ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλει : Αθνσιάδης Χράλμπος Μθημτικός

2 . ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. Ζητείτι ν δειχθεί ισότητ λγερικών θροισµάτων δινυσµάτων. Τότε ξεκινάµε πό το πιο πολύπλοκο µέλος κι µε άση την υπόθεση κτλήγουµε στο πιο πλό ή εκφράζουµε όλ τ δινύσµτ της προς πόδειξη σχέσης µέσω σηµείου νφοράς κι κτλήγουµε σε δύο ίσ µέλη. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ, Άσκηση Α 5.. Σε περίπτωση όπου ζητείτι ν δειχθεί ισότητ λγερικών θροισµάτων δινυσµάτων µε πολλά δινύσµτ, είνι προτιµότερο ν εκφράζουµε όλ τ δινύσµτ της προς πόδειξη σχέσης µέσω σηµείου νφοράς. Αντικθιστώντς στη σχέση θ κτλήγουµε στο ζητούµενο. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ, Άσκηση Α Εάν ζητείτι ν εκφρσθεί διάνυσµ συνρτήσει άλλων δινυσµάτων, γ, τότε µε άση την υπόθεση προσπθούµε ν γράψουµε το διάνυσµ ως γρµµικό συνδυσµό των δινυσµάτων, γ, Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ, Άσκηση Α 6. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ. Εάν ζητείτι ν δειχθεί ότι διάνυσµ είνι πράλληλο σε διάνυσµ τότε ρκεί ν δείξουµε ότι υπάρχει πργµτικός ριθµός λ τέτοιος ώστε ν ισχύει : =λ. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 7, Άσκηση Α. ο Λύκειο ΧΙδρίου. Ιδιότητες Βρύκεντρου : ) Α G = ΑΜ, ΒG = Β, ΓG = ΓΕ GM = ΑΜ, G = Β, GΕ = ΓΕ Β Ε Α G M Γ

3 Α G = GΜ, ΒG = G, ΓG = GΕ ) Επιπλέον ισχύει ότι GA + GB + GΓ = AG + BG + ΓG = 0 κι γι κάθε σηµείο Ο του επιπέδου ισχύει ότι OG = (OA + OB + OΓ). 3 (Είνι εφρµογή του Σχολικού ιλίου λλά προτείνετι ν µην διδχθεί). 3. Ζητείτι ν δειχθεί ότι τρί σηµεί του επιπέδου είνι συνευθεικά. Τότε δείχνουµε ότι δύο πό τ τρί δινύσµτ που σχηµτίζουν υτά τ σηµεί είνι πράλληλ. (π.χ. Εάν Α, Β, Γ είνι τ σηµεί δείχνουµε ότι ΑΒ // ΒΓ ή ΑΒ // ΑΓ ή ΑΓ // ΒΓ ). Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 7, Άσκηση Α Σε σκήσεις µε δινύσµτ διµέσων χρησιµοποιούµε τη σχέση που µς δίνει τη δινυσµτική κτίν µέσου τµήµτος ενλλάσσοντς κάθε φορά τ γράµµτ των δινυσµάτων. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 7, Άσκηση Α Εάν ζητείτι ν ρεθεί σηµείο Μ του επιπέδου ώστε ν ισχύει σχέση δινυσµάτων τότε προσπθούµε ν εκφράσουµε διάνυσµ µε ρχή ή τέλος το σηµείο Μ συνρτήσει γνωστών δινυσµάτων της υπόθεσης. Από τη σχέση υτή µπορούµε ν προσδιορίσουµε το σηµείο Μ. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 8, Άσκηση Β Εάν ζητείτι ν δειχθεί ότι λγερικό άθροισµ δινυσµάτων που περιέχουν τυχίο σηµείο Μ είνι στθερό, τότε εκφράζουµε όλ τ δινύσµτ της υπόθεσης µε σηµείο νφοράς οποιοδήποτε στθερό σηµείο κι δείχνουµε ότι το ζητούµενο λγερικό άθροισµ δινυσµάτων εξρτάτι µόνο πό στθερά δινύσµτ (Ουσιστικά προσπθούµε ν πλείψουµε το σηµείο Μ). Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 9, Άσκηση Β Βσική Ιδιότητ : Εάν κι είνι δύο µη συγγρµµικά ο Λύκειο ΧΙδρίου δινύσµτ του επιπέδου τέτοι ώστε λ + µ = 0 τότε λ=µ=0. (Εάν χρησιµοποιηθεί τότε πρέπει ν ποδειχθεί). Αυτή η ιδιότητ χρησιµοποιείτι ότν θέλουµε ν ποδείξουµε δοσµένη σχέση πρλληλίς δινυσµάτων. Κτλήγουµε σε γρµµικό συνδυσµό µη συγγρµµικών δινυσµάτων ίσο µε το µηδενικό διάνυσµ κι έτσι προσδιορίζουµε τους ζητούµενους συντελεστές.

4 Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 9, Άσκηση Β Βσική Ιδιότητ : Εάν,, γ τρί δινύσµτ του επιπέδου, µε, γ µη συγγρµµικά, τότε το διάνυσµ µπορεί ν γρφεί, κτά µονδικό τρόπο, ως γρµµικός συνδυσµός των κι γ (π.χ. =λ +µγ µε λ, µ µονδικά). Μέσω υτής της σχέσης µειώνουµε τον ριθµό των άγνωστων δινυσµάτων. Εφρµογή : (Θ δοθεί πράδειγµ σε επόµενο µάθηµ). 9. Τριγωνική Ανισότητ στ ινύσµτ : Γνωρίζουµε ότι ισχύει : Εάν ισχύει ότι οµόρροπ. Εάν ισχύει ότι ντίρροπ = + τότε τ δινύσµτ κι είνι = + τότε τ δινύσµτ κι είνι Εάν ισχύει ότι = 0 ή = 0 τότε η τριγωνική νισότητ ισχύει πάντ ως ισότητ. Εφρµογή : ίνοντι τ δινύσµτ, κι γ τέτοι ώστε + + γ = 0 κι = 3, γ = 4. Ν δειχθεί ότι το διάνυσµ είνι οµόρροπο του δινύσµτος κι ότι το διάνυσµ είνι ντίρροπο του δινύσµτος γ. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο. Εάν ζητείτι τιµή πρµέτρου ώστε δύο δινύσµτ µε συντετγµένες ν είνι ίσ, τότε πιτούµε ν έχουν ίσες συντετγµένες κι επιλέγουµε την κοινή τιµή της πρµέτρου που ικνοποιεί κι τις δύο ισότητες. ο Λύκειο ΧΙδρίου Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 39, Άσκηση Α 4.. Εάν ζητείτι τιµή πρµέτρου ώστε διάνυσµ που δίνετι µε συντετγµένες ν είνι το µηδενικό διάνυσµ, τότε πιτούµε οι συντετγµένες του ν είνι ίσες µε το µηδέν κι επιλέγουµε την κοινή τιµή της πρµέτρου που ικνοποιεί κι τις δύο ισότητες. Εάν ζητείτι τιµή πρµέτρου ώστε διάνυσµ που δίνετι µε συντετγµένες ν

5 είνι πράλληλο στον άξον x x τότε πιτούµε η τετγµένη του ν είνι ίση µε µηδέν κι γι ν είνι πράλληλο στον άξον πιτούµε η τετµηµένη του ν είνι ίση µε µηδέν. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 39, Άσκηση Α Εάν ζητείτι τιµή πρµέτρου ώστε τρί σηµεί Α, Β, Γ µε συντετγµένες ν είνι συνευθεικά, τότε σχηµτίζουµε τ δινύσµτ ΑΒ, ΑΓ (ή τ δινύσµτ ΑΒ, ΒΓ ή τ δινύσµτ ΑΓ, ΒΓ ) κι πιτούµε det( ΑΒ, ΑΓ) = 0 (ή ντίστοιχ det( ΑΒ, ΒΓ) = 0 ή det( ΑΓ, ΒΓ) = 0 ). Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 38, Εφρµογή. 4. Εάν ζητείτι τιµή πρµέτρου ώστε δύο δινύσµτ µε συντετγµένες ν είνι πράλληλ, τότε πιτούµε η ορίζουσά τους ν είνι µηδέν. Εάν επιπλέον ζητείτι ν είνι οµόρροπ ή ντίρροπ, τότε γι την τιµή της πρµέτρου που ρήκµε ελέγχουµε εάν τ δινύσµτ είνι οµόρροπ ή ντίρροπ. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 39, Άσκηση Α Εάν ζητείτι ν ρεθεί σηµείο Μ του επιπέδου που ν ικνοποιεί δοσµένη σχέση µε δινύσµτ που δίνοντι µε συντετγµένες, τότε θέτουµε ως Μ το σηµείο M(x, y) κι πό την υπόθεση κτλήγουµε σε σύστηµ δύο εξισώσεων ως προς x, y. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 40, Άσκηση Α Σε σκήσεις όπου δίνοντι µέσ δινυσµάτων ή ζητείτι ν ρεθεί µέσο δινύσµτος (π.χ. κέντρο πρλληλογράµµου) θ χρησιµοποιούµε τις σχέσεις x M xa + xb ya + yb =, ym =. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 40, Άσκηση Β, Β. ο Λύκειο ΧΙδρίου ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. Ζητείτι ν ρεθεί εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων των οποίων δίνοντι τ µέτρ κι η γωνί τους. Τότε χρησιµοποιούµε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου. Εάν τ δινύσµτ δίνοντι µε συντετγµένες τότε χρησιµοποιούµε την νλυτική έκφρση του εσωτερικού γινοµένου. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 47, Άσκηση Α, Α 7. y y

6 . Εάν ζητείτι ν ρεθεί γωνί δύο δινυσµάτων τότε ρίσκουµε το συνηµίτονο της γωνίς µέσω του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 47, Άσκηση Α Εάν ζητείτι ν δειχθεί ότι τότε δείχνουµε ότι = 0. Εάν ζητείτι ν ρεθεί τιµή πρµέτρου ώστε = 0 κι προσδιορίζουµε την τιµή της πρµέτρου. τότε πιτούµε Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 47, Άσκηση Α 9, Α Εύρεση ινύσµτος προολής : Γνωρίζουµε ότι = προ. Όµως προ =. προ = λ. Άρ = λ λ =. Εποµένως Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 46, Εφρµογή. 5. Ανάλυση Γνωστού ινύσµτος σε δύο κάθετες συνιστώσες πό τις οποίες η µί είνι πράλληλη σε άλλο γνωστό διάνυσµ : Έχουµε ότι : = + µε κι = λγ κι // γ. Τότε θ ισχύει ότι γ. Άρ πίρνουµε ότι : = λγ + µε γ. Πολλπλσιάζουµε την ισότητ µε το διάνυσµ γ κι έτσι έχουµε : γ γ γ = λγ λ =. Άρ προκύπτει ότι γ = κι γ γ γ = γ. γ Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 46, Εφρµογή. 6. Σε γεωµετρικές σκήσεις µε κθετότητες πλευρών θ χρησιµοποιούµε την ιδιότητ = προ. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 50, Άσκηση Β 0, Β. ο Λύκειο ΧΙδρίου 7. Εάν δίνετι γνωστός γρµµικός συνδυσµός δινυσµάτων ίσος µε το µηδενικό διάνυσµ κι ζητούντι εσωτερικά γινόµεν, τότε πολλπλσιάζουµε το γρµµικό συνδυσµό µε κάθε έν πό τ δινύσµτ που τον ποτελούν. Έτσι σχηµτίζετι έν σύστηµ εξισώσεων µε γνώστους τ εσωτερικά γινόµεν που µς ενδιφέρουν. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 49, Άσκηση Β 4.

7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ. Εάν τυχίο σηµείο Μ ικνοποιεί ισότητ της µορφής ΑΜ = λ όπου Α στθερό γνωστό σηµείο κι γνωστό διάνυσµ, τότε το σηµείο Μ νήκει σε ευθεί που διέρχετι πό το σηµείο Α κι είνι πράλληλη στο διάνυσµ.. Εάν τυχίο σηµείο Μ ικνοποιεί ισότητ της µορφής ΑΜ = ρ όπου Α στθερό γνωστό σηµείο κι ρ>0, τότε το σηµείο Μ κινείτι σε κύκλο κέντρου Α κι κτίνς ρ. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 50, Άσκηση Γενικές Εάν τυχίο σηµείο Μ ικνοποιεί ισότητ της µορφής ΜΑ = ΜΒ όπου Α κι Β στθερά γνωστά σηµεί, τότε το σηµείο Μ νήκει στη µεσοκάθετο του ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ. Εφρµογή : ίνοντι τ στθερά σηµεί Α κι Β του επιπέδου. Εάν το τυχίο σηµείο Μ που είνι διφορετικό των Α κι Β, ικνοποιεί τη σχέση ΑΜ = ΒΜ ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ. Εφρµογή γι το Β8 : ίνοντι τ δινύσµτ = (, ) = (, ). Ν ρεθεί διάνυσµ γ συνεπίπεδο των δινυσµάτων κι γι το οποίο ισχύουν τ κόλουθ : i) µλεί γωνί µε το διάνυσµ κι iii) γ =. κι γ, ii) Σχηµτίζει ο Λύκειο ΧΙδρίου

8 Β. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ. ίνετι το διάνυσµ ΑΒ κι το µέσο του Μ. Ν δειχθεί ότι γι την ΟΑ + ΟΒ δινυσµτική κτίν του Μ ισχύει ότι : ΟΜ =.. Ν δοθεί ο ορισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο δινυσµάτων,. 3. Γι δύο µη µηδενικά δινύσµτ, ν δειχθεί ότι = προ. 4. Ν ποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο δινυσµάτων είνι ίσο µε το άθροισµ των γινοµένων των οµώνυµων συντετγµένων τους. 5. Ν δειχθεί ότι // υπάρχει λ R τέτοιο ώστε = λ. 6. Εάν = (x,y ) κι = (x,y ) είνι δύο µη µηδενικά δινύσµτ του επιπέδου που σχηµτίζουν γωνί θ, ν ποδείξετε ότι: συνθ= x x x + y + y y x + y. 7. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις ως σωστές ή λνθσµένες : ) Εάν (,) = ω κι ( γ,) = φ µε συνφ+συνω= τότε τ δινύσµτ κι γ είνι οµόρροπ. ) ύο ντίθετ δινύσµτ έχουν τον ίδιο συντελεστή διευθύνσεως. γ) Εάν λ = µ τότε λ=µ. δ) Γι δύο τυχί µη µηδενικά δινύσµτ, ισχύει ότι : ( ) =. ε) Εάν + = + τότε τ δινύσµτ, είνι οµόρροπ. π = 3, = κι, = τότε =. 6 στ) Εάν ( ), ζ) Γι δύο τυχί µη µηδενικά δινύσµτ, ισχύει ότι : προ //. ο Λύκειο ΧΙδρίου ( γ) η) Εάν 0 τότε = γ. θ) Γι δύο τυχί µη µηδενικά δινύσµτ, ισχύει ότι :. ι) Εάν = 0 τότε = 0 ή = 0.

9 ι) Εάν det (, ) είνι η ορίζουσ των δινυσµάτων η ισοδυνµί: // det (, ) =.,, τότε ισχύει 8. Ν γράψετε στο τετράδιό σς τ γράµµτ της Στήλης Α κι δίπλ σε κάθε γράµµ τον ριθµό της Στήλης Β που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. Στήλη Α Στήλη Β. κάθετ δινύσµτ 0, 0. =. οµόρροπ δινύσµτ γ. ντίρροπ δινύσµτ 9. Ν γράψετε στο τετράδιό σς το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. ίνοντι τ δινύσµτ =(λ,) κι =(,λ) όπου λ ΙR...)..Εάν τ ) Εάν τ γ) Εάν τ, είνι κάθετ, τότε :. λ=. λ=0 γ. λ= δ. λ=, είνι οµόρροπ, τότε :. λ=.λ=0 γ.λ= δ. λ=, είνι ντίρροπ, τότε :. λ=.λ=0 γ.λ= δ.λ= 0. ίνοντι τ δινύσµτ, µε = 3 κι =. προ = τότε η γωνί των κι είνι ίση µε :. π/6. π/3 γ. π/4 δ. π Γ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ. Έστω ευθεί (ε) διάνυσµ ΑΒ πάνω σε υτήν µε ΑΒ = κι σηµείο Μ εκτός της ευθείς. Εάν Μ το συµµετρικό του Μ ως προς την ευθεί ν δειχθεί ότι ΑΜ' = (ΑΜΑΒ)ΑΒ ΑΜ.. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι τ σηµεί κι Ε στις πλευρές ΑΒ κι ΑΓ ντίστοιχ γι τ οποί ισχύει ότι Εάν A = AB κι Γ E = ΓA. Εάν Κ κι 3 3 Λ είνι τ µέσ των πλευρών ΑΒ κι Ε ντίστοιχ ν δειχθεί ότι ΚΛ // ΒΓ. 0, 0. = 3. ίνετι έν τρίγωνο ΑΒΓ κι το µέσο Ο της πλευράς του ΒΓ. 0, 0 3. = 0 4. = ο Λύκειο ΧΙδρίου

10 ) Ν ρεθούν τ σηµεί Μ κι Ν γι τ οποί ισχύουν : AM + 3MB 3ΓM = 0 κι AN BN + NΓ = 0. ) Ν δειχθεί ότι τ σηµεί Α, Μ κι Ν είνι συνευθεικά. γ) Ν δειχθεί ότι τ δινύσµτ AO, AM κι AN είνι συγγρµµικά. 4. ίνοντι τ στθερά σηµεί Α, Β, Γ κι το µετλητό σηµείο Μ. Ν ποδειχθεί ότι το διάνυσµ MA + MB 3MΓ είνι στθερό. 5. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ, το µέσο Μ της ΒΓ κι σηµείο Ρ τέτοιο ώστε AP = PM. Εάν Ν το µέσο της ΑΓ ν δειχθεί ότι τ σηµεί Β, Ρ κι Ν είνι συνευθεικά. 6. Έστω τ δινύσµτ,,γ µη συγγρµµικά νά δύο κι τέτοι ώστε // + γ κι // + γ. Ν δειχθεί ότι γ // Εάν τ δινύσµτ = (λ,) κι = (50,λ) είνι πράλληλ, τότε : ) Ν ρεθούν οι τιµές του λ. ) Ν ρεθούν οι συντετγµένες του σηµείου Μ(x, x+) ότν τ, είνι ντίρροπ κι ισχύει ότι ΟΜ ( + ). 8. Γι τ δινύσµτ, κι x του επιπέδου ισχύουν : x + //, ( x + ) µε =, = κι (,) = π / 4. ) Ν εκφρσθεί το διάνυσµ x συνρτήσει των κι. ) Ν υπολογισθεί το x ίνοντι τ σηµεί Α, Β, Γ, Ο τέτοι ώστε 3 ΟΑ + ΟΒ 4ΟΓ = 0. ) Ν δειχθεί ότι τ σηµεί Α, Β κι Γ είνι συνευθεικά. ) Εάν γι το µετλητό σηµείο Μ ισχύει ότι : ΜΑ ΓΒ + 4ΜΑ ΓΑ = 0 ν ρεθεί η γρµµή που γράφουν τ σηµεί Μ. 0. Έστω δύο δινύσµτ κι γι τ οποί ισχύει ότι (κ + λ) ( λ κ) γι κάθε κ, λ R. ) Ν ποδείξετε ότι. ) Εάν = ν ρεθεί το. ο Λύκειο ΧΙδρίου. ίνετι το διάνυσµ = ( 6,8). ) Ν ρεθεί το µέτρο κι ο συντελεστής διευθύνσεώς του.

11 ) Ν εκφρσθεί το ως γρµµικός συνδυσµός των δινυσµάτων u = (,3) κι v = (,). γ) Ν ρεθεί έν διάνυσµ ντίρροπο του κι µε µέτρο τριπλάσιο πό το µέτρο του.. Γι τ δινύσµτ,, γ ισχύουν : 8γ + 3 = 0 κι = γ =, = ) Ν δειχθεί ότι. ) Εάν θεωρήσουµε ότι ΟΑ =,ΟΒ =,ΟΓ = γ κι Ο = ΟΓ όπου Ο τυχίο σηµείο του επιπέδου ν δειχθεί ότι τ σηµεί Α, Β, είνι συνευθεικά. 3. Εάν = (,) κι = (8,6) ν ρεθεί το διάνυσµ προ a. π 4. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ =, ΑΓ =, ( a,) =, = 3 κι 3 = 4. Έστω Κ, Μ τ µέσ των ΑΒ κι ΒΓ ντίστοιχ. Από το Μ φέρνουµε την κάθετο ΜΛ στην ΚΜ που τέµνει την ΑΓ στο Λ κι έστω λ ο πργµτικός γι τον οποίο ισχύει : ΓΛ = λ ΑΓ. ) Ν εκφρσθεί το διάνυσµ ΚΜ συνρτήσει του κι το ΜΛ συνρτήσει των,,λ. 5 ) Ν δειχθεί ότι ΓΛ = ΑΓ ίνετι πρλληλόγρµµο ΑΒΓ κι σηµεί Ε, Ζ τέτοι ώστε ΑΕ = ΑΒ κι Ζ = Γ µε +=. Ν δειχθεί ότι η ευθεί ΕΖ διέρχετι πό το ο Λύκειο ΧΙδρίου ) Ν ρεθεί ο πργµτικός ριθµός κ, ώστε τ δινύσµτ κ + κι + 3 ν είνι κάθετ. κέντρο Ο του πρλληλογράµµου. 6. Γι τ δινύσµτ, ισχύουν οι σχέσεις + 3 = (4,- ) - 3 = (-7, 8). ) Ν δείξετε ότι = (-, ) κι = (,- ). γ) Ν νλυθεί το διάνυσµ γ = (3,- ) σε δύο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η µί ν είνι πράλληλη στο διάνυσµ. 7. κι

12 7. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε AB 3, AΓ = 4 σηµείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε = κι ( AB,AΓ) 3 BK = 3ΓK ν ρεθεί το AK. π =. Εάν Κ 8. ίνοντι τ σηµεί Α(4, 0) κι Β(0, 5) στο ορθοκνονικό σύστηµ Οxy. ) Ν ρεθεί σηµείο Μ του τµήµτος ΑΒ τέτοιο ώστε ΟΜ ΑΒ. ) Εάν Κ το µέσο του ΟΑ κι Λ το µέσο του ΟΒ τότε το εσωτερικό γινόµενο ΜΚ ΜΛ είνι ίσο µε : A. B. ΜΟ Γ. ΜΚ Εάν γι τ δινύσµτ κι ισχύει ότι + + = ν δειχθεί ότι + =. 0. Έστω το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ µε ΑΒ = (, ), ΑΓ = (0, 5) κι Β = (-, ). ) Ν δειχθεί ότι το ΑΒΓ είνι πρλληλόγρµµο κι ν ρεθούν οι γωνίες του. ) Εάν Μ τυχίο σηµείο ν δειχθεί ότι η διφορά ΜΑΜΓ ΜΒΜ είνι στθερή ποσότητ.. Εάν γ = γ = 4γ ν δειχθεί ότι = = γ.. Έστω τ δινύσµτ = ( κ, λ) κι = ( κ, ) Ν ρεθεί το +. ) Ν δειχθεί ότι. 3. ίνετι το διάνυσµ 0. Ν λυθεί η εξίσωση λ ). x x = x Εάν γι τ δινύσµτ κι ισχύει ότι = ρ, = 3ρ 4 κι = + ρ ν ρεθεί ο πργµτικός ριθµός ρ κι ν εξετσθεί εάν =. ο Λύκειο ΧΙδρίου