Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας Π.Μ.Σ. Επιχειρηματικής Πληροφορικής. Διπλωματική εργασία. Θέμα

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας Π.Μ.Σ. Επιχειρηματικής Πληροφορικής Διπλωματική εργασία Θέμα Μελέτη και επίλυση διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων διαφορικών εξισώσεων Επιβλέπων καθηγητής Πετράκης Ανδρέας Μεταπτυχιακός φοιτητής Πάσχος Κωνσταντίνος Κοζάνη, 008

2 Περίληψη Τα περισσότερα φυσικά φαινόμενα είναι αρκετά πολύπλοκα, είναι πρακτικά αδύνατο να θεμελιωθούν και να περιγραφούν πλήρως με μαθηματικό τρόπο. Γι' αυτό προσπαθούμε να προσεγγίσουμε την πραγματικότητα με μαθηματικά πρότυπα, (μοντέλα), κάνοντας ορισμένες υποθέσεις που απλοποιούν τα φαινόμενα και τους νόμους που τα διέπουν. Οι απλοποιήσεις αυτές ανάγονται συνήθως στην παράλειψη ορισμένων στοιχείων, που πιστεύουμε ότι επιδρούν λίγο, ή και καθόλου, στην εξέλιξη του φαινομένου. Η δημιουργία του μαθηματικού προτύπου γίνεται με μια μαθηματικοποίηση των αντιστοίχων νόμων που, επειδή συνήθως περιέχουν ρυθμούς μεταβολής ενός μεγέθους, (ποσοτικά άγνωστου), εκφράζονται με παραγώγους του άγνωστου αυτού μεγέθους. Κατ' αυτό τον τρόπο το μαθηματικό πρότυπο παίρνει τη μορφή μιας συναρτησιακής σχέσης που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση και ορισμένες παραγώγους της. Η συναρτησιακή αυτή σχέση ονομάζεται Διαφορική Εξίσωση, (Δ.Ε.). Αντικείμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας αποτελεί η μελέτη και η επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη βοήθεια Η/Υ και σύγχρονων υπολογιστικών εργαλείων όπως είναι το MATHEMATICA και το MATLAB.

3 3 Στη μητέρα μου

4 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις Ιστορική αναδρομή 7. Διαφορικές εξισώσεις 9.1. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9.. Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους Μέθοδος Euler Ιστορικά στοιχεία Μέθοδος Euler Επίλυση της δ.ε y'=x+y Μέθοδοι Runge - Kutta Εισαγωγή Η οικογένεια μεθόδων Runge - Kutta Εκτίμηση σφάλματος Περιληπτικές αποδείξεις 3 5. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Επίλυση συστήματος διαφορικών εξισώσεων 8 6. Επίλυση Δ.Ε με χρήση Η/Υ Αναλυτική λύση με την εντολή DSolve του Mathematica Αριθμητική επίλυση δ.ε Επίλυση δ.ε πρώτου βαθμού Επίλυση συστήματος δ.ε Εφαρμογές διαφορικών εξισώσεων Το μοντέλο Lotka-Volterra δυο εξισώσεων Το μοντέλο Lotka-Volterra τριών εξισώσεων 61 Βιβλιογραφία 68 4

5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1. H έννοια της διαφορικής εξίσωσης Ο κύριος σκοπός της Επιστήμης είναι η κατανόηση της Φύσης, (με την πλατιά της έννοια), μέσα στην οποία ζούμε. Και η κατανόηση αυτή μπορεί να επιτευχθεί με την μελέτη των διαφόρων φαινομένων, (φυσικών, κοινωνικών, οικονομικών,...). Στη μελέτη αυτή πρωταρχικό ρόλο έχουν τα Μαθηματικά. Από αρχαιοτάτων χρόνων είχε γίνει αντιληπτό ότι τίποτα δεν παραμένει σταθερό, όλα αλληλένδετα μεταβάλλονται, όπως επιγραμματικά μας το εκφράζει το γνωστό ρητό του Ηράκλειτου ( π.χ.), "Πάντα ρει, πάντα χωρεί καί ουδέν μένει", ( Όλα ρέουν και αλλάζουν και τίποτα δεν παραμένει σταθερό). Η ταχύτητα ενός σώματος, που πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτητας αλλάζει με το χρόνο. Η αεροδυναμική αντίσταση ενός σώματος αυξάνεται με την ταχύτητα. Η θέση της Γης, όπως και των άλλων πλανητών, αλλάζει με το χρόνο σε σχέση με τον Ήλιο. Το κύρτωμα μιας δοκού εξαρτάται από το βάρος, που την καταπονεί. Ο όγκος μιας σφαίρας μεταβάλλεται με την ακτίνα του. Επειδή όμως τα περισσότερα φαινόμενα είναι αρκετά πολύπλοκα, είναι πρακτικά αδύνατο να θεμελιωθούν και να περιγραφούν πλήρως με μαθηματικό τρόπο. Γι' αυτό προσπαθούμε να προσεγγίσουμε την πραγματικότητα με μαθηματικά πρότυπα, (μοντέλα), κάνοντας ορισμένες υποθέσεις που απλοποιούν τα φαινόμενα και τους νόμους που τα διέπουν. Οι απλοποιήσεις αυτές ανάγονται συνήθως στην παράλειψη ορισμένων στοιχείων, που πιστεύουμε ότι επιδρούν λίγο, ή και καθόλου, στην εξέλιξη του φαινομένου. Η δημιουργία του μαθηματικού προτύπου γίνεται με μια μαθηματικοποίηση των αντιστοίχων νόμων που, επειδή συνήθως περιέχουν ρυθμούς μεταβολής ενός μεγέθους, (ποσοτικά άγνωστου), εκφράζονται με παραγώγους του άγνωστου αυτού μεγέθους. Κατ' αυτό τον τρόπο το μαθηματικό πρότυπο παίρνει τη μορφή μιας συναρτησιακής σχέσης που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση και ορισμένες παραγώγους της. Η συναρτησιακή αυτή σχέση ονομάζεται Διαφορική Εξίσωση, (Δ.Ε.). Στη συνέχεια ο σκοπός μας είναι να μελετήσουμε τις μαθηματικές ιδιότητες του προτύπου με την ανάλυση της αντίστοιχης Διαφορικής Εξίσωσης και, αν είναι δυνατόν, με τον υπολογισμό των λύσεων αυτής, έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να εξηγήσουμε την συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων, που παρατηρούμε, και να προβλέψουμε την συμπεριφορά νέων φυσικών φαινομένων. Το μέρος αυτό της μελέτης αποτελεί τον τεράστιο κλάδο των σύγχρονων μαθηματικών που καλύπτει ο όρος "Διαφορικές Εξισώσεις". Σε πιο πολύπλοκα φαινόμενα, δεν χρησιμοποιούμε μόνο μια διαφορική εξίσωση, αλλά ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, όπως στην περίπτωση ενός ηλεκτρικού δικτύου πολλών κυκλωμάτων ή σε μια χημική αντίδραση όπου αλληλεπιδρούν πολλές χημικές ουσίες. 5

6 Ο τρόπος, με τον οποίον οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τις διαφορικές εξισώσεις, για την κατανόηση των φυσικών φαινομένων, χαρακτηρίζεται από τρία βήματα. α) Στο πρώτο βήμα συλλέγουμε δεδομένα που αφορούν το πρόβλημά μας. β) Το δεύτερο βήμα, που ονομάζεται διαδικασία δημιουργίας του προτύπου, απαιτεί γενικά μεγάλη επιδεξιότητα και εμπειρία. Εδώ πρέπει να ορίσουμε το μαθηματικό πρότυπο, (που συχνά περιέχει μια διαφορική εξίσωση), το οποίο περιγράφει το πραγματικό φαινόμενο, όσο το δυνατόν ακριβέστερα. Συγχρόνως όμως πρέπει το μαθηματικό αυτό πρότυπο να είναι διατυπωμένο κατά τέτοιον τρόπο, που να μπορούν να εφαρμοστούν οι γνωστές μαθηματικές μέθοδοι. γ) Στο τρίτο και τελευταίο βήμα πρέπει να λύσουμε το μαθηματικό πρόβλημα, δηλ. να ασχοληθούμε με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης, και να συγκρίνουμε την λύση αυτή με τις πειραματικές μετρήσεις. Εάν η μαθηματική λύση συμφωνεί με τις παρατηρήσεις, τότε λέμε ότι το φυσικό πρόβλημα έχει λυθεί μαθηματικά ή ότι η θεωρία έχει επαληθευθεί. Στην αντίθετη περίπτωση δυο πράγματα μπορούν να συμβαίνουν : ή οι παρατηρήσεις είναι εσφαλμένες, ή το πρότυπο είναι ανακριβές και θα πρέπει να τροποποιηθεί. Για την τελευταία περίπτωση κλασικό παράδειγμα αποτελεί το "πρότυπο", του νόμου της κίνησης, που περιγράφεται από την εξίσωση του Newton. Ο νόμος αυτός είναι ακριβής για μικρές ταχύτητες σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός. Αλλά για μεγάλες ταχύτητες ο νόμος του Einstein είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται μια απλή και σαφής σχέση μεταξύ των μαθηματικών μοντέλων και της πραγματικότητας. Φυσική πραγματικότητα Σύγκριση Προβλέψεις Δεδομένα Νόμοι Τεχνικές Φυσική προσέγγιση Μαθηματικά πρότυπα Εκτός από τη Διαφορική Εξίσωση, ένα μαθηματικό πρότυπο, περιέχει βοηθητικές συνθήκες που επιβάλλονται από το συγκεκριμένο πρόβλημα και κατά συνέπεια απαιτούνται από τις λύσεις της Διαφορικής Εξίσωσης. Ο συνηθέστερος τύπος βοηθητικών συνθηκών δίνεται με τον καθορισμό της τιμής της άγνωστης συνάρτησης, ή και παραγώγων αυτής, σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της λύσης. Οι συνθήκες αυτού του τύπου ονομάζονται 6

7 αρχικές συνθήκες. Αν οι βοηθητικές συνθήκες δίνονται σε περισσότερα από ένα σημεία του πεδίου ορισμού της λύσης, τότε λέγονται συνοριακές συνθήκες. Για να κατανοηθεί καλύτερα ο ρόλος των βοηθητικών συνθηκών ας θεωρήσουμε ένα παράδειγμα από τη Φυσική. Αν μια Διαφορική Εξίσωση περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο συμπεριφέρεται κάποιο φυσικό μέγεθος, τότε οι αρχικές συνθήκες μεταφέρουν τις πληροφορίες σχετικά με τις τιμές του φυσικού μεγέθους κατά το παρελθόν, και οι συνοριακές συνθήκες εκφράζουν την επίδραση του περιβάλλοντος επάνω στο φυσικό μέγεθος κατά την εξέλιξη του φαινομένου. 1.. Ιστορική αναδρομή Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική Φυσική. Αρχίζουν δε να κάνουν την εμφάνισή τους από την εποχή του Newton ( ) και του Leibniz ( ). Ο Newton είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε διαφορική εξίσωση για την κίνηση των σωμάτων περιοριζόμενος στις απλές μορφές : dy dx = fx ( ), dy dx = fy ( ), dy dx = fxy (, ) O Leibniz προχώρησε λίγο παραπέρα αναπτύσσοντας τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, των ομογενών πρώτης τάξης και των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Στον Leibniz όμως οφείλονται οι συμβολισμοί της παραγώγου dy/dx και του ολοκληρώματος f(x)dx. Μετά τους Newton και Leibniz, τον 18ον αιώνα, σημαντικοί μαθηματικοί, όπως οι Jacob Bernoulli ( ), Johann Bernoulli ( ), Clairaut ( ), Riccati ( ), ασχολήθηκαν με τις εκφράσεις των λύσεων διαφορικών εξισώσεων και μερικές διαφορικές εξισώσεις έχουν πάρει το όνομά τους. Την ίδια περίοδο, ένας πολύ σπουδαίος μαθηματικός, ο Euler ( ), ασχολήθηκε με τη διατύπωση προβλημάτων της Μηχανικής στη μαθηματική γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων και την ανάπτυξη μεθόδων για τη λύση τους. Αργότερα οι μεγάλοι Γάλλοι μαθηματικοί Cauchy ( ), Lagrange ( ), και Laplace ( ), έκαναν σημαντικές εργασίες στις διαφορικές εξισώσεις και οι δυο τελευταίοι έδωσαν την πρώτη επιστημονική εργασία πάνω στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Ενώ, κατά τον 17ον και 18ον αιώνα, δόθηκε έμφαση στην επίλυση διαφόρων μορφών διαφορικών εξισώσεων, αναζητώντας εκφράσεις για τις λύσεις τους, κατά τη διάρκεια του τελευταίου τέταρτου του 19ου αιώνα, η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων πήρε ριζικά διαφορετικό δρόμο. 7

8 Ο Peano ( ), το 1890, χρησιμοποιώντας την πολυγωνική μέθοδο των Euler και Cauchy, έδωσε μια αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης. Την ίδια περίοδο ο Lipschitz ( ), το 1876, και ο Picard ( ), το 1890 απέδειξαν πως η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων δίνει συγχρόνως μια απόδειξη για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων του προβλήματος της αρχικής τιμής ή, όπως αλλιώς λέγεται, του προβλήματος του Cauchy. Το ίδιο χρονικό διάστημα, με τις έρευνες του Poincare ( ), το 1881, και του Liapunov ( ) το 189, άνοιγε ένας καινούργιος δρόμος στις διαφορικές εξισώσεις, η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Εδώ υποτίθεται η ύπαρξη των λύσεων και η προσπάθεια γίνεται στον προσδιορισμό των τοπολογικών ιδιοτήτων του χώρου των φάσεων και της συμπεριφοράς των λύσεων όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Στη συνέχεια, στο πρώτο μισό του 0ου αιώνα, έγιναν μεγάλες πρόοδοι στην ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων από σπουδαίους μαθηματικούς, όπως ο Birkhoff ( ) και ο Lefschetz ( ). Τα τελευταία χρόνια πολλοί αξιόλογοι, σύγχρονοι, μαθηματικοί, όπως οι Cesari, Hale, Lasalle ( ), Arnold, Yoshizawa, Sell, με τις εργασίες τους συνέβαλαν σημαντικά στην ποιοτική ανάπτυξη της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Σήμερα οι διαφορικές εξισώσεις αποτελούν ένα σημαντικό και ευρύ κλάδο της Μαθηματικής Ανάλυσης. 8

9 Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις.1 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Η μοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων και συστημάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται με την χρήση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Λέγοντας Διαφορική Εξίσωση (δ.ε.) εννοούμε μια σχέση μεταξύ μιας μεταβλητής x, μιας συνάρτησης y της x και ορισμένων από τις παραγώγους της y, y,.., y (n) ως προς x. η μεγαλύτερη παράγωγος που εμφανίζεται στην εξίσωση λέγεται τάξη της δ.ε. Έτσι οι δ.ε. πρώτης τάξης είναι της μορφής: f( x, y( x), y'( x )) = 0 Λύση της δ.ε. είναι μια συνάρτηση ϕ : I, I τέτοια ώστε F( x, φ( x), φ '( x)) = 0, x I Αρκετές κατηγορίες συνήθων διαφορικών εξισώσεων επιλύονται αναλυτικά αλλά ακόμη περισσότερες είναι αυτές που δεν επιλύονται αναλυτικά, δηλαδή δεν έχουν αναλυτικές λύσεις κλειστής μορφής και η επίλυσή τους επιτυγχάνεται μόνο αριθμητικά. Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε με αναλυτικές αλλά και αριθμητικές τεχνικές επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Έστω μια συνήθης διαφορική εξίσωση της μορφής dy d y d n y F x, y,,,..., 0, dx dx n = dx όπου x και y η ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή αντίστοιχα.έχει μοναδική λύση μόνο όταν συνοδεύεται από n συνθήκες. Εάν οι συνθήκες αυτές ορίζονται σε ένα σημείο x, έστω στο σημείο x 0, τότε το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα αρχικών τιμών, ενώ εάν ορίζονται σε περισσότερα από ένα σημείο τότε το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα οριακών τιμών. 9

10 Όταν έχουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών n τάξης, συνήθως αντικαθιστούμε την συνήθη διαφορική εξίσωση με n εξισώσεις 1 ης τάξης. Αυτό επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας n-1 νέες εξαρτημένες μεταβλητές. Αντίστοιχα οι n-1 αρχικές συνθήκες για τις παραγώγους της άγνωστης εξαρτημένης μεταβλητής αντικαθίστανται με αρχικές συνθήκες για τις n-1 νέες εξαρτημένες μεταβλητές του συστήματος. Θέτοντας dy d y d n 1 y y =, y =,..., y = 1 dx n 1 dx dx n 1 προκύπτει το σύστημα y' = y, y' = y,.., y' = y 1 1 n n 1 ( ) F x, y, y, y,..., y, y' = 0 1 n 1 n 1 Επομένως αφού στην περίπτωση προβλημάτων αρχικών τιμών, μια εξίσωση n τάξης μπορεί να αντικατασταθεί από σύστημα n εξισώσεων 1 ης τάξης θα ασχοληθούμε αρχικά με την επίλυση εξισώσεων. Οι βασικές κατηγορίες μεθόδων επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων 1 ης τάξης ταξινομούνται ως εξής: Α. Πρόβλημα αρχικών τιμών i. Μέθοδοι ενός βήματος (Euler, Runge Kutta) ii. Μέθοδοι πολλών βημάτων Β. Προβλήματα οριακών τιμών i. Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών ii. Μέθοδος πεπερασμένων όγκων 10

11 . Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Πολλά σημαντικά επιστημονικά προβλήματα στο χώρο της φυσικής περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ΔΕΜΠ). Συνήθως το φυσικό φαινόμενο που μελετάμε παριστάνεται από μια συνάρτηση περισσότερων της μιας μεταβλητών που ικανοποιεί συγκεκριμένη μορφή εξίσωσης. Τα περισσότερα επιστημονικά προβλήματα μάλιστα περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις των οποίων η ανώτερης τάξης παράγωγος είναι δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα αν ψ ψ ψ,, x xy y είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών x και y τότε υπάρχουν τρεις μερικές παράγωγοι της δεύτερης τάξης ψ ψ ψ ψ ψ A + B + C + D x, y, ψ,, 0 x xy y = x x Με βάση τις τιμές των συντελεστών των παραγώγων δεύτερης τάξης κατατάσσουμε τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους σε ελλειπτικές, παραβολικές, υπερβολικές. Μια ΔΕΜΠ δεύτερης τάξης είναι της μορφής Β 4AC Ανάλογα με την τιμή της ποσότητας Β 4AC, οι ΔΕΜΠ κατατάσσονται ως: Ελλειπτικές Αν ισχύει B 4AC > 0 Παραβολικές Αν ισχύει B 4AC = 0 Υπερβολικές Αν ισχύει B 4AC < 0 11

