LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ GALOIS

Transcript

1 NGUYỄN CHÁNH TÚ Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế Giáo trình điện tử LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ GALOIS Huế

2 D C TÍNH KỸ T Ă THUÂ Có thê tra cú u d ê n tù ng phần cu a giáo trình bằng cách click vào Bookmarks bên lề trái cu a Acrobat Reader. Có siêu kiên kê t tham kha o chéo và tham chiê u d ê n các tài liê u tham kha o (305). Có siêu liên kê t d ê tra cú u các thuâ t ngũ hoă c nô i dung thê cu bằng Chı c mu (307) o cuô i giáo trình. Có thê liên kê t vó i trang web chı ra. Có siêu liên kê t d ê tham kha o nhanh hu ó ng dâ n gia i cu a tù ng bài tâ p (250). Có thê d ȯc trên mȧng, download hoă c nhanh chóng in thành giáo trình d ȯc. Có thê dùng d ê trình chiê u vó i chú c năng View Full Screen. ii

3 MU C LU C LÒ I NÓI D ẦU HU Ó NG DÂ N SU DU NG ix xiii VÀI NÉT VỀ LİCH SU 1 a) Li ch su gia i phu o ng trình d a thú c b) Cuô c d ò i cu a Evariste Galois Chu o ng 0 KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Tru ò ng. D ă c sô cu a tru ò ng Vành d a thú c iii

4 0.3 Mô t sô nhóm hũ u hȧn Hàm Euler Bài tâ p Chu o ng 1 MO NG TRU Ò NG 45 RÔ 1 Mo rô ng tru ò ng. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng Mo rô ng tru ò ng Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng Bài tâ p Mo rô ng d o n Vành con và tru ò ng con sinh ra bo i mô t tâ p Câ u trúc cu a mo rô ng d o n Bài tâ p Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô Tính châ t cu a mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô iv

5 3.2 Tru ò ng con các phần tu d ȧi sô. Tru ò ng d óng d ȧi sô. Bao d óng d ȧi sô Bài tâ p Du ng hình bằng thu ó c ke và compa Ba bài toán du ng hình cô d iê n D iều kiê n cần d ê d a giác d ều p cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa Bài tâ p Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c D a thú c tách d u ȯ c Bài tâ p Chu o ng 2 LÍ THUYÊ T GALOIS Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng Nhóm các tu d ă ng câ u cu a mo rô ng tru ò ng v

6 6.2 Tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng Bài tâ p Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois Mo rô ng tách d u ȯ c và d i nh lí phần tu nguyên thu y Tiêu chuâ n cu a mo rô ng Galois và chuâ n tă c Bài tâ p D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois Bài tâ p Mô t sô ú ng ng cu a Lí thuyê t Galois du 9.1 Tru ò ng hũ u hȧn Tru ò ng và d a thú c chia d u ò ng tròn D a giác d ều du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa D i nh lí co ba n cu a d ȧi sô Bài tâ p Nhóm Galois cu a d a thú c Biê t thú c vi

7 10.2 Nhóm Galois cu a d a thú c bâ c D a thú c bâ c D a thú c tô ng quát Bài tâ p Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c Mo rô ng căn và tiêu chuâ n gia i d u ȯ c Tính không gia i d u ȯ c cu a d a thú c có bâ c ló n ho n bô n Nghiê m căn thú c cu a các d a thú c tô ng quát có bâ c không quá 4213 Bài tâ p C 223 PHU LU A Nhóm gia i d u ȯ c và nhóm d o n B D i nh lí Sylow và D i nh lí Cauchy C Bao d óng d ȧi sô cu a mô t tru ò ng D So lu ȯ c về Maple HU Ó NG DÂ N GIA I BÀI P 250 TÂ vii

8 BA NG KÍ HIÊ U VÀ QUY U Ó C 302 TÀI LIÊ U THAM KHA O 305 CHI MU C 307 viii

9 LÒ I NÓI D ẦU Lí thuyê t Galois là mô t trong nhũ ng lí thuyê t d ėp d ẽ nhâ t cu a d ȧi sô, tâ p hȯ p nhiều kiê n thú c và phu o ng pháp cu a các lĩnh vu c toán hȯc khác nhau, nhằm gia i quyê t các bài toán cô d iê n và nhũ ng vâ n d ề quan trȯng khác cu a d ȧi sô hiê n d ȧi. Mô t trong nhũ ng ú ng du ng chu yê u cu a Lí thuyê t Galois là gia i quyê t bài toán tìm nghiê m căn thú c cu a phu o ng trình d a thú c, d ă c biê t chı ra rằng phu o ng trình bâ c ló n ho n bô n không thê gia i d u ȯ c bằng căn thú c. Mă t khác, Lí thuyê t Galois cho phép xác d i nh d a giác d ều n cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. Bên cȧnh d ó, chúng ta nhâ n d u ȯ c tù Lí thuyê t Galois lò i gia i cho ba bài toán du ng hình cô d iê n, d ó là không thê (bằng thu ó c ke và compa) chia ba mô t góc, gâ p d ôi hình lâ p phu o ng hoă c cầu phu o ng d u ò ng tròn. Do tầm quan trȯng cu a Lí thuyê t Tru ò ng và Galois mà tù năm 1986, môn hȯc này d ã d u ȯ c Bô Giáo du c và d ào tȧo d u a vào trong chu o ng trình chính thú c cu a khoa Toán các tru ò ng D ȧi hȯc và Cao d ă ng, d ă c biê t là cho khoa Toán các Tru ò ng Su phȧm. Ho n thê, Lí thuyê t Galois cũng d u ȯ c gia ng dȧy cho các ló p Cao Hȯc, xem nhu kiê n thú c co ba n d ê tù d ó mo rô ng cho nhũ ng nghiên cú u lí thuyê t và ú ng du ng sâu să c ho n. ix

10 Giáo trình này ra d ò i trên co so bài gia ng cu a tác gia cho sinh viên Khoa Toán, Tru ò ng D ȧi hȯc su phȧm Huê suô t ho n 10 năm tru c tiê p gia ng dȧy môn hȯc này. Trong quá trình d ó, ba n tha o d u ȯ c chı nh su a và bô sung sao cho vù a phù hȯ p vó i chu o ng trình cu a Bô Giáo du c và D ào tȧo, vù a d áp ú ng nhu cầu su du ng các công cu mó i cu a d ȧi sô tính toán, vù a bô sung nhũ ng kiê n thú c liên quan khó có thê tìm d u trong mô t vài quyê n sách tham kha o. Vì thê, giáo trình ra d ò i, tru ó c hê t, nhằm d áp ú ng nhu cầu su du ng cu a sinh viên d ȧi hȯc, cao d ă ng và hȯc viên cao hȯc ngành toán. Bên cȧnh d ó, giáo trình có thê là mô t tài liê u tham kha o bô ích cho giáo viên phô thông trung hȯc và hȯc sinh gio i. Hȯ có thê tìm thâ y trong giáo trình này co so toán hȯc chă t chẽ cho viê c tìm nghiê m căn thú c cu a phu o ng trình d a thú c, cu a các bài toán du ng hình bằng thu ó c ke và compa, nhũ ng kiê n thú c về li ch su toán hȯc liên quan. Ngoài ra, giáo trình so lu ȯ c gió i thiê u về Maple, mô t trong nhũ ng hê thô ng tính toán d ȧi sô mȧnh mẽ và phô biê n nhâ t hiê n nay. Thông qua nhũ ng ví du minh hȯa, giáo trình chı ra kha năng tính toán mȧnh mẽ cu a Maple cũng nhu viê c hô trȯ d ă c lu c cu a phần mềm này cho các giáo viên phô thông, cho sinh viên và hȯc sinh trong hoȧt d ô ng gia ng dȧy, nghiên cú u và hȯc tâ p toán. x

11 Giáo trình d u ȯ c biên soȧn trên nguyên tă c d a m ba o d ầy d u và chă t chẽ cu a kiê n thú c. D ê làm viê c vó i giáo trình này, d ô c gia chı cần mô t sô kiê n thú c co so cu a d ȧi sô tuyê n tính, lôgic, d ȧi sô d ȧi cu o ng nhu d ã hȯc trong năm thú nhâ t và thú hai cu a D ȧi hȯc hoă c Cao d ă ng. Ngoài nhũ ng kiê n thú c d ó, nhũ ng khái niê m mó i d u ȯ c d i nh nghĩa và nhũ ng kê t qua mó i d ều d u ȯ c chú ng minh d ầy d u. Phần kiê n thú c bô sung, nê u chu a d u ȯ c hȯc trong nhũ ng năm d ầu tiên cu a chu o ng trình D ȧi hȯc, Cao d ă ng, sẽ d u ȯ c gió i thiê u chi tiê t trong c. Cuô i mô i tiê t ( ), giáo trình Phu lu cung câ p mô t thô ng phong phú các bài tâ p tù dê d ê n khó, bă t d ầu tù bài tră c hê nghiê m lí thuyê t nhằm giúp d ô c gia nă m mô t cách chă c chă n nhũ ng khái niê m và kê t qua chu yê u. Gần 150 bài tâ p trong giáo trình d ều có phần hu ó ng dâ n gia i d ầy d u trong nô lu c giúp d ô c gia có thê tu hȯc. Qua thu c tê gia ng dȧy, tác gia cho rằng viê c dȧy-hȯc toán hiê n nay nói chung, o d ȧi hȯc nói riêng, ngu ò i dȧy và ngu ò i hȯc cần khai thác su hô trȯ hiê u qua cu a các phần mềm toán hȯc. Có su hô trȯ này, viê c dȧy-hȯc có nhũ ng thay d ô i tích cu c và châ t lu ȯ ng giáo c d u ȯ c ca i thiê n rõ du rê t. Cùng vó i viê c nă m vũ ng kiê n thú c lí thuyê t, có kha năng gia i quyê t các bài toán ú ng ng, ngu ò i hȯc cần biê t su ng các phần mềm hô trȯ cho các c d ích du du mu xi

12 tính toán cu thê. Có nhiều tính toán râ t khó và phú c tȧp tru ó c d ây nay tro nên vô cùng d o n gia n vó i su trȯ giúp cu a các phần mềm toán hȯc. Trên tinh thần d ó, o nhũ ng vi trí thích hȯ p, tác gia bô sung các lê nh và ví du minh hȯa cho viê c su du ng Maple. D ê hoàn thành giáo trình này, tác gia d ã nhâ n d u ȯ c su hô trȯ cu a nhiều thê hê sinh viên và hȯc viên cao hȯc trong viê c phát hiê n, su a chũ a sai sót trong giáo trình. Nhiều thầy cô, d ồng nghiê p và bȧn bè cũng d ã d óng góp nhiều ý kiê n quý báu trong quá trình biên soȧn. Nhân di p giáo trình này ra d ò i, tác gia, mô t lần nũ a, go i lò i ca m o n sâu să c d ê n các thầy cô, d ồng nghiê p, bȧn bè và sinh viên về nhũ ng giúp d õ vô giá trên. Mă c dù d ã cô gă ng, giáo trình này không thê tránh kho i nhũ ng thiê u sót. Tác gia vô cùng biê t o n nê u nhâ n d u ȯ c nhũ ng ý kiê n d óng góp, bình luâ n và nhũ ng phát hiê n lô i trong giáo trình này cu a d ô c gia gần xa. Mȯi ý kiê n d óng góp, trao d ô i xin gu i về d i a chı : TS. Nguyê n Chánh Tú, Khoa Toán, Tru ò ng D ȧi hȯc su phȧm Huê, 32 Lê Lȯ i, Thành phô Huê, nctu2000@yahoo.com. Huê ngày 25 tháng 4 năm xii

13 HU Ó NG DÂ N SU DU NG Lí thuyê t Galois có nhiều cách tiê p câ n khác nhau. Mô t cách tiê p câ n có nhiều u u d iê m là trình bày Lí thuyê t Galois trên co so Lí thuyê t mo rô ng tru ò ng. Quan d iê m d ó cu a Bô Giáo du c và d ào tȧo d u ȯ c chúng tôi thô ng nhâ t trong viê c biên soȧn giáo trình này. Giáo trình có 2 chu o ng, ú ng vó i Lí thuyê t mo rô ng tru ò ng và Lí thuyê t Galois. Mô i chu o ng d u ȯ c chia ra thành các tiê t ( ) tu o ng ú ng vó i 4-5 giò hȯc tâ p trên ló p. Ngoài ra, giáo trình có bô sung phần Kiê n thú c chuâ n bi (Chu o ng 0), nhằm nhă c lȧi nhũ ng kiê n thú c cũ chu yê u có liên quan sau này. Giáo trình cô gă ng trình bày theo thú tu hȯ p lí nhâ t cu a viê c gia ng dȧy-hȯc tâ p môn hȯc. Tuy nhiên tùy theo mu c d ích mà d ô c gia có thê su du ng theo mô t thú tu phù hȯ p khác. Sau khi d ȯc xong phần lí thuyê t cu a tiê t, d ô c gia cần tu mình gia i quyê t các bài tâ p cuô i tiê t và tra lò i bài tâ p tră c nghiê m (có thê tham kha o phần hu ó ng dâ n, nê u cần). Các bài tâ p d u ȯ c să p xê p tù dê d ê n khó ; nhũ ng bài tâ p (*) d òi ho i su tu duy cao ho n. Nhu d ã trình bày, nê u có d iều kiê n, d ô c gia nên khai thác su du ng Maple thông qua các ví du và nô i dung cu thê trong giáo trình. Tù ( 8), giáo trình su du ng thêm các kiê n thú c sâu să c ho n cu a d ȧi sô d ȧi cu o ng. xiii

14 Nhũ ng kiê n thú c này d u ȯ c trình bày chi tiê t trong c. Phu lu Các d i nh lí, mê nh d ề, qua, bô hê d ề d u ȯ c d ánh sô theo tù ng tiê t, ví Mê nh d ề du 2.3 nằm trong 2 và d u ȯ c trích dâ n là Mê nh d ề 2.3 hoă c gȯn ho n là 2.3. Các công thú c hoă c phu o ng trình d u ȯ c d ánh sô tù d ầu d ê n cuô i giáo trình về bên pha i, ví du D f = 4p 3 27q 2 (1) d u ȯ c trích dâ n là (1). Riêng phần c, mȯi d i nh lí, mê nh d ề,...d u ȯ c d ánh sô Phu lu vó i mô t chũ cái d ú ng tru ó c, ví Mê nh d ề A.2. d u ȯ c trích dâ n là Mê nh d ề A.2. du hay d o n gia n là A.2.. Giáo trình có ba ng các kí hiê u su ng trong giáo trình và du phần Chı c (307) (Index) nhằm giúp d ô c gia dê dàng tra cú u d u ȯ c nô i dung khái Mu niê m hoă c kiê n thú c cần thiê t. xiv

15 VÀI NÉT VỀ LİCH SU 1 A) LİCH SU GIA I PHU O NG TRÌNH D A THÚ C Ngày nay, ngu ò i ta tin rằng, viê c gia i phu o ng trình d a thú c bâ c hai d ã d u ȯ c các nhà toán hȯc cô d ȧi Babilon quan tâm cách d ây gần 4000 năm. Nhũ ng tâ m d â t sét có niên d ȧi 1600 BC d u ȯ c tìm thâ y cu a nền văn minh Babilon còn ghi lȧi viê c tìm nghiê m cu a nhũ ng phu o ng trình bâ c hai thê cu. Tuy nhiên, nhũ ng lò i gia i trên d u ȯ c mô ta bằng phu o ng pháp hình hȯc và do d ó chı liên quan d ê n nhũ ng phu o ng trình bâ c hai có sô ló n ho n 0. hê Nhũ ng phu o ng pháp hình hȯc d ê gia i phu o ng trình bâ c hai tiê p c d u ȯ c nhà tu toán hȯc vĩ d ȧi Hy Lȧp Euclid (325 BC-265 BC) d ề câ p d ê n. Mãi d ê n thê kı thú 7, nhà toán hȯc  n D Brahmagupta ( ), mó i trình bày mô t cách gia i phu o ng ô trình bâ c hai có su ng sô âm và các kí hiê u, d ánh dâ u su phát triê du n cu a d ȧi sô. Viê c xét mô t cách d ầy d u nghiê m cu a phu o ng trình bâ c hai bằng phu o ng pháp d ȧi sô chı d u ȯ c thu c hiê n bo i các nhà toán hȯc Arab, tiêu biê u là al-khwarizmi 1 Thông tin trong phần này d u ȯ c tham kha o chu yê u tù [5] và [7].

16 2 Vài nét về li ch su ( ). Tuy nhiên, các nhà toán hȯc Arab lȧi chu a biê t d ê n sô âm, do d ó trong cuô n sách cu a mình có tên Hisabal-jabrw al-muqaba, al-khwarizmi d ã phân thành 6 loȧi phu o ng trình bâ c hai, ú ng vó i 6 chu o ng trong cuô n sách và trình bày cách gia i cho tù ng loȧi. D ây d uȯ c xem là cuô n sách d ầu tiên về d ȧi sô và tù Algebra (d ȧi sô ) ra d ò i tù tên cu a cuô n sách này. D ê n năm 1145, cuô n sách nô i tiê ng cu a nhà toán hȯc Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi ( ) d u ȯ c xuâ t ba n o châu Âu có tên Latinh là Liber ambadorum cũng trình bày d ầy d u nghiê m cu a các phu o ng trình bâ c hai. Tru ò ng phái toán hȯc Italy kho i d ầu khoa ng năm 1500 vó i cuô n sách cu a Luca Pacioli ( ) xuâ t ba n năm 1494, d u ȯ c biê t d ê n vó i tên viê t tă t là Suma, trong d ó lò i gia i cu a phu o ng trình bâ c hai d u ȯ c trình bày chi tiê t bằng ngôn ngũ d ȧi sô hiê n d ȧi. Pacioli không d ề câ p d ê n viê c gia i phu o ng trình d a thú c bâ c ba nhu ng ông lȧi nhă c d ê n viê c gia i phu o ng trình d a thú c bâ c bô n. Ông viê t, theo ngôn ngũ cu a d ȧi sô ngày nay, phu o ng trình bâ c bô n x 4 = a + bx 2 gia i d u ȯ c bằng phu o ng pháp nhu d ô i vó i phu o ng trình bâ c hai, nhu ng các phu o ng trình x 4 + ax 2 = b và x 4 + a = bx 2 thì không thê gia i d u ȯ c.

17 Vài nét về li ch su 3 Ngu ò i d ầu tiên tìm d u ȯ c nghiê m cu a phu o ng trình d a thú c bâ c ba là Scipione del Ferro ( ), mô t giáo su nô i tiê ng cu a D ȧi hȯc Bologna, Italy. Ferro tìm d u ȯ c nghiê m căn thú c cu a phu o ng trình x 3 + mx = n. Tâ t nhiên, nê u biê t su du ng khái niê m sô âm cu a các nhà toán hȯc  n D ô, thì công thú c nghiê m d ó là d u d ê gia i tâ t ca các dȧng cu a phu o ng trình bâ c ba. Tuy nhiên, lúc bâ y giò, Ferro không biê t d iều d ó. Ferro gia i d u ȯ c phu o ng trình bâ c ba nêu trên vào năm 1515, nhu ng giũ bí mâ t cho d ê n tru ó c lúc qua d ò i năm 1526 mó i tiê t lô cho mô t ngu ò i hȯc trò cu a mình là Antonio Fior. Fior là mô t ngu ò i hȯc toán bình thu ò ng và ngay lâ p tú c làm rò rı lò i gia i cu a thầy mình ra ngoài. Tin d ồn về lò i gia i cu a phu o ng trình bâ c ba lan rô ng khă p Bologna và các vùng lân câ n, kích thích nhà toán hȯc nghiê p du Niccolo Fontana( ) tìm ra lò i gia i cu a phu o ng trình x 3 + mx 2 = n không lâu sau d ó. N. Fontana (d u ȯ c biê t d ê n vó i tên Tartaglia) quyê t d i nh công bô thành công cu a mình. Mô t cuô c thách d ô khoa hȯc nô ra giũ a Tartaglia và Fior năm Luâ t cu a cuô c thi d o n gia n là mô i ngu ò i sẽ d u a ra 30 phu o ng trình bâ c ba cho d ô i thu, hėn trong 50 ngày, ai gia i d u ȯ c nhiều ho n thì thă ng. Tâ t ca các phu o ng trình mà Fior d u a ra cho Tartaglia d ều có dȧng x 3 + mx = b và Fior tin

18 4 Vài nét về li ch su Hình 1: Chân dung Tartaglia chă c là Tartaglia không thê gia i d u ȯ c. Tru ó c thò i hȧn cuô i cùng 8 ngày, Tatarlia d ã tìm d u ȯ c phu o ng pháp tô ng quát gia i tâ t ca phu o ng trình bâ c ba. Tru ó c công chúng, Tartaglia d u a ra lò i gia i cu a 30 bài toán trong vòng 2 giò và d u ȯ c công nhâ n là ngu ò i thă ng cuô c. Tuy nhiên, ông không công bô lò i gia i chi tiê t. Chiê n thă ng cu a Tartaglia lan d ê n Milan, kích thích mô t nhà toán hȯc nghiê p du khác, bác sĩ Girolamo Cardano ( ). Cardano lâ p tú c mò i Tartaglia

19 Vài nét về li ch su 5 d ê n thăm Milan vào năm 1539 và tìm cách thuyê t phu c Tartaglia tiê t lô lò i gia i phu o ng trình bâ c ba cho mình. Tartaglia d ồng ý vó i giao u ó c Cardano pha i giũ bí mâ t về lò i gia i cho d ê n khi Tartaglia tu mình xuâ t ba n công trình d ó. Nhu ng Cardano không giũ giao u ó c, lò i gia i cu a phu o ng trình bâ c ba và bâ c bô n d ã d u ȯ c xuâ t hiê n chi tiê t trong quyê n sách Ars Magna nô i tiê ng cu a Cardano, xuâ t ba n năm Tartaglia vô cùng tú c giâ n và trong mô t bài báo cu a mình xuâ t ba n sau d ó, Tartaglia khă ng d i nh lȧi công lao cu a mình và lên án su pha n bô i cu a Cardano. Trong Ars Magna, cuô n sách tiê ng Latinh d ầu tiên trên thê gió i về d ȧi sô, Cardano có d ề câ p d ê n công lao cu a Tartaglia chính là tác gia cu a công thú c nghiê m cu a phu o ng trình bâ c ba, nhu ng ông cũng gia i thích thêm rằng viê c chú ng minh công thú c cũng nhu trình bày lò i gia i chi tiê t là cu a ông cùng các hȯc trò cu a mình. D ă c biê t, cuô n sách cu a Cardano lần d ầu tiên trình bày lò i gia i cho 20 loȧi phu o ng trình d a thú c bâ c bô n. Các lò i gia i này d ều có chung phu o ng pháp là tìm nghiê m cu a mô t phu o ng trình bâ c ba (ngày nay ta gȯi là gia i thú c c ba), phu bâ rồi su ng nó d ê du gia i phu o ng trình bâ c bô n d ã cho. Tác gia cu a kê t qua này là

20 6 Vài nét về li ch su Hình 2: Chân dung G. Cardano Lodovico Ferari ( ), mô t trong nhũ ng hȯc trò xuâ t să c nhâ t cu a Cardano. Mô t lí do nũ a d ê gia i thích cho quyê t d i nh cu a Cardano là ông phát hiê n ra rằng Ferro là ngu ò i d ã gia i d u ȯ c các phu o ng trình bâ c ba tru ó c d ó 30 năm. Su ra d ò i cu a Ars Magna truyền ca m hú ng cho nhiều nhà toán hȯc trên thê gió i tiê p c nghiên cú u về phu o ng trình d a thú c nhu Bombelli ( , Italy), tu Viéte ( , Pháp), Descartes ( , Pháp), Harriot ( , Anh),

21 Vài nét về li ch su 7 Hình 3: Chân dung N. Abel Tschirnhaus ( , D ú c), Euler ( , y Sĩ), Bezout ( , Thu Pháp). Sau khi gia i d u ȯ c phu o ng trình d a thú c bâ c ba và bô n, vâ n d ề tìm nghiê m căn thú c cho phu o ng trình d a thú c bâ c năm d u ȯ c d ă t ra mô t cách tu nhiên và thu hút su quan tâm cu a nhiều nhà toán hȯc trong mô t thò i gian dài. Euler thâ t bȧi trong nô lu c cu a mình nhu ng d ȧt d u ȯ c mô t phu o ng pháp mó i gia i phu o ng trình bâ c bô n. Lagrange ( ), mô t nhà toán hȯc Italy-Pháp, d ã d ȧt d u ȯ c bu ó c

22 8 Vài nét về li ch su tiê n quan trȯng trong viê c nghiên cú u ba n châ t quá trình tìm nghiê m cu a phu o ng trình bâ c nho ho n năm ; quá trình d ó phu thuô c vào viê c xác d i nh các hàm nghiê m mà chúng không d ô i du ó i tác d ô ng cu a các hoán vi d ă c biê t trên tâ p nghiê m cu a d a thú c ; ông cũng d ã chı ra rằng quá trình d ó không thê thu c hiê n d u ȯ c d ô i vó i d a thú c bâ c năm. Tù d ó, gia thuyê t về viê c không thê gia i d u ȯ c phu o ng trình bâ c năm bằng căn thú c tro thành mô t thách thú c cho các nhà toán hȯc. Năm 1813, Ruffini ( , Italy) d ã cô gă ng d u a ra mô t chú ng minh cho gia thuyê t trên, râ t tiê c chú ng minh cu a ông còn nhiều d iê m không chính xác. Vâ n d ề chı d u ȯ c gia i quyê t trȯn vėn bo i thần d ồng toán hȯc ngu ò i Na Uy, Niels Henrik Abel ( ) vào năm Abel chu a ki p gia i quyê t bài toán tô ng quát ho n là khi nào mô t phu o ng trình d a thú c bâ c n có thê gia i d u ȯ c bằng căn thú c thì ông qua d ò i lúc chu a tròn 27 tuô i. Công trình cu a Abel chı d u ȯ c công nhâ n và xuâ t ba n sau d ó, năm Ba năm sau, mô t bi ki ch tu o ng tu cũng xa y ra vó i Evariste Galois ( ), mô t thần d ồng toán hȯc khác. Su ra d i d ô t ngô t cu a ông d ã không ki p cho thê gió i toán hȯc nhâ n ra mô t trong nhũ ng lí thuyê t d ėp d ẽ nhâ t cu a d ȧi sô, mà tù d ó dê dàng có câu tra lò i cho bài toán tô ng quát trên. Pha i d ȯ i d ê n năm 1843, mu ò i mô t

23 Vài nét về li ch su 9 Hình 4: Chân dung Galois lúc 15 tuô i năm sau ngày ông qua d ò i, nhũ ng tuyên bô sau cu a nhà toán hȯc Pháp Joseph Liouville ( ) trong bú c thu gu i cho Viê n Hàn Lâm Khoa Hȯc Pháp mó i d ánh dâ u su thù a nhâ n chính thú c cu a cô ng d ồng toán hȯc dành cho E. Galois. Liouville viê t : Hy vȯng tôi sẽ mang d ê n cho n Hàn Lâm t su quan tâm c t bằng Viê mô d ă biê c công bô rằng tôi d ã phát n d u ȯ c trong các công trình cu a Evariste viê hiê

24 10 Vài nét về li ch su Galois lò i gia i hoàn ha o và sâu să c cho bài toán nô i tiê ng: khi nào thì phu o ng trình d a thú c gia i d u ȯ c bằng căn thú c. Abel và Galois, hai sô phâ n bâ t hȧnh vó i nhiều d iê m tu o ng d ồng kì lȧ, xuâ t hiê n và biê n mâ t nhu hai vê t sao băng sáng chói trên bầu trò i toán hȯc. Su tồn tȧi ngă n ngu i cu a hȯ d ã d ê lȧi nhũ ng di sa n vĩ d ȧi cho văn hóa nhân loȧi. Công trình cu a Abel và Galois khép lȧi mô t chu o ng cu a li ch su gia i phu o ng trình d a thú c và mo ra nhiều chu o ng mó i cu a d ȧi sô hiê n d ȧi, kho i nguồn cho nhũ ng lí thuyê t d ėp d ẽ cùng nhiều ú ng du ng quan trȯng khác. B) C D Ò I CU CUÔ A EVARISTE GALOIS Evariste Galois sinh ngày 25 tháng 10 năm 1811 tȧi Bourg-la-Reine, mô t vùng ngoȧi ô cu athu d ô Paris nu ó c Pháp, trong mô t gia d ình trí thú c. Bô Galois là mô t ngu ò i nô i tiê ng, nhiều năm là tru o ng cu a Bourg-la-Reine. Mė ông am hiê thi u nhiều lĩnh vu c nhu triê t hȯc, ngôn ngũ, thần hȯc. Galois d u ȯ c mė dȧy tiê ng Hy lȧp, Latinh, thần hȯc cho d ê n năm 12 tuô i. Tháng 10 năm 1823, Galois bă t d ầu d ê n tru ò ng và vào hȯc ló p 4, Tru ò ng Louis-

25 Vài nét về li ch su 11 le-grand. Tȧi d ây, Galois só m chú ng kiê n su nô i dâ y cu a hȯc sinh hu o ng ú ng cuô c cách mȧng chô ng lȧi vua Louis XVIII và sau d ó là vua Charles X. Gần 40 hȯc sinh cu a tru ò ng d uô bi i hȯc trong năm hȯc d ầu tiên cu a Galois. Viê c hȯc cu a Galois trong năm hȯc d ầu tiên diê n ra thuâ n lȯ i. Galois d ȧt d iê m sô tô t và nhâ n d u ȯ c hȯc bô ng. Tuy nhiên, viê c hȯc trên ló p ngày càng tro nên kém hâ p dâ n và Galois pha i lu u ban vào năm 1826 do thiê u d iê m môn tu tù hȯc. Năm 1827, Galois tham gia khóa hȯc toán d ầu tiên vó i giáo su M. Vernier, và só m say mê môn hȯc này. Năm 1828, Galois thi vào tru ò ng École Polytechnique, tru ò ng d ȧi hȯc danh giá hàng d ầu cu a Pháp nhu ng không d ô. Quay tro về Louisle-Grand, anh tham gia khóa hȯc toán vó i giáo su Louis Richard ( ) và bă t d ầu nghiên cú u nhũ ng d ề tài riêng biê t cu a mình. Galois tìm d ȯc các giáo trình toán cao câ p nhu Hình hȯc cu a Legendre, lí thuyê t Langrange...Richard viê t về Galois Sinh viên này chı quan tâm d ê n nhũ ng lĩnh vu c khó nhâ t cu a toán hȯc. Sú c hút cu a toán hȯc làm anh chê nh ma ng ho n vó i viê c hȯc trên ló p. Phiê u nhâ n xét về Galois nhũ ng năm d ó d ều mô ta anh là mô t hȯc sinh khác thu ò ng, p lâ di, c d áo và khép kín. Tháng 4 năm 1829, Galois có công trình toán d ầu tiên d ô

26 12 Vài nét về li ch su Hình 5: Chân dung Galois d u ȯ c anh trai vẽ lȧi năm 1848 xuâ t ba n trên tȧp chí Annales de Mathématiques về liên phân sô. Cuô i tháng 5 và d ầu tháng 6, Galois gu i cho Viê n hàn lâm khoa hȯc Pháp các kê t qua nghiên cú u về nghiê m cu a phu o ng trình d ȧi sô. Cauchy ( ) là ngu ò i d u ȯ c phân công pha n biê n và ông d ã bác bo các kê t qua này. Tha m ki ch bă t d ầu xa y ra vó i Galois khi cha anh tu tu tù mô t su vu cáo ác hiê m cu a thầy tê vùng Bourg-la-Reine. Cha cu a Galois là mô t chính khách theo phái vi

27 Vài nét về li ch su 13 cô ng hòa. Nhũ ng xung d ô t chính phú c tȧp thò i bâ y giò giũ a phái cô ng hòa và tri ba o hoàng d ã lôi cuô n và góp phần d â y d ê n nhũ ng bi ki ch liên tiê p cho Galois và gia d ình anh. Cái chê t cu a cha gây sô c mȧnh mẽ và tác d ô ng ló n d ê n cuô c d ò i Galois sau này. Chı vài tuần sau cái chê t cu a cha, Galois pha i tra i qua lần thi thú hai vào Tru ò ng École Polytechnique. Và Galois lȧi ró t! Không na n chí, tháng 12 năm 1829, Galois thi và d ô vào tru ò ng École Normal. Trong kì thi d ó, giám kha o môn toán d ã có vi nhâ n xét về Galois nhu sau : Hȯc sinh này nhiều khi diê n ta t cách rô i ră m ý tu o ng cu a mình nhu ng mô là t hȯc sinh thông minh và có kha năng c t trong nghiên cú u. mô d ă biê Còn nhũ ng nhâ n xét cu a giám kha o môn văn hȯc là : vi D ây là hȯc sinh duy nhâ t tra lò i râ t tồi câu ho i cu a tôi và to ra không biê t gì ca. Tru ó c d ây, nhiều ngu ò i nói vó i tôi rằng hȯc sinh này có năng khiê u c t về toán hȯc. Tôi t su ngȧc nhiên về d ánh giá d ó vì sau kì thi d ă biê thâ này, tôi cho rằng anh ta không thông minh lă m.

28 14 Vài nét về li ch su Cuô i năm 1829, Galois lȧi gu i mô t công trình khác về lí thuyê t phu o ng trình cho Cauchy. Mô t lần nũ a Cauchy không thù a nhâ n kê t qua cu a Galois. Tháng 2 năm 1830, Galois gu i công trình Về d iều n t phu o ng trình gia i d u ȯ c bằng căn kiê mô thú c cho Viê n hàn lâm khoa hȯc Pháp d ê tham du gia i thu o ng toán hȯc cu a Viê n. Thu kí Viê n, giáo su nô i tiê ng J. Fourier ( ), là ngu ò i pha n biê n công trình cu a Galois. Nhu ng Fourier qua d ò i d ô t ngô t vào tháng 4 năm Và công trình cu a Galois không bao giò d u ȯ c tìm thâ y nũ a. Khoa ng thò i gian này, Galois biê t rằng mô t bài báo cu a nhà toán hȯc quá cô Abel d u ȯ c xuâ t ba n trên Bulletin de Férussac có mô t phần kê t qua giô ng cu a mình. Sau khi tìm d ȯc các bài báo cu a Abel và Jacobi ( , D ú c), Galois d ã hoàn thành các nghiên cú u về các hàm elliptic và tích phân aben. Galois d ã d ăng 3 công trình trên Bulletin de Férussac trong tháng 4 năm Trong tháng 6, Galois biê t tin gia i thu o ng toán hȯc cu a Viê n hàn lâm d ã d u ȯ c trao d ồng thò i cho Abel và Jacobi. Tháng 6 năm 1830, nu ó c Pháp c sôi vó i nhũ ng xung d ô t giũ a phe cô ng hòa su và ba o hoàng. Vua Charles X c xuâ t kho i Pháp, nhu ò ng ngai vàng cho vua bi tru Louis-Phillipe. Các cuô c biê u tình, bȧo loȧn, d àn áp tiê p c xa y ra thu ò ng xuyên tu

29 Vài nét về li ch su 15 trên các d u ò ng phô Paris. Hiê u tru o ng tru ò ng École Normal, GS. M. Guigniault, nhô t hȯc sinh trong tru ò ng d ê tránh không cho hȯc sinh tham gia xuô ng d u ò ng. Trèo tu ò ng ra ngoài không thành, Galois viê t mô t bài báo d ăng trên Gazette des Écoles d ê pha n d ô i viê c khóa cu a nhô t hȯc sinh trong tru ò ng cu a hiê u tru o ng. Galois d uô bi i hȯc và tham gia vào pháo binh, mô t binh chu ng trong quân d ô i hoàng gia. Tuy nhiên, d ê n tháng 12 năm 1830, pháo binh gia i tán bo i să c lê nh bi cu a nhà vua do lo sȯ binh chu ng này là mô i d e dȯa cho ngai vàng. Galois cô gă ng quay tro lȧi làm toán. Anh mo mô t ló p hȯc về d ȧi sô cao câ p thu hút khoa ng 40 sinh viên. Nhu ng sau buô i hȯc d ầu tiên, sô sinh viên gia m mô t cách nhanh chóng và cuô i cùng ló p hȯc tan rã. Nhũ ng công trình cuô i cùng trong d ò i Galois là 2 bài báo nho d ăng trên Annales de Gergonne (tháng 12 năm 1830) và trên Gazette des Écoles (tháng 1 năm 1831). Tháng 1 năm 1831, theo gȯ i ý cu a viê n sĩ Viê n hàm lâm khoa hȯc Pháp Poisson ( ), lần thú ba, Galois gu i công trình nghiên cú u về phu o ng trình cu a mình cho Viê n hàn lâm. Chính su nu ó c Pháp lȧi lôi cuô n Galois, ngu ò i d ang mang tâm trȧng nă ng nề

30 16 Vài nét về li ch su khi pha i d ô i mă t vó i nhũ ng bâ t hȧnh dồn dâ p. Ngu ò i thanh niên này liên tiê p ro i vào vòng xoáy cu a nhũ ng ý nghĩ và hành d ô ng tiêu cu c. Cuô i năm 1830, mu ò i chín sĩ quan pháo binh bă t về tô i âm lu u lâ t d ô bi ngai vàng, nhu ng d u ȯ c tha bô ng sau d ó. Ngày 9 tháng 5 năm 1831, nhũ ng ngu ò i cô ng hòa tô chú c mô t bũ a tiê c chào mù ng su kiê n này và phô tru o ng thanh thê. Phâ n khích tù không khí cu a bũ a tiê c, Galois d eo kính, tay cầm dao găm kêu gȯi mȯi ngu ò i chô ng lȧi nhà vua. Sau bũ a tiê c, Galois bă t giam o nhà tù Sainte-Pélagie. Ra tòa, Galois d u ȯ c tha bô bi ng vào ngày 15 tháng 6 năm Ngày 14 tháng 7, kı niê m su kiê n c Bastille, ngu Galois lȧi xuâ t hiê n o hàng d ầu trong cuô c biê u tình rầm cu a nhũ ng ngu ò i cô ng rô hòa, vó i trang c pháo binh, tay cầm súng và kiê m. Galois lȧi tô ng giam vào phu bi Sainte-Pélagie. Lần này Galois kê t án 6 tháng tù giam. Trong tù, Galois nhâ n bi d u ȯ c tin về sô phâ n hâ m hiu cu a công trình khoa hȯc mà anh gu i lần thú 3 cho Viê n hàn lâm khoa hȯc Pháp. Poisson nhâ n xét về công trình cu a Galois : Chúng tôi d ã cô gă ng d ê hiê u chú ng minh cu a Galois. Râ t tiê c, p n lâ luâ cu a tác gia không rõ ràng và nhũ ng kê t qua d ȧt d u ȯ c chu a d u d ê chúng tôi khă ng d i nh d u ȯ c tính d úng d ă n cu a công trình...tôi cho rằng tác gia nên

31 Vài nét về li ch su 17 biên soȧn lȧi toàn kê t qua cu a mình trong t công trình thô ng nhâ t d ê bô mô có tính thuyê t c ló n ho n. phu Tháng 3 năm 1832, di ch ta hoành hành o Paris. Galois cùng các tù nhân d u ȯ c chuyê n d ê n nhà an du õ ng Sieur Faultrier. Tȧi d ây, mô t co n gió mát tu o ng chù ng có thê làm di u d i nhũ ng d au buồn vô tâ n trong lòng ngu ò i tù tre. Galois d em lòng yêu Stephanie-Felice du Motel, con gái cu a mô t nhà vâ t lí trong vùng. Bâ t hȧnh thay, d â y là mô t mô i tình d o n phu o ng và lȧi là kho i d ầu cho bi ki ch ló n nhâ t cu a Galois. Sau khi d u ȯ c tu do vào ngày 29 tháng 4 năm 1832, Galois tiê p c theo tu d uô i cô gái nȯ, nhu ng cô luôn tìm cách tù chô i tình ca m cu a anh. Trong thò i gian này, nghe theo lò i khuyên cu a Poisson, Galois lă ng lẽ xâu chuô i lȧi nhũ ng phát minh cu a mình bằng nhũ ng trang viê t vô i vàng (Hình 6). Thê rồi, Galois lôi vào cuô c d â u súng d i nh mê nh vào ngày 30 tháng 5 năm bi 1832 vó i Perscheux d Herbinville. Nguyên nhân cu a cuô c d â u súng vâ n chu a thu c su rõ ràng nhu ng chă c chă n là có liên quan tru c tiê p d ê n Stephanie-Felice du Motel. Nhu tiên d oán d u ȯ c kê t c, d êm 29 tháng 5, Galois thú c trȯn d ê cu viê t bú c thu cuô i cùng cho ngu ò i bȧn Auguste Chevalier, tóm tă t lȧi toàn phát minh bô

32 18 Vài nét về li ch su Hình 6: Mô t trang ba n tha o cu a Galois cu a mình. Râ t nhiều d oȧn trong bú c thu bôi xóa nhiều lần vó i chú thích tôi bi không có d u thò i gian. Sáng hôm sau, Galois bu ó c chân d ê n d â u tru ò ng và kê t c cu tiên liê u d ã xa y ra. Cuô i ngày, mô t ngu ò i nông dân trong vùng phát hiê n Galois trȯng thu o ng nằm trên cánh d ồng và d u a anh vào bê nh viê n. Ngày 31 tháng 5 bi năm 1832, Galois trút ho i tho cuô i cùng tȧi bê nh viê n Cochin và d u ȯ c an táng tȧi

33 Vài nét về li ch su 19 Montparnasse 2 ngày sau d ó. Anh cu a Galois và Chavalier gu i bú c thu cùng toàn nhũ ng ba n tha o dang bô do cu a Galois cho Gauss ( , D ú c) và Jacobi nhu di chúc cu a anh. Không hiê u vì lí do gì, không có mô t pha n ú ng hoă c ý kiê n nào tù Gauss và Jacobi. May mă n là sau d ó, công trình cu a Galois d ê n d u ȯ c tay Liouville. Mu ò i mô t năm sau, Liouville d ã viê t thu thông báo cho Viê n hàn lâm Pháp về su d úng d ă n và sâu să c trong kê t qua cu a Galois ; ông d ã cho xuâ t ba n nhũ ng phát minh cu a Galois trên tȧp chí Revue Encyclopédia cu a mình vào năm Galois kê t thúc bú c thu d i nh mê nh cu a mình bằng nhũ ng dòng : Xin gu i cho Gauss và Jacobi d ê hȯ d ánh giá công khai, không pha i về tính d úng d ă n mà là tầm quan trȯng cu a nhũ ng d i nh lí này. Tôi hi vȯng u hâ thê sẽ có ngu ò i thâ y d u ȯ c su sâu să c cu a chúng cũng nhu gia i mã d u ȯ c tâ t ca nhũ ng bí â n n thò i. hiê Phát minh mà Galois d em lȧi cho khoa hȯc d ê tù d ó hâ u thê d ã, d ang và sẽ tiê p c gia i mã là lí thuyê t mang tên ông : Lí thuyê t Galois. tu

34 20 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ

35 Chu o ng 0 KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Trong phần Kiê n thú c chuâ n bi, ta nhă c lȧi các kiê n thú c co ba n nhâ t cu a d ȧi sô d ȧi cu o ng sẽ d u ȯ c su du ng trong cuô n sách này. Chú ng minh cu a các kê t qua này dê dàng tìm thâ y trong các giáo trình d ȧi sô o Cao d ă ng và D ȧi hȯc. Các kiê n thú c sâu să c ho n về Lí thuyê t nhóm cần thiê t sẽ d u ȯ c trình bày chi tiê t trong Phần Phu lu c. D ă c biê t, viê c gia i quyê t các bài tâ p cuô i tiê t này tȧo d iều kiê n cho d ô c gia nă m tô t ho n các tính châ t và phu o ng pháp co ba n su du ng trong Lí thuyê t tru ò ng và vành d a thú c. 21

36 22 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 0.1 TRU Ò NG. D Ă C SÔ CU A TRU Ò NG. D i nh nghĩa. Tru ò ng là mô t vành giao hoán có d o n vi khác 0 và mȯi phần tu khác 0 d ều kha nghi ch. Nhâ n xét 0.1. Tru ò ng là mô t miền nguyên, d ă c biê t tru ò ng không có u ó c cu a 0. Ví du 1. Q là tru ò ng các sô hũ u tı vó i các phép toán cô ng và nhân thông thu ò ng. Tu o ng tu, ta có tru ò ng R các sô thu c và tru ò ng các sô phú c C. Ví 2. Vành thu o ng Z n = Z/nZ là mô t tru ò ng khi và chı khi n nguyên tô. du Tru ò ng Z p vó i p nguyên tô là tru ò ng hũ u hȧn có p phần tu. D i nh nghĩa. Mô t d ồng câ u tru ò ng là mô t d ồng câ u vành biê n d o n vi thành d o n vi. Tu o ng tu nhu vành, ta có khái niê m d o n câ u, toàn câ u và d ă ng câ u tru ò ng. Cho F là mô t tru ò ng. Mô t d ồng câ u (d ă ng câ u) tru ò ng tù F vào F gȯi là mô t tu d ồng câ u (tu d ă ng câ u) tru ò ng. Tâ p tâ t ca các tu d ă ng câ u tru ò ng vó i phép toán tích các ánh xȧ tȧo thành mô t nhóm, ký hiê u Aut(F ). Nhâ n xét 0.2. Mȯi d ồng câ u tru ò ng d ều là d o n câ u.

37 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 23 D i nh nghĩa. Nhâ n xét 0.3. Mô t vành con A chú a phần tu 1 cu a tru ò ng F d u ȯ c gȯi là tru ò ng con nê u A ô n d i nh vó i phép lâ y phần tu nghi ch d a o. (i) Mô t tru ò ng con cu a F là mô t tru ò ng vó i các phép toán ca m sinh. (ii) Giao cu a mô t hȯ khác rô ng các tru ò ng con là mô t tru ò ng con. Cho F là mô t tru ò ng. Xét ánh xȧ ϕ : Z F m m 1 F. Dê dàng chú ng minh rằng ϕ là mô t d ồng câ u vành. Xét Ker(ϕ), ta có các tru ò ng hȯ p sau: Ker(ϕ) 0. Do Z là miền nguyên chính, ta có Ker(ϕ) = (p) vó i p > 0 là sô nguyên du o ng nho nhâ t tho a p 1 F = 0. Rõ ràng p là mô t sô nguyên tô. Suy ra ϕ ca m sinh mô t d o n câ u tù Z p vào F, do d ó F chú a mô t tru ò ng con d ă ng câ u vó i Z p. Tru ò ng con này chú a trong tâ t ca các tru ò ng con cu a F. Sô nguyên tô p d u ȯ c gȯi là d ă c sô cu a tru ò ng F.

38 24 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Ker(ϕ) = 0, tú c là 0 là sô nguyên duy nhâ t d ê m 1 F = 0. Khi d ó ϕ mo rô ng duy nhâ t thành mô t d ồng câ u tru ò ng tù Q vào F d i nh bo i m/n ϕ(m)ϕ(n) 1. Do d ó F chú a mô t tru ò ng con d ă ng câ u vó i Q và tru ò ng con này chú a trong tâ t ca các tru ò ng con cu a F. Khi d ó ta nói F là tru ò ng có d ă c sô 0. D i nh nghĩa. Tù kê t qua trên, ta có: Cho F là mô t tru ò ng. Giao cu a tâ t ca các tru ò ng con cu a F gȯi là tru ò ng con nguyên tô cu a F. Mê nh d ề 0.4. Mô t tru ò ng d ă c sô p có tru ò ng con nguyên tô d ă ng câ u vó i Z p xác d i nh bo i m m1 F. Mô t tru ò ng d ă c sô 0 có tru ò ng con nguyên tô d ă ng câ u vó i Q xác d i nh bo i m n (m1 F )(n1 F ) 1. Nhâ n xét 0.5. Chú ý rằng chı có duy nhâ t mô t d ồng câ u tù Q hay Z p vào mô t tru ò ng cho tru ó c F và d ồng câ u d ó xác d i nh nhu trong mê nh d ề trên. Thâ t vâ y, gia su F có d ă c sô 0 và φ : Q F là mô t d ồng câ u tru ò ng. Khi d ó m N, φ(m) = φ( ) = mφ(1) = m1 F.

39 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 25 Ho n nũ a, φ( m) = φ(m) = (m1 F ) = ( m)1 F. Hay φ(m) = m1 F, m Z. Do d ó φ(m/n) = (m1 F )(n1 F ) 1 vó i mȯi m/n Q. Tu o ng tu vó i tru ò ng hȯ p F có d ă c sô p và φ : Z p F là mô t d ồng câ u, ta luôn có φ(m) = m1 F. 0.2 VÀNH D A THÚ C Cho A là mô t vành giao hoán có d o n 1 0. Ký hiê u A[x] là vành các d a thú c vi biê n x siêu viê t có tu trong A. Mô t d a thú c hê f = a 0 + a 1 x + + a n x n A[x], a n 0 gȯi là có bâ c n, kí hiê u deg(f). Khi d ó vành A chú a trong A[x] nhu mô t vành con. Mê nh d ề 0.6 (Tính phô ng cu a vành d a thú c). Cho vành d a thú c A[x] và du R là t vành giao hoán và α R. Khi d ó mȯi d ồng câ u vành τ : A R mo mô

40 26 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ ng duy nhâ t thành d ồng câ u vành ϕ tù A[x] vào R tho a rô ϕ(x) = α và ϕ(a) = τ (a), a A. Mê nh d ề 0.7. Cho f, g A[x] và g 0 có tu dâ n d ầu kha nghi ch. Khi d ó, tồn hê tȧi duy nhâ t q, r D[x] sao cho f = gq + r vó i r = 0 hay deg(r) < deg(g). D a thú c q (tu o ng ú ng r) gȯi là thu o ng (tu o ng ú ng du ) cu a phép chia (Euclide) f cho g. Vành d a thú c trên tru ò ng d óng mô t vai trò d ă c biê t quan trȯng trong Lí thuyê t mo rô ng tru ò ng và Galois. Suô t trong cuô n sách này, ta kí hiê u F là mô t tru ò ng nê u không có gia i thích khác. qua 0.8. Mȯi id êan cu a F [x] d ều là id êan chính. Ho n thê id êan (f) F [x] là Hê tô i d ȧi khi và chı khi f bâ t kha quy. Thuâ t toán Euclide cho phép ta tìm u ó c chung ló n nhâ t cu a 2 d a thú c cho tru ó c và ho n thê, cho phép ta tìm các d a thú c s, t trong qua sau: hê qua 0.9. Cho f, g F [x]. Ký u d = (f, g). Khi d ó tồn tȧi các d a thú c Hê hiê s, t F [x] sao cho sf + tg = d.

41 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 27 Vó i Maple, các thuâ t toán trên trong Q[x] d u ȯ c cho bo i các lê nh thê hiê n trong ví sau: du Su ng Maple 1. D ê du tính du và thu o ng cu a phép chia d a thú c f = x x 4 + x 3 + x 1 cho g = x 3 x + 3, ta có thê dùng lê nh rem hoă c quo: > rem(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x, q ); 7 3 x x 2 > q; x x + 2 Nhu thê khi chia f cho g ta d u ȯ c thu o ng là x 2 + 2x + 2 và du là 7 3x x 2. D ê tính u ó c chung ló n nhâ t trong Q[x], ta dùng lê nh > gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x); 1

42 28 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Lê nh trên cũng cho ta tính d u ȯ c d a thú c s, t sao cho sf + tg = d nhu ví sau du d ây. > gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x, s, t ); 1 > s,t; x x2, x x x x4 Tính toán trong vành Z p [x], ta dùng lê nh Rem và Gcdex tu o ng ú ng. Mê nh d ề Cho f Z[x] bâ t kha quy trên Z. Khi d ó f bâ t kha quy trên Q. D i nh nghĩa. Cho D là mô t miền nguyên Gauss. Mô t d a thú c thuô c vành D[x] gȯi là chuâ n tă c nê u hê tu dâ n d ầu cu a f bằng 1. Mê nh d ề Cho f Z[x] là mô t d a thú c chuâ n tă c. Nê u g Q[x] là mô t u ó c chuâ n tă c cu a f trong Q[x] thì g Z[x]. Chú ng minh. Xem BT

43 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 29 Mê nh d ề 0.12 (Tiêu chuâ n bâ t kha quy cu a Eisenstein). Cho f = a n x n + + a 0 Z[x]. Nê u tồn tȧi mô t sô nguyên tô p sao cho: p a n, p a i, i = 0,..., n 1 và p 2 a 0 thì f bâ t kha quy trong Q[x]. Mê nh d ề Cho f = a a n x n (r, s) = 1, là nghiê m cu a f thì r a 0 và s a n. Q[x]. Nê u phần tu r s Q, vó i Su du ng Maple 2. Maple có thê tìm dȧng nhân tu hóa cu a mô t d a thú c khác 0 bâ t kỳ trong Q[x] hay Z p [x] bằng lê nh factor hay Factor. > factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5); (2 x 2 + 1) (x x + 5) > Factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5) mod 13; 2 (x + 4) (x 2 + 7) (x + 11) Xét vành thu o ng Z m. Toàn câ u chính tă c Z Z m mo rô ng tầm thu ò ng thành toàn câ u vành Z[x] Z m [x] biê n f = a n x n + +a 0 thành f := a n x n + +a 0.

44 30 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Mê nh d ề Cho f Z[x]. Nê u tồn tȧi mô t sô nguyên tô p không chia hê t hê tu cao nhâ t cu a f và f bâ t kha quy trong Z p [x] thì f bâ t kha quy trong Q[x]. Chú ng minh. Xem Bài tâ p Chú ý rằng, mê nh d ề trên chı cho mô t d iều kiê n d u. Có nhũ ng d a thú c bâ t kha quy trong Q[x] nhu ng a nh cu a nó trong Z p [x] là kha quy vó i mȯi sô nguyên tô p, xem Bài tâ p T SÔ NHÓM HŨ U HȦN MÔ Câ p cu a mô t nhóm (nhân) hũ u hȧn G là sô phần tu cu a nhóm, kí hiê u (G : 1) hay G. Câ p cu a mô t phần tu a G là câ p cu a nhóm con cyclic sinh ra bo i a. Ta gió i thiê u mô t sô nhóm hũ u hȧn quan trȯng sẽ gă p trong nô i dung cu a cuô n sách này. a) Nhóm dihedral D 2n Nhóm dihedral D 2n còn gȯi là nhóm các phép d ô i xú ng cu a d a giác d ều n cȧnh P n, tú c là nhóm các phép biê n d ô i d ă ng cu cu a mă t phă ng biê n P n thành chính nó. Gȯi σ là phép quay có tâm là tâm cu a P n và góc quay là 2π/n (góc d i nh hu ó ng).

45 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 31 Rõ ràng σ có câ p n. Gȯi τ là phép d ô i xú ng c vó i c d ô i xú ng d i qua mô t d ı nh tru tru chȯn tru ó c cu a P n. Câ p cu a τ bằng 2. Khi d ó D 2n = {τ i σ j i = 0, 1 ; j = 1,..., n} có câ p bằng 2n. Dê dàng chı ra rằng D 2n =< σ, τ σ n = τ 2 = 1, στ = τ σ 1 >. b) Nhóm d ô i xú ng S n Nhóm d ô i xú ng S n là nhóm các phép hoán n phần tu cu a tâ p vi Ω = {1,..., n}, có câ p bằng n!. Mô i phần tu cu a S n gȯi là mô t phép thê. Nhóm d ô i xú ng S n vó i n 3 là mô t nhóm không giao hoán. Mô t vòng xích σ = (a 1 a 2... a m ) gồm các sô tu nhiên phân biê t cu a Ω biê u diê n mô t phép thê cu a S n d i nh bo i σ(a i ) = a i+1 vó i 1 i m 1, σ(a m ) = a 1 và giũ nguyên các phần tu còn lȧi cu a Ω. Vòng xích σ gȯi là có dài m nê u nó chú a m phần tu. Hai vòng xích gȯi là d ô c d ô lâ p nê u chúng không có phần tu chung. Tích cu a 2 vòng xích d ô c lâ p có tính giao

46 32 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ hoán. Có thê chú ng minh dê dàng kê t qua sau. Mê nh d ề Mȯi phép thê d ều có thê biê u diê n mô t cách duy nhâ t (sai khác thú tu ) du ó i dȧng tích cu a các vòng xích d ô c lâ p. Biê u diê n này d u ȯ c gȯi là biê u diê n vòng xích cu a phép thê. Ví du 3. Trong S 12, cho phép thê σ d i nh bo i: Ta có σ = ( )(5 11 7)(6 9). σ Khi d u ȯ c biê u diê n bằng tích cu a các vòng xích d ô c lâ p, nghi ch d a o cu a phép thê d u ȯ c xác d i nh mô t cách dê dàng bằng cách viê t d a o ngu ȯ c các phần tu trong các vòng xích d ô c lâ p cu a nó. Ví du, vó i phép thê σ o trên, ta có σ 1 = ( )(7 11 5)(6 9). Ta cũng dê dàng chú ng minh d u ȯ c kê t qua sau. Mê nh d ề Câ p cu a phép thê σ bằng bô i chung nho nhâ t cu a d ô dài cu a các vòng xích trong biê u diê n vòng xích cu a σ.

47 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 33 Chú ng minh. Xem Bài tâ p Mô t vòng xích có dài bằng 2 gȯi là mô t phép chuyê d ô n trí. Mȯi vòng xích d ều d u ȯ c biê u diê n (không duy nhâ t) bằng tích cu a các phép chuyê n trí, chă ng hȧn : σ = (a 1 a 2... a m ) = (a 1 a m ) (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). (1) Tù d ó suy ra : Mê nh d ề Mȯi phép thê d ều biê u diê n d u ȯ c du ó i dȧng tích cu a các phép chuyê n trí. Nhu thê tâ p hȯ p T tâ t ca các phép chuyê n trí cu a S n sinh ra S n. Kê t qua sau cũng d u ȯ c su ng sau này. du Mê nh d ề Nhóm d ô i xú ng S n d u ȯ c sinh bo i vòng xích ( n) và phép chuyê n trí (1 2). Chú ng minh. Cho c = ( n) và t = (1 2). Gȯi G là nhóm con sinh bo i t và c. Khi d ó G chú a phần tu c tc 1 = (2 3), nên chú a c(2 3)c 1 = (3 4),...

48 34 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ và do d ó chú a các phép chuyê n trí dȧng (m m + 1). Suy ra G chú a các phần tu (1 2)(2 3)(1 2) = (1 3) ; (1 3)(3 4)(1 3) = (1 4) ;... nhu thê G chú a các phép chuyê n trí dȧng (1 m). Do d ó G chú a các phần tu dȧng (1 m)(1 r)(1 m) = (m r) vó i mȯi m, r {1,..., n}. Tâ t ca các phép chuyê n trí sinh ra S n nhu d ã thâ y o mê nh d ề trên. Do d ó G = S n. Ta nhă c lȧi khái niê m dâ u cu a phép thê và gió i thiê u nhóm thay phiên A n. D ă t n = 1 i<j n (x i x j ). Vó i σ S n, tác d ô ng cu a σ trên n d i nh bo i: σ( n ) = ( ) xσ(i) x σ(j). 1 i<j n Do σ là mô t song ánh, mô i nhân tu (x i x j ) cu a n xuâ t hiê n d úng mô t lần vó i dâ u + hay trong σ( n ). Nhu thê, ta có σ( n ) = ± n.

49 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 35 D ă t sign(σ) = σ( n) {±1} n gȯi là dâ u cu a phép thê σ. Phép thê σ gȯi là phép thê chă n nê u sign(σ) = 1, là phép thê le D i nh nghĩa. nê u sign(σ) = 1. Mê nh d ề Ánh xȧ sign : S n {±1} là mô t toàn câ u nhóm. Chú ng minh. Ta có ( xτ σ(i) x τ σ(j) ) ( xσ(i) x σ(j) ) sign(τ σ) = 1 i<j n 1 i<j n ( xσ(i) σ(j) ) = sign(τ ) sign(σ). 1 i<j n 1 i<j n (x i x i ) Dê thâ y rằng sign là mô t toàn ánh vì a nh cu a phép chuyê n trí (1 2) bằng 1. Nhu thê sign là mô t toàn câ u nhóm. qua p hȯ p tâ t ca các phép thê chă n trong S n là t nhóm con chuâ Hê Tâ mô n tă c cu a S n có chı sô bằng 2, gȯi là nhóm thay phiên (trên n phần tu ), kí u A n. hiê

50 36 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Ví 4. Ta tính dâ u cu a phép chuyê du n trí tùy ý (i j). Ta d ã biê t phép chuyê n trí (1 2) là mô t phép thê le. Gȯi τ = (1 i)(2 j) là phép thê hoán 1 cho i và 2 cho j. vi Khi d ó ta có (i j) = τ (1 2)τ. Vì sign là d ồng câ u nhóm, ta có sign(i j) = ( 1) sign(τ ) 2 = 1. Vâ y phép chuyê n trí là phép thê le. Mê nh d ề t vòng xích dài m là phép thê le khi và chı khi m là sô chă n. Mô d ô Suy ra, t phép thê σ là le khi và chı khi sô các vòng xích dài chă n trong biê mô d ô u diê n vòng xích cu a σ là t sô le. mô Chú ng minh. Mô t vòng xích dài m có thê d ô biê u diê n nhu tích cu a m 1 phép chuyê n trí (xem (1)). Do mô i phép chuyê n trí là le, suy ra d iều pha i chú ng minh. c) Nhóm quaternion Nhóm quaternion Q 8 là nhóm có 8 phần tu, xác d i nh nhu sau. Cho Q 8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k}, vó i phép nhân d i nh bo i:

51 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 37 1a = a1 = a vó i mȯi a Q 8 ; ( 1)( 1) = 1 ; ( 1)a = a( 1) = a vó i mȯi a Q 8 ; ii = jj = kk = 1 ; ij = k ; ji = k ; jk = i ; kj = i ; ki = j ; ik = j. Dê dàng kiê m tra tâ t ca các tiên d ề cu a nhóm d ều tho a mãn. 0.4 HÀM EULER Ta nhă c lȧi khái niê m hàm Euler và mô t sô tính châ t quan trȯng cu a nó. Phần chú ng minh các tính châ t này d u ȯ c thu c hiê n trong phần Bài tâ p.

52 38 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Hàm Euler ϕ là mô t ánh xȧ tù N vào N d i nh bo i D i nh nghĩa. ϕ(n) = #{m N m n, (m, n) = 1}. Nghĩa là ϕ(n) là sô các sô tu nhiên không ló n ho n n và nguyên tô cùng nhau vó i n. Mô t sô tính châ t cu a hàm Euler d u ȯ c phát biê u trong mê nh d ề sau. Mê nh d ề Kí u ϕ là hàm Euler. Khi d ó: hiê (i) ϕ(p) = p 1 vó i p là sô nguyên tô ; (ii) ϕ(p m ) = (p 1)p m 1 ; (iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) vó i mȯi (a, b) = 1 ; (iv) Nê u a = p m 1 1 p m r r thì ϕ(a) = a(1 1 p 1 ) (1 1 p r ) ; (v) d nϕ(d) = n.

53 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 39 Chú ng minh. Xem Bài tâ p Bài p tâ Chȯn d úng (D ), sai (S) cho các mê nh d ề sau: a) Hai d a thú c bâ t kỳ cu a F [x] d ều tồn tȧi u ó c chung ló n nhâ t. b) Tu o ng ú ng tù F [x] vào Z cho bo i f deg(f) là mô t d ồng câ u vành. c) Mȯi tru ò ng d ều d ă ng câ u vó i tru ò ng các thu o ng cu a nó. d) Vành Z n là mô t miền nguyên khi và chı khi nó là mô t tru ò ng. e) Mȯi d a thú c trên tru ò ng F d ều có mô t nghiê m trong F. f) Mȯi d a thú c bâ t kha quy trên Q d ều bâ t kha quy trên Z. g) Mȯi d a thú c bâ t kha quy trên Q thì bâ t kha quy trên R. h) Có vô hȧn các d a thú c bâ t kha quy bâ c n trên Q (trên R, trên C). i) Nhũ ng d a thú c nguyên tô cùng nhau thì có bâ c khác nhau. (Xem HD 250)

54 40 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Cho F là tru ò ng có d ă c sô p > 0. Xét ánh xȧ ϕ : F F a a p. gȯi là ánh xȧ Frobenius. Chú ng minh rằng ϕ là mô t d ồng câ u tru ò ng. Suy ra nê u F là tru ò ng hũ u hȧn thì ϕ là mô t tu d ă ng câ u. (Xem HD 250) Cho D là miền nguyên và F D là tru ò ng các thu o ng cu a nó. Cho K là mô t tru ò ng và τ : D K là mô t d o n câ u vành. Chú ng minh rằng tồn tȧi duy nhâ t mô t d ồng câ u tru ò ng ϕ : F D K sao cho ϕ(a) = τ (a), a D. Suy ra tính duy nhâ t cu a tru ò ng các thu o ng cu a D. (Xem HD 250) Xác d i nh các tu d ồng câ u cu a tru ò ng các sô hũ u ty. Tu o ng tu, xác d i nh các tu d ồng câ u cu a Z p ; suy ra công thú c Fermat a p a mod p vói mȯi a Z. (Xem HD 251) Chú ng minh rằng mô t tru ò ng F có d ă c sô 0 (tu o ng ú ng p nguyên tô ) khi và chı khi tồn tȧi mô t d ồng câ u (d o n câ u) tru ò ng tù Q (tu o ng ú ng Z p ) vào F. Ho n nũ a, d ồng câ u tru ò ng d ó là duy nhâ t.

55 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 41 (Xem HD 252) Cho f = x 4 10x Z[x]. Chú ng minh rằng f bâ t kha quy trên Z nhu ng kha quy khi xét nhu mô t d a thú c trong Z p [x] vó i mȯi p nguyên tô. (Xem HD 252) Chú ng minh qua 0.8. (Xem HD 252) Hê Chú ng minh Mê nh d ề (Xem HD 253) Tìm d = (f, g) vó i f, g Z 11 [x] cho bo i f = x 5 +2x 4 +3x 3 +3x 2 5x+2, g = 2x 3 + 7x 2 + 5x 2. Tìm s, t Z 11 [x] sao cho sf + tg = d. Nên su ng Maple. du (Xem HD 253) Chú ng minh dȧng tô ng quát cu a MD. 0.10: cho D là miền nguyên Gauss và F D là tru ò ng các thu o ng cu a D. Nê u f D[x] bâ t kha quy trên D thì bâ t kha quy trên F D. (Xem HD 253) Xác d i nh tính bâ t kha quy cu a các d a thú c sau d ây. Trong tru ò ng hȯ p kha quy, tìm dȧng nhân tu hóa cu a d a thú c trên tru ò ng chı ra.

56 42 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ a) x trên Q. b) x trên R. c) x x 3 33x + 22 trên Q. d) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 trên Q. e) x 3 7x 2 + 3x + 3 trên Q. f) x x trên Q. g) x trên Z 17. h) x 3 5 trên Z 11. (Xem HD 253) Tìm nghiê m cu a các d a thú c sau d ây (tru ó c tiên trong Q sau d ó trong R, C). a) x b) x 3 6x x 6. c) x 5 + x + 1. d) x e) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. f) x 4 6x (Xem HD 254) Tìm tâ t ca các d a thú c chuâ n tă c x 2 + bx + c Z 5 [x]. D a thú c nào bâ t kha quy? Trong mô i tru ò ng hȯ p, tính := b 2 4c. Du d oán và chú ng minh tiêu chuâ n bâ t kha quy theo. (Xem HD 254) Chú ng minh Mê nh d ề (Xem HD 254)

57 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Cho p là mô t sô nguyên tô. Chú ng minh rằng trong Z p [x] có d úng p2 p d a 2 thú c chuâ n tă c bâ t kha quy bâ c 2. (Xem HD 255) Chú ng minh Mê nh d ề 0.16 bằng cách chú ng minh các khă ng d i nh sau. Nê u σ = (a 1 a 2... a m ) thì vó i mȯi i {1, 2,..., m}, ta có σ i (a k ) = a k+i vó i k + i d u ȯ c lâ y thă ng du theo modulo m. Trong mô t nhóm nhân G, cho a, b là 2 phần tu giao hoán d u ȯ c, khi d ó (ab) n = a n b n vó i mȯi n Z Cho ϕ là hàm Euler. Chú ng minh rằng a) nê u q n thì ϕ(qn) = qϕ(n) ; b) nê u (p, n) = 1 và p nguyên tô thì ϕ(pn) = (p 1)ϕ(n) ; c) suy ra nê u p nguyên tô và (p, n) = 1 thì ϕ(p m n) = (p 1)p m 1 ϕ(n) ; d) suy ra ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), (a, b) = 1 ;

58 44 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ e) d nϕ(d) = n. (Xem HD 255) * Cho F là mô t tru ò ng. Chú ng minh rằng mȯi nhóm con hũ u hȧn cu a nhóm nhân F = F {0} là mô t nhóm cyclic. Suy ra nê u F là tru ò ng hũ u hȧn thì F là nhóm cyclic. (Xem HD 256) * Xác d i nh tâ p các tu d ồng câ u cu a tru ò ng R. (Xem HD 257)

59 Chu o ng 1 MO RÔ NG TRU Ò NG 1 MO RÔ NG TRU Ò NG. BÂ C CU A MO RÔ NG TRU Ò NG 1.1 MO RÔ NG TRU Ò NG D i nh nghĩa. Cho tru ò ng K và F là mô t tru ò ng con cu a K. Khi d ó F K gȯi là mô t mo rô ng tru ò ng và K d u ȯ c gȯi là mô t mo rô ng (tru ò ng) cu a F. Mô t mo rô ng tru ò ng F K còn d u ȯ c kí hiê u là K : F hay K/F. 45

60 46 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Nhâ n xét 1.1. (i) Mȯi tru ò ng d ều là mo rô ng cu a tru ò ng con nguyên tô cu a nó. (ii) Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng. Khi d ó tru ò ng con nguyên tô cu a chúng trùng nhau. Ví 5. Q R, Q C, R C là các mo rô ng tru ò ng. du Ví 6. Cho F là mô t tru ò ng và F (x) là tru ò ng các phân thú c hũ u ty biê n x siêu du viê t trên F. D ồng nhâ t F vó i các phân thú c hằng, ta có F F (x) là mô t mo rô ng tru ò ng. D i nh nghĩa. Cho K : F và L : F là các mo rô ng tru ò ng cu a F. Mô t d ồng câ u (d ă ng câ u) tru ò ng ϕ : K L tho a ϕ(a) = a, a F gȯi là F -d ồng câ u (F -d ă ng câ u). Mo rô ng K : F d u ȯ c gȯi là F -d ă ng câ u vó i mo rô ng L : F nê u tồn tȧi mô t F -d ă ng câ u tù K vào L, kí hiê u K = F L. Nê u K = L thì các F -d ồng câ u (F -d ă ng câ u) gȯi là F -tu d ồng câ u (F -tu d ă ng câ u). Tô ng quát ho n, ta có:

61 1. Mo rô ng tru ò ng. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng 47 D i nh nghĩa. D i nh nghĩa. Cho F K và E L là các mo rô ng tru ò ng, cho τ : F E là mô t d ồng câ u (d ă ng câ u) tru ò ng. D ồng câ u (d ă ng câ u) ϕ : K L gȯi là mô t mo rô ng cu a τ nê u ϕ(a) = τ (a), a F. Mo rô ng F K gȯi là d ă ng câ u vó i mo rô ng E L nê u tồn tȧi các d ă ng câ u i : F E và mô t mo rô ng cu a nó j : K L, nghĩa là j(a) = i(a), a F. n xét 1.2. Quan d ă Nhâ hê ng câ u cu a các mo rô ng tru ò ng là mô t quan tu o ng hê d u o ng. D ă c biê t, quan hê = F là mô t quan tu o ng d u o ng. hê Mê nh d ề 1.3. Cho K : F và L : F là các mo ng tru ò ng, cho ϕ : K L là t rô mô F -d ồng câ u. Cho α K là t m cu a f F [x]. Khi d ó ϕ(α) L là t mô nghiê mô m cu a f. nghiê Chú ng minh. Gȯi f = a n x n + + a 0. Ta có f(α) = a n α n + + a 0 = 0.

62 48 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Suy ra 0 = ϕ(f(α)) = a n ϕ(α) n + + a 0 = f(ϕ(α)). Nghĩa là ϕ(α) là mô t nghiê m cu a f. Ta có dȧng tô ng quát cu a mê nh d ề trên, xem Bài tâ p BÂ C CU A MO RÔ NG TRU Ò NG Cho K : F là mô t mo rô ngtru ò ng. Khi d ó K có câ u trúc cu a mô t không gian véc to trên F vó i phép nhân vô hu ó ng là phép nhân trên K. Mô t co so cu a F không gian véc to K cũng d u ȯ c gȯi là co so cu a mo rô ng tru ò ng K : F. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng K : F là chiều cu a F không gian véc to K, kí hiê u [K : F ]. Nê u [K : F ] hũ u hȧn thì ta gȯi K : F là mô t D i nh nghĩa. mo rô ng hũ u hȧn. Nê u mo rô ng K : F không hũ u hȧn thì gȯi là mo rô ng vô hȧn. Ví du 7. Xét mo rô ng tru ò ng C : R. Ta biê t mȯi phần tu cu a C d u ȯ c viê t mô t cách duy nhâ t du ó i dȧng a + bi vó i a, b R. Do d ó {1, i} là mô t co so cu a C : R. Suy ra [C : R] = 2.

63 1. Mo rô ng tru ò ng. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng 49 Ví 8. Các mo rô ng tru ò ng R/Q, C/Q, K(x)/K là các mo rô ng vô hȧn. du n xét 1.4. Bâ c cu a mo rô ng F K bằng 1 khi và chı khi F = K. Nói cách Nhâ khác bâ c cu a mo rô ng tru ò ng bằng 1 khi và chı khi mo rô ng là tầm thu ò ng. Thâ t vâ y, nê u K = F.α thì 1 = aα, kéo theo α = a 1 F. Do d ó F = K. D i nh lí 1.5. Cho K : F và L : K là các mo ng tru ò ng. Khi d ó L : F là t mo rô mô ng tru ò ng và rô [L : F ] = [L : K][K : F ]. Ho n thê nê u {e i } i I và {f j } j J lần lu ȯ t là co so cu a K : F và L : K thì {e i f j } i I,j J là t co so cu a L : F. mô Chú ng minh. Kí hiê u E = {e i } i I, S = {f j } j J và ES = {e i f j } i I,j J. Cho u L. Khi d ó u = a j f j vó i a j K. Do a j biê u tuyê n tính qua E nên thay a j trong biê thi u diê n cu a u bo i các tô hȯ p tuyê n tính cu a S, ta có biê u diê n tuyê n tính cu a u qua ES. Do d ó ES là sinh cu a không gian véc to L trên F. hê Ta chú ng minh rằng ES d ô c lâ p tuyê n tính. Xét mô t tô hȯ p tuyê n tính trong L cho bo i i,j a ije i f j = 0 vó i a ij F. Ta viê t j ( i a ije i )f j = 0 nhu mô t quan hê

64 50 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG tuyê n tính tầm thu ò ng cu a S. Do S d ô c lâ p tuyê n tính, ta có i a ije i = 0 vó i mȯi j. Mă t khác, do E d ô c lâ p tuyê n tính, ta có a ij = 0 vó i mȯi i, j. Vâ y ES d ô c lâ p tuyê n tính. n xét 1.6. D i nh lý trên cho thâ y rằng L : F là mo rô ng hũ u hȧn khi và chı Nhâ khi L : K và K : F là các mo rô ng hũ u hȧn. Bài p tâ Trong các tru ò ng hȯ p sau, d âu là mo rô ng tru ò ng? a) Q A := {a + b 2 a, b Q} ; b) Q B := {a + b α a, b Q} vó i α N ; c) Q C := {a + b 3 2 a, b Q} ; d) Q D := {a + bi a, b Q}? (Xem HD 257) Xác d i nh bâ c cu a các mo rô ng tru ò ng tìm d u ȯ c trong bài tâ p trên. 257) (Xem HD

65 1. Mo rô ng tru ò ng. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng Chú ng minh rằng Q[ 3] := {a + b 3 a, b Q} và Q[ 5] := {a + b 5 a, b Q} d ều là các mo rô ng tru ò ng bâ c 2 cu a Q nhu ng không d ă ng câ u vó i nhau. (Xem HD 257) Chú ng minh rằng mo rô ng R : Q là vô hȧn. (Xem HD 258) Chú ng minh rằng mȯi tu d ồng câ u tru ò ng ϕ : K K d ều là P tu d ồng câ u vó i P là tru ò ng con nguyên tô cu a K. (Xem HD 258) Chú ng minh rằng quan hê d ă ng câ u cu a các mo rô ng tru ò ng là mô t quan hê tu o ng d u o ng Cho F K là mô t mo rô ng tru ò ng. Mô t tru ò ng E tho a F E K d u ȯ c gȯi là tru ò ng trung gian cu a mo rô ng F K. Chú ng minh rằng mȯi mo rô ng tru ò ng bâ c nguyên tô không có tru ò ng trung gian nào khác F và K. (Xem HD 258) a) Cho τ : F E là mô t d ồng câ u tru ò ng. Khi d ó τ mo rô ng thành mô t d o n

66 52 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG câ u vành τ : F [x] E[x] d i nh bo i: τ (a a n x n ) = τ (a 0 ) + + τ (a n )x n. D ă c biê t, chı ra rằng nê u τ là d ă ng câ u tru ò ng thì τ là d ă ng câ u vành và khi d ó, nê u f F [x] bâ t kha quy trên F thì τ (f) bâ t kha quy trên E. D ê d o n gia n, ta thu ò ng viê t τ f thay cho τ (f). b) Cho F K và E L là các mo rô ng tru ò ng; cho τ : F E là mô t d ồng câ u tru ò ng và ϕ : K L là mô t mo rô ng cu a τ. Chú ng minh rằng nê u α K là nghiê m cu a f F [x] thì ϕ(α) L là nghiê m cu a τ f. (Xem HD 258)

67 2. Mo rô ng d o n 53 2 MO NG D O N RÔ 2.1 VÀNH CON VÀ TRU Ò NG CON SINH RA BO I T P MÔ TÂ Cho K là mô t tru ò ng và S là mô t tâ p con cu a K. Giao cu a tâ t ca các vành con (tru ò ng con) cu a K chú a S là mô t vành con (tru ò ng D i nh nghĩa. con) cu a K, gȯi là vành con (tru ò ng con) sinh ra bo i S. Vành con (tru ò ng con) sinh ra bo i S là vành con (tru ò ng con) nho nhâ t cu a K chú a S. Cho F K là mô t mo rô ng tru ò ng, cho S là mô t tâ p con cu a K. Vành con (tru ò ng con) sinh ra bo i F S trong K d u ȯ c gȯi là vành D i nh nghĩa. con (tru ò ng con) sinh ra bo i S trên F, kí hiê u F [S] ( tu o ng ú ng F (S) ). Nê u S = {s 1,..., s n } thì ta kí hiê u F [s 1,..., s n ] cho F [S]. Tu o ng tu kí hiê u F (s 1,..., s n ) cho F (S). n xét 2.1. Nhâ (i) Ta có F (s 1,..., s n ) = F (s 1,..., s n 1 )(s n ), n 2.

68 54 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG (ii) Nê u S F, d ă c biê t khi S = thì F [S] = F (S) = F. Trong tru ò ng hȯ p S ta có kê t qua sau: Mê nh d ề 2.2. Cho mo ng tru ò ng F K và = S là t p con cu a K. Khi d ó { rô mô tâ } (i) F [S] = a i1 i n s i 1 1 s i n n a i1 i n F, s j S, n N vó i quy u ó c hũ u hȧn s 0 = 1, s S ; { f (ii) F (S) = g := fg 1 f, g F [S], g 0}. Nói cách khác, p F (S) là tâ tru ò ng các thu o ng cu a F [S]. Chú ng minh. (i) D ă t { E = hũ u hȧn a i1 i n s i 1 1 s i n n } a i1 i n F, s j S, n N. Ta chú ng minh rằng E là vành con nho nhâ t chú a F S. Rõ ràng F E do quy u ó c trên. Tâ p E là mô t vành con vì nó là mô t nhóm con và d óng kín vó i phép nhân. Cuô i cùng mȯi vành con cu a K chú a F S d ều chú a các phần tu cu a E.

69 2. Mo rô ng d o n 55 (ii) Hiê n nhiên do tính nho nhâ t cu a tru ò ng các thu o ng. Ví du 9. C = R[i] = R(i). Tu o ng tu, ta có Q[ 2] = Q( 2). 2.2 CÂ U TRÚC CU A MO NG D O N RÔ Mo rô ng tru ò ng F K gȯi là mo rô ng d o n nê u tồn tȧi α K sao cho K = F (α). Phần tu α gȯi là phần tu nguyên thu y cu a D i nh nghĩa. mo rô ng d o n. Chú ý rằng mô t mo rô ng d o n có thê có nhiều phần tu nguyên thu y khác nhau. Ví 10. Các mo rô ng R C, Q Q(π), Q Q(i), F F (x) là các mo rô ng du d o n. Cho K : F là mo rô ng tru ò ng. Phần tu u K d u ȯ c gȯi là d ȧi sô trên F nê u nó là nghiê m cu a mô t d a thú c f khác 0 trong F [x]. D i nh nghĩa. Mô t phần tu u K không d ȧi sô trên F d u ȯ c gȯi là siêu viê t trên F.

70 56 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG D i nh nghĩa. Mo rô ng K : F d u ȯ c gȯi là mo rô ng d ȧi sô nê u mȯi phần tu cu a K d ều d ȧi sô trên F. Ví du 11. Các phần tu i, 2, d ều d ȧi sô trên Q. Nhâ n xét 2.3. Năm 1844, Liouville ( , Pháp) chú ng minh su tồn tȧi cu a sô siêu viê t (trên Q). Năm 1873, Hermite ( , Pháp) chú ng minh sô e siêu viê t. Sau d ó, sô π siêu viê t d u ȯ c Lindemann ( , D ú c) chú ng minh năm Năm 1874, Cantor ( , Pháp) chú ng minh rằng tâ p các sô d ȧi sô trên Q là d ê m d u ȯ c và tâ p các sô thu c R là không d ê m d u ȯ c. Nhu thê, sô các sô thu c siêu viê t là nhiều ho n sô các sô thu c d ȧi sô. Tuy nhiên, nói chung, râ t khó d ê chú ng minh mô t sô thu c cu thê là siêu viê t. Năm 1934, Gel fond ( , Nga) và Schneider d ô c lâ p chú ng minh bài toán thú 7 nô i tiê ng cu a Hilbert ( ), rằng các sô α β là siêu viê t, trong d ó α, β d ȧi sô trên Q, α 0, 1 và β / Q. Bây giò, chúng ta sẽ phân tích sâu ho n về câ u trúc cu a các mo rô ng d o n F (u) ú ng vó i các tru ò ng hȯ p u d ȧi sô hoă c siêu viê t trên F.

71 2. Mo rô ng d o n 57 Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng và u K. Xét d ồng câ u vành : ϕ : F [x] F [u] f f(u). Rõ ràng ϕ là mô t toàn câ u. Xét Ker(ϕ), có 2 tru ò ng hȯ p nhu sau : Ker(ϕ) = 0. Nghĩa là u siêu viê t trên F. Khi d ó ϕ là mô t d ă ng câ u, do d ó F (x) = F (u). Ker(ϕ) 0. Nghĩa là u d ȧi sô trên F. Do F [x] là miền nguyên chính nên Ker(ϕ) = (f), vó i 0 f F [x]. Khi d ó f chính là d a thú c có bâ c nho nhâ t nhâ n u làm nghiê m. Suy ra f bâ t kha quy và do d ó Ker(ϕ) là id êan tô i d ȧi (xem 0.8). Theo d i nh lý d ồng câ u vành, ta có F [x]/ker(ϕ) = F [u]. Do F [x]/ker(ϕ) là mô t tru ò ng nên F [u] = F (u). Nhu thê, ta d ã chú ng minh kê t qua sau d ây : Mê nh d ề 2.4. Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng và u K. (i) Nê u u siêu viê t trên F thì F (u) = F F (x), tru ò ng các phân thú c hũ u ty trên F.

72 58 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG (ii) Nê u u d ȧi sô trên F thì F (u) = F [u] = F F [x]/(f) vó i f 0 là t d a thú c có c nho nhâ t n u làm m. mô bâ nhâ nghiê n xét 2.5. Cho K : F là mo rô ng tru ò ng và u K d ȧi sô trên F. Khi d ó : Nhâ (i) D a thú c 0 f F [x] có bâ c nho nhâ t nhâ n u làm nghiê m khi và chı khi f bâ t kha quy nhâ n u làm nghiê m. D iều d ó tu o ng d u o ng vó i f(u) = 0 và f chia hê t mȯi d a thú c nhâ n u làm nghiê m. (ii) Nê u f và g là 2 d a thú c cu a F [x] có bâ c nho nhâ t nhâ n u làm nghiê m thì deg(f) = deg(g) và hó n thê f g. Trong các d a thú c có bâ c nho nhâ t nhâ n u làm nghiê m, tồn tȧi duy nhâ t mô t d a thú c có tu dâ n d ầu bằng 1, d a thú c hê d ó d u ȯ c gȯi là d a thú c tô i tiê u cu a u. Bâ c cu a f d u ȯ c gȯi là c cu a u (trên F ). bâ qua 2.6. Cho K : F là t mo ng tru ò ng và u K d ȧi sô trên F có c n. Hê mô rô bâ Khi d ó mȯi phần tu cu a F (u) d u ȯ c viê t duy nhâ t du ó i dȧng a 0 + a 1 u + + a n 1 u n 1, a i F

73 2. Mo rô ng d o n 59 vó i mȯi i = 0,..., n 1. Nói cách khác p {1, u,, u tâ n 1 } là t co so cu a mô F (u) : F. Suy ra mo ng d o n F (u) : F là t mo ng hũ u hȧn. rô mô rô Chú ng minh. Gȯi f là d a thú c tô i tiê u cu a u. Cho α F (u). Gȯi α = b 0 + b 1 u + + b m u m. Xét g = b 0 + b 1 x + + b m x m. Tồn tȧi q, r F [x] sao cho g = fq + r vó i r = a 0 + a 1 x + + a t x t, vó i t < n. Rõ ràng α = g(u) = r(u) = a 0 + a 1 u + + a t u t. Ho n nũ a, nê u có 2 biê u diê n α = a 0 + a 1 u + + a n 1 u n 1 = c 0 + c 1 u + + c n 1 u n 1, thì chúng trùng nhau, nghĩa là a i = c i, i = 0,..., n 1. Thâ t vâ y, nê u không thì 0 = (a 0 c 0 ) + + (a n 1 c n 1 )u n 1 trái vó i gia thiê t u có bâ c n. Mȯi mo rô ng d o n d ȧi sô d ều là mo rô ng hũ u hȧn. D iều ngu ȯ c lȧi nói chung không d úng. Sau này, ta sẽ xác d i nh d iều kiê n d ê mô t mo rô ng hũ u hȧn là mo rô ng d o n d ȧi sô.

74 60 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG qua 2.7. Cho K : F là t mo ng tru ò ng và u, v K d ȧi sô trên F. Nê u Hê mô rô u và v có cùng t d a thú c tô i tiê mô u thì tồn tȧi duy nhâ t t F -d ă mô ng câ u tru ò ng ϕ : F (u) F (v) sao cho ϕ(u) = v. Chú ng minh. Thâ t vâ y các mo rô ng d o n F (u) và F (v) d ều d ă ng câ u vó i F [x]/(f) vó i f là d a thú c tô i tiê u cu a u và v. Ta thâ y rằng, ú ng vó i mô t mo rô ng d o n d ȧi sô trên F có mô t ló p các d a thú c bâ t kha quy liên kê t vó i nhau trên F nhâ n u làm nghiê m. Ngu ȯ c lȧi, ta chú ng minh rằng : Mê nh d ề 2.8. Cho F là t tru ò ng và f F [x] là t d a thú c bâ t kha quy. Khi mô mô d ó tồn tȧi t mo ng d o n d ȧi sô F (α) : F sao cho α là t m cu a f. mô rô mô nghiê Chú ng minh. D ă t K := F [x]/(f). Theo (0.8), nhâ t a F vó i a K, ta có K : F là mô t mo rô ng tru ò ng. D ă t α = x. Rõ ràng f(α) = f = 0 và K = F (α).

75 2. Mo rô ng d o n 61 Bài p tâ Xác d i nh tính d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi tru ò ng d ều có mô t mo rô ng không tầm thu ò ng. b) Mȯi tru ò ng d ều có mô t mo rô ng d ȧi sô không tầm thu ò ng. c) Mȯi mo rô ng d o n d ều là mo rô ng d ȧi sô. d) Mȯi mo rô ng tru ò ng d ều là mo rô ng d o n. e) Mȯi mo rô ng d o n d ȧi sô d ều d ă ng câ u. f) Mȯi mo rô ng d o n siêu viê t cu a mô t tru ò ng cho tru ó c d ều d ă ng câ u. g) Mȯi d a thú c tô i tiê u d ều bâ t kha quy. h) Mȯi d a thú c bâ t kha quy thuô c F [x] nhâ n u K F làm nghiê m d ều có cùng bâ c. i) Mȯi d a thú c bâ t kha quy thuô c F [x] nhâ n u K F làm nghiê m d ều là d a thú c tô i tiê u cu a u.

76 62 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG j) Bâ c cu a d a thú c bâ t kha quy thuô c F [x] nhâ n u K F làm nghiê m gȯi là bâ c cu a u. (Xem HD 258) Cho K = Q[α] vó i α C là nghiê m cu a d a thú c x 3 x 2 + x + 2. Biê u diê n các phần tu (α 2 + α + 1)(α 2 α) và (α 1) 1 cu a K nhu các d a thú c theo α có bâ c không quá 2. (Xem HD 258) Mô ta các mo rô ng d o n F (α) vó i α là mô t nghiê m cu a các d a thú c sau trên tru ò ng chı ra : a) x 2 5 Q[x] ; b) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Q[x] ; c) x 2 + x + 1 Z 2 [x] ; d) x Q[x]. (Xem HD 259) Cho K : F là mô t mo rô ng hũ u hȧn và f F [x] là mô t d a thú c bâ t kha quy có deg(f) > 1. Chú ng minh rằng nê u [K : F ] và deg(f) nguyên tô cùng nhau thì f không có nghiê m trong K. (Xem HD 259)

77 2. Mo rô ng d o n Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng và [K : F ] = n. Cho f F [x] là d a thú c bâ t kha quy bâ c m tho a (m, n) = 1. Chú ng minh rằng f bâ t kha quy trên K. (Xem HD 259) Xác d i nh bâ c và chı ra mô t co so cu a các mo rô ng tru ò ng : a) Q Q( 2, i) ; b) Q Q( 3 5, 2) ; c) Q Q( 18, 3 2) ; d) Q Q( 27, ) ; e) Q Q( 18, 4 2) ; f) Q Q(u, 3 2) vó i u là nghiê m cu a x 4 + 6x (Xem HD 260) Xác d i nh tâ t ca tu d ồng câ u cu a các tru ò ng Q(i), Q( 3 2). (Xem HD 260) Chú ng minh rằng Q( a, b) = Q( a + b), a, b N. (Xem HD 260) Biê u diê n các tru ò ng con sau cu a Z 2 (x) : a) Z 2 (x 2 ) ; b) Z 2 (x + 1). (Xem HD 260)

78 64 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Tìm d a thú c tô i tiê u cu a các phần tu sau d ây trên tru ò ng chı ra : a) trên Q ; 2 b) i 3 1 trên Q ; 2 c) α Z 3 (t)(α) vó i α tho a α 2 = t + 1 trên Z 3 (t) ; d) trên Q ; e) trên Q ; f) u 2 + u vó i u là nghiê m cu a x 3 + 3x 2 3 ; g) ξ + ξ 6 vó i ξ = e 2πi/7 trên Q ; h) ξ + ξ 2 + ξ 4 vó i ξ = e 2πi/7 trên Q ; i) ξ 2 + ξ 5 vó i ξ = e 2πi/7 trên Q. (Xem HD 260) Cho α và β lần lu ȯ t là nghiê m cu a x 2 2 và x 2 4x + 2 thuô c Q[x]. Chú ng minh rằng Q(α) = Q Q(β). (Xem HD 261) Cho F là tru ò ng có d ă c sô khác 2 và f là mô t d a thú c bâ c 2 có tu trong hê

79 2. Mo rô ng d o n 65 F. Chú ng minh rằng ca 2 nghiê m cu a f d ều thuô c mô t mo rô ng d o n F (u) vó i u 2 F. Suy ra tính châ t mȯi d a thú c bâ c 2 d ều gia i d u ȯ c trên mo rô ng tru ò ng cu a F nhâ n d u ȯ c bằng cách ghép vào các căn bâ c 2 cu a các phần tu cu a F. Chú ng to rằng tính châ t d ó không d úng vó i tru ò ng có d ă c sô 2. (Xem HD 261) a) Chú ng minh rằng mȯi mo rô ng bâ c 2 trên Q d ều d ă ng câ u vó i Q( d) vó i d Z là mô t sô không chính phu o ng. b) Chú ng minh rằng mȯi mo rô ng bâ c 2 trên R d ều d ă ng câ u vó i C. (Xem HD 262) Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng và [K : F ] = n. Chú ng minh rằng bâ c cu a phần tu u K là mô t u ó c cu a n. Suy ra nê u n nguyên tô thì K = F (u) vó i mȯi u K \ F. (Xem HD 262) Tìm tâ t ca các d a thú c bâ t kha quy bâ c 2 trên Z 3. Mô ta các mo rô ng d o n bâ c 2 trên Z 3. Chú ng minh tâ t ca các mo rô ng d o n d ó là d ă ng câ u vó i nhau. (Xem HD 262)

80 66 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Cho E = F (α) là mô t mo rô ng thu c su cu a F vó i α là nghiê m chung cu a x 3 1 và x 4 + x Xác d i nh d a thú c tô i tiê u cu a α. (Xem HD 262) Cho i : F E là mô t d ă ng câ u tru ò ng. Gȯi α là nghiê m cu a mô t d a thú c f = a 0 + a 1 x + + a n x n F [x] bâ t kha quy. Gȯi β là mô t nghiê m cu a d a thú c i f := i(a 0 ) + i(a 1 )x + + i(a n )x n E[x]. Chú ng minh tồn tȧi mô t mo rô ng j : F (α) E(β) cu a i sao cho j(α) = β. Kê t qua trên mo rô ng cho Hê qua 2.7. (Xem HD 262) Cho mo rô ng d o n d ȧi sô F (α) vó i f F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng. Chú ng minh rằng a) Nê u ϕ : F (α) K là mô t F -d ồng câ u thì ϕ(α) là mô t nghiê m cu a f. b) Ánh xȧ ϕ ϕ(α) xác d i nh mô t song ánh giũ a tâ p các F -d ồng câ u tù F (α) vào K và tâ p các nghiê m cu a f trong K. Suy ra sô các F -d ồng câ u bằng sô nghiê m phân biê t cu a f trong K. (Xem HD 262) Cho mo rô ng d o n d ȧi sô F (α) vó i f F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Cho

81 2. Mo rô ng d o n 67 τ : F K là mô t d ồng câ u tru ò ng. Chú ng minh: a) Nê u ϕ : F (α) K là mô t mo rô ng cu a τ thì ϕ(α) là mô t nghiê m cu a τ f trong K. Xem Bài tâ p 1. 8 về d i nh nghĩa cu a τ f. b) Ánh xȧ ϕ ϕ(α) là mô t song ánh giũ a tâ p các mo rô ng cu a τ vó i tâ p các nghiê m phân biê t cu a τ f trong K. Bài tâ p này là dȧng tô ng quát cu a bài tâ p trên. (Xem HD 263) * Chú ng minh các mo rô ng Q R và Q C d ều không pha i là các mo rô ng d o n. (Xem HD 263) * Cho F là tru ò ng có d ă c sô khác 2 và cho E : F là mô t mo rô ng tru ò ng có bâ c bằng 2. D ă t S(E) = {a F a = b 2, vó i b E}. Chú ng minh rằng: a) S(E) là mô t nhóm con cu a F chú a (F ) 2 ;

82 68 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG b) Hai mo rô ng bâ c hai E, E cu a F là F -d ă ng câ u khi và chı khi S(E) = S(E ); c) Tồn tȧi vô hȧn các mo rô ng bâ c hai E 1, E 2... cu a Q sao cho E i E j, i j. d) Tồn tȧi duy nhâ t (sai khác d ă ng câ u) mô t tru ò ng có d úng p 2 phần tu. (Xem HD 264)

83 3. Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô 69 3 MO NG HŨ U HȦN VÀ MO RÔ NG D ȦI SÔ RÔ 3.1 TÍNH CHÂ T CU A MO NG HŨ U HȦN VÀ MO RÔ NG D ȦI SÔ RÔ Ta biê t rằng mô t mo rô ng d o n d ȧi sô là mo rô ng hũ u hȧn. Ta có kê t qua tô ng quát ho n sau d ây : Mê nh d ề 3.1. Cho K : F là t mo ng tru ò ng và u 1,..., u n K sao cho u 1 d ȧi mô rô sô trên F và u j d ȧi sô trên F (u 1,..., u j 1 ), j = 2,..., n. Khi d ó F (u 1,..., u n ) là mo ng hũ u hȧn trên F. rô Chú ng minh. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên n. Vó i n = 1 ta có mo rô ng d o n d ȧi sô nên là mo rô ng hũ u hȧn. Gia thiê t kê t qua d úng cho k. D ă t E = F (u 1,..., u k ). Ta có [F (u 1,..., u k+1 ) : F ] = [F (u 1,..., u k+1 ) : E][E : F ]. Theo gia thiê t quy nȧp, ta có [E : F ] hũ u hȧn. Mă t khác, ta có mo rô ng F (u 1,..., u k+1 ) : E = E(u k+1 ) : E có u k+1 d ȧi sô trên E nên là mo rô ng hũ u hȧn. Suy ra F (u 1,..., u k+1 ) : F là mo rô ng hũ u hȧn.

84 70 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Mê nh d ề 3.2. Mȯi phần tu cu a t mo ng hũ u hȧn c n d ều d ȧi sô và có c mô rô bâ bâ là t u ó c cu a n. mô Chú ng minh. Cho K : F là mo rô ng hũ u hȧn và d ă t n = [K : F ]. Xét u K. Tâ p hȯ p {1, u,..., u n } là mô t tâ p gồm n+1 phần tu trong K nên thuô c tuyê n phu tính. Do d ó tồn tȧi quan tuyê n tính không tầm thu ò ng a 0 +a 1 u+ +a n u hê n = 0. Nói cách khác u là nghiê m cu a d a thú c f = a 0 + a 1 x + + a n x n F [x] khác 0. Do d ó u d ȧi sô trên F. Mă t khác, ta có [K : F ] = [K : F (u)][f (u) : F ] = n. Do d ó [F (u) : F ] n. Vâ y bâ c cu a u là u ó c cu a n. Sau này (xem 3.6) ta sẽ chı ra rằng tồn tȧi các mo rô ng d ȧi sô không hũ u hȧn. qua 3.3. t mo ng K : F là mo ng hũ u hȧn khi và chı khi tồn tȧi Hê Mô rô rô u 1,..., u n K d ȧi sô trên F sao cho K = F (u 1,..., u n ). Chú ng minh. Gia su [K : F ] = n. Gȯi {u 1,..., u n } là mô t co so cu a mo rô ng K : F. Theo mê nh d ề trên u 1,..., u n d ȧi sô trên F. Rõ ràng K = F (u 1,..., u n ). D iều kiê n d u có d u ȯ c do Mê nh d ề 3.1.

85 3. Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô 71 Mê nh d ề 3.4. Cho F K L là các mo ng tru ò ng. Khi d ó L : F là mo ng rô rô d ȧi sô khi và chı khi L : K và K : F là các mo ng d ȧi sô. rô Chú ng minh. Nê u L : F d ȧi sô thì rõ ràng các mo rô ng L : K và K : F d ȧi sô. Ngu ȯ c lȧi, gia su L : K và K : F d ȧi sô. Xét u L. Do u d ȧi sô trên K nên ta có b 0 + b 1 u + + b n u n = 0 vó i b i K không d ồng thò i bằng 0. Xét mo rô ng F (b 0,..., b n, u) : F, theo Mê nh d ề 3.1, d ó là mô t mo rô ng hũ u hȧn. Do d ó u d ȧi sô trên F. 3.2 TRU Ò NG CON CÁC PHẦN TU D ȦI SÔ. TRU Ò NG D ÓNG D ȦI SÔ. BAO D ÓNG D ȦI SÔ. Mê nh d ề 3.5. Cho K : F là t mo ng tru ò ng. p hȯ p mô rô Tâ E = {u K u d ȧi sô trên F } là t tru ò ng con cu a K chú a F, gȯi là tru ò ng con các phần tu d ȧi sô cu a K trên mô F. Suy ra E : F là t mo ng d ȧi sô. mô rô Chú ng minh. Vì mȯi phần tu thuô c F d ều d ȧi sô trên F nên F E. Cho

86 72 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG u, v E. Xét mo rô ng F (u, v) : F. Theo (3.1) và (3.2), ta có F (u, v) là d ȧi sô trên F. Suy ra F (u, v) E. Suy ra u v, uv F (u, v) E và nê u u 0 ta có u 1 F (u, v) E. Vâ y E là tru ò ng. n xét 3.6. Tru ò ng con E các phần tu d ȧi sô cu a R trên Q là mô t mo rô ng vô Nhâ hȧn trên Q. Thâ t vâ y, nê u [E : Q] = n thì dê dàng chı ra mô t phần tu d ȧi sô thuô c R có bâ c ló n ho n n. D iều này mâu thuâ n vó i Mê nh d ề 3.2. Mô t tru ò ng K d u ȯ c gȯi là d óng d ȧi sô nê u mȯi d a thú c bâ c ló n D i nh nghĩa. ho n 0 d ều có ít nhâ t mô t nghiê m trong K. Ví 12. Tru ò ng các sô phú c C là mô t tru ò ng d óng d ȧi sô. D ây là mô t kê t qua cô du d iê n thu ò ng d u ȯ c gȯi là D i nh lí co ba n cu a d ȧi sô. Ta sẽ d u a ra mô t chú ng minh cu a d i nh lí này trong 9. n xét 3.7. Cho K là mô t tru ò ng. Các mê nh d ề sau là tu o ng d u o ng : Nhâ (i) K d óng d ȧi sô ; (ii) mȯi d a thú c thuô c K[x] có bâ c ló n ho n không d ều phân tích thành tích các nhân tu bâ c nhâ t ;

87 3. Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô 73 (iii) mȯi d a thú c bâ t kha quy trong K[x] d ều là d a thú c bâ c nhâ t ; (iv) mȯi mo rô ng d ȧi sô cu a K d ều trùng vó i K. Cho mo rô ng tru ò ng K : F. Tru ò ng K d u ȯ c gȯi là bao d óng d ȧi D i nh nghĩa. sô cu a F nê u K d óng d ȧi sô và K : F là mo rô ng d ȧi sô. Ví 13. Tru ò ng C là bao d óng d ȧi sô cu a R nhu ng không pha i là bao d óng d ȧi sô du cu a Q. Mê nh d ề 3.8. Cho K : F là mo ng tru ò ng, trong d ó K d óng d ȧi sô. Kí u E là rô hiê tru ò ng con các phần tu d ȧi sô cu a K : F. Khi d ó E là t bao d óng d ȧi sô cu a F. mô Chú ng minh. Ta d ã biê t F E là mo rô ng d ȧi sô. Cho f = a 0 + a 1 x + + a n x n E[x] là mô t d a thú c bâ c ló n ho n 0. Do K d óng d ȧi sô, d a thú c f có nghiê m u K. Rõ ràng F (a 0,..., a n, u) : F là mô t mo rô ng d ȧi sô (Mê nh d ề 3.1) nên u d ȧi sô trên F. Suy ra u E. Vâ y E d óng d ȧi sô. n xét 3.9. Mȯi tru ò ng con cu a C d ều tồn tȧi mô t bao d óng d ȧi sô.sau này ta sẽ Nhâ chı ra rằng mȯi tru ò ng d ều tồn tȧi mô t bao d óng d ȧi sô, xem (C.1) trong c. Phu lu

88 74 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Bài p tâ Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn cùng bâ c d ều d ă ng câ u. b) Các mo rô ng trên cùng mô t tru ò ng F và F -d ă ng câ u vó i nhau thì có cùng bâ c. c) Mȯi mo rô ng d ȧi sô d ều là mo rô ng hũ u hȧn. d) Mȯi mo rô ng siêu viê t d ều là mo rô ng vô hȧn. e) Mȯi phần tu cu a C d ều d ȧi sô trên R. f) Mȯi mo rô ng cu a R d ều là mo rô ng hũ u hȧn. g) Mȯi mo rô ng d ȧi sô cu a Q d ều là mo rô ng hũ u hȧn. h) Tru ò ng con A các phần tu d ȧi sô cu a C trên Q là tru ò ng con ló n nhâ t cu a C sao cho nó là mo rô ng d ȧi sô cu a Q. (Xem HD 264) Chú ng minh rằng mȯi mo rô ng d ȧi sô cu a R d ều d ă ng câ u vó i R hoă c vó i C. (Xem HD 265)

89 3. Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô Xét mo rô ng tru ò ng F F (x) vó i biê n x siêu viê t trên F. Cho mo rô ng M F (x) vó i M chú a F nhu mô t tru ò ng con thu c su. Chú ng minh rằng M F (x) là mô t mo rô ng d ȧi sô. (Xem HD 265) Xét tính bâ t kha quy các d a thú c sau trên tru ò ng d u ȯ c chı ra : a) x trên Q( 11) ; b) x trên Q( 2) ; c) x 5 + 5x 2 25x 5 trên Q( 2, 3, 1 i). (Xem HD 265) Trong mô i tru ò ng hȯ p sau, xét xem u có sinh ra mo rô ng d u ȯ c chı ra cu a tru ò ng Q hay không? a) u = trong Q( 2, 5) ; b) u = trong Q( 3 3) ; 2 1 c) u = trong Q( 2) ; d) u = v 2 + v + 1 trong Q(v), vó i v là nghiê m cu a f = x 3 + 5x 5. (Xem HD 265)

90 76 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Cho F K là mo rô ng d ȧi sô và f K[x] là mô t d a thú c khác 0. Chú ng minh rằng tồn tȧi g F [x] khác 0 sao cho f là u ó c cu a g. (Xem HD 265) Cho E : F là mô t mo rô ng d ȧi sô. Chú ng minh rằng E là bao d óng d ȧi sô cu a F nê u mȯi d a thú c f F [x] có bâ c ló n ho n 0 d ều phân rã trong E. (Xem HD 266) * Cho K : F là mô t mo rô ng hũ u hȧn vó i F là tru ò ng vô hȧn. Chú ng minh rằng K : F là mo rô ng d o n khi và chı khi K chı có hũ u hȧn các tru ò ng con chú a F. (Xem HD 266)

91 4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 77 4 DU NG HÌNH BẰNG THU Ó C KE VÀ COMPA Ta sẽ ú ng ng lí thuyê t về mo rô ng tru ò ng d ê du tìm câu tra lò i cho 3 bài toán du ng hình xuâ t hiê n thò i Hy Lȧp cô d ȧi và xét bài toán du ngd a giác d ều n-cȧnh bằng thu ó c ke và compa. 4.1 BA BÀI TOÁN DU NG HÌNH CÔ D IÊ N Ba bài toán du ng hình cô d iê n là: dùng thu ó c ke và compa d ê chia 3 mô t góc cho tru ó c ; gâ p d ôi mô t hình lâ p phu o ng, tú c là du ng mô t hình lâ p phu o ng có thê tích gâ p d ôi thê tích mô t hình lâ p phu o ng cho tru ó c ; cầu phu o ng d u ò ng tròn, tú c là du ng mô t hình vuông có diê n tích bằng diê n tích cu a mô t hình tròn cho tru ó c. Ta xây du ng các khái niê m co ba n về d iê m và sô du ng d u ȯ c.

92 78 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Trong mă t phă ng R 2, cho 2 d iê m P 0 = (0, 0), P 1 = (1, 0). Mô t d iê m P R 2 d u ȯ c gȯi là du ng d u ȯ c (bằng thu ó c ke và compa) nê u tồn tȧi dãy hũ u hȧn P 0, P 1,..., P n sao cho P = P n và vó i mȯi j 2, d iê m P j xác d i nh tù S j 1 := {P 0, P 1,..., P j 1 } bo i mô t trong 3 phép du ng sau : D i nh nghĩa. giao cu a 2 d u ò ng thă ng phân biê t, trong d ó mô i d u ò ng thă ng d i qua 2 d iê m bâ t kỳ cu a S j 1 ; giao cu a mô t d u ò ng thă ng qua 2 d iê m cu a S j 1 và mô t d u ò ng tròn có tâm tȧi mô t d iê m cu a S j 1 và có bán kính bằng khoa ng cách giũ a 2 d iê m trong S j 1 ; giao cu a 2 d u ò ng tròn phân biê t, trong d ó mô i d u ò ng tròn có tâm tȧi mô t d iê m cu a S j 1 và có bán kính bằng khoa ng cách giũ a 2 d iê m trong S j 1.

93 4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 79 D i nh nghĩa. D i nh nghĩa. D i nh nghĩa. Mô t d u ò ng thă ng gȯi là du ng d u ȯ c nê u nó d i qua 2 d iê m du ng d u ȯ c. Mô t d oȧn thă ng gȯi là du ng d u ȯ c nê u 2 d iê m mút du ng d u ȯ c. Mô t d u ò ng tròn gȯi là du ng d u ȯ c nê u có tâm là mô t d iê m du ng d u ȯ c và có bán kính bằng khoa ng cách giũ a 2 d iê m du ng d u ȯ c. Mô t sô thu c x d u ȯ c gȯi là du ng d u ȯ c (bằng thu ó c ke và compa) nê u d iê m (x, 0) R 2 du ng d u ȯ c. Rõ ràng, dài cu a mô t d oȧn d ô thă ng du ng d u ȯ c là mô t sô thu c du ng d u ȯ c. Mô t góc β gȯi là du ng d u ȯ c nê u cos β (tu o ng d u o ng sin β) là sô thu c du ng d u ȯ c. D i nh lí 4.1. Cho P = (α, β) R 2 là t d iê mô m du ng d u ȯ c. Khi d ó [Q(α, β) : Q] = 2 r vó i r N. Chú ng minh. Cho P 0, P 1,..., P n = P là mô t dãy hũ u hȧn nhu trong d i nh nghĩa cu a d iê m du ng d u ȯ c. D ă t K 0 = K 1 = Q và K j = K j 1 (α j, β j ) vó i 2 j n và P j = (α j, β j ). Dê dàng thâ y rằng các sô thu c α j, β j là nghiê m cu a mô t d a thú c

94 80 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG bâ c 1 hoă c bâ c 2 có tu trong K j 1. Do d ó [K j : K j 1 ] = 2 hê t vó i t N. Suy ra [K n : Q] = [K n : Q(α, β)][q(α, β) : Q] = 2 m vó i m N. Do d ó [Q(α, β) : Q] = 2 r vó i r N. qua 4.2. Không thê Hê chia ba góc π/3 bằng thu ó c ke và compa. Chú ng minh. D iê m ( 1/2, 3/2) = ( cos(π/3), sin(π/3) ) là du ng d u ȯ c. D ă t u = cos(π/9), v = sin(π/9). Chia ba góc π/3 tu o ng d u o ng vó i viê c d iê m (u, v) du ng d u ȯ c. Ta có cos(π/3) = cos(3.π/9) = 4 cos 3 (π/9) 3 cos(π/9). Hay 1/2 = 4u 3 3u. Suy ra 8u 3 6u 1 = 0. D a thú c 8x 3 6x 1 bâ t kha quy trên Q nên [Q(u) : Q] = 3. Tù D i nh lí 4.1, suy ra (u, v) không du ng d u ȯ c. Nói cách khác không thê chia ba góc π/3 bằng thu ó c ke và compa. Dùng phu o ng pháp tu o ng tu, ta có các kê t qua sau d ây : qua 4.3. Không thê Hê du ng d u ȯ c d iê m ( 3 2, 0). Nói cách khác không thê gâ p d ôi hình p phu o ng có cȧnh bằng 1. lâ

95 4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 81 Chú ng minh. Xem Bài tâ p qua 4.4. Không thê Hê du ng d u ȯ c d iê m ( π, 0). Nói cách khác không thê du ng d u ȯ c hình vuông có n tích bằng n tích hình tròn bán kính 1. diê diê Chú ng minh. Xem Bài tâ p D IỀU N CẦN D Ê KIÊ D A GIÁC D ỀU P CȦNH DU NG D U Ȯ C BẰNG THU Ó C KE VÀ COMPA Ta nhă c lȧi các kê t qua so câ p quen thuô c trong du ng hình. Bô d ề 4.5. (i) Trung d iê m cu a d oȧn thă ng du ng d u ȯ c là du ng d u ȯ c. (ii) Nê u 3 d ı nh cu a t hình bình hành du ng d u ȯ c thì d ı nh còn lȧi du ng d u ȯ c mô (tu o ng d u o ng vó i phép du ng d u ò ng thă ng song song vó i t d u ò ng thă mô ng cho tru ó c qua t d iê mô m cho tru ó c). Chú ng minh. Xem Bài tâ p 4. 6

96 82 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Bô d ề 4.6. Nê u (a, 0) là d iê m du ng d u ȯ c thì (0, a) và ( a, 0) là d iê m du ng d u ȯ c. Chú ng minh. Tru ó c tiên ta du ng c tung. tru D iê m ( 1, 0) du ng d u ȯ c vì nó là giao cu a c hoành vó i d u ò ng tròn tâm (0, 0) và d i qua (1, 0). c tung là d u ò ng tru Tru thă ng d i qua giao d iê m cu a 2 d u ò ng tròn lần lu ȯ t có tâm (1, 0) và ( 1, 0) bán kính bằng 2. D iê m (0, a) du ng d u ȯ c vì nó là mô t trong 2 giao d iê m cu a c tung vó i d u ò ng tru tròn tâm (0, 0) d i qua (a, 0). Ngoài ra d u ò ng tròn này că t c hoành tȧi d iê tru m ( a, 0) nên d iê m ( a, 0) du ng d u ȯ c. Mê nh d ề 4.7. D iê m (a, b) du ng d u ȯ c khi và chı khi a và b du ng d u ȯ c. Chú ng minh. Nê u a và b du ng d u ȯ c, tú c là các d iê m (a, 0) và (b, 0) du ng d u ȯ c. Suy ra d iê m (0, b) du ng d u ȯ c. D iê m (a, b) du ng d u ȯ c vì nó là d iê m thú tu cu a hình bình hành có 3 d iê m (0, 0), (a, 0) và (0, b) du ng d u ȯ c. Ngu ȯ c lȧi, nê u (a, b) là d iê m du ng d u ȯ c. Xét 2 d u ò ng tròn tâm (0, 0) và (1, 0) d i qua (a, b). Giao d iê m cu a chúng là (a, b) và (a, b). D u ò ng thă ng d i qua 2 d iê m này că t c hoành tȧi (a, 0) nên (a, 0) du ng d u ȯ c. tru D iê m (0, b) du ng d u ȯ c vì nó

97 4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 83 là d iê m thú tu cu a hình bình hành có 3 d iê m (0, 0), (a, 0) và (a, b) du ng d u ȯ c. D ê n lu ȯ t d iê m (b, 0) du ng d u ȯ c vì nó là mô t trong các giao d iê m cu a tru c hoành và d u ò ng tròn tâm (0, 0) d i qua (b, 0). D i nh lí 4.8. Tâ p tâ t ca các sô du ng d u ȯ c là mô t tru ò ng con cu a R. Ho n nũ a, nê u c du ng d u ȯ c và c > 0 thì c du ng d u ȯ c. Chú ng minh. Gȯi E là tâ p tâ t ca các sô du ng d u ȯ c. Cho a, b E. Ta d ã chú ng minh a E. Do (a, 0) và (b, 0) du ng d u ȯ c, d iê m giũ a Q = ( a+b 2, 0) du ng d u ȯ c. Giao d iê m cu a tru c hoành và d u ò ng tròn tâm Q qua (0, 0) là (a + b, 0). Do d ó a + b du ng d u ȯ c. D ê chú ng minh ab E, ta chı cần xét tru ò ng hȯ p ab 0 và b 1. Do (b 1) du ng d u ȯ c nên d iê m (0, b 1) du ng d u ȯ c. Theo Bô d ề 4.5, d iê m (a, b 1) du ng d u ȯ c. Giao d iê m cu a d u ò ng thă ng qua (0, b) và (a, b 1) vó i tru c hoành là d iê m (ab, 0). Vâ y ab du ng d u o c. Ta chú ng minh rằng a 1 E nê u a 0. Do a E, ta có 1 a E, hay d iê m (0, 1 a) du ng d u ȯ c. Theo Bô d ề 4.5, d iê m (1, 1 a) du ng d u ȯ c. D u ò ng thă ng qua (0, 1) và (1, 1 a) că t tru c hoành tȧi (a 1, 0). Vâ y a 1 E.

98 84 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Cho c E và c > 0. Do 1 2 (1 c) du ng d u ȯ c, d iê m Q = (0, 1 c 2 ) du ng d u ȯ c. D u ò ng tròn tâm Q qua d iê m (0, 1) că t tru c hoành tȧi 2 d iê m có tȯa d ô (u, 0) và ( u, 0) vó i u > 0. Theo D i nh lí Pythagore, ta có u (1 c)2 = 1 4 (1 + c)2. Suy ra u 2 = c, do d ó u = c. Vâ y c du ng d u ȯ c. Ta xét bài toán du ng d a giác d ều n cȧnh. Rõ ràng d a giác d ều n cȧnh du ng d u ȯ c nghĩa là d iê m ( cos( 2π n ), sin(2π n )) du ng d u ȯ c. D iều d ó tu o ng d u o ng vó i cos( 2π n ) là mô t sô du ng d u ȯ c. Trong phần này ta chı d u a ra d iều kiê n cần cu a bài toán cho tru ò ng hȯ p n = p nguyên tô. Kê t qua d ầy d u sẽ d u ȯ c xét trong phần sau (xem 9). Ta biê t rằng vó i p nguyên tô, d a thú c x p x + 1 bâ t kha quy trên Q. Do d ó nó là d a thú c tô i tiê u cu a e 2πi/p = cos( 2π p ) + i sin(2π p ). Xét các mo rô ng tru ò ng Q Q ( cos( 2π p )) Q(e 2πi/p ). Ta có [Q(e 2πi/p ) : Q ( cos(2π/p) ) ].[Q ( cos(2π/p) ) : Q] = [Q(e 2πi/p ) : Q] Do cos( 2π p ) = 1 2 (e2πi/p + e 2πi/p ), ta có 2 cos(2π/p)e 2πi/p = (e 2πi/p ) = p 1.

99 4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 85 Nghĩa là bâ c cu a e 2πi/p trên Q ( cos( 2π p )) bằng 2. Do d ó [Q(e 2πi p ) : Q ( cos(2π/p) ) ] = 2. Suy ra [Q ( cos( 2π p )) : Q] = p 1 2. Do cos(2π p ) du ng d u ȯ c, ta có p = 2 t + 1. Ho n thê, nê u t có mô t u ó c le r > 1 thì p = 2 t + 1 = 2 rt = (2 t 1 + 1)(2 t 1(r 1) 2 t 1(r 2) + + 1). Do d ó t có dȧng 2 m. Vâ y p = 2 2m + 1 vó i m N. Sô nguyên tô có dȧng này gȯi là sô nguyên tô Fermat 1. Nhu thê ta d ã chú ng minh kê t qua sau: Mê nh d ề 4.9. Nê u d a giác d ều p cȧnh (p nguyên tô ) du ng d u ȯ c thì p là sô nguyên tô Fermat. Nhâ n xét Năm 19 tuô i, Gauss ( ) chú ng minh rằng d a giác d ều 17 1 Năm 1640, Fermat ( ) cho rằng tâ t ca nhũ ng sô có dȧng F m := 2 2m + 1 vó i m N d ều nguyên tô. Tuy nhiên ho n 100 năm sau, Euler ( ) chı ra rằng F 5 = = Có thê dê dàng kiê m tra kê t qua d ó vó i Maple. Thu c ra tâ t ca nhũ ng sô F m vó i 5 m 16 d ều là hȯ p sô. Các sô F 20, F 22, F 24 cũng là các hȯ p sô (F 24 là hȯ p sô d u ȯ c chú ng minh bo i Crandall năm 1999). Cho d ê n nay, chúng ta vâ n chu a biê t nhũ ng sô nguyên tô Fermat nào ú ng vó i m > 4.

100 86 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG cȧnh du ng d u ȯ c bằng cách chı ra công thú c: cos ( 2π) 1 = Bài p tâ Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Sô π không thê du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa; b) Góc π không thê chia 3 bằng thu ó c ke và compa; c) Không thê gâ p 3 mô t hình lâ p phu o ng bằng thu ó c ke và compa. d) Nê u d iê m (0, α) R 2 không thê du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa thì α siêu viê t trên Q. e) Tȯa cu a mô t d iê d ô m du ng d u ȯ c nằm trong tru ò ng con cu a R và có bâ c trên Q là mô t lũy thù a cu a 2.

101 4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 87 f) Mô t d oȧn thă ng d ô dài π không thê du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. g) Nê u d a giác d ều n cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa thì n là sô nguyên tô. h) Nê u d a giác d ều p (nguyên tô ) cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa thì p là sô nguyên tô Fermat. i) D a giác d ều cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. (Xem HD 267) Chú ng to rằng trong chú ng minh D i nh lý 4.1, ta có [K j : K j 1 ] 2. Suy ra nê u (α, β) là d iê m du ng d u ȯ c thì α, β Q( γ 1,..., γ n 1 ) vó i γ j Q( γ 1,..., γ j 1 ), j = 1,..., n 1. (Xem HD 267) Dùng D i nh lý 4.8 d ê chú ng minh chiều ngu ȯ c lȧi cu a phát biê u trên: nê u α, β Q( γ 1,..., γ n 1 ) trong d ó γ j Q( γ 1,..., γ j 1 ), vó i mȯi 1 j n 1 thì (α, β) là d iê m du ng d u ȯ c. (Xem HD 269) Chú ng minh Bô d ề 4.3. (Xem HD 269)

102 88 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Chú ng minh Bô d ề 4.4. (Xem HD 269) Chú ng minh Bô d ề 4.5. (Xem HD 269) Chú ng minh rằng tru ò ng các sô du ng d u ȯ c là mô t mo rô ng d ȧi sô trên Q nhu ng không pha i là mo rô ng hũ u hȧn. (Xem HD 269) Chú ng minh rằng d a giác d ều năm cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. (Xem HD 270) Chú ng minh rằng có thê chia 3 góc 2π 5 bằng thu ó c ke và compa. (Xem HD 270) Chú ng minh rằng không thê du ng d a giác d ều 18 cȧnh bằng thu ó c ke và compa Chú ng minh rằng không thê du ng d a giác d ều 9 cȧnh bằng thu ó c ke và compa Cho β là mô t góc du ng d u ȯ c. Chú ng minh rằng góc β có thê chia 3 bằng thu ó c ke và compa khi và chı khi d a thú c 4x 3 3x cos β kha quy trên tru ò ng Q(cos β). (Xem HD 270)

103 4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa Chú ng minh rằng ta có thê chia 3 mô t góc cho tru ó c bằng compa và mô t thu ó c d ánh dâ u nhu sau (xem Hình 1). A B M β O N β/3 D Hình 1: Chia 3 mô t góc bằng compa và thu ó c d ánh dâ u Gia su trên thu ó c, ta d ánh dâ u 2 d iê m N, D có d ô dài bằng r. Du ng góc ÂOB bằng β. Du ng d u ò ng tròn tâm O bán kính bằng r, că t OA tȧi M.

104 90 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG D ă t thu ó c ke d i qua M, sao cho 1 d iê m d ánh dâ u D nằm trên BO, d iê m d ánh dâ u còn lȧi N nằm trên d u ò ng tròn. Góc ÔDN chính là góc cần du ng. (Xem HD 271)

105 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 91 5 TRU Ò NG PHÂN RÃ CU A MÔ T D A THÚ C. D A THÚ C TÁCH D U Ȯ C 5.1 TRU Ò NG PHÂN RÃ CU A MÔ T D A THÚ C D i nh nghĩa. Cho f F [x] và K là mô t mo rô ng tru ò ng cu a F. Ta nói f phân rã trong K hay K phân rã f nê u f có thê viê t d u ȯ c du ó i dȧng f = a(x u 1 ) (x u n ) vó i a, u i K, i = 1,..., n. Ví du F [x]. 14. Nê u K là mô t bao d óng d ȧi sô cu a F thì K phân rã mȯi d a thú c cu a Ví du 15. Cho f = x 3 2 Q[x]. Ba nghiê m cu a f trong C là 3 2, ξ 3 2 và ξ vó i ξ = e 2π 3 = i 3 2 (chú ý rằng ξ3 = 1). Rõ ràng tâ t ca các tru ò ng con cu a C chú a 3 nghiê m cu a f d ều phân rã f. D ă c biê t Q( 3 2, ξ 3 2, ξ 2 3 2) = Q( 3 2, ξ) là tru ò ng nho nhâ t phân rã f. Ta có d i nh nghĩa :

106 92 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG D i nh nghĩa. K. Nhâ n xét 5.1. Cho 0 f F [x]. Mô t mo rô ng tru ò ng K cu a F d u ȯ c gȯi là tru ò ng phân rã (hay tru ò ng nghiê m) cu a f trên F nê u K phân rã f và f không phân rã trong bâ t kỳ tru ò ng con thu c su nào cu a (i) Cho f = a(x u 1 ) (x u n ) vó i a, u i K. Khi d ó K là tru ò ng phân rã cu a f nê u K = F (u 1,..., u n ). (ii) Tru ò ng phân rã E f cu a d a thú c f trên F là mô t mo rô ng hũ u hȧn cu a F. Nói riêng, mȯi phần tu cu a E f d ều d ȧi sô trên F. Ví du 16. Ta xây du ng tru ò ng phân rã cu a f = x 2 +x+1 trên Z 2. Trong tru ò ng hȯ p này ta không thê dùng nghiê m trong C nhu trong Ví du 15. Rõ ràng f bâ t kha quy trên Z 2. Gȯi Z 2 (α) là mo rô ng d o n sao cho α là mô t nghiê m cu a f. Khi d ó Z 2 (α) có 4 phần tu 0, 1, α và 1 + α. Ta có α 2 + α + 1 = 0. Rõ ràng (1 + α) 2 + (1 + α) + 1 = 0, nên f có 2 nghiê m trong Z 2 (α), do d ó f phân rã trong Z 2 (α). Suy ra Z 2 (α) là tru ò ng phân rã cu a f trên Z 2.

107 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 93 Ví 17. Nhiều d a thú c khác nhau có thê du có cùng mô t tru ò ng phân rã. Cho f = (x 2 3)(x 3 + 1) Q[x]. Tâ p nghiê m cu a f trong C là { 1, ± 3, ξ, ξ 2 }, vó i ξ = (1 + 3i)/2. Do d ó mô t tru ò ng phân rã cu a f trên Q là Q( 3, i). Dê dàng thâ y rằng Q( 3, i) cũng là tru ò ng phân rã cu a g = (x 2 2x 2)(x 2 + 1) trên Q. Mê nh d ề 5.2. Cho d a thú c f F [x] bâ c n. Tồn tȧi mô t tru ò ng phân rã E f cu a f trên F sao cho [E f : F ] là u ó c cu a n!. Chú ng minh. Ta chú ng minh bằng quy nȧp theo n. Vó i n = 1, kê t qua là hiê n nhiên. Gia su kê t qua d úng vó i mȯi d a thú c có bâ c nho ho n n. Nê u f không bâ t kha quy, ta viê t f = gh vó i deg(g) = m < n và deg(h) = n m. Theo gia thiê t quy nȧp, ta có [E g : F ] m!, vó i E g là tru ò ng phân rã cu a g trên F. Gȯi E h là tru ò ng phân rã cu a h trên E g và có [E h : E g ] (n m)!. Khi d ó E h cũng là tru ò ng phân rã cu a f = gh trên F. Ho n thê [E h : F ] = [E g : F ][E h : E g ] là u ó c cu a m!(n m)!, do d ó [E h : F ] là u ó c cu a n!. Xét tru ò ng hȯ p f bâ t kha quy. Gȯi α là mô t nghiê m cu a f. D ă t F 1 = F (α). Ta viê t f = (x α)f 1 vó i f 1 F 1 [x]. Do deg(f 1 ) = n 1 nên theo gia thiê t quy nȧp, tồn tȧi tru ò ng phân rã E f1 cu a f 1 trên F 1 và [E f1 : F 1 ] (n 1)!. Rõ ràng E f1

108 94 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Ho n nũ a, [E f1 : F ] = [E f1 : F 1 ][F 1 : F ] (n 1)!n = n!. Su ng Maple 3. Maple cho phép phân tích mô t d a thú c trên mô t mo rô ng hũ u du hȧn cu a Q hay Z p. Do d ó, có thê tìm d u ȯ c tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên Q hay Z p. Ví 18. Cho d a thú c f = x du 3 + 3x 2 + 3x + 4 Q[x]. > f:=x^3+3*x^2+3*x+4; f := x x x + 4 Ta xác d i nh dȧng nhân tu hóa cu a f trên Q. > factor(f); x x x + 4 Nhu thê f bâ t kha quy. Gȯi α là mô t nghiê m cu a f. Phân tích f trong vành Q(α)[x] nhu trong chú ng minh cu a mê nh d ề trên. > alias(alpha=rootof(f,x)):

109 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 95 > factor(f,alpha); (x α) (x x + x α α + α 2 ) D ó là dȧng nhân tu hóa cu a f trong Q(α)[x], tiê p c gȯi β là mô t nghiê m cu a tu nhân tu thú hai trong biê u diê n trên. Sau d ó phân tích f trong Q(α, β)[x]. > g:=factor(f/(x-alpha)); g := x x + x α α + α 2 > alias(beta=rootof(g,x)): > factor(f,{alpha,beta}); (x β) (x α + β) (x α) Ví 19. Xét d a thú c h = x du 4 + x Z 3 [x]. > h:=x^4+x^2+2; h := x 4 + x Ta xác d i nh dȧng nhân tu hóa cu a h trong Z 3 [x]. > Factor(h) mod 3; x 4 + x 2 + 2

110 96 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Nhu thê h bâ t kha quy trên Z 3. Gȯi γ là mô t nghiê m cu a h và tìm dȧng nhân tu hóa cu a h trog Z 3 (γ)[x] > alias(gamma=rootof(h,x) mod 3): > Factor(h,gamma)mod 3; (x + 2 γ) (x + γ) (x + γ 3 ) (x + 2 γ 3 ) Vâ y h phân rã trong Z 3 (γ), nên tru ò ng phân rã cu a h trên Z 3 là Z 3 (γ). Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên mô t tru ò ng là duy nhâ t, sai khác d ă ng câ u, nhu d u ȯ c thê hiê n sau d ây. Mê nh d ề 5.3. Cho τ : F 1 F 2 là t d ă mô ng câ u tru ò ng và f F 1 [x]. Gȯi K 1 và K 2 tu o ng ú ng là tru ò ng phân rã cu a f trên F 1 và cu a τ f = τ (a n )x n + + τ (a 0 ) F 2 [x] trên F 2. Khi d ó τ mo ng thành t rô mô d ă ng câ u ϕ : K 1 K 2, nghĩa là ϕ(a) = τ (a), a F 1. Chú ng minh. Ta chú ng minh quy nȧp theo bâ c cu a f. Kê t qua là hiê n nhiên nê u deg(f) = 1. Gia thiê t deg(f) = n và mê nh d ề d úng vó i d a thú c có bâ c nho ho n n. Gȯi α K 1 là mô t nghiê m cu a f và kí hiê u m F 1 [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α.

111 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 97 Rõ ràng τ m bâ t kha quy trên F 2 [x]. Gȯi β K 2 là mô t nghiê m cu a τ m. D ă ng câ u F 1 [x] F 2 [x], theo d i nh lí phân tích d ồng câ u, mo rô ng thành d ă ng câ u ψ : F 1 (α) = F 1 [x]/(m) F 2 [x]/(τ m) = F 2 (β) tho a ψ(a) = τ (a), a F 1. Gȯi f = (x α 1 )f 1 vó i f 1 F 1 (α)[x] có bâ c n 1. Ta có K 1, K 2 lần lu ȯ t là tru ò ng phân rã cu a f 1 và τ f 1 trên các tru ò ng tu o ng ú ng F 1 (α) và F 2 (β). Theo gia thiê t quy nȧp, tồn tȧi d ă ng câ u ϕ : K 1 K 2 tho a ϕ(b) = ψ(b), b F 1 (α). D ă c biê t ϕ(a) = ψ(a) = τ (a), a F 1. n xét 5.4. Nê u F 1 = F 2 và τ là phép d ồng nhâ t thì mê nh d ề trên có nghĩa là Nhâ tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên F 1 là duy nhâ t sai khác bo i F 1 -d ă ng câ u. qua 5.5. Cho f F [x] và K là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Cho α, β K. Hê Tồn tȧi t F -tu d ă mô ng câ u cu a K biê n α thành β khi và chı khi α và β có cùng t d a thú c tô i tiê mô u trên F. Chú ng minh. Nê u có ϕ : K K là F -tu d ă ng câ u. Gȯi g F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Khi d ó ϕ(α) = β cũng là nghiê m cu a g nên g cũng chính là d a thú c

112 98 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG tô i tiê u cu a β. Ngu ȯ c lȧi nê u α và β d ều có chung d a thú c tô i tiê u g F [x]. Khi d ó tồn tȧi F -d ă ng câ u ψ tù F (α) vào F (β) tho a ψ(α) = ψ(β). Khi d ó K chính là tru ò ng phân rã cu a f trên F (α) và F (β). Theo mê nh d ề trên, d ă ng câ u ψ mo rô ng thành F -tu d ă ng câ u cu a K, biê n α thành β. 5.2 D A THÚ C TÁCH D U Ȯ C Bô d ề 5.6. Cho F K là t mo ng tru ò ng và f, g F [x]. Gȯi d 1 = (f, g) mô rô trong F [x] và d 2 = (f, g) trong K[x]. Khi d ód 1 d 2 trong K[x], tú c là d 1 = ad 2 vó i a K. Suy ra nê u f và g nguyên tô cùng nhau trong F [x] thì chúng không có m chung trong bâ t cú t mo ng tru ò ng nào cu a F. nghiê mô rô Chú ng minh. Rõ ràng d 1 d 2 trong K[x]. Mă t khác, tồn tȧi k, h F [x] sao cho fh + gk = d 1. Suy ra d 2 d 1 trong K[x].

113 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 99 D i nh nghĩa. Cho f F [x] và f = aπ n i=1 (x u i) m i vó i u i u j, m i 1 trong mô t tru ò ng phân rã cu a f trên F. Do các tru ò ng phân rã cu a f trên F là d ă ng câ u, tâ p các sô mũ {m 1,..., m n } không thuô c vào tru ò ng phân rã. Sô mũ m i d u ȯ c gȯi là sô bô i cu a phu nghiê m u i. D i nh nghĩa. D a thú c f gȯi là có nghiê m bô i nê u tồn tȧi m i > 1. Nghiê m u i ú ng vó i m i > 1 gȯi là nghiê m bô i cu a f. Nghiê m ú ng vó i m i = 1 gȯi là nghiê m d o n. Ví 20. Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và a F tho a d iều kiê n không có căn bâ c du p trong F (ví a = t trong tru ò ng các phân thú c hũ u tı Z p (t)). Ta có d a thú c du f = x p a bâ t kha quy (Bài tâ p 5. 10) trong F [x]. Gȯi b là mô t nghiê m cu a f. Khi d ó, x p a = x p b p = (x b) p trong tru ò ng phân rã cu a f trên F. Nhu thê mô t d a thú c bâ t kha quy có thê có nghiê m bô i.

114 100 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG D i nh nghĩa. Cho f = a n x n + + a 1 x + a 0 F [x]. D ȧo hàm hình thú c cu a f, kí hiê u f, là d a thú c d i nh bo i f = na n x n a 1 F [x]. Chú ý rằng tù d i nh nghĩa trên, dê dàng suy ra các công thú c tính d ȧo hàm cu a d a thú c tô ng và tích quen thuô c (f + g) = f + g ; (fg) = f g + fg. Bô d ề 5.7. D a thú c f có nghiê m bô i khi và chı khi (f, f ) 1. Chú ng minh. Nê u f có nghiê m bô i α trong tru ò ng phân rã K cu a nó, thì dê dàng thâ y rằng α cũng là nghiê m cu a f. Do d ó (f, f ) 1 (xem 5.6). Ngu ȯ c lȧi, nê u (f, f ) 1 thì f và f có nghiê m chung α trong tru ò ng phân rã cu a f. Nê u α là nghiê m d o n thì dê dàng chú ng minh rằng α không pha i là nghiê m cu a f. Vô lí.

115 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 101 Mê nh d ề 5.8. Cho f F [x] là t d a thú c bâ t kha quy. Các phát biê mô u sau là tu o ng d u o ng : (i) f có m i ; nghiê bô (ii) (f, f ) 1 ; (iii) F có c sô p > 0 và f là t d a thú c cu a x d ă mô p ; (iv) mȯi m cu a f d ều là m i. nghiê nghiê bô Chú ng minh. (i) = (ii) Xem (5.7). (ii) = (iii) Vì f bâ t kha quy và (f, f ) 1 ta có f = 0. Do d ó F có d ă c sô p > 0 và f là mô t d a thú c cu a x p. (iii) = (iv) Ta có f(x) = g(x p ) vó i g(x) F [x]. D ă t g(x) = Π(x u i ) m i, m i 1. Khi d ó f(x) = g(x p ) = Π(x p u i ) m i = Π(x α i ) pm i,

116 102 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG vó i α p i = u i. Do pm i > 1 nên tâ t ca các nghiê m cu a f d ều là nghiê m bô i. (iv) = (i) Hiê n nhiên. D i nh nghĩa. Mô t d a thú c f F [x] gȯi là tách d u ȯ c trên F nê u mȯi nhân tu bâ t kha quy cu a f d ều không có nghiê m bô i. Mô t tru ò ng F gȯi là hoàn chı nh nê u mȯi d a thú c có hê tu trong F d ều tách d u ȯ c. Mê nh d ề 5.9. t tru ò ng có c sô 0 là hoàn chı nh. t tru ò ng có c sô p là Mô d ă Mô d ă hoàn chı nh khi và chı khi mȯi phần tu cu a F d ều có căn c p trong F. bâ Chú ng minh. Kê t qua hiê n nhiên cho tru ò ng có d ă c sô 0 (xem 5.8). Xét tru ò ng hȯ p F có d ă c sô p. Nê u tồn tȧi mô t phần tu a F không có căn bâ c p trong F. Khi d ó d a thú c x p a không tách d u ȯ c. Ngu ȯ c lȧi, gia thiê t mȯi phần tu cu a F d ều có căn bâ c p. Nê u tồn tȧi mô t d a thú c bâ t kha quy f không tách d u ȯ c thì f = a i (x p ) i = b p i (xp ) i = ( b i x i ) p. Nhu vâ y f không bâ t kha quy. Mâu thuâ n này kéo theo F hoàn chı nh.

117 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 103 Ví 21. Mȯi tru ò ng hũ u hȧn d ều là tru ò ng hoàn chı nh. Thâ t vâ y, tu d ồng câ u du Frobenius: ϕ : F F a a p là mô t d ă ng câ u vì nó là mô t d o n câ u. Do d ó mȯi phần tu cu a F d ều có căn bâ c p trong F. Ví 22. Mȯi tru ò ng d óng d ȧi sô d ều hoàn chı nh. du Bài p tâ Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi d a thú c d ều phân rã trong mô t mo rô ng nào d ó. b) Mȯi d a thú c có tu thuô c mô t trong các tru ò ng Q, R, C d ều tách d u ȯ c. hê c) Mȯi d a thú c có tu thuô c Z p d ều tách d u ȯ c. hê d) Mô t d a thú c có nghiê m bô i thì không tách d u ȯ c.

118 104 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG e) Mȯi d a thú c trên tru ò ng có d ă c sô p d ều không tách d u ȯ c. f) Mȯi d a thú c bâ t kha quy d ều tách d u ȯ c. g) Mô t d a thú c bâ t kha quy f F [x] không tách d u ȯ c thì F có d ă c sô p. h) Mô t d a thú c bâ t kha quy f F [x] không tách d u ȯ c khi và chı khi F có d ă c sô p và f là mô t d a thú c cu a x p. i) Mȯi nghiê m cu a mô t d a thú c trên mô t tru ò ng cho tru ó c d ều có cùng sô bô i. j) Mȯi nghiê m cu a mô t d a thú c bâ t kha quy trên mô t tru ò ng cho tru ó c d ều có cùng sô bô i. k) D a thú c (x 3 + 5) 2 tách d u ȯ c trên Z 7. l) Tru ò ng phân rã xác d i nh duy nhâ t sai khác d ă ng câ u. (Xem HD 271) Cho f F [x] có deg(f) = n > 0 và E = F (α 1,..., α r ) vó i α 1,..., α r là nghiê m cu a f vó i r n. Cho K là mô t tru ò ng phân rã f. Chú ng minh rằng : a) Tồn tȧi mô t F -d ồng câ u tù E vào K.

119 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 105 b) Sô các F -d ồng câ u tù E vào K không vu ȯ t quá [E : F ] và bằng vó i [E : F ] nê u f có n nghiê m phân biê t trong K. c) Suy ra tính duy nhâ t cu a tru ò ng phân rã cu a f F [x] trên F. (Xem HD 271) Chú ng minh rằng nê u mô t tru ò ng viê t d u ȯ c nhu hȯ p cu a các tru ò ng hoàn chı nh là mô t tru ò ng hoàn chı nh. Suy ra mȯi mo rô ng d ȧi sô trên Z p là mô t tru ò ng hoàn chı nh. (Xem HD 272) Xây du ng tru ò ng phân rã cu a các d a thú c x 3 1, x 4 + 5x 2 + 6, x 6 8, x 5 2 trên Q và tính bâ c cu a các mo rô ng tu o ng ú ng trên Q Xây du ng tru ò ng phân rã cu a các d a thú c x 3 + 2x + 1 và x 3 + x 2 + x + 2 trên Z 3. Chúng có d ă ng câ u vó i nhau không? (Xem HD 272) Cho F K L trong d ó L là tru ò ng phân rã cu a f F [x] trên F. Chú ng minh rằng L cũng là tru ò ng phân rã cu a f trên K.

120 106 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG a) Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và a F. Chú ng minh rằng nê u d a thú c x p x a kha quy trong F [x] thì phân rã trong F. b) Vó i mȯi sô nguyên tô p, chú ng minh rằng d a thú c x p x 1 bâ t kha quy trên Q. (Xem HD 272) Cho F là tru ò ng có d ă c sô 0, cho f, g F [x] và d = (f, g). Chú ng minh rằng tâ p nghiê m cu a f và h = f/d là trùng nhau. (Xem HD 273) Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và f F [x] bâ t kha quy. Chú ng minh rằng f = g(x pe ) vó i e 0 và g F [x] là d a thú c bâ t kha quy, tách d u ȯ c. Suy ra, mȯi nghiê m cu a f d ều có chung sô bô i trong tru ò ng phân rã cu a f. (Xem HD 273) Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và a F không có căn bâ c p trong F. Chú ng minh rằng f = x p a bâ t kha quy trên F. (Xem HD 274) * (Tô ng quát cu a Bài tâ p 5. 2) Cho τ : F K là mô t d ồng câ u tru ò ng. Cho E = F (α 1,..., α r ) vó i α 1,..., α r là các nghiê m cu a f F [x] có bâ c n r.

121 5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 107 Chú ng minh rằng : {ϕ : E K ϕ là F -d ồng câ u, ϕ F = τ } [E : F ] và d ă ng thú c xa y ra khi K chú a n nghiê m phân biê t cu aτ f. (Xem HD 274)

122 108 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG

123 Chu o ng 2 LÍ THUYÊ T GALOIS 6 TU D Ă NG CÂ U VÀ TRU Ò NG TRUNG GIAN CU A MO NG TRU Ò NG RÔ Trong bài này, ta nghiên cú u nhóm Aut(E/F ) các tu d ă ng câ u cu a mo rô ng tru ò ng E : F, d ă c biê t vó i tru ò ng hȯ p cu a tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên F. D ồng thò i, ta nghiên cú u tu o ng ú ng giũ a tâ p các nhóm con cu a Aut(E/F ) và tâ p các tru ò ng con cu a E chú a F, gȯi là các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng E : F. 109

124 110 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 6.1 NHÓM CÁC TU D Ă NG CÂ U CU A MO NG TRU Ò NG RÔ Ta bă t d ầu bằng mô t sô bô d ề d o n gia n sau d ây : Bô d ề 6.1. Cho E : F là t mo ng tru ò ng. p tâ t ca các F -tu d ă mô rô Tâ ng câ u cu a E là nhóm con cu a nhóm Aut(E), gȯi là nhóm các F -tu d ă ng câ u cu a E : F, kí u hiê Aut(E/F ). Chú ng minh. Tâ p Aut(E/F ) do chú a phép d ồng nhâ t. Tích cu a hai F -d ă ng câ u và nghi ch d a o cu a F -d ă ng câ u là F -d ă ng câ u. Do d ó Aut(E/F ) là nhóm con cu a Aut(E). Bô d ề 6.2. Cho E : F là t mo ng tru ò ng và u E d ȧi sô trên F. Gȯi m F [x] mô rô là d a thú c tô i tiê u cu a u. Cho ϕ : E E là t F d ồng câ u. Khi d ó ϕ(u) cũng mô là m cu a m. nghiê Chú ng minh. D ây chı là tru ò ng hȯ p d ă c biê t cu a Mê nh d ề 1.3. Bô d ề 6.3. Cho f F [x] có deg(f) = n > 0 và E = F (α 1,..., α r ) vó i α 1,..., α r là các nghiê m cu a f. Cho K là mô t tru ò ng phân rã f. Khi d ó tồn tȧi mô t F -d ồng

125 6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 111 câ u tù E vào K ; sô các F -d ồng câ u tù E vào K không vu ȯ t quá [E : F ] và bằng vó i [E : F ] nê u f có n m phân t trong K. nghiê biê Chú ng minh. Xem Bài tâ p Ta mo rô ng kê t qua trên bằng bô d ề sau d ây. Bô d ề 6.4. Cho τ : F K là t d ồng câ u tru ò ng. Cho E = F (α 1,..., α r ) vó i mô α 1,..., α r là các m cu a f F [x] có c n r. Khi d ó nghiê bâ {ϕ : E K ϕ là F -d ồng câ u, ϕ F = τ } [E : F ] và d ă ng thú c xa y ra khi K chú a n m phân t cu a τ f. nghiê biê Chú ng minh. Xem Bài tâ p Ví 23. Cho G = Aut(Q( du 2)/Q). Nê u ϕ G thì ϕ( 2) = 2 hay ϕ( 2) = 2. Tru ò ng hȯ p thú nhâ t kéo theo ϕ(a + b 2) = a + b 2 hay ϕ = id. Tru ò ng hȯ p thú 2 tồn tȧi do ± 2 d ều có cùng mô t d a thú c tô i tiê u và các mo rô ng d o n cu a chúng trên Q chính là Q( 2).

126 112 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Ví du 24. Cho G = Aut(Q( 3 2)/Q). D a thú c tô i tiê u cu a 3 2 là f = x 3 2. Các nghiê m còn lȧi cu a f là ξ 3 2 và ξ 2 3 2, vó i ξ = e 2πi 3, d ều không thuô c Q( 3 2). Do d ó G = 1. Nhâ n xét 6.5. (i) Cho E = F (u 1,..., u r ) vó i u i d ȧi sô trên F. Khi d ó mô i F -tu d ồng câ u ϕ biê n u i thành mô t nghiê m cu a d a thú c tô i tiê u cu a u i. D ă c biê t, Aut(E/F ) là mô t nhóm hũ u hȧn. Ho n thê, mô t F -tu d ồng câ u ϕ hoàn toàn xác d i nh khi biê t tâ p a nh cu a u 1,..., u r. (ii) D ă c biê t, khi E là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c f F [x] có deg(f) = n thì mô i F -tu d ồng câ u ϕ sẽ ca m sinh mô t hoán vi cu a các nghiê m cu a f. Do d ó Aut(E/F ) là mô t nhóm con cu a nhóm d ô i xú ng S n. Mê nh d ề 6.6. Cho E f là tru ò ng phân rã cu a f F [x]. Khi d ó Dâ u = xa y ra khi f tách d u ȯ c. (Aut(E f /F ) : 1) [E f : F ]. Chú ý, ta kí hiê u (G : 1) hay G cho câ p cu a mô t nhóm nhân hũ u hȧn G.

127 6. Tu D ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 113 Chú ng minh. Chú ý rằng mô i F -tu d ồng câ u ϕ cu a E f cũng là F -tu d ă ng câ u vì ϕ hoán vi các nghiê m cu a f trong K nên ϕ biê n co so cu a E f : F thành co so. Mă t khác, nê u f = f m 1 1 f m r r là dȧng nhân tu hóa cu a f thì tru ò ng phân rã cu a f trên F cũng chính là tru ò ng phân rã cu a g := f 1 f r trên F. Do d ó, tù Bô d ề 6.3, ta có (Aut(E f /F ) : 1) [E f : F ] và dâ u = xa y ra khi f tách d u ȯ c. Mê nh d ề 6.7. Cho E : F và L : F là các mo rô ng tru ò ng vó i E hũ u hȧn trên F. Khi d ó (i) Sô F -d ồng câ u tù E vào L không vu ȯ t quá [E : F ]. D ă c biê t (Aut(E/F ) : 1) [E : F ]. (ii) Tồn tȧi mô t mo rô ng hũ u hȧn K trên L và mô t F -d ồng câ u tù E vào K. Chú ng minh. Gȯi E = F (u 1,..., u n ) vó i u 1,..., u n d ȧi sô trên F. Gȯi m 1,..., m n F [x] tu o ng ú ng là các d a thú c tô i tiê u cu a u 1,..., u n. D ă t f = m 1 m n và gȯi K là tru ò ng phân rã cu a f trên L. Theo Bô d ề 6.3, tồn tȧi mô t F -d ồng câ u tù E vào K và sô F -d ồng câ u tù E vào K không quá [E : F ]. D ă c biê t, sô các F -d ồng câ u tù E vào L K không quá [E : F ].

128 114 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 6.2 TRU Ò NG TRUNG GIAN CU A MO NG TRU Ò NG RÔ Cho E : F là mo rô ng tru ò ng. Các tru ò ng con cu a E chú a F gȯi D i nh nghĩa. là các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng E : F. Kí hiê u F là tâ p tâ t ca các tru ò ng trung gian cu a E : F. Bô d ề 6.8. Cho = H Aut(E/F ). p Tâ T (H) = {b E ϕ(b) = b, ϕ H} là t tru ò ng trung gian cu a E : F, gȯi là tru ò ng trung gian cô d i nh bo i H. mô Chú ng minh. Rõ ràng F T (H). Nê u a, b T (H) và ϕ H, ta có ϕ(a + b) = a + b, ϕ(ab) = ab. Mă t khác, nê u 0 a T (H) thì ϕ(a 1 ) = a 1. Do d ó T (H) là mô t tru ò ng trung gian cu a E : F. Bô d ề 6.9. Cho K là tru ò ng trung gian cu a mo ng E : F. Khi d ó Aut(E/K) là rô t nhóm con cu a Aut(E/F ), gȯi là nhóm con cô d i nh K, kí u N (K). mô hiê Chú ng minh. Su ng Bô du d ề 6.1 và Aut(E/K) Aut(E/F ). Kí hiê u H là tâ p tâ t ca các nhóm con cu a Aut(E/F ). Hai ánh xȧ sau :

129 6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 115 N : F K H N (K) và T : H H F T (H) gȯi là các tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng E : F. n xét Ta dê dàng kiê Nhâ m tra các tính châ t sau d ây : (i) N (F ) = Aut(E/F ), N (E) = {1} và T ({1}) = E. (ii) Các ánh xȧ N và T d a o ngu ȯ c thú tu bao hàm. Nghĩa là: Nê u F K 1 K 2 E thì N (K 1 ) N (K 2 ). Nê u H 1 H 2 là 2 nhóm con cu a Aut(E/F ) thì T (H 1 ) T (H 2 ). (iii) H N (T (H)), H H ; tu o ng tu K T (N (K)), K F. Ví 25. Trong mo rô ng Q Q( du 3 2), ta biê t rằng Aut(Q( 3 2)/Q) = 1. Suy ra T (N (Q)) = Q( 3 2). Do d ó Q T (N (Q)). Tuy nhiên, ta sẽ thâ y rằng H = N (T (H)), vó i mȯi H hũ u hȧn.

130 116 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS D i nh lí 6.11 (Artin). Cho E : F là mo rô ng tru ò ng và H Aut(E/F ) là mô t nhóm con hũ u hȧn. Khi d ó : [E : T (H)] (H : 1). Chú ng minh. Gȯi H = {ϕ 1,..., ϕ m } vó i ϕ 1 = 1. Cho α 1,..., α n vó i n > m là n phần tu tùy ý cu a E. Ta chú ng minh rằng α 1,..., α n phu thuô c tuyê n tính trên T (H). Xét phu o ng trình tuyê n tính thuần nhâ t: hê ϕ 1 (α 1 )x ϕ 1 (α n )x n = 0. ϕ m (α 1 )x ϕ m (α n )x n = 0. Do n > m, hê phu o ng trình trên có nghiê m không tầm thu ò ng trong E. Gȯi v = (c 1,..., c n ) là mô t nghiê m cu a (2) có sô phần tu khác 0 nho nhâ t. Sau khi hoán vi các c i nê u cần, ta có thê gia thiê t c 1 0. Ta có thê gia thiê t c 1 = 1 T (H) bằng cách nhân v vó i mô t vô hu ó ng thích hȯ p. Chú ý rằng do ϕ 1 = 1, nên phu o ng trình d ầu cu a (2) cho ta c 1 α c n α n = 0. Ta cần chú ng minh rằng tâ t ca thành phần c j cu a v thuô c T (H). (2)

131 6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 117 Nê u tồn tȧi c i / T (H) thì có ϕ k H sao cho ϕ k (c i ) c i. Tác d ô ng ϕ k vào tâ t ca các phu o ng trình cu a (2) vó i chú ý rằng hê {ϕ k ϕ 1,..., ϕ k ϕ m } = {ϕ 1,..., ϕ m }, ta có v := (c 1, ϕ k (c 2 ),..., ϕ k (c n )) cũng là nghiê m cu a (2). Suy ra v v = (0,..., c i ϕ k (c i ),..., c n ϕ k (c n )) cũng là nghiê m cu a (2). Rõ ràng nghiê m v v không tầm thu ò ng do c i ϕ k (c i ) 0 và có sô phần tu khác 0 ít ho n sô phần tu khác 0 cu a v. Vô lí! Nhu thê tâ t ca các c i thuô c T (H), ta có d iều pha i chú ng minh. qua Cho H Aut(E/F ) là t nhóm con hũ u hȧn. Khi d ó Hê mô [E : T (H)] = (H : 1) và H = N (T (H)). Chú ng minh. Ta có [E : T (H)] (H : 1) do d i nh lí Artin. Mă t khác (N (T (H)) : 1) [E : T (H)] do Mê nh d ề 6.7. Suy ra [E : T (H)] (H : 1) (N (T (H)) : 1) [E : T (H)]. Do d ó [E : T (H)] = (H : 1) và H = N (T (H)).

132 118 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Tù kê t qua trên, ta suy ra, nê u E : F hũ u hȧn thì T là d o n ánh và N là toàn ánh. Ta sẽ xét mô t mo rô ng tru ò ng trong d ó các ánh xȧ T và N d ều là song ánh và do d ó là nghi ch d a o cu a nhau. Ví du 26. Xét Q( 2, 3), là tru ò ng phân rã cu a d a thú c f = (x 2 2)(x 2 3). Cho ϕ G = Aut(Q( 2, 3)/Q) thì ta có ϕ( 2) = ± 2, ϕ( 3) = ± 3. Nhu thê có 4 tru ò ng hȯ p nhu sau : { 2 2 ; 3 3 { 2 2 ; 3 3 { ; { Theo Mê nh d ề 6.6, ta có (Aut(Q( 2, 3)/Q) : 1) = [Q( 2, 3) : Q] = 4. Nhu thê 4 phần tu cu a G tu o ng ú ng vó i 4 tru ò ng hȯ p nêu trên. D ă t σ : { ; τ {

133 6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 119 Ta có σ 2 = τ 2 = 1 và G =< σ, τ >. Suy ra G = Z 2 Z 2 (gȯi là nhóm Klein). Ta liê t kê các nhóm con và tru ò ng trung gian tu o ng ú ng cùng so d ồ bao hàm cu a chúng nhu trong Hình 7. Ngoài ra, bằng cách chú ng minh rằng nê u mô t tru ò ng trung G 6 Q < σ > < στ > < τ > Q( Q( Q( 3) 6) 2) 1 Q( 2, 3) Hình 7: Tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng Q( 2, 3). gian K có bâ c 2 trên Q, thì K là mô t trong các tru ò ng Q( 2), Q( 3), Q( 6). Do d ó các ánh xȧ N và T là song ánh và là nghi ch d a o cu a nhau.

134 120 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Bài p tâ Xác d i nh tính d úng, sai cu a các mê nh d ề sau : a) Mȯi F -tu d ă ng câ u cu a mo rô ng E : F d ều là mô t tu d ă ng câ u cu a E. b) Mȯi tu d ă ng câ u cu a E d ều là F -tu d ă ng câ u cu a mo rô ng E : F. c) Mȯi F -tu d ă ng câ u cu a F d ều là ánh xȧ d ồng nhâ t. d) Nhóm Aut(E/F ) luôn là nhóm aben. e) Nhóm Aut(C/R) là nhóm cyclic. f) Các tu o ng ú ng Galois luôn là song ánh. g) Các tu o ng ú ng Galois ba o toàn thú tu bao hàm. h) Nê u Aut(E/F ) = 1 thì E = F. i) Nê u E = F thì Aut(E/F ) = 1. j) Tru ò ng K(x) chı có mô t K-tu d ă ng câ u. k) Nhóm Aut(K(x)/K(x 2 )), vó i K có d ă c sô khác 2, d ă ng câ u vó i Aut(C/R).

135 6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 121 l) H = N (T (H)) vó i mȯi nhóm con hũ u hȧn H cu a Aut(E/F ). m) Cho mo rô ng tru ò ng E : F thì T (N (F )) = F. n) Cho mo rô ng tru ò ng E : F thì T (N (E)) = E. (Xem HD 276) Vẽ so d ồ bao hàm các nhóm tu d ă ng câ u cu a các mo rô ng tru ò ng sau d ây và xét xem các tu o ng ú ng Galois N và T có pha i là các song ánh không. a) C : R ; b) Q(ω) : Q vó i ω = e 2πi/5 ; c) E f : Q vó i E f là tru ò ng phân rã cu a f = x 4 2 ; d) E f : Q(θ) vó i θ = e 2πi 3 và E f là tru ò ng phân rã cu a f = x 3 2 trên Q(θ) ; e) Q( 2, 3, 5) : Q ; f) Tru ò ng phân rã cu a d a thú c (x 3 5)(x 3 7) trên Q ; g) Tru ò ng phân rã cu a d a thú c (x 6 5) trên Q và trên R. (Xem HD 276) Cho G là nhóm Galois cu a d a thú c x 5 2 trên Q. Xác d i nh câ p cu a G và xét xem G có pha i là nhóm aben hay không? (Xem HD 280)

136 122 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Xác d i nh câ p cu a nhóm Galois cu a d a thú c (x 3 5)(x 3 2) trên Q và R Chú ng minh rằng Aut(Q(ξ)/Q) là nhóm aben vó i ξ = e 2πi n và n N. (Xem HD 281) (Xem HD 281) Cho f = x p a F [x] và gȯi E f là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Xác d i nh tru ò ng phân rã cu a f trên F trong các tru ò ng hȯ p : a) F = Q ; b) F = Z p. (Xem HD 281) Chú ng minh hoă c bác bo các mê nh d ề sau d ây : a) Nê u E : F là mô t mo rô ng bâ c 2 thì tồn tȧi σ Aut(E) sao cho σ(a) = a, a F. b) Giô ng nhu trên vó i gia thuyê t thêm là tru ò ng E hũ u hȧn. (Xem HD 281) Cho K là tru ò ng phân rã cu a x 5 1 trên Q. Mô ta nhóm Aut(K/Q) và chı ra rằng K : Q chı có mô t tru ò ng trung gian thu c su là Q(ξ + ξ 4 ) vó i ξ = e 2πi/5.

137 6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 123 Xác d i nh d a thú c tô i tiê u cu a ξ + ξ 4. Xác d i nh các tru ò ng phân rã cu a các d a thú c sau trên Q : a) (x 2 5)(x 5 1) ; b) (x 2 + 3)(x 5 1). (Xem HD 281) Cho K là tru ò ng phân rã cu a d a thú c x 3 5 trên Q( 7). Chú ng minh rằng Aut(K/Q( 7)) = S 3. (Xem HD 282)

138 124 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 7 MO NG TÁCH D U Ȯ C, CHUÂ RÔ N TĂ C VÀ GALOIS Trong bài này, ta xét các mo rô ng tru ò ng d ă c biê t ho n nhằm tìm d iều kiê n d ê các tu o ng ú ng Galois là các song ánh. 7.1 MO NG TÁCH D U Ȯ C VÀ D İNH LÍ PHẦN TU RÔ NGUYÊN THU Y Mô t D i nh nghĩa. mo rô ng d ȧi sô E : F gȯi là tách d u ȯ c nê u d a thú c tô i tiê u cu a mȯi phần tu thuô c E d ều tách d u ȯ c. Nhu thê, mo rô ng E : F là không tách d u ȯ c nê u các tru ò ng có d ă c sô p và d a thú c tô i tiê u cu a mô t phần tu nào d ó cu a E có dȧng g(x p ) vó i g F [x]. Ví 27. Mo rô ng Z 2 (t du 2 ) Z 2 (t) là không tách d u ȯ c vì d a thú c tô i tiê u x 2 t 2 cu a t là không tách d u ȯ c. Mê nh d ề 7.1. Cho F M E là các mo ng tru ò ng. Nê u F E là mo ng rô rô tách d u ȯ c thì F M và M E là các mo ng tách d u ȯ c. rô Chú ng minh. Rõ ràng F M là mo rô ng tách d u ȯ c. Cho α E. Gȯi f F [x]

139 7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 125 và g M[x] tu o ng ú ng là các d a thú c tô i tiê u cu a α trên F và M. Rõ ràng g f. Do F E tách d u ȯ c, d a thú c f là tách d u ȯ c. Suy ra g là tách d u ȯ c. Mo rô ng tách d u ȯ c có mô t tính châ t râ t d ă c biê t d u ȯ c thê hiê n sau d ây. D i nh lí 7.2 (Phần tu nguyên thu y). Cho E = F (α 1,, α n ) là t mo ng mô rô hũ u hȧn cu a F sao cho α 2,, α n tách d u ȯ c trên F. Khi d ó tồn tȧi γ E sao cho E = F (γ). Chú ng minh. Nê u F là tru ò ng hũ u hȧn thì E hũ u hȧn và do d ó nhóm nhân E các phần tu khác 0 là nhóm cyclic (xem Bài tâ p 0. 18). Gȯi u là mô t phần tu sinh cu a E. Rõ ràng E = F (u). Ta chı cần xét tru ò ng hȯ p F vô hȧn. Ta chú ng minh quy nȧp trên n. Nê u n = 1, kê t qua là hiê n nhiên. Nê u kê t qua d úng vó i n = 2 thì tù gia thiê t quy nȧp, ta có F (α 1,... α n ) = F (α 1,... α n 1 )(α n ) = F (t, α n ) và suy ra d iều pha i chú ng minh. Do d ó bài toán quy về viê c chú ng minh kê t qua cho n = 2.

140 126 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Xét E = F (v, w) vó i w tách d u ȯ c trên F. Gȯi f, g F [x] lần lu ȯ t là d a thú c tô i tiê u cu a v, w. Gȯi K là tru ò ng phân rã cu a fg. Khi d ó f có các nghiê m trong K là v, v 1,..., v r ; d a thú c g có các nghiê m phân biê t trong K là w, w 1,..., w s. Do F vô hȧn, tồn tȧi c F sao cho c v i v w w j, i = 1,..., r, j = 1,..., s. D ă t u = v + cw. Ta sẽ chı ra rằng v, w F (u), do d ó F (v, w) = F (u). D ă t h = f(u cx) F (u)[x]. Ta có h(w) = f(u cw) = f(v) = 0. Nê u có w j vó i 1 j s nào d ó là nghiê m cu a h thì h(w j ) = f(u cw j ) = 0. Nhu thê tồn tȧi i tho a 1 i r sao cho u cw j = v i. Hay c(w w j ) = v i v. Vô lý do cách chȯn c. Vâ y h chı có w là nghiê m duy nhâ t trong tâ p {w, w 1,..., w s }. Suy ra (h, g) = x w trong K[x]. Suy ra x w F (u)[x] (xem Bô d ề 5.6), d ă c biê t w F (u). Ta có d iều pha i chú ng minh.

141 7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 127 Hê qua 7.3. Mȯi mo rô ng hũ u hȧn, tách d u ȯ c là mo rô ng d o n. D ă c biê t mȯi mo rô ng hũ u hȧn trên tru ò ng có d ă c sô 0 hoă c tru ò ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng d o n. 7.2 TIÊU CHUÂ N CU A MO NG GALOIS VÀ CHUÂ RÔ N TĂ C Mô t D i nh nghĩa. mo rô ng d ȧi sô E : F gȯi là chuâ n tă c nê u d a thú c tô i tiê u cu a mȯi phần tu thuô c E phân rã trong E. n xét 7.4. Cho E : F là mô t mo rô ng chuâ Nhâ n tă c và tách d u ȯ c. Cho f F [x] là mô t d a thú c bâ t kha quy bâ c m. Nê u f có nghiê m trong E thì f có d úng m nghiê m phân biê t trong E. Ta d ã biê t rằng vó i mô t mo rô ng tru ò ng E : F thì nói chung F T (N (F )) = T (Aut(E/F )). Ta xét nhũ ng mo rô ng tru ò ng mà dâ u d ă ng thú c xa y ra. Mô t mo rô ng hũ u hȧn E : F d u ȯ c gȯi là mo rô ng Galois nê u D i nh nghĩa. F = T (N (F )). Khi d ó Aut(E/F ) gȯi là nhóm Galois cu a mo rô ng tru ò ng và d u ȯ c kí hiê u là Gal(E/F ).

142 128 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS D i nh lí 7.5 (Tiêu chuâ n cu a mo ng Galois). Cho mo ng tru ò ng E : F. Các rô rô nh d ề sau là tu o ng d u o ng : mê (i) E là tru ò ng phân rã cu a t d a thú c tách d u ȯ c trên F ; mô (ii) [E : F ] = (Aut(E/F ) : 1) < ; (iii) E : F là mo ng Galois ; rô (iv) F = T (G) vó i G là t nhóm con hũ u hȧn cu a Aut(E/F ) ; mô (v) E : F là mo ng chuâ rô n tă c, tách d u ȯ c và hũ u hȧn trên F. Chú ng minh. (i) = (ii) Xem Mê nh d ề 6.6. (ii) = (iii) Theo D i nh lí Artin, ta có [E : T (N (F ))] = (N (F ) : 1) = Aut(E/F ). Suy ra [E : T (N (F ))] = [E : F ]. Do d ó F = T (N (F )), hay E : F là mo rô ng Galois.

143 7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 129 (iii) = (iv) Lâ y G = Aut(E/F ). (iv) = (v) Theo D i nh lí Artin (6.11), ta có [E : F ] [G : 1]. Suy ra E : F hũ u hȧn. Lâ y α E. Gȯi f F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Ta chú ng minh rằng f phân rã trong E thành các nhân tu phân biê t. D ă t N = {σα σ G} = {α 1,..., α m }. Xét d a thú c m g = (x α i ) = x m + a 1 x m a m E[x]. i=1 Vó i mȯi τ G, ánh xȧ τ hoán các phần tu trong N. Do các tu a i cu a g vi hê d ều là các d a thú c d ô i xú ng cu a α 1,..., α m, ta có τ (a i ) = a i, i = 1,..., m. Suy ra a i F hay g F [x]. Vì f là d a thú c tô i tiê u cu a α, ta có f g. Mă t khác, các phần tu α i d ều là nghiê m cu a f nên g f. Vâ y g = f, do d ó f phân rã thành các nhân tu phân biê t. (v) = (i) Vì E : F là mo rô ng hũ u hȧn, ta có E = F (α 1,..., α n ) vó i α i d ȧi sô trên F. Gȯi m i là d a thú c tô i tiê u cu a α i vó i mȯi i = 1,..., n. Do E : F chuâ n tă c, các d a thú c m i phân rã trong E, do d ó E là tru ò ng phân rã cu a f = m i

144 130 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS trên F. Ho n thê, do mo rô ng E : F là tách d u ȯ c, d a thú c f là tách d u ȯ c. D i nh nghĩa. Nhóm Galois cu a mô t d a thú c tách d u ȯ c f F [x] là nhóm Galois cu a tru ò ng phân rã cu a f. qua 7.6. Mȯi mo ng hũ u hȧn, tách d u ȯ c d ều chú a trong t mo ng Galois. Hê rô mô rô Chú ng minh. Cho F E là mo rô ng hũ u hȧn và tách d u ȯ c, ta có E = F (α 1,..., α n ) vó i α i d ȧi sô trên F. Gȯi m i là d a thú c tô i tiê u cu a α i vó i mȯi i = 1,..., n. Do m i tách d u ȯ c, d a thú c f = m i là tách d u ȯ c. Tru ò ng E chú a trong tru ò ng phân rã cu a f F [x]. qua 7.7. Cho F M E là các mo ng tru ò ng. Nê u F E là mo ng Hê rô rô Galois thì M E là mo ng Galois. rô Chú ng minh. E là tru ò ng phân rã cu a d a thú c f F [x]. Rõ ràng E cũng là tru ò ng phân rã cu a f trên M. Ho n thê M E là mo rô ng tách d u ȯ c (xem Mê nh d ề 7.1). Do d ó M E là mo rô ng Galois.

145 7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 131 D i nh lí 7.5 cho ta tiêu chuâ n cu a mô t mo rô ng Galois. Kê t qua sau cho ta tiêu chuâ n cu a mo rô ng chuâ n tă c. Mê nh d ề 7.8. Mô t mo rô ng E : F là hũ u hȧn và chuâ n tă c khi và chı khi E là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên F. Chú ng minh. D iều kiê n cần cu a mê nh d ề d u ȯ c chú ng minh tu o ng tu nhu trong D i nh lí 7.5. Ta chú ng minh d iều kiê n d u. Cho E là tru ò ng phân rã cu a d a thú c f F [x] trên F. Gȯi g F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α E. Ta chú ng minh rằng mȯi nghiê m cu a g d ều thuô c E. Gȯi K là tru ò ng phân rã cu a g trên E và β là mô t nghiê m cu a g trong K. Xét so d ồ nhu trong Hình 8. Ta sẽ chı ra rằng [E(α) : E] = [E(β) : E] và do [E(α) : E] = 1, ta có [E(β) : E] = 1, nên β E. Do α và β d ều là nghiê m cu a g bâ t kha quy trên F nên tồn tȧi F d ă ng câ u F (α) F (β). Rõ ràng E(α) và E(β) lần lu ȯ t là tru ò ng phân rã cu a f trên F (α) và F (β) nên ϕ mo rô ng thành F d ă ng câ u

146 132 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS E(α) 6 K E(β) E F (α) F (β) F Hình 8: So d ồ chı ra E(α) d ă ng câ u vó i E(β). ϕ : E(α) E(β). Nhu thê [E(α) : F ] = [E(β) : F ]. Suy ra [E(α) : E] = [E(β) : E]. Ta có d iều cần chú ng minh.

147 7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 133 Bài p tâ Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng chuâ n tă c. b) Mȯi mo rô ng chuâ n tă c d ều là mo rô ng Galois. c) Mȯi mo rô ng tách d u ȯ c d ều là mo rô ng hũ u hȧn. d) Mȯi mo rô ng Galois d ều là mo rô ng chuâ n tă c và tách d u ȯ c. e) Mȯi mo rô ng tách d u ȯ c d ều là mo rô ng chuâ n tă c. f) Mȯi mo rô ng chuâ n tă c và hũ u hȧn d ều là mo rô ng Galois. g) Mȯi mo rô ng chuâ n tă c d ều là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. h) Mȯi mo rô ng Galois d ều là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. i) Mô t mo rô ng hũ u hȧn là Galois khi và chı khi nó là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c tách d u ȯ c. j) Mȯi mo rô ng Galois d ều là mo rô ng d o n. k) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng d o n.

148 134 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS l) Nê u F M E có F E là mo rô ng tách d u ȯ c thì F M và M E tách d u ȯ c. m) Nê u F M E có F E là mo rô ng chuâ n tă c thì F M và M E chuâ n tă c. n) Nê u F M E có F E là mo rô ng Galois thì F M và M E Galois. (Xem HD 283) Cho F E K là các mo rô ng tru ò ng. Nê u F E và E K là các mo rô ng Galois thì F K có pha i là mo rô ng Galois không? (Xem HD 283) Chú ng to rằng mȯi mo rô ng bâ c 2 trên tru ò ng có d ă c sô khác 2 d ều là các mo rô ng Galois. Khă ng d i nh trên có d úng cho tru ò ng có d ă c sô 2 không? (Xem HD 283) Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và f = x p x a F [x]. Xác d i nh tru ò ng phân rã E f cu a f trên F và xét xem nó có pha i là mo rô ng Galois trên F không? Xác d i nh các phần tu cu a nhóm Aut(E f /F ). (Xem HD 283)

149 7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois Cho f = x pn x Z p [x] và E f là tru ò ng phân rã cu a f trên Z p. Xác d i nh nhóm Aut(E f /Z p ) và vẽ so d ồ bao hàm cu a các nhóm con cu a nó. (Xem HD 283) Tìm các mo rô ng tru ò ng Q F 1 F 2 F 3 vó i F 1, F 3 Galois trên Q nhu ng F 2 không Galois trên Q. (Xem HD 284) Chú ng minh rằng Q Q( 2 + 2) là mo rô ng Galois và xác d i nh nhóm Galois cu a mo rô ng d ó. (Xem HD 284) Trong các mo rô ng o Bài tâ p 6. 2, mo rô ng nào là mo rô ng Galois, chuâ n tă c? Mô ta nhóm Galois cu a các d a thú c sau trên Q. a) f = (x 2 2)(x 2 3)(x 2 5) ; b) g == x p 2 vó i p nguyên tô ; c) h = x 4 14x (Xem HD 284) Chú ng minh rằng nhóm Galois cu a x p 2 trên Q d ă ng câ u vó i nhóm nhân các

150 136 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS ( ) a b ma trâ n vó i a, b Z p và a 0. (Xem HD 285) Chú ng minh rằng nê u nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 là mô t nhóm cyclic câ p 3 thì tâ t ca các nghiê m cu a f d ều là nghiê m thu c. (Xem HD 285)

151 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois D İNH LÍ CO BA N CU A LÍ THUYÊ T GALOIS Nhă c lȧi, vó i mô t mo rô ng F E cho tru ó c, kí hiê u F là tâ p các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng và H là tâ pcác nhóm con cu a Aut(E/F ). Giũ a F và H có các ánh xȧ N và T, gȯi là các tu o ng ú ng Galois. D i nh lí 8.1. Cho F E là mo ng Galois vó i G = Gal(E/F ). Khi d ó các tu o ng rô ú ng Galois N : F H và T : H F là các song ánh và là nghi ch d a o cu a nhau. Ho n thê : (i) H 1 H 2 T (H 1 ) T (H 2 ), H 1, H 2 H ; (ii) chı sô cu a nhóm bằng c cu a mo ng tru ò ng, nghĩa là vó i mȯi H 1, H 2 H, bâ rô H 1 H 2 = (H 2 : H 1 ) = [T (H 1 ) : T (H 2 )] ; (iii) T (σhσ 1 ) = σ T (H) và N (σm) = σ N (M)σ 1, σ G, H H, M F ;

152 138 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS (iv) H G khi và chı khi T (H) : F là mo ng chuâ rô n tă c (do d ó Galois) và Gal(T (H)/F ) = G/H. Chú ng minh. Do E : F là mo rô ng hũ u hȧn nên G hũ u hȧn. Khi d ó H H, ta có N (T (H)) = H. Mă t khác M F, ta có E : M là mo rô ng Galois, do d ó T (N (M)) = M. Suy ra N và T là các song ánh và là nghi ch d a o cu a nhau. (i) Ta có T (H 1 ) T (H 2 ) = H 1 = N (T (H 1 )) N (T (H 2 )) = H 2. (ii) Vó i H H, ta có E : T (H) là mo rô ng Galois. Do d ó [E : T (H)] = (H : 1). Cho H 1 H 2 là các nhóm con cu a G. Suy ra F T (H 2 ) T (H 1 ) E. Ta có(h 2 : 1) = (H 2 : H 1 )(H 1 : 1). Suy ra [E : T (H 2 )] = (H 2 : H 1 )[E : T (H 1 )] = [E : T (H 1 )][T (H 1 ) : T (H 2 )].

153 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 139 Do d ó (H 2 : H 1 ) = [T (H 1 ) : T (H 2 )]. (iii) Cho y = σx σ T (H). Vó i mȯi σϕσ 1 σhσ 1, ta có σϕσ 1 (y) = σϕ(x) = σx = y. Suy ra y T (σhσ 1 ). Do d ó σ T (H) T (σhσ 1 ). Ngu ȯ c lȧi, cho y T (σhσ 1 ). Khi d ó, vó i mȯi ϕ H, ta có (σϕσ 1 )(y) = y. D ă t x = σ 1 (y), ta có (σϕσ 1 )(y) = σϕ(x) = y = σx. Nhu thê ϕ(x) = x, ϕ H. Suy ra x T (H), do d ó y = σx σ T (H). Vâ y T (σhσ 1 ) = σ T (H). Ta chú ng minh σ N (M)σ 1 = N (σm). Vó i mȯi σϕσ 1 σ N (M)σ 1, cho y = σx σm, ta có σϕσ 1 (y) = σϕσ 1 (σx) = σϕ(x) = σx = y. Suy ra σϕσ 1 N (σm).

154 140 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Ngu ȯ c lȧi, vó i mȯi ψ N (σm), d ă t ϕ = σ 1 ψσ. Ta chú ng minh ϕ N (M). Thâ t vâ y, vó i mȯi x M, ta có ϕ(x) = σ 1 ψσ(x) = σ 1 ψ(σx) = σ 1 σ(x) = x. Do d ó ϕ N (M). Vâ y ψ = σϕσ 1 σ N (M)σ 1. (iv) Gia thiê t F T (H) là mo rô ng chuâ n tă c. Gȯi T (H) = F (α 1,..., α m ). Vó i mȯi σ G, ta có σ(α i ) cũng là nghiê m cu a d a thú c tô i tiê u cu a α j, nên σ(α i ) T (H). Do d ó σ T (H) T (H). Do σ là d ă ng câ u, ta có σ T (H) = T (H). Suy ra σ N (T (H))σ 1 = N (σ T (H)) = N (T (H)) = H. Hay σhσ 1 = H, nghĩa là H G. Ngu ȯ c lȧi, gia thiê t H G. Do σhσ 1 = H, σ G, suy ra σ T (H) = T (σhσ 1 ) = T (H).

155 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 141 Ta có d ồng câ u nhóm : g : G Aut(T (H)/F ) σ σ T (H). Ta có Ker(g) = {σ G σ T (H) = id} = N (T (H)) = H. D ă t H = Im(g) Aut(T (H)/F ). Kí hiê u T và N là các tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng F T (H). Ta có T (H ) = T (G) = F do g : G H là toàn câ u. Vì H hũ u hȧn, theo tiêu chuâ n cu a mo rô ng Galois, ta có T (H) : F là mo rô ng Galois. Mă t khác, tu o ng ú ng Galois ú ng vó i mo rô ng Galois T (H) : F cho ta H F Gal(T (H)/F ) = H. Nhu thê, Gal(T (H)/F ) = G/H. Ví du 28. Xét nhóm Galois cu a d a thú c f = x 4 2 Q[x]. Các nghiê m cu a f là 4 2, 4 2, i 4 2 và i 4 2. Tru ò ng phân rã cu a f trên Q là Q(i, 4 2).

156 142 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 1) Dê dàng kiê m tra [Q(i, 4 2) : Q] = 8. 2) D ă t G = Gal(Q(i, 4 2)/Q). Ta có (G : 1) = 8. 3) Tồn tȧi các phần tu σ, τ trong G xác d i nh bo i σ : { 4 2 i 4 2 i i và τ : { i i. Dê dàng thâ y rằng σ 4 = τ 2 = 1. Ngoài phần tu d o n vi 1 và σ, τ, các phần tu còn lȧi cu a G là : σ 2 : { i i ; σ 3 : { 4 2 i 4 2 i i ; στ : { 4 2 i 4 2 i i ; σ 2 τ : { i i ; và σ 3 τ : { 4 2 i 4 2 i i.

157 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 143 4) So d ồ bao hàm các nhóm con cu a G nhu trong Hình 9. G (σ 2, τ ) (σ) (σ 2, στ ) (σ 2 τ ) (τ ) (σ 2 ) (στ ) (σ 3 τ ) 6 1 Hình 9: So d ồ các nhóm con cu a Aut(Q( 4 2, i)/q). 5) Do các tu o ng ú ng Galois là song ánh, ta có so d ồ tâ t ca các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng nhu trong Hình 10. 6) Trong so d ồ bao hàm các tru ò ng trung gian, dê thâ y rằng các mo rô ng bâ c 2

158 144 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Q Q( 2) Q(i) Q(i 2) 7 Q(i 4 2) Q( 4 2) Q(i, 2) Q((1 + i) 4 2) Q((1 i) 4 2) 7 Q(i, 4 2) Hình 10: So d ồ các tru ò ng trung gian tu o ng ú ng. cu a Q là các mo rô ng Galois. Các nhóm con câ p 4 tu o ng ú ng (σ 2, τ ), (σ) và (σ 2, στ ) là các nhóm con chuâ n tă c. Mă t khác, mo rô ng Q Q(i, 2) là mo rô ng Galois nên nhóm con tu o ng ú ng (σ 2 ) cũng là mô t nhóm con chuâ n tă c cu a G. Các mo rô ng còn lȧi d ều không pha i là mo rô ng Galois do các nhóm con

159 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 145 tu o ng ú ng cu a nó không pha i là nhóm con chuâ n tă c. D i nh nghĩa. Cho M 1,..., M r là các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng E : F. Tru ò ng hȯ p thành cu a M 1,..., M r, kí hiê u M 1 M r hay r 1 M i, là tru ò ng con nho nhâ t cu a E chú a M 1,..., M r (nói cách khác nó là tru ò ng con cu a E sinh ra bo i r 1 M i). Nhâ n xét 8.2. Các tu o ng ú ng Galois cu a mô t mo rô ng Galois E : F cho ta các tính châ t sau : (i) Cho M 1,..., M r là các tru ò ng trung gian. Khi d ó tru ò ng hȯ p thành M 1 M r ú ng vó i nhóm con ló n nhâ t chú a trong các N (M i ), tú c là ú ng vó i nhóm r 1 N (M i). (ii) Cho H là mô t nhóm con cu a G = Gal(E/F ). Gȯi M = T (H). Khi d ó nhóm con chuâ n tă c ló n nhâ t cu a G chú a trong H là N = σhσ 1. Tru ò ng trung σ G gian tu o ng ú ng vó i N là mo rô ng Galois nho nhâ t cu a F chú a tâ t ca σm, vó i σ G, tú c là σm. Sau này, (xem D i nh nghĩa 11.1) ta thâ y rằng σm σ G σ G

160 146 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS chính là bao d óng chuâ n tă c cu a M. Các kê t qua sau cho ta tính châ t cu a các tru ò ng hȯ p thành. Mê nh d ề 8.3. Cho M, N là các tru ò ng trung gian cu a E : F. Nê u M : F là mo rô ng Galois thì các mo rô ng MN : N và M : (M N) cũng Galois. Ho n thê, ánh xȧ là mô t d ă ng câ u nhóm. Gal(M N/N) Gal(M/M N) σ σ M Chú ng minh. Xét so d ồ nhu Hình 11. Vì M : F là mo rô ng Galois, ta có M là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c f tách d u ȯ c trên F. Do d ó MN là tru ò ng phân rã cu a d a thú c f trên N. Tu o ng tu M là tru ò ng phân rã cu a f trên M N. Vì thê, MN : N và M : M N là các mo rô ng Galois. Mȯi d ồng câ u σ Gal(MN/N) biê n nghiê m cu a f thành nghiê m cu a f, vì thê

161 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 147 MN = M = N M N F Hình 11: σm = M. Do d ó, ta có d ồng câ u nhóm : ψ : Gal(M N/N) Gal(M/F ) σ σ M. Xét σ Gal(MN/N) tho a σ M = 1. Khi d ó σ cô d i nh mȯi phần tu cu a M và N nên cô d i nh mȯi phần tu cu a MN. Do d ó d ồng câ u ψ là mô t d o n câ u. Kí hiê u H là a nh cu a ψ. Gȯi M H là tru ò ng con cu a M cô d i nh bo i H. Rõ ràng M N M H. Theo tu o ng ú ng Galois, tru ò ng hȯ p thành M H N ú ng vó i nhóm

162 148 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Galois Gal(MN/N). Do d ó M H N = N. Hay M H N. Do d ó M H = M N. Tu o ng ú ng Galois trong M : F cho ta H = Gal(M/M N). Ta có d iều pha i chú ng minh. Hê qua 8.4. Vó i gia thiê t nhu mê nh d ề trên và N : F là mo rô ng hũ u hȧn. Khi d ó : Chú ng minh. Ta có [MN : F ] = [M : F ][N : F ] [(M N) : F ]. [MN : F ] = [MN : N][N : F ] = [M : (M N)][N : F ]. Thay [M : (M N)] = [M : F ] [M N : F ], ta có d iều pha i chú ng minh. Mê nh d ề 8.5. Cho M, N là các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng trên F tho a M : F và N : F là các mo rô ng Galois. Khi d ó MN và M N là các mo rô ng Galois cu a F. Ho n thê : Gal(M N/F ) Gal(M/F ) Gal(N/F ) σ (σ M, σ N )

163 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 149 là t d ă mô ng câ u tù Gal(MN/F ) vào nhóm con H = {(σ 1, σ 2 ) σ 1 M N = σ 2 M N } cu a nhóm Gal(M/F ) Gal(N/F ). Chú ng minh. Cho α M N, gȯi f F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Gȯi n = deg(f). Vì M và N Galois trên F, d a thú c f có d úng n nghiê m phân biê t trong M và N. Trong tru ò ng hȯ p thành MN, d a thú c f có tô i d a n nghiê m, do d ó f có d úng n nghiê m phân biê t trong M N. Nhu thê M N Galois trên F. Mă t khác, tru ò ng M (tu o ng ú ng N) là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c g (tu o ng ú ng h) tách d u ȯ c trên F. Khi d ó MN là tru ò ng phân rã cu a gh trên F. Do d ó MN Galois trên F. Xét d ồng câ u φ : Gal(M N/F ) Gal(M/F ) Gal(N/F ) σ (σ M, σ N ). Nê u σ Gal(MN/F ) cô d i nh mȯi phần tu cu a M và N thì cô d i nh mȯi phần tu cu a MN. Do d ó φ là d o n ánh.

164 150 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Rõ ràng Im(φ) H, vó i H = {(σ 1, σ 2 ) σ 1 M N = σ 2 M N }. Ta chú ng minh chúng trùng nhau bằng cách chı ra rằng sô phần tu cu a chúng bằng nhau. Ta có theo d i nh lí co ba n: Gal(N/F ) = Gal(M N/F ). Gal(N/(M N)) Suy ra, vó i mô t d ồng câ u σ Gal(M/F ) cho tru ó c, d ồng câ u hȧn chê σ M N có d úng [N : (M N)] mo rô ng trong Gal(N/F ). Do d ó (H : 1) = [M : F ][N : (M N)]. Mă t khác, theo hê qua trên, ta có [M : F ][N : (M N)] = [M : F ][N : F ] [M N : F ] = [MN : F ] = Gal(MN/F ). Hê qua 8.6. (i) Cho M, N nhu trong hê qua trên. Nê u M N = F thì Gal(MN/F ) = Gal(M/F ) Gal(N/F.

165 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 151 (ii) Ngu ȯ c lȧi, cho t mo ng E : F có Gal(E/F ) = G 1 G 2 vó i G 1, G 2 là mô rô 2 nhóm con cu a Gal(E/F ). Khi d ó tồn tȧi các tru ò ng trung gian M, N cu a E : F sao cho M, N là các mo ng Galois trên F và E = MN. rô Chú ng minh. Phần thú nhâ t suy ra ngay tù qua trên. Gȯi M và N tu o ng hê ú ng là các tru ò ng trung gian cô d i nh bo i G 1 và G 2. Khi d ó tru ò ng trung gian M N ú ng vó i nhóm con nho nhâ t chú a G 1 và G 2. Nhóm d ó chính là G. Do d ó M N = F. Theo qua trên, ta có MN Galois trên F và có nhóm Galois d ă hê ng câ u vó i G 1 G 2 = Gal(E/F ). Suy ra MN = E. Bài p tâ Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Nê u mo rô ng là Galois thì các tu o ng ú ng Galois là các song ánh, ba o toàn quan bao hàm. hê b) Mô t mo rô ng hũ u hȧn là Galois khi và chı khi các tu o ng ú ng Galois là song ánh.

166 152 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS c) Trong mô t mo rô ng Galois F E, tru ò ng cô d i nh bo i mô t nhóm con cu a nhóm Galois là mô t mo rô ng Galois trên F. d) Trong mô t mo rô ng Galois F E, tru ò ng cô d i nh bo i mô t nhóm con chuâ n tă c cu a nhóm Galois là mô t mo rô ng Galois trên F. e) Trong mô t mo rô ng Galois F E có nhóm Galois G, tru ò ng trung gian M ú ng vó i nhóm con H cu a G có bâ c trên F là (H : 1). f) Trong mô t mo rô ng Galois F E có nhóm Galois G, tru ò ng trung gian M ú ng vó i nhóm con H cu a G có bâ c trên F là (G : H). g) Trong mô t mo rô ng Galois F E có nhóm Galois G, gȯi M là tru ò ng trung gian ú ng vó i nhóm con H cu a G. Khi d ó [E : M] = (H : 1). h) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 luôn là nhóm aben. i) Nhóm Galois cu a mô t mo rô ng Galois bâ c 4 luôn là nhóm aben. j) Tru ò ng hȯ p thành cu a 2 tru ò ng trung gian là tru ò ng con nho nhâ t chú a chúng. (Xem HD 285) Chı ra các tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng tru ò ng Q(ξ) : Q vó i ξ = e 2πi/7. Chı

167 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 153 ra các tru ò ng trung gian nào là Galois trên Q. Trong tru ò ng hȯ p tru ò ng trung gian M là Galois trên Q, tìm d a thú c tu o ng ú ng g Q[x] sao cho M là tru ò ng phân rã cu a g trên Q (Xem HD 285) Chú ng minh các kê t luâ n o Nhâ n xét 8.2. (Xem HD 286) Phân tích các tu o ng ú ng Galois cu a tru ò ng phân rã cu a d a thú c x 3 2 trên Q và chı ra các tru ò ng trung gian là mo rô ng Galois trên Q. (Xem HD 287) Phân tích tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng o các Bài tâ p 6. 2, 7. 7 và (Xem HD 287) Cho K là tru ò ng phân rã cu a d a thú c x 3 5 trên Q( 7). Chú ng minh rằng tồn tȧi tru ò ng con M cu a K chú a Q( 7), sao cho Gal(K/M) = Z 3. (xem bài tâ p 6. 9 ) (Xem HD 288) Xác d i nh nhóm Galois cu a d a thú c f = x 5 6x trên F vó i a) F = Q ; b) F = Z 2.

168 154 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Trong mô i tru ò ng hȯ p, gȯi K là tru ò ng phân rã cu a f, xác d i nh có bao nhiêu tru ò ng trung gian M cu a F K sao cho [M : F ] = 2. (Xem HD 288) Cho K = Q( 5, 7) và L là tru ò ng phân rã cu a f = x 3 2. a) Xác d i nh nhóm Galois cu a K : Q và L : Q. b) Tru ò ng K có chú a nghiê m nào cu a f hay không? c) Xác d i nh bâ c cu a mo rô ng Q K L. (Xem HD 288) Cho F là tru ò ng có d ă c sô khác 2. a) Cho a, b F sao cho a, b và ab không có căn bâ c 2 trong F. Chú ng minh rằng tru ò ng F ( a, b) là mô t mo rô ng Galois trên F và Gal(K/F ) = Z 2 Z 2. b) D a o lȧi, cho F K là mô t mo rô ng bâ c 4 có Aut(K/F ) = Z 2 Z 2. Chú ng minh rằng K = F ( a, b) vó i a, b và ab không có căn bâ c 2 trong F. (Xem HD 289)

169 8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois Cho E = Q( 8 2, i), M 1 = Q(i), M 2 = Q( 2), M 3 = Q( 2). Xác d i nh các nhóm Aut(E/M i ) vó i 1 i 3. (Xem HD 289) Cho f = x 4 2x 2 2 Q[x]. a) Chú ng to f bâ t kha quy trên Q. b) D ă t α = và β = 1 3. Chú ng to α và β d ều là nghiê m cu a f. Tìm các nghiê m còn lȧi cu a f. c) D ă t K 1 = Q(α), K 2 = Q(β). Chú ng to K 1 K 2 và K 1 K 2 = Q( 3) = F. d) Chú ng minh rằng K 1, K 2 và K 1 K 2 là các mo rô ng Galois trên F. Mô ta nhóm Galois Gal(K 1 K 2 /F ), vẽ so d ồ bao hàm các nhóm con và các tru ò ng trung gian tu o ng ú ng. e) Chú ng minh rằng nhóm Galois cu a f d ă ng câ u vó i nhóm các phép d ô i xú ng cu a hình vuông. (Xem HD 290)

170 156 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 9 T SÔ Ú NG NG CU MÔ DU A LÍ THUYÊ T GALOIS 9.1 TRU Ò NG HŨ U HȦN D i nh nghĩa. Mô t tru ò ng có hũ u hȧn phần tu thì gȯi là tru ò ng hũ u hȧn. n xét 9.1. Nhâ (i) Tru ò ng hũ u hȧn E có d ă c sô p nguyên tô. Do d ó tru ò ng con nguyên tô cu a E, kí hiê u F p, d ă ng câ u vó i Z p. (ii) Tru ò ng hũ u hȧn E có d ă c sô p thì có q = p n phần tu, vó i n = [E : F p ]. Mê nh d ề 9.2. Mȯi tru ò ng hũ u hȧn d ều là mo ng d o n trên tru ò ng con nguyên tô rô cu a nó. Chú ng minh. Cho E là mô t tru ò ng hũ u hȧn có tru ò ng con nguyên tô F p. Ta biê t rằng nhóm nhân E = E\{0} là mô t nhóm cyclic. Gȯi α là phần tu sinh. Rõ ràng E = F p (α). Mê nh d ề 9.3. t tru ò ng hũ u hȧn E có p Mô n phần tu (p nguyên tô ) d ă ng câ u vó i tru ò ng phân rã cu a x pn x trên F p, có nhóm Galois là nhóm cyclic câ p n sinh bo i

171 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 157 ánh xȧ Frobenius σ : a a p. Suy ra vó i mȯi n N, tồn tȧi duy nhâ t (sai khác d ă ng câ u) mô t tru ò ng hũ u hȧn có p n phần tu, kí hiê u F p n. Chú ng minh. Do E = E\{0} là nhóm nhân câ p p n 1 nên a pn 1 = 1, vó i mȯi a E. Suy ra, mȯi phần tu cu a E d ều là nghiê m cu a d a thú c x pn x. Ho n nũ a, d a thú c x pn x không thê có quá p n nghiê m, do d ó E là tru ò ng phân rã cua x pn x trên F p.vì d a thú c x pn x tách d u ȯ c trên F p nên E là mo rô ng Galois trên F p và nhóm Galois G cu a nó có câ p n. Gȯi α E là phần tu có câ p p n 1 trong nhóm cyclic E. Do σ i (α) = α pi α i < n và σ n (α) = α nên σ có câ p là n. Do d ó G là nhóm cyclic sinh ra bo i σ. qua 9.4. Cho F p n là tru ò ng có p Hê n phần tu. Mȯi tru ò ng trung gian cu a F p n : F p d ều là mo ng Galois cu a F p và tu o ng ú ng 1-1 vó i p các u ó c cu a n. rô tâ Chú ng minh. Vì mo rô ng là Galois, các tru ò ng trung gian cu a F p n : F p tu o ng ú ng 1-1 vó i các nhóm con cu a nhóm cyclic (σ) câ p n. Do d ó chúng tu o ng ú ng 1-1 vó i các u ó c cu a n. Vó i d n, tru ò ng trung gian duy nhâ t bâ c d trên F p (d ă ng câ u vó i F p d) là tru ò ng cô d i nh bo i nhóm cyclic (σ d ).

172 158 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Hê qua 9.5. Cho f F p [x] bâ t kha quy bâ c d n. Khi d ó f là mô t nhân tu cu a x pn x khi và chı khi d n. Chú ng minh. Gȯi α là mô t nghiê m cu a f. Vì f là nhân tu cu a x pn x nên α nằm trong tru ò ng phân rã cu a x pn x. Do d ó d = [F p (α) : F p ] là mô t u ó c cu a n. Ngu ȯ c lȧi, ta có F p (α) d ă ng câ u vó i F p d là tru ò ng phân rã cu a x pd x trên F p. Suy ra α là nghiê m cu a x pd x. Do d ó f là u ó c cu a x pd x nên là u ó c cu a x pn x. Su ng Maple 4. qua trên cho ta xác d i nh tâ t ca các d a thú c chuâ du Hê n tă c, bâ t kha quy bâ c d (và bâ c d d) trên Z p bằng cách tìm dȧng nhân tu hóa cu a x pd x. Vó i Maple, ta dê dàng thu c hiê n d iều d ó. Ví sau tìm tâ t ca các d a thú c bâ t kha quy chuâ du n tă c bâ c 1, bâ c 2 và 4 trên tru ò ng Z 3. > Factor(x^(3^4)-x)mod 3 ;

173 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 159 (x 4 + x 2 + x + 1) x (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) (x + 1) (x 2 + 1) (x x 3 + x 2 + 1) (x x + 2) (x x 3 + x 2 + x + 2) (x x 3 + 2) (x 4 + x x + 1) (x x 2 + 2) (x x 3 + x + 1) (x 4 + x 2 + 2) (x 4 + x 3 + x x + 2) (x x x 2 + x + 2) (x 2 + x + 2) (x 4 + x 3 + 2) (x + 2) (x 4 + x x + 1) (x 4 + x + 2) (x 4 + x x x + 2) (x x + 2) (x 4 + x 3 + x 2 + 1) (x x 3 + x x + 1) Hê qua 9.6. Mȯi d a thú c bâ t kha quy f trên tru ò ng hũ u hȧn E d ều phân rã trong mo rô ng E(α) vó i α là mô t nghiê m cu a f. Chú ng minh. Tru ò ng E(α) là mo rô ng Galois trên F p nên là mo rô ng Galois trên E. Suy ra d a thú c tô i tiê u cu a α (do d ó f) phân rã trong E(α). Mê nh d ề 9.7. Cho E là mô t tru ò ng hũ u hȧn. Tồn tȧi bao d óng d ȧi sô cu a E. Chú ng minh. Gȯi p là d ă c sô cu a E. Khi d ó E d ă ng câ u vó i F p n. D ă t F p = F p r. Khi d ó F p là mô t tru ò ng. Dê thâ y rằng nó là mô t mo rô ng d ȧi sô r 1 cu a F p, và do d ó là mo rô ng d ȧi sô cu a E. Cuô i cùng nó là mô t tru ò ng d óng d ȧi sô

174 160 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS vì vó i mȯi f F p [x], tồn tȧi l d ê f F p l[x]. Tru ò ng phân rã cu a f trên F p l là mo rô ng hũ u hȧn cu a F p do d ó có dȧng F p m nên chú a trong F p. Viê c tồn tȧi bao d óng d ȧi sô cu a mô t tru ò ng bâ t kì, xem D i nh lí C.1 trong Phu c. lu 9.2 TRU Ò NG VÀ D A THÚ C CHIA D U Ò NG TRÒN Cho F là mô t tru ò ng và n N không chia hê t cho d ă c sô cu a D i nh nghĩa. F. Tru ò ng phân rã E n cu a x n 1 trên F d u ȯ c gȯi là tru ò ng chia d u ò ng tròn bâ c n (trên F ). n xét 9.8. Mô t nghiê m cu a x Nhâ n 1 gȯi là căn bâ c n cu a d o n vi. Tâ p tâ t ca các căn bâ c n cu a d o n tȧo thành mô t nhóm nhân C n trong tru ò ng chia d u ò ng tròn vi bâ c E n. Nhóm C n có n phần tu do x n 1 tách d u ȯ c. Nhu thê nhóm C n là nhóm cyclic (xem Bài tâ p 0. 18). Mô t phần tu sinh cu a C n gȯi là căn nguyên thu y c bâ n cu a d o n vi. Sô các căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n bằng ϕ(n) vó i ϕ là hàm vi Euler. Mê nh d ề 9.9. Tru ò ng chia d u ò ng tròn E n là mo ng d o n Galois trên F. rô

175 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 161 Chú ng minh. Gȯi ξ n là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Khi d ó E n = F (ξ n ). D a thú c x n 1 tách d u ȯ c trên F nên E n Galois trên F. Cho σ Gal(E n /F ). Khi d ó σ ca m sinh mô t tu d ă ng câ u cu a nhóm C n. Do d ó σ(ξ n ) cũng là mô t phần tu sinh cu a C n. Suy ra, tồn tȧi duy nhâ t i {1,..., n 1}, tho a (i, n) = 1 d ê σ(ξ n ) = ξn i. Nhu thê, ta có mô t ánh xȧ tù Gal(F (ξ n )/F ) vào Z n, nhóm nhân các phần tu kha nghi ch cu a Z n, xác d i nh bo i σ i. Dê dàng thâ y rằng ánh xȧ này là mô t d o n câ u nhóm. Do d ó ta có kê t qua sau. Mê nh d ề Ánh xȧ tù Gal(F (ξ n )/F ) vào Z n xác d i nh bo i σ i là t d o n mô câ u nhóm. Suy ra nhóm Galois Gal(F (ξ n )/F ) d ă ng câ u vó i t nhóm con cu a mô Z n. n xét D o n câ u nhóm Gal(F (ξ n )/F ) Z Nhâ n nêu trên không nhâ t thiê t pha i là mô t toàn câ u. Ví nê u F = R, nhóm Gal(R(ξ n )/R) hoă c là nhóm tầm du thu ò ng hoă c chı có 2 phần tu. Mă t khác, nê u F = Q và n = p, nhóm Gal(Q(ξ p )/F ) có p 1 phần tu, bằng vó i câ p cu a Z p, nên d o n câ u trên là mô t d ă ng câ u. Ta sẽ thâ y rằng d iều d ó d úng vó i mȯi n khi F = Q.

176 162 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Cho ξ 1,..., ξ ϕ(n) là ϕ(n) căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n trong vi tru ò ng chia d u ò ng tròn bâ c n trên F. D a thú c chia d u ò ng tròn D i nh nghĩa. thú n là d a thú c d i nh bo i Φ n (x) = ϕ(n) (x ξ i ). Ta có các tính châ t d o n gia n sau d ây liên quan d ê n Φ(n) : Mê nh d ề (i) x n 1 = d nφ d (x). i=1 (ii) Nê u F có c sô 0 và d ồng nhâ t Z vó i a nh cu a nó trong F qua d o n câ u d i nh d ă bo i n n.1 F thì Φ n (x) Z[x]. (iii) Nê u F có c sô p và d ồng nhâ t Z p vó i tru ò ng con nguyên tô cu a F thì d ă Φ n (x) Z p [x], bằng vó i d a thú c n d u ȯ c o (ii) modulo p. nhâ Chú ng minh. (i) Hiê n nhiên.

177 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 163 (ii) Ta chú ng minh bằng quy nȧp theo n. Nê u n = 1 kê t qua là hiê n nhiên. Ta có x n 1 = Φ d (x) = Φ n (x) d (x). d n d nφ Theo gia thiê t quy nȧp Φ d (x) Z[x], d n (nghĩa là d là u ó c cu a n và d < n). D ă t Ta có G = d nφ d (x) Z[x]. Φ n (x) = xn 1 G là thu o ng cu a hai d a thú c có hê tu thuô c Z nên Φ n (x) Z[x]. (iii) Hiê n nhiên tù chú ng minh cu a (ii). Ví du 29. (i) Vó i mȯi p nguyên tô, ta có Φ p (x) = x p x + 1.

178 164 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS (ii) Tù mê nh d ề trên, ta dê dàng tính d u ȯ c Φ(n), chă ng hȧn : Φ 1 (x) = x 1 ; Φ 2 (x) = x2 1 x 1 = x + 1 ; Φ 3 (x) = x3 1 x 1 = x2 + x + 1 ; Φ 4 (x) = Φ 6 (x) = Φ 8 (x) = Φ 9 (x) = Φ 10 (x) = x 4 1 (x 1)(x + 1) = x2 + 1 ; x 6 1 (x 1)(x + 1)(x 2 + x + 1) = x2 x + 1 ; x 8 1 (x 1)(x + 1)(x 2 + 1) = x4 + 1 ; x 9 1 (x 1)(x 2 + x + 1) = x6 + x ; x 10 1 (x 1)(x + 1)Φ 5 (n) = x4 x 3 + x 2 x + 1 ;

179 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 165 Φ 12 (x) = x 12 1 Φ 1 (x)φ 2 (x)φ 3 (x)φ 4 (x)φ 6 (x) = x4 x ; Nhâ n xét D ê tính d a thú c chia d u ò ng tròn, ta có thê dùng công thú c d a o ngu ȯ c Möbius sau d ây. Gȯi µ : N N là hàm Möbius d i nh bo i : 1 nê u n = 1, µ(n) = 0 nê u n chú a mô t u ó c chính phu o ng, ( 1) r nê u n = p 1 p r, p i p j nguyên tô. D ă t f là hàm xác d i nh trên N và lâ y giá tri trong 1 nhóm nhân aben. Cho F (n) = d nf(d). Khi d ó công thú c d a o ngu ȯ c Möbius cho bo i : f(n) = d nf (d) µ(n d ). Áp ng cho hàm f(n) = Φ n (x) có giá trong nhóm nhân F (x) du tri và F (n) = x n 1. Ta có Φ n (x) = d n(x d 1) µ(n d ). Su ng Maple 5. Maple cung câ p cho ta lê nh d ê du tính d a thú c chia d u ò ng tròn nhu sau :

180 166 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS > with(numtheory): > cyclotomic(n,x); vó i n là mô t sô tu nhiên xác d i nh. Ví, Maple cho lȧi ta các d a thú c chia d u ò ng tròn d ã biê t: du > for i to 12 do Phi[i]:=cyclotomic(i,x) od; Φ 1 := x 1 Φ 2 := x + 1 Φ 3 := x 2 + x + 1 Φ 4 := x Φ 5 := x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Φ 6 := x 2 x + 1 Φ 7 := x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Φ 8 := x Φ 9 := x 6 + x Φ 10 := x 4 x 3 + x 2 x + 1 Φ 11 := x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

181 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 167 Ta có kê t qua d o n gia n sau d ây : Φ 12 := x 4 x Mê nh d ề Cho F là tru ò ng có d ă c sô 0 hoă c không chia hê t n. Gȯi F (ξ n ) là tru ò ng chia d u ò ng tròn bâ c n trên F, vó i ξ n là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Các mê nh d ề sau là tu o ng d u o ng : (i) d a thú c chia d u ò ng tròn Φ n (x) bâ t kha quy trên F ; (ii) [F (ξ n ) : F ] = ϕ(n) ; (iii) d o n câ u Gal(F (ξ n )/F ) Z n xác d i nh nhu trong (9.10) là mô t d ă ng câ u. Chú ng minh. D a thú c tô i tiê u cu a ξ n trên F là u ó c cu a Φ n (x), và Φ n (x) có bâ c là ϕ(n). Do d ó Φ n (x) bâ t kha quy khi và chı khi [F (ξ n ) : F ] = ϕ(n). Chú ý rằng câ p cu a Gal(F (ξ n )/F ) bằng vó i [F (ξ n ) : F ], nên [F (ξ n ) : F ] = ϕ(n) khi và chı khi d o n câ u Gal(F (ξ n )/F ) Z n là d ă ng câ u. D i nh lí D a thú c chia d u ò ng tròn Φ n (x) bâ t kha quy trên Q.

182 168 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Chú ng minh. Gȯi f Z[x] là mô t u ó c bâ t kha quy cu a Φ n (x). Ta có Φ n (x) = fg, vó i g Z[x]. Gȯi ξ n là mô t nghiê m cu a f. Rõ ràng ξ n là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Ta chú ng minh Φ n (x) = f bằng cách chı ra rằng vó i mȯi m nguyên tô cùng nhau vó i n thì ξn m cũng là mô t nghiê m cu a f. Thu c ra, ta chı cần chı ra rằng vó i mȯi p nguyên tô không chia hê t n, phần tu ξn p cũng là mô t nghiê m cu a f. Gia su có p nguyên tô không chia hê t n sao cho ξn p không pha i là nghiê m cu a f. Suy ra ξn p là nghiê m cu a g. Nói cách khác ξ n là nghiê m cu a g(x p ). Nhu vâ y ξ n là nghiê m chung cu a f và g(x p ). Nhu thê (f, g(x p )) 1 trong Q[x]. Gȯi f, g(x p ) là a nh cu a f và g(x p ) trong vành Z p [x]. Suy ra (f, g(x p )) 1 trong Z p [x]. Trong Z p [x], ta có g(x p ) = g(x) p. Nhu thê (f, g) 1 trong Z p [x]. Nói cách khác, Φ n (x) có nghiê m bô i trong tru ò ng phân rã cu a nó trên Z p. D iều này vô lí. Nhâ n xét Trên tru ò ng có d ă c sô ló n ho n 0, d a thú c Φ n (x) không nhâ t thiê t bâ t kha quy. Ví du Φ 12 (x) = x 4 x = (x 2 + 6x + 1)(x 2 + 5x + 1)

183 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 169 trong Z 11 [x]. 9.3 D A GIÁC D ỀU DU NG D U Ȯ C BẰNG THU Ó C KE VÀ COMPA Trong Bài 4, ta d ã chú ng minh rằng nê u α R du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa thì [Q(α) : Q] = 2 r vó i r N. Ngu ȯ c lȧi, ta có : Bô d ề Cho α E R vó i E là t mo ng Galois cu a Q. Nê u mô rô [E : Q] = 2 r thì α du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. Chú ng minh. Gia su ta có [E : Q] = 2 r. Gȯi G = Gal(E/Q). Ta có (G : 1) = 2 r. Tồn tȧi dây chuyền các nhóm con (A.17) {1} = G 0 G 1 G r = G tho a (G i : G i 1 ) = 2, vó i mȯi i = 1,..., r. Ta có dây chuyền các tru ò ng trung gian tu o ng ú ng: E = T (G 0 ) T (G 1 ) T (G r ) = Q vó i [T (G i 1 ) : T (G i )] = 2, vó i mȯi i = 1,..., r. Suy ra T (G i 1 ) = T (G i )( d),

184 170 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS vó i d T (G i ). Do d ó nê u mȯi phần tu cu a T (G i ) du ng d u ȯ c thì mȯi phần tu cu a T (G i 1 ) cũng du ng d u ȯ c, vó i mȯi i = 1,..., r. Suy ra α du ng d u ȯ c. D i nh lí D a giác d ều n cȧnh du ng d u ȯ c khi và chı khi n = 2 r p 1 p s vó i p 1,, p s là các sô nguyên tô Fermat khác nhau. Chú ng minh. D a giác d ều du ng d u ȯ c khi và chı khi ξ n = e 2πi/n C = R 2 là mô t d iê m du ng d u ȯ c. Tu o ng d u o ng vó i sô α = cos( 2π n ) du ng d u ȯ c. Ta có α = (ξ n + ξ 1 n )/2. Suy ra ξ2 n 2αξ n + 1 = 0. Do d ó [Q(ξ n ) : Q(α)] = 2. Mă t khác ta biê t rằng Q(ξ n ) : Q là mo rô ng Galois có nhóm Galois G d ă ng câ u vó i Z n. Tru ò ng trung gian Q(α) cũng là mô t mo rô ng Galois trên Q. Do d ó α du ng d u ȯ c khi và chı khi [Q(α) : Q] = ϕ(n) 2 là mô t lũy thù a cu a 2. Tu o ng d u o ng ϕ(n) là mô t lũy thù a cu a 2. D iều d ó xa y ra khi và chı khi n có dȧng nhu d ã chı ra (xem Mê nh d ề 0.22).

185 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois D İNH LÍ CO BA N CU A D ȦI SÔ Ta sẽ áp ng Lí thuyê t Galois d ê du d u a ra mô t chú ng minh cho D i nh lí co ba n cu a d ȧi sô. D i nh lí 9.19 (D i nh lí co ba n cu a d ȧi sô ). Mȯi d a thú c c ló n ho n 0 trên tru ò ng bâ sô phú c C có t m trong C. mô nghiê Chú ng minh. Ta dùng 2 tính châ t co ba n sau về tru ò ng sô thu c và phú c. Tính châ t 1. Mȯi d a thú c sô thu c có c le d ều có t m thu c. Suy ra R hê bâ mô nghiê không có t mo ng thu c su c le. Tính châ t này suy ra dê dàng tù mô rô bâ D i nh lí giá trung bình. Mô t d a thú c f(x) trên R chuâ tri n tă c bâ c le thì có giá âm vó i x tri d u bé và có giá du o ng vó i x d u ló n. Vì thê f có ít nhâ t mô t nghiê m thu c. Vó i tri mô t mo rô ng E : R bâ c le, do E là mo rô ng d o n cu a R nên E = R(α). Gȯi f là d a thú c tô i tiê u cu a α thì f bâ t kha quy và có nghiê m trong R, nên f có bâ c 1. Suy ra E = R. Tính châ t 2. Mȯi d a thú c c 2 trên C có m trong C. Tính châ t này d u ȯ c suy bâ nghiê ra nê u ta chı ra rằng mȯi sô phú c d ều có mô t căn bâ c 2. Thâ t vâ y, nê u z = re α vó i

186 172 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 0 r R. Khi d ó sô phú c a = re α/2 tho a a 2 = z. Bây giò ta chú ng minh d i nh lí. Gȯi τ Aut(C) là phép lâ y liên hȯ p. Cho f C[x] có bâ c n ló n ho n 0. Gȯi f là d a thú c nhâ n d u ȯ c bằng tác d ô ng τ lên các hê sô cu a f. D a thú c ff có các hê sô bâ t biê n bo i τ nên thuô c vào R[x]. Do d ó, d ê chú ng minh f có nghiê m phú c, ta chı cần chú ng minh cho f R[x]. Xét n = 2 m k vó i k le và m 0. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên m. Nê u m = 0 thì n le, nên d i nh lí d u ȯ c chú ng minh. Xét m > 0. Gȯi α 1,..., α n là các nghiê m cu a f và d ă t K = R(α 1,..., α n, i). Khi d ó K là mo rô ng Galois cu a R và C K. Vó i mȯi t R, xét d a thú c : L t = 1 i<j n [x (α i + α j + tα i α j )]. Rõ ràng, vó i mȯi σ Gal(K/R), khi tác d ô ng σ lên f, các nhân tu cu a L hoán vi cho nhau nên σ (L t ) = L t. Nói cách khác L t R[x]. Bâ c cu a L t là n(n 1) 2 = 2 m 1 k(2 m k 1) = 2 m 1 k vó i k le. Do sô mũ cu a 2 nho ho n m nên theo gia thuyê t quy nȧp, d a thú c L t có

187 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 173 nghiê m phú c. Nhu thê vó i mô i t R, tồn tȧi i, j tho a 0 i < j n sao cho α i + α j + tα i α j C. Do t có thê lâ y vô hȧn trong khi sô că p (i, j) hũ u hȧn, nên tồn tȧi s r trong R và că p i, j d ê α i + α j + tα i α j, α i + α j + sα i α j C. Suy ra (s t)α i α j C. Nên α i α j và do d ó ca α i + α j thuô c C. Nhu thê α i và α j là 2 nghiê m cu a cùng mô t d a thú c bâ c 2 trên C do d ó thuô c C. Ta có d iều pha i chú ng minh. Bài p tâ Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi tru ò ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng Galois trên tru ò ng nguyên tô cu a nó. b) Có duy nhâ t (sai khác d ă ng câ u) mô t tru ò ng hũ u hȧn có n phần tu. c) Có duy nhâ t (sai khác d ă ng câ u) mô t tru ò ng hũ u hȧn có p n phần tu vó i p

188 174 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS nguyên tô. d) Mȯi d a thú c bâ t kha quy bâ c d trên Z p d ều là u ó c cu a x pn x. e) Có hũ u hȧn d a thú c bâ t kha quy bâ c n trên mô t tru ò ng hũ u hȧn cho tru ó c. f) Có tru ò ng hũ u hȧn gồm 124 phần tu. g) Có tru ò ng hũ u hȧn mà nhóm nhân các phần tu khác 0 gồm 124 phần tu. h) Mȯi tru ò ng có 121 phần tu d ều d ă ng câ u. i) Mȯi tu d ồng câ u cu a tru ò ng hũ u hȧn d ều là tu d ă ng câ u. j) Nhóm cô ng các phần tu trong tru ò ng hũ u hȧn là nhóm cyclic. k) Nhóm con hũ u hȧn cu a nhóm nhân các phần tu khác 0 cu a mô t tru ò ng hũ u hȧn là mô t nhóm cyclic. l) Mȯi tru ò ng chia d u ò ng tròn d ều là mo rô ng Galois. m) Nhóm Galois cu a tru ò ng chia d u ò ng tròn là nhóm cyclic. n) Nhóm Galois cu a tru ò ng chia d u ò ng tròn là nhóm aben. o) Có d úng ϕ(n) căn nguyên thu y bâ c n > 0 cu a d o n trên tru ò ng F có d ă c vi sô không chia hê t n.

189 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 175 p) D a thú c chia d u ò ng tròn luôn luôn bâ t kha quy trên tru ò ng nguyên tô cu a nó. q) D a thú c chia d u ò ng tròn luôn tách d u ȯ c. r) D a giác d ều có cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. s) D a giác d ều có 30 cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. t) D a giác d ều có 18 cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. u) D a giác d ều có 14 cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. (Xem HD 291) Tìm tâ t ca d a thú c bâ t kha quy bâ c 2, 3, 4, 5 trên tru ò ng Z 2, Z 3, Z 5 (có thê su du ng Maple). (Xem HD 291) Cho f, g là 2 d a thú c bâ t kha quy cùng bâ c trên tru ò ng hũ u hȧn E. Gȯi α, β lần lu ȯ t là nghiê m cu a f và g. Chú ng minh rằng các tru ò ng E(α) và E(β) d ă ng câ u vó i nhau. (Xem HD 291)

190 176 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Chú ng minh rằng vó i mȯi sô nguyên du o ng n, tồn tȧi mô t d a thú c bâ t kha quy bâ c n trên F p. (Xem HD 292) Chú ng minh rằng d a thú c x là kha quy trên Z p vó i mȯi p nguyên tô. (Xem HD 292) Xác d i nh các tu o ng ú ng Galois cu a tru ò ng chia d u ò ng tròn Q(ξ 12 ) trên Q. (Xem HD 292) Làm tu o ng tu cho Q(ξ 13 ). (Xem HD 293) Cho E : F là mô t mo rô ng hũ u hȧn. Chú ng minh rằng E = F (γ) khi và chı khi E : F chı có hũ u hȧn các tru ò ng trung gian. Suy ra mȯi mo rô ng hũ u hȧn và tách d u ȯ c d ều là mo rô ng d o n. (xem Bài tâ p 3. 8) (Xem HD 293) Ký hiê u F p là bao d óng d ȧi sô cu a F p. Chú ng minh rằng mo rô ng F p (x, y) không pha i là mo rô ng d o n cu a F p (x p, y p ) bằng cách chı ra rằng có vô hȧn tru ò ng trung gian, (xem bài tâ p 9. 8). (Xem HD 293)

191 9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois Cho F là tru ò ng có 16 phần tu. Xác d i nh sô nghiê m trong F cu a các d a thú c sau d ây : a) x 3 1 ; b) x 4 1 ; c) x 15 1 ; d) x (Xem HD 294) Cho F là tru ò ng có d ă c sô khác 2. Chú ng minh rằng phu o ng trình x 2 = 1 có nghiê m trong F khi và chı khi F = 4k + 1 vó i k N. (Xem HD 294) Gȯi ζ là mô t căn nguyên thu y bâ c 12 cu a d o n trên Q. Có bao nhiêu tru ò ng vi trung gian thu c su cu a mo rô ng Q(ζ 3 ) Q(ζ)? (Xem HD 294) Cho F là tru ò ng có 81 phần tu. Xác d i nh sô nghiê m trong F cu a các d a thú c sau : a) x 80 1 ; b) x 81 1 ;

192 178 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS c) x (Xem HD 294) Tìm dȧng nhân tu hóa cu a d a thú c f = x trên F 5, F 25 và F 125. Xác d i nh tru ò ng phân rã cu a f trong các tru ò ng hȯ p trên. (Xem HD 294)

193 10. Nhóm Galois cu a d a thú c NHÓM GALOIS CU A D A THÚ C Trong bài này, ta sẽ tính toán nhóm Galois cu a mô t sô ló p d a thú c d ă c biê t trên mô t tru ò ng F tùy ý BIÊ T THÚ C Cho f = x n + a 1 x n a 0 F [x] là mô t d a thú c tách d u ȯ c. Gȯi α 1,..., α n là tâ t ca các nghiê m cu a f. D ă t : D f = gȯi là biê t thú c cu a f. Kí hiê u Df = 1 i<j n 1 i<j n (α i α j ) 2 (α i α j ). Chú ý rằng D f 0 khi và chı khi f không có nghiê m bô i. Gȯi G f là nhóm Galois cu a f trên F và xem G f là nhóm con cu a nhóm d ô i xú ng S n. Bô d ề Cho f xác d i nh nhu trên và không có nghiê m bô i. Vó i mȯi σ G f,

194 180 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS (i) σ( D f ) = sign(σ) D f ; (ii) σ(d f ) = D f. Chú ng minh. Suy ra tru c tiê p tù d i nh nghĩa cu a d ồng câ u sign. Mê nh d ề Cho f nhu trong bô d ề trên. Gȯi E f là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Khi d ó : (i) Biê t thú c D f là mô t phần tu cu a F ; (ii) Tru ò ng con cu a E f cô d i nh bo i G f A n là F ( D f ), trong d ó A n là nhóm thay phiên. Suy ra G f A n D f F D f chính phu o ng trong F. Chú ng minh. (i) Do D f cô d i nh bo i mȯi phần tu cu a G f và E f : F Galois nên D f F. (ii) Do f chı có nghiê m d o n nên D f 0. Tù bô d ề trên, ta có σ G f cô d i nh Df khi và chı khi σ A n. Do d ó G f A n chính là nhóm cô d i nh F ( D f ).

195 10. Nhóm Galois cu a d a thú c 181 Ví 30. Cho d a thú c bâ c hai f = x du 2 + bx + c F [x] tách d u ȯ c. Gȯi α 1, α 2 là 2 nghiê m cu a f. Ta có D f = (α 1 α 2 ) 2 = (α 1 α 2 ) 2 4α 1 α 2 = b 2 4c. Biê t thú c D f = 0 khi và chı khi f có nghiê m kép. Nhóm Galois G f d ă ng câ u vó i nhóm con cu a S 2. Nê u D f chính phu o ng trong F thì G f = 1 = A 2 và G f = S 2 nê u D f không chính phu o ng trong F NHÓM GALOIS CU A D A THÚ C C 3 BÂ Trong c này và c (10.3) sau, d ê mu mu d o n gia n trong biê n luâ n, ta gia thiê t F có d ă c sô khác 2, 3. Khi d ó mȯi d a thú c bâ c 2, 3, 4 trên F d ều tách d u ȯ c. Cho f = x 3 + ax 2 + bx + c F [x]. Thay x = y a/3, ta có d a thú c theo y g = y 3 + py + q F [y] (3) vó i p = 1 3 (3b a2 ), q = 1 27 (2a3 9ab + 27c).

196 182 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Rõ ràng tru ò ng phân rã cu a f và g trên F là nhu nhau và biê t thú c cu a chúng cũng trùng nhau. Gȯi α 1, α 2, α 3 là 3 nghiê m cu a g. Ta có g = (y α 1 )(y α 2 )(y α 3 ). D ȧo hàm hình thú c cu a g là : g = (y α 1 )(y α 2 ) + (y α 2 )(y α 3 ) + (y α 1 )(y α 3 ). Do d ó g (α 1 ) = (α 1 α 2 )(α 1 α 3 ) g (α 2 ) = (α 2 α 1 )(α 2 α 3 ) g (α 3 ) = (α 3 α 1 )(α 3 α 2 ). Nhu thê D g = [(α 1 α 2 )(α 1 α 3 )(α 2 α 3 ] 2 = g (α 1 )g (α 2 )g (α 3 ).

197 10. Nhóm Galois cu a d a thú c 183 Mă t khác, tù (3), ta có g = 3y 2 + p. Do d ó D g = (3α p)(3α2 2 + p)(3α2 3 + p) = 27α 2 1 α2 2 α p(α2 1 α2 2 + α2 1 α2 3 + α2 2 α2 3 ) +3p 2 (α α2 2 + α2 3 ) + p3. Biê u diê n D g qua các d a thú c d ô i xú ng so câ p s 1, s 2, s 3 cu a α 1, α 2, α 3 vó i chú ý rằng s 1 = 0, s 2 = p, s 3 = q, ta có D g = 4p 3 27q 2. Do D g cũng là biê t thú c cu a f, biê u diê n D g theo các tu cu a f, ta có hê D f = a 2 b 2 4b 3 4a 3 c 27c abc. (4) Nê u f kha quy trên F thì nhóm Galois G f cu a nó trùng vó i nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 2 trên F. Ta chı cần xét khi f bâ t kha quy trên F. Khi d ó (G f : 1) 3 do d ó G f d ă ng câ u vó i A 3 hoă c vó i S 3. Nê u D f chính phu o ng trong F thì do G f A 3, suy ra G f = A 3. Khi d ó tru ò ng phân rã E g = F (α i ) vó i i {1, 2, 3}. Nê u D f không chính phu o ng trong F thì G f = S 3 và E f = F (α i, D f ) vó i i {1, 2, 3}.

198 184 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Ví 31. Cho d a thú c g = x du 3 4x + 2 Q[x]. Rõ ràng g bâ t kha quy và biê t thú c D g = = 4.37 không chính phu o ng trong Q. Do d ó nhóm Galois cu a g là S 3. Tru ò ng phân rã cu a g trên Q là Q( 37, α) vó i α là mô t nghiê m cu a g. Ví 32. Cho f = x du 3 6x 2 + 9x 1 Q[x]. Dê dàng kiê m tra f bâ t kha quy trên Q. Biê t thú c D f = 81 = 9 2. Do d ó nhóm Galois cu a f là A 3. Tru ò ng phân rã cu a f là Q(α) vó i α là mô t nghiê m cu a f. Su ng Maple, ta dê dàng tìm d u ȯ c du dȧng nhân tu hóa cu a f trong Q(α) là f = (x 4 + 4α α 2 )(x 2 3α + α 2 )(x α) D A THÚ C C 4 BÂ Cho d a thú c f = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d F [x]. Bằng cách thay x = y a/4, ta có d a thú c theo y g = y 4 + py 2 + qy + r F [y],

199 10. Nhóm Galois cu a d a thú c 185 vó i p = 1 8 ( 3a2 + 8b) ; q = 1 8 (a3 4ab + 8c) ; r = ( 3a4 + 16a 2 b 64ac + 256d). Gȯi các nghiê m cu a g là α 1, α 2, α 3 và α 4. Gȯi G là nhóm Galois cu a g (cũng là cu a f). Nê u g là tích cu a mô t d a thú c bâ c 1 và bâ c 3 trên F thì nhóm G d ă ng câ u vó i nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 d ã xác d i nh o trên. Nê u g là tích cu a 2 d a thú c bâ t kha quy bâ c 2 trên F thì tru ò ng phân rã E g cu a g trên F là F ( d 1, d 2 ) vó i d 1, d 2 F. Nê u d 1 = a 2 d 2 vó i a F thì E g là mo rô ng bâ c 2 trên F và G = Z 2. Nê u không thì G = Z 2 Z 2. Bây giò, ta xét tru ò ng hȯ p g bâ t kha quy trên F. Khi d ó, ta biê t rằng, vó i 2 nghiê m tùy ý α i, α j cho tru ó c cu a g, tồn tȧi mô t phần tu σ G biê n α i thành α j

200 186 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS (xem 5.5). Nhũ ng nhóm con cu a S 4 tho a mãn tính châ t d ó là : S 4 ; A 4 ; D 8 = {1, (1324), (12)(34), (1423), (13)(24), (14)(23), (12), (34)} và các nhóm con liên hȯ p σ 1 D 8 σ cu a D 8 (xem c A) ; Phu lu V = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ; C 4 = {1, (1234), (13)(24), (1432)} và các nhóm con liên hȯ p σ 1 C 4 σ cu a C 4. Nhóm Galois G sẽ d ă ng câ u vó i mô t trong các nhóm trên. D ă t θ 1 = (α 1 + α 2 )(α 3 + α 4 ) θ 2 = (α 1 + α 3 )(α 2 + α 4 ) θ 3 = (α 1 + α 4 )(α 2 + α 3 ). Ta có θ 1 + θ 2 + θ 3 = 2p θ 1 θ 2 + θ 1 θ 3 + θ 2 θ 3 = p 2 4r θ 1 θ 2 θ 3 = q 2.

201 10. Nhóm Galois cu a d a thú c 187 Suy ra θ 1, θ 2 và θ 3 là 3 nghiê m cu a h(x) = X 3 2pX 2 + (p 2 4r)X + q 2. (5) D a thú c (5) gȯi là gia i thú c c 3 cu a g. Chú ý rằng bâ θ 1 θ 2 = α 1 α 3 + α 2 α 4 α 1 α 2 α 3 α 4 = (α 1 α 4 )(α 2 α 3 ). Tu o ng tu ta có : θ 1 θ 3 = (α 1 α 3 )(α 2 α 4 ) θ 2 θ 3 = (α 1 α 2 )(α 3 α 4 ). Suy ra biê t thú c cu a gia i thú c (5) trùng vó i biê t thú c cu a g (do d ó trùng vó i biê t thú c cu a f). Tù công thú c tính biê t thú c (4), ta có biê t thú c cu a gia i thú c (5) là : D h = 16p 4 r 128p 2 r r 3 4p 3 q 2 27q pq 2 r. (6) Thay các giá cu a p, q, r trong (6), ta có tri D f = 6a 2 c 2 d + b 2 a 2 c a 2 bd 2 4a 2 b 3 d + 144bdc 2 +18abc 3 192acd b 4 d 128b 2 d 2 80b 2 acd +18a 3 bcd 27a 4 d d 3 4a 3 c 3 4b 3 c 2 27c 4.

202 188 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Su ng Maple 6. Trong Maple, ta dê dàng tính d u ȯ c biê t thú c cu a mô t d a thú c du tùy ý vó i lê nh : >discrim(f,x); Ví, biê t thú c cu a f = x du 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d có thê tính tru c tiê p bằng lê nh : >discrim(x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d,x)}; 6a 2 c 2 d + b 2 a 2 c a 2 bd 2 4a 2 b 3 d + 144bdc 2 +18abc 3 192acd b 4 d 128b 2 d 2 80b 2 acd +18a 3 bcd 27a 4 d d 3 4a 3 c 3 4b 3 c 2 27c 4 Tru ò ng phân rã cu a gia i thú c h(x) chú a trong tru ò ng phân rã cu a f. Do d ó nhóm Galois cu a h là nhóm thu o ng cu a G. Ta có các tru ò ng hȯ p nhu sau : Nê u h bâ t kha quy và D f không chính phu o ng trong F. Khi d ó G không chú a trong A 4 và nhóm Galois cu a h d ă ng câ u vó i S 3. Do d ó câ p cu a G chia hê t cho 6. Suy ra G = S 4. Nê u h bâ t kha quy và D f chính phu o ng trong F. Khi d ó G A 4 và nhóm Galois cu a h d ă ng câ u vó i A 3. Suy ra G có câ p chia hê t cho 3. Suy ra G = A 4.

203 10. Nhóm Galois cu a d a thú c 189 Nê u h kha quy và phân rã thành 3 nhân tu tuyê n tính trong F [X]. Khi d ó θ 1, θ 2 và θ 3 thuô c F. Do d ó mȯi phần tu G pha i cô d i nh chúng. Suy ra G V. Vì g bâ t kha quy nên G = V. Nê u h phân tích thành 1 d a thú c bâ c 2 và mô t d a thú c bâ c nhâ t trong F [X]. Khi d ó có d úng 1 phần tu trong {θ 1, θ 2, θ 3 } thuô c F. Ta có thê gia thiê t θ 1 F. Nhu thê mȯi phần tu cu a G cô d i nh θ 1 nhu ng không cô d i nh θ 2 và θ 3. Suy ra G D 8 và G V. Nhu thê G = D 8 hay G = C 4. Chú ý rằng F ( D f ) là tru ò ng cô d i nh bo i G A 4. Ta có D 8 A 4 = V và C 4 A 4 = {1, (13)(24)}. Chú ý rằng G A 4 là nhóm Galois cu a g trên F ( D f ). Do d ó nê u g bâ t kha quy trên F ( D f ) thì G A 4 có câ p không nho ho n 4, do d ó G = D 8. Ngu ȯ c lȧi, nê u g kha quy trên F ( D f ) thì G = C 4. Ví du 33. Cho d a thú c f = x 4 + 5x 2 + 5x 5. Rõ ràng f bâ t kha quy trên Q. Gia i thú c cu a f là h = x 3 10x x + 25 bâ t kha quy trên Q. Ho n thê biê t thú c cu a f là không chính phu o ng. Do d ó nhóm Galois cu a f là S 4. Ví du 34. Cho d a thú c f = x 4 5x 2 4 Q[x]. Kiê m tra f bâ t kha quy trên Q.

204 190 ChU O ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Gia i thú c cu a f là h(x) = x x x = x(x x + 41) kha quy trên Q. Mă t khác biê t thú c cu a f là = không chính phu o ng. Có thê tính tru c tiê p nghiê m cu a f và thâ y rằng f không kha quy trên Q(i). Do d ó nhóm Galois cu a f d ă ng câ u vó i D 8. Su ng Maple 7. Trong Maple, ta có thê du tính tru c tiê p nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ t kha quy có bâ c không quá 9 trên Q. Cú pháp nhu ví sau d ây : du > restart; > f:=x^4-5*x^2-4; f := x 4 5 x 2 4 > galois(f); 4T3, { D(4) }, -, 8, { (1 3), ( ) } Kê t qua tính toán cu a Maple cho thâ y nhóm Galois cu a x 4 5x 2 4 d ă ng câ u vó i nhóm D 8, có 8 phần tu và sinh bo i các phép thê (1 3) và ( ) nhu nhóm con cu a nhóm S 4 (trong Maple kí hiê u D(n) cho nhóm d ô i xú ng cu a n giác d ều).

205 10. Nhóm Galois cu a d a thú c D A THÚ C TÔ NG QUÁT Trong mu c này, ta sẽ xét ló p d ă c biê t các d a thú c gȯi là d a thú c tô ng quát và chú ng minh rằng nhóm Galois cu a chúng d ă ng câ u vó i nhóm d ô i xú ng. Mô t mo rô ng E cu a F gȯi là hũ u hȧn sinh nê u D i nh nghĩa. E = F (α 1,..., α n ). D i nh nghĩa. Cho E : F là mô t mo rô ng tru ò ng và t 1,..., t n E. Các phần tu t 1,..., t n gȯi là d ô c lâ p d ȧi sô trên F nê u không tồn tȧi d a thú c f F [x 1,..., x n ] khác 0 sao cho f(t 1,..., t n ) = 0. Chú ý rằng, khi d ó các phần tu t 1,..., t n là siêu viê t trên F. Ví 35. Trong mo rô ng Q(x, y) : Q các phần tu siêu viê t x, y là d ô c lâ p d ȧi sô du trên Q, trong khi x và x 2 không d ô c lâ p d ȧi sô. Bô d ề Cho E : F là mô t mo rô ng hũ u hȧn sinh. Khi d ó tồn tȧi mô t tru ò ng trung gian M sao cho : (i) M = F (α 1,..., α r ) vó i α 1,..., α r d ô c lâ p d ȧi sô trên F, (ii) E : M là mo rô ng hũ u hȧn.

206 192 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Chú ng minh. Gȯi E = F (β 1,..., β n ). Nê u tâ t ca β 1,..., β n d ȧi sô trên F thì lâ y M = F. Nê u tồn tȧi β i siêu viê t trên F thì ký hiê u nó là α 1. Nê u E : F (α 1 ) không hũ u hȧn thì tồn tȧi β j siêu viê t trên F (α 1 ). D ă t α 2 = β j. Tiê p tu c nhu vâ y cho d ê n khi tìm d u ȯ c F (α 1,..., α r ) E là mo rô ng hũ u hȧn. Khi d ó d ă t M = F (α 1,..., α r ). Bô d ề 10.4 (Stienitz). Vó i các kí hiê u nhu trong bô d ề trên, nê u tồn tȧi mô t tru ò ng trung gian N = F (γ 1,..., γ s ) khác sao cho γ 1,..., γ s d ô c lâ p d ȧi sô trên F và E : N hũ u hȧn thì r = s. Sô r xác d i nh nhu thê d u ȯ c gȯi là bâ c siêu viê t cu a mo rô ng tru ò ng. Chú ng minh. Do E : M là mo rô ng hũ u hȧn, ta có γ 1 d ȧi sô trên M = F (α 1,..., α r ). Do d ó tồn tȧi d a thú c f F [x 0,..., x r ] khác 0 sao cho f(γ 1, α 1,..., α r ) = 0. (7) Không mâ t tính tô ng quát, gia su α 1 xuâ t hiê n trong biê u diê n (7). Nhu thê α 1 d ȧi sô trên F (γ 1, α 2,..., α r ) và E : F (γ 1, α 2,..., α r ) là mo rô ng hũ u hȧn. Nê u s > r thì tiê p c quá trình trên, các α i d u ȯ c thay bo i γ i và mo rô ng E : F (γ 1,..., γ r ) tu

207 10. Nhóm Galois cu a d a thú c 193 hũ u hȧn. Tuy nhiên d iều d ó kéo theo γ r+1 d ȧi sô trên F (γ 1,..., γ r ), vô lí. Vâ y s r. Tu o ng tu, thay d ô i vai trò cu a s và r, ta có r s. Vâ y r = s. Nhâ n xét Bằng qui nȧp ta dê dàng chú ng minh rằng nê u t 1,..., t n d ô c lâ p d ȧi sô trên F thì F (t 1,..., t n ) d ă ng câ u vó i tru ò ng các phân thú c hũ u ty r biê n F (x 1,..., x n ). Cho F là mô t tru ò ng và t 1,..., t n là các phần tu d ô c lâ p d ȧi sô trên F. Xét E := F { (t 1,..., t n ) } = P (t1,...,t n ) Q(t 1,...,t n ) P, Q F [t 1,..., t n ], Q 0. Mô i σ S r xác d i nh mô t F -tu d ă ng câ u cu a E d i nh bo i : P (t 1,..., t n ) Q(t 1,..., t n ) P ( σ(t1 ),..., σ(t n ) ) Q ( σ(t 1 ),..., σ(t n ) ). Tu o ng ú ng trên là mô t d o n câ u tù S n vào Aut(E/F ). Xem S n nhu mô t nhóm con cu a Aut(E/F ). Ký hiê u N là tru ò ng con cô d i nh bo i S n. Rõ ràng N chú a các d a thú c d ô i xú ng, d ă c biê t chú a các d a thú c d ô i xú ng so câ p s 1,..., s n. Nhă c lȧi,

208 194 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS các d a thú c d ô i xú ng so câ p d u ȯ c d i nh nghĩa nhu sau : s 1 = t t n ; s 2 = t i t j = t 1 t t n 1 t n ; s 3 = 1 i<j n 1 i<j<k n t i t j t k ; s n = t 1 t n. Ta có kê t qua sau : D i nh lí N = F (s 1,..., s n ). Chú ng minh. Ta có [F (t 1,, t n ) : N] = (S n : 1) = n! theo D i nh lí Artin. Ta chú ng minh rằng [F (t 1,, t n ) : F (s 1,, s n )] n! và tù nhâ n xét F (s 1,, s n ) N, suy ra d iều pha i chú ng minh. Xét các mo rô ng: F (s 1,, s n ) F (s 1,, s n, t n ) F (t 1,, t n ).

209 10. Nhóm Galois cu a d a thú c 195 Ta có t n là nghiê m cu a X n s 1 X n ( 1) n s n F (s 1,, s n )[X]. Do d ó [F (s 1,, s n, t n ) : F (s 1,, s n )] n. Gȯi s 1,..., s n 1 là các d a thú c d ô i xú ng so câ p cu a các biê n t 1,..., t n 1. Rõ ràng s j = s j 1 t n + s j vó i mȯi 1 j n. Do d ó Bằng quy nȧp, ta có [F (t 1,..., t n ) : F (s 1,..., s n, t n )] và suy ra d iều pha i chú ng minh. F (s 1,..., s n, t n ) = F (s 1,..., s n 1, t n). = [F (t n )(t 1,..., t n 1 ) : F (t n )(s 1,..., s n 1 )] (n 1)! Mê nh d ề Vó i các kí hiê u nhu trên, các phần tu s 1,..., s n là d ô c lâ p d ȧi sô trên F. Chú ng minh. Do [F (t 1,..., t n ) : F (s 1,..., s n )] = n! nên bâ c siêu viê t cu a chúng trên F là nhu nhau. Do d ó s 1,..., s n d ô c lâ p d ȧi sô trên F.

210 196 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS D i nh nghĩa. Cho F là mô t tru ò ng và s 1,..., s n là các phần tu d ô c lâ p d ȧi sô trên F. D a thú c g = t n s 1 t n ( 1) n s n F (s 1,..., s n )[t] (8) gȯi là d a thú c tô ng quát bâ c n trên F. D i nh lí Cho F là mô t tru ò ng và g là d a thú c tô ng quát (8) trên F. Gȯi E g là tru ò ng phân rã cu a g trên F (s 1,..., s n ). Khi d ó các nghiê m t 1,..., t n cu a g d ô c lâ p d ȧi sô trên F và nhóm Galois cu a E g : F (s 1,..., s n ) là S n. Chú ng minh. Ta có E g = F (t 1,..., t n ). Do E g : F (s 1,..., s n ) là mo rô ng hũ u hȧn nên bâ c siêu viê t cu a E g trên F bằng vó i bâ c siêu viê t cu a F (s 1,..., s n ) trên F, tú c bằng n. Suy ra d a thú c (8) tách d u ȯ c nên mo rô ng E g : F (s 1,..., s n ) là mo rô ng Galois. Mă t khác, các phần tu t 1,..., t n là d ô c lâ p d ȧi sô và s 1,..., s n là các d a thú c d ô i xú ng so câ p cu a chúng. Theo D i nh lí 10.6 và tu o ng ú ng Galois, nhóm Galois cu a mo rô ng E g : F (s 1,..., s n ) chính là S n.

211 10. Nhóm Galois cu a d a thú c 197 Bài p tâ Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Biê t thú c cu a mô t d a thú c f F [x] là mô t phần tu cu a F. b) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c n > 0 là mô t nhóm con cu a S n. c) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 2 tách d u ȯ c trên F là mô t nhóm cyclic. d) Nhóm Galois cu a d a thú c bâ c 3 kha quy, tách d u ȯ c trên F là mô t nhóm cyclic. e) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 tách d u ȯ c có biê t thú c chính phu o ng là mô t nhóm cyclic. f) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 tách d u ȯ c có biê t thú c không chính phu o ng d ă ng câ u vó i S 3. g) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 bâ t kha quy, tách d u ȯ c có biê t thú c không chính phu o ng d ă ng câ u vó i S 3.

212 198 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS h) Tồn tȧi d a thú c bâ c 4 trên Q có nhóm Galois d ă ng câ u vó i mô t nhóm con cu a S 4. i) Tồn tȧi mô t d a thú c bâ c 3 bâ t kha quy trên Q có 3 nghiê m thu c. j) Mô t d a thú c bâ c 3 trên Q có nhóm Galois d ă ng câ u vó i A 3 thì có 3 nghiê m thu c. k) Biê t thú c cu a d a thú c bâ c 4 và cu a gia i thú c bâ c 3 cu a nó là nhu nhau. l) D a thú c tô ng quát bâ c n trên F có các tu thuô c F. hê m) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn sinh d ều là mo rô ng hũ u hȧn. n) Mȯi mo rô ng d ȧi sô, hũ u hȧn sinh d ều là mo rô ng hũ u hȧn. o) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn sinh d ều là mo rô ng d ȧi sô. p) Các phần tu d ô c lâ p d ȧi sô trên F thì siêu viê t trên F. q) Các phần tu siêu viê t trên F thì d ô c lâ p d ȧi sô. (Xem HD 295) Hãy tìm dȧng nhân tu hóa cu a d a thú c f = x 3 4x + 2 Q[x] (xem Ví du 31) trong Q(α, 37) bằng Maple, vó i α là mô t nghiê m cu a f. (Xem HD 295)

213 10. Nhóm Galois cu a d a thú c Xác d i nh nhóm Galois cu a các d a thú c sau d ây trên tru ò ng Q : a) x 3 3x 2 + 4x 1 ; b) x 3 + 2x 2 2x 2 ; c) 7x x 2 + 5x + 1 ; d) x 3 + x 1 ; e) x 3 2x 2 ; f) 3x 3 3x + 1 ; g) x 3 3x + 1 ; h) x 3 + 2x 2 2x 2. (Xem HD 295) Xác d i nh nhóm Galois cu a các d a thú c sau d ây trên tru ò ng Q. a) x 4 x 2 + 4x + 5 ; b) x 4 + x 2 + 3x + 5 ; c) x 4 + 3x + 1 ; d) x 4 4x 2 4x 2 ; e) x 4 4x 2 ; f) x 4 + 2x 2 4 ; g) x 4 x 3 3x + 4 ; h) x 4 + 2x 3 + 2x 2 4x + 2 ; i) x 4 4x 3 + 5x 2 2x + 1 ; j) x 4 + 2x (Xem HD 296) Có thê nói gì về nhóm Galois cu a d a thú c f = x 4 + ax 2 + b F [x] bâ t kha quy và F có d ă c sô khác 2, 3? (Xem HD 298) Cho f F [x] bâ t kha quy và F là tru ò ng có d ă c sô khác 2,3. Gȯi h là gia i thú c bâ c 3 cu a f và M là tru ò ng phân rã cu a h trên F. Kí hiê u D f là biê t thú c cu a

214 200 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS f và G f là nhóm Galois cu a f. Chú ng minh rằng : a) G f = S 4 khi và chı khi h bâ t kha quy trên F và D f không chính phu o ng trong F ; b) G f = A 4 khi và chı khi h bâ t kha quy trên F và D f chính phu o ng trong F ; c) G f = D 8 khi và chı khi h kha quy trên F, D f không chính phu o ng trong F và f bâ t kha quy trên M ; d) G f = V khi và chı khi h kha quy và D f chính phu o ng trong F ; e) G f = C 4 khi và chı khi h kha quy trên F, D f không chính phu o ng trong F và f kha quy trên M. (Xem HD 298) Cho F là tru ò ng hũ u hȧn và f = x 3 + ax + b F [x]. Chú ng minh rằng nê u f bâ t kha quy trên F thì 4a 3 27b 2 chính phu o ng trong F. (Xem HD 298)

215 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c TIÊU CHUÂ N GIA I D U Ȯ C BẰNG CĂN THÚ C CU A D A THÚ C 11.1 MO RÔ NG CĂN VÀ TIÊU CHUÂ N GIA I D U Ȯ C Ta biê t rằng các nghiê m cu a d a thú c f = x 2 + px + q Q[x] là p ± p 2 4q 2 nằm trong mo rô ng tru ò ng Q( ) vó i = p 2 4q. Cho d a thú c bâ c ba g = x 3 + px + q Q[x]. Nghiê m cu a g cho bo i công thú c Cardano. (Ta sẽ kiê m chú ng công thú c Cardano o phần cuô i cu a tiê t này). α = 3 q (q ) 2 ( p ) q (q ) 2 ( p ) Xét các mo rô ng Q = E 0 E 1 E 2 E 3, trong d ó: ( q ) 2 ( p ) 3 E 1 := E 0 (α 1 ) vó i α 2 1 = + E0 ; 2 3 E 2 := E 1 (α 2 ) vó i α 3 2 = q 2 + α 1 E 1 ; E 3 := E 2 (α 3 ) = E(α 1, α 2, α 3 ) vó i α 3 3 = α3 2 q K 2.

216 202 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Khi d ó α = α 2 + α 3 E 3. Ta nói rằng E 3 : Q là mô t mo rô ng căn. Ta có d i nh nghĩa sau d ây : Mô t mo rô ng F E gȯi là mô t mo rô ng căn nê u D i nh nghĩa. D i nh nghĩa. E = F (α 1,..., α m ) sao cho vó i mȯi i = 1,..., m tồn tȧi n i tho a α n i i F (α 1,..., α i 1 ). Khi d ó ta cũng nói E là mô t mo rô ng căn cu a F. Ta nói các phần tu α i tȧo ra mô t chuô i căn cho mo rô ng F E. Mô t phần tu α thuô c vào mô t mo rô ng căn E : F thì gȯi là biê u diê n d u ȯ c bằng căn thú c (trên F ). Mô t d a thú c f trên F d u ȯ c gȯi là gia i d u ȯ c bằng căn thú c (trên D i nh nghĩa. F ) nê u tru ò ng phân rã cu a f nằm trong mô t mo rô ng căn cu a F. Nhu thê, mô t d a thú c gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F nê u mȯi nghiê m cu a nó d u ȯ c biê u diê n qua hũ u hȧn các phép toán cô ng, trù, nhân, chia và lâ y căn các phần tu cu a F. Khi d ó ta cũng nói các nghiê m cu a f là nghiê m căn thú c trên F. Ta nhă c lȧi kê t qua d ã biê t trong 9.

217 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 203 Bô d ề Cho f = x n 1 F [x] vó i n không chia hê t cho c sô cu a F. Gȯi E f d ă là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Khi d ó E f : F là mo ng Galois và Gal(E f /F ) rô là t nhóm aben. mô Chú ng minh. Xem Mê nh d ề 9.10 D i nh nghĩa. Mô t mo rô ng Galois E : F gȯi là mo rô ng aben (cyclic) nê u nhóm Gal(E/F ) là nhóm aben (cyclic). Kê t qua trên cho thâ y rằng mȯi tru ò ng chia d u ò ng tròn là mô t mo rô ng aben. Bô d ề Cho 0 n N, cho F là tru ò ng có c sô không chia hê t n và F chú a d ă t căn nguyên thu y c n cu a d o n vi. Cho a F và E là tru ò ng phân rã cu a d a mô bâ thú c x n a trên F. Khi d ó nhóm Galois cu a E : F là t nhóm cyclic có câ p là mô u ó c cu a n. Chú ng minh. Gȯi ξ n F là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Gȯi α là mô t nghiê m cu a x n a. Khi d ó tâ t ca các nghiê m cu a x n a là ξn i α vó i i = 1,..., n. Nhu thê tru ò ng phân rã cu a x n a trên F là E = F (α). Gȯi C n E là nhóm

218 204 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS cyclic các căn bâ c n cu a d o n vi. Xét d ồng câ u ψ : Gal(F (α)/f ) C n σ σ(α) α. Dê dàng thâ y rằng ψ là d o n câ u, do d ó Gal(E/F ) là nhóm cyclic có câ p là u ó c cu a n. D i nh nghĩa. Cho E : F là mô t mo rô ng d ȧi sô. Mô t bao d óng chuâ n tă c cu a E : F là mô t mo rô ng N cu a E sao cho : N : F là mo rô ng chuâ n tă c; Nê u E M N và M : F chuâ n tă c thì M = N. Có thê nói bao d óng chuâ n tă c N chính là mo rô ng chuâ n tă c nho nhâ t cu a F chú a E. Bô d ề Mȯi mo ng hũ u hȧn d ều tồn tȧi duy nhâ t (sai khác d ă rô ng câ u) t mô bao d óng chuâ n tă c.

219 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 205 Chú ng minh. Gȯi {α 1,..., α r } là mô t co so cu a E : F. Lâ y N là tru ò ng phân rã cu a r 1 m i trên F vó i m i là d a thú c tô i tiê u cu a α i vó i i = 1,..., r. Rõ ràng N : F là mo rô ng chuâ n tă c và E N. Nê u có E M sao cho M : F chuâ n tă c, khi d ó r 1 m i phân rã trong M nên N M. Suy ra nê u M là mô t bao d óng chuâ n tă c cu a E : F thì M = N. Ví du 36. Bao d óng chuâ n tă c cu a mô t mo rô ng hũ u hȧn, tách d u ȯ c là mô t mo rô ng Galois. Ví 37. Cho E : F là mô t mo rô ng Galois và M là mô t tru ò ng trung gian cu a du mo rô ng. Khi d ó bao d óng chuâ n tă c cu a M là tru ò ng hȯ p thành cu a σm, vó i mȯi σ G, tú c là σm (xem Nhâ n xét 8.2). σ G D i nh lí Nê u d a thú c f gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên tru ò ng F có d ă c sô 0 thì nhóm Galois cu a f là nhóm gia i d u ȯ c. Chú ng minh. Do f gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F nên tồn tȧi chuô i các mo rô ng F = E 0 E 1 E m

220 206 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS sao cho E i = E i 1 (α i ) tho a α n i i E i 1, i = 1,..., m và E m chú a tru ò ng phân rã cu a f. D ă t n = n 1 n m. Gȯi Ω là mô t mo rô ng Galois cu a F chú a E m và chú a mô t căn nguyên thu y ξ n cu a d o n vi. (Mô t mo rô ng Ω nhu thê tồn tȧi. Chă ng hȧn, biê u diê n E m = phân rã cu a g(x n 1) trên F ). F (γ), gȯi g F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a γ. Lâ y Ω là tru ò ng Gȯi G = {σ 1,..., σ r } là nhóm Galois cu a Ω : F và K Ω là bao d óng chuâ n tă c cu a E m (ξ n ) : F. Khi d ó (xem Ví du 37), ta có K là tru ò ng hȯ p thành cu a σ i E m (ξ n ) vó i mȯi σ i G. Nhu thê K là tru ò ng sinh bo i ξ n, α 1,..., α m, σ 1 α 1,..., σ 2 α 1,..., σ r α 1,... trên F. Ghép thêm các phần tu cu a dãy trên vào F theo thú tu, ta có chuô i các mo rô ng tru ò ng F F (ξ n ) F (ξ n, α 1 )... L L K. Ta nhâ n thâ y rằng mô i mo rô ng L L cu a chuô i trên tho a mãn L d u ȯ c sinh ra trên L bo i mô t phần tu β i tho a β r i L, vó ir {n 1,..., n m, n}. Do d ó theo (11.1) và (11.2), chúng là các mo rô ng aben. Theo tu o ng ú ng Galois, chuô i các mo rô ng

221 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 207 trên ú ng vó i chuô i các nhóm con cu a nhóm Galois G = Gal(K/F ) 1 = G 0 G 1... G t = G sao cho G i G i+1 và G i+1 /G i aben. Do d ó G là nhóm gia i d u ȯ c. Xét các mo rô ng F E f K vó i E f là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Vì nhóm Galois cu a f là nhóm thu o ng cu a G, theo tính châ t cu a nhóm gia i d u ȯ c (A.4), nhóm G f cũng gia i d u ȯ c. D ê chú ng minh d iều ngu ȯ c lȧi cu a d i nh lí trên, ta cần mô t sô bô d ề nhu sau : Bô d ề Cho f F tách d u ȯ c và F E là mo ng tru ò ng. Khi d ó nhóm rô Galois cu a f trên E là nhóm con cu a nhóm Galois cu a f trên F. Chú ng minh. Gȯi R = {α 1,..., α n } là tâ p các nghiê m cu a f. Kí hiê u K = F (α 1,..., α n ) và L = E(α 1,..., α n ) lần lu ȯ t là tru ò ng phân rã cu a f trên F và trên E. Rõ ràng K L. Mô i σ Gal(L/E) hoán các phần tu trong vi R, do d ó biê n K thành K. Nói cách khác, phép hȧn chê σ σ K là mô t d ồng câ u tù Gal(L/E) vào Gal(K/F ). Rõ ràng phép hȧn chê d ó là mô t d o n câ u nên Gal(L/E) là mô t nhóm con cu a Gal(K/F ).

222 208 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Bô d ề sau chı ra mô t phần tính d a o ngu ȯ c cu a (11.2) : Bô d ề Cho p là mô t sô nguyên tô, cho F là tru ò ng có d ă c sô khác p và F chú a mô t căn nguyên thu y bâ c p cu a d o n vi. Nê u E : F là mo rô ng cyclic bâ c p thì E = F (α) vó i α p F. Chú ng minh. Gȯi z 1,..., z p F là các căn bâ c p phân biê t cu a d o n vi. Lâ y β E\F, ta có E = F (β). Gȯi σ là phần tu sinh cu a nhóm cyclic G = Gal(E/F ). D ă t β i = σ i 1 (β), vó i i = 1,..., p. Ta có β i β j vó i mȯi i j. Khi d ó β 1 = β, β i+1 = σ(β i ) nê u i = 1,..., p 1 và σ(β p ) = β 1. D ă t d i (β) = β 1 + z i β z p 1 i β p, i = 1,..., p. gȯi là gia i thú c Lagrange. Khi d ó σ(d i ) = β 2 + z i β z p 1 i β 1 = z 1 i d i. Do d ó σ(d p i ) = σ(d i) p = d p i. Suy ra dp i F. Mă t khác, xét hê phu o ng trình tuyê n tính d i = x 1 + z i x z p 1 i x p, i = 1,..., p.

223 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 209 Ma trâ n hê sô có d i nh thú c 0<i<j p 1 z 1 z p z p zp p 1 (z j z i ) 0, do d ó β i, vó i 1 i p, là mô t tô hȯ p tuyê n tính cu a d 1,..., d p vó i hê tu trong F (chú ý rằng F chú a z 1,..., z p ). Suy ra E = F (β) = F (d 1,..., d p ). Rõ ràng tồn tȧi d i E\F. Khi d ó E = F (d i ) và d p i F. Bây giò ta chú ng minh kê t qua ngu ȯ c lȧi cu a (11.4). D i nh lí Nê u nhóm Galois cu a d a thú c f trên tru ò ng có d ă c sô 0 gia i d u ȯ c thì f gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F. Chú ng minh. Gȯi G f là nhóm Galois cu a f trên F. Gȯi n = deg(f) và kí hiê u E = F (ξ n ) vó i ξ n là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Theo (11.5), nhóm Galois G cu a f trên E là nhóm con cu a G f, do d ó G gia i d u ȯ c.

224 210 ChU O ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Theo (A.7), tồn tȧi chuô i các nhóm con G = G m... G 0 = 1 (9) sao cho G i G i+1 và G i+1 /G i cyclic có câ p nguyên tô p i, vó i mȯi i = 0,..., m 1. Gȯi K là tru ò ng phân rã cu a f trên E. Khi d ó K chú a tru ò ng phân rã cu a f trên F. Chuô i các nhóm con (9) cho ta chuô i các mo rô ng F F (ξ n ) = E = E 0 E 1... E m = K vó i E i : E i 1 cyclic bâ c p i, vó i mȯi i = 0,..., m. Theo Bô d ề 11.6, ta có E i = E i 1 (α i ) vó i α p i i E i 1, vó i mȯi i = 0,..., m. Nhu thê K : F là mô t mo rô ng căn chú a tru ò ng phân rã cu a f trên F, nên f gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F. Hê qua Cho F là tru ò ng có d ă c sô 0. Mô t d a thú c trên F gia i d u ȯ c bằng căn thú c khi và chı khi nhóm Galois cu a nó là gia i d u ȯ c. Hê qua Cho F là tru ò ng có d ă c sô 0. D a thú c tô ng quát (8) không gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F (s 1,..., s n ) khi và chı khi n 5.

225 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c TÍNH KHÔNG GIA I D U Ȯ C CU A D A THÚ C CÓ C LÓ N HO N BÔ N BÂ Ta cần mô t kê t qua cu a nhóm d ô i xú ng, tu o ng tu nhu (0.18). Bô d ề Nê u t nhóm con cu a nhóm d ô i xú ng S p vó i p nguyên tô chú a t mô mô vòng xích dài p và t phép chuyê d ô mô n trí thì trùng vó i S p. Chú ng minh. Gȯi G là nhóm con cu a S p sinh bo i σ = (a 1 a p ) là mô t vòng xích có dài p và τ = (i j) là mô t phép chuyê d ô n trí. Bằng cách d ánh sô lȧi nê u cần thiê t, ta có thê gia thiê t τ = (1 2). Viê t lȧi σ du ó i dȧng σ = (1 a 2... a p ). Lâ y lũy thù a thích hȯ p cu a σ, ta có d u ȯ c kê t qua là (1 2 b 3 b p ), d ó cũng là mô t vòng xích dài p do p nguyên tô. Giũ nguyên 1 và 2, d ánh sô lȧi các phần tu cu a tâ p d ô {3, 4,..., p}, suy ra nhóm con G chú a τ = (1 2) và vòng xích (1 2 p). Theo (0.18), ta có G = S p. Mê nh d ề Cho t d a thú c f Q[x] bâ t kha quy có c p nguyên tô. Nê u f mô bâ có d úng 2 m không thu c trong C thì nhóm Galois cu a f là nhóm d ô i xú ng S p. nghiê Chú ng minh. Gȯi E f là tru ò ng phân rã cu a f trên Q và G = Gal(E f : Q) xem nhu nhóm con cu a S p. Gȯi α E f là mô t nghiê m cu a f. Do Q Q(α) E f và

226 212 ChU O ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS [Q(α) : Q] = p, ta có p là u ó c cu a [E f : Q] = (G : 1). Suy ra G chú a mô t phần tu câ p p, xem (B.2). Trong S p chı có các vòng xích d ô dài p có câ p p, (xem 0.16). Nhu thê G chú a mô t vòng xích d ô dài p. Mă t khác E f là mô t tru ò ng con cu a C. Trong Aut(C/Q), xét phép liên hȯ p a + bi a bi. Vì f có d úng 2 nghiê m không thu c r 1, r 2, chúng là các sô phú c liên hȯ p. Khi d ó phép liên hȯ p hoán vi 2 nghiê m r 1, r 2 và cô d i nh các nghiê m còn lȧi cu a f. Do d ó hȧn chê cu a phép liên hȯ p trên E f xác d i nh mô t phép chuyê n trí cu a G. Theo (11.10), ta có G = S p. Hê qua D a thú c f = x 5 4x Q[x] không gia i d u ȯ c bằng căn thú c. Chú ng minh. D a thú c f bâ t kha quy trên Q do tiêu chuâ n Eisenstein cho p = 2. Ta có f( 1) = 3 ; f(0) = 2 ; f(1) = 1 ; f(2) = 18. Do d ó f có ít nhâ t 3 nghiê m thu c nằm trong ( 1, 0),(0, 1) và (1, 2). Mă t khác, do f = 5x 4 8x = x(5x 3 8), có d úng 2 nghiê m thu c là x = 0 và x = 3 8/5. Do d ó f có d úng 3 nghiê m thu c. Theo (11.11), d a thú c f có nhóm Galois d ă ng câ u vó i S 5 là mô t nhóm không gia i d u ȯ c (A.9). Do d ó f không gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên Q.

227 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c NGHIÊ M CĂN THÚ C CU A CÁC D A THÚ C TÔ NG QUÁT CÓ BÂ C KHÔNG QUÁ 4 Trong phần này, ta trình bày nghiê m căn thú c cu a d a thú c tô ng quát (8) (xem trang 196) vó i n 4. Hiê n nhiên, khi s 1,..., s n lâ y giá tri trong F thì ta sẽ có nghiê m căn thú c cu a các d a thú c trên F. D ê d o n gia n, ta gia thiê t F có d ă c sô 0. D a thú c tô ng quát bâ c 2 Cho g = t 2 s 1 t + s 2 có nhóm Galois trên F (s 1, s 2 ) là S 2 = {1, (12)}. Phần tu (1, 2) hoán vi t 1, t 2 nên cô d i nh (t 1 t 2 ) 2. Do d ó (t 1 t 2 ) 2 F (s 1, s 2 ). Cu thê (t 1 t 2 ) 2 = s 2 1 4s 2. Kí hiê u s 2 1 4s 2 là mô t nghiê m cu a x 2 (s 2 1 4s 2), ta có t 1 t 2 = s 2 1 4s 2 và t 1 + t 2 = s 1. Suy ra công thú c nghiê m quen thuô c: { t 1 = 1 ( s1 + s ) 4s2 t 2 = 1 2( s1 s 2 1 ) 4s2. D a thú c tô ng quát bâ c 3 Cho g = t 3 s 1 t 2 + s 2 t s 3 có nhóm Galois trên F (s 1, s 2, s 3 ) là S 3. Ta có dãy các nhóm con chuâ n tă c 1 A 3 S 3 có thu o ng là các nhóm cyclic. D ă t ω = e 2πi/3

228 214 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS và y = t 1 + ωt 2 + ω 2 t 3, vó i t 1, t 2, t 3 là các nghiê m cu a g. Vó i mȯi σ A 3, tồn tȧi 0 i 2 sao cho σ(y) = ω i y. Nên σ(y 3 ) = y 3. Tu o ng tu, d ă t z = t 1 +ω 2 t 2 +ωt 3 thì ta có σ(z 3 ) = z 3, σ A 3. Mă t khác, vó i σ là mô t phép thê le thì σ(y 3 ) = z 3. Nói cách khác các phần tu y 3 + z 3 và y 3 z 3 bâ t biê n vó i S 3. Do d ó y 3 + z 3 và y 3 z 3 thuô c F (s 1, s 2, s 3 ). Nhu thê y 3 và z 3 là nghiê m cu a cùng mô t d a thú c bâ c 2 trên F (s 1, s 2, s 3 ). Mă t khác, dê dàng thâ y rằng: t 1 = 1 3 (s 1 + y + z) t 2 = 1 3 (s 1 + ω 2 y + ωz) t 3 = 1 3 (s 1 + ωy + ω 2 z). Do d ó, khi d ã gia i d u ȯ c y 3 và z 3, ta có nghiê m cu a g. Thu c ra, ta có thê tính toán tru c tiê p yz = s 2 1 3s 2 và y 3 + z 3 = 2s 3 1 9s 1s s 3. Trong thu c hành, ta thu ò ng gia i bằng cách d ă t u = t 1 3 s 1. Khi d ó ta có d a thú c bâ c 3 theo u là f = u 3 + pu + q vó i p = s s2 1, q = 2 27 s s 1s 2 s 3 F (s 1, s 2, s 3 ). Do d ó y 3 + z 3 = 27q và y 3 z 3 = 27p 3. Khi d ó y 3 và z 3 là 2 nghiê m cu a

229 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 215 X qX 27p 3 = 0. Tù d ó, y = 3 3 q (q ) 2 ( p ) 3, z = 3 q (q ) 2 ( p ) sao cho yz = 3p. Ta nhâ n lȧi công thú c nghiê m Cardano u = 3 q (q ) 2 ( p ) q (q ) 2 ( p ) (10) 2 3 và 3 nghiê m cu a f cho bo i u 1 = 1 (y + z) 3 u 2 = 1 3 (ω2 y + ωz) u 3 = 1 3 (ωy + ω2 z). Nhâ n xét Trong công thú c (10), thay D = 4p 3 27q 2 là biê t thú c cu a f = u 3 + pu + q, ta có công thú c nghiê m cho bo i u = 3 q D q D (11)

230 216 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Ví du 38. Tìm nghiê m căn thú c cu a f = x 3 x + 1 Q[x]. Ta có D = 23. Do d ó mô t nghiê m cu a f là Hai nghiê m còn lȧi là 2 sô phú c liên hȯ p Ví du 39. Cho d a thú c f = x 3 6x 2 + 9x 1. Thay x = u + 2, ta có d a thú c theo u là g = u 3 3u + 1. Biê t thú c cu a nó là D = 81. Mô t nghiê m biê u diê n bằng căn thú c cu a g là Chú ý rằng trong tru ò ng hȯ p này, d a thú c g cũng nhu f d ều có 3 nghiê m thu c. Tuy nhiên d ê biê u diê n bằng căn thú c, các biê u diê n nghiê m cần pha i dùng d ê n các căn cu a sô phú c. Su du ng Maple 8. Maple cho chúng ta nghiê m căn thú c cu a mô t d a thú c bâ c 3 tùy ý bằng lê nh >solve(f); vó i f là mô t d a thú c bâ c 3.

231 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 217 D a thú c tô ng quát c 4 bâ Cho g = t 4 s 1 t 3 + s 2 t 2 s 3 t + s 4. Nhóm Galois S 4 cu a g có dãy các nhóm con chuâ n tă c 1 V A 4 S 4 vó i V = {1, (12)(34), (13)(24, (14)(23)}. D ă t y 1 = (t 1 + t 2 )(t 3 + t 4 ), y 2 = (t 1 + t 3 )(t 2 + t 4 ), y 3 = (t 1 + t 4 )(t 2 + t 3 ). Vì các d a thú c d ô i xú ng so câ p cu a y 1, y 2, y 3 thuô c F (s 1, s 2, s 3, s 4 ) nên y 1, y 2, y 3 là nghiê m cu a mô t d a thú c bâ c 3 trên F (s 1, s 2, s 3, s 4 ), gȯi là gia i thú c bâ c 3 cu a g. Khi d ã gia i d u ȯ c y 1, y 2, y 3, cùng vó i t 1 + t 2 + t 3 + t 4 = s 1, suy ra các că p (t 1 + t 2, t 3 + t 4 ); (t 1 + t 3, t 2 + t 4 ); (t 1 + t 4, t 2 + t 3 ) là nghiê m cu a các d a thú c bâ c 2 có tu trong F (s 1, s 2, s 3, s 4, y 1, y 2, y 3 ). Tù d ó gia i d u ȯ c t 1, t 2, t 3, t 4. hê Trong thu c hành, ta d ă t u = t 1 4 s 1 thì ta có mô t d a thú c bâ c 4 theo u :

232 218 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Tù d ó tính d u ȯ c : y 1 + y 2 + y 3 = 2p ; y 1 y 2 + y 1 y 3 + y 2 y 3 = p 2 4r ; y 1 y 2 y 3 = q 2. Suy ra gia i thú c cu a f(u) là X 3 2pX 2 + (p 2 4r)X + q 2. Các nghiê m cu a f cho bo i : u 1 = 1 2 ( y 1 + y 2 + y 3 ) u 2 = 1 2 ( y 1 y 2 y 3 ) u 3 = 1 2 ( y 1 + y 2 y 3 ) u 4 = 1 2 ( y 1 y 2 y 3 ) vó i các căn thú c d u ȯ c chȯn sao cho y 1. y 2. y 3 = q. Su ng Maple 9. Trong Maple, nghiê m căn thú c cu a mô t d a thú c bâ c 4, theo du ngầm d i nh, không d u ȯ c hiê n trên màn hình, do tính phú c tȧp cu a công thú c thi nghiê m.

233 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 219 > restart; > solve(x^4+x^3-9); Maple hiê n nghiê m du ó i dȧng RootOf và dê dàng nhâ n d u ȯ c nghiê m gần thi d úng. > evalf(%); , I, , I Nhu thê d a thú c x 4 + x 3 9 có 2 nghiê m thu c và 2 nghiê m phú c liên hȯ p. Muô n hiê n nghiê m căn thú c cu a d a thú c bâ c 4, cần dùng nhu sau : thi > _EnvExplicit:=true: > solve(x^4+x^3-9); Sau khi nhâ n Enter d ê thu c hiê n lê nh cuô i cùng, 4 nghiê m căn thú c cu a f sẽ d u ȯ c hiê n thi.

234 220 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Bài p tâ Xác d i nh tính d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Nhóm Galois cu a d a thú c tô ng quát bâ c n là gia i d u ȯ c. b) Nhóm S 3 chı có hai nhóm con thu c su là 1 và A 3. c) D a thú c tô ng quát bâ c n trên F là mô t d a thú c có mô t biê n siêu viê t trên F. d) Bâ c siêu viê t cu a tru ò ng phân thú c Q(t) trên Q bằng 1. e) Mô t d a thú c bâ c nho ho n 5 trên Q luôn luôn gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên Q. f) Tồn tȧi d a thú c bâ c ló n ho n 4 trên R không gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên R. g) Mȯi d a thú c bâ c 2 trên tru ò ng d ă c sô 0 gia i d u ȯ c bằng căn thú c. h) Mȯi mo rô ng căn thú c d ều hũ u hȧn. i) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng căn thú c. j) Câ p cu a nhóm Galois cu a mô t d a thú c câ p n chia hê t n!. k) Tồn tȧi mô t d a thú c bâ c 4 có nhóm Galois là S 4.

235 11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 221 l) Mô t d a thú c bâ t kha qui trên Q bâ c 11 có d úng 2 nghiê m không thu c thì không gia i d u ȯ c bằng căn thú c. m) Nhóm A 5 có 60 phần tu. (Xem HD 299) Tìm nghiê m căn thú c cu a các d a thú c sau : a) t 3 3t + 5 ; b) t 3 7t + 6 ; c) x 3 + x 2 2. Suy ra = 4. d) x 3 5x 2 + 4x + 5 ; e) t 4 t 3 2t 1 ; f) t 4 + 4t + 2 ; g) t 6 + 2t 5 5t 4 + 9t 3 5t 2 + 2t + 1. (Xem HD 299) Chú ng minh rằng C : Q và R : Q không pha i là mo rô ng hũ u hȧn sinh. (Xem HD 300) Tính bâ c siêu viê t cu a các mo rô ng sau :

236 222 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS a) Q(t, u, v, w) : Q vó i t 2 = 2, u siêu viê t trên Q(t) ; v 3 = t + 5 và w siêu viê t trên Q(t, u, w). b) Q(t, u, v) : Q vó i t 2 = u 3 = v 4 = 7. (Xem HD 300) Cho f = x 3 3x + 1 F [x]. Chú ng minh rằng f hoă c là bâ t kha qui hoă c phân rã trong F. (Xem HD 300) Chú ng minh các d a thú c sau không gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên Q : a) t 5 4t + 2 ; c) t 5 6t ; b) t 5 6t + 3 ; d) t 7 10t t + 5. (Xem HD 301)

237 PHU LU C 223 PHU LU C A NHÓM GIA I D U Ȯ C VÀ NHÓM D O N Mu c này trình bày các kiê n thú c co ba n về nhóm gia i d u ȯ c và nhóm d o n. Các kê t qua chính trong phần này là A.4, A.7, A.9 và A Nhóm gia i d u ȯ c Cho G là mô t nhóm nhân. Chuô i chuâ n tă c cu a G là mô t chuô i hũ u hȧn các nhóm con phân biê t D i nh nghĩa. 1 = G 0 G 1 G n = G, (12) nghĩa là G i là nhóm con chuâ n tă c cu a G i+1 vó i mȯi i = 0,..., n 1. Các nhóm thu o ng G i+1 /G i, vó i i = 0,..., n 1, gȯi là các thành phần cu a chuô i chuâ n tă c (12).

238 224 PHU LU C D i nh nghĩa. Chuô i (12) gȯi là chuô i hȯ p thành cu a G nê u G i là nhóm con chuâ n tă c tô i d ȧi cu a G i+1, nghĩa là nê u có N G i+1 và N chú a G i thì G i = N hay N = G i+1, vó i mȯi i = 0,..., n 1. n xét A.1. Chú ý rằng, trong chuô i chuâ Nhâ n tă c (12), không kéo theo G i G ngoȧi trù i = n 1. Mô t nhóm G gȯi là gia i d u ȯ c nê u tồn tȧi chuô i chuâ D i nh nghĩa. n tă c (12) sao cho G i+1 /G i là nhóm aben, vó i mȯi i = 0,..., n 1. Ví A.2. (i) Mȯi nhóm aben d ều gia i d u ȯ c. du (ii) Nhóm d ô i xú ng S 3 gia i d u ȯ c vì có chuô i 1 A 3 S 3, trong d ó A 3 là nhóm cyclic và S 3 /A 3 là nhóm cyclic câ p 2. (iii) Nhóm d ô i xú ng S 4 gia i d u ȯ c vì có chuô i chuâ n tă c 1 V A 4 S 4, trong d ó V = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}. Ta nhă c lȧi kê t qua d o n gia n sau cu a lí thuyê t nhóm.

239 PHU LU C 225 Bô d ề A.3. Cho G là mô t nhóm nhân. (i) Nê u H G và A là nhóm con cu a G thì H A A và A H A = HA H. (ii) Nê u H G và H A G thì H A, A/H G/H và G/H A/H = G A. Các kê t qua trong bô d ề trên tu o ng ú ng gȯi là d i nh lí d ă ng câ u thú nhâ t và d i nh lí d ă ng câ u thú hai. Ta có kê t qua quan trȯng d ầu tiên về nhóm gia i d u ȯ c. Mê nh d ề A.4. Cho G là t nhóm. mô (i) Nê u G gia i d u ȯ c thì mȯi nhóm con H cu a G gia i d u ȯ c. (ii) Nê u N G và G gia i d u ȯ c thì G/N gia i d u ȯ c.

240 226 PHU LU C (iii) Nê u tồn tȧi nhóm con chuâ n tă c N G sao cho N và G/N gia i d u ȯ c thì G gia i d u ȯ c. Chú ng minh. (i) Cho chuô i chuâ n tă c 1 = G 0 G 1 G n = G sao cho G i+1 /G i aben, vó i mȯi i = 0,..., n 1. D ă t H i = G i H. Khi d ó ta có chuô i chuâ n tă c : 1 = H 0 H 1 H n = H. Ta chú ng minh các thành phần H i+1 /H i là aben. Ta có H i+1 H i = G i+1 H G i H = G i+1 H G i (G i+1 H) = G i (G i+1 H) G i. Nhóm cuô i cùng là nhóm aben vì nó là nhóm con cu a nhóm aben G i+1 /G i. Vì thê H là nhóm gia i d u ȯ c.

241 PHU LU C 227 (ii) Tù chuô i hȯ p thành cu a G nhu trên, nhóm thu o ng G/N có chuô i các nhóm con sau 1 = G 0 N/N G 1 N/N G n N/N = G/N. Ta có G i+1n/n G i+1 N = G i N/N G i N theo d i nh lí d ă ng câ u thú hai. Mă t khác G i+1 N G i N = G i+1 (G i N) G i N G i+1 = G i+1 (G i N) G i+1 /G i =. (G i+1 (G i N))/G i Nhóm cuô i cùng là nhóm thu o ng cu a G i+1 /G i nên là nhóm aben. Vâ y G/N gia i d u ȯ c. (iii) Tồn tȧi 2 chuô i chuâ n tă c 1 = N 0 N 1 N r = N 1 = G 0 /N G 1 /N G s /N = G/N vó i các thành phần aben. Xét chuô i 1 = N 0 N 1 N r = N = G 0 G 1 G s = G/N

242 228 PHU LU C có các thành phần d ă ng câ u vó i N i+1 /N i hay d ă ng câ u vó i G i+1 /G i = (Gi+1 /N)/(G i /N), chúng d ều là nhóm aben. Vâ y G gia i d u ȯ c. 2. Nhóm d o n Mô t nhóm G 1 gȯi là nhóm d o n nê u G không có nhóm con D i nh nghĩa. chuâ n tă c nào khác 1 và chính nó. Nhu thê chuô i (12) là chuô i hȯ p thành cu a G khi và chı khi mȯi thành phần G i+1 /G i là các nhóm d o n. n xét A.5. Nê u G là nhóm hũ u hȧn thì trong G = G 1 có nhóm con chuâ Nhâ n tă c tô i d ȧi G 2, nhóm G 2 chú a mô t nhóm con chuâ n tă c tô i d ȧi G 3,...Tiê p c quá trình tu này, ta thâ y rằng mȯi nhóm hũ u hȧn d ều có mô t chuô i hȯ p thành. Mê nh d ề A.6. Mȯi nhóm d o n gia i d u ȯ c d ều là nhóm cyclic có câ p nguyên tô. Chú ng minh. Gȯi G là nhóm d o n gia i d u ȯ c. Khi d ó có chuô i chuâ n tă c 1 = G 0 G r = G

243 PHU LU C 229 vó i các thành phần aben. Vì G d o n nên r = 1 và G = G/G 0 aben. Trong nhóm aben, mȯi nhóm con d ều là nhóm con chuâ n tă c, do d ó d ê G d o n, nó trùng vó i nhóm con cyclic sinh ra bo i mô t phần tu bâ t kì khác 1 cu a G. Do d ó G là nhóm cyclic có câ p nguyên tô. Hê qua A.7. Mô t nhóm hũ u hȧn G là gia i d u ȯ c khi và chı khi tồn tȧi chuô i hȯ p thành 1 = G 0 G 1 G n = G sao cho vó i mȯi 1 i n, ta có G i /G i 1 cyclic có câ p nguyên tô. Chú ng minh. Gȯi 1 = G 0 G 1 G n = G là chuô i hȯ p thành cu a nhóm gia i d u ȯ c G. Khi d ó nhóm con G i+1 gia i d u ȯ c nên nhóm thu o ng G i+1 /G i gia i d u ȯ c, vó i mȯi i = 0,..., n 1. Do chuô i trên là chuô i hȯ p thành nên G i+1 /G i là nhóm d o n.tù (A.6), ta có các thành phần G i+1 /G i là các nhóm cyclic câ p nguyên tô. Chiều ngu ȯ c lȧi là hiê n nhiên vì mȯi nhóm cyclic d ều aben. Bô d ề A.8. Cho G là nhóm nhân và H G sao cho G/H aben. Khi d ó a, b G, ta có a 1 b 1 ab H.

244 230 PHU LU C Chú ng minh. Vó i mȯi a, b G, ta có ab = ab = ba = ba. Suy ra (ba) 1 (ab) = a 1 b 1 ab H. D i nh lí A.9. Nhóm d ô i xú ng S n vó i n 5 không gia i d u ȯ c. Chú ng minh. Gia su ngu ȯ c lȧi, nhóm S n vó i n 5 gia i d u ȯ c. Khi d ó tồn tȧi chuô i chuâ n tă c 1 = G 0 G 1 G r = S n, sao cho G i /G i 1 aben vó i mȯi i = 1,..., r. Gȯi (a b c) là mô t vòng xích bâ c 3 bâ t kì cu a S n. Lâ y u, v {1,..., n}\{a, b, c} sao cho u v (chú ý u, v tồn tȧi do n 5). Bô d ề trên kéo theo: (u b a) 1 (v c a) 1 (u b a)(v c a) = (a b c) G r 1, do S n /G r 1 aben. Vâ y G r 1 chú a tâ t ca các vòng xích dài 3. Tiê p c lí luâ n d ô tu nhu trên, do G i 1 /G i 2 aben, nhóm G r 2 chú a tâ t ca các vòng xích dài 3. Bằng d ô

245 PHU LU C 231 quy nȧp, nhóm G 0 chú a tâ t ca các vòng xích d ô dài 3. Vô lí! Vâ y S n không gia i d u ȯ c. Mê nh d ề A.10. Vó i mȯi n 5, nhóm thay phiên A n là nhóm d o n. Chú ng minh. Gia su có 1 N A n. Ta cần chı ra N = A n. Tru ó c hê t ta chú ng to rằng nê u N chú a mô t vòng xích d ô dài 3 thì N = A n. Ta có thê gia thiê t N chú a vòng xích (1 2 3). Khi d ó vó i mȯi k > 3, ta có (3 2 k) A n. Do d ó (3 2 k)(1 2 3)(3 2 k) 1 = (1 k 2) N. Nhu thê N chú a các phần tu (1 k 2) 2 = (1 2 k) vó i mȯi k 3. Chú ý rằng (m r) = (1 m)(1 r)(1 m) vó i mȯi m, r. Do d ó S n d u ȯ c sinh bo i các chuyê n trí (1 i) vó i i = 2..., n. Suy ra, mȯi phép thê chă n d ều là tích cu a mô t sô chă n các chuyê n trí loȧi này. Nên A n d u ȯ c sinh bo i các phần tu (1 j)(1 i) = (1 i j), vó i i, j = 2,..., n. Ta có (1 i j) = (1 2 j) 1 (1 2 i)(1 2, j), vó i i, j 2. Nhu thê A n d u ȯ c sinh bo i các phần tu (1 2 k). Do d ó N = A n.

246 232 PHU LU C Ta còn pha i chú ng minh N chú a mô t vòng xích bâ c 3. Ta chia ra các tru ò ng hȯ p nhu sau : Nhóm con N chú a mô t phần tu x = a b c... vó i a, b, c,... là các vòng xích d ô c lâ p và a = (a 1 a 2... a m ) vó i m 4. D ă t t = (a 1 a 2 a 3 ). Khi d ó N chú a phần tu z := t 1 xt. Chú ý rằng t giao hoán vó i các vòng xích a, b,..., nên z = t 1 xt = (t 1 at)bc.... Cuô i cùng, ta thâ y rằng N chú a phần tu zx 1 = t 1 ata 1 = (a 1 a 2 a 4 ). Xét N chú a 1 phần tu có phân tích vòng xích d ô c lâ p chú a 2 vòng xích dài d ô 3. Không mâ t tính tô ng quát, gia su N chú a x = (123)(456)y. D ă t t = (234). Khi d ó N chú a x 1 (txt 1 ) = (12436).

247 PHU LU C 233 Tù tru ò ng hȯ p d ầu tiên, ta suy ra N chú a mô t vòng xích dài 3. d ô Nê u N chú a mô t phần tu x có dȧng phân tích vòng xích là (ijk)σ vó i σ là tích cu a các phép chuyê n trí d ô c lâ p. Khi d ó N chú a x 2 = (ijk). Tru ò ng hȯ p còn lȧi là mȯi phần tu cu a N d ều là tích cu a các phép chuyê n trí d ô c lâ p. Vì n 5, ta có thê gia thiê t N chú a phần tu x vó i phân tích vòng xích x = (12)(34)σ trong d ó σ là tích các phép chuyê n trí d ô c lâ p. D ă t t = (234). Khi d ó N chú a phần tu x 1 (txt 1 ) = (23)(14). Lâ y u = (145), khi d ó N chú a ux 1 (txt 1 )u 1 = (23)(45). Nhu thê N chú a (23)(14)(23)(45) = (145). Mâu thuâ n!

248 234 PHU LU C Vâ y A n là nhóm d o n vó i mȯi n 5. Kê t qua này cũng kéo theo D i nh lí A.9. Thâ t vâ y, nê u S n gia i d u ȯ c thì A n gia i d u ȯ c. Ho n nũ a, tù d i nh lí trên, ta có A n là nhóm d o n. Tù Mê nh d ề A.6, suy ra A n có câ p nguyên tô. Vô lí vì câ p cu a A n là n! 2, không nguyên tô khi n Các p nhóm Trong mu c này, ta xét ló p các nhóm gia i d u ȯ c d ă c biê t gȯi là p nhóm. Bên cȧnh d ó, ta chú ng minh mô t sô kê t qua sâu să c cu a lí thuyê t nhóm, d ă c biê t là tính châ t cu a p nhóm thông qua chuô i chuâ n tă c cu a nó (A.17). Cho G là mô t nhóm nhân. Phần tu a G gȯi là liên hȯ p vó i D i nh nghĩa. b G nê u tồn tȧi g G sao cho a = g 1 bg. Quan hê liên hȯ p là mô t quan hê tu o ng d u o ng trên G. Các ló p tu o ng d u o ng theo quan hê liên hȯ p gȯi là các ló p liên hȯ p. Nê u G hũ u hȧn, gȯi các ló p liên hȯ p là C 1, C 2,..., C r vó i C 1 = {1}. Kí hiê u S là sô phần tu cu a mô t tâ p hũ u hȧn S. Ta có d ă ng thú c : G = 1 + C C r, (13)

249 PHU LU C 235 gȯi là phu o ng trình ló p cu a G. Ta có mô t quan tu o ng d u o ng tu o ng tu trên tâ p các nhóm con cu a G. hê Hai nhóm con H, K cu a nhóm nhân G gȯi là liên hȯ p vó i nhau D i nh nghĩa. nê u tồn tȧi g G sao cho K = g 1 Hg. Dê dàng kiê m tra d ây là mô t quan tu o ng d u o ng. hê Cho G là nhóm nhân và x G. Kí hiê u D i nh nghĩa. C G (x) = {g G gx = xg}. Khi d ó C G (x) là mô t nhóm con cu a G gȯi là nhóm con trung tâm cu a x trong G. Bô d ề A.11. Cho G là nhóm hũ u hȧn. Sô phần tu trong ló p liên hȯ p cu a x G bằng vó i chı sô cu a C G (x) trong G. Chú ng minh. Lâ y 2 phần tu g 1 xg và h 1 xh bâ t kì trong ló p tu o ng d u o ng cu a x. Ta có g 1 xg = h 1 xh hg 1 x = xhg 1 hg 1 C G (x).

250 236 PHU LU C Nhu thê h và g nằm trong cùng ló p ghép cu a C G (x). Suy ra sô phần tu trong ló p liên hȯ p cu a x bằng vó i chı sô cu a C G (x) trong G. Bô d ề kéo theo : qua A.12. Sô phần tu trong t ló p liên hȯ p tùy ý chia hê t câ p cu a nhóm G. Hê mô Mô t nhóm hũ u hȧn G gȯi là mô t p nhóm nê u câ p cu a G là lũy D i nh nghĩa. thù a cu a mô t sô nguyên tô p. Ví A.13. Nhóm dihedral D 8 (xem tr. 30) là 2 nhóm. Nhóm S n vó i n 3 không du pha i là p nhóm vó i mȯi p nguyên tô. Tâm cu a nhóm G là tâ p D i nh nghĩa. Z(G) = {x G gx = xg, g G}. Dê dàng kiê m tra Z(G) là mô t nhóm con chuâ n tă c cu a G. Ví A.14. a) Tâm cu a nhóm aben là chính nó. du b) Tâm cu a nhóm S 3 là nhóm tầm thu ò ng. c) Z(D 8 ) = {1, σ 2 } vó i σ D 8 là phần tu có câ p 4 trong D 8.

251 PHU LU C 237 Ta có kê t qua tô ng quát sau d ây : D i nh lí A.15. Mȯi p nhóm khác 1 d ều có tâm không tầm thu ò ng. Chú ng minh. Tù phu o ng trình ló p, ta có p n = G = 1 + C C r. Vì sô phần tu cu a mȯi ló p liên hȯ p chia hê t p n, ta gȯi C i = p n i vó i n i 0. Vì vê pha i chia hê t cho p, sô ló p có 1 phần tu pha i là mô t bô i sô cu a p. Mă t khác, nê u x thuô c vào ló p có 1 phần tu thì ta có g 1 xg = x vó i mȯi g G. Nghĩa là x Z(G). Nhu thê Z(G) có nhiều ho n 1 phần tu. Bô d ề A.16. Nê u A là t nhóm aben hũ u hȧn có câ p chia hê t cho t sô nguyên mô mô tô p thì chú a t phần tu câ p p. mô Chú ng minh. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên A. Nê u A = p, thì kê t qua là hiê n nhiên. Gȯi M là mô t nhóm con thu c su có câ p tô i d ȧi trong A. Nê u p chia hê t M thì bô d ề d u ȯ c chú ng minh theo nguyên lí quy nȧp. Xét tru ò ng hȯ p p không chia hê t

252 238 PHU LU C M. Gȯi b A\M, xét B =< b > là nhóm cyclic sinh ra bo i b. Khi d ó MB là mô t nhóm con (chú ý G aben) chú a M thu c su nên MB = A. Ta có d ă ng câ u nhóm (A.3) Suy ra M/(M B) = MB/B. MB = M B M B. Do d ó p chia hê t câ p r cu a B =< b >. Khi d ó phần tu b r/p có câ p p. Ta có mô t tính châ t d ă c biê t cu a p nhóm. Mê nh d ề A.17. Cho G là mô t p nhóm có câ p p n. Khi d ó G có chuô i các nhóm con chuâ n tă c 1 = G 0 G 1 G n = G sao cho (G i : 1) = p i vó i mȯi i = 0,..., n. Chú ng minh. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên n. Nê u n = 0 thì kê t qua là hiê n nhiên. Xét n > 0. Do Z(G) là mô t nhóm aben khác 1 có câ p chia hê t cho p

253 PHU LU C 239 nên theo (A.16), tồn tȧi mô t phần tu x Z(G) có câ p p. Nhóm cyclic K =< x > là nhóm con chuâ n tă c cu a G vì x Z(G). Nhóm thu o ng G/K có câ p p n 1, theo gia thuyê t quy nȧp, tồn tȧi chuô i các nhóm con chuâ n tă c cu a G/K tho a K/K = G 1 /K G 2 /K G n /K = G/K vó i G i /K = p i 1 và G i G vó i mȯi i = 1,..., n. Nhu thê G i = G 0 = 1, ta có d iều pha i chú ng minh. p i. D ă t Hê qua A.18. Mȯi p nhóm d ều gia i d u ȯ c. Chú ng minh. Tù chuô i các nhóm con chuâ n tă c cu a G cho trong mê nh d ề trên, ta có các thành phần G i /G i 1 có câ p là p nên là nhóm cyclic. Suy ra G gia i d u ȯ c. B D İNH LÍ SYLOW VÀ D İNH LÍ CAUCHY Ta gió i thiê u khái niê m nhóm con Sylow và chú ng minh mô t phần kê t qua cu a D i nh lí Sylow, kê t qua d ó d u d ê chú ng minh D i nh lí Cauchy. D i nh lí B.1 (Sylow). Cho G là t nhóm nhân hũ u hȧn có p mô α m phần tu, trong d ó p nguyên tô không chia hê t m. Khi d ó

254 240 PHU LU C (i) G chú a mô t nhóm con có câ p p α ; (ii) mȯi nhóm con câ p p α d ều liên hȯ p vó i nhau ; (iii) mȯi p nhóm con cu a G d ều chú a trong mô t nhóm con câ p p α ; (iv) sô các nhóm con câ p p α bằng 1 + kp vó i k N. Mô t nhóm con có câ p p α gȯi là p nhóm Sylow cu a G. Chú ng minh. Ta chı chú ng minh phần i) cu a d i nh lí trên. Bȧn d ȯc có thê tham kha o chú ng minh d ầy d u cu a d i nh lí trong các sách về D ȧi sô, ví du [1], tr Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên G. Kê t qua hiê n nhiên nê u G = 1, 2. Gȯi C 1,..., C r là các ló p liên hȯ p cu a G và gȯi c i = C i. Khi d ó, phu o ng trình ló p cho ta p α m = c c r. (14) Gȯi Z i là nhóm con trung tâm cu a mô t phần tu x i C i và n i = Z i vó i i = 1,..., r. Tù (A.11), ta có n i = pα m c i. (15)

255 PHU LU C 241 Gia su tồn tȧi c i ló n ho n 1 và không chia hê t cho p. Khi d ó, tù (15), ta có n i < p α m và n i chia hê t cho p α. Theo gia thuyê t quy nȧp, tồn tȧi mô t nhóm con câ p p α trong Z i. Ta có d iều cần chú ng minh. Xét tru ò ng hȯ p vó i mȯi i = 1,..., r, ta có c i = 1 hay c i không chia hê t cho p. Gȯi z = Z(G). Nhu trong chú ng minh cu a (A.15), sô các c i = 1 bằng vó i z. Nhu thê ta có p α m = z + kp vó i k N. Suy ra p chia hê t z = Z(G). Theo (A.16), tồn tȧi mô t phần tu x Z(G) có câ p p. Gȯi P =< x > là nhóm cyclic sinh ra bo i x. Do P Z(G), ta có P G. Nhóm thu o ng G/P có p α 1 m phần tu nên theo gia thuyê t quy nȧp chú a mô t nhóm con S/P câ p p α 1, vó i S là mô t nhóm con cu a G. Khi d ó S có câ p p α. Ta có d iều pha i chú ng minh. Tù d i nh lí trên, ta có kê t qua cu a Cauchy. D i nh lí B.2 (Cauchy). Nê u mô t nhóm hũ u hȧn G có câ p chia hê t cho sô nguyên tô p thì G có mô t phần tu câ p p.

256 242 PHU LU C Chú ng minh. Gȯi S là p nhóm con Sylow cu a G, khi d ó S 1. Theo (A.17), tồn tȧi mô t nhóm con chuâ n tă c câ p p trong S. Ta có d iều pha i chú ng minh. C BAO D ÓNG D ȦI SÔ CU A MÔ T TRU Ò NG c này trình bày hai chú ng minh về viê c tồn tȧi cu a bao d óng d ȧi sô cu a mô t Mu tru ò ng tùy ý. D i nh lí C.1. Mȯi tru ò ng F d ều tồn tȧi t bao d óng d ȧi sô. mô Chú ng minh. Tru ó c tiên ta chú ý rằng, tu o ng tu nhu vành d a thú c hũ u hȧn biê n d ô c lâ p d ȧi sô, ta có thê xây du ng vành d a thú c F [{x j }] vó i tâ p tùy ý các biê n {x j }, trong d ó mô i d a thú c là tô ng hũ u hȧn các d o n thú c ax i1 x im, vó i x it {x j }. Gȯi F [..., y f,...] là vành d a thú c mà mô i biê n y f ú ng vó i mô t d a thú c chuâ n tă c f F [x]. Gȯi I là id êan cu a F [..., y f,...] sinh bo i tâ t ca d a thú c f(y f ). Nê u I = (1) thì tồn tȧi g 1,..., g n F [..., y f,...], sao cho g 1 f(y f1 ) + + g n f(y fn ) = 1. (16) Gȯi F là mô t mo rô ng cu a F chú a mô t nghiê m α i cu a f i vó i mȯi i = 1,..., n.

257 PHU LU C 243 Xét d ồng câ u vành tù F [..., y f,...] vào F biê n y fi thành α i, i = 1,..., n và biê n y f = 0 vó i f / {f 1,..., f n }. Khi d ó biê u diê n (16) cho 0 = 1. Vô lí! Cho nên I (1). Do d ó, theo Bô d ề Zorn, tồn tȧi mô t id êan tô i d ȧi M cu a F [..., y f,...] chú a I. D ă t E 1 = F [..., y f,...]/m, khi d ó E 1 là mô t tru ò ng chú a F. Mȯi d a thú c trong F [x] d ều có ít nhâ t mô t nghiê m trong E 1. Lă p lȧi quá trình trên khi thay F bo i E 1, ta có mo rô ng E 2 cu a E 1. Tiê p c nhu thê, ta có chuô i các mo rô ng tru ò ng tu F = E 0 E 1, và d ă t E = E i. Khi d ó E là mô t tru ò ng d óng d ȧi sô vì vó i mȯi d a thú c f E[x], tồn tȧi i sao cho f E i [x]. Nhu thê f có ít nhâ t mô t nghiê m trong E i+1 E. Lâ y tru ò ng con F các phần tu d ȧi sô trên F trong E. Khi d ó F là bao d óng d ȧi sô cu a F. Mô t chú ng minh khác su ng nhũ ng tính châ t về lu c lu ȯ ng. Ta cần bô du d ề sau : Bô d ề C.2. Cho F là t tru ò ng vô hȧn và K là t mo ng d ȧi sô cu a F. Khi mô mô rô d ó K có cùng lu c lu ȯ ng vó i F. Chú ng minh. K bằng hȯ p rò i rȧc cu a các tâ p hũ u hȧn, mô i tâ p chú a tâ t ca các

258 244 PHU LU C nghiê m trong K cu a mô t d a thú c chuâ n tă c bâ t kha quy trong F [x]. Do d ó lu c lu ȯ ng cu a K bằng vó i lu c lu ȯ ng các d a thú c chuâ n tă c, bâ t kha quy trong F [x]. Ta biê t rằng tâ p các d a thú c chuâ n tă c có bâ c bằng n cho tru ó c trong F [x] có cùng lu c lu ȯ ng vó i F, do d ó lu c lu ȯ ng cu a tâ p tâ t ca các d a thú c chuâ n tă c cũng bằng lu c lu ȯ ng cu a F, suy ra K và F có cùng lu c lu ȯ ng. Chú ng minh. (D i nh lí C.1) Ta chı cần chú ng minh cho tru ò ng hȯ p F là tru ò ng vô hȧn. Nhúng F vào trong mô t tâ p S có lu c lu ȯ ng ló n ho n lu c lu ȯ ng cu a F. Gȯi Λ là tâ p các (E, +, ), trong d ó E S là mô t mo rô ng d ȧi sô cu a F và +, là các phép bô toán trên tru ò ng E. Trên Λ xét quan thú tu, d i nh bo i (E, +, ) > (E hê, +, ) nê u E là mo rô ng tru ò ng cu a E. Bô d ề Zorn chı ra rằng tồn tȧi mô t phần tu tô i d ȧi (K, +, ) trong Λ. Khi d ó K là mô t mo rô ng d ȧi sô cu a F. Ta chú ng minh K d óng d ȧi sô. Gia su ngu ȯ c lȧi K không d óng d ȧi sô. Khi d ó tồn tȧi mô t mo rô ng d ȧi sô thu c su L = K(α) cu a K. Vì L < S, nhúng L vào S bằng mô t d o n ánh sao cho d ồng nhâ t trên K. Khi d ó tồn tȧi mô t phần tu cu a Λ ló n ho n (K, +, ), vô lí do tính tô i d ȧi cu a (K, +, ).

259 PHU LU C 245 D SO LU Ȯ C VỀ MAPLE Maple là mô t hê thô ng tính toán trên các biê u thú c d ȧi sô và minh hȯa toán hȯc mȧnh mẽ cu a công ty Warterloo Maple Inc., ra d ò i năm 1991, d ê n nay (2006) d ã phát triê n d ê n phiên ba n 10. Maple có cách cài d ă t d o n gia n, chȧy trên tâ t ca các hê d iều hành, có câ u trúc linh hoȧt d ê su du ng tô i u u câ u hình máy và d ă c biê t có trình trȯ giúp (Help) râ t dê su du ng. Tù phiên ba n 7 tro d i, Maple cung câ p ngày càng nhiều các công cu tru c quan, các gói lê nh tu hȯc gă n liền vó i toán phô thông và d ȧi hȯc. U u d iê m d ó làm cho nhiều nu ó c trên thê gió i lu a chȯn su du ng Maple cùng các phần mềm toán hȯc khác trong dȧy hȯc toán. Viê c su du ng Maple cũng nhu công nghê thông tin trong dȧy và hȯc toán là mô t xu hu ó ng ngày càng phô biê n trên thê gió i và to ra là mô t phu o ng tiê n hô trȯ d ă c lu c nhằm làm cho viê c dȧy-hȯc toán tro nên thu c tiê n ho n, d áp ú ng nhu cầu phát triê n cu a giáo du c hiê n d ȧi. Phần này cung câ p nhũ ng kiê n thú c co ba n về Maple d ê ngu ò i d ȯc có thê khai thác su du ng nó trong viê c hȯc tâ p và gia ng dȧy toán hȯc, trong d ó có Lí thuyê t Tru ò ng và Galois. D ô c gia có thê tìm hiê u thêm về Maple trong các tài liê u tham kha o [8] và [10].

260 246 PHU LU C Các tính năng co ba n cu a Maple. Có thê nêu vă n tă t các chú c năng co ba n cu a Maple nhu sau. - là mô t thô ng tính toán trên các biê hê u thú c sô hȯc và d ȧi sô ; - có thê thu c hiê c d u ȯ c hầu hê t các phép toán co ba n trong chu o ng trình toán d ȧi hȯc và phô thông ; - cung câ p các công minh hȯa hình hȯc thuâ n tiê n gồm: vẽ d ồ tĩnh và d ô ng cu thi cu a các d u ò ng và mă t d u ȯ c cho bo i các hàm tùy ý trong nhiều tȯa khác hê d ô nhau ; - mô t ngôn ngũ lâ p trình d o n gia n và mȧnh mẽ, có kha năng tu o ng tác vó i các ngôn ngũ lâ p trình khác ; - cho phép trích xuâ t dũ liê u ra các d i nh dȧng khác nhau nhu LaTex, Word, HTML,... - Mô t công biên soȧn giáo án và bài gia ng d iê n tu ; cu - cung câ p mô t môi tru ò ng dȧy-hȯc tu o ng tác tru c tiê p.

261 PHU LU C 247 Giao diê n và lê nh trong Maple. Giao diê n cu a Maple d u ȯ c thê hiê n nhu trong Hình 12. Hình 12: Giao diê n cu a Maple Lê nh cu a Maple d u ȯ c gõ vào trang làm viê c (worksheet) tȧi dâ u nhă c lê nh ">" và theo ngầm d i nh d u ȯ c hiê n thi bằng font Courier màu d o. Mô t lê nh d u ȯ c kê t thúc