silvesterv pstupak je kd paralelnih izbata precizniji ak kd prračuna prmjene smjera rtgnala ne baratam za svaku dubinu s prilaznim kutm α u dubkm, neg s nim prsječnim kutvima rtgnale kji se pjavljuju na razmatranj dubini. Prema Sl i izrazu (.4-4.4::8) vrijedi sin α sin α 1 c c 1, sin α sin α c c pa iz njihvg mjera prizlazi sin α sin α sin α sin α 1 sin α sin α 1 C / C C / C 1 L / L L / L 1...( :: 9) Pstupak krištenja dijagrama sa je sada sljedeći: za dvije susjedne izbate d 1 i d pmću izraza (.4-4.4::7) se izračunaju ili na krivulji 1. Sl ::8 čitaju mjeri L 1 /L i L /L te se iz jednadžbe (.4-4.4::9), na bazi pznatg kuta α 1, prračuna kut α. Taj se kut dade i čitati na Sl ::8 prek krivulja. Naime za izračunati mjer (L /L ) / (L 1 /L ) kji se nanese na apscisi kristeći dređenu krivulju α α 1 na rdinati se čita tražena prmjena smjera rtgnale α ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

77 Mrsk dn u prirdi naravn nikada nije jednlik niti su izbate paralelne, pa se razmatranje dna s r a v n i m ali n e p a r a l e l n i m i z b a t a m a već približava realnsti (Sl ::10). Neka dlazeća rtgnala s pčetnm izbatm d 0,5L čini prilazni kut α. α' i - prilazni kutevi rtgnala α i - presječni kutevi rtgnala Sl ::10 Definicijska skica za refrakciju vala metdm rtgnala - neparalelne izbate. Između izbata d i d 1 rtgnala će nešt prmjeniti smjer tak da će se s izbatm d 1 činiti presječni kut α 1. Dubkvdna rtgnala prema izbati d 1 čini prilazni kut α'. Prema navdima u uvdu ve metde vrijedi: sinα, sinα 1 L L 1 dnsn 1, sin α1 L sin α L Presječni kut α 1 dredi se prema dijagramu na Sl ::8 s tim da se na skali α uptrijebi uptrijebi α', a čitanje α na grafu znači traženi kut α 1. Jasn je da se α' mra čitati s pmrske karte na kjj se crta plan refrakcije. Ortgnala 1 zapčinje na ½ razmaka izbata d i d 1, i t tak da se smjeru rtgnale 0 dda prelmni kut: Δ α 1 α' α1 Prilazni kut na izbatu d je α' 1,a presječni kut je, premaanalgiji u uvdu, dan s: L1 sinα sinα' 1. L Općenit za bil kju izbatu d i vrijedi: ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

78 Li sinα i sinα' i 1...(.44.4 :: 10) Li 1 gdje je i redni brj razmatrane izbate (dubine). Traženi presječni kut α i prračuna se prema grnjem izrazu (.4-4.4::10) ka: Li αi arc sin (sin α' i 1 ), Li 1 ili dredi s dijagrama na Sl ::8. Za d i /L i d i-1 /L se prek krivulje 1 čitaju L i /L i L i-1 /L Kada se te dvije vrijednsti pdijele dbije se vrijednst mjera L i / L i-1 kji se nanese na apscisi dijagrama i prek krivulje kristeći prilazni kut α' i-1 čita traženi kut α' i. Prelmni kut (kut zakreta) rtgnale, ispred bil kje dubine d i tada je: Δαi α' i 1 αi. Sl ::11 Pstupak dređivanja prilazng kua α i presječng kuta α i rtgnale za zakrivljne izbate (6). N e p a r a l e l n e i z a k r i v l j e n e i z b a t e (Sl ::11) čine sliku dna kja se pklapa s realnšću. Pri tme će vema male zakrivljensti izbata r 5L biti izglađene pšt nemaju neki veći utjecaj na kmpletnu valnu sliku. Zbg tga treba plan izbata najprije šematizirati tak da se dbace krivine r < 5 L. Kd većih zakrivljensti izbata ptrebn je prvesti pseban pstupak mjerenja prilaznih kuteva α i presječnih kuteva α i (Sl ::1) dk je pstupak prračuna isti ka netm izneseni. U vezi tčnsti plana refrakcije važan je i z b r k r a k a dnsn izbr inkremenata relativne dubine d/l kd kjih će se vršiti prračun skretanja rtgnale. Odmah se mra istaknuti da št su manji inkrementi plan je tčniji, n utršak rada je veći. Radi eknmičnsti rada izbr kraka prvenstven treba prilagditi tčnsti uptrijebljenih pdataka i svrsi izrade plana. Prmjena smjera rtgnale kd jednlik nagnutg dna u vidu ravne plhe, će kd neke dubine biti ista bez bzira klik je intervala između d 0,5L i razmatrane dubine d. N plžaj zadnje zrake na rtgnali mže varirati u visnsti izbru inkremenata dubine i zakretne tčke. Stga je najprbitačnije primjenjivati takve inkremente dubine kji daju približn istu prmjenu smjera rtgnale. Nakn teretske analize dšl se je d sljedećih zaključaka: za prilazni kut α < 70E i relativnu dubinu d/l < 0, treba uzeti relativnu dubinu kja je cca 0,6 d prethdne. Za α > 70E i d/l d 0, d 0,5 treba uzeti prirast d 0,1 d/l između pjedinih izbata. Kd jače zakrivljenih izbata inkrementi trebaju biti manji. α d/l < 70E 0,5 0, 0,1 0,07 0,04 0,05 0,015 > 70E 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,04 0,05 0,015 Tab ::1 Prepručljive vrijednsti relativnih dubina za izradu planva refrakcije (Silvester 1974.) ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

79 PR : PLAN REFRAKCIJE Zadatak: Za zadanu knfiguraciju dna na dnjj slici (MJ. 1:10000) i zadani smjer nailaska dubkvdng vala parametara 0 /L 0 /T3,/100/8,0 ptrebn je: 1) načiniti plan refrakcije nadlazećeg vala metdm rtgnala, ) drediti snvne parametre vala u tčki A, 3) visinu i dubinu lma vala u klini tčke R. Rješenje: 1) Plan refrakcije: Pčetni krak u izradi plana refrakcije je priprema batimetrijskg snimka dna. Zatim se prračuna tablica 1 s valnim parametrima ptrebnim za izradu plana valne refrakcije. ORTOGONALA 1 ORTOGONALA ORTOGONALA 3 ORTOGONALA ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

80 čitan na prračunat razlika situaciji pril. kut Izlazni i d i d i /L 0 L i /L 0 L i /L i-1 rtgn rtgn. ai a' i-1 kut zakret tgn. a' i-1 a i Da i a' i-1 a i Da i a' i-1 a i Da i Dai m ,5 1, , 0,89 0,89 40,5 35 5,5 9 5,5 3, ,5 8,5 1 0,1 0,76 0,854 37,0 30,5 6, ,5 35 7, ,0 0,07 0,61 0,803 6,5 1,0 5, ,5 8,5 4 4,0 0,04 0,48 0,787 19,0 14,5 4,5 13,5 10, ,5 6, ,5 0,05 0,35 0,73 14, ,5 18, Tablica 1: Prikaz parametara valne refrakcije πd Defrmirana valna duljina L i dređuje se izrazm Li L0tgh, te se mže dbiti iterativn Li ili krištenjem grnjeg dijela dijagrama sa Sl ::8. Time su pripremljeni svi ptrebni pdaci za izradu plana refrakcije. Najprije se nacrtaju valne zrake 1,, 3 i 4, paralelne sa smjerm valng rasprstiranja, d izbate d Razmak između zraka, dnsn širina energetskg snpa B 0 je prizvljna. Nakn tga se pristupa knstruiranju valnih zraka sljedećim pstupkm: a) Prilazna rtgnala 1, prduži se d izbate d 1-0. b) U prilaznj tčki rtgnale 1 i izbate d 1-0 knstruira se tangenta na izbatu, a na tangentu kmica. c) Očita se prilazni kut α 0 između prdužene rtgnale1 i kmice na izbatu d 1, α 0 40,5. d) Iz dijagrama sa Sl ::8 čita se za izbatu d 1 na snvi bezdimenzinalne d1 0 L L dubine 0, veličina 1 i 0, 890 i nađe mjer ka L0 100 L0 Li 1 L L Li L i 1 i L i L0 L 0 1 L0 L L 0 0,89 L L 1 0 Li. Zatim se za apscisnu vrijednst 0, 890 i prilazni kut L i ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

81 α i-1 α 0 40,5 prek dijagrama sa slike ::4 izračuna vrijednst kuta α 1 35,0, Li sinα i (Mže se kristiti i Snellv zakn ). Li 1 sinαi 1 e) Izračuna se razlika α 1 α 0 -α 1 40,5-355,5. T je vrijednst skretanja rtgnale 1. f) Izračunati α 1 nansi se na pla razmaka između izbata (-50) i (-0). g) Ortgnala 1 se sa nvim smjerm prdužuje d izbate d -1 i pstupak se analgn pnavlja d balne crte. h) Izneseni se pstupak pnavlja i za rtgnale, 3 i 4. Vrijednsti kuteva zakreta, za sve 4 zrake dane su u tablici 1, ) Osnvni parametri vala u tčki A a) Valna visina, Visina vala u tčki A dana je izrazm A 0 * K s * K ref A 0 * K s * K ref * K tr * K refl 1443 ZANEMARIVO Pšt je d7,0 (m) i L (m), t je relativna dubina ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

82 d 0 7, ,07 L0 tak da je vrijednst keficijenta plićine K s, čitana iz dijagrama sa slike.4-4.::4 K S ~1. S plana refrakcije za snp ΙΙ čitam: -u dubkm B 0 10,0 (mm) -u tčki A B A 16,5 (mm) tak da dbijem keficijent refrakcije 1 1 B 10,0 0 K r 0,78 B A 16,5 Prema tme, u tčki A valna visina pprima vrijednst A 3,*1,0*0,78,5( m) < 0 3, (m). Dakle, vidim da pvećanjem širine energetskg snpa valna visina pada. b) Valna duljina, L U tablici 1 izračunata je relativna valna duljina za dubinu tčke A d 7,0 (m), L A 61 (m). L i 0, 61, L 0 3) Visina i dubina lma vala u klini tčke R a) Visina lmljeng vala Pretpstavim da se val lmi u tčki R na dubini (-4), da bism mgli čitati keficijent refrakcije. Da bism mgli drediti visinu lmljeng vala krištenjem dijagrama sa slika.4-4.1::4 i.4-4.1::5, ptrebn je pznavati veličinu 0 '/L 0 i nagib dna ''s'' u klini tčke R. 0 ' je definiran ka: 0 ' 0 * K r, (ne uzima se K s ) 1 B 10,0 0 K r 1,05, B A 9,0 dnsn: 0 '3,*1,053,4 (m), Nadalje je 1 0 ' 3,4 0,034. L0 100 Nagib dna s u tčki R prema batimetriji iznsi 4,5 s 0, ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

83 Za prethdn dređene vrijednsti iz eksprimentalng dijagrama.4-4.1::4 čitam indeks lmljeng vala b 1,7, 0 dakle slijedi da je visina lmljeng vala 1,7 * 0 ' 1,7 * 3,4 4,3 (m). b b) Dubina lma vala Prema eksperimentalnm dijagramu sa slike.4-4.1::5 za b 4,3 0,0068 gt 9,81* 8,0 i za nagib dna, s0,073, čita se d b 0,97 b d b 0,97* b 0,97*4,34, Dakle, pretpstavljena dubina lma približn je jednaka stvarnj dubini lma d b. (m) ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

84 OGIBANJE ILI DIFRAKCIJA VALOVA Difrakcija ili gib je defrmacija valva na ravnm dnu kja nastaje u slučaju kada se ispred dijela plja valva prepreči vertikalna prepreka na pr. lukbran. Rezultat je bčng rasprstiranja enerije (uzduž grebena vala) kji se time javlja i iza prepreke. Očituje se širenjem i zakretanjem valva u pdručju gemetrijske sjene iza prepreke i smanjenjem visine valva. Mže biti jednstrana i dvstrana. Jednstrana difrakcija se dvija k jedng kraja prepreke, a drugi kraj prepreke je u besknačnsti i nema utjecaja ZALOMLJAVANJE ILI REFRAKCIJA VALOVA

85 Sl ::1 Difrakcija valva,(a) jednstrana, (b) dvstrana, (c) iza graničene prepreke. Dvstruka difrakcija se dvija između dviju ne previše razmaknutih prepreka (ulaz u luku između dvaju lukbrana). Prv empirijsk tumačenje pjave da je Irribaren 30-tih gdina. Na sljedećj slici se prikazuje t tumačenje uz bjašnjenje snvnih pjmva OGIBANJE ILI DIFRAKCIJA VALOVA

86 Sl :: Difrakcija valva, plan valva na pretpstavljenm dnu jednlične dubine (Irribaren) Teretska tumačenja datiraju iz 40-tih gdina Penny i Price (1944) su predlžili metdu rješavanja valng pnašanja nakn prlaska jednstrang lukbrana - jednstrana difrakcija. Blue i Jhnns (1949 i 1953.) su bradili prblem valng pnašanja nakn prlaska krz tvr - dvstruka difrakcija. Wiegel je knažn (196) prezentira dijagrame jednstrane difrakcije, a stali i dvstrane. Svi teretski pristupi difrakciji plaze d četiri pretpstavke : 1. vda je idealni fluid ( neviskzan i nestišljiv ),. valvi su malih amplituda i mgu se pisati linearnm terijm, 3. gibanje čestica vala je irtacin i pisan ptencijalnm funkcijm kja zadvljava Laplacevu jadnadžbu, 4. dubina iza prepreke je knstantna OGIBANJE ILI DIFRAKCIJA VALOVA

87 a) b) Sl ::3 Keficijenti difrakcije valva na dnu jednlične dubine iza lukbrana: a) jednstrana, b) dvstrana [CERC I, 1977, -89] OGIBANJE ILI DIFRAKCIJA VALOVA

88 Redukcija visine vala iza prepreke izražava se prek keficijenta difrakcije K dif dl...(.4-4.5::1) Odnsn K dif dl, K dif 1 Keficijent difrakcije daje se ubičajen u bliku praktičnih dijagrama ka na grnjj slici. Pri njihvm krištenju treba naglasiti da veće valne dužine neki puta daju veće uzbuđenje akvatrija, pa prilikm izrade planva difrakcije treba varirati valne dužine. Pstje i slični dijagrami za dvstranu difrakciju. PR : JEDNOSTRANA DIFRAKCIJA Zadatak: Luka u uvali je d plvice zaštićena lukbranm. Smjer dlaska valva čini s lukbranm štri kut. Valvi ispred lukbrana su visine 4 m i dužine 80 m. Treba drediti visinu vala na bali O. Rješenje: OGIBANJE ILI DIFRAKCIJA VALOVA

89 OGIBANJE ILI DIFRAKCIJA VALOVA

90 PR : DVOSTRANA DIFRAKCIJA Zadatak: Treba drediti valne visine u tčkama A, B i C akvatrija neke hiptetske luke ak je širina njeng ulaza 100 m, a valvi ispred ulaza imaju parametre dl /L dl 3/100 m. Rješenje: Prv se čitaju keficijenti difrakcije K d sa adekvatng dijagrama dvstrane difrakcije za B/L1 (za drugi mjer treba naći u priručniku drugi dijagram) kji se nacrta u mjerilu tlcrta luke i preklpi prek njega. Zatim se prračuna difraktirana valna visina p brascu K d * dl. A A Tčka A... K d * dl 0,45 * 3 1, 35 B B Tčka B... K d * dl 0,34 *3 1 C Tčka C... C K * 0,1*3 0, 35 d dl Za slučaj ksg nailaska valva mjerdavna je prjekcija širine ulaza OGIBANJE ILI DIFRAKCIJA VALOVA

91 ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA T je defrmacija vala kji u svm rasprstiranju nailazi na vertikalnu ili nagnutu prepreku uslijed čega dlazi d ttalng ili parcijalng reflektiranja (dbijanja) tg vala u suprtnm smjeru. Ttalna refleksija nastaje na vertikalnj neprpusnj i krutj prepreci (gravitacijski kej, vertikalni lukbran, a parcijalna na nagnutj prepreci (plaža, bala, kej, lukbran) ili prpusnj vertikalnj prepreci. Veličina refleksije, a t znači visina reflektirang vala, mže se kvalitativn analizirati prek kntinuiteta energije vala kji je naiša na prepreku: E dl E refl + A + E dis...(.4-4.6::1) Jednadžba pkazuje da se energija dlazećeg vala razlaže na di energije kja se reflektira E refl, na energiju utršenu na rad A izvršen krz pmake prepreke ili izdizanje vdene mase na pksu i na di energije kja se disipira E dis, tj. "nepvratn" gubi pretvaranjem u tplinu prek trenja fluida i prepreke. Iz jednadžbe kntinuiteta prizlazi da će za slučaj ttalne refleksije na masivnj glatkj vertikalnj prepreci biti E refl E dl pšt je gubitak energije na "glatkm" zidu zanemariv E dis 0 i nema pmaka masivng zida A 0. S druge strane će u slučaju refleksije na hrapavj nagnutj prepreci pstjati trenje E dis 0, te će biti izvršen rad na pmacima mbilnih čestica pmsa i izdizanja vdene mase na pksu A 0. T rezultira s E refl < E dl. Keficijent refleksije definira se prek zakna kntinuiteta energije: E 1 E K refl dl A + E + K dl + E E 1 refl r dis gdje je + K dis dl K refl - keficijent refkeksije energije K t - keficijent pretvrbe energije u rad K dis - keficijent disipacije energije uslijed trenja s preprekm. Iz grnje kvalitativne analize bilansa energije prizlazi za za E E refl refl E < E dl dl,, K K refl refl E E refl dl E xp E 1...ttalna refleksija refl dl <1...parcijalna refleksija Refleksija na neprpusnm vertikalnm zidu prema izlženm znači ttalnu refleksiju energije dlazećeg vala. Prema linearnj teriji - Airy vrijedi E refl refl K refl E dl dl ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

92 K refl refl dl...( :: ) pri čemu K refl predstavlja keficijent refleksije visine vala. U slučaju ttalne refleksije dakle K refl 1 dnsn refl dl, št pkazuje da je visina reflektirang vala jednaka visini dlazećeg vala. Pmaci fizičke pvršine mra i čestica vala uz prepreku mgu se definirati prek zamišljene superpzicije dva mnkrmatska vala η + i η - istih perida i visina kji se pristiru na istm pravcu, ali u suprtnim smjervima Η sup η + + η -...(.4-4.6::3) η sup dl cs (kx) cs ( ω t)...( :: 4) št za slučaj linearne terije idealnih valva daje a sup dl...amplituda superpnirang vala sup (1+ K refl ) dl...visina superpnirang vala Kd ttalne refleksije K refl 1 pa je visina superpnirang vala na vertikalnm zidu: c sup a sup dl, c visina ttaln reflektirang vala na vertikalnj prepreci tj. visina claptisa (franc. stjni val) Izraz predstavja prfil ptpung s t j n g v a l a kji je peridičan p prstru i vremenu, a ima maksimalnu visinu dl. Navedena frma stjng vala se dražava knstantm idući d prepreke preme pučini. Valna dužina je ista ka kd dlazećeg vala. Neke tčke na prfilu vala miruju za sve vrijednsti t, a neke imaju pmake dl. T su čvrvi ( x 1L/4, 3L/4, 5L/4,...) i trbusi (x 0,1L/, L/, 3L/). Dakle, prfil vala se pmiče gre dlje u vidu peridičng njihanja. Prema teriji. reda prfil stjng vala pnaša se ist ka gre, sam je izdignut iznad MR za Δ c kji na mjestu trbuha iznsi π c π Δ c ( ) d 3 1 cth 1+ - št je dan na sl ::1 4L L πd πd 4 4 sh ch L L Za dubku vdu (d L/) stavljajući da je visina stjng vala Δ c π L dl 4 Δ Maksimalna strmst stjng vala u dubkj vdi mže se izraziti ka na Sl ::, tj.: c 1 0,, a u plitkj vdi ka L 4,5 L c max max πd 0, th. L ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

93 Sl ::1 Film stjng vala c u trajanju d 1/ perida prikazan pmću zamišljene superpzicije dvaju valva i kji se šire u suprtnim smjervima ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

94 Sl :: Vertikalna asimetrija stjng vala gdje je a c 0,5 c + Δ c a Δ c je izdizanje srednjice kd klaptisa (6) U dnsu na strminu prgresivnih valva (.4-4.1), strmina stjnih valva mže biti veća. Čestice kd stjng vala ne rtraju, neg se gibaju linijski i u fazi (čas u jednm čas u drugm smjeru). Kd čvrva su pmaci hrizntalni, kd trbuha vertikalni, a između ksi (Sl ::3). U slučaju parcijalng stjng vala pmaci su različit rijentirane elipse ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

95 Sl ::3 Stjni val, pmaci fizičke pvršine mra i pmaci čestica vala u dubkj vdi. Realni pandan stjnm valu je k l a p t i s (claptis, franc.), tj. val s karakteristikm da je na mjestu prepreke praktičn identičan sa stjnim valm, a da idući d prepreke prema pučini zamire i nakn neklik valnih dužina nestaje. Tzv. k r i ž n i k l a p t i s nastaje superpzicijm valva suprtng smjera različitih pravaca rasprstiranja. Rezultat je čunjast ili kupast mre. R e f l e k s i j a u z a t v r e n i m b a z e n i m a ka št su jezera, zaljevi, luke, kanali, mže izazvati reznanciju vala s bazenm ak se perid prgresivng vala u bazenu pklpi s peridm tzv. slbdne scilacije bazena. Rezultat su stjni valvi dugih perida čiji su realni pandan s e š e. ili štige tj. šćige. Perid seša kreće se između neklik minuta i neklik sati. Uzrkvane su jednkratnim (slbdne seše) ili peridičkim intermitentnim uzbuđenjem bazena (prisiljene seše). Uzbuđenje mže biti atmsfersk (nagla prmjena atmsferskg tlaka, prmjene brzine vjetra, d valva kji krz tvre ulaze u bazene sa tvreng mra, d naglg dtka velike kličine vde i drugg. Uvjet nastajanja seše je da se perid prgresivng vala u bazenu izazvang uzbunjujućm silm pklpi, tj. da bude u reznanciji s peridm slbdne scilacije bazena ili, drugim riječima rečen, uklik se razmak vertikalnih zidva, tj. dužina ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

96 bazena (l baz.) pklpi s nekim brjem četvrtina, plvina ili cijelih valnih dužina. T se dade izraziti jednakšću: L lbaz j j 1,... mali brj, zatvren pravkutni bazen j 1/, 3/, 5/,... tvren pravkutni bazen Perid slbdne scilacije bazena pravkutng tlcrta, vertkalnih stijenki i knstantne dubine je lbaz T n n gd...zatvren bazen 4 l T n (n - 1) baz gd...tvren bazen gdje je n brj čvrva stjng vala u bazenu, g ubrzanje gravitacije, D dubina bazena. U priručnicima su autri naveli metde za dređivanje perida dabranih scilacija za nepravilne prirdne bazene. Za nepravilne bazene vidi R.M.Srensen, BASIC COASTAL ENGINERING, str. 84, Jhn Wiley-Sns, New Yrk Sl ::4 Razni mdeli seša Prfil vala dužine bazena mže se pisati s jednim ili više čvrva i trbuha. U slučaju prisiljenih seša prfil je prmjenjiv, mže dći d stalng pvećanja ili prigušenja amplitude. Slbdne seše su stabilan stjni mdel, kji se dug zadržava uklik nema nekg zbiljng disipatra energije. Refleksija na nagnutim preprekama visi hrapavsti, prpusnsti i nagibu prepreke,te strmsti i kutu nailaska vala. Keficijent refleksije visine vala se prema tme dade izraziti ka (Miche 1951.): K K K ; K refl 1 refl r dl sup ; (1+ K refl ) dl ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

97 f (hrapavsti,prpusnsti) f (nagiba prepreke,strmsti vala) sup visina superpnirang vala (dlazeći + refektirani) K 1 K Miche je ustanvi da se K 1 kreće k 0,8 za blage neprpusne plaže, a d 0,3 d 0,6 za strme hrapave kse knstrukcije. K za ravn nagnut dn dan je na Sl ::5 ili dnjim izrazima. Sl ::5 Faktr K za prračun keficijenta refleksije vala na nagnutj prepreci nagiba za različite vrijednsti b /L (Miche, 1951.),(9). L max,r <1 za > K L L L max,r i K 1 za L L max,r Dade se zaključiti na snvu razmatranja keficijenta refleksije K 1 i K da su refleksiji više sklni valvi manje strmine (ekstremne dužine), kji nailaze na blag nagnutu i neprpusnu prepreku. Miche (1949) je takđer prnaša maksimalnu strmst vala ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

98 ( /L ) max,r ispd kje se valvi ttaln reflektiraju d bale nekg nagiba β, dnsn uvjet ttalne refleksije na nagnutj prepreci: L max β 90, r sin β π Sve št je rečen vrijedi za upravan prilaz valva. Sl ::6 Najveća strmst vala ( /L ) max,r ispd kje se dgađa ttalna refleksija na bali nagiba β (Miche, 1951.)(9) Primjer: Za knstantni nagib plaže ctg 1 maximalna strmina vala kji se ttaln reflektira /L 0,11 1/9; dakle strmiji valvi ( /L 0,15 1/8 npr.) će se parcijaln reflektirati K < 1, a manje strmi ( /L 0,04 1 : 5 npr.) će se ttaln reflektirati K 1. PR : VISINSKE KOTE KEJA Zadatak: Ispred nezaštićene mrske bale treba izgraditi vertikalni gravitacijski kej. Maksimalni valvi na mjestu keja imaju parametre max /L max /T max 3,5/90/9,6, a plima iznsi ExtrVR 5g +0,8 m. Pad dna je 1:5. Brdvi max. gaza 6,5 m pristaju sam za lijepg vremena, tj. d visine valva max 1 m. Kej treba svjm visinm nemgućiti prelijevanje mra na balni plat. Klika je dubina i visina tg keja? Rješenje: 1) Dubina keja T gaz brda... 6,5 m ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

99 Z 0 apslutna rezerva... 0,5 m Z 1 rezerva zbg valva... 0,5 refl 1,0 m Z - rezerva zbg brzine brda... 0,05 v (km/h)...~0 m Z 3 - rezerva zbg zamuljivanja (prema peridu bagervanja)... 0,3 m Z 4 - rezerva za preciznst (bagervanja ili nasipavanja)... 0, m dubina keja... 8,5 m ( refl 1m m) ) Dubina na kjj treba trasirati kej - dubina keja... 8,5 m - nasip ispd keja...,5 m - dubina trasiranja... 11,0 m 3) Visina keja Izdizanje srednjice vala (D c ) iznad mirng raza mra (Sl ::) - prijelazn i plitk dn (ispred trase keja) π πd π 3,5 π 11 Δ cth cth 0,15 m 4L L claptis (refleksija na kejskm zidu) Δ c π 4Δ L πd cth 4 0,15 0,6 L m - plima 0,8 m ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

100 - izdizanje srednjice 0,6 m - visina vala (ttalna - refleksija claptis) 3,5 m - rezerva 0,6 m visina keja 5,5 m PR : REFLEKSIJA NA NAGNUTOM POKOSU Zadatak: Izračunati keficijent refleksije K refl za ravne neprpusne nagnute plaže prema dnjim slikama. K refl refl dl K refl K 1 K K 1 f(hrapavst, prpusnst); 0,8 za blage neprpusne plaže, 0,3-0,6 za strme hrapave kse knstrukcije K f(nagib prepreke, strmst vala); prema dijagramima na sl ::5 i sl ::6. 1) Val velike strmine na strmm pksu ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

101 Za neprpusne plaže(k 0,8-1,0; Miche): K 1 0,9 Za 0 /L 0 1/8,50,1 i ctgα1, K 0,8 K ref K 1 K 0,7 ) Val velike strmine na blagm pksu Za neprpusne plaže(k 0,8-1,0; Miche): K 1 0,8 Za 0 /L 0 1/8,50,1 i ctgα5 K 0,05 K ref K 1 K 0,04 3) Val male strmine na strmm pksu ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

102 Za neprpusne plaže(k 0,8-1,0; Miche): K 1 0,9 Za 0 /L 0 1/000,005 i ctgα1, K 1,0 K ref K 1 K 0,9 4) Val male strmine na blagm pksu Za neprpusne plaže(k 0,8-1,0; Miche):: K 1 0,8 Za 0 /L 0 1/000,005 i ctgα5 K 0,8 K ref K 1 K 0,64 Zaključak: Temeljem analize keficijenta K zaključuje se da su refleksiji sklni valvi male strmine na blagj pdlzi i valvi velike strmine na pdlzi velikg nagiba PROPUŠTANJE ILI TRANSMISIJA VALOVA Prpuštanje illi transmisija je valna defrmacija kja nastaje kd prpuštanja valne energije ispd prepreke djelmičn izdignute iznad dna (Sl ::1), ili krz prepreku kja je u nekm psttku izbušena tvrima ODBIJANJE ILI REFLEKSIJA VALOVA

103 Sl ::1Orijentacijski dns valnih energija kd transmisije U prcesu transmisije javlja se i parcijalna refleksija tak da je ispred prepreke parcijaln superpnirani val (visine dl < sup < dl ), a iza prepreke transmitirani val (visine transm < dl ). Odns 3 spmenute valne visine pvezan je jednadžbm kntinuiteta valne energije (Sl ::): Sl :: Kntinuitet valne energije kd prpuštanja ili transmisije valva E dl E refl +E transm +A+E dis PROPUŠTANJE ILI TRANSMISIJA VALOVA