12 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος Euler 3.1 Ιστορικά στοιχεία Γεννήθηκε στη Βασιλεία (Ελβετία), γιος ενός καλβινιστή πάστορα και σπούδασε Μαθηματικά με τον Johann Bernoulli. Ήδη ως 0ετής ήταν τόσο διαδεδομένη η φήμη του, ώστε εκλήθη στην Ακαδημία της Πετρούπολης, όπου έγινε το 1733 καθηγητής. Το 1741 κάλεσε τον Όυλερ ο Φρειδερίκος Β' στο Βερολίνο, όπου έμεινε μέχρι το 1756 ως διευθυντής της τάξης Μαθηματικών της Ακαδημίας Επιστημών. Το 1766 επανήλθε στην Πετρούπολη. Αν και από το 1767 ήταν ήδη τελείως τυφλός, δεν μειώθηκε η δραστηριότητα του Όυλερ, ο οποίος θεωρείται ως ο πιο παραγωγικός ερευνητής στην ιστορία των Μαθηματικών. Δημοσίευσε περί τα 900 συγγράμματα, μελέτες και βιβλία, τα οποία κατά ένα μέρος δημοσιεύτηκαν 50 χρόνια μετά το θάνατό του. Ο Όυλερ εισήγαγε τα κυριότερα αλγεβρικά σύμβολα που χρησιμοποιούμε και σήμερα, επεξέτεινε την αναλυτική μέθοδο στα Μαθηματικά που εισήγαγε ο Καρτέσιος και την εφάρμοσε, εκτός από τη Γεωμετρία και στη Μηχανική. Με αυτό τον τρόπο υποβοήθησε την αριθμοποίηση και τυποποίηση των θετικών επιστημών. Δημιούργησε την Υδροδυναμική και τα μαθηματικά πεδία της Θεωρίας Γράφων και του Λογισμού Διαταραχών, περιέγραψε μαθηματικά την πολύπλοκη κίνηση της σβούρας και συνέβαλε αποφασιστικά στη θεωρία αριθμών, θεωρία άπειρων σειρών και στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Μερικά πράγματα αρχίζουν να φαίνονται πραγματικά εντυπωσιακά μόνο όταν κάποιος καθίσει να κάνει μερικούς σύντομους υπολογισμούς. Ένα από αυτά τα πράγματα είναι ο ρυθμός με τον οποίο ο Euler παρήγε μαθηματικά. Γνωρίζουμε ότι ο Euler έζησε 76 χρόνια και συνέγραψε παραπάνω από 1000 υπομνήματα, τα οποία αφορούν θέματα που ξεκινούν μεν από τον Απειροστικό Λογισμό, τη Γεωμετρία, την Αριθμοθεωρία και την Άλγεβρα, καταλήγουν δε στην Πιθανοθεωρία, τη θεωρητική και εφαρμοσμένη Μηχανική, τη Φυσική, την Αστρονομία καθώς και τη Φιλοσοφία. Αν τώρα θεωρήσει κανείς ότι η δημιουργική περίοδος της ζωής του καλύπτει 50 χρόνια περίπου φθάνει αβίαστα στο συμπέρασμα πως ο Euler τελείωνε μια εργασία του χονδρικά μέσα σε 0 ημέρες. Φυσικά αυτό δεν είναι απολύτως αληθές, διότι ο Euler δεν συνέγραψε τα αρκετά εκτεταμένα έργα του εντός τριών εβδομάδων, αλλά μας δίνει μια πρόχειρη εκτίμηση του ασύγκριτου ρυθμού παραγωγικότητάς του. Καλύτερη εποχή για έναν καθολικό μαθηματικό, όπως ο Euler, δεν μπορούσε να βρεθεί. Τα μαθηματικά, την εποχή που άρχισε τη μαθηματική του σταδιοδρομία, βρίσκονταν σε μια κρίσιμη κατάσταση: υπήρχε ένα τεράστιο πλήθος μεμονωμένων αποτελεσμάτων σε όλους τους γνωστούς κλάδους, δεν είχε όμως επιχειρηθεί μια συστηματική προσπάθεια ενοποίησης και παρουσίασής τους βάσει μιας λογικής αλληλουχίας. Ο Descartes είχε ήδη θεμελιώσει την Αναλυτική Γεωμετρία, οι Newton και Leibniz τον Απειροστικό Λογισμό, ενώ οι Fermat και Pascal την Αριθμοθεωρία και τις Πιθανότητες. Ο Euler πραγματεύθηκε όλα αυτά τα θέματα, κάνοντας ουσιώδεις τροποποιήσεις, βελτιώσεις και εκτεταμένες προσθήκες, ενώ συγχρόνως παρουσίασε αρκετά από αυτά σε μια μορφή που έχει παραμείνει, ακόμη και σήμερα, κλασσική. 1

13 Όσον αφορά τις διαφορικές εξισώσεις ο Euler εκθέτει τις μεθόδους επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων χωριζόμενων μεταβλητών, των ομογενών, των γραμμικών, όπου και επινόησε τον πασίγνωστο ολοκληρωτικό παράγοντα που φέρει το όνομα του, των εξισώσεων Riccati, Bernoulli, Clairaut, ενώ πρωτοπόρησε στα διάφορα τεχνάσματα αλλαγής μεταβλητών που επιτρέπουν την αναγωγή μερικών ομάδων δευτεροτάξιων εξισώσεων σε πρώτης τάξης. Επιπρόσθετα, ανακάλυψε την λεγόμενη μέθοδο της χαρακτηριστικής εξίσωσης, η οποία λύνει όλες τις γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως, χωρίς να παραλείψει να επιλύσει και αυτές που έχουν δεύτερο μέλος. Στον κλάδο των μερικών διαφορικών εξισώσεων υπήρξε πρωτεργάτης, διότι αρχίζοντας με τη θεώρηση των εξισώσεων της μορφής Pdx+Qdy+Rdz = 0, οι οποίες προέρχονται από διαφόριση άλλων της μορφής f(x,y,z)=0, έδωσε πολυποίκιλα τεχνάσματα και τύπους που αποδίδονται συνήθως στον Sophus Lie. Eπίσης το έργο του περιέχει σαφείς υπαινιγμούς που αφορούν την κατανόηση εκ μέρους του της θεμελιώδους διαφοράς των εξισώσεων ελλειπτικού τύπου από αυτές του υπερβολικού. Τέλος χαράσσει τις κύριες γραμμές της θεωρίας των μερικών διαφορικών εξισώσεων με τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές, καθώς και του λογισμού των μεταβολών. 3. Μέθοδος Euler Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών dy = f (, xy) dx yx ( 0) = y0 είναι προφανές ότι για κάθε ζεύγος σημείων ( x, yx ( )) η συνάρτηση f ( xyx, ( )) ταυτίζεται με τη κλίση της άγνωστης συνάρτησης yx ( ) στο σημείο x. Για παράδειγμα dy x x0 f ( x0, y( x0)) f( x0, y0) dx = = = Η μέθοδος Εuler βασίζεται στην υπόθεση ότι για μια μικρή απόσταση Δx κατά μήκος του άξονα x η κλίση της συνάρτησης y(x) είναι σταθερή με τιμή ίση με τη τιμή της κλίσης στην αρχή του διαστήματος. Αναπτύσσοντας την σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο x 0 έχουμε dy Δx dy yx ( 0+Δ x) = yx ( 0) +Δx x = x0+ x = x0+... dx dx 13

14 Εφαρμόζοντας την βασική υπόθεση της μεθόδου Euler στην πρώτη παράγωγο της και αποκόβοντας τους όρους από ης τάξης και επάνω προκύπτει η σχέση dy yx ( 0+Δ x) = yx ( 0) +Δ x dx yx ( 0 x) yx ( 0) xf( x, y +Δ +Δ 0 0) Έχοντας υπολογίσει την τιμή yx ( 1) = yx ( 0+Δ x) η διαδικασία επαναλαμβάνεται και έχουμε yx ( ) yx ( 1) +Δxf( x1, y1) Θεωρώντας ότι κάθε φορά προχωρούμε στον άξονα x κατά ένα βήμα η μέθοδος Euler γράφεται στη γενική μορφή yx ( i + 1) = yx ( i+ h) yx ( ) + hf( xi, yx ( i) ) i=0,1, ή στην απλούστερη μορφή yi + 1 = yi+ hf( xi, yi) + O( h ) i=0,1, Η παραπάνω σχέση έχει ρητή μορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται μόνο στην αριστερή πλευρά της αναγωγικής σχέσης. Η γεωμετρική αναπαράσταση της μεθόδου Euler είναι απλούστατη και φαίνεται στο Σχήμα 3.1 όπου yx ( i + 1) και y i + 1 είναι η αναλυτική και αριθμητική τιμή της yx ( ) στο σημείο x i + 1. Είναι προφανές ότι η μέθοδος θα είναι αποτελεσματική μόνο όταν η συνάρτηση yx ( ) είναι ομαλή και η κλίση της στο διάστημα Δx παραμένει περίπου σταθερή και ίση με την κλίση της yx ( ) στην αρχή του διαστήματος. Σχήμα

15 3.3 Επίλυση της δ.ε y'=x+y Έστω η διαφορική εξίσωση y'=x+y με αρχική συνθήκη y(0)=0. Η αναλυτική λύση είναι η y(x)=e x x - 1 Επιλέγοντας h=0.1, εφαρμόζουμε την μέθοδο Euler και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας αποτελεσμάτων: Όπως προκύπτει από την τελευταία στήλη του πίνακα το απόλυτο σφάλμα αυξάνει σε κάθε βήμα της μεθόδου. Όπως θα δούμε παρακάτω το τοπικό σφάλμα της μεθόδου Euler είναι Ο(h ) αλλά το συνολικό σφάλμα είναι Ο(h). Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να ξανά-διατυπώσουμε την μέθοδο Euler εφαρμόζοντας αριθμητική ολοκλήρωση αντί για αριθμητική παραγώγιση (σειρά Taylor). Έστω ότι επιλύουμε το ίδιο πρόβλημα αρχικών τιμών όπως περιγράφεται από την εξίσωση και την συνθήκη, στο διάστημα [x 0, x n ] Επιλέγουμε το μέγεθος από τη σχέση xn x0 h = N όπου N είναι ο αριθμός των ίσων διαστημάτων που διαιρείται το διάστημα [x 0, x n ]. Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε αναλυτικά την διαφορική εξίσωση κατά μήκος των υπό-διαστημάτων και έχουμε 15

16 x1 y1= y0+ f( x, y) dx x0 x y= y1+ f( x, y) dx... x1 xi+ 1 yi + 1 = yi+ f x y dx.. xi xn yn = yn 1 + f x y dx xn 1 (, ) (, ) Βεβαίως ο αναλυτικός υπολογισμός των εκφράσεων δεν είναι εφικτός, αφού οι συναρτήσεις f(x,y) δεν είναι γνωστές στα υπό-διαστήματα ολοκλήρωσης. Εδώ ακριβώς, εισάγεται η βασική υπόθεση της μεθόδου Euler όπου υποθέτουμε ότι η τιμή της συνάρτησης f(x,y)σε κάθε υπό-διάστημα παραμένει σταθερή και ίση με την τιμή της f(x,y) στην αρχή του υπό-διαστήματος. Η προσέγγιση αυτή είναι αντίστοιχη με την μεθοδολογία αριθμητικής ολοκλήρωσης I 1, ακρίβειας Ο(h ). Επομένως τώρα τα ολοκληρώματα υπολογίζονται προσεγγιστικά και προκύπτει η αναγωγική έκφραση της μεθόδου Euler. Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της μεθόδου Euler βελτιώνεται εάν βελτιωθεί η ακρίβεια της αριθμητικής ολοκλήρωσης σε κάθε υπό-διάστημα. Για παράδειγμα εάν η αριθμητική ολοκλήρωση I 1 αντικατασταθεί με αριθμητική ολοκλήρωση I, δηλαδή κανόνα του τραπεζίου, βρίσκουμε την αναγωγική έκφραση h y y f x y f x y O h 3 i+ 1 = i + [ ( i, i) + ( i+ 1, i+ 1)] + ( ) Η έκφραση έχει πεπλεγμένη μορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται και στις δύο πλευρές της αναγωγικής σχέσης. Στις περιπτώσεις αυτές η άγνωστη ποσότητα προκύπτει μετά από επαναληπτική διαδικασία που σταματά όταν ικανοποιηθεί το κριτήριο σύγκλισης. 16

17 Κεφάλαιο 4 Μέθοδοι Runge - Kutta 4.1. Εισαγωγή Στην αριθμητική ανάλυση, οι μέθοδοι Runge Kutta αποτελούν μια σημαντικότατη οικογένεια ειδικευμένων και εξειδικευμένων μεθόδων προσδιορισμού με σχετική ακρίβεια των λύσεων κοινών διαφορικών εξισώσεων. Αυτές οι τεχνικές αναπτύχθηκαν περίπου το 1900 από δύο Γερμανούς μαθηματικούς, τους C. Runge και M.W. Kutta. Η σημαντικότητα αυτών των τεχνικών είναι τόσο μεγάλη που σήμερα πλέον χρησιμοποιούνται ευρέως και θεωρούνται κλασσικές μέθοδοι για το επιστημονικό πεδίο των μαθηματικών. 4.. Η οικογένεια μεθόδων Runge-Kutta Πρόκειται για οικογένεια μεθόδων ενός βήματος με την έννοια ότι η τιμή της εξαρτημένης τιμής στο τέλος του βήματος, όπως και στη μέθοδο Euler, εξαρτάται μόνο από την πληροφορία που αντλείται μέσα από το συγκεκριμένο βήμα. Δηλαδή η τιμή y i+ 1 y στο διάστημα [ x, x ] i i+ 1 εξαρτάται μόνο από την τιμή y i και άλλες τιμές της Η απλούστερη όλων είναι η Runge-Kutta ης τάξης που δίνεται από τη σχέση: ( ) ( ) h y = y f x, y f x, y 1 i + + i+ i i i+ 1 i (4..1) Η (4..1) προκύπτει εφαρμόζοντας την μέθοδο Euler δύο φορές ή την πεπλεγμένη Euler για μία μόνο επανάληψη. Πρώτα υπολογίζουμε την ενδιάμεση τιμή η οποία θα έχει την κάτωθι τιμή σύμφωνα με τη θεωρία : ( ) y = y h f x, y i 1 i + + i i και στη συνέχεια την τελική τιμή : (4..) ( ) ( ) h y = y f x, y f x, y' 1 i + + i+ i i i+ 1 i (4..3) 17

18 Η Runge-Kutta ης τάξης συνοψίζεται στον αλγόριθμο k = f( x, ) 1 i y i k = f( x, i + h y i + hk ) 1 (4..4) h y = y ( k k ) i 1 i με i=0,1,. Ο αλγόριθμος γίνεται εύκολα κατανοητός από τη αναπαράσταση που φαίνεται στο Σχήμα 4.1. παρακάτω : γεωμετρική του Σχήμα 4.1: Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Runge-Kutta ης τάξης 18

19 Οι Runge-Kutta μεγαλύτερης τάξης προκύπτουν με παρόμοιο τρόπο εφαρμόζοντας μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης μεγαλύτερης τάξης. Ο αλγόριθμος της Runge-Kutta 3 ης τάξης, εφαρμόζοντας τον 1 ο κανόνα του Simpson, δίδεται από τις σχέσεις ( x, y ) k = h f 1 i i h k k = h f x, y 1 i + i + ( i ) h ( k ) k = h f x + h, yi + k 3 y = y 4k k 1 i i με i=0,1,. Οι ποσότητες k 1, k, k 3 προσεγγίζουν τις παραγώγους της εξαρτημένης h μεταβλητής στα σημεία x i, x i +, x i + h αντίστοιχα του υπό-διαστήματος x i, x i + h Η γενική μορφή των μεθόδων Runge-Kutta 4 ης τάξης είναι y = ( ) 1 y i + h ak + 1 bk + i ck dk 4 όπου k 1, k, k 3, k 4 οι ποσότητες είναι προσεγγιστικές τιμές της διαφορετικά σημεία του υπό-διαστήματος x i, x i + h. Οι πλέον δημοφιλείς Runge-Kutta 4 ης τάξης είναι οι αλγόριθμοι : k1 = f( x, y ) i i h h k = f( xi +, yi + k1 ) (4..7) h h k3 = f( xi +, yi + k) h h k4 = f( xi +, yi + k3) h y = i 1 y + + i ( k1 k k3 k ) 4 καθώς και οι εξής : dy dx σε 19

20 k1 = f( x, y ) i i h h k = f( xi +, yi + k1 3 3 ) (4..8) h h k3 = f( xi +, yi + k) 3 3 k f x h y hk 4 = (, ) i + i + 3 h y = i 1 y + + i ( k1 3k 3k3 k ) 4 Όλοι οι αλγόριθμοι Runge-Kutta έχουν ρητό χαρακτήρα. Το συσσωρευμένο σφάλμα της κάθε μεθόδου Runge-Kutta είναι αντίστοιχο με την τάξη της μεθόδου. Το σφάλμα ε i ανάμεσα στην αριθμητική και αναλυτική τιμή της συνάρτησης yx ( ) στον κόμβο i ορίζεται από το μέτρο της διαφοράς ε = y yx ( ), όπου y και y( x ) η αριθμητική και αναλυτική τιμή της yx ( ) στο σημείο i i i i i x i αντίστοιχα. Όταν το σφάλμα παραμένει πεπερασμένο και μάλιστα μειώνεται καθώς αυξάνει ο αριθμός των βημάτων, λέμε ότι η μέθοδος είναι ευσταθής, ενώ αν το σφάλμα αυξάνει συνεχώς, ασταθής Εκτίμηση σφάλματος Η γενική έκφραση για το σφάλμα ε με τη χρήση μιας ν-οστού βαθμού μέθοδο Runge Kutta, μπορεί να υπολογιστεί ως εξής : η ς ~ + h n (4.3.1) h Εδώ, ο πρώτος όρος ανταποκρίνεται στο υπολογισμένο σφάλμα ενώ ο δεύτερος όρος στο συσσωρευμένο σφάλμα. Το ελάχιστο δυνατό μήκος βήματος h o καθώς και το ελάχιστο δυνατό σφάλμα ε ο παίρνουν τις κάτωθι τιμές : 1/ n 1 h0 n + (4.3.) ε 0 n nn / + 1 (4.3.3) 0

21 Στον πίνακα τον οποίο θα παρουσιάσουμε παρακάτω, οι τιμές αυτές υπολογίζονται χρησιμοποιώντας την τιμή : η = Αυτή η τιμής είναι η ακρίβεια των δεκαδικών που μπορεί να υπολογίσει ένας απλός ηλεκτρονικός υπολογιστής χρησιμοποιώντας μεταβλητές διπλής ακριβείας. Όπως μπορεί να παρατηρηθεί, όσο η τιμή n αυξάνεται, τόσο η τιμής h o αυξάνεται, ενώ αντίθετα η τιμή ε ο μειώνεται. Παρόλα αυτά, η σχεσιακή αλλαγή μεταξύ αυτών των τιμών παρουσιάζεται όλο και πιο ασθενής όσο η τιμή του η αυξάνεται. Είναι φανερό βέβαια ότι χρησιμοποιώντας έναν απλό ηλεκτρονικό υπολογιστή, δεν μπορούμε να πετύχουμε μια μεγάλης εμβέλειας ακρίβεια, καθώς εκ φύσεως οι υπάρχοντες ηλεκτρονικοί υπολογιστές χρησιμοποιούν 3-bit καταχωρητές για τον προσδιορισμό των αριθμών. Έτσι λοιπόν, η ακρίβεια σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό η. Από την άλλη όμως, η ευρεία διάδοση των υπολογιστών μας προσφέρει ένα καλό εργαλείο για να το χρησιμοποιήσουμε στους πειραματικούς υπολογισμούς μας Πίνακας 4.1. Το μικρότερο δυνατό βήμα h o και το ελάχιστο σφάλμα ε ο, βάσει μίας ν-οστής μεθόδου Runge Kutta, χρησιμοποιώντας έναν απλό ηλεκτρονικό υπολογιστή. 1

22 Στην πλειονότητα των περιπτώσεων, ο παράγοντας που περιορίζει σημαντικά τις προσπάθειές μας δεν είναι ο υπολογισμός του σφάλματος αλλά το υπολογιστικό σφάλμα από τον υπολογισμό της συνάρτησης f ( x, y. ) Ας σημειώσουμε ότι γενικά, μια ν-οστή μέθοδος Runge Kutta απαιτεί τον υπολογισμό αυτής της συνάρτησης ν φορές, σε κάθε βήμα της μεθόδου. Μπορούμε λοιπόν εύκολα να καταλάβουμε ότι όσο ο παράγοντας ν αυξάνεται, το υπολογιστικό κόστος είναι εξαιρετικά μεγαλύτερο και ο υπολογισμός της τιμής της συνάρτησης αυξάνεται δραματικά, τόσο σε χρόνο, όσο και σε ακρίβεια. Και αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται σε κάθε βήμα διαδοχικά. Αν και δεν υπάρχει κάποια εύκολη και γρήγορη μέθοδος, στα περισσότερα προβλήματα που συναντάμε στην υπολογιστικής φυσική, η τιμή του ν που εμφανίζεται περισσότερο είναι η τιμή 4. Με άλλα λόγια, στις περισσότερες περιπτώσεις περιπτώσεων που μας ενδιαφέρουν, μια 4 ης τάξης μέθοδος Runge Kutta ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις μας και μπορεί να εξάγει σε μικρό χρόνο ακριβή δεδομένα και λύσεις στην περίπτωση που μελετάμε. Φυσικά, αυτό δεν είναι και ο κανόνας καθώς υπάρχουν και περιπτώσεις όπου η 4 ης τάξης μέθοδος μπορεί να μην ανταποκρίνεται και να χρειαστεί να προσφύγουμε σε μεγαλύτερης τάξης μεθόδους Περιληπτικές αποδείξεις H μέθοδος Runge Kutta είναι μια κλασική μέθοδος με πολύ καλή ακρίβεια και χρησιμοποιείται ευρύτατα. Με τη μέθοδο Runge Kutta προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε τις παραγώγους ανώτερης τάξης που εμφανίζονται στη μέθοδο Taylor με κατάλληλους συνδυασμούς των dy dx = f ( xy, ) τα οποία είναι γνωστά. Έτσι, αποφεύγουνε τον υπολογισμό των παραγώγων ανώτερης τάξης.στη συνέχεια, αποδεικνύουμε τους τύπους για τη μέθοδο Runge Kutta δεύτερης τάξης. Έστω μια διαφορική εξίσωση της μορφής :

23 y = n 1 y + n ak bk (4.4.1) Ας προσπαθήσουμε να την ταυτoπoιήσoυμε με μια σειρά Taylor δεύτερης τάξης: df dx = dy fx + fy fx f f dx = + y (4.4.) Επειδή όμως h yn+ 1 = yn + hfn + ( fx + fy f) (4.4.3) x= x n θα είναι: y = n 1 y + n ahf ( xn, yn) + bhf [ x + n Ah, y + + n Bhf ( xn, yn)] (4.4.4) Συγκρίνοντας με την εξίσωση που γράφεται: f [ xn + Ah, yn + Bhf ( xn, yn)] ( f + fxah + f ybhf ) x= x (4.4.5) n την οποία αναπτύσσω σε σειρά Taylor καταλήγω στις παρακάτω σχέσεις για τις σταθερές aca,, I ch = 1 + και 1 1 a + b = 1, Ab =, Bb = 1 5 a =,, (4.4.6) 3 4 μπορώ να θέσω αυθαίρετα: π.χ. σταθερές. 1 a =... και να υπολογίσω τις υπόλοιπες Αν επιλέξουμε 1 b = τότε θα είναι A = B = 1 και 3

24 1 y = n 1 y + + n ( k1 k ) +, δηλαδή: k = hf( x, y ), k = hf( x + h, y + k ) (4.4.7) 1 n n n n 1 H σχέση που καταλήξαμε είναι ουσιαστικά η μέθοδος Euler-Heun. Αν επαναλάβω την ίδια διαδικασία για ανάπτυγμα Taylor έως και h y = n 1 y + + n ( k1 k k3 k ), 4 θα καταλήξω σε ένα σύστημα 11 εξισώσεων με 13 αγνώστους. Με κατάλληλη επιλογή, των δύο από τις άγνωστες ποσότητες, μπορώ να καταλήξω στη μορφή: 1 1 hf ( xn + h, yn + k) (4.4.8) όπου hf ( x, y ) = k n n (4.4.9) hf ( x + Ah, y + Bk ) = k (4.4.10) n n hf ( xn + h, yn + k) = k4 (4.4.11) hf ( x h, y k ) E O( h 5 n + n + 3 = ) (4.4.1) H μέθοδος αυτή είναι γνωστή ως Runge Kutta τέταρτης τάξης με τοπικό σφάλμα E O h 4 ( ) και γενικό σφάλμα μετά από n βήματα 1 1 hf ( xn + h, yn + k1)

25 H Runge-Kutta τέταρτης τάξης χρησιμοποιείται ευρύτατα αλλά υπάρχουν και ανώτερης τάξης μέθοδοι Runge-Kutta, όπως, για παράδειγμα, η μέθοδος Runge-Kutta-Fehlberg. H μέθοδος Runge-Kutta-Fehlberg δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις: hf ( x, y ) = k (4.4.13) n n hf ( xn + Ah, yn + Bk1) = hf ( xn + h, yn + k + k ) (4.4.14) hf ( x + h, y + k ) = k (4.4.15) n n hf ( xn + h, yn + k1 8 k + k3 k4) = k 6 (4.4.16) ( +, + + = (4.4.17) hf xn h yn k1 k k3 k4 k5 y n+ 1 οπότε εύκολα υπολογίζουμε μια πρώτη εκτίμηση για την τιμή της y = y + ( k + k + k + k ) h 5 (4.4.18) n 1 n Το τοπικό σφάλμα είναι τάξης k 6. Παρατηρούμε ότι δεν έχει χρησιμοποιηθεί η τιμή y = n 1 y + n ( k ) k k k k την οποία όμως θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια για τον υπολογισμό ακριβέστερης τιμής με τη σχέση 6 h (4.4.19) με τοπικό σφάλμα y n + 1 και γενικό k 6 5

26 Παρόλο που το h της σχέσης (4.4.17) δεν έχει σχέση με τo y = n 1 y + n ( k1 3 4 ) k k k της επόμενη σχέσης (4.4.18), εν τούτοις αποτελεί σημαντικό στοιχείο της μεθόδου. Πιο συγκεκριμένα, είναι σύνηθες στην αριθμητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων να επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία δύο φορές, n μια για βήμα h, και μια για βήμα h. Αν η μέθοδος έχει σφάλμα h n n την πρώτη φορά, τότε τη δεύτερη φορά το σφάλμα θα είναι 1 n Επομένως, αν το δεύτερο αποτέλεσμα έχει σφάλμα μικρότερε κατά h, τότε έχουμε την πεποίθηση ότι η μέθοδος συγκλίνει, αυτή η διαδικασία όμως είναι πολλές φορές χρονοβόρα. Στη μέθοδο Runge-Kutta-Fehlberg, δεν επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία, αντίθετα, συγκρίνουμε τα αποτελέσματα σε κάθε βήμα και, αν η διαφορά τους είναι τάξης k, k,..., k όπως προβλέπει η θεωρία, τότε 1 6 πιστεύουμε ότι η μέθοδος συγκλίνει. Επίσης είναι εξαιρετικά σημαντικό για την ταχύτητα εκτέλεσης του προγράμματος ότι τα E = k k k + k + k υπολογίζονται μια μόνο φορά και για τις δύο σχέσεις. Τέλος, για τη μέθοδο Runge-Kutta-Fehlberg υπάρχει και προσεγγιστική σχέση για το σφάλμα. Επειδή τα y1, y, y 3 είναι γνωστά σε κάθε βήμα, είναι δυνατό 6

27 να εκτιμήσουμε άμεσα το σφάλμα και, αν είναι μεγαλύτερο από τη ζητούμενη ακρίβεια, υποδιπλασιάζουμε το h, ωσότου να την επιτύχουμε. H προαναφερθείσα διαδικασία ουσιαστικά αναδεικνύει τη Runge - Kutta Fehlberg σε μέθοδο μεταβλητού βήματος. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι έχουμε τη δυνατότητα να αυξάνουμε ή να ελαττώνουμε το βήμα ανάλογα με την συμπεριφορά της αριθμητικής λύσης σε κάθε σημείο, έτσι επιτυγχάνουμε ταχύτητα και, συγχρόνως, εξασφαλίζουμε λοιπόν τη ζητούμενη ακρίβεια. Κεφάλαιο 5 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων 7

28 5.1. Επίλυση συστήματος διαφορικών εξισώσεων Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων 1n ης τάξης με αρχικές συνθήκες στο σημείο 0 Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με βάση τις μεθόδους που έχουν αναπτυχθεί δεν έχει επιπλέον θεωρητικές δυσκολίες από ότι στη περίπτωση των απλών εξισώσεων. Βεβαίως οι αναγκαίοι υπολογισμοί είναι περισσότεροι και ο προγραμματισμός γίνεται πιο σύνθετος. 8

29 ' Εισάγουμε τις εξαρτημένες μεταβλητές y = y, y = y, y = z, y = z και το αρχικό σύστημα μετατρέπεται σε ένα σύστημα 1 ης τάξης τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αρχικές συνθήκες: ' Αρχικά εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο Euler για h=0.1. Επομένως Η διαδικασία συνεχίζεται βήμα - βήμα για όσα βήματα κρίνεται αναγκαίο. Επαναλαμβάνουμε τη επίλυση του παραδείγματος εφαρμόζοντας τώρα την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης για h=0.1 Τώρα οι ποσότητες και είναι διανύσματα τεσσάρων στοιχείων, όπου το κάθε στοιχείο συνδέεται με την αντίστοιχη άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή: 9

30 Τελικά μετά από ένα βήμα οι τιμές των εξαρτημένων μεταβλητών είναι: Κεφάλαιο 6 Επίλυση Δ.Ε με χρήση Η/Υ 6.1. Αναλυτική λύση με την εντολή DSolve του Mathematica 30

31 Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) n-τάξης αναφέρεται σε μια άγνωστη συνάρτηση y = y( x) μιας ανεξάρτητης μεταβλητής x είναι μια εξίσωση που περιέχει τουλάχιστον μια παράγωγο n-τάξης της συνάρτησης ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή της dy d y n d y F(x,y,,,..., ) = 0 n dx dy dy Για τις παραγώγους, είναι εύχρηστο να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός n dy d y d y ', '', n dx dx dx = y = y = y ( n) Οι ΣΔΕ στo MATHEMATICA γράφονται σε αντιστοιχία με τα παραπάνω, λαμβάνοντας υπόψη μας ότι οι συναρτήσεις και οι παράγωγες συντάσσονται ως εξής dy d y y( x) y[ x], = D[ y[ x], x] y'[ x], = D[ y[ x],{ x,}] y''[ x] dx dx Γενικά ο τελεστής παραγώγισης D[,x] του ΜATHEMATICA ισοδυναμεί με μερική παραγώγιση προς την μεταβλητή x δηλαδή f D[ f, x] x Η επίλυση μιας ΣΔΕ με το ΜATHEMATICA γίνεται με την εντολή DSolve η οποία συντάσσεται με τρία βασικά ορίσματα, ως DSolve[ εξίσωση, άγνωστησυν άρτηση, αν έ ξαρτητημεταβητ ή] Η λειτουργία της παραπάνω εντολής στηρίζεται στη διαμόρφωση (αν είναι απαραίτητο) της διαφορικής εξίσωσης σε κάποια γενική μορφή για την οποία έχουν ήδη αναπτυχθεί συγκεκριμένοι αλγόριθμοι επίλυσης. Το MATHEMATICA, λοιπόν, λύνει διαφορικές εξισώσεις που ήδη έχουν λυθεί στα πλαίσια των μαθηματικών. Δεν πρέπει να συγχέεται η μη δυνατότητα εύρεσης της λύσης από το MATHEMATICA με τη μη ύπαρξη αναλυτικής λύσης για τη διαφορική εξίσωση. Παραδείγματα Το διπλό ίσον == αναφέρεται στην ταυτοτική ισότητα του αριστερού μέλους της εξίσωσης με το δεξιό και είναι ένας λογικός τελεστής με αποτέλεσμα True ή False. Τα σύμβολα eq1, eq κλπ αντιπροσωπεύουν την εξίσωση που τους έχει ανατεθεί με το σύμβολο ανάθεσης =. Έτσι, σε επόμενες γραμμές εντολών μπορούμε να αναφερθούμε σε μια ΣΔΕ με το 31

32 σύμβολό της αντί να την ξαναγράφουμε. Η άγνωστη συνάρτηση πρέπει να δηλώνεται πάντοτε με το όρισμά της. Στην περίπτωση της εξίσωσης (β) δεν είναι σαφές αν η άγνωστη συνάρτηση y είναι συνάρτηση της μεταβλητής x ή της z. Στην σύνταξη του ΜATHEMATICA, αυτό γίνεται σαφές γράφοντας την άγνωστη συνάρτηση ως y[x]. Έτσι στην eq το z αντιμετωπίζεται σαν μια σταθερή παράμετρος της εξίσωσης. 6.. Αριθμητική επίλυση 6..1 Επίλυση δ.ε πρώτης τάξης Έστω μια διαφορική εξίσωση 1ης τάξης, της μορφής Βρίσκουμε την αναλυτική λύση της εξίσωσης χρησιμοποιώντας το Mathematica για τους υπολογισμούς. Έτσι δίνοντας την εντολή: Παίρνουμε τη λύση: Άρα η αναλυτική λύση της είναι η Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τους αλγορίθμους Euler και Runge-Kutta ( ης, 3 ης και 4 ης τάξης) για να βρούμε την αριθμητική λύση της εξίσωσης με βήματα h=0.01, h=0.1 και h=0.5 και πλήθος βημάτων n=10 Οι αλγόριθμοι δίνονται από τις σχέσεις: 3

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 Εφαρμόζοντας τους παραπάνω αλγορίθμους παίρνουμε τα αποτελέσματα: 38

39 39

40 40

41 41

42 4

43 6.. Επίλυση συστήματος δ.ε Εστω η δ.ε : Θέτουμε z 1 =y και z =y' Έτσι έχουμε να λύσουμε το σύστημα: Θα μελετήσουμε τρεις περιπτώσεις ελεύθερης αρμονικής ταλάντωσης με τριβή: 1) f(t)=0, m = 5, k =1.5, v=, y o =5, y 1 =0 => Ασθενής απόσβεση ) f(t)=0, m = 1, k =, v=10, y o =5, y 1 =0 => Ισχυρή απόσβεση 3) f(t)=0, m = 1, k =1, v=, y o =5, y 1 =0 => Κρίσιμη απόσβεση Θα εφαρμόσουμε τους αλγόριθμους Euler και R-K 4 για βήματα h=0.1, 0. και 0.5. Οι αλγόριθμοι σε Μathematica είναι: 43

44 Επίσης χρειαζόμαστε τον παρακάτω κώδικα για την αυτοματοποίηση της διαδικασίας: 44

45 Την εξίσωση την δίνουμε ως εξής: Και τις παραμέτρους π.χ. της πρώτης περίπτωσης (ισχυρούς απόσβεσης) ως εξής: Θέτουμε τις τιμές των βημάτων ως εξής: 1 η περίπτωση (Ασθενής απόσβεση) Η εξίσωση γίνεται: με αναλυτική λύση: και γραφική παράσταση: 45

46 Ο πίνακας αποτελεσμάτων για τις δύο μεθόδους ακολουθεί: 46

47 Γραφήματα αναλυτικής λύσης και αριθμητικών λύσεων: (Με μαύρο εμφανίζεται η αναλυτική λύση, με πράσινο η Euler και με κόκκινο η R- K4) 47

48 48

49 Είναι εμφανές ότι τα αποτελέσματα της Euler προσεγγίζουν ικανοποιητικά, ενώ τα αποτελέσματα της R-K 4 ης τάξης ταυτίζονται με τα αντίστοιχα αναλυτικά. η περίπτωση (Ισχυρή απόσβεση) Η εξίσωση γίνεται: με αναλυτική λύση: 49

50 50

51 Γραφήματα αναλυτικής λύσης και αριθμητικών λύσεων: (Με μαύρο εμφανίζεται η αναλυτική λύση, με πράσινο η Euler και με κόκκινο η R- K4) Στη ισχυρή απόσβεση και οι δύο μέθοδοι δίδουν καλά αποτελέσματα. 51

52 3 η Περίπτωση (Κρίσιμη απόσβεση) Η εξίσωση γίνεται: με αναλυτική λύση: και γραφική παράσταση: Ο πίνακας αποτελεσμάτων για τις δύο μεθόδους είναι ο ακόλουθος: 5

53 53

54 Γραφήματα αναλυτικής λύσης και αριθμητικών λύσεων: (Με μαύρο εμφανίζεται η αναλυτική λύση, με πράσινο η Euler και με κόκκινο η R- K4) 54

55 55

56 Κεφάλαιο 7 Εφαρμογές Διαφορικών εξισώσεων 7.1. Το μοντέλο Lotka-Volterra δυο εξισώσεων Το μοντέλο Lotka-Volterra περιγράφει αλληλεπιδράσεις μεταξύ δύο ειδών σε ένα οικοσύστημα, ενός κυνηγού και ενός θηράματος. Στην παρούσα εργασία θα συμβολίζουμε με P και V τον αριθμό των ζωντανών κυνηγών και των ζωντανών θηραμάτων αντίστοιχα. Το σύστημα περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων dv = av K1VP (1) dt dp = KVP DP () dt όπου οι συντελεστές ak, 1, K, Dπαίρνουν θετικές τιμές. Παρατηρούμε ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού των θηραμάτων ακολουθεί εκθετική αύξηση (av ). Έτσι a είναι ο φυσικός ρυθμός αύξησης (παραγωγής) του πληθυσμού τους. Η εκθετική αύξηση όμως δέχεται μείωση, επηρεασμένη από την αλληλεπίδραση με τους κυνηγούς, εξαιτίας του συντελεστή K 1 που είναι η επίδραση που οφείλεται στην αρπαγή των θηραμάτων από τους κυνηγούς. Για τους κυνηγούς υποθέτουμε ότι D είναι ο ρυθμός θνησιμότητάς τους που οφείλεται στην έλλειψη τροφής, δηλαδή στην έλλειψη θηραμάτων. Έτσι ο πληθυσμός των κυνηγών θα μειώνεται εκθετικά (exp(- Dt )) αν το κυνήγι δεν έχει θετική επίδραση στην παραγωγή του πληθυσμού τους, γεγονός που εκφράζεται δια μέσου του συντελεστή K. Το σύστημα μπορεί να γραφεί ως. X ( ) = F X Αν εξετάσουμε τα σημεία ισορροπίας πρέπει να λύσουμε την εξίσωση F X = Έτσι ( ) ( ) eq eq eq ( ) 0 D a Xeq 1 = ( Veq 1, Peq1) =, (3) K K1 X = V, P = 0, 0 (4) Αν θέλουμε να εξετάσουμε τη ευστάθεια του συστήματος, υπολογίζουμε τον Jacobian πίνακα του συστήματος a K1P KV 1 DF ( V, P) = (5) KP KV D Τότε για το πρώτο σημείο ισορροπίας βρίσκουμε τις δύο ιδιοτιμές 56

57 ( eq ) DF X Δηλαδή λ = i ad 1 λ = i ad 0 KD 1 = ak 0 K1 1 Επειδή το πραγματικό μέρος των ιδιοτιμών είναι μηδέν, αντιμετωπίζουμε μια σπάνια και ασυνήθιστη περίπτωση της μελέτης για γραμμική ευστάθεια του συστήματος. Στην περίπτωση αυτή οι τροχιές θα επαναλαμβάνονται σε κυκλική διάταξη γύρω από το σημείο ισορροπίας. Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές για το δεύτερο σημείο ισορροπίας DF X ( eq ) Δηλαδή λ = a 1 λ = D a 0 = 0 D Και οι δύο ιδιοτιμές είναι πραγματικές, από τις οποίες η μία είναι θετική και έτσι αυτό το σημείο είναι σημείο αστάθειας. Για την πραγματοποίηση του συστήματος στο περιβάλλον ενός οικοσυστήματος ας υποθέσουμε ότι οι κυνηγοί είναι αλεπούδες και τα θηράματα λαγοί. Στα διαγράμματα που ακολουθούν το κόκκινο σημείο είναι οι αρχικοί πληθυσμοί ενώ το πράσινο οι πληθυσμοί στο σημείο ισορροπίας. Στο πρώτο παράδειγμα ad <1, αρχικός πληθυσμός αλεπούδων 10, αρχικός πληθυσμός λαγών 50 : F(1)=10;R(1)=50;D=0.1;a=0.3;K1=0.01;K=0.001;dt=1s 57

58 Παρατηρούμε ότι η τροχιά πραγματοποιεί κυκλικές διατάξεις γύρω από το σημείο ισορροπίας και τελικά συγκλίνει σε αυτό. Αυτό σημαίνει ότι το συγκεκριμένο σημείο ισορροπίας είναι σημείο ευστάθειας για το σύνολο των αρχικών συνθηκών στο παράδειγμα. Οι πληθυσμοί και των αλεπούδων και των λαγών ακολουθούν μία φαινομενικά (όχι απαραίτητα πραγματικά) περιοδική εξέλιξη. Το φαινόμενο αυτό είναι ασυνήθιστο σε οικοσυστήματα αλλά έχει παρατηρηθεί ότι οι πληθυσμοί των snowshoe hares και των Canadian lynx ακολουθούν αυτή τη συμπεριφορά. 58

59 Στο δεύτερο παράδειγμα ad >1, αρχικός πληθυσμός αλεπούδων 10, αρχικός πληθυσμός λαγών 50 : F(1)=10;R(1)=50;D=1.3;a=1.3;K1=0.01;K=0.001;dt=0.1s Παρατηρούμε ότι παρά το γεγονός ότι εξακολουθεί να είναι ευσταθές. ad >1 το σημείο ισορροπίας Παρακάτω παρατίθεται το script του προγράμματος που έγινε η εξομοίωση σε περιβάλλον matlab. Για την εξομοίωση χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος Runge- Kutta 4 ης τάξης. %**************************************** %* %* LOTKA-VOLTERRA EQUATIONS %* PREDATOR-PREY POPULATION DYNAMICS %* METHOD: RUNGE-KUTTA OF 4th ORDER %* PREDATORS=FOXES -(F) %* PREYS=RABBITS -(R) %**************************************** clear all; help lotrk %T = input('time length of the simulation = '); %dt = input('time step = '); %a = input('a:natural growth rate of rabbits in the absence of predation='); 59

60 %b = input('k1:predation impact coefficient(for prey)='); %c = input('d:natural death rate of foxes in abscence of food='); %e = input('k:coefficient of efficiency of predation(for predator)='); T=00; dt=0.1; T/dt K=0:dt:T-dt; F(1)=10;R(1)=50; D=1.3;a=1.3;K1=0.01;K=0.001; sprintf('equilibrium population for preys :%d\n',d/k) sprintf('equilibrium population for predators :%d\n',a/k1) %RUNGE-KUTTA INTEGRATION for k=1:t/dt-1 R1=R(k)+dt*(a*R(k)-K1*R(k)*F(k)); F1=F(k)+dt*(K*R(k)*F(k)-D*F(k)); R=R(k)+dt*(a*R1-K1*R1*F1)/; F=F(k)+dt*(K*R1*F1-D*F1)/; R3=R(k)+dt*(a*R-K1*R*F)/; F3=F(k)+dt*(K*R*F-D*F)/; R4=R(k)+dt*(a*R3-K1*R3*F3); F4=F(k)+dt*(K*R3*F3-D*F3); R(k+1)=R(k)+(*(R-R(k))+4*(R3-R(k))+*(R4-R(k))+dt*(a*R4-K1*R4*F4))/6; F(k+1)=F(k)+(*(F-F(k))+4*(F3-F(k))+*(F4-F(k))+dt*(K*R4*F4-D*F4))/6; end %GRAPHICS subplot(1,,1) plot(k,r,'k-'); %title('nb rabbit vs time') hold on; plot(k,f,'r-'); title('number of Foxes (red) & Rabbits (black) vs time') xlabel('time') ylabel('population') hold off subplot(1,,) plot(r,f,'b-'); hold on; %EQUILIBRIUM STATE=GREEN plot(d/k,a/k1,'go'); %INITIAL STATE=RED plot(r(1),f(1),'r*'); xlabel('rabbits') ylabel('foxes') title('number of Foxes vs Rabbits') zoom; end; 60

61 7.. Το μοντέλο Lotka-Volterra τριών εξισώσεων 1. Περιγραφή του συστήματος Ας υποθέσουμε ότι το οικοσύστημα που θα εξεταστεί περιέχει μια τροφική αλυσίδα αποτελούμενη από τρία είδη ζωντανών οργανισμών. Τα τρία αυτά είδη είναι το θήραμα x, που είναι στο χαμηλότερο επίπεδο της αλυσίδας και αποτελεί θήραμα για το είδος y, που είναι στο μεσαίο επίπεδο της αλυσίδας και αποτελεί κυνηγό για το είδος x και ταυτόχρονα θήραμα για το είδος z, το οποίο είναι στην κορυφή της αλυσίδας και αποτελεί κυνηγό μόνο για το είδος y. Τέτοια παραδείγματα τροφικών αλυσίδων είναι τα ποντίκια-φίδια-γεράκια, σκουλήκια-κοκκινολαίμης(πουλί)-γεράκια ή ακόμη και φυτά-λαγοί-αλεπούδες. Το μοντέλο που θα εξετάσουμε περιγράφεται από τις εξισώσεις dx = ax bxy dt dy = cy + dxy eyz dt dz = fz + gyz dt (1) όπου abcde,,,,, f, g> 0 και a -ο φυσικός ρυθμός παραγωγής του είδους x απουσία των κυνηγών του b -η επίδραση των κυνηγών( y ) στο είδος x c -ο φυσικός ρυθμός μείωσης πληθυσμού του είδους y λόγω έλλειψης θηραμάτων( x ) d -ο ρυθμός παραγωγής του είδους y λόγω επάρκειας θηραμάτων ( x ) e -η επίδραση του κυνηγιού στον πληθυσμό του είδους y από το είδος z f -ο φυσικός ρυθμός μείωσης πληθυσμού του είδους z λόγω έλλειψης θηραμάτων g -ο ρυθμός παραγωγής του είδους z λόγω επάρκειας θηραμάτων ( y ) Επειδή οι πληθυσμοί των τριών ειδών που αποτελούν το σύστημα είναι από τη φύση τους μη αρνητικοί θα επικεντρωθούμε στις τιμές ( xyz,, ) x 0, y 0, z 0 και 3 = ( xyz,, ) x > 0, y > 0, z > { } 3 { }. Ανάλυση του μοντέλου Στη συνέχεια θα αναλύσουμε κάθε ένα από τα τρία συστήματα δύο μεταβλητών που προκύπτουν αντίστοιχα. Αρχικά αν θεωρήσουμε ότι υπάρχει απουσία του κυνηγού ( z =0) στο ανώτατο επίπεδο της τροφικής αλυσίδας, το μοντέλο μετατρέπεται στο κλασσικό μοντέλο εξισώσεων Lotka Volterra για 61

62 το οποίο έγινε πλήρη ανάλυση σε προηγούμενη εργασία 1.Στο μοντέλο αυτό οι τροχιές πραγματοποιούν κυκλικές διατάξεις γύρω από το σημείο c a ισορροπίας, που τώρα θα είναι το,,0, και τελικά συγκλίνουν σε αυτό. d b Το σύστημα (1) δηλαδή γίνεται dx = ax bxy dt dy = cy + dxy dt dz = 0 dt () Για τροχιά που αρχίζει με συντεταγμένη y =0, το σύστημα (1) γίνεται dx = ax dt dy = 0 (3) dt dz = fz dt Η εξίσωση dz = fz συνεπάγεται ότι z( t) 0 εκθετικά όταν t,ενώ η dt dx εξίσωση = ax συνεπάγεται ότι το x αυξάνει εκθετικά καθώς το t. dt Αυτή η συμπεριφορά ταιριάζει απόλυτα με το αναμενόμενο αποτέλεσμα βιολογικά, από την απουσία του είδους y αφού ο πληθυσμός του είδους x δεν απειλείται από κυνηγό και το είδος z δεν θα έχει τροφή, λόγω απουσίας θηραμάτων. Οι τροχιές-λύσεις του συστήματος στο xz - επίπεδο μπορούν να υπολογιστούν από την εξίσωση dz dz dt fz = = dx dx ax dt που έχει λύση της μορφής / z = Kx f a. Για τροχιά που αρχίζει με συντεταγμένη x =0, το σύστημα (1) γίνεται 6

63 dx = 0 dt dy = cy eyz dt dz = fz+ gyz dt (4) Επειδή dy cy θα έχουμε ότι y( t) 0 καθώς το t. Αυτό έχει ως dt άμεσο αποτέλεσμα z t καθώς το t. Οι τροχιές-λύσεις του () 0 συστήματος στο yz - επίπεδο μπορούν να υπολογιστούν από την εξίσωση dz dz dt fz + gyz = = dy dy cy eyz dt που έχει λύση της μορφής f ln y+ gy = cln z ez+ K Τελικά, υπό τη συνθήκη έλλειψης του είδους x στο κατώτερο επίπεδο της τροφικής αλυσίδας, παρατηρείται εξάλειψη των πληθυσμών και των άλλων δύο ειδών του οικοσυστήματος σταδιακά. 3. Ισορροπία και Ανάλυση Στην ανάλυση και μελέτη συστημάτων διαφορικών εξισώσεων είναι βασική η εύρεση λύσεων που είναι ανεξάρτητες από το χρόνο. Αυτές οι λύσεις καλούνται σημεία ισορροπίας ή σταθερές καταστάσεις του συστήματος και για τις οποίες ισχύει dx / dt = 0, dy / dt = 0, dz / dt = 0. Από το σύστημα (1) προκύπτει ax bxy = 0 (5) Έτσι cy + dxy eyz = 0 fz + gyz = 0 ( xeq 1, yeq 1, z eq1) = ( 0,0,0) (6) c a ( xeq, yeq, zeq) =,,0 (7) d b Κατά την επίλυση του συστήματος καταλήγουμε σε μία ιδιόμορφη περίπτωση και προκύπτει η εξής λύση a y = b c+ dx z = e f y = g 63

64 Η ειδική περίπτωση a = f αποδίδει μία περιοχή σταθερών σημείων με λύσεις b g της παραμετρικής μορφής όπου c s. d a ds c x, y, z = s,, (8) b e ( eq3 eq3 eq3) Το σύστημα (1) μπορεί να γραφεί στη μορφή Η ευστάθεια του συστήματος καθορίζεται από τις ιδιοτιμές του Jacobian πίνακα Για το σύστημα (1) a by xb 0 J( x, y, z) = yd c+ dx ez ye 0 zg f + gy Έτσι a 0 0 J( xeq 1, yeq1, zeq 1) = 0 c f Δηλαδή οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι 64

65 λ = a 1 λ = c λ = f 3 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ( ) ( ) ( ) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1. Επειδή η ιδιοτιμή λ 1 έχει θετικό πραγματικό μέρος συμπεραίνουμε πως στο σημείο αυτό το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ασταθές. Για το δεύτερο σημείο ισορροπίας 0 cb / d 0 J( xeq, yeq, zeq) = ad / b 0 ae/ b 0 0 f + ga / b Δηλαδή οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι είναι ga fb λ1 = b λ = i ac. λ3 = i ac Για ga fb υπάρχει μονοδιάστατη καμπύλη, εφαπτόμενη το σημείο c a,,0. Η d b bc abce καμπύλη είναι ευσταθής αν ga fb < 0 και ασταθής αν ga fb > 0. Για τις δύο άλλες ιδιοτιμές με πραγματικό μέρος μηδέν οι τροχιές-λύσεις θα εφάπτονται στον διδιάστατο υποχώρο του μιγαδικού χώρου με αντίστοιχα acd ιδιοδιανύσματα 1, ± i, 0 bc. a ds c Για ga = fb ο Jacobian πίνακας, για κάθε τριάδα σημείων s,, b e με c s, έχει τρεις ιδιοτιμές με μηδενικό πραγματικό μέρος. Δεν είναι εύκολο d δηλαδή να βγάλουμε συμπεράσματα για την συμπεριφορά των δυναμικών γραμμών του συστήματος κοντά σε αυτά τα σημεία. Στο παρακάτω σχήμα δίδεται γραφικά η εξέλιξη του συστήματος (1) με με ιδιοδιάνυσμα ( fb ag) d ( ab cd + b df abdfg + a dg ) 1,, αρχικές συνθήκες (,, ) ( 0.5,1,) a= b= c= d = e= f = g = 1. xyz = και παραμέτρους 65

66 Στο παρακάτω σχήμα δίδεται γραφικά η εξέλιξη του συστήματος (1) με αρχικές συνθήκες xyz,, = 0.5,1,) και παραμέτρους a= b= c= d = e= f = 1 ( ) ( και g = 0.88, δηλαδή εξετάζεται η περίπτωση όπου ga < fb. Στο παρακάτω σχήμα δίδεται γραφικά η εξέλιξη του συστήματος (1) με αρχικές συνθήκες xyz,, = 0.5,1,) και παραμέτρους a= b= c= d = e= f = 1 ( ) ( και g = 1.6, δηλαδή εξετάζεται η περίπτωση όπου ga > fb. 66

67 . 67

68 Βιβλιογραφία [Π. ΚΙΚΙΛΙΑΣ Μ. ΛΑΜΠΙΡΗΣ Α. ΠΕΤΡΑΚΗΣ, 001] Π Κικίλιας Μ. Λαμπίρης Α. Πετράκης, Αριθμητική Ανάλυση, Δηρός, Αθήνα, 001 [Γ. Ακρίβης Β. Δουγαλής] Γεώργιος Ακρίβης, Βασίλειος ουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1998 [Κ. Κόκοτας,005] [documents.wolfram.com/mathematica/] [en.wikipedia.org/wiki/lotka-volterra_equation] [ [ 68