ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). β). AΟ Ο. β).

Transcript

1 Σελίδ 1 η ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 Στο διπλνό σχήμ το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είνι ρόμβος Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) ) AB = Γ γ) ΟΒ = Ο β) AΟ Ο δ) (AB, ΑΓ ) = (A, ΑΓ) Β Α Ο Δ 2 Δίνετι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ κι ΑΔ το ύψος του Ν βρείτε τις γωνίες : ) ( ΑΒ, ΓΑ) β) (B Α, ΒΓ ) Γ γ) ( ΒΓ, Α) δ) ( ΒΑ, Α ) 3 Δίνετι ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) κι έστω ΒΕ κι ΓΔ τ ύψη του Φέρουμε τ δινύσμτ ΕΗ = B Ακι Ζ = AΓ Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΗΖ είνι ισοσκελές 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ γράφουμε τ δινύσμτ Γ = B Ακι B Ε = A Γ Ν ποδείξετε ότι το Γ είνι το μέσο του ΔΕ 5 Θεωρούμε το πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ κι στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ,ΓΔ τ τμήμτ ΒΕ = ΔΖ Ν χρκτηρίσετε τους πρκάτω ισχυρισμούς με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) ) BΕ = Ζ β) Ζ AΕ γ) A BΓ δ) Γ = BΑ ε) AB = Γ στ) Ε A = ΓΖ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 6 Πάνω στις πλευρές ΑΒ κι ΒΓ πρλληλογράμμου ΑΒΓΔ πίρνουμε τ σημεί Μ κι Ν ντίστοιχ κι γράφουμε τ δινύσμτ ΓΕ = A Μκι A Ζ = ΓΝ Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΕΝ είνι πρλληλόγρμμο Ζ Α Δ Β Ε Γ

2 Σελίδ 2 η Β ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Α ΟΜΑΔΑ 1) Έστω τ σημεί Α,Β,Γ,Δ,Ε Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: i) AΒ + ΒΓ = ii) ΒΓ + = Β ii) AΒ ΓΒ = iii) ΒΑ + ΑΓ + ΓΒ = iv) AΒ Α = v) AΓ + Γ + BΑ Β = 2) Στο διπλνό σχήμ το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είνι πρλληλόγρμμο Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: i) AΒ + Α = ii) AΒ Α = Α iii) AΒ + Γ = iv) Ο A + ΟΓ = Ο v) Ο + = Γ vi) A Β = Β Δ Γ Β 3) Δίνετι το κνονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ Αν είνι A Ζ= κι AB =β, ν εκφράσετε τις άλλες πλευρές του εξγώνου συνρτήσει των κι β 4) Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ Ν ποδείξετε ότι AB + Γ= AΓ+ B 5) Έστω τ σημεί Α,Β,Γ κι Κ,Λ,Μ Ν ποδείξετε ότι: AΚ + BΛ + ΓΜ = BΚ + AΜ + ΓΛ 6) Έστω τ σημεί Α,Β,Γ,Δ,Ε Ν ποδείξετε ότι: AΕ Γ = BΓ+ Ε BΑ 7) Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ κι Μ μέσο του ΑΒ Ν ποδείξετε ότι: ΜΓ + Μ = AΓ B 8) Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ κι Μ μέσο του ΑΓ Ν ποδείξετε ότι: ΜΒ + Μ = AΒ Γ 9) Αν ισχύει η σχέση AB + ΓΑ = ΚΒ + ΓΛ, ν ποδείξετε ότι τ σημεί Κ κι Λ συμπίπτουν 10) Δίνετι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ κι το σημείο Ο γι το οποίο ισχύει: ΑΓ + ΒΟ = Β Γ Ν ποδείξετε ότι τ σημεί Ο κι Α συμπίπτουν 11) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ Ν βρεθεί σημείο Μ, τέτοιο ώστε AΒ + ΑΓ + ΑΜ = 0

3 Σελίδ 3 η 12) Αν ΑΒΓΔ πρλληλόγρμμο, ν βρεθεί σημείο Μ, τέτοιο ώστε: i) Μ A + ΜΒ + ΜΓ = Μ ii) AΓ + Β = ΑΒ + ΜΒ 13) Έστω τ σημεί Α,Β,Γ,Δ,Ε γι τ οποί ισχύει η σχέση A +Ε B Γ = 0 Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είνι πρλληλόγρμμο Β ΟΜΑΔΑ 1) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι τυχίο σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ Ορίζουμε το σημείο Μ πό τη σχέση ΡΜ = AΡ + Ρ B+ ΡΓ Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είνι πρλληλόγρμμο 2) Στο διπλνό σχήμ το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είνι πρλληλόγρμμο κι ΓΕ Β Ν σημειώσετε ποιες πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστές (Σ) κι ποιες λάθος (Λ) i) AΓ + Β = A + BΓ ii) AΒ + BΓ + Γ = Α B+ ΓΕ iii) A ΕΓ = BΑ iv) AΓ+ B +ΓΒ= B+ΓΕ+ΒΓ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Α Β Δ Γ Ε 3) Αν ισχύει η σχέση ΒΓ = ΒΛ + ΚΛ ΓΒ, ν ποδείξετε ότι το Λ είνι το μέσο του ΒΚ 4) Δίνοντι τ σημεί Α,Β κι Γ Ορίζουμε τ σημεί Δ κι Ε πό τις σχέσεις : Γ + AB = 0 κι ΓΕ B+ Α 0= Ν ποδείξετε ότι το Γ είνι το μέσο του ΔΕ 5) Ν ποδείξετε ότι: i) +β+γ +β + γ κι ii) β β 3 1 6) Αν είνι =, β κι = +β 1, 4 4 ομόρροπ ν ποδείξετε ότι τ κι β είνι 7) Δίνετι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ Ν βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου γι τ οποί ισχύει: Μ + BΓ = ΜA 8) Δίνετι ισοσκελές τρπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ΓΔ) Από το Δ η πράλληλος προς τη ΓΒ τέμνει την ΑΒ στο Ε Ν βρείτε σημείο Μ, τέτοιο ώστε: Μ A + ΜΒ + Μ = ΜΕ + ΜΓ

4 Σελίδ 4 η Γ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Α ΟΜΑΔΑ 1) Ν εκφράσετε ως συνάρτηση των AB κι AΓ τις πρστάσεις: 1 i) 2 AB - 3 AΓ + BΓ = ii) BΑ +3 Γ A -2 BΓ = iii) 2 5 ( AB -5 BΓ )+ ΓA = iv) 2( Μ A - AΓ )+ ΜB 3ΜΓ = 2) Έστω κι β τ δινύσμτ θέσεως δύο σημείων Α κι Β ως προς σημείο Ο Ν βρείτε το διάνυσμ θέσεως γ του σημείου Γ ότν: i) AΓ =2 ΓB 3 ii) AΓ = Γ B iii) 5 AΓ =-3 BΓ 2 Στη περίπτωση (iii) ποι είνι η θέση του Γ ως προς τ σημεί Α κι Β; Ν σχεδιάσετε το ποτέλεσμ 3) Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες: i) AB + BΓ= iv) AB + AΓ = ii) AB - AΓ = v) AB - ΓB = iii) AB - BΓ = vi) BΑ + ΓA = 4) Στο διπλνό σχήμ είνι (ΒΔ)=(ΔΕ)=(ΕΓ)Ν 1 1 ποδείξετε ότι χ= (2 +β κι ) ψ= ( 2 + ) β Στη 3 3 συνέχει ν συμπληρώσετε τις ισότητες: i) το χ+ψ είνι ομόρροπο με το διάνυσμ ii) χ ψ = 5) Β χ Α Δ ψ Ε β Γ 6) Ν βρείτε σημείο Ρ στο επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ, τέτοιο ώστε : i) AΡ+ 5BΡ 2ΓΡ= 0 ii) AB + AΓ+ AΡ= 0 iii) 5AΡ+ 3BΡ ΓΡ= 0 Σε κάθε περίπτωση ν κάνετε το δινυσμτικό διάγρμμ 8) Δίνετι πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ Ν προσδιοριστεί σημείο Ρ τέτοιο ώστε ν ισχύει Ρ A +Ρ B +ΡΓ+Ρ = 0

5 Σελίδ 5 η 9) Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ Ν προσδιοριστεί σημείο Μ τέτοιο ώστε ν ισχύει η σχέση: AΓ + BΜ = B Γ 10) Έν σώμ Σ ισορροπεί ότν σ υτό ενεργούν τρεις δυνάμεις F,F 1 2κι F 3 με μέτρ 30Ν, 40Ν κι 50Ν ντίστοιχ Ν βρεθεί η γωνί των F 1κι F 2 11) Ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λνθσμένη) σε κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις vii) Αν =-2β, τότε l l=-2lβ l Σ Λ ii)αν μη μηδενικό διάνυσμ, τότε το - 1 Σ Λ έχει μέτρο -1 iii) Αν Σ Λ μη μηδενικό διάνυσμ, τότε το έχει ντίθετη φορά πό το - 1 iv) Αν (ΑΒ)=2(ΒΓ), τότε AB = 2BΓ Σ Λ 1 Σ Λ v) Αν AB = AΓ, τότε το Γ βρίσκετι μετξύ των Α κι Β 2 vi) Ισχύει 2AB + 3BΓ= 5AΓ Σ Λ vii) Ο β δεν είνι γρμμικός συνδυσμός των κι β Σ Λ 12) Δίνοντι τ τμήμτ ΑΒ,ΓΔ κι τ μέσ τους Κ,Λ ντιστοίχως Τότε ν δειχθεί ότι ισχύουν οι σχέσεις: A Γ+ B A B ΚΛ = κι ΚΛ = + Γ (ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ) ) Δίνετι πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ κι τ σημεί Ε,Ζ,Η,Θ των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ ντίστοιχ, ώστε ν είνι A Ε κι = ΗΓ A ΖΓ = Θ Ν ποδειχθεί ότι τ τμήμτ ΕΗ, ΖΘ έχουν κοινό μέσο 14) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι Κ,Λ,Μ τ μέσ των πλευρών του Ν δειχθεί ότι: Ρ A+ Ρ B+ ΡΓ = ΡΚ + ΡΛ + ΡΜ, όπου Ρ τυχίο σημείο του επιπέδου 15) Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ κι τ μέσ Κ,Λ των διγωνίων ΑΓ,ΒΔ ντίστοιχ Ν δειχθεί ότι: AB + A +Γ B +Γ = 4 ΚΛ 16) Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ κι το μέσο Μ της διγωνίου του ΑΓ Ν δειχθεί ότι: Μ B +Μ = AB Γ

6 Σελίδ 6 η 17) ) Έστω το διάνυσμ v = κο A+ λο B+ µογ με κ+λ+μ=0 Ν δειχθεί ότι το v είνι νεξάρτητο του σημείου Ο( ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ) β) Αν ισχύει κο A+ λο B+ µογ = 0 με κ+λ+μ=0 κι κ+λ+µ 0 ν δειχθεί ότι τ σημεί Α,Β,Γ είνι ομοευθεικά ( ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ) 18) Ν ποδείξετε ότι τ σημεί Α,Β,Γ είνι συνευθεικά ν: i) ii) iii) 9ΟA 7ΟB 2ΟΓ= 0 12Ο A + 8BΟ + 4ΓΟ = 0 3AΚ 2ΛΓ+Λ A = 3BΚ ΛA 19) Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ Ν δείξετε ότι το διάνυσμ u = 2Μ A+ 3ΜB ΜΓ 4Μ είνι στθερό, δηλδή νεξάρτητο του σημείου Μ 20) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι διάμεσός του ΓΔ με Γ =3 Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ώστε: 3 ΜΒ AB = Μ A + ΜB 2ΜΓ 21) Αν γι τ σημεί Α,Β,Κ,Λ,Μ ισχύει η σχέση: AΚ+ 3BΚ 2Β A = BΛ+ 3AΜ, ν δειχθεί ότι τ σημεί Κ,Λ,Μ είνι ομοευθεικά 22) Αν γι τ σημεί Α,Β,Κ,Λ,Μ ισχύει η σχέση: 2AΜ + 5BΜ ΒΚ = 2ΑΚ + 4ΒΛ, ν δειχθεί ότι τ σημεί Κ,Λ,Μ είνι ομοευθεικά 23) Αν κ + λβ = 0 με β τότε ισχύει κ=0 κι λ=0 κι ντίστροφ ( ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ) 24) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΑΜ διάμεσός του Αν ισχύει καβ + λαγ = 3BΓ + 2ΑΜ, ν βρείτε τ κ,λ 25) Δίνετι πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ Ν προσδιοριστούν οι χ,ψ R γι ν ισχύει η σχέση ΑΒ + 3Α = χαγ + ψβ 26) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΑΜ διάμεσός του Αν γι το σημείο Δ ισχύει 1 A = AΓ, ν υπολογιστούν οι χ,ψ R γι ν ισχύει η σχέση 3 (2 χ+ψ)aμ+χb + ( χ+ 3) Μ+ψBΓ= 4ΑΒ+ 2ΑΓ 27) Αν Β Γ κι ισχύει η ισότητ 2A + 3BΓ= 0, ν βρείτε το χ ώστε ν ισχύει AB + Γ = χb Γ

7 Σελίδ 7 η 28) Αν τ σημεί Α,Β,Γ,Δ είνι διφορετικά νά δύο κι ισχύει A = 3BΓ, ν βρείτε το χ ώστε ν ισχύει A Γ+χΒ = ( χ 1) Γ 29) Έστω τ σημεί Α,Β,Γ,Μ κι Ν ενός επιπέδου, όπου Μ,Ν είνι διφορετικά Ν 2 2 βρεθεί ο χ R ώστε ν ισχύει: χ Μ A+ χμb 2ΜΓ = χ ΝΑ + χνβ 2 ΝΓ ) Ν ποδείξετε ότι τ δινύσμτ v= κι 2 β+ u γ = β+γ είνι συγγρμμικά ( ΒΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΥΟ ΤΡΟΠΟΙ) 31) Αν οι δινυσμτικές κτίνες των σημείων Α,Β,Γ ως προς σημείο Ο είνι ντίστοιχ +β, 2 +3β, 5 +9β, ν ποδείξετε ότι τ σημεί Α,Β,Γ είνι ομοευθεικά 32) Αν οι δινυσμτικές κτίνες των σημείων Α,Β,Γ ως προς σημείο Ο είνι ντίστοιχ +β + γ, 2 +3β +4 γ, 4 +7β +10 γ, ν ποδείξετε ότι τ σημεί Α,Β,Γ είνι ομοευθεικά 33) Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο στο πρκάτω σχήμ είνι τρπέζιο Α β +2β Β Δ Γ Β ΟΜΑΔΑ 1) Αν γι τ δινύσμτ,β, γ ισχύουν οι σχέσεις +β + γ = 0 κι 3l l=4lβ l=12l γ l, τότε τ,β, γ έχουν την ίδι διεύθυνση 2) Δίνετι το διάνυσμ με l l=2 Ν υπολογισθούν συνρτήσει του, τ δινύσμτ v κι u γι τ οποί ισχύουν οι σχέσεις u, l v l=8 κι v + u = 3) Αν γι τ δινύσμτ,β, γ ισχύουν οι σχέσεις +β + γ = 0 κι 3l l=lβ l κι l γ l=4l l τότε: i) Ν ποδειχθεί ότι τ,β, γ έχουν την ίδι διεύθυνση

8 Σελίδ 8 η ii) Ν υπολογιστούν, συνρτήσει του, τ δινύσμτ β, γ 4) Αν γι τ δινύσμτ,β, γ ισχύουν οι σχέσεις 2 +β +4 γ = 0 κι l γ l=1, ν ποδειχθεί ότι l l+ lβ l 2 5) Γι τ δινύσμτ υα, υβ, υγ των τχυτήτων τριών σωμτιδίων Α,Β,Γ ντίστοιχ, που κινούντι στο επίπεδο, ισχύουν οι σχέσεις: υ Α +υβ υ Γ = 0, υ Α = υ Β = υγ Ν ποδείξετε ότι τ σωμτίδι Β κι Γ κινούντι προς 3 7 ντίθετες κτευθύνσεις 6) Δίνετι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ κι τ δινύσμτ 1 1 A = AB, AΕ= A Γ, BΖ= BΓ 3 5 i) Ν εκφράσετε τ Ζ κι Ε ως γρμμικό συνδυσμό των AB = κι A Γ=β ii) Ν δειχθεί ότι τ σημεί Ζ,Δ,Ε είνι ομοευθεικά 7) Δίνετι πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ κι,β, γ οι δινυσμτικές κτίνες των σημείων Α,Β,Γ ως προς σημείο Ο ντίστοιχ Αν Ε μέσο του ΑΔ κι γι το σημείο Ζ ισχύει 2AΖ = ΖΓ τότε: i) Ν βρείτε τ δινύσμτ θέσης των σημείων Δ,Ε,Ζ ii) Ν δειχθεί ότι τ σημεί Ζ,Β,Ε είνι ομοευθεικά 8) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΑΜ διάμεσός του Πάνω στ τμήμτ ΑΒ, ΑΜ, ΑΓ πίρνουμε τ σημεί Δ,Ε,Ζ ντίστοιχ ώστε: ΑΔ = 1 2 ΑΒ, ΑΕ = 1 3 ΑΜ, ΑΖ = 1 4 ΑΓ i) Αν AB = κι A Γ=β, ν εκφράσετε συνρτήσει των,β τ δινύσμτ Ε κι Ζ ii) Ν δειχθεί ότι τ σημεί Ζ,Δ,Ε είνι ομοευθεικά 9) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι το μέσον Ζ της διμέσου του ΑΜ Αν 3 AB = κι A Γ=β, κι γι τ σημεί Δ,Ε ισχύει: A = 3 B, A Ε = ΕΓ 5 i) Ν εκφράσετε συνρτήσει των,β τ δινύσμτ Ε κι Ζ ii) Ν δειχθεί ότι τ σημεί Ζ,Δ,Ε είνι συνευθεικά 10) Αν =6 κι τ δινύσμτ β, γ είνι μονδιί, ν ποδείξετε ότι: +2β -3 γ 0

9 Σελίδ 9 η 11) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι το σημείο Μ της πλευράς ΒΓ ώστε (ΒΜ)=3(ΓΜ) Αν AΜ =χ τότε: i) Ν εκφράσετε το διάνυσμ χ συνρτήσει των,β + 3β 1 3 ii) Αν χ= κι γι τ σημεί Δ,Ε ισχύουν A κι = χa Ε = ΑΓ, ν δειχθεί ότι τ σημεί Β,Δ,Ε είνι συνευθεικά 12) Έστω ότι γι τ δικεκριμέν σημεί Α,Β,Γ ισχύει: 4Ο A+Γ A= 3Ο B+ΟΓ i) Ν δείξετε ότι τ σημεί Α,Β,Γ νήκουν στην ίδι ευθεί ε ii) Ν βρείτε τη σχετική θέση των Α,Β,Γ πάνω στην ε iii) Ν βρείτε την τιμή του χ ώστε ν ισχύει AΜ=χAB κι το Μ ν είνι μέσο του ΑΓ 13) Έστω τ μη συγγρμμικά δινύσμτ κι β Ν βρεθεί κάθε χ R ώστε τ 2 δινύσμτ v = ( χ κι + 1) + u 5 β 2 =χ+ β ν είνι συγγρμμικά 14) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΑΔ,ΒΕ κι ΓΖ οι διάμεσοί του, ώστε ν ισχύει η σχέση κa +λbε+µγζ= 0, κ, λ, µ R Ν δειχθεί κ=λ=μ 15) Αν κ,λ R, με κ+λ= 2 9 κι ισχύουν οι σχέσεις: 1 Ο A= 3Ο κι B + BΟΓ Ο = κο + λογ, ν δειχθεί ότι τ σημεί Α,Δ,Γ είνι 3 συνευθεικά

