ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ"

Transcript

1 ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü ðáñáëëçëïãñüììïõ -Åìâáäü ôñáðåæßïõ

2

3 ÂéâëéïìÜèçìá ºóá ó Þìáôá ºóá ôñßãùíá ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç Åßäç ôåôñáðëåýñùí Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ Πως συγκρίνουµε δύο σχήµατα; Πότε δύο σχήµατα λέµε ότι είναι ίσα; Για να συγκρίνουµε δύο σχήµατα, απoτυπώνουµε το ένα σχήµα σε διαφανές χαρτί και τοποθετούµε το αποτύποµα του επάνω στο άλλο σχήµα, και εξετάζουµε εάν το ένα σχήµα συµπέσει µε το άλλο. Αν τα δύο σχήµατα που συγκρίνουµε συµπέσουν τότε λέµε ότι τα σχήµατα είναι ίσα. Στα ίσα σχήµατα τι λέµε αντίστοιχα σηµεία, τι αντίστοιχες πλευρές και τι αντίστοιχες γωνίες; Αν δύο σχήµατα είναι ίσα, τότε κάθε σηµείο του ενός σχήµατος µεταφέρεται µε το διαφανές χαρτί και ταυτίζεται µε ένα σηµείο του άλλου σχήµατος. Τα σηµεία αυτά των δύο ίσων σχηµάτων λέγονται αντίστοιχα σηµεία. Οι πλευρές δύο ίσων σχηµάτων οι οποίες αποτελούνται από αντίστοιχα σηµεία, λέγονται αντίστοιχες πλευρές των ίσων σχη- µάτων.οι γωνίες δύο ίσων σχηµάτων οι οποίες αποτελούνται από αντίστοιχα σηµεία, λέγονται αντίστοιχες γωνίες των ίσων σχηµάτων. Τι συµπεραίνουµε αν γνωρίζουµε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα; Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

4 70. Ευθύγραµµα σχήµατα Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; Αν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες µία προς µία µε τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται τραπέζιο; Ποιές είναι οι βάσεις του τραπεζίου και ποιό το ύψος του; Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο, το οποίο έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές του λέγονται βάσεις του τραπεζίου.η απόσταση των βάσεων του λέγεται ύψος του τραπεζίου. B Πότε ένα τραπέζιο ονοµάζεται ισοσκελές; Το τραπέζιο που έχει τις µη παράλληλες πλευρές του ίσες ονοµάζεται ισοσκελές τραπέζιο. Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται παραλληλόγραµµο; Τι ονοµάζουµε ύψος του παραλληλογράµµου; õ õ B Ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραµµο όταν έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Σ' ένα παραλληλόγραµµο κάθε πλευρά του µπορεί να θεωρηθεί ως βάση του. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά του παραλληλογράµµου καλείται αντίστοιχο ύψος. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο; Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες του τις γωνίες ορθές ονοµάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ή απλά ορθογώνιο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

5 Ευθύγραµµα σχήµατα 71. Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται ρόµβος; B Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες τις πλευρές του ίσες ονοµάζεται ρόµβος. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται τετράγωνο; Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες του τις πλευρές ίσες ονοµαζεται τετράγωνο. Ποιές είναι οι ιδιότητες του παραλλλογράµµου; Σε κάθε παραλληλόγραµµο ισχύουν τα εξής: α. Κάθε διαγώνιος το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα. β. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες ανά δύο. γ. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες ανά δύο. δ. Οι διαγώνιές του διχοτοµούνται. Πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο; (κριτήρια) Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο αν: α. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες ανά δύο. β. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες ανά δύο. γ. Οι διαγώνιες του διχοτοµούνται. 1) Όταν λέµε ότι οι διαγώνιες του παραλληλογράµµου (ή γενικότερα ότι δύο ευθ. τµήµατα) διχοτοµούνται εννοούµε ότι το σηµείο στο οποίο τέµνονται είναι µέσον και των δύο διαγωνίων (αντίστοιχα ευθυγράµµων τµηµάτων) ) Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου ισχύουν και για το ορθογώνιο, το ρόµβο και το τετράγωνο, αφού ως γνωστόν αυτά είναι παραλληλόγραµµα. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

6 7. Ευθύγραµµα σχήµατα ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, να κατασκευαστεί τρίγωνο ΚΛΜ τέτοιο ώστε ΑΒ = ΚΛ, ΒΓ = ΛΜ και ΑΓ = ΚΜ. Πάνω σε ευθεία ε παίρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΛΜ = ΒΓ. Με κέντρο το Λ και ακτίνα ΑΒ γράφουµε κύκλο. Με κέντρο το Μ και ακτίνα ίση µε ΑΓ γράφουµε κύκλο και έστω Κ τό ένα από τα σηµεία τοµής των κύκλων τότε το τρίγωνο ΚΛΜ είναι το ζητούµενο. Με κατάλληλη τοποθέτηση του αποτυπώµατος του τριγώνου ΑΒΓ πάνω στο τρίγωνο ΚΛΜ διαπιστώνουµε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι ίσα. ικαιολόγηση: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν: KΛ= ΑΒ, ΑΓ= ΚΜ και ΒΓ = ΛΜ άρα είναι ίσα (γιατί έχουν τις πλευρές τους µία προς µια ίσες) Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές: α. ΑΒ = 3cm, ΒΓ = 5cm και ΑΓ = 6cm β. ΑΒ = 3cm, ΒΓ = 10cm και ΑΓ = 6cm. α. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 5cm. Mε κέντρο το Β και αντίνα 3 cm γράφουµε κύκλο. Με κέντρο το Γ και ακτίνα 6cm γράφουµε κύκλο. Οι δύο κύκλοι τέµνονται σε δύο σηµεία και έστω Α το ένα εξ αυτών τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούµενο) β. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 10cm. Mε κέντρο το Β και αντίνα 3 cm γράφω κύκλο. Με κέντρο το Γ και ακτίνα 6cm γράφω κύκλο και παρατηρούµε ότι οι δύο κύκλοι δεν τέµνονται οπότε δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί το ζητούµενο τρίγωνο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

7 Ευθύγραµµα σχήµατα 73. Απο το παραπάνω παράδειγµα συµπεραίνουµε ότι για να είναι δυνατον να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β και γ πρέπει να ικανοποιούνται οι σχέσεις α < β + γ, β < α + γ και γ < α + β Η παραπάνω ιδιότητα λέγεται τριγωνική ανισότητα. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (µε ΑΒ = ΑΓ) και η διάµεσος του ΑΜ. Να δείξετε ότι: α. Tα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ είναι ίσα β. Β=Γ(οι ˆ ˆ παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες) γ. Η ΑΜ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΑ δ. Το ΑΜ είναι ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ α. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ έχουν τις πλευρές ΑΒ = ΑΓ (δεδοµένο) ΑΜ = ΑΜ ( κοινη πλευρά) και ΜΒ = ΜΓ (Μ είναι µέσον της πλευράς ΒΓ αφού ΑΜ διάµεσος). ηλαδή τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Αφού τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα θα έχουν και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες οπότε Βˆ = Γ,Α ˆ ˆ ˆ 1 = Α και Μ ˆ ˆ 1 = Μ. β. πό το i) ερώτηµα έχουµε Βˆ = Γˆ γ. Απο το i) έχουµε ότι Α ˆ ˆ 1 = Α οπότε η ΑΜ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΑ. δ. Από το i) έχουµε ˆ ˆ 0 Μ1 = Μ, επιπλέον όµως έχουµε Μˆ ˆ 1+ Μ = 180 άρα 0 Μˆ ˆ 1 = Μ = 90 οπότε ΑΜ είναι κάθετη στην ΒΓ, δηλαδή το ΑΜ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. ίνετε γωνία ˆ xy. Να κατασκευαστεί γωνία η οποία να είναι ίση µε την ˆ xy. 1) Έστω xy ˆ η δοσµένη γωνία. Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε κυκλο (Α,ρ) ο οποίος τέµνει τις πλευρές Αx, y της γωνίας xy ˆ στα σηµεία B, Γ αντίστοιχα. ) Γράφουµε µία ηµιευθεία Kx. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ (ίση µε την ακτίνα του (Α,ρ)) γράφω κύκλο ο οποίος τέµνει την ηµιευθεία Κx στο σηµείο. 3) Με κέντρο το και ακτίνα ρ = ΒΓ γράφουµε κύκλο και έστω Ε το ένα Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

8 74. Ευθύγραµµα σχήµατα από τα σηµεία στα οποία ο κύκλος αυτός τέµνει τον κύκλο (Κ,ρ). 4) Γράφουµε την ηµιευθεία ΚΕ. Η γωνία ΚΕ ˆ είναι ίση µε τη γωνία xy ˆ. ικαιολόγηση της κατασκευής. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΕ έχουν ΑΒ = Κ = ρ, ΑΓ = ΚΕ = ρ και ΒΓ = Ε = ρ δηλαδή δείξαµε ότι τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Έχουν εποµένως και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες δηλ xy ˆ = ΒΑΓ ˆ = ΚΕ ˆ ίνετε γωνία xy ˆ. Να κατασκευαστεί η διχοτόµος της. 1) Έστω xy ˆ η δοσµένη γωνία. ) Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε τον κύκλο (Α,ρ) ο οποίος τέµνει τις πλευρές x, y της γωνίας xy ˆ στα σηµεία Β, Γ αντίστοιχα. 3) Με κέντρα τα σηµεία Β, Γ και ακτίνα ρ η οποία να είναι µεγαλύτερη από το µισό του ΒΓ γράφουµε τους κύκλους (Β,ρ ) και (Γ,ρ ) και ονοµάζουµε το ένα από τα σηµεία τοµής τους. 4) Φέρνουµε την ηµιευθεία Α, ή οποία βρίσκεται µέσα στην γωνία και είναι η ζητούµενη διχοτόµος. ικαιολόγηση της κατασκευής. Τα τρίγωνα ΑΒ και Α Γ έχουν ΑΒ = ΑΓ = ρ, Γ = Β = ρ και Α κοινή πλευρά δηλαδή δείξαµε ότι τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Έχουν, επο- µένως, και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες οπότε ΒΑ ˆ = ΑΓ ˆ. Άρα η Α είναι διχοτόµος της γωνίας xy ˆ. B B y y x x Να κατασκευάσετε µε κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ = α και Β=φ ˆ ˆ όπου οι πλευρές α, γ καθώς και η γωνία ˆφ δίνονται στο διπλανό σχήµα. Κατασκευάζουµε γωνία xby ˆ = φˆ (βλ. άσκηση 4) και στην πλευρά Bx παίρνουµε ευθ. τµήµα ΒΓ = α και στην πλευρά Βy παίρνω ευθ. τµήµα ΒΑ = γ. Ενώνουµε το Α µε το Γ. Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ = α και Bˆ = φˆ άρα είναι το Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

9 Ευθύγραµµα σχήµατα 75. ζητούµενο Να κατασκευάσετε µε κανόνα και διαβήτη: α. ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α, όπου α γνωστό ευθύγραµµο τµήµα 0 β. γωνία ω=60 ˆ 0 γ. γωνία φ=30 ˆ α. Σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = α. Με κέντρο το Β και ακτίνα ίση µε α γράφουµε τον κύκλο (Β,α). Με κέντρο το Γ και ακτίνα ίση µε α γράφουµε τον κύκλο (Γ,α).Ονοµάζουµε Α το ένα από τα σηµεία τοµής των δύο κύκλων οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούµενο ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά α. ικαιολόγηση. Το τρίγωνο που κατασκευάσαµε έχει και Â τις τρείς πλευρές του ίσες µεταξύ τους και ίσες µε το δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα α β. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οπότε θα έχει και τις τρείς γωνίες του ίσες. Ως γνωστόν είναι 60 0 η κάθε µία οπότε η ζητούµενη γωνία ˆω= 60 0 είναι µία από τις 0 γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ έστω η ˆΒ= 60. γ. Για να κατασκευάσουµε µία γωνία ˆφ = 30 0 φέρνουµε την διχοτόµο της γωνίας ˆΒ 60 0 = (βλ. άσκηση 5). Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, στο οποίο να είναι ΑΒ = 6cm, Α = 4cm και ˆ 0 Α=65. 0 Κατασκευάζουµε γωνία xy ˆ = 65 Στην ηµιευθεία Αx παίρνουµε τµήµα ΑΒ = 6cm και στην ηµιευθεία y παίρνουµε τµήµα Α = 4cm. Από το σηµείο Β φέρνουµε ευθεία παράλληλη της Αy και από το σηµείο φέρνουµε ευθεία παράλληλη της Αx, και έστω Γ το σηµείο τοµής των δύο ευθειών. Τότε το τετράπλευρο ΑΒΓ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες (από κατασκευή) οπότε είναι παραλληλόγραµ- 0 µο και επιπλέον ΑΒ = 6cm, Α = 4cm και Â = 65. Άρα είναι το ζητούµενο παραλληλόγραµµο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του ρόµβου στο παρακάτω σχήµα. Επειδή το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ρόµβος έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

10 76. Ευθύγραµµα σχήµατα Άρα Α = Γ οπότε το τρίγωνο Α Γ είναι ισοσκελές και ˆ 0 0 ˆΓ1 = Α1 = 35. Όµως Αˆ ˆ = Γ1 = 35 ώς εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ, Γ τεµνοµένων από την ΑΓ και Αˆ = Αˆ ˆ 1+ Α = = 70. Επειδή ˆΓ= Αˆ ως απέναντι 0 γωνίες παραλληλογράµµου συµπεραίνουµε ότι ˆΓ= Αˆ = 70. H ˆ είναι παραπληρωµατική της ˆΓ ως εντός και επι ταυτά των παραλλήλων Α, ΒΓ τεµνοµένων από την Γ άρα ˆ = οπότε και ˆΒ= ˆ = 110 (ως απέναντι γωνίες παραλληλογράµµου). Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ. Να φέρετε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρήτε; Σχεδιάζουµε µία ορθή γωνία xy ˆ και από ένα σηµείο Β της πλευράς Αx φέρνουµε παράλληλη της y. Από ένα σηµείο της πλευράς y φέρνουµε παράλληλη της x και έστω Γ το σηµείο στο οποίο τέµνονται οι παράλληλες. Το τετράπλερο ΑΒΓ που σχηµατίστηκε είναι το ζητούµενο ορθογώνιο (παρα/µµο µε ορθές γωνίες). Σχεδιάζουµε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και µε το διαβήτη ή µε το υποδεκάµετρο διαπιστώνουµε ότι ΑΓ = Β Να κατασκευάσετε έναν ρόµβο ΑΒΓ,να φέρετε τις διαγωνίους του και να µετρήσετε την γωνία που σχηµατίζουν. Σχεδιάζουµε µία γωνία xy. Στην πλευρά x παίρνουµε ευθ. τµήµα ΑΒ. Στην πλευρά Αy παίρνουµε ευθ. τµήµα Α = ΑΒ. Από το φέρνουµε παράλληλη της Αx Από το Β φέρνουµε παράλληλη της Αy και έστω Γ το σηµείο τοµής των παραλλήλων ευθειών που φέραµε. Το τετράπλευρο ΑΒΓ που κατασκευάστηκε είναι παραλληλόγραµµο (έχει τις απέναντι πλευρές του παρ/λες) και έχει όλες τις πλευρές του ίσες άρα είναι ρόµβος. Σχεδιάζουµε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και διαπιστώνουµε ότι η ΑΓ είναι κάθετη στην Β. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

11 Ευθύγραµµα σχήµατα 77. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 5cm, Γ = 1cm και ύψος ΑΚ = 6cm. Γράφουµε δύο παράλληλες ευθείες ε 1, ε οι οποίες απέχουν µεταξύ τούς 6cm. Στην ευθεία ε 1 παίρνουµε ευθ. τµή- µα ΑΒ = 5cm και στην ευθεία ε ευθ. τµήµα Γ = 1cm. Το τετράπλευρο ΑΒΓ που σχηµατίζεται είναι τραπέζιο µε µεγάλη βάση την Γ = 1cm µικρή βάση ΑΒ = 5cm και ύψος ΑΚ = 6cm είναι το ζητούµενο τραπέζιο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

12 78. Ευθύγραµµα σχήµατα 1. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές: α. ΑΒ = 5cm, ΒΓ = 8cm και ΑΓ = 9cm. β. ΑΒ = 8cm, ΒΓ = 0cm και ΑΓ = 10cm.. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = 4cm, ΒΓ = 5cm, και ΑΓ = 3cm και να µετρήσετε την γωνία του Α. Τι τρίγωνο είναι το ΑΒΓ; 3. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 4cm και κατόπιν να σχεδιάσετε το ύψος του ΑΜ και να µετρήσετε τα ευθ. τµήµατα ΒΜ, ΓΜ τι παρατηρήτε; 4. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά ΒΓ = 3cm και ΑΒ = ΑΓ = 8cm. 5. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Να φέρετε τα ύψη, τις διαµέσους και τις διχοτόµους των γωνιών του τριγώνου. Τι παρατηρείτε; 6. Να γράψετε κύκλο (Κ,ρ). Αν ΑΒ, Γ δύο ισές χορδές του κύκλου (Κ,ρ). Να δικαιολογίσετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΓ είναι ίσα. β. Οι γωνίες ˆ ΑΚΒ και ˆ ΚΓ είναι ίσες. 7. ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και σηµείο Σ του επιπέδου τέτοιο ώστε ΣΑ = ΣΒ να δείξετε ότι το σηµείο Σ βρίσκεται πάνω στην µεσοκάθετο του ΑΒ. 8. Με τον κανόνα και τον διαβήτη να κατασκευάσετε ίσα σχήµατα µε τα παρακάτω: Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

13 Ευθύγραµµα σχήµατα Να σχεδιάσετε δύο γωνίες εφεξής και παραπληρωµατικες. Να φέρετε τις διχοτό- µους των γωνιών αυτών. Τι γωνία σχηµατίζουν οι διχοτόµοι; 10. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε βάση ΒΓ = 5 cm και ίσες πλευρές ΑΒ = ΑΓ= 9 cm. Να σχεδιάσετε τις διχοτόµους των γωνιών του. 11. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 4 cm.να σχεδιάσετε τις διχοτόµους των γωνιών του. 1. ίνετε η γωνία ω του διπλανού σχήµατος. Να κατασκευάσετε: α. γωνία ˆ 1 1 xy = ωˆ β. γωνία ẑ = ωˆ γ. γωνία φˆ = ωˆ Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, στο οποίο να είναι ΑΒ = 5cm, Α = 3cm και ˆΑ = Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε τα ύψη του. 14. α. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 3cm, Γ = 5cm και ύψος ΑΚ = 4cm. β. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 4cm, Γ = 6cm πλευρά Α = 5cm και ˆ = 60 0 ù Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ ( Αˆ = ˆ = 90 ) το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 3cm, Γ = 5cm πλευρά Α = 4 cm 16. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει µεγάλη βάση Γ = 8cm, ˆ ˆ 0 = Γ= 60 και µη παράλληλες πλευρές Α = ΒΓ = 4 cm. α. να µετρήσετε τις γωνίες Α,Β ˆ ˆ του τραπεζίου. β. να φέρετε τις διαγωνίους του τραπεζίου και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρείτε; 17. Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ µε ΑΒ = 7cm και Α = 5cm. Να φέρετε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρείτε; 18. Να κατασκευστεί ρόµβος µε πλευρά ΑΒ =10cm και γωνία ˆΑ 50 0 =. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

14 80. Ευθύγραµµα σχήµατα 19. Να κατασκευστεί ρόµβος µε πλευρά ΑΒ = 8cm και γωνία ˆΑ = Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε την διαγώνιο Β του ρόµβου. Τι παρατηρείτε; 0. Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ η περίµετρος είναι ίση µε 44cm και η πλευρά του ΑΒ είναι 11cm. Να αποδείξετε ότι είναι ρόµβος και κατόπιν να κατασκευάσετε το ρόµβο. Â 1. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράµ- µου ΑΒΓ στο διπλανό σχήµα Nα σχεδιάσετε έναν κύκλο (Ο,ρ) και µία ακτίνα του ΟΑ. Αν η µεσοκάθετος της ΟΑ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Κ,Λ να σχεδιάσετε το τετράπλευρο ΟΚΑΛ, να µετρήσετε τις πλευρές του και να παρατηρήσετε ότι είναι ρόµβος. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

15 Ευθύγραµµα σχήµατα 81. Ερώτηση 1 α. Πότε ένα τετράπλευρο λέγετε παραλληλόγραµµο; β. Ποιές είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου; γ. Πότε ένα παραλληλόγραµµο είναι ορθογώνιο, ρόµβος ή τετράγωνο; Ερώτηση α. Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται τραπέζιο και πoιές είναι οι βάσεις του τραπεζίου; β. Πότε ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές ; Άσκηση 1 Να κατασκευάσετε γωνία 64 ο και κατόπιν µε κανόνα και διαβήτη να φέρετε τη διχοτόµο της. Άσκηση Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ στο οποίο να είναι ΑΒ = 7cm, = 4cm και ˆΑ 60 0 =. Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε τα ύψη του. Άσκηση 3 Να κατασκευάσετε ένα τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ = 4cm, Γ = 10cm και ύψος ΑΚ = 5cm. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

16

17 Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός τριγώνου; Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο µε το µισό του γινοµένου της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος, δηλαδή: 1 Ε = β υ õ õ B B B Å ¾øïò ÂÜóç Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου; Το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου είναι ίσο µε το γινόµενο µιάς βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος. Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός τραπεζίου; Το εµβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο µε το ηµιάθροισµα των βάσεων του επί το ύψος του, δηλαδή: Ε = ( Β+ ) β υ

18 84. Ευθύγραµµα σχήµατα Nα υπολογίσετε το εµβαδόν ενος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, όταν δίνονται τα µήκη των κάθετων πλευρών του: α. ΑΒ = 3, m και ΑΓ =,m β. ΑΒ = 5 cm και ΑΓ = 60 mm ΑΒ ΑΓ α. Το εµβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου δίνεται από τον τύπο Ε = οπότε 3,, κάνοντας αντικατάσταση έχουµε Ε = = 3,5m β. Πρέπει πρώτα να µετατρέψουµε τις µονάδες µέτρησης ΑΒ = 5cm και ΑΓ = 60mm = 6cm B Γ 5 6 οπότε έχουµε Ε = = = 15cm Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 64 cm και ένα από τα ύψη του είναι 40mm. Να υπολογιστεί η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί αυτό το ύψος. Από υπόθεση έχουµε Ε = 64 cm και υ = 40mm = 4cm οπότε: Θέτουµε ΒΓ = β 1 Ε = β υ 1 64 = β = β 64 = β β = 64: β = 3cm Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

19 Ευθύγραµµα σχήµατα 85. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν 800mm. ν B = Γ = 5cm και ΒΓ = 8cm να υπολογιστούν τα ύψη του. Από υπόθεση έχουµε E = 800mm = 8cm, B = Γ = 5cm, ΒΓ = 8cm οπότε β υ Ε = 8 υ 8 = 8 = 4 υ υ= 8:4 Bτ = cm β υ Ε = 5 υ 8 = 8 =, 5 υ υ= 8:,5 υ= 3,cm = 3,cm ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 0,6m, ΒΓ = 10dm και Ε = 4dm. Nα βρείτε: α. την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. β. το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Αν πάρουµε ως βάση την µία κάθετη πλευρά τότε ύψος θα είναι ή άλλη κάθετη πλευρά οπότε Ε = 4dm και β = 0,6m = 6dm. Αντικαθιστώντας έχουµε: ΑΒ ΑΓ Ε = 6 ΑΓ 4 = 4 = 3 ΑΓ ΑΓ = 4 : 3 ΑΓ = 8 ΒΓ Α Ε = 10 Α 4 = 4 = 5 Α Α = 4 : 5 Α = 4,8 Να βρεθεί το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που έχει βάση β = 5,8 και ύψος υ = 3mm. Ισχύει β = 5,8cm = 58mm και υ = 3mm. Άρα Ε = β.υ = 58mm.3mm = 1856mm Ένα παραλληλόγραµµο και ένα ορθογώνιο έχουν το ίδιο εµβαδόν και την ίδια περίµετρο. Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις 6cm και 8cm. Αν η µία πλευρά του παραλληλογράµµου είναι 4 cm, να βρεθούν τα ύψη του. Η περίµετροςκαι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι: Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

20 86. Ευθύγραµµα σχήµατα Π = = = 8m και E = 6.8 = 48cm αντίστοιχα. Από υπόθεση όµως το ορθογώνιο και το παραλληλόγραµµο έχουν το ίδιο εµβαδόν και την ίδια περίµετρο δηλαδή Π παρ = Π ορθ = 8 Ε παρ = Ε ορθ = 48 άρα: Ππαρ. = x+ 4 8 = x = x x = 0 x = 0: x = 10 Ε = 4 υ 1 1 ορθ = 4υ 1 υ = 48:4 υ = 1 Ε = x υ 1 48 = 10 υ 48 :10 = υ υ = 4,8 Τετράγωνο πλευράς α = 5cm, έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα παραλληλόγραµµο πλευράς15mm. Να βρεθεί το ύψος του παραλληλογράµµου σε cm Επειδή το τετράγωνο εχει πλευρά α = 5cm το εµβαδόν του θα είναι Ε = α α = 5cm 5cm = 5cm και επειδή το τετράγωνο έχει ίσο εµβαδόν µε το παραλληλόγραµµο θα πρέπει: Eτετρ. = Eπαρ. 5 = 1, 5 υ υ= 5:1,5 υ= cm Να υπολογίσετε το ύψος ενός τραπεζίου όταν δίνονται: α. Β = 1,4cm, β = 7,6cm και Ε = 3cm. β. Β = 66mm, β = 3,4cm και Ε = 10,5cm. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

21 Ευθύγραµµα σχήµατα 87. β+ Β α. Ε = υ 1,4 + 7,6 3 = υ 3= 10 υ υ= 3:10 υ= 3, 7,6cm B E=3cm 1,4cm β. B = 66mm = 6,6cm K 3,4cm Ë β+ Β Ε = υ 6,6 + 3, 4 10, 5 = υ 10, 5 = 5 υ υ= 10,5:5 υ=,1 N E = 10,5cm 66mm = 6,6cm M H µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι πενταπλάσια από την µικρή βάση. Αν το ύψος του τραπεζίου είναι,5cm και το εµβαδόν 75 cm. Να υπολογιστούν οι δύο βάσεις του. Έστω x η µικρή βάση του τραπεζίου, τότε επειδή η µεγάλη βάση του τραπεζίου είναι πενταπλάσια της µικρής θα ισχύει Β = 5x και υ =,5cm, Ε = 75cm οπότε β+ Β Ε = υ 5x + x 75 =, 5 6x 75 =, 5 75 = 3x, 5 75 = 7, 5x x = 75:7,5 x = 10 Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

22 88. Ευθύγραµµα σχήµατα 1. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα:. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα: cm x E = 4cm y  x 3cm  E = 45cm E = 0cm 5cm cm x  4cm 5cm 4cm E=; 6cm 3cm x  y 5cm E=; 6cm 8cm  x y Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

23 Ευθύγραµµα σχήµατα Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα: 7cm H Â 4. Αν το εµβαδόν του τραπεζίου είναι 50cm να βρείτε το ύψος του τραπεζίου και το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΗΖΕ (ΑΒ = 7, Γ = 13). E 13cm Z 5. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν να υπολογίσετε τα µήκη x,y. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

24 90. Ευθύγραµµα σχήµατα 6. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν,και η περίµετρος του ορθογωνίου είναι 14 m να βρείτε: α. το µήκος x β. το εµβαδόν του ορθογωνίου και του τριγώνου. γ. το µήκος y.  x cm 5cm  y 7. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν να υπολογίσετε τα µήκη x, y, z και να να βρείτε την περίµετρο του τριγώνου.  z 6cm x cm  4cm 3cm y 9cm 8. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 4cm. ν το ύψος του Α είναι 3cm, να βρεθεί η αντίστοιχη βάση. 9. ν η βάση ενός τριγώνου είναι διπλάσια από το αντίστοιχο ύψος και το εµβαδόν του είναι 16 cm, να βρεθούν η βάση και το αντιστοιχο ύψος του. 10. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν Ε = 48 cm και το ένα ύψος του είναι 80mm. Να βρεθεί η αντίστοιχη βάση. 11. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 30mm και 4cm και υποτείνουσα 5cm. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

25 Ευθύγραµµα σχήµατα Oι βάσεις ενος τραπεζίου διαφέρουν κατα 4cm και το ύψος του είναι υ = 1cm. Αν το εµβαδόν του είναι Ε = 10cm, να βρεθούν οι βάσεις του. 13. Ένα παραλληλόγραµµο έχει εµβαδόν 8 cm και περίµετρο 4cm. Αν η µία πλευρά του είναι 7cm να βρεθεί η άλλη πλευρά του και τα ύψη του. 14. Η µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι τριπλάσια από την µικρή. Αν το ύψος του είναι,cm και το εµβαδόν του 44 cm, να βρεθούν οι δύο βάσεις του. 15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίµετρο 8cm και εµβαδόν 4cm. Αν η βάση του είναι 8 cm να υπολογιστούν οι ίσες πλευρές και τα ύψη του τριγώνου. 16. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (είναι ΑΒ = 5cm ΑΓ = 1cm και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ΑΚ = 4,6cm. Να υπολογίσετε το µήκος της υποτείνουσας. 17. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (είναι ΑΓ = 1cm). Αν το εµβαδό του είναι 96cm, να υπολογίσετε την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. 18. Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι 18dm και ένα από τα ύψη του είναι 300mm. Να υπολογιστεί η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί το ύψος αυτό. 19. Ένα τετράγωνο έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα τρίγωνο. Αν η βάση του τριγώνου είναι 1,5cm και το αντίστοιχο ύψος 4cm, να υπολογιστούν το εµβαδόν του τριγώνου, η πλευρά του τετραγώνου και η περίµετρος του τετραγώνου. 0. ν το ύψος ενός τριγώνου είναι τετραπλάσιο από την αντίστοιχη βάση και το εµβαδόν είναι 50cm, να βρεθούν η βάση και το αντίστοιχο ύψος του τριγώνου. 1. Η περίµετρος ενός παραλληλογράµµου είναι 10cm και η µία πλευρά του 0cm. Αν το εµβαδόν του είναι 40cm, να υπολογίσετε τα ύψη του παραλληλογράµµου. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

26 9. Ευθύγραµµα σχήµατα. Να βρεθεί το εµβαδόν του οικοπέδου ΑΒΓ Ε αν ΒΕ = 50m, ΑΗ = 10m, Ζ = 7m και ΒΓ = 5m. Â Ç Z Å 3. Η περίµετρος ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 18m και το ύψος του 5,196m. Να βρείτε το εµβαδό του. 4. Θέλουµε να στρώσουµε το σαλόνι του σπιτιού µας σχήµατος ορθογωνίου, που έχει µήκος 10,56m και πλάτος 4,96m, µε τετράγωνα πλακάκια πλευράς 0,3m. Πόσο είναι το εµβαδό του δωµατίου, του πλακακιού και πόσα πλακάκια θα χρειαστού- µε; 5. Ο κ. Βαγγέλης έβαλε τζάµια µε διαστάσεις 1,85m και 1,15m στις 5 µπαλκονόπορτες του καινούριου σπιτιού του. Πόσα θα πληρώσει, αν το κάθε τετραγωνικό µέτρο τζαµιού στοιχίζει 30 ; 6. Ο κήπος του σχολείου σχήµατος ορθογωνίου έχει εµβαδό 81,875m. Αν το µήκος του είναι 1,5m,πόσα µέτρα είναι το πλάτος του; Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

27 Ευθύγραµµα σχήµατα 93. Ερώτηση 1 Να δείξετε ότι το εµβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε το ηµιγινόµενο των κάθετων πλευρών του. Ερώτηση α. Πως υπολογίζεται το εµβαδόν τριγώνου και του παραλληλογράµµου; β. Πως υπολογίζεται το εµβαδόν του τραπεζίου; Άσκηση 1 Να υπολογιστεί το εµβαδόν τραπεζίου µε µεγάλη βάση 35cm και µικρή βάση κατά 8cm µικρότερη, αν το ύψος του τραπεζίου είναι 10cm. Άσκηση Να υπολογισθούν τα ύψη παραλληλογράµµου, που έχει µία πλευρά 5cm, περίµετρο 6cm και εµβαδόν 0cm. Άσκηση 3 Να υπολογιστεί το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου, που έχει κάθετες πλευρές 6cm, 8cm και υποτείνουσα 10cm. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

28

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο 14 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο _18997 ΘΕΜΑ Β Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράµπα του παρακάτω σχήµατος. α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Α. Έστω Α η διχοτόµος της γωνίας A ) ενός τριγώνου ΑΒΓ. Από το Β φέρνουµε την παράλληλη προς την Α και έστω Ε το σηµείο τοµής της µε την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής 1998 Β Γυµνασίου

Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να βρεθούν όλες οι πραγµατικές ρίζες της εξίσωσης 2 42 x + x= 2 x + x+ 1. Θαλής 1998 Α Λυκείου Έστω ότι για τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει α+ β β+ γ γ + α αβ γ + βγ α + γα β = 0. 2

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός 222223 444441 222220+ 222216 2 222222 είναι ακέραιος. Να βρεθεί ο ακέραιος αυτός. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 είναι πολλαπλάσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Όταν ήμουν χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα