ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ"

Transcript

1 ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü ðáñáëëçëïãñüììïõ -Åìâáäü ôñáðåæßïõ

2

3 ÂéâëéïìÜèçìá ºóá ó Þìáôá ºóá ôñßãùíá ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç Åßäç ôåôñáðëåýñùí Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ Πως συγκρίνουµε δύο σχήµατα; Πότε δύο σχήµατα λέµε ότι είναι ίσα; Για να συγκρίνουµε δύο σχήµατα, απoτυπώνουµε το ένα σχήµα σε διαφανές χαρτί και τοποθετούµε το αποτύποµα του επάνω στο άλλο σχήµα, και εξετάζουµε εάν το ένα σχήµα συµπέσει µε το άλλο. Αν τα δύο σχήµατα που συγκρίνουµε συµπέσουν τότε λέµε ότι τα σχήµατα είναι ίσα. Στα ίσα σχήµατα τι λέµε αντίστοιχα σηµεία, τι αντίστοιχες πλευρές και τι αντίστοιχες γωνίες; Αν δύο σχήµατα είναι ίσα, τότε κάθε σηµείο του ενός σχήµατος µεταφέρεται µε το διαφανές χαρτί και ταυτίζεται µε ένα σηµείο του άλλου σχήµατος. Τα σηµεία αυτά των δύο ίσων σχηµάτων λέγονται αντίστοιχα σηµεία. Οι πλευρές δύο ίσων σχηµάτων οι οποίες αποτελούνται από αντίστοιχα σηµεία, λέγονται αντίστοιχες πλευρές των ίσων σχη- µάτων.οι γωνίες δύο ίσων σχηµάτων οι οποίες αποτελούνται από αντίστοιχα σηµεία, λέγονται αντίστοιχες γωνίες των ίσων σχηµάτων. Τι συµπεραίνουµε αν γνωρίζουµε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα; Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

4 70. Ευθύγραµµα σχήµατα Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; Αν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες µία προς µία µε τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται τραπέζιο; Ποιές είναι οι βάσεις του τραπεζίου και ποιό το ύψος του; Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο, το οποίο έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές του λέγονται βάσεις του τραπεζίου.η απόσταση των βάσεων του λέγεται ύψος του τραπεζίου. B Πότε ένα τραπέζιο ονοµάζεται ισοσκελές; Το τραπέζιο που έχει τις µη παράλληλες πλευρές του ίσες ονοµάζεται ισοσκελές τραπέζιο. Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται παραλληλόγραµµο; Τι ονοµάζουµε ύψος του παραλληλογράµµου; õ õ B Ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραµµο όταν έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Σ' ένα παραλληλόγραµµο κάθε πλευρά του µπορεί να θεωρηθεί ως βάση του. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά του παραλληλογράµµου καλείται αντίστοιχο ύψος. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο; Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες του τις γωνίες ορθές ονοµάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ή απλά ορθογώνιο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

5 Ευθύγραµµα σχήµατα 71. Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται ρόµβος; B Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες τις πλευρές του ίσες ονοµάζεται ρόµβος. B Πότε ένα τετράπλευρο ονοµάζεται τετράγωνο; Ένα τετράπλευρο που είναι παραλληλόγραµµο και έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες του τις πλευρές ίσες ονοµαζεται τετράγωνο. Ποιές είναι οι ιδιότητες του παραλλλογράµµου; Σε κάθε παραλληλόγραµµο ισχύουν τα εξής: α. Κάθε διαγώνιος το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα. β. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες ανά δύο. γ. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες ανά δύο. δ. Οι διαγώνιές του διχοτοµούνται. Πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο; (κριτήρια) Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο αν: α. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες ανά δύο. β. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες ανά δύο. γ. Οι διαγώνιες του διχοτοµούνται. 1) Όταν λέµε ότι οι διαγώνιες του παραλληλογράµµου (ή γενικότερα ότι δύο ευθ. τµήµατα) διχοτοµούνται εννοούµε ότι το σηµείο στο οποίο τέµνονται είναι µέσον και των δύο διαγωνίων (αντίστοιχα ευθυγράµµων τµηµάτων) ) Όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου ισχύουν και για το ορθογώνιο, το ρόµβο και το τετράγωνο, αφού ως γνωστόν αυτά είναι παραλληλόγραµµα. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

6 7. Ευθύγραµµα σχήµατα ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, να κατασκευαστεί τρίγωνο ΚΛΜ τέτοιο ώστε ΑΒ = ΚΛ, ΒΓ = ΛΜ και ΑΓ = ΚΜ. Πάνω σε ευθεία ε παίρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΛΜ = ΒΓ. Με κέντρο το Λ και ακτίνα ΑΒ γράφουµε κύκλο. Με κέντρο το Μ και ακτίνα ίση µε ΑΓ γράφουµε κύκλο και έστω Κ τό ένα από τα σηµεία τοµής των κύκλων τότε το τρίγωνο ΚΛΜ είναι το ζητούµενο. Με κατάλληλη τοποθέτηση του αποτυπώµατος του τριγώνου ΑΒΓ πάνω στο τρίγωνο ΚΛΜ διαπιστώνουµε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι ίσα. ικαιολόγηση: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν: KΛ= ΑΒ, ΑΓ= ΚΜ και ΒΓ = ΛΜ άρα είναι ίσα (γιατί έχουν τις πλευρές τους µία προς µια ίσες) Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές: α. ΑΒ = 3cm, ΒΓ = 5cm και ΑΓ = 6cm β. ΑΒ = 3cm, ΒΓ = 10cm και ΑΓ = 6cm. α. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 5cm. Mε κέντρο το Β και αντίνα 3 cm γράφουµε κύκλο. Με κέντρο το Γ και ακτίνα 6cm γράφουµε κύκλο. Οι δύο κύκλοι τέµνονται σε δύο σηµεία και έστω Α το ένα εξ αυτών τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούµενο) β. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 10cm. Mε κέντρο το Β και αντίνα 3 cm γράφω κύκλο. Με κέντρο το Γ και ακτίνα 6cm γράφω κύκλο και παρατηρούµε ότι οι δύο κύκλοι δεν τέµνονται οπότε δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί το ζητούµενο τρίγωνο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

7 Ευθύγραµµα σχήµατα 73. Απο το παραπάνω παράδειγµα συµπεραίνουµε ότι για να είναι δυνατον να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β και γ πρέπει να ικανοποιούνται οι σχέσεις α < β + γ, β < α + γ και γ < α + β Η παραπάνω ιδιότητα λέγεται τριγωνική ανισότητα. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (µε ΑΒ = ΑΓ) και η διάµεσος του ΑΜ. Να δείξετε ότι: α. Tα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ είναι ίσα β. Β=Γ(οι ˆ ˆ παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες) γ. Η ΑΜ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΑ δ. Το ΑΜ είναι ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ α. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ έχουν τις πλευρές ΑΒ = ΑΓ (δεδοµένο) ΑΜ = ΑΜ ( κοινη πλευρά) και ΜΒ = ΜΓ (Μ είναι µέσον της πλευράς ΒΓ αφού ΑΜ διάµεσος). ηλαδή τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Αφού τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα θα έχουν και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες οπότε Βˆ = Γ,Α ˆ ˆ ˆ 1 = Α και Μ ˆ ˆ 1 = Μ. β. πό το i) ερώτηµα έχουµε Βˆ = Γˆ γ. Απο το i) έχουµε ότι Α ˆ ˆ 1 = Α οπότε η ΑΜ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΑ. δ. Από το i) έχουµε ˆ ˆ 0 Μ1 = Μ, επιπλέον όµως έχουµε Μˆ ˆ 1+ Μ = 180 άρα 0 Μˆ ˆ 1 = Μ = 90 οπότε ΑΜ είναι κάθετη στην ΒΓ, δηλαδή το ΑΜ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. ίνετε γωνία ˆ xy. Να κατασκευαστεί γωνία η οποία να είναι ίση µε την ˆ xy. 1) Έστω xy ˆ η δοσµένη γωνία. Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε κυκλο (Α,ρ) ο οποίος τέµνει τις πλευρές Αx, y της γωνίας xy ˆ στα σηµεία B, Γ αντίστοιχα. ) Γράφουµε µία ηµιευθεία Kx. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ (ίση µε την ακτίνα του (Α,ρ)) γράφω κύκλο ο οποίος τέµνει την ηµιευθεία Κx στο σηµείο. 3) Με κέντρο το και ακτίνα ρ = ΒΓ γράφουµε κύκλο και έστω Ε το ένα Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

8 74. Ευθύγραµµα σχήµατα από τα σηµεία στα οποία ο κύκλος αυτός τέµνει τον κύκλο (Κ,ρ). 4) Γράφουµε την ηµιευθεία ΚΕ. Η γωνία ΚΕ ˆ είναι ίση µε τη γωνία xy ˆ. ικαιολόγηση της κατασκευής. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΕ έχουν ΑΒ = Κ = ρ, ΑΓ = ΚΕ = ρ και ΒΓ = Ε = ρ δηλαδή δείξαµε ότι τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Έχουν εποµένως και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες δηλ xy ˆ = ΒΑΓ ˆ = ΚΕ ˆ ίνετε γωνία xy ˆ. Να κατασκευαστεί η διχοτόµος της. 1) Έστω xy ˆ η δοσµένη γωνία. ) Με κέντρο το Α και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε τον κύκλο (Α,ρ) ο οποίος τέµνει τις πλευρές x, y της γωνίας xy ˆ στα σηµεία Β, Γ αντίστοιχα. 3) Με κέντρα τα σηµεία Β, Γ και ακτίνα ρ η οποία να είναι µεγαλύτερη από το µισό του ΒΓ γράφουµε τους κύκλους (Β,ρ ) και (Γ,ρ ) και ονοµάζουµε το ένα από τα σηµεία τοµής τους. 4) Φέρνουµε την ηµιευθεία Α, ή οποία βρίσκεται µέσα στην γωνία και είναι η ζητούµενη διχοτόµος. ικαιολόγηση της κατασκευής. Τα τρίγωνα ΑΒ και Α Γ έχουν ΑΒ = ΑΓ = ρ, Γ = Β = ρ και Α κοινή πλευρά δηλαδή δείξαµε ότι τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους µία προς µία ίσες άρα είναι ίσα. Έχουν, επο- µένως, και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες οπότε ΒΑ ˆ = ΑΓ ˆ. Άρα η Α είναι διχοτόµος της γωνίας xy ˆ. B B y y x x Να κατασκευάσετε µε κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ = α και Β=φ ˆ ˆ όπου οι πλευρές α, γ καθώς και η γωνία ˆφ δίνονται στο διπλανό σχήµα. Κατασκευάζουµε γωνία xby ˆ = φˆ (βλ. άσκηση 4) και στην πλευρά Bx παίρνουµε ευθ. τµήµα ΒΓ = α και στην πλευρά Βy παίρνω ευθ. τµήµα ΒΑ = γ. Ενώνουµε το Α µε το Γ. Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ = α και Bˆ = φˆ άρα είναι το Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

9 Ευθύγραµµα σχήµατα 75. ζητούµενο Να κατασκευάσετε µε κανόνα και διαβήτη: α. ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α, όπου α γνωστό ευθύγραµµο τµήµα 0 β. γωνία ω=60 ˆ 0 γ. γωνία φ=30 ˆ α. Σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = α. Με κέντρο το Β και ακτίνα ίση µε α γράφουµε τον κύκλο (Β,α). Με κέντρο το Γ και ακτίνα ίση µε α γράφουµε τον κύκλο (Γ,α).Ονοµάζουµε Α το ένα από τα σηµεία τοµής των δύο κύκλων οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούµενο ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά α. ικαιολόγηση. Το τρίγωνο που κατασκευάσαµε έχει και Â τις τρείς πλευρές του ίσες µεταξύ τους και ίσες µε το δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα α β. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οπότε θα έχει και τις τρείς γωνίες του ίσες. Ως γνωστόν είναι 60 0 η κάθε µία οπότε η ζητούµενη γωνία ˆω= 60 0 είναι µία από τις 0 γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ έστω η ˆΒ= 60. γ. Για να κατασκευάσουµε µία γωνία ˆφ = 30 0 φέρνουµε την διχοτόµο της γωνίας ˆΒ 60 0 = (βλ. άσκηση 5). Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, στο οποίο να είναι ΑΒ = 6cm, Α = 4cm και ˆ 0 Α=65. 0 Κατασκευάζουµε γωνία xy ˆ = 65 Στην ηµιευθεία Αx παίρνουµε τµήµα ΑΒ = 6cm και στην ηµιευθεία y παίρνουµε τµήµα Α = 4cm. Από το σηµείο Β φέρνουµε ευθεία παράλληλη της Αy και από το σηµείο φέρνουµε ευθεία παράλληλη της Αx, και έστω Γ το σηµείο τοµής των δύο ευθειών. Τότε το τετράπλευρο ΑΒΓ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες (από κατασκευή) οπότε είναι παραλληλόγραµ- 0 µο και επιπλέον ΑΒ = 6cm, Α = 4cm και Â = 65. Άρα είναι το ζητούµενο παραλληλόγραµµο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του ρόµβου στο παρακάτω σχήµα. Επειδή το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ρόµβος έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

10 76. Ευθύγραµµα σχήµατα Άρα Α = Γ οπότε το τρίγωνο Α Γ είναι ισοσκελές και ˆ 0 0 ˆΓ1 = Α1 = 35. Όµως Αˆ ˆ = Γ1 = 35 ώς εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ, Γ τεµνοµένων από την ΑΓ και Αˆ = Αˆ ˆ 1+ Α = = 70. Επειδή ˆΓ= Αˆ ως απέναντι 0 γωνίες παραλληλογράµµου συµπεραίνουµε ότι ˆΓ= Αˆ = 70. H ˆ είναι παραπληρωµατική της ˆΓ ως εντός και επι ταυτά των παραλλήλων Α, ΒΓ τεµνοµένων από την Γ άρα ˆ = οπότε και ˆΒ= ˆ = 110 (ως απέναντι γωνίες παραλληλογράµµου). Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ. Να φέρετε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρήτε; Σχεδιάζουµε µία ορθή γωνία xy ˆ και από ένα σηµείο Β της πλευράς Αx φέρνουµε παράλληλη της y. Από ένα σηµείο της πλευράς y φέρνουµε παράλληλη της x και έστω Γ το σηµείο στο οποίο τέµνονται οι παράλληλες. Το τετράπλερο ΑΒΓ που σχηµατίστηκε είναι το ζητούµενο ορθογώνιο (παρα/µµο µε ορθές γωνίες). Σχεδιάζουµε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και µε το διαβήτη ή µε το υποδεκάµετρο διαπιστώνουµε ότι ΑΓ = Β Να κατασκευάσετε έναν ρόµβο ΑΒΓ,να φέρετε τις διαγωνίους του και να µετρήσετε την γωνία που σχηµατίζουν. Σχεδιάζουµε µία γωνία xy. Στην πλευρά x παίρνουµε ευθ. τµήµα ΑΒ. Στην πλευρά Αy παίρνουµε ευθ. τµήµα Α = ΑΒ. Από το φέρνουµε παράλληλη της Αx Από το Β φέρνουµε παράλληλη της Αy και έστω Γ το σηµείο τοµής των παραλλήλων ευθειών που φέραµε. Το τετράπλευρο ΑΒΓ που κατασκευάστηκε είναι παραλληλόγραµµο (έχει τις απέναντι πλευρές του παρ/λες) και έχει όλες τις πλευρές του ίσες άρα είναι ρόµβος. Σχεδιάζουµε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και διαπιστώνουµε ότι η ΑΓ είναι κάθετη στην Β. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

11 Ευθύγραµµα σχήµατα 77. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 5cm, Γ = 1cm και ύψος ΑΚ = 6cm. Γράφουµε δύο παράλληλες ευθείες ε 1, ε οι οποίες απέχουν µεταξύ τούς 6cm. Στην ευθεία ε 1 παίρνουµε ευθ. τµή- µα ΑΒ = 5cm και στην ευθεία ε ευθ. τµήµα Γ = 1cm. Το τετράπλευρο ΑΒΓ που σχηµατίζεται είναι τραπέζιο µε µεγάλη βάση την Γ = 1cm µικρή βάση ΑΒ = 5cm και ύψος ΑΚ = 6cm είναι το ζητούµενο τραπέζιο. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

12 78. Ευθύγραµµα σχήµατα 1. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές: α. ΑΒ = 5cm, ΒΓ = 8cm και ΑΓ = 9cm. β. ΑΒ = 8cm, ΒΓ = 0cm και ΑΓ = 10cm.. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = 4cm, ΒΓ = 5cm, και ΑΓ = 3cm και να µετρήσετε την γωνία του Α. Τι τρίγωνο είναι το ΑΒΓ; 3. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 4cm και κατόπιν να σχεδιάσετε το ύψος του ΑΜ και να µετρήσετε τα ευθ. τµήµατα ΒΜ, ΓΜ τι παρατηρήτε; 4. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά ΒΓ = 3cm και ΑΒ = ΑΓ = 8cm. 5. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Να φέρετε τα ύψη, τις διαµέσους και τις διχοτόµους των γωνιών του τριγώνου. Τι παρατηρείτε; 6. Να γράψετε κύκλο (Κ,ρ). Αν ΑΒ, Γ δύο ισές χορδές του κύκλου (Κ,ρ). Να δικαιολογίσετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΓ είναι ίσα. β. Οι γωνίες ˆ ΑΚΒ και ˆ ΚΓ είναι ίσες. 7. ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και σηµείο Σ του επιπέδου τέτοιο ώστε ΣΑ = ΣΒ να δείξετε ότι το σηµείο Σ βρίσκεται πάνω στην µεσοκάθετο του ΑΒ. 8. Με τον κανόνα και τον διαβήτη να κατασκευάσετε ίσα σχήµατα µε τα παρακάτω: Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

13 Ευθύγραµµα σχήµατα Να σχεδιάσετε δύο γωνίες εφεξής και παραπληρωµατικες. Να φέρετε τις διχοτό- µους των γωνιών αυτών. Τι γωνία σχηµατίζουν οι διχοτόµοι; 10. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε βάση ΒΓ = 5 cm και ίσες πλευρές ΑΒ = ΑΓ= 9 cm. Να σχεδιάσετε τις διχοτόµους των γωνιών του. 11. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 4 cm.να σχεδιάσετε τις διχοτόµους των γωνιών του. 1. ίνετε η γωνία ω του διπλανού σχήµατος. Να κατασκευάσετε: α. γωνία ˆ 1 1 xy = ωˆ β. γωνία ẑ = ωˆ γ. γωνία φˆ = ωˆ Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, στο οποίο να είναι ΑΒ = 5cm, Α = 3cm και ˆΑ = Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε τα ύψη του. 14. α. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 3cm, Γ = 5cm και ύψος ΑΚ = 4cm. β. Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 4cm, Γ = 6cm πλευρά Α = 5cm και ˆ = 60 0 ù Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ ( Αˆ = ˆ = 90 ) το οποίο έχει βάσεις ΑΒ = 3cm, Γ = 5cm πλευρά Α = 4 cm 16. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ το οποίο έχει µεγάλη βάση Γ = 8cm, ˆ ˆ 0 = Γ= 60 και µη παράλληλες πλευρές Α = ΒΓ = 4 cm. α. να µετρήσετε τις γωνίες Α,Β ˆ ˆ του τραπεζίου. β. να φέρετε τις διαγωνίους του τραπεζίου και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρείτε; 17. Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ µε ΑΒ = 7cm και Α = 5cm. Να φέρετε τις διαγωνίους του ΑΓ, Β και να τις µετρήσετε. Τι παρατηρείτε; 18. Να κατασκευστεί ρόµβος µε πλευρά ΑΒ =10cm και γωνία ˆΑ 50 0 =. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

14 80. Ευθύγραµµα σχήµατα 19. Να κατασκευστεί ρόµβος µε πλευρά ΑΒ = 8cm και γωνία ˆΑ = Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε την διαγώνιο Β του ρόµβου. Τι παρατηρείτε; 0. Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ η περίµετρος είναι ίση µε 44cm και η πλευρά του ΑΒ είναι 11cm. Να αποδείξετε ότι είναι ρόµβος και κατόπιν να κατασκευάσετε το ρόµβο. Â 1. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράµ- µου ΑΒΓ στο διπλανό σχήµα Nα σχεδιάσετε έναν κύκλο (Ο,ρ) και µία ακτίνα του ΟΑ. Αν η µεσοκάθετος της ΟΑ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Κ,Λ να σχεδιάσετε το τετράπλευρο ΟΚΑΛ, να µετρήσετε τις πλευρές του και να παρατηρήσετε ότι είναι ρόµβος. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

15 Ευθύγραµµα σχήµατα 81. Ερώτηση 1 α. Πότε ένα τετράπλευρο λέγετε παραλληλόγραµµο; β. Ποιές είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου; γ. Πότε ένα παραλληλόγραµµο είναι ορθογώνιο, ρόµβος ή τετράγωνο; Ερώτηση α. Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται τραπέζιο και πoιές είναι οι βάσεις του τραπεζίου; β. Πότε ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές ; Άσκηση 1 Να κατασκευάσετε γωνία 64 ο και κατόπιν µε κανόνα και διαβήτη να φέρετε τη διχοτόµο της. Άσκηση Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ στο οποίο να είναι ΑΒ = 7cm, = 4cm και ˆΑ 60 0 =. Να σχεδιάσετε και να µετρήσετε τα ύψη του. Άσκηση 3 Να κατασκευάσετε ένα τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ = 4cm, Γ = 10cm και ύψος ΑΚ = 5cm. Ίσα σχήµατα - Ίσα τρίγωνα - Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη - Είδη τετραπλεύρων - Ιδιότητες του παραλληλογράµµου

16

17 Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός τριγώνου; Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο µε το µισό του γινοµένου της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος, δηλαδή: 1 Ε = β υ õ õ B B B Å ¾øïò ÂÜóç Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου; Το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου είναι ίσο µε το γινόµενο µιάς βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος. Με ποιο τύπο υπολογίζουµε το εµβαδόν ενός τραπεζίου; Το εµβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο µε το ηµιάθροισµα των βάσεων του επί το ύψος του, δηλαδή: Ε = ( Β+ ) β υ

18 84. Ευθύγραµµα σχήµατα Nα υπολογίσετε το εµβαδόν ενος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, όταν δίνονται τα µήκη των κάθετων πλευρών του: α. ΑΒ = 3, m και ΑΓ =,m β. ΑΒ = 5 cm και ΑΓ = 60 mm ΑΒ ΑΓ α. Το εµβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου δίνεται από τον τύπο Ε = οπότε 3,, κάνοντας αντικατάσταση έχουµε Ε = = 3,5m β. Πρέπει πρώτα να µετατρέψουµε τις µονάδες µέτρησης ΑΒ = 5cm και ΑΓ = 60mm = 6cm B Γ 5 6 οπότε έχουµε Ε = = = 15cm Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 64 cm και ένα από τα ύψη του είναι 40mm. Να υπολογιστεί η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί αυτό το ύψος. Από υπόθεση έχουµε Ε = 64 cm και υ = 40mm = 4cm οπότε: Θέτουµε ΒΓ = β 1 Ε = β υ 1 64 = β = β 64 = β β = 64: β = 3cm Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

19 Ευθύγραµµα σχήµατα 85. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν 800mm. ν B = Γ = 5cm και ΒΓ = 8cm να υπολογιστούν τα ύψη του. Από υπόθεση έχουµε E = 800mm = 8cm, B = Γ = 5cm, ΒΓ = 8cm οπότε β υ Ε = 8 υ 8 = 8 = 4 υ υ= 8:4 Bτ = cm β υ Ε = 5 υ 8 = 8 =, 5 υ υ= 8:,5 υ= 3,cm = 3,cm ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 0,6m, ΒΓ = 10dm και Ε = 4dm. Nα βρείτε: α. την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. β. το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Αν πάρουµε ως βάση την µία κάθετη πλευρά τότε ύψος θα είναι ή άλλη κάθετη πλευρά οπότε Ε = 4dm και β = 0,6m = 6dm. Αντικαθιστώντας έχουµε: ΑΒ ΑΓ Ε = 6 ΑΓ 4 = 4 = 3 ΑΓ ΑΓ = 4 : 3 ΑΓ = 8 ΒΓ Α Ε = 10 Α 4 = 4 = 5 Α Α = 4 : 5 Α = 4,8 Να βρεθεί το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που έχει βάση β = 5,8 και ύψος υ = 3mm. Ισχύει β = 5,8cm = 58mm και υ = 3mm. Άρα Ε = β.υ = 58mm.3mm = 1856mm Ένα παραλληλόγραµµο και ένα ορθογώνιο έχουν το ίδιο εµβαδόν και την ίδια περίµετρο. Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις 6cm και 8cm. Αν η µία πλευρά του παραλληλογράµµου είναι 4 cm, να βρεθούν τα ύψη του. Η περίµετροςκαι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι: Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

20 86. Ευθύγραµµα σχήµατα Π = = = 8m και E = 6.8 = 48cm αντίστοιχα. Από υπόθεση όµως το ορθογώνιο και το παραλληλόγραµµο έχουν το ίδιο εµβαδόν και την ίδια περίµετρο δηλαδή Π παρ = Π ορθ = 8 Ε παρ = Ε ορθ = 48 άρα: Ππαρ. = x+ 4 8 = x = x x = 0 x = 0: x = 10 Ε = 4 υ 1 1 ορθ = 4υ 1 υ = 48:4 υ = 1 Ε = x υ 1 48 = 10 υ 48 :10 = υ υ = 4,8 Τετράγωνο πλευράς α = 5cm, έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα παραλληλόγραµµο πλευράς15mm. Να βρεθεί το ύψος του παραλληλογράµµου σε cm Επειδή το τετράγωνο εχει πλευρά α = 5cm το εµβαδόν του θα είναι Ε = α α = 5cm 5cm = 5cm και επειδή το τετράγωνο έχει ίσο εµβαδόν µε το παραλληλόγραµµο θα πρέπει: Eτετρ. = Eπαρ. 5 = 1, 5 υ υ= 5:1,5 υ= cm Να υπολογίσετε το ύψος ενός τραπεζίου όταν δίνονται: α. Β = 1,4cm, β = 7,6cm και Ε = 3cm. β. Β = 66mm, β = 3,4cm και Ε = 10,5cm. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

21 Ευθύγραµµα σχήµατα 87. β+ Β α. Ε = υ 1,4 + 7,6 3 = υ 3= 10 υ υ= 3:10 υ= 3, 7,6cm B E=3cm 1,4cm β. B = 66mm = 6,6cm K 3,4cm Ë β+ Β Ε = υ 6,6 + 3, 4 10, 5 = υ 10, 5 = 5 υ υ= 10,5:5 υ=,1 N E = 10,5cm 66mm = 6,6cm M H µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι πενταπλάσια από την µικρή βάση. Αν το ύψος του τραπεζίου είναι,5cm και το εµβαδόν 75 cm. Να υπολογιστούν οι δύο βάσεις του. Έστω x η µικρή βάση του τραπεζίου, τότε επειδή η µεγάλη βάση του τραπεζίου είναι πενταπλάσια της µικρής θα ισχύει Β = 5x και υ =,5cm, Ε = 75cm οπότε β+ Β Ε = υ 5x + x 75 =, 5 6x 75 =, 5 75 = 3x, 5 75 = 7, 5x x = 75:7,5 x = 10 Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

22 88. Ευθύγραµµα σχήµατα 1. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα:. Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα: cm x E = 4cm y  x 3cm  E = 45cm E = 0cm 5cm cm x  4cm 5cm 4cm E=; 6cm 3cm x  y 5cm E=; 6cm 8cm  x y Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

23 Ευθύγραµµα σχήµατα Να υπολογίσετε το µήκος x στα παρακάτω σχήµατα: 7cm H Â 4. Αν το εµβαδόν του τραπεζίου είναι 50cm να βρείτε το ύψος του τραπεζίου και το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΗΖΕ (ΑΒ = 7, Γ = 13). E 13cm Z 5. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν να υπολογίσετε τα µήκη x,y. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

24 90. Ευθύγραµµα σχήµατα 6. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν,και η περίµετρος του ορθογωνίου είναι 14 m να βρείτε: α. το µήκος x β. το εµβαδόν του ορθογωνίου και του τριγώνου. γ. το µήκος y.  x cm 5cm  y 7. Αν τα παρακάτω σχήµατα έχουν το ίδιο εµβαδόν να υπολογίσετε τα µήκη x, y, z και να να βρείτε την περίµετρο του τριγώνου.  z 6cm x cm  4cm 3cm y 9cm 8. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 4cm. ν το ύψος του Α είναι 3cm, να βρεθεί η αντίστοιχη βάση. 9. ν η βάση ενός τριγώνου είναι διπλάσια από το αντίστοιχο ύψος και το εµβαδόν του είναι 16 cm, να βρεθούν η βάση και το αντιστοιχο ύψος του. 10. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν Ε = 48 cm και το ένα ύψος του είναι 80mm. Να βρεθεί η αντίστοιχη βάση. 11. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 30mm και 4cm και υποτείνουσα 5cm. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

25 Ευθύγραµµα σχήµατα Oι βάσεις ενος τραπεζίου διαφέρουν κατα 4cm και το ύψος του είναι υ = 1cm. Αν το εµβαδόν του είναι Ε = 10cm, να βρεθούν οι βάσεις του. 13. Ένα παραλληλόγραµµο έχει εµβαδόν 8 cm και περίµετρο 4cm. Αν η µία πλευρά του είναι 7cm να βρεθεί η άλλη πλευρά του και τα ύψη του. 14. Η µεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι τριπλάσια από την µικρή. Αν το ύψος του είναι,cm και το εµβαδόν του 44 cm, να βρεθούν οι δύο βάσεις του. 15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίµετρο 8cm και εµβαδόν 4cm. Αν η βάση του είναι 8 cm να υπολογιστούν οι ίσες πλευρές και τα ύψη του τριγώνου. 16. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (είναι ΑΒ = 5cm ΑΓ = 1cm και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ΑΚ = 4,6cm. Να υπολογίσετε το µήκος της υποτείνουσας. 17. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (είναι ΑΓ = 1cm). Αν το εµβαδό του είναι 96cm, να υπολογίσετε την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. 18. Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι 18dm και ένα από τα ύψη του είναι 300mm. Να υπολογιστεί η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί το ύψος αυτό. 19. Ένα τετράγωνο έχει το ίδιο εµβαδόν µε ένα τρίγωνο. Αν η βάση του τριγώνου είναι 1,5cm και το αντίστοιχο ύψος 4cm, να υπολογιστούν το εµβαδόν του τριγώνου, η πλευρά του τετραγώνου και η περίµετρος του τετραγώνου. 0. ν το ύψος ενός τριγώνου είναι τετραπλάσιο από την αντίστοιχη βάση και το εµβαδόν είναι 50cm, να βρεθούν η βάση και το αντίστοιχο ύψος του τριγώνου. 1. Η περίµετρος ενός παραλληλογράµµου είναι 10cm και η µία πλευρά του 0cm. Αν το εµβαδόν του είναι 40cm, να υπολογίσετε τα ύψη του παραλληλογράµµου. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

26 9. Ευθύγραµµα σχήµατα. Να βρεθεί το εµβαδόν του οικοπέδου ΑΒΓ Ε αν ΒΕ = 50m, ΑΗ = 10m, Ζ = 7m και ΒΓ = 5m. Â Ç Z Å 3. Η περίµετρος ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 18m και το ύψος του 5,196m. Να βρείτε το εµβαδό του. 4. Θέλουµε να στρώσουµε το σαλόνι του σπιτιού µας σχήµατος ορθογωνίου, που έχει µήκος 10,56m και πλάτος 4,96m, µε τετράγωνα πλακάκια πλευράς 0,3m. Πόσο είναι το εµβαδό του δωµατίου, του πλακακιού και πόσα πλακάκια θα χρειαστού- µε; 5. Ο κ. Βαγγέλης έβαλε τζάµια µε διαστάσεις 1,85m και 1,15m στις 5 µπαλκονόπορτες του καινούριου σπιτιού του. Πόσα θα πληρώσει, αν το κάθε τετραγωνικό µέτρο τζαµιού στοιχίζει 30 ; 6. Ο κήπος του σχολείου σχήµατος ορθογωνίου έχει εµβαδό 81,875m. Αν το µήκος του είναι 1,5m,πόσα µέτρα είναι το πλάτος του; Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

27 Ευθύγραµµα σχήµατα 93. Ερώτηση 1 Να δείξετε ότι το εµβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε το ηµιγινόµενο των κάθετων πλευρών του. Ερώτηση α. Πως υπολογίζεται το εµβαδόν τριγώνου και του παραλληλογράµµου; β. Πως υπολογίζεται το εµβαδόν του τραπεζίου; Άσκηση 1 Να υπολογιστεί το εµβαδόν τραπεζίου µε µεγάλη βάση 35cm και µικρή βάση κατά 8cm µικρότερη, αν το ύψος του τραπεζίου είναι 10cm. Άσκηση Να υπολογισθούν τα ύψη παραλληλογράµµου, που έχει µία πλευρά 5cm, περίµετρο 6cm και εµβαδόν 0cm. Άσκηση 3 Να υπολογιστεί το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου, που έχει κάθετες πλευρές 6cm, 8cm και υποτείνουσα 10cm. Εµβαδόν τριγώνου - Εµβαδόν παραλληλογράµου - Εµβαδόν τραπεζίου

28

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71 Εφαρµογές 72 73 74 75 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2005-2006 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2006. Μάθηµα: Μαθηµατικά Ηµεροµηνία: 5/6/2006

ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2005-2006 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2006. Μάθηµα: Μαθηµατικά Ηµεροµηνία: 5/6/2006 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 005-006 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 Μάθηµα: Μαθηµατικά Ηµεροµηνία: 5/6/006 Τάξη: B κοινού κορµού Το δοκίµιο αποτελείται από 3 σελίδες Ο ΗΓΙΕΣ : 1. εν επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Nα υπολογισθεί το άθροισμα - 207 206 205 204 -.+ 196 + 197 + 198 + 199 + 200

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Nα υπολογισθεί το άθροισμα - 207 206 205 204 -.+ 196 + 197 + 198 + 199 + 200 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Nα υπολογισθεί το άθροισμα - 207 206 205 204 -.+ 196 + 197 + 198 + 199 + 200 2. Να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων Α = (4 2 3 2 ) : 7 + (6,4 5) 20 4 1 3 2 Β = 15 1 : 1 1 2 4 5. και

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜ/ ΝΙΑ : 07/06/2006 ΒΑΘΜΟΣ :...

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜ/ ΝΙΑ : 07/06/2006 ΒΑΘΜΟΣ :... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ( ΠΛΑΤΥ ) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : 005-006 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜ/ ΝΙΑ : 07/06/006 ΒΑΘΜΟΣ :... ΤΑΞΗ : Γ ΧΡΟΝΟΣ : ώρες ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ :...

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ-ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΡΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε 30 Λόγος δύο µεγεθών B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε τη σχέση τους. Tο αποτέλεσµα της σύγκρισης των δύο µεγεθών που εκφράζεται ως κλάσµα ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα