Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου

Transcript

1 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Πως ξεπερνάμε το πρόβλημα της αδυναμίας βαθμού των κανονικών εξισώσεων δικτύου ; με τη χρήση κατάλληλης εξωτερικής πληροφορίας (υπό μορφή ψευδο-παρατηρήσεων ή δεσμεύσεων). Η πληροφορία αυτή χρειάζεται για τον καθορισμό του ΣΑ ως προς το οποίο θα υπολογιστούν τελικά οι συνορθωμένες συντεταγμένες του δικτύου.

3 Εισαγωγή εξωτερικής πληροφορίας Εξισώσεις παρατηρήσεων & ψευδο-παρατηρήσεων b δ v 2 1 v ~ ( 0, P ) c Hδ v v ~ ( 0, C v ) Διευρυμένο σύστημα κανονικών εξισώσεων (βλέπε παράρτημα στο τέλος της παρουσίασης) ( NH WH) δˆ u H Wc (*) αν το διάνυσμα c περιέχει ικανή πληροφορία για τον ορισμό του ΣΑ του δικτύου, τότε ο πίνακας N+H WH θα είναι αντιστρέψιμος.

4 Εισαγωγή εξωτερικής πληροφορίας Εξισώσεις παρατηρήσεων Ο αριθμός & των ψευδο-παρατηρήσεων θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσος 1 με την αδυναμία βαθμού του δικτύου b δ v c Hδ v 2 v ~ ( 0, P ) Διευρυμένο σύστημα κανονικών εξισώσεων (βλέπε παράρτημα στο τέλος της παρουσίασης) ( NH WH) δˆ u H Wc (*) αν το διάνυσμα c περιέχει ικανή πληροφορία για τον ορισμό του ΣΑ του δικτύου, τότε ο πίνακας N+H WH θα είναι αντιστρέψιμος.

5 Εισαγωγή εξωτερικής πληροφορίας Εξισώσεις παρατηρήσεων & ψευδο-παρατηρήσεων b δ v 2 1 v ~ ( 0, P ) c Hδ v v ~ ( 0, C v ) Διευρυμένο σύστημα κανονικών εξισώσεων (βλέπε παράρτημα στο τέλος της παρουσίασης) ( NH WH) δˆ u H Wc Ο πίνακας βάρους W των ψευδο-παρατηρήσεων για τον ορισμό του ΣΑ μπορεί να αποτελεί αυθαίρετη επιλογή χρήστη χωρίς να σχετίζεται κατ ανάγκη με την πραγματική τους ακρίβεια!

6 W W 0 0 W Λίγη ορολογία Απόλυτες δεσμεύσεις (fied cnstraints, abslute cnstraints, tight cnstraints, hard cnstraints) Χαλαρές δεσμεύσεις (lse r sft cnstraints) Δεσμεύσεις με βάρη (weighted cnstraints)

7 Σημείωση Στα παρακάτω βιβλία που δίνονται στο μάθημα: Ρωσσικόπουλος Δ. (1999) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (2η έκδοση). Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Δερμάνης Α., Ρωσσικόπουλος Δ., Φωτίου Α. (1995) Τοπογραφικοί Υπολογισμοί και Συνορθώσεις Δικτύων (ανάλυση προγραμμάτων και παραδείγματα). Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. το πρόβλημα της συνόρθωσης δικτύου μελετάται μόνο από την σκοπιά των απόλυτων δεσμεύσεων.

8 Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Διευρυμένο σύστημα κανονικών εξισώσεων ( NH WH) δˆ u H Wc Λύση διευρυμένων κανονικών εξισώσεων 1 ˆ ( ) ( ) δ N H WH u H Wc Προσοχή: η παραπάνω λύση δεν αποτελεί αναγκαστικά λύση των αρχικών κανονικών εξισώσεων. Nδˆ u

9 Τι είδους εξωτερική πληροφορία χρησιμοποιείται συνήθως ; Γενικά, το σύστημα των ψευδο-παρατηρήσεων chδv μπορεί να περιέχει τα εξής: γνωστές τιμές συντεταγμένων για μεμονωμένους σταθμούς αναφοράς του δικτύου άλλα βοηθητικά μεγέθη που μπορούν να ορίσουν το ΣΑ του δικτύου, π.χ. αζιμούθιο πλευράς/ών του δικτύου (για τον προσανατολισμό του ΣΑ) θέση του κέντρου βάρους του δικτύου (για την αρχή του ΣΑ) παραμέτρους μετασχηματισμού ως προς κάποιο υπάρχον ΣΑ (βλέπε εσωτερικές δεσμεύσεις)

10 Παράδειγμα Ψευδο-παρατηρήσεις για την περίπτωση γνωστών συντ/νων σε δύο σταθμούς αναφοράς 2Δ δικτύου. v i i i v i i i v j j j v j j j ή, ισοδύναμα v i i i i v i i i i v j j j j v j j j j

11 Παράδειγμα Συντεταγμένες σταθμών αναφοράς που συμμετέχουν στον ορισμό του ΣΑ B B B B C B B C Β Β N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v H v δ c

12 Παράδειγμα B B B B C B B C Β Β N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v H v δ c Συχνά (αλλά όχι πάντα) έχουμε c = 0

13 Εποπτική αντίληψη Β Α Β Α ˆf ˆ ( δ ) Θέσεις των Α και Β όπως καθορίζονται από τις γνωστές συντεταγμένες τους στο σύστημα ψευδο-παρατηρήσεων ( NH WH) δˆ uh Wc

14 Εποπτική αντίληψη Β Α Β Α ˆf ˆ ( δ ) Ο πίνακας βάρους W καθορίζει αν το δίκτυο θα κλειδώσει με απόλυτο τρόπο στις γνωστές θέσεις των Α & Β. ( NH WH) δˆ uh Wc

15 Τι άλλου είδους εξωτερική πληροφορία μπορούμε να χρησιμοποιήσούμε ; Σε περιπτώσεις ανεξάρτητων δικτύων το σύστημα εξισώσεων ψευδο-παρατηρήσεων: c Hδ v μπορεί να περιλαμβάνει αυθαίρετες δεσμεύσεις για ορισμένες κορυφές του δικτύου. π.χ i i j j i

16 Τι άλλου είδους εξωτερική πληροφορία μπορούμε να χρησιμοποιήσούμε ; Σε περιπτώσεις ανεξάρτητων δικτύων το σύστημα εξισώσεων ψευδο-παρατηρήσεων: c Hδ v μπορεί να περιλαμβάνει αυθαίρετες δεσμεύσεις για ορισμένες κορυφές/πλευρές του δικτύου. π.χ. j 0 0 i i a ij 0 i

17 Βαθμοί ελευθερίας συνόρθωσης Εκφράζουν τον πλεονασμό πληροφορίας για τη βέλτιστη εκτίμηση των συντεταγμένων στις κορυφές του δικτύου (καθώς και των πρόσθετων παραμέτρων που εμπλέκονται στη συνόρθωση του, π.χ. σταθερές προσανατολισμού). f = n m' + k n: αριθμός παρατηρήσεων πεδίου m': συνολικός αριθμός παραμέτρων (π.χ. 2Ν+d) k: αριθμός ψευδο-παρατηρήσεων/δεσμεύσεων

18 Να θυμάστε ότι Λύσεις ελεύθερου δικτύου Απειρία λύσεων. Αντιστοιχούν στο δίκτυο που προσαρμόζεται βέλτιστα στις διαθέσιμες παρατηρήσεις. Γενική λύση συνόρθωσης Μοναδικότητα λύσης. ˆ Nδ ( NH WH) δˆ uh Wc Αντιστοιχεί στο δίκτυο που προσαρμόζεται βέλτιστα στις παρατηρήσεις και στις ψευδο-παρατηρήσεις του ΣΑ. Η γεωμετρική μορφή της λύσης δεν ταυτίζεται απαραίτητα με αυτή του ελεύθερου δικτύου ( παραμόρφωση δικτύου ). u

19 Παράδειγμα πιθανής παραμόρφωσης 3 Χρήση ψευδοπαρατηρήσεων 3 2 Μορφή ελεύθερου δικτύου ˆf ˆ ( δ ) Θέσεις σταθμών αναφοράς όπως καθορίζονται από τις γνωστές συντεταγμένες τους στο σύστημα ψευδο-παρατηρήσεων ˆ Nδ u

20 Παράδειγμα πιθανής παραμόρφωσης 3 Πίνακας βάρους W 3 2 Μορφή ελεύθερου δικτύου ˆf ˆ ( δ ) Παραμορφωμένο συνορθωμένο δίκτυο 1 ˆ ( ) ( ) δ N H WH u H Wc ˆ Nδ u

21 Παράδειγμα πιθανής παραμόρφωσης 3 Πίνακας βάρους W < 3 2 Μορφή ελεύθερου δικτύου ˆf ˆ ( δ ) Μη-παραμορφωμένο συνορθωμένο δίκτυο 1 ˆ ( ) ( ) δ N H WH u H Wc ˆ Nδ u

22 Να θυμάστε ότι.. Οι εκτιμήσεις των συντεταγμένων που προκύπτουν από την συνόρθωση ενός δικτύου: 1 ˆ ( ) ( ) δ N H WH u H Wc ˆ δˆ επηρεάζονται πάντα από τον τρόπο ορισμού του συστήματος αναφοράς, δηλαδή από: τον τύπο και αριθμό των ψευδο-παρατηρήσεων την επιλογή του πίνακα βάρους τους

23 Σημαντικό σχόλιο (1) Όταν ο πίνακας βάρους των ψευδο-παρατηρήσεων έχει πολύ μεγάλες τιμές (W ) τότε έχουμε τις λεγόμενες απόλυτες δεσμεύσεις για τον ορισμό του ΣΑ: c Hδ Σε αυτές τις περιπτώσεις το συνορθωμένο δίκτυο εξαναγκάζεται να ικανοποιεί πλήρως την εξωτερική πληροφορία για το ΣΑ, ανεξάρτητα της πραγματικής ακρίβειας των ψευδο-παρατηρήσεων c.

24 Σημαντικό σχόλιο (2) Όταν χρησιμοποιείται η ελάχιστη πληροφορία για τον ορισμό του ΣΑ (δηλαδή όταν ο αριθμός των ψευδοπαρατηρήσεων είναι ίσος με την αδυναμία βαθμού) τότε η λύση συνόρθωσης του δικτύου: - δεν εξαρτάται από τον πίνακα βάρους W. - θα ικανοποιεί πλήρως τις ψευδο-παρατηρήσεις (c=h δ).

25 Σημαντικό σχόλιο (3) Όταν το διάνυσμα c στο σύστημα των εξισώσεων ψευδο-παρατηρήσεων λαμβάνεται ίσο με μηδέν: 0 Hδ v ( NH WH) δˆ u τότε ο ορισμός του ΣΑ για το συνορθωμένο δίκτυο βασίζεται στις τιμές των προσεγγιστικών συντεταγμένων ( ) που έχουν επιλεγεί για τις κορυφές του δικτύου.

26 ΑΝΑΤΟΜΙΑ ΛΥΣΗΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΔΙΚΤΥΟΥ k: αριθμός ψευδο-παρατηρήσεων, r: αδυναμία βαθμού c Hδ v k1 km m1 k1 k = r ελάχιστες δεσμεύσεις k > r πλεονάζουσες δεσμεύσεις Πίνακας βάρους δεσμεύσεων (W) ˆ δεν επηρεάζει τη λύση ( ) επηρεάζει τη λύση ( ) ˆ Παραμόρφωση λύσης επηρεάζεται η γεωμετρία του συνορθωμένου δικτύου από τις δεσμεύσεις ; ΟΧΙ ΜΠΟΡΕΙ (*) εξαρτάται από τον πίνακα βάρους W και την ακρίβεια των ψευδο-παρατηρήσεων σε σχέση με την ακρίβεια των μετρήσεων του δικτύου

27 ΑΝΑΤΟΜΙΑ ΛΥΣΗΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΔΙΚΤΥΟΥ k: αριθμός ψευδο-παρατηρήσεων, r: αδυναμία βαθμού c Hδ v k1 km m1 k1 k = r ελάχιστες δεσμεύσεις k > r πλεονάζουσες δεσμεύσεις Πραγματική ακρίβεια ψευδο-παρατηρήσεων Ιδιότητες λύσης επηρεάζει τη θέση ή/και τον προσανατολισμό του δικτύου ως προς το σύστημα αναφοράς Nδˆ u ˆ Hδ c ομοίως με τις ελάχιστες δεσμεύσεις, αλλά επηρεάζει επίσης και τη γεωμετρική μορφή του δικτύου Nδˆ u ˆ Hδ c εξαρτάται από τον πίνακα W και την ακρίβεια του c

28 Παράρτημα

29 Συνδυασμός μετρήσεων δικτύου & εξωτερικής πληροφορίας Δημιουργία κανονικών εξισώσεων μέσω της επεξεργασίας των μετρήσεων πεδίου b δ v ή b δ Bδq v ˆ Nδ u Δημιουργία κανονικών εξισώσεων μέσω της επεξεργασίας των ψευδο-παρατηρήσεων c Hδ v H WHδˆ H Wc

30 Θεώρημα άθροισης κανονικών εξισώσεων (*) Οι μετρήσεις πεδίου & οι ψευδο-παρατηρήσεις για τον ορισμό του ΣΑ θεωρούνται ασυσχέτιστες μεταξύ τους. Τότε το συνολικό σύστημα κανονικών εξισώσεων για τη συνόρθωση του δικτύου προκύπτει από την άθροιση των επιμέρους κανονικών εξισώσεων, δηλαδή: ( NH WH) δˆ u H Wc (*) βλέπε Δερμάνης Α. (1987) Συνορθώσεις παρατηρήσεων και θεωρία εκτίμησης (τόμος 2), Εκδόσεις Ζήτη, κεφ. 8.1, σελ. 35.