ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ -----

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Βθμός Ασφλείς: Ν διτηρηθεί μέχρι: Βθ. Προτεριότητς: ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ, ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Τχ. Δ/νση: Ανδρέ Ππνδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 58 Μρούσι Ιστοσελίδ: Πληροφορίες: Α. Πσχλίδου B. Πελώνη Τηλέφωνο: ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: Αθήν, Αρ. Πρωτ. 4343/Δ Περιφερεικές Δ/νσεις Εκπ/σης Συντονιστές Εκπ/κού Έργου Δ.Ε. (μέσω των Περιφερεικών Δ/νσεων Εκπ/σης) Διευθύνσεις Δ/θμις Εκπ/σης Γενικά Λύκει (μέσω των Δ/νσεων Δ/θμις Εκπ/σης) Ινστιτούτο Εκπιδευτικής Πολιτικής ΘΕΜΑ: Διχείριση διδκτές-εξετστές ύλης των Μθημτικών της Γ τάξης Ημερησίου Γενικού Λυκείου κι Γ κι Δ τάξεων Εσπερινού Γενικού Λυκείου γι το σχολικό έτος 9- Σχετ.: Το με ρ. πρωτ. εισ. Υ.ΠΑΙ.Θ. 359/3-9-9 έγγρφο Μετά πό σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπιδευτικής Πολιτικής (πράξη 34/9-8-9 του Δ.Σ) σάς ποστέλλουμε τη διχείριση διδκτές-εξετστές ύλης των Μθημτικών της Γ τάξης Ημερησίου Γενικού Λυκείου κι Γ κι Δ τάξεων Εσπερινού Γενικού Λυκείου γι το σχολικό έτος 9-. Γι το σχολικό έτος 9- η διδκτέ-εξετστέ ύλη των Μθημτικών της Γ τάξης περιλμβάνει την θεμτική της Ανάλυσης της οποίς η κυρίως διδσκλί κτλμβάνει 6 ώρες την εβδομάδ, ενώ διτίθετι επιπλέον μί ώρ την εβδομάδ γι επίλυση ποριών. Οι προύσες οδηγίες φορούν στην κυρίως διδσκλί. Οι διτιθέμενες ώρες διδσκλίς επιτρέπουν την ευχερέστερη υποστήριξη γνωστικών κι διδκτικών στόχων. Πιο συγκεκριμέν: ) την σύνδεση της νάλυσης με εφρμογές κι προβλήμτ που σχετίζοντι με την πργμτικότητ.

2 β) την υποστήριξη της μεγάλης πλειονότητς των μθητών/τριών στο ν εμπλκούν με τ Μθημτικά νεξάρτητ πό τη μέχρι τώρ μθησική πορεί τους. Η μεττόπιση της διδσκλίς προς τις διδικσίες επίλυσης προβλήμτος μπορεί ν προσφέρει μι επιπλέον νοημτοδότηση των σχετικών εννοιών κι διδικσιών. Γι την εμπλοκή των μθητών/τριών σε διδικσίες μθημτικής μοντελοποίησης κρίνετι σκόπιμη κτρχάς η ξιοποίηση προβλημάτων πό το υπάρχον διδκτικό υλικό (διδκτικό βιβλίο, υλικό κι βιβλί νρτημέν στο Έχει ιδιίτερη σημσί κτά τη διπργμάτευση των προβλημάτων ν πρέχετι επρκής χρόνος στους μθητές/τριες κι ν ντιμετωπίζοντι τυχόν γνωστικές ελλείψεις. Η ντιμετώπιση γνωστικών ελλείψεων ορισμένων μθητών/τριών μπορεί ν γίνετι με την νάδειξη ενδομθημτικών συνδέσεων εννοιών κι διδικσιών κθώς κι την νάκληση προηγούμενων γνώσεων. Αυτά ποτελούν σημντικές ευκιρίες φενός επνσύνδεσης μθητών που κινδυνεύουν ν χάσουν την επφή με τ μθημτικά κι φετέρου βθύτερης κτνόησης γι όλους. Τέτοιες πρεμβάσεις μπορούν ν γίνοντι κτά την κρίση του διδάσκοντ, είτε ως θεωρητική συζήτηση (στις ρχικές πργράφους συνρτήσεων, μονοτονίς, κροτάτων κ..), είτε ως πρεμβολή των νγκίων θεωρητικών στοιχείων γι μι άσκηση. Στον επόμενο πίνκ προυσιάζετι ο προτεινόμενος ελάχιστος ριθμός ωρών διδσκλίς νά πράγρφο του σχολικού βιβλίου. Πράγρφος Ελάχιστος ριθμός ωρών Πράγρφος Ελάχιστος ριθμός ωρών Πράγρφος Ελάχιστος ριθμός ωρών Κεφάλιο ο. Το περιεχόμενο της πργράφου υτής είνι σημείο νφοράς γι τ επόμεν. Οι περισσότερες πό τις έννοιες που περιέχοντι είνι ήδη γνωστές στους μθητές. Γι υτό η διδσκλί δεν πρέπει ν στοχεύει στην εξ υπρχής νλυτική προυσίση

3 γνωστών εννοιών, λλά στο ν δίνει φορμές στους μθητές ν ντρέχουν στ βιβλί των προηγούμενων τάξεων κι ν επνφέρουν στη μνήμη τους γνωστές έννοιες κι προτάσεις που θ τις χρειστούν στ επόμεν.. Ν δοθεί έμφση σε προβλήμτ μθημτικής μοντελοποίησης με κτσκευή συνάρτησης που περιγράφει έν φινόμενο ή μί κτάστση, όπως γι πράδειγμ οι σκήσεις 5 της Α ομάδς κι, 3 κι 4 της Β ομάδς. Η διδσκλί της πργράφου υτής είνι μί ευκιρί νάκλησης/συμπλήρωσης προηγούμενων γνώσεων πό οικείες συνρτήσεις (τριγωνομετρικές πολυωνυμικές, εκθετικές, λογριθμικές, κ..) κι των ντίστοιχων εξισώσεων κι νισώσεων. Επιπλέον, γεωμετρικές έννοιες κι σχέσεις είνι χρήσιμο ν συζητούντι με φορμή σχετικά προβλήμτ. Ανάλογες πρεμβάσεις είνι χρήσιμο ν γίνοντι κι σε επόμενες πργράφους σύμφων με την κρίση του διδάσκοντ. Η έννοι της συνάρτησης είνι άμεσ συνδεδεμένη με τη γρφική της πράστση κι η σύνδεση υτή πρέπει ν νδεικνύετι σε κάθε ευκιρί, διότι υποστηρίζει την κτνόηση των χρκτηριστικών της συνάρτησης. Ν επισημνθεί ότι μπορεί το γινόμενο δύο συνρτήσεων ν είνι η στθερή συνάρτηση μηδέν χωρίς κμί πό τις δύο ν είνι ίση με την συνάρτηση μηδέν. Έν κτάλληλο πράδειγμ ποτελούν οι συνρτήσεις g f των οποίων συνιστάτι ν γίνει κι η γρφική πράστση. Ν επισημνθεί ότι πό τον ορισμό της συνάρτησης προκύπτει ότι ν D κι, f κι ισχύει πάντ f f. Το ντίστροφο όμως δεν ισχύει πάντ (ισχύει μόνο ότν η συνάρτηση είνι έν προς έν, όπως θ φνεί σε επόμενη πράγρφο). Επιπλέον, είνι χρήσιμο ν συζητηθεί ότι ο ορισμός της ισότητς συνρτήσεων δεν μπορεί ν υποκτστθεί με τον «Δύο συνρτήσεις f κι g λέγοντι ίσες ότν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού κι τον ίδιο τύπο.» Κτρχάς, δεν έχουν όλες οι συνρτήσεις τύπο. Αλλά δύο συνρτήσεις με διφορετικό τύπο μπορεί ν είνι ίσες, όπως γι πράδειγμ οι ορισμένες στο R συνρτήσεις f κι g..3 Γι την νγνώριση των ιδιοτήτων της μονοτονίς κι του «έν προς έν» μις συνάρτησης είνι σημντικό ν ξιοποιηθούν οι γρφικές πρστάσεις. Γι το σκοπό υτό μπορούν ν ξιοποιηθούν οι γρφικές πρστάσεις των βσικών συνρτήσεων της προηγούμενης πργράφου. 3

4 Ν τονιστεί στους μθητές ότι γι την επίλυση σκήσεων μπορούν ν χρησιμοποιούντι, νπόδεικτ, οι προτάσεις : i) Αν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ, τότε γι f οποιδήποτε, ισχύει η συνεπγωγή : f f. ii) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ, τότε γι οποιδήποτε, ισχύει η συνεπγωγή: f f. Γι λόγους διδκτικούς μπορεί ν προυσιστεί στην τάξη η πόδειξη υτών των προτάσεων: i) Έστω ότι υπάρχουν,, γι τ οποί ισχύει η υπόθεση κι δεν ισχύει το συμπέρσμ της συνεπγωγής. Τότε θ ισχύει: f f κι Αν ήτν,επειδή η είνι γνησίως ύξουσ, θ ίσχυε f f, που f ντίκειτι στην υπόθεση. Αν ήτν,πό τον ορισμό της συνάρτησης, θ ίσχυε: f f,που ντίκειτι κι υτό στην υπόθεση. Επομένως, ισχύει το ζητούμενο. ii) Αντίστοιχη με την i..4 Με δεδομένο ότι ο τυπικός ορισμός του ορίου δεν συμπεριλμβάνετι στην ύλη, ν δοθεί βάρος στη διισθητική προσέγγιση της έννοις του ορίου. Δηλδή, ν γίνει προσπάθει, μέσ πό γρφικές πρστάσεις κτάλληλων συνρτήσεων, ν ποκτήσουν οι μθητές μι κλή εικόν κι ν ποφευχθούν πρνοήσεις, που πό τη βιβλιογρφί έχει προκύψει ότι δημιουργούντι συχνά στους μθητές, γι την έννοι του ορίου. Ν τονιστεί ιδιίτερ, μέσ πό κτάλληλες γρφικές πρστάσεις, ότι η συμπεριφορά της συνάρτησης στο σημείο δεν επηρεάζει το όριο της ότν το τείνει στο, κθώς κι ότι η τιμή του lim f ( ) κθορίζετι, πό τις τιμές που πίρνει η συνάρτηση κοντά στο. Δηλδή, δύο συνρτήσεις που έχουν τις ίδιες τιμές σε έν διάστημ γύρω πό το λλά μπορεί ν διφέρουν στο (πίρνουν διφορετικές τιμές ή η μι ορίζετι κι η άλλη δεν ορίζετι ή κμί δεν ορίζετι) έχουν το ίδιο όριο ότν το τείνει στο. Ν τονιστεί, επίσης, ότι η ύπρξη του ορίου δεν συνεπάγετι μονοτονί, κάτι που όπως προκύπτει πό τη βιβλιογρφί είνι συνηθισμένη πρνόηση των μθητών, ούτε όμως κι τοπική μονοτονί δεξιά κι ριστερά του, δηλδή μονοτονί σε έν διάστημ ριστερά του κι σε έν διάστημ δεξιά του. Γι το σκοπό υτό μπορεί ν χρησιμοποιηθούν γρφικές πρστάσεις κτάλληλων συνρτήσεων, που 4

5 θ σχεδιστούν με τη βοήθει λογισμικού, όπως είνι γι πράδειγμ η f ( ) ημ (Σχήμ ). Σχήμ Επίσης, επειδή πολλοί μθητές θεωρούν ότι ότν έν όριο δεν υπάρχει τ πλευρικά όρι υπάρχουν κι είνι διφορετικά, ν δοθούν γρφικά κι ν συζητηθούν πρδείγμτ που δεν υπάρχουν τ πλευρικά όρι, όπως γι πράδειγμ η f ( ) ημ (Σχήμ ). Σχήμ.5 Στην ενότητ υτή δεν έχει νόημ μι άσκοπη σκησιολογί που οι μθητές υπολογίζουν όρι, κάνοντς χρήση λγεβρικών δεξιοτήτων. Στη λύση των 5

6 σκήσεων ν ζητείτι πό τους μθητές ν τονίζουν τις ιδιότητες των ορίων που χρησιμοποιούν, ώστε οι σκήσεις υτές ν ποκτούν ουσιστικό περιεχόμενο πό πλευράς Ανάλυσης, κάτι που θ βοηθήσει στην νάπτυξη της κτνόησης πό τους μθητές της έννοις του ορίου. Γι πράδειγμ σε ερωτήσεις όπως «ν βρεθεί το 4 6 lim» (άσκηση 3i) είνι χρήσιμο ν ζητείτι πό τους μθητές ν 3 8 ιτιολογήσουν ποιες ιδιότητες των ορίων χρησιμοποιούντι στ ενδιάμεσ στάδι μέχρι τον τελικό υπολογισμό, ν προβλημτιστούν ν οι g( ) ( 4) ( ) 4 6 f ( ) 3 8 κι είνι ίσες κι, φού διπιστώσουν ότι δεν είνι ίσες, ν 4 δικιολογήσουν γιτί έχουν ίσ όρι. Επίσης σε σκήσεις όπου η συνάρτηση ορίζετι με διφορετικό τύπο σε δύο συνεχόμεν διστήμτ, όπως π.χ. η άσκηση 5 της Α Ομάδς, ν ζητείτι ιτιολόγηση γιτί στο σημείο λλγής του τύπου είμστε υποχρεωμένοι ν ελέγχουμε τ πλευρικά όρι, ενώ στ άλλ σημεί του πεδίου ορισμού μπορούμε ν βρούμε το όριο χρησιμοποιώντς τον ντίστοιχο τύπο. Δηλδή, ν φίνετι ότι οι μθητές κτνοούν ότι το όριο κθορίζετι πό τις τιμές της συνάρτησης κοντά στο κι εκτέρωθεν υτού. Αυτό μς επιτρέπει στ σημεί τ διφορετικά πό το ν χρησιμοποιούμε τον έν τύπο, ενώ στο πρέπει ν πάρουμε πλευρικά όρι..6 Ν δοθεί βάρος στη διισθητική προσέγγιση της έννοις με τη χρήση γρφικών πρστάσεων. Εκτός πό τ πρδείγμτ του βιβλίου ν δοθούν, μέσ πό κτάλληλες γρφικές πρστάσεις, που θ σχεδιστούν με τη βοήθει λογισμικού, πρδείγμτ όπου το όριο δεν είνι πεπερσμένο λλά δεν υπάρχει μονοτονί, όπως π.χ. lim (Σχήμ 3), ώστε ν ποφευχθεί η πρνόηση που συνδέει την ύπρξη μη πεπερσμένου ορίου στο με τη μονοτονί. 6

7 Σχήμ 3.7 Ν δοθεί βάρος στη διισθητική προσέγγιση της έννοις. Ν δοθούν, μέσ πό κτάλληλες γρφικές πρστάσεις, πρδείγμτ συνρτήσεων των οποίων το όριο, ότν το τείνει στο +, υπάρχει λλά οι συνρτήσεις υτές δεν είνι ημ μονότονες, όπως είνι γι πράδειγμ η f ( ) (Σχήμ 4), κθώς κι συνρτήσεων των οποίων το όριο δεν υπάρχει, ότν το τείνει στο +, όπως είνι γι πράδειγμ η f ( ) ημ. Σχήμ 4 7

8 Τ όρι: lim n, lim n, lim n κι lim n, ν συζητηθούν με τη χρήση γρφικών πρστάσεων, που θ σχεδιστούν με τη βοήθει λογισμικού, κι πινάκων τιμών, με στόχο ν ντιληφθούν διισθητικά οι μθητές ποι είνι τ όρι υτά. Η τελευτί πράγρφος, πεπερσμένο όριο κολουθίς, ν συζητηθεί γιτί θ χρειστεί γι το ορισμένο ολοκλήρωμ. Ν δοθεί στους μθητές η δυντότητ ν χρησιμοποιούν, νπόδεικτ, τις πρκάτω προτάσεις οι οποίες δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο : Έστω, δύο συνρτήσεις που είνι ορισμένες κοντά στο R. f g i) Αν ισχύουν: ) f ( ) g( ) κοντά στο κι β) lim f ( ), τότε θ ισχύει κι lim g( ). ii) Αν ισχύουν: ) f ( ) g( ) κοντά στο κι β) lim g( ),, τότε θ ισχύει κι lim f ( ) Η προυσίση των πρπάνω προτάσεων μπορεί ν γίνει διισθητικά με την βοήθει κτάλληλων γρφικών πρστάσεων.8 Στην πρώτη ενότητ (ορισμός της συνέχεις) ν συζητηθούν κι γρφικά πρδείγμτ συνεχών συνρτήσεων με πεδίο ορισμού ένωση ξένων διστημάτων, όπως είνι γι πράδειγμ οι συνρτήσεις f ( ) (Σχήμ 5) κι g( ) (Σχήμ 6). Ν συζητηθεί γιτί το γράφημ των συνρτήσεων υτών δικόπτετι, πρόλο που είνι συνεχείς. Ν δοθούν στους μθητές κι σχετικές σκήσεις. 8

9 Σχήμ 5 Σχήμ 6 Επίσης, κτά τη διδσκλί των θεωρημάτων Bolzano, ενδιάμεσων τιμών κι μέγιστης κι ελάχιστης τιμής, κθώς κι της πρότσης ότι η συνεχής εικόν διστήμτος είνι διάστημ, ν δοθεί έμφση κι ν συζητηθούν οι γρφικές πρστάσεις που κολουθούν τις τυπικές διτυπώσεις υτών, ώστε οι μθητές ν βοηθηθούν στην ουσιστική κτνόηση τους. Το θεώρημ Bolzano είνι το πρώτο ουσιστικά θεώρημ που συνντούν οι μθητές στην Ανάλυση. Γι υτό είνι κλό ν γίνει μι συζήτηση που ν φορά την νγκιότητ των υποθέσεων του θεωρήμτος νάλογη με το σχόλιο του θεωρήμτος των ενδιάμεσων τιμών. Επίσης θ πρέπει ν τονισθεί ότι δεν ισχύει το ντίστροφο. Δηλδή ενδέχετι οι τιμές μις συνάρτησης στ άκρ ενός κλειστού διστήμτος [, β ] του πεδίου ορισμού της ν έχουν το ίδιο πρόσημο, η συνάρτηση ν μην είνι συνεχής στο [, β ] κι όμως ν πίρνει την τιμή σε έν εσωτερικό σημείο του [, β ]. Διευκρινίζετι ότι στο θεώρημ προσδιορισμού του συνόλου τιμών συνάρτησης της οποίς το πεδίο ορισμού είνι το νοιχτό διάστημ (,β), τ, β μπορεί ν είνι κι μη πεπερσμέν. 9

10 Ν τονιστεί στους μθητές ότι γι την επίλυση σκήσεων μπορεί ν χρησιμοποιείτι, νπόδεικτ, η πρότση: Αν μί συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε έν νοικτό διάστημ, ιδιότητ lim f, lim f τότε το σύνολο τιμών της είνι το. Γι λόγους διδκτικούς μπορεί ν προυσιστεί στην τάξη η πόδειξη: έχει την Αρκεί ν δείξουμε ότι κάθε πργμτικός ριθμός y είνι τιμή της f. Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση g f y. Είνι lim g κι lim g. g Επομένως θ υπάρχουν,, ώστε κι g. Θ είνι κι πό το θεώρημ του Bolzano η g θ έχει μι ρίζ στο νοικτό διάστημ με άκρ,. Θ είνι κι επομένως f y δηλδή ο θ g είνι y είνι τιμή της f. Κεφάλιο ο. Ν δοθεί έμφση στην εισγωγή της έννοις μέσω του προβλήμτος της στιγμιίς τχύτητς κι της εφπτομένης. Μετά τον ορισμό της πργώγου κι της εφπτομένης γρφικής πράστσης συνάρτησης ν συζητηθεί νλυτικότερ η έννοι της εφπτομένης. Επίσης, ν δοθούν πρδείγμτ που θ βοηθήσουν τον μθητή ν νκτσκευάσει την εικόν της εφπτομένης που έχει πό τον κύκλο (η εφπτομένη έχει έν κοινό σημείο κι δεν κόβει την κμπύλη) κι ν σχημτίσει μι γενικότερη εικόν γι την εφπτομένη ευθεί. Γι πράδειγμ, προτείνετι ν συζητηθούν κι ν δοθούν στους μθητές γρφικά: i) Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f ( ) 3 στο σημείο Ο, ώστε ν κτλάβουν ότι η εφπτομένη μις κμπύλης μπορεί ν διπερνά την κμπύλη κι ii) Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης, ν g( ) στο σημείο Ο, ώστε ν κτλάβουν ότι μι ημιευθεί της, ν εφπτομένης μις κμπύλης μπορεί ν συμπίπτει με έν τμήμ της κμπύλης κι επιπλέον ότι η εφπτομένη μις ευθείς σε κάθε σημείο της συμπίπτει με την ευθεί.

11 . Ν προσεχθεί ιδιίτερ το θέμ της κτνόησης πό τους μθητές των ρόλων του f ( h) f ( ) h κι του στην έκφρση f '( ) lim που χρησιμοποιείτι στο h h βιβλίο γι τον υπολογισμό της πργώγου των τριγωνομετρικών συνρτήσεων. Ν τονιστεί η διφορά πργώγου σε σημείο κι πργώγου συνάρτησης..3 Ν δοθεί βάρος στην πργώγιση σύνθετης συνάρτησης κθώς κι στην πρτήρηση σχετικά με το ότι το σύμβολο dy δεν είνι πηλίκο. d Στην εφ., ν τονιστεί ότι η εξίσωση της ευθείς που βρέθηκε με βάση τον νλυτικό ορισμό της εφπτομένης είνι ίδι με υτή που γνωρίζουμε πό την νλυτική γεωμετρί. Αυτό γι ν στθεροποιηθεί στους μθητές η ντίληψη ότι η έννοι της εφπτομένης που πργμτεύοντι στην νάλυση συνδέετι κι επεκτείνει την έννοι της εφπτομένης που γνώρισν στη γεωμετρί..4 Η έννοι του ρυθμού μετβολής είνι σημντική κι δείχνει τη σημσί της έννοις της πργώγου στις εφρμογές. Γι το λόγο υτό κλό είνι ν γίνει προσπάθει οι μθητές ