ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ"

Transcript

1 ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü ðáñáëëçëïãñüììïõ -Åìâáäü ôñáðåæßïõ

2

3 ÂéâëéïìÜèçìá ºóá ó Þìáôá ºóá ôñßãùíá ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç Åßäç ôåôñáðëåýñùí Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ Πως συγκρίνουµε δύο σχήµατα; Πότε δύο σχήµατα λέµε ότι είναι ίσα; Για να συγκρίνουµε δύο σχήµατα, απoτυπώνουµε το ένα σχήµα σε διαφανές χαρτί και τοποθετούµε το αποτύποµα του επάνω στο άλλο σχήµα, και εξετάζουµε εάν το ένα σχήµα συµπέσει µε το άλλο. Αν τα δύο σχήµατα που συγκρίνουµε συµπέσουν τότε λέµε ότι τα σχήµατα είναι ίσα. Στα ίσα σχήµατα τι λέµε αντίστοιχα σηµεία, τι αντίστοιχες πλευρές και τι αντίστοιχες γωνίες; Αν δύο σχήµατα είναι ίσα, τότε κάθε σηµείο του ενός σχήµατος µεταφέρεται µε το διαφανές χαρτί και ταυτίζεται µε ένα σηµείο του άλλου σχήµατος. Τα σηµεία αυτά των δύο ίσων σχηµάτων λέγονται αντίστοιχα σηµεία. Οι πλευρές δύο ίσων σχηµάτων οι οποίες αποτελούνται από αντίστοιχα σηµεία, λέγονται αντίστοιχες πλευρές των ίσων σχη- µάτων.οι γωνίες δύο ίσων σχηµάτων οι οποίες αποτελούνται από αντίστοιχα σηµεία, λέγονται αντίστοιχες γωνίες των ίσων σχηµάτων. Τι συµπεραίνουµε αν γνωρίζουµε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα; Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

4 70. Ευθύγραµµα σχήµατα Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; Αν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες µία προς µία µε τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται τραπέζιο; Ποιές είναι οι βάσεις του τραπεζίου και ποιό το ύψος του; Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο, το οποίο έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές του λέγονται βάσεις του τραπεζίου.η απόσταση των βάσεων του λέγεται ύψος του τραπεζίου. B Πότε ένα τραπέζιο ονοµάζεται ισοσκελές; Το τραπέζιο που έχει τις µη παράλληλες πλευρές του ίσες ονοµάζεται ισοσκελές τραπέζιο. Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται παραλληλόγραµµο; Τι ονοµάζουµε ύψος του παραλληλογράµµου; õ õ B Ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραµµο όταν έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Σ' ένα παραλληλόγραµµο κάθε πλευρά του µπορεί να θεωρηθεί ως βάση του. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά του παραλληλογράµµου καλείται αντίστοιχο ύψος. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο; Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες του τις γωνίες ορθές ονοµάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ή απλά ορθογώνιο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

5 Ευθύγραµµα σχήµατα 71. Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται ρόµβος; B Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες τις πλευρές του ίσες ονοµάζεται ρόµβος. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται τετράγωνο; Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες του τις πλευρές ίσες ονοµαζεται τετράγωνο. Ποιές είναι οι ιδιότητες του παραλλλογράµµου; Σε κάθε παραλληλόγραµµο ισχύουν τα εξής: α. Κάθε διαγώνιος το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα. β. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες ανά δύο. γ. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες ανά δύο. δ. Οι διαγώνιές του διχοτοµούνται. Πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο; (κριτήρια) Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο αν: α. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες ανά δύο. β. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες ανά δύο. γ. Οι διαγώνιες του διχοτοµούνται. 1) Όταν λέµε ότι οι διαγώνιες του παραλληλογράµµου (ή γενικότερα ότι δύο ευθ. τµήµατα) διχοτοµούνται εννοούµε ότι το σηµείο στο οποίο τέµνονται είναι µέσον και των δύο διαγωνίων (αντίστοιχα ευθυγράµµων τµηµάτων) ) Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου ισχύουν και για το ορθογώνιο, το ρόµβο και το τετράγωνο, αφού ως γνωστόν αυτά είναι παραλληλόγραµµα. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

6 7. Ευθύγραµµα σχήµατα ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, να κατασκευαστεί τρίγωνο ΚΛΜ τέτοιο ώστε ΑΒ = ΚΛ, ΒΓ = ΛΜ και ΑΓ = ΚΜ. Πάνω σε ευθεία ε παίρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΛΜ = ΒΓ. Με κέντρο το Λ και ακτίνα ΑΒ γράφουµε κύκλο. Με κέντρο το Μ και ακτίνα ίση µε ΑΓ γράφουµε κύκλο και έστω Κ τό ένα από τα σηµεία τοµής των κύκλων τότε το τρίγωνο ΚΛΜ είναι το ζητούµενο. Με κατάλληλη τοποθέτηση του αποτυπώµατος του τριγώνου ΑΒΓ πάνω στο τρίγωνο ΚΛΜ διαπιστώνουµε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι ίσα. ικαιολόγηση: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν: KΛ= ΑΒ, ΑΓ= ΚΜ και ΒΓ = ΛΜ άρα είναι ίσα (γιατί έχουν τις πλευρές τους µία προς µια ίσες) Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές: α. ΑΒ = 3cm, ΒΓ = 5cm και ΑΓ = 6cm β. ΑΒ = 3cm, ΒΓ = 10cm και ΑΓ = 6cm. α. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 5cm. Mε κέντρο το Β και αντίνα 3 cm γράφουµε κύκλο. Με κέντρο το Γ και ακτίνα 6cm γράφουµε κύκλο. Οι δύο κύκλοι τέµνονται σε δύο σηµεία και έστω Α το ένα εξ αυτών τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούµενο) β. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 10cm. Mε κέντρο το Β και αντίνα 3 cm γράφω κύκλο. Με κέντρο το Γ και ακτίνα 6cm γράφω κύκλο και παρατηρούµε ότι οι δύο κύκλοι δεν τέµνονται οπότε δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί το ζητούµενο τρίγωνο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

7 Ευθύγραµµα σχήµατα 73. Απο το παραπάνω παράδειγµα συµπεραίνουµε ότι για να είναι δυνατον να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β και γ πρέπει να ικανοποιούνται οι σχέσεις α < β + γ, β < α + γ και γ < α + β Η παραπάνω ιδιότητα λέγεται τριγωνική ανισότητα. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (µε ΑΒ = ΑΓ) και η διάµεσος του ΑΜ. Να δείξετε ότι: α. Tα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ είναι ίσα β. Β=Γ(οι ˆ ˆ παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες) γ. Η ΑΜ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΑ δ. Το ΑΜ είναι ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ α. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ έχουν τις πλευρές ΑΒ = ΑΓ (δεδοµένο) ΑΜ = ΑΜ ( κοινη πλευρά) και ΜΒ = ΜΓ (Μ είναι µέσον της πλευράς ΒΓ αφού ΑΜ διάµεσος). ηλαδή τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Αφού τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα θα έχουν και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες οπότε Βˆ = Γ,Α ˆ ˆ ˆ 1 = Α και Μ ˆ ˆ 1 = Μ. β. πό το i) ερώτηµα έχουµε Βˆ = Γˆ γ. Απο το i) έχουµε ότι Α ˆ ˆ 1 = Α οπότε η ΑΜ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΑ. δ. Από το i) έχουµε ˆ ˆ 0 Μ1 = Μ, επιπλέον όµως έχουµε Μˆ ˆ 1+ Μ = 180 άρα 0 Μˆ ˆ 1 = Μ = 90 οπότε ΑΜ είναι κάθετη στην ΒΓ, δηλαδή το ΑΜ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. ίνετε γωνία ˆ xy. Να κατασκευαστεί γωνία η οποία να είναι ίση µε την ˆ xy. 1) Έστω xy ˆ η δοσµένη γωνία. Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε κυκλο (Α,ρ) ο οποίος τέµνει τις πλευρές Αx, y της γωνίας xy ˆ στα σηµεία B, Γ αντίστοιχα. ) Γράφουµε µία ηµιευθεία Kx. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ (ίση µε την ακτίνα του (Α,ρ)) γράφω κύκλο ο οποίος τέµνει την ηµιευθεία Κx στο σηµείο. 3) Με κέντρο το και ακτίνα ρ = ΒΓ γράφουµε κύκλο και έστω Ε το ένα Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

8 74. Ευθύγραµµα σχήµατα από τα σηµεία στα οποία ο κύκλος αυτός τέµνει τον κύκλο (Κ,ρ). 4) Γράφουµε την ηµιευθεία ΚΕ. Η γωνία ΚΕ ˆ είναι ίση µε τη γωνία xy ˆ. ικαιολόγηση της κατασκευής. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΕ έχουν ΑΒ = Κ = ρ, ΑΓ = ΚΕ = ρ και ΒΓ = Ε = ρ δηλαδή δείξαµε ότι τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Έχουν εποµένως και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες δηλ xy ˆ = ΒΑΓ ˆ = ΚΕ ˆ ίνετε γωνία xy ˆ. Να κατασκευαστεί η διχοτόµος της. 1) Έστω xy ˆ η δοσµένη γωνία. ) Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε τον κύκλο (Α,ρ) ο οποίος τέµνει τις πλευρές x, y της γωνίας xy ˆ στα σηµεία Β, Γ αντίστοιχα. 3) Με κέντρα τα σηµεία Β, Γ και ακτίνα ρ η οποία να είναι µεγαλύτερη από το µισό του ΒΓ γράφουµε τους κύκλους (Β,ρ ) και (Γ,ρ ) και ονοµάζουµε το ένα από τα σηµεία τοµής τους. 4) Φέρνουµε την ηµιευθεία Α, ή οποία βρίσκεται µέσα στην γωνία και είναι η ζητούµενη διχοτόµος. ικαιολόγηση της κατασκευής. Τα τρίγωνα ΑΒ και Α Γ έχουν ΑΒ = ΑΓ = ρ, Γ = Β = ρ και Α κοινή πλευρά δηλαδή δείξαµε ότι τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Έχουν, επο- µένως, και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες οπότε ΒΑ ˆ = ΑΓ ˆ. Άρα η Α είναι διχοτόµος της γωνίας xy ˆ. B B y y x x Να κατασκευάσετε µε κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ = α και Β=φ ˆ ˆ όπου οι πλευρές α, γ καθώς και η γωνία ˆφ δίνονται στο διπλανό σχήµα. Κατασκευάζουµε γωνία xby ˆ = φˆ (βλ. άσκηση 4) και στην πλευρά Bx παίρνουµε ευθ. τµήµα ΒΓ = α και στην πλευρά Βy παίρνω ευθ. τµήµα ΒΑ = γ. Ενώνουµε το Α µε το Γ. Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ = α και Bˆ = φˆ άρα είναι το Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

9 Ευθύγραµµα σχήµατα 75. ζητούµενο Να κατασκευάσετε µε κανόνα και διαβήτη: α. ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α, όπου α γνωστό ευθύγραµµο τµήµα 0 β. γωνία ω=60 ˆ 0 γ. γωνία φ=30 ˆ α. Σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = α. Με κέντρο το Β και ακτίνα ίση µε α γράφουµε τον κύκλο (Β,α). Με κέντρο το Γ και ακτίνα ίση µε α γράφουµε τον κύκλο (Γ,α).Ονοµάζουµε Α το ένα από τα σηµεία τοµής των δύο κύκλων οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούµενο ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά α. ικαιολόγηση. Το τρίγωνο που κατασκευάσαµε έχει και Â τις τρείς πλευρές του ίσες µεταξύ τους και ίσες µε το δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα α β. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οπότε θα έχει και τις τρείς γωνίες του ίσες. Ως γνωστόν είναι 60 0 η κάθε µία οπότε η ζητούµενη γωνία ˆω= 60 0 είναι µία από τις 0 γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ έστω η ˆΒ= 60. γ. Για να κατασκευάσουµε µία γωνία ˆφ = 30 0 φέρνουµε την διχοτόµο της γωνίας ˆΒ 60 0 = (βλ. άσκηση 5). Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, στο οποίο να είναι ΑΒ = 6cm, Α = 4cm και ˆ 0 Α=65. 0 Κατασκευάζουµε γωνία xy ˆ = 65 Στην ηµιευθεία Αx παίρνουµε τµήµα ΑΒ = 6cm και στην ηµιευθεία y παίρνουµε τµήµα Α = 4cm. Από το σηµείο Β φέρνουµε ευθεία παράλληλη της Αy και από το σηµείο φέρνουµε ευθεία παράλληλη της Αx, και έστω Γ το σηµείο τοµής των δύο ευθειών. Τότε το τετράπλευρο ΑΒΓ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες (από κατασκευή) οπότε είναι παραλληλόγραµ- 0 µο και επιπλέον ΑΒ = 6cm, Α = 4cm και Â = 65. Άρα είναι το ζητούµενο παραλληλόγραµµο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του ρόµβου στο παρακάτω σχήµα. Επειδή το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ρόµβος έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

10 76. Ευθύγραµµα σχήµατα Άρα Α = Γ οπότε το τρίγωνο Α Γ είναι ισοσκελές και ˆ 0 0 ˆΓ1 = Α1 = 35. Όµως Αˆ ˆ = Γ1 = 35 ώς εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ, Γ τεµνοµένων από την ΑΓ και Αˆ = Αˆ ˆ 1+ Α = = 70. Επειδή ˆΓ= Αˆ ως απέναντι 0 γωνίες παραλληλογράµµου συµπεραίνουµε ότι ˆΓ= Αˆ = 70. H ˆ είναι παραπληρωµατική της ˆΓ ως εντός και επι ταυτά των παραλλήλων Α, ΒΓ τεµνοµένων από την Γ άρα ˆ = οπότε και ˆΒ= ˆ = 110 (ως απέναντι γωνίες παραλληλογράµµου). Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ. Να φέρετε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρήτε; Σχεδιάζουµε µία ορθή γωνία xy ˆ και από ένα σηµείο Β της πλευράς Αx φέρνουµε παράλληλη της y. Από ένα σηµείο της πλευράς y φέρνουµε παράλληλη της x και έστω Γ το σηµείο στο οποίο τέµνονται οι παράλληλες. Το τετράπλερο ΑΒΓ που σχηµατίστηκε είναι το ζητούµενο ορθογώνιο (παρα/µµο µε ορθές γωνίες). Σχεδιάζουµε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και µε το διαβήτη ή µε το υποδεκάµετρο διαπιστώνουµε ότι ΑΓ = Β Να κατασκευάσετε έναν ρόµβο ΑΒΓ,να φέρετε τις διαγωνίους του και να µετρήσετε την γωνία που σχηµατίζουν. Σχεδιάζουµε µία γωνία xy. Στην πλευρά x παίρνουµε ευθ. τµήµα ΑΒ. Στην πλευρά Αy παίρνουµε ευθ. τµήµα Α = ΑΒ. Από το φέρνουµε παράλληλη της Αx Από το Β φέρνουµε παράλληλη της Αy και έστω Γ το σηµείο τοµής των παραλλήλων ευθειών που φέραµε. Το τετράπλευρο ΑΒΓ που κατασκευάστηκε είναι παραλληλόγραµµο (έχει τις απέναντι πλευρές του παρ/λες) και έχει όλες τις πλευρές του ίσες άρα είναι ρόµβος. Σχεδιάζουµε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και διαπιστώνουµε ότι η ΑΓ είναι κάθετη στην Β. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

11 Ευθύγραµµα σχήµατα 77. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 5cm, Γ = 1cm και ύψος ΑΚ = 6cm. Γράφουµε δύο παράλληλες ευθείες ε 1, ε οι οποίες απέχουν µεταξύ τούς 6cm. Στην ευθεία ε 1 παίρνουµε ευθ. τµή- µα ΑΒ = 5cm και στην ευθεία ε ευθ. τµήµα Γ = 1cm. Το τετράπλευρο ΑΒΓ που σχηµατίζεται είναι τραπέζιο µε µεγάλη βάση την Γ = 1cm µικρή βάση ΑΒ = 5cm και ύψος ΑΚ = 6cm είναι το ζητούµενο τραπέζιο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

12 78. Ευθύγραµµα σχήµατα 1. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές: α. ΑΒ = 5cm, ΒΓ = 8cm και ΑΓ = 9cm. β. ΑΒ = 8cm, ΒΓ = 0cm και ΑΓ = 10cm.. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = 4cm, ΒΓ = 5cm, και ΑΓ = 3cm και να µετρήσετε την γωνία του Α. Τι τρίγωνο είναι το ΑΒΓ; 3. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 4cm και κατόπιν να σχεδιάσετε το ύψος του ΑΜ και να µετρήσετε τα ευθ. τµήµατα ΒΜ, ΓΜ τι παρατηρήτε; 4. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά ΒΓ = 3cm και ΑΒ = ΑΓ = 8cm. 5. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Να φέρετε τα ύψη, τις διαµέσους και τις διχοτόµους των γωνιών του τριγώνου. Τι παρατηρείτε; 6. Να γράψετε κύκλο (Κ,ρ). Αν ΑΒ, Γ δύο ισές χορδές του κύκλου (Κ,ρ). Να δικαιολογίσετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΓ είναι ίσα. β. Οι γωνίες ˆ ΑΚΒ και ˆ ΚΓ είναι ίσες. 7. ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και σηµείο Σ του επιπέδου τέτοιο ώστε ΣΑ = ΣΒ να δείξετε ότι το σηµείο Σ βρίσκεται πάνω στην µεσοκάθετο του ΑΒ. 8. Με τον κανόνα και τον διαβήτη να κατασκευάσετε ίσα σχήµατα µε τα παρακάτω: Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

13 Ευθύγραµµα σχήµατα Να σχεδιάσετε δύο γωνίες εφεξής και παραπληρωµατικες. Να φέρετε τις διχοτό- µους των γωνιών αυτών. Τι γωνία σχηµατίζουν οι διχοτόµοι; 10. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε βάση ΒΓ = 5 cm και ίσες πλευρές ΑΒ = ΑΓ= 9 cm. Να σχεδιάσετε τις διχοτόµους των γωνιών του. 11. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 4 cm.να σχεδιάσετε τις διχοτόµους των γωνιών του. 1. ίνετε η γωνία ω του διπλανού σχήµατος. Να κατασκευάσετε: α. γωνία ˆ 1 1 xy = ωˆ β. γωνία ẑ = ωˆ γ. γωνία φˆ = ωˆ Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, στο οποίο να είναι ΑΒ = 5cm, Α = 3cm και ˆΑ = Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε τα ύψη του. 14. α. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 3cm, Γ = 5cm και ύψος ΑΚ = 4cm. β. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 4cm, Γ = 6cm πλευρά Α = 5cm και ˆ = 60 0 ù Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ ( Αˆ = ˆ = 90 ) το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 3cm, Γ = 5cm πλευρά Α = 4 cm 16. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει µεγάλη βάση Γ = 8cm, ˆ ˆ 0 = Γ= 60 και µη παράλληλες πλευρές Α = ΒΓ = 4 cm. α. να µετρήσετε τις γωνίες Α,Β ˆ ˆ του τραπεζίου. β. να φέρετε τις διαγωνίους του τραπεζίου και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρείτε; 17. Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ µε ΑΒ = 7cm και Α = 5cm. Να φέρετε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρείτε; 18. Να κατασκευστεί ρόµβος µε πλευρά ΑΒ =10cm και γωνία ˆΑ 50 0 =. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

14 80. Ευθύγραµµα σχήµατα 19. Να κατασκευστεί ρόµβος µε πλευρά ΑΒ = 8cm και γωνία ˆΑ = Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε την διαγώνιο Β του ρόµβου. Τι παρατηρείτε; 0. Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ η περίµετρος είναι ίση µε 44cm και η πλευρά του ΑΒ είναι 11cm. Να αποδείξετε ότι είναι ρόµβος και κατόπιν να κατασκευάσετε το ρόµβο. Â 1. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράµ- µου ΑΒΓ στο διπλανό σχήµα Nα σχεδιάσετε έναν κύκλο (Ο,ρ) και µία ακτίνα του ΟΑ. Αν η µεσοκάθετος της ΟΑ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Κ,Λ να σχεδιάσετε το τετράπλευρο ΟΚΑΛ, να µετρήσετε τις πλευρές του και να παρατηρήσετε ότι είναι ρόµβος. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

15 Ευθύγραµµα σχήµατα 81. Ερώτηση 1 α. Πότε ένα τετράπλευρο λέγετε παραλληλόγραµµο; β. Ποιές είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου; γ. Πότε ένα παραλληλόγραµµο είναι ορθογώνιο, ρόµβος ή τετράγωνο; Ερώτηση α. Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται τραπέζιο και πoιές είναι οι βάσεις του τραπεζίου; β. Πότε ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές ; Άσκηση 1 Να κατασκευάσετε γωνία 64 ο και κατόπιν µε κανόνα και διαβήτη να φέρετε τη διχοτόµο της. Άσκηση Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ στο οποίο να είναι ΑΒ = 7cm, = 4cm και ˆΑ 60 0 =. Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε τα ύψη του. Άσκηση 3 Να κατασκευάσετε ένα τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ = 4cm, Γ = 10cm και ύψος ΑΚ = 5cm. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

16

17 Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός τριγώνου; Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο µε το µισό του γινοµένου της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος, δηλαδή: 1 Ε = β υ õ õ B B B Å ¾øïò ÂÜóç Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου; Το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου είναι ίσο µε το γινόµενο µιάς βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος. Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός τραπεζίου; Το εµβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο µε το ηµιάθροισµα των βάσεων του επί το ύψος του, δηλαδή: Ε = ( Β+ ) β υ

18 84. Ευθύγραµµα σχήµατα Nα υπολογίσετε το εµβαδόν ενος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, όταν δίνονται τα µήκη των κάθετων πλευρών του: α. ΑΒ = 3, m και ΑΓ =,m β. ΑΒ = 5 cm και ΑΓ = 60 mm ΑΒ ΑΓ α. Το εµβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου δίνεται από τον τύπο Ε = οπότε 3,, κάνοντας αντικατάσταση έχουµε Ε = = 3,5m β. Πρέπει πρώτα να µετατρέψουµε τις µονάδες µέτρησης ΑΒ = 5cm και ΑΓ = 60mm = 6cm B Γ 5 6 οπότε έχουµε Ε = = = 15cm Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 64 cm και ένα από τα ύψη του είναι 40mm. Να υπολογιστεί η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί αυτό το ύψος. Από υπόθεση έχουµε Ε = 64 cm και υ = 40mm = 4cm οπότε: Θέτουµε ΒΓ = β 1 Ε = β υ 1 64 = β = β 64 = β β = 64: β = 3cm Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

19 Ευθύγραµµα σχήµατα 85. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν 800mm. ν B = Γ = 5cm και ΒΓ = 8cm να υπολογιστούν τα ύψη του. Από υπόθεση έχουµε E = 800mm = 8cm, B = Γ = 5cm, ΒΓ = 8cm οπότε β υ Ε = 8 υ 8 = 8 = 4 υ υ= 8:4 Bτ = cm β υ Ε = 5 υ 8 = 8 =, 5 υ υ= 8:,5 υ= 3,cm = 3,cm ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 0,6m, ΒΓ = 10dm και Ε = 4dm. Nα βρείτε: α. την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. β. το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Αν πάρουµε ως βάση την µία κάθετη πλευρά τότε ύψος θα είναι ή άλλη κάθετη πλευρά οπότε Ε = 4dm και β = 0,6m = 6dm. Αντικαθιστώντας έχουµε: ΑΒ ΑΓ Ε = 6 ΑΓ 4 = 4 = 3 ΑΓ ΑΓ = 4 : 3 ΑΓ = 8 ΒΓ Α Ε = 10 Α 4 = 4 = 5 Α Α = 4 : 5 Α = 4,8 Να βρεθεί το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που έχει βάση β = 5,8 και ύψος υ = 3mm. Ισχύει β = 5,8cm = 58mm και υ = 3mm. Άρα Ε = β.υ = 58mm.3mm = 1856mm Ένα παραλληλόγραµµο και ένα ορθογώνιο έχουν το ίδιο εµβαδόν και την ίδια περίµετρο. Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις 6cm και 8cm. Αν η µία πλευρά του παραλληλογράµµου είναι 4 cm, να βρεθούν τα ύψη του. Η περίµετροςκαι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι: Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

20 86. Ευθύγραµµα σχήµατα Π = = = 8m και E = 6.8 = 48cm αντίστοιχα. Από υπόθεση όµως το ορθογώνιο και το παραλληλόγραµµο έχουν το ίδιο εµβαδόν και την ίδια περίµετρο δηλαδή Π παρ = Π ορθ = 8 Ε παρ = Ε ορθ = 48 άρα: Ππαρ. = x+ 4 8 = x = x x = 0 x = 0: x = 10 Ε = 4 υ 1 1 ορθ = 4υ 1 υ = 48:4 υ = 1 Ε = x υ 1 48 = 10 υ 48 :10 = υ υ = 4,8 Τετράγωνο πλευράς α = 5cm, έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα παραλληλόγραµµο πλευράς15mm. Να βρεθεί το ύψος του παραλληλογράµµου σε cm Επειδή το τετράγωνο εχει πλευρά α = 5cm το εµβαδόν του θα είναι Ε = α α = 5cm 5cm = 5cm και επειδή το τετράγωνο έχει ίσο εµβαδόν µε το παραλληλόγραµµο θα πρέπει: Eτετρ. = Eπαρ. 5 = 1, 5 υ υ= 5:1,5 υ= cm Να υπολογίσετε το ύψος ενός τραπεζίου όταν δίνονται: α. Β = 1,4cm, β = 7,6cm και Ε = 3cm. β. Β = 66mm, β = 3,4cm και Ε = 10,5cm. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

21 Ευθύγραµµα σχήµατα 87. β+ Β α. Ε = υ 1,4 + 7,6 3 = υ 3= 10 υ υ= 3:10 υ= 3, 7,6cm B E=3cm 1,4cm β. B = 66mm = 6,6cm K 3,4cm Ë β+ Β Ε = υ 6,6 + 3, 4 10, 5 = υ 10, 5 = 5 υ υ= 10,5:5 υ=,1 N E = 10,5cm 66mm = 6,6cm M H µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι πενταπλάσια από την µικρή βάση. Αν το ύψος του τραπεζίου είναι,5cm και το εµβαδόν 75 cm. Να υπολογιστούν οι δύο βάσεις του. Έστω x η µικρή βάση του τραπεζίου, τότε επειδή η µεγάλη βάση του τραπεζίου είναι πενταπλάσια της µικρής θα ισχύει Β = 5x και υ =,5cm, Ε = 75cm οπότε β+ Β Ε = υ 5x + x 75 =, 5 6x 75 =, 5 75 = 3x, 5 75 = 7, 5x x = 75:7,5 x = 10 Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

22 88. Ευθύγραµµα σχήµατα 1. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα:. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα: cm x E = 4cm y  x 3cm  E = 45cm E = 0cm 5cm cm x  4cm 5cm 4cm E=; 6cm 3cm x  y 5cm E=; 6cm 8cm  x y Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

23 Ευθύγραµµα σχήµατα Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα: 7cm H Â 4. Αν το εµβαδόν του τραπεζίου είναι 50cm να βρείτε το ύψος του τραπεζίου και το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΗΖΕ (ΑΒ = 7, Γ = 13). E 13cm Z 5. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν να υπολογίσετε τα µήκη x,y. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

24 90. Ευθύγραµµα σχήµατα 6. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν,και η περίµετρος του ορθογωνίου είναι 14 m να βρείτε: α. το µήκος x β. το εµβαδόν του ορθογωνίου και του τριγώνου. γ. το µήκος y.  x cm 5cm  y 7. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν να υπολογίσετε τα µήκη x, y, z και να να βρείτε την περίµετρο του τριγώνου.  z 6cm x cm  4cm 3cm y 9cm 8. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 4cm. ν το ύψος του Α είναι 3cm, να βρεθεί η αντίστοιχη βάση. 9. ν η βάση ενός τριγώνου είναι διπλάσια από το αντίστοιχο ύψος και το εµβαδόν του είναι 16 cm, να βρεθούν η βάση και το αντιστοιχο ύψος του. 10. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν Ε = 48 cm και το ένα ύψος του είναι 80mm. Να βρεθεί η αντίστοιχη βάση. 11. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 30mm και 4cm και υποτείνουσα 5cm. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

25 Ευθύγραµµα σχήµατα Oι βάσεις ενος τραπεζίου διαφέρουν κατα 4cm και το ύψος του είναι υ = 1cm. Αν το εµβαδόν του είναι Ε = 10cm, να βρεθούν οι βάσεις του. 13. Ένα παραλληλόγραµµο έχει εµβαδόν 8 cm και περίµετρο 4cm. Αν η µία πλευρά του είναι 7cm να βρεθεί η άλλη πλευρά του και τα ύψη του. 14. Η µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι τριπλάσια από την µικρή. Αν το ύψος του είναι,cm και το εµβαδόν του 44 cm, να βρεθούν οι δύο βάσεις του. 15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίµετρο 8cm και εµβαδόν 4cm. Αν η βάση του είναι 8 cm να υπολογιστούν οι ίσες πλευρές και τα ύψη του τριγώνου. 16. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (είναι ΑΒ = 5cm ΑΓ = 1cm και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ΑΚ = 4,6cm. Να υπολογίσετε το µήκος της υποτείνουσας. 17. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (είναι ΑΓ = 1cm). Αν το εµβαδό του είναι 96cm, να υπολογίσετε την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. 18. Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι 18dm και ένα από τα ύψη του είναι 300mm. Να υπολογιστεί η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί το ύψος αυτό. 19. Ένα τετράγωνο έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα τρίγωνο. Αν η βάση του τριγώνου είναι 1,5cm και το αντίστοιχο ύψος 4cm, να υπολογιστούν το εµβαδόν του τριγώνου, η πλευρά του τετραγώνου και η περίµετρος του τετραγώνου. 0. ν το ύψος ενός τριγώνου είναι τετραπλάσιο από την αντίστοιχη βάση και το εµβαδόν είναι 50cm, να βρεθούν η βάση και το αντίστοιχο ύψος του τριγώνου. 1. Η περίµετρος ενός παραλληλογράµµου είναι 10cm και η µία πλευρά του 0cm. Αν το εµβαδόν του είναι 40cm, να υπολογίσετε τα ύψη του παραλληλογράµµου. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

26 9. Ευθύγραµµα σχήµατα. Να βρεθεί το εµβαδόν του οικοπέδου ΑΒΓ Ε αν ΒΕ = 50m, ΑΗ = 10m, Ζ = 7m και ΒΓ = 5m. Â Ç Z Å 3. Η περίµετρος ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 18m και το ύψος του 5,196m. Να βρείτε το εµβαδό του. 4. Θέλουµε να στρώσουµε το σαλόνι του σπιτιού µας σχήµατος ορθογωνίου, που έχει µήκος 10,56m και πλάτος 4,96m, µε τετράγωνα πλακάκια πλευράς 0,3m. Πόσο είναι το εµβαδό του δωµατίου, του πλακακιού και πόσα πλακάκια θα χρειαστού- µε; 5. Ο κ. Βαγγέλης έβαλε τζάµια µε διαστάσεις 1,85m και 1,15m στις 5 µπαλκονόπορτες του καινούριου σπιτιού του. Πόσα θα πληρώσει, αν το κάθε τετραγωνικό µέτρο τζαµιού στοιχίζει 30 ; 6. Ο κήπος του σχολείου σχήµατος ορθογωνίου έχει εµβαδό 81,875m. Αν το µήκος του είναι 1,5m,πόσα µέτρα είναι το πλάτος του; Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

27 Ευθύγραµµα σχήµατα 93. Ερώτηση 1 Να δείξετε ότι το εµβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε το ηµιγινόµενο των κάθετων πλευρών του. Ερώτηση α. Πως υπολογίζεται το εµβαδόν τριγώνου και του παραλληλογράµµου; β. Πως υπολογίζεται το εµβαδόν του τραπεζίου; Άσκηση 1 Να υπολογιστεί το εµβαδόν τραπεζίου µε µεγάλη βάση 35cm και µικρή βάση κατά 8cm µικρότερη, αν το ύψος του τραπεζίου είναι 10cm. Άσκηση Να υπολογισθούν τα ύψη παραλληλογράµµου, που έχει µία πλευρά 5cm, περίµετρο 6cm και εµβαδόν 0cm. Άσκηση 3 Να υπολογιστεί το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου, που έχει κάθετες πλευρές 6cm, 8cm και υποτείνουσα 10cm. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

28

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ 1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ) Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του.

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του. 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μια πλευρά ίση με 48 και το αντίστοιχο σε αυτή την πλευρά ύψος είναι 4,5 dm. Να βρείτε το εμβαδό του παραλληλογράμμου 2. Ένα παραλληλόγραμμο έχει εμβαδό 72 2

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο 14 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο _18997 ΘΕΜΑ Β Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράµπα του παρακάτω σχήµατος. α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. (ΑΒΓ) = 4 ( ΕΖ) ή ( ΕΖ) = (ΑΒΓ) Θα δείξουµε ότι (ΑΒΓ ) = ΑΓ. Πράγµατι είναι: (Α Γ) = (ΑΒΓ) = Εποµένως (Α Γ) + (ΑΒΓ) =

Ερωτήσεις ανάπτυξης. (ΑΒΓ) = 4 ( ΕΖ) ή ( ΕΖ) = (ΑΒΓ) Θα δείξουµε ότι (ΑΒΓ ) = ΑΓ. Πράγµατι είναι: (Α Γ) = (ΑΒΓ) = Εποµένως (Α Γ) + (ΑΒΓ) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) Επειδή τα Ζ,, Ε είναι µέσα των πλευρών τριγώνου είναι Ζ // Ε και Ε // Ζ. Άρα το τετράπλευρο Ζ Ε είναι παραλληλόγραµµο. Η διαγώνιος ΖΕ του παραλληλογράµµου το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 31. Μία κυλινδρική δεξαµενή έχει µήκος βάσης 1,56 m. Η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 6 7 και περιέχει 75,36 m3 νερό. Να υπολογίσετε το βάθος της δεξαµενής. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά». Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 6 ï. -Óýãêñéóç ãùíéþí -Åßäç ãùíéþí -ÌÝôñçóç ãùíéþí -ÅöåîÞò ãùíßåò -ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò -ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò

ÊåöÜëáéï 6 ï. -Óýãêñéóç ãùíéþí -Åßäç ãùíéþí -ÌÝôñçóç ãùíéþí -ÅöåîÞò ãùíßåò -ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò -ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò ÊåöÜëáéï 6 ï Ïé ãùíßåò âéâëéïììüèçìá 2: -Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò -Óýãêñéóç ãùíéþí -Åßäç ãùíéþí -ÌÝôñçóç ãùíéþí -ÅöåîÞò ãùíßåò -ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò -ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò âéâëéïììüèçìá 21: -ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ Έχουµε 2 ευθείες ε 1,ε 2 και τουλάχιστον µία ευθεία που τέµνει αυτές τις 2 ευθείες, εδώ τη (δ). Ονοµάζουµε τις γωνίες µε βάση το: 1. Πού βρίσκονται σε σχέση µε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( ) .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα