γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx

Transcript

1 ΘΕΜΑ A Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 5 Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν f, g συναρτήσεις παραγωγίσιμες σε διάστημα Δ με f () g () για κάθε τότε ισχύει πάντα f () g() για κάθε Σ Λ β) Αν f μη σταθερή συνάρτηση, συνεχής στο[α, β] και f ()d, τότε α = β. γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f ()d f ()d f ()d Σ Λ δ) Αν F,F είναι δύο παράγουσες μιας συνάρτησης f, τότε αυτές διαφέρουν κατά μια σταθερά c Σ Λ Μονάδες ΘΕΜΑ Β 6 Δίνεται συνάρτηση f : R R με τύπο f () Β. α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία της στο πεδίο ορισμού της β. Να βρείτε τα σύνολο τιμών της συνάρτησης f Μονάδες (5+5) Σ Λ Β. Αν f :[, ) R με f( ) e () και η κλίση της f στο f( ) Α(, f()) είναι, να βρείτε την f. - -

2 Μονάδες 5 Β3. α. Βρείτε παράγουσες της συνάρτησης f () e 3 β. Βρείτε το I d 3 ( )( ) Μονάδες (5+5) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει : f ( y) f () f (y) για κάθε,y R () f e f () e για κάθε R lim f (3) Γ. Να δείξετε ότι Γ. Να δείξετε ότι f () και f f () για κάθε R f ln e για κάθε Γ3. Να δείξετε ότι f γνησίως αύξουσα στο [, ) Γ4. Να δείξετε ότι f συνεχής στο Γ5. Να δείξετε ότι f συνεχής στο [, ) Γ6. Αν f e f ln e e e, να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α. Μονάδες 5( ) ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[,+ ) R, η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (, + )και ικανοποιεί τις σχέσεις: 4f () f 3 () = για κάθε (,+ ) () f () για κάθε (,+ ) () f () = f () = (3) Δ. Να αποδείξετε ότι f () για κάθε (, + ) Μονάδες 3 - -

3 Δ. Να αποδείξετε ότι f f για κάθε (, + ) Δ3. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Δ4. Αν f,, τότε: Μονάδες 4 Μονάδες 3 α) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Μ(α, f (α)), με α > και τον άξονα. Μονάδες 7 β) Αν ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της f έτσι, ώστε να απομακρύνεται από τον άξονα y y με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του χωρίου Ω τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του είναι ίση με 4 μονάδες. Μονάδες 4 γ) Να βρείτε λ ( α, α) τέτοιο, ώστε η ευθεία με εξίσωση = λ να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Μονάδες 4-3 -

4 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Λ Λ Λ - Σ ΘΕΜΑ Β Β. α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία της στο πεδίο ορισμού της 6 6 6( ) 6 f (), Άρα f γνησίως αύξουσα στο(, ], f γνησίως φθίνουσα στο [-,] και f γνησίως αύξουσα στο[, ) β. f συνεχής στο R f (, ] lim f (),f ( ) (,6] f [,] f (),f ( ) [,6] f, f (), lim f () [,) Άρα Β. f (R) f (, ] f [,] f, [,6] - 4 -

5 Αφού η κλίση της f στο Α(, f()) είναι, τότε f () f ( ) f ( ) Για = στην () έχουμε f( ) e e f ( ) Από () : f ( ) f ( ) f f e e ( ) ( ) ln e ln c f () Για = : e ln c e c c. f( ) Άρα ln ( ) ln ln Β3. α. e f e e e e f () e e e f () R e Άρα οι παράγουσες της συνάρτησης f είναι β. F() c, R e I d d d ( )( ) ( )( ) ( )( ) d d () ( )( ) ( ) 3 A B A A B B ( ) ( ) ( ) A A A A B B A B B B - 5 -

6 Από () έχουμε I d d ln ln( ) ( ) ln ln ln 4 ln ln ln 3 3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Για = y = στην() έχουμε f ( ) f () f () f () Για y = - στην() έχουμε : f ( ) f () f ( ) f () f () f ( ) f () f ( ) f ( ) f () R Γ. Θέτουμε στην () όπου το ln με > ln f (ln ) f (ln ) f e e f () e Γ3. f e Έστω, [, ) με Από Γ : f ln (4) για κάθε (4) () f f f ( ) f f f f Άρα f /[, ) Γ4. Αρκεί να δείξουμε ότι Από () limf () f () f () lim f e lim e (5) - 6 -

7 έ u e lim f e ό limf (u) (6) ό u έ u f () f () u lim e ό lim e (7) u * ό u έ u lim f () lim f ( ) ό lim f (u) u ό u u * (3) Από f () (6),(7) (5): lim f e lim e limf (u) f () u Άρα f συνεχής στο. ος τρόπος Από Γ. : έ u ln έ t f (u) f ln f (u) lim f () lim e ό lim e ό u u * ό u ό t t lim e lim f () (8) t έ y u * lim f (u) lim f ( u) ό u lim f (y) (3) u u y ό y έ u lim f () lim f ( ) ό lim f (u) (8) (9) u ό u Από (8), (9) limf () f (), άρα f συνεχής στο. Γ

8 Έστω [, ) τότε έ u () lim f () ό lim f (u ) lim f (u) f ( ) u u ό u f () f ( ) f ( ) Άρα f συνεχής στο, άρα f συνεχής στο [, ) Γ6. f ln e () ln e () e fe f (e) f e e f e e f e e e () f /[, ) e f e f e e e e ΘΕΜΑ Δ Δ. Έστω ότι υπάρχει (, + ) τέτοιο ώστε f( )=. Από () για = 3 έχουμε: 4 f f ΑΤΟΠΟ, άρα f () για κάθε (, + ) Δ. Από () έχουμε: 3 4 f f 4 f f ( ) f ( ) 3 f ( ) f ( ) f ( ) (, ) Άρα f ( ) f ( ) c f ( ) c (, ) f ( ) Για =: ( 3 ) f () c c c f () Άρα f ( ) f ( ) f ( ) (, ) f ( ) - 8 -

9 Δ3. Από Δ, f () για κάθε (, + ) και f συνεχής άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο και αφού f()=> άρα f()> για κάθε (, + ). Ομοίως από () f () διατηρεί σταθερό πρόσημο αφού είναι συνεχής ως παρ/μη και αφού f ()=> άρα f ()> για κάθε (, + ). Από Δ : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) c (, ) Για =: f () c c Άρα f ( ) f ( ) f ( ) (, ) Η f είναι συνεχής στο, άρα f ( ) lim f ( ) lim Άρα f ( ) [, ) Δ4. α) Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση : α ( ε ): y f ( α ) f ( a )( α ) ( ε ): y a Έστω Ε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Μ(α, f (α)), με α > και τον άξονα Ισχύει - 9 -

10 α α Ε( Ω ) ( ΑΒΜ ) f ( )d ( AB )( AM ) d α ( a ) a a a a a a a τ.μ. Ε(t ) a(t ) a(t ) a(t ) 3 3 β) Από Δ4α : 3 3 Ε (t ) a(t ) a(t ) a (t ) a(t ) a (t ) 3 3 Άρα 3 Για t = t : Ε (t ) a(t ) a (t ) 4 ( μοναδες ) / sec γ) Η εφαπτομένη ε τέμνει τον yy στο Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΔΒ είναι α Δ, α α α α α Ε (ΟΒΔ) (ΟB )(ΟΔ) α Ε( Ω ) 4 6 Άρα η κατακόρυφη ευθεία που χωρίζει το Ω σε δυο ισεμβαδικά χωρία έχει εξίσωση (ζ):=λ με λ є (-α, ). Η ζ τέμνει την ε στο α λ Ζ λ, α Το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖΒ είναι λ α ( λ α ) Ε ( ΕΖΒ ) ( ΕB )( ΕΖ ) λ α α α - -

11 Πρέπει : ( λ α ) α α 6 3 Ε Ε( Ω ) ( λ α ) α λ α α