10 Σελίδ 10 η Δ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Α ΟΜΑΔΑ 1) Έστω Οχψ σύστημ συντετγμένων κι Α(-1,2), ΟΒ =(3,1) i) Ν βρείτε τις ποστάσεις του σημείου Α πό τους άξονες ii) Ν βρείτε τις συντετγμένες του δινύσμτος θέσης του Α ως προς το Ο κι τις συντετγμένες του Β iii) Ν βρείτε το διάνυσμ v= 3ΟA 2ΟB 2) Ν βρεθούν οι συντετγμένες του συμμετρικού Α του Α(1,2) ως προς το Β(3,5) 3) Δίνοντι τ σημεί Α(-4,-2), Β(-1,3) κι Γ(2-,β+1) Ν βρεθούν: i) Τ συμμετρικά του Γ ως προς τους άξονες χχ κι ψψ ii) Ν υπολογιστούν τ,β ώστε το συμμετρικό του Γ ως προς το Β ν συμπίπτει με το συμμετρικό του Α ως προς τον άξον χχ 4) Έστω το διάνυσμ = (λ 2 +λ-2, λ 2 +5λ+6)Ν βρεθούν οι λ R, ώστε : ) = 0 β) 0 κι χχ γ) 0 κι ψψ 5) Διάνυσμ με ρχή την ρχή των συντετγμένων, έχει τετμημένη -3 κι συντελεστή διεύθυνσης -1 Ν βρείτε σε ποιο τετρτημόριο νήκει το πέρς του 6) Έστω τ δινύσμτ = (4,-2) κι β = (-4,3) Ν βρεθεί το διάνυσμ v έτσι ώστε: ) 2 v -3 +2β = 0 β) v κι v = β 7) Έστω τ δινύσμτ u = (3χ,3) κι v = (-4,-χ) i) Ν βρεθούν οι τιμές του χ R, ώστε ( u +2 v ) (3 u +5 v ) ii) Γι ποι πό τις πρπάνω τιμές του χ R είνι u v ; Γι την πρπάνω τιμή του χ, ν βρεθεί διάνυσμ συγγρμμικό με το u που ν έχει μέτρο το μισό του v 8) Δίνοντι τ σημεί Α(2,5) κι Β(-1,-1) Ν βρεθεί σημείο Κ ώστε: i) Κ χχ κι ΚΑΒ ισοσκελές ii) Κ ψψ κι ΚΑΒ ισοσκελές 9) Ν βρεθεί η τιμή της γωνίς θ ( 2 π,π), ώστε οι τετμημένες των σημείων Α,Β ν είνι ρίζες του τριωνύμου f(χ) = (συνθ)χ 2 (εφ2θ)χ + 1, ν είνι γνωστό ότι το μέσο του ΑΒ έχει τετμημένη 1

11 Σελίδ 11 η 10) Ν βρεθεί η τιμή του λ R, ώστε οι τετγμένες των σημείων Α,Β ν είνι ρίζες του τριωνύμου f(χ) = χ 2 2 λ 5λ+ 5 χ - 1, ν είνι γνωστό ότι το μέσο του ΑΒ έχει τετγμένη ) Αν Κ(2,3), Λ(- 1 2,3), Μ(- 1,1), Ν(1,0), Ρ(3,1) είνι τ μέσ των πλευρών 2 ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΕ κι ΕΑ πεντγώνου ΑΒΓΔΕ, ν βρεθούν οι συντετγμένες των κορυφών Α,Β,Γ,Δ,Ε 12) Δίνοντι τ σημεί Α(2,0) κι Β(3,2)Ν βρεθούν οι συντετγμένες του σημείου Γ, ώστε τ Α,Β,Γ κι η ρχή των ξόνων, ν σχημτίζουν πρλληλόγρμμο 13) Δίνοντι τ σημεί Α(2,0) κι Β(5,2)Ν βρεθούν οι συντετγμένες των σημείων Γ,Δ έτσι ώστε το ΑΒΓΔ ν είνι πρλληλόγρμμο με κέντρο το σημείο Κ( 5 2,1), 14) ) Δίνοντι τ σημεί Α(0,2) κι Β(1,1) κι Γ(,2-) Ν εξετστεί ν είνι συνευθεικά β) Αν τ σημεί Α(,-6), Β(3,-2), Γ(-,-10) είνι συνευθεικά ν βρεθούν οι R 15) Δίνοντι τ σημεί Β(3,2) κι Γ(5,-4)Ν βρεθεί σημείο Α του άξον χχ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ ν είνι: i) Ισοσκελές με κορυφή το Α ii) Ορθογώνιο στο Α Κτόπιν ν βρεθεί το κέντρο κι η κτίν του περιγεγρμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ 16) Ν γρφεί το διάνυσμ v = (-2,6) ως γρμμικός συνδυσμός των δινυσμάτων =(3,1) κι β = (2,-1) 17) Γι τους τυχίους ριθμούς,β,γ,δ,χ,ψ ν ποδειχθεί ότι: ( χ ) + ( ψ β ) + ( χ γ ) + ( ψ δ) ( γ ) + ( δ β ) 18) Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(-1,0),Β(-3,-2),Γ(-2,8) κι Δ(0,4) Ν βρεθούν οι συντετγμένες του σημείου τομής Ρ των ευθειών ΑΒ κι ΓΔ 19) Αν είνι Α(3,2),Β(-1,4) ν υπολογιστούν οι συντετγμένες του σημείου Ρ ότν ισχύει : ) AΡ= 2ΡB, β) AΒ= 2BΡ, γ) ΡΒ = 3BΑ

12 Σελίδ 12 η 20) Με τη βοήθει του διπλνού σχήμτος ν συνδέσετε με μι γρμμή κθέν διάνυσμ της στήλης Α με τον ντίστοιχο γρμμικό συνδυσμό της στήλης Β 4 Ζ Η Α Γ j Ο i Μ 1 Β Θ Ι Δ Ε Κ Λ ΣΤΗΛΗ Α i) AB ii) Γ iii) Ζ iv) ΕΖ v) ΚΛ vi) ΗΘ vii) ΙΖ viii) Μ A ΣΤΗΛΗ Β ) i + j β) i - j γ) -3 i +3 j δ) 2 i ε) -2 j στ) -4 i +2 j ζ)- i -2 j η) -3 i + 2 j θ) 3 i +3 j 21) Ν προσδιορίσετε τ δινύσμτ =(λ-2,μ+1) κι β = (2λ,-3μ+2) ώστε τ δινύσμτ + β, - β ν είνι συγγρμμικά προς τ δινύσμτ γ = (-2,4) κι δ = (1,5) Β ΟΜΑΔΑ 1) Δύο δικεκριμέν σημεί Α κι Β έχουν ως συντετγμένες τους τις ρίζες των εξισώσεων χ 2 (λ 2-3λ+9)χ+λ+2=0 κι χ 2 (λ+2)χ+3-2λ=0 ντιστοίχως (λ R { 1} ) Αν το άθροισμ των συντετγμένων του σημείου Ρ, γι το οποίο AΡ = λρb, είνι ίσο με 5, ν προσδιοριστεί ο λ

13 Σελίδ 13 η 2) Έστω ότι τ δινύσμτ κι β έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της εξίσωσης χ 2-2(λ-1)χ-λ+1=0Ν βρείτε το λ, ώστε τ κι β ν είνι συγγρμμικά 3) Δίνετι η εξίσωση χ 2 -(2λ-1)χ-2λ+1=0 (1) Α Έστω ότι τ σημεί Α,Β έχουν τετγμένες τις ρίζες της εξίσωσης (1) κι το σημείο Μ(κ,3) είνι μέσον του ΑΒ i) Ν βρείτε το λ ii) Ν βρείτε το κ, ώστε το διάνυσμ ΜΟ ν σχημτίζει με τον άξον χ χ γωνί Β Αν τ δινύσμτ κι β έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της εξίσωσης (1),ν βρείτε το λ, ώστε τ κι β ν είνι συγγρμμικά 4) Έστω C f η γρφική πράστση της συνάρτησης f(χ) = χ 3 +βχ 2 +γχ+δ με,β,γ,δ R κι 0 Έστω επίσης τ σημεί της C f : Α(χ 1,ψ 1 ), Β(χ 2,ψ 2 ), Γ(χ 3,ψ 3 ), Δ(χ 4,ψ 4 ) Υποθέτουμε ότι το μέσο ΑΒ συμπίπτει με το μέσο ΓΔ κι επίσης δεν επληθεύει την εξίσωση 2β+3χ=0 Ν δείξετε ότι: i) χ 1 χ 2 = χ 3 χ 4 ii) Το Α συμπίπτει ή με το Γ ή με το Δ 5) Στο επίπεδο Οχψ δίνοντι τ σημεί Α(3,2), Β(1,0) κι Γ(0,4) Αν η ΑΓ τέμνει τον άξον χ χ στο Δ κι η ευθεί ΑΒ τέμνει τον ψ ψ στο Ε, τότε: i) Ν προσδιοριστούν οι συντετγμένες των σημείων Δ,Ε ii) Ν ποδειχθεί ότι τ μέσ Κ,Λ,Μ των τμημάτων ΟΑ,ΒΓ,ΔΕ ντιστοίχως, είνι συνευθεικά 3 iii) Ν ποδειχθεί ότι: ΚΜ = ΛΚ 2 1 6) Δίνετι πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ κι το σημείο Σ τέτοιο ώστε AΣ= AΓ Αν Ε 4 1 είνι η τομή των ΑΒ κι ΔΣ, ν ποδειχθεί ότι είνι AΕ= AΒ 3 7) Έστω ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ κι τυχίο σημείο Μ της υποτείνουσς ΒΓ Έστω επίσης Κ,Λ οι προβολές του Μ στις ΑΒ κι ΑΓ ντίστοιχ Ν δειχθεί ότι το μέσο Δ της ΒΓ ισπέχει πό τ Κ κι Λ 8) Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ Στη πλευρά ΑΓ πίρνουμε σημείο Δ τέτοιο, ώστε ΓΔ = ΑΒ Αν Μ το μέσο του ΑΔ κι Ν το μέσο του ΒΓ, ν ποδειχθεί ότι: ΓΜΝ =45 0 9) Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ κι τ ισόπλευρ τρίγων ΑΒΚ κι ΒΓΛ όπου Κ κι Λ βρίσκοντι έν εντός κι έν εκτός του ΑΒΓΔ Ν ποδειχθεί ότι τ Δ, Κ, Λ είνι συνευθεικά

14 Σελίδ 14 η 10) Στο επίπεδο Οχψ θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(χ 1,ψ 1 ), Β(χ 2,ψ 2 ) κι Γ(χ 3,ψ 3 ), έτσι ώστε χ 2 - χ 1 = χ 3 χ 2 Αν λ 1, λ 2, λ 3 οι συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών ΑΒ, ΒΓ κι ΑΓ ντίστοιχ, ν ποδείξετε ότι λ 1 + λ 2, = 2λ 3 11) Δύο πλοί Π 1 κι Π 2 εκτελούν τ δρομολόγι ΑΓ κι ΒΔ ντίστοιχ, κολουθώντς ευθύγρμμη πορεί Στο χάρτη του Λιμενρχείου τ λιμάνι Α,Β,Γ,δ έχου συντετγμένες (1,0), (0,1), (7,8) κι (8,7) ντίστοιχ Ν ποδείξετε ότι: i) Οι πορείες των πλοίων έχουν έν κοινό σημείο, το οποίο ν βρείτε Υπάρχει περίπτωση ν συνντηθούν τ πλοί; ii) Αν τ πλοί ξεκινήσουν την ίδι ώρ κι με την ίδι τχύτητ, τότε θ συνντηθούν, νεξάρτητ πό το λιμάνι νχώρησης 12) Ν βρεθεί σημείο του άξον χ χ, ώστε το άθροισμ των ποστάσεών του πό τ σημεί Α(1,2) κι Β(3,6) ν γίνετι ελάχιστο 13) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,0), Β(2,-3) κι Γ(0,1) Ν βρείτε το διάνυσμ v γι το οποίο ισχύει 2 v = AB v A Γ 14) Ν βρείτε τις συντετγμένες των κι β, γι τ οποί ισχύει = ( β, 2 2) κι β = ( 4,0 ) 15) Δίνοντι τ δινύσμτ = (χ+1,2) β = (χ,2χ+1), χ R i) Ν δείξετε ότι τ δινύσμτ κι β δεν είνι συγγρμμικά γι κάθε χ R ii) Γι χ = -3 ν βρείτε τη γωνί που σχημτίζει το με τον άξον χ χ iii) Γι χ = - 1 ν γράψετε το διάνυσμ γ = 3 i ως γρμμικό συνδυσμό των κι β iv) Γι χ = - 2 ν βρείτε έν διάνυσμ ντίρροπο του κι ν έχει μέτρο 10

15 Σελίδ 15 η Ε ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Α ΟΜΑΔΑ 1) Αν =(-1,2) κι β =(1,3), ν υπολογίσετε τ εσωτερικά γινόμεν: i) β ii) (- )(2β ) iii) 2 iv) ( -β )( +2β ) 2) Αν =(3, 3 ) κι β =( 3,-1), ν υπολογίσετε τη γωνί των,β 3) Αν =(1,-7) κι β =(-3,λ) κι ( β, ) = 135 0, ν βρείτε το λ 4) Αν =(-1,2), β =(0,1), AB = -2β κι AΓ =2 -β, ν υπολογίσετε το BΓ 5) Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις, ν εξετάσετε ν τ δινύσμτ που δίνοντι είνι κάθετ μετξύ τους i) β - (β) κι β 2 ii) (β ) γ - ( γ β ) γ κι iii) β - (β) κι 2 6) Ν δείξετε ότι το διάνυσμ βχ = β - x είνι κάθετο στο β γι κάθε 2 β διάνυσμ x 7) Αν γι τ μη μηδενικά δινύσμτ κι β ισχύει β κι συν (,β ) = β ν δειχθεί ότι: ( -β ) 8) Αν το διάνυσμ είνι μονδιίο, β= 2 κι ( 2π β, ) = ν υπολογίσετε τ 3 εσωτερικά γινόμεν: i) β ii) ( -2β )( -β ) iii) ( -3β ) 2

16 Σελίδ 16 η 9) Αν =1, β= 2, γ =4 κι ( β, ) = δινύσμτος v =2 -β + γ (, γ ) = (, γβ ) = 60 0, ν βρείτε το μέτρο του 10) Αν =2, β= 3, γ =6 κι (, ) 2 π β = π (, γ ) = (, ) 5 π γβ =, ν βρείτε το μέτρο του δινύσμτος v = -β + γ 11) Αν β= 2, =2 κι =( β )β +2-3β ( β, ) = π, ν υπολογίσετε το μέτρο του δινύσμτος v 2 12) Αν β= 2 =2 5 κι ( β, ) = κι v =2 +β, ν υπολογίσετε: i) το v ii) τις γωνίες ( β,v) κι (,v) 13) Αν v = -β, w = +β, v = 2, w = 4, ( v, w ) = 2 3π ν βρείτε τ μέτρ των, β κι το συν(,β ) 14) Aν = 2 κι β= 2 κι ( π β, ) = 4 ν βρείτε τη γωνί των δινυσμάτων i) -β,β 15) Αν τ δινύσμτ β είνι μονδιί κι ( β, ) = ν βρείτε τη γωνί των δινυσμάτων v = -β κι u = 2 +4β 16) Αν = β =1, ( β, ) = 60 0 κι γι τ δινύσμτ v, u ισχύουν 2 v - u = -β κι b - v + u = +2β, ν βρείτε το συν( v, u ) 17) Έστω τ δινύσμτ β με =1, β= 2, ( β, ) = 60 0 κι το τρίγωνο ΑΒΓ με AB = -β, BΓ =3 +β Ν βρείτε το μήκος της διμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ 18) Ν υπολογίσετε τ μήκη των διγωνίων ενός πρλληλογράμμου ΑΒΓΔ με AB =3 +2β κι A = -β, ν =1, β= 2 κι ( β, ) = 135 0

17 Σελίδ 17 η 19) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ με Α =120 0, (ΑΒ)=9, (ΑΓ)=6 κι το σημείο Ρ τέτοιο ώστε BΡ = 2ΡΓ Ν υπολογισθεί το AΡ 20) Αν =1, β= 4, γ =2 3 κι (, ) 2 π β =, (, π γ ) =, (, ) 5 π γβ = ν υπολογισθεί ο χ R γι το οποίο το διάνυσμ δ= χ +β + γ είνι μηδενικό διάνυσμ 21) Αν είνι ( 3 +1) = 3 β + γ με 0 κι β= δινύσμτ β, γ είνι κάθετ γ = τότε, τ ) Γι τ δινύσμτ,β, γ ισχύει +β - 7 γ = 0 κι = γ =1, β= βρείτε τη γωνί ( β, ) κι τον λ R ώστε: γ λ +β 2 Ν 23) Γι τ δινύσμτ,β, γ ισχύει +3β -8 γ = 0 κι = γ =1, β= 7 i) Ν δείξετε ότι: β ii) Αν τ δινύσμτ,β, γ έχουν κοινή ρχή ν δείξετε ότι τ πέρτ των δινυσμάτων,β κι το πέρς του διπλσίου του γ είνι σημεί συνευθεικά 24) Οι δινυσμτικές κτίνες Ο A =, Ο B =β κι ΟΓ = γ των σημείων Α,Β κι Γ είνι τέτοιες ώστε ν ισχύουν: = β= 3, γ = 7, +2β -3 γ = 0 i) Δείξτε ότι τ Α,Β,Γ είνι συνευθεικά ii) Βρείτε τ εσωτερικά γινόμεν β, β γ, γ κι την γωνί ( β, ) iii) Αν γι το διάνυσμ x ισχύουν x (β - γ ) κι ( x + ) (β + γ ): (a) x = 21 (β - γ ) (b) Ν βρείτε το x 4 25) Αν τ δινύσμτ,β, γ είνι μονδιί κι ισχύει -2β + γ = 0, ν υπολογίσετε την πράστση: Α= β +β γ + γ 26) Αν γι τ μη μηδενικά δινύσμτ,β, γ ισχύει +β + γ = 0 κι ν ποδείξετε ότι: i) β =2 ii) β γ β γ = = 2 3,

18 Σελίδ 18 η 27) Αν γι τ μη μηδενικά δινύσμτ,β, γ ισχύει +β + γ = 0 β γ κι = = 3 4 ν ποδείξετε ότι: i) β =3 ii) γ, 28) Ν δειχθεί ότι η προβολή του δινύσμτος β στο μη μηδενικό διάνυσμ είνι: ( β ) προβ β = 2 (ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ) 29) Ν προσδιορισθεί η προβ β ότν =(3,-4) κι β =(2,1) 30) Ν προσδιορισθεί η προβ ( β ) ότν =(1,-1) κι β =(2,4) 31) Το διάνυσμ β =(8,1) ν νλυθεί σε δύο κάθετες συνιστώσες πό τις οποίες η μί ν είνι πράλληλη προς το =(2,-3) 32) Έν διάνυσμ v με θετικές συντετγμένες νλύθηκε σε δύο συνιστώσες, β κάθετες μετξύ τους Αν =(-2,3) κι γι την άλλη συνιστώσ ισχύει β = 52 ν βρείτε τ δινύσμτ v κι β 33) Αν είνι =(2,3), β =(1,-1), γ =(0,2) κι δ= 2 +β - γ ν δειχθεί ότι προβ δ β =β 34) Αν a =(-1,2), β =(4,3) κι v = ( β ) 3β ν βρείτε την προβ v 35) Αν a =(4,-3), β =(1,-3) ν βρείτε το προβ ( 2 β ) 36) Αν a =1, β =2 κι ( 2 β, ) π =, ν βρείτε το λ ώστε: προβ ( λ + β ) = ) Αν a =(1,3), 4 β =(4,-3) κι ισχύει: προβ ( λ + β ) = β, ν βρείτε το λ ) Αν β, 0 κι ισχύουν: β =, προβ ( + xκι β ) = χ (3, x) R βρείτε τον χ ν

19 Σελίδ 19 η 39) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ =(-1,0), ΑΓ =(2,1) κι ΑΔ το ύψος του Ν βρείτε το Α 40) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,-1), Β(-1,4), Γ(3,-2) κι ΑΜ διάμεσος Ν βρείτε την προβολή του ΑΜ πάνω στο ΒΓ 41) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ)=3, (ΑΓ)=4, ΒΑΓ =120 0, κι ΑΜ διάμεσος Ν υπολογίσετε την A προβ Μ A Γ Β ΟΜΑΔΑ 1) Γι τ δινύσμτ a κι β ισχύει ότι: a β, ( a -3 β ) ( a +2 β ) κι a = 6 Ν ποδειχθεί ότι 2a β =5 2) Αν τ δινύσμτ a, β,γ είνι μονδιί κι ισχύει a β + β γ + 2 =0, ν ποδειχθεί a =γ = - β 3) Αν a + β +γ = 0 όπου γ = 3 κι a, β είνι μονδιί δινύσμτ, ν βρεθεί η γωνί των δινυσμάτων a κι β 4) Γι τ δινύσμτ a, β, x ισχύει 1+ a β 0 κι x +( x a ) β =γ i) Ν ποδειχθεί ότι: x a γ = 1 + β ii) Ν εκφρσθεί το διάνυσμ x ως συνάρτηση των a, β,γ 5) Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ a, β με a =λ, β =μ κι ( 2π β, ) = Αν 3 u = μ a +λ β κι v =μ a -λ β, τότε: i) Ν υπολογισθούν οι γωνίες (u, ) κι (v, ) β ii) Ν ποδειχθεί ότι τ δινύσμτ u v 6) Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ a, β, x,ψ του επιπέδου Αν τ a, β δεν είνι πράλληλ κι ισχύει: x a = a ψ, β x = β ψ, ν ποδείξετε ότι: x =ψ 7) Δίνοντι τ δινύσμτ a, β με a =1, β =1 κι ( a β -1) β = a - β Ν ποδείξετε ότι τ a, β είνι ίσ ή ντίθετ

20 Σελίδ 20 η 8) Δίνοντι τ δινύσμτ a =(1,2), β =(3,4) Ν βρείτε τ δινύσμτ u, v ώστε ν είνι: a =u + v, u a κι v β 9) Δίνοντι τ δινύσμτ a, β με a =2 β κι ( β, ) = i) Ν ποδείξετε ότι: a -3 β 0 ii) Ν βρείτε το διάνυσμ x ώστε: x ( a -3 β ) κι a ( β - x ) 10) Δίνοντι τ κάθετ κι μη μηδενικά δινύσμτ a, β γι τ οποί ισχύει a =2 β Ν βρείτε τ δινύσμτ x,ψ ώστε: x ( a -3 β ), ψ ( a - β ) κι x -ψ = a - β 11) Δίνοντι τ δινύσμτ a =(-3,4), β =(-2,-3) Ν βρείτε τ δινύσμτ x,ψ ώστε ν είνι: a =2 x -3ψ, x ψ, ψ β 12) Δίνοντι τ δινύσμτ a, β με 2 a = β =2 κι ( β, ) = 60 0 Ν βρείτε το διάνυσμ x = μ a +λ β γι το οποίο είνι x = 9 κι x a 13) Αν το διάνυσμ a είνι μονδιίο κι ισχύει: 2 β + γ 2 = a (2 β - a ), ν υπολογίσετε την πράστση Α= a β + β γ 14) Δίνοντι τ μονδιί δινύσμτ a, β, x,ψ του επιπέδου, γι τ οποί ισχύει: a + β + x +ψ = 0, ν ποδειχθεί ότι: ( a + β ) ( β + x ) 15) Α Ν ποδειχθεί ότι ο φορές του δινύσμτος v = β a + a β διχοτομεί τη γωνί ( β, ) Β Ν ποδειχθεί ότι ο φορές του δινύσμτος u = β διχοτομεί την β πρπληρωμτική της γωνίς ( β, ) Γ Αν a =2 κι β =1, ν βρεθεί το διάνυσμ γ με γ = 3 που ν διχοτομεί τη γωνί ( β, ) =60 0

21 Σελίδ 21 η 16) Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ a, β γι τ οποί ισχύουν προβ 3 2 β, προβ β = = β 8 i) Δείξτε ότι: a β =2 2 β = 3 8 a 2 β 3 ii) Δείξτε ότι: = 4 iii) Βρείτε τη γωνί φ = ( β, ) iv) Αν u = a - β κι v =λ a + β τέμνοντι κάθετ, βρείτε το λ R 19) Αν γι τ μη μηδενικά δινύσμτ a κι β ισχύει προβ β = β a a ν δείξετε ότι 20) Αν το διάνυσμ a είνι μονδιίο κι ισχύει: β =2 β 1, ν ποδείξετε ότι: β = 2 a 21) Αν a =6 κι β =2 κι a + β 8 i) a + β = 8 ν ποδείξετε ότι: ii) a =3 β 22) Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ a, β γι τ οποί ισχύουν : β 4 προβ + = 0, προβ β = β i) Ν δείξετε ότι: β =2 2 a ii) Βρείτε τη γωνί φ = ( β, ) 23) Αν τ δινύσμτ a, β, γ είνι μονδιί κι ισχύει 3+ β = 2 γ ( +β ) Ν ποδειχθεί ότι: i) +β 2γ = 0 ii) =β = γ 24) Αν γι τ μη μηδενικά δινύσμτ κιβ ισχύει 2 = β 2 = β ν προσδιορίσετε το λ ώστε τ δινύσμτ v = 2 +λβ κι w =3λ +2 β : i) ν έχουν ίσ μέτρ ii) ν είνι κάθετ iii) ν ισχύει v < w

22 Σελίδ 22 η 25) Αν γι τ δινύσμτ κιβ ισχύει β - a β = 0, τότε ν δειχθεί ότι ισχύει: +β β 26) Δίνοντι τ δινύσμτ =(0,2) κι β =(-1,1)Αν +2 γ =2 κι - γ =3 i) Ν υπολογιστούν γ κι γ ii) Αν v = +2β +3 γ ν προσδιοριστεί η προβ v Γ ΟΜΑΔΑ 1) Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είνι AB = 4, AΓ = 6 κι η γωνί των π δινυσμάτων AB κι ΑΓ είνι Αν Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ τότε: 3 i) Ν υπολογίσετε το μέτρο του δινύσμτος ΑΜ ii) Ν υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίς των δινυσμάτων ΑΜ, AB iii) Ν ποδείξετε ότι η προβολή του δινύσμτος AB πάνω στο διάνυσμ AΜ είνι το διάνυσμ 14 A 19 Μ 2) Σε σύστημ συντετγμένων Οχψ θεωρούμε τρί σημεί Α,Β,Γ του μονδιίου κύκλου, γι τ οποί ισχύει η ισότητ: 2 OA = 4BΓ + ΑΓ Ν ποδείξετε ότι: i) Γι τις δινυσμτικές κτίνες των Α,Β,Γ ισχύει η σχέση: 3ΟΑ + 4ΟΒ = 5ΟΓ ii) Τ δινύσμτ ΟΑ, ΟΒ είνι κάθετ iii) συν( ΟΑ 3, ΟΓ )= 5 iv) det( ΟΑ, ΟΒ ) = ±1 3) Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ είνι AB = κι A =β Αν Μ μέσο του ΓΔ κι Κ σημείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΚ= 1 4 ΑΓ: i) Ν εκφράσετε τ δινύσμτ ΚΜ κι ΚΒ συνρτήσει των δινυσμάτων κιβ

23 Σελίδ 23 η ii) Ν δείξετε ότι: ΜΚΒ = ) Στο πρκάτω σχήμ είνι ΟΑ =4 κι AB =2 Το Ε είνι μέσο του ΟΑ κι το Ζ μέσο του ΟΓ Ν βρείτε: Γ Β Ζ θ O i) Τις συντετγμένες των δινυσμάτων ΓΕ κι ΖB ii) Την τιμή του εσωτερικού γινομένου ΓΕ ΖB iii) Το συνθ Ε Α 5) Έστω Α,Β,Γ τρί σημεί διφορετικά νά δύο που ικνοποιούν τη σχέση: ( ) ΑΒ - ΑΓ = ΑΒ - ΑΓ σωστός; Α: Τ σημεί Α,Β,Γ είνι συνευθεικά Β: π ΑΒ, ΑΓ = 4 Γ:Τ δινύσμτ AB κι AΓ είνι κάθετ Δ: Τ δινύσμτ AB κι BΓ είνι κάθετ Ε: Τ δινύσμτ BΓ κι AΓ είνι κάθετ Ποιος πό τους πρκάτω ισχυρισμούς είνι πάντοτε 6) Στις πλευρές ΑΒ κι ΑΓ ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πίρνουμε τ σημεί Δ,Ε ντίστοιχ, έτσι ώστε: ΑΔ = 2ΔΒ κι ΓΕ = 2ΑΕ Ν ποδειχθεί ότι: ΔΕ ΑΓ 7) Δίνετι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ κι τ δινύσμτ A = 4B κι ΓA 2 Ε= A Νδο: Γ B BΕ 8) Δίνοντι τρί διδοχικά τετράγων ΑΒΓΔ, ΒΓΕΖ κι ΖΕΘΗ Ν ποδείξετε ότι: Β Ζ = Η Θ

24 Σελίδ 24 η 9) Αν Ο A =(-2,3) κι ΟΒ =(1,2) κι Γ σημείο της ευθείς ΑΒ νδο: ΟΓ ) Δίνοντι τ μη μηδενικά κι μη πράλληλ δινύσμτ,β κι το διάνυσμ δ = +λβ με λ R Ν προσδιοριστεί η τιμή του λ, γι την οποί το μέτρο του δ γίνετι ελάχιστο Τότε ν δειχθεί ότι δ β 11) i) Έστω τ δινύσμτ του επιπέδου, β Ν δο: ισχύει η σχέση: β = (β) 2 + det(,β) ii)με την βοήθει της πρπάνω πρότσης ν ποδείξετε τ πρκάτω: //β det(,β) = 0 β det(,β) = β Αν det(,β) 0 τότε τ δινύσμτ ΟΑ = κι ΟΒ = β ορίζουν τρίγωνο ΟΑΒ το οποίο έχει εμβδόν (ΟΑΒ) = 1 det(,β) 2 12) ) Αποδείξτε ότι γι οποιδήποτε δινύσμτ κι β ισχύει: β β β) Χρησιμοποιώντς το () ερώτημ ν βρείτε την ελάχιστη κι τη μέγιστη τιμή της πράστσης Α = 6x - 8ψ ν x 2 + ψ 2 = 36 γ)με τη βοήθει του () ερωτήμτος ποδείξτε ότι: 6ημχ-8συνχ 10 13) Αν γι τους μετβλητούς πργμτικούς χ,ψ είνι x 2 +ψ 2 = 36, ν βρεθεί το σύνολο τιμών της πράστσης Α = 3χ-4ψ 14) Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ,β, γ του επιπέδου γι τ οποί ισχύει: -2β γ κι γ -(β γ )β Ν δείξετε ότι: -(β γ )β 1 γ 15) Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ,β του επιπέδου γι τ οποί ισχύει: ( β ) = 2 β i) Ν ποδείξετε ότι,β είνι συγγρμμικά

25 Σελίδ 25 η ii) Αν τ δινύσμτ v, u έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της εξίσωσης 2 χ 2-2( β )χ + β 2 =0, ν ποδείξετε ότι v, u είνι συγγρμμικά 16) Εκτός τριγώνου ΑΒΓ κτσκευάζουμε τ τετράγων ΑΒΔΕ κι ΑΓΖΗ Αν ΑΜ είνι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, ν δειχθεί ότι οι ευθείες ΑΜ κι ΕΗ τέμνοντι κάθετ Δ Ε Β Α Μ Γ Η Ζ 17) Δίνοντι τ δινύσμτ,β με =1 Ν δειχθεί ότι: 2 2 χ + ( + β ) 2(1 + β ) χ γι κάθε χ R 18) Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ,β Ν ποδειχθεί ότι ισχύει λ + 2κλ( β ) + κ β 0, γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς κ,λ 0 Πότε ισχύει η ισότητ; Αν η εξίσωση χ + 4( β ) χ + β = 0 έχει λύση στο IR, ν βρεθούν οι τιμές που πίρνει η γωνί (, β ) 19) Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ,β κι f(χ) = +χβ, γι κάθε χ R i) Ν δειχθεί f(χ) = 0 γι κάποιο χ R ν κι μόνο,β συγγρμμικά ii) Ν δειχθεί f( β ) = ν κι μόνο ν β iii) Ν ποδειχθεί ότι ν φ= ( π 1 β, ), τότε f ( ) β + Πότε ισχύει 2 συνφ η ισότητ; 20) Δίνετι η εξίσωση κ 2 +λ 2-6κ-2λ+10=0 κι τ δινύσμτ χ = κ +β κι ψ = -λβ i) Ν ποδειχθεί ότι: χ -3ψ = 4β ii) Αν β =2 ν βρείτε το 6ψ -2 χ

26 Σελίδ 26 η iii) Ν βρείτε τη γωνί των δινυσμάτων u = 6 ψ -2 1 χ (,0) κι 16 v = ( 2, 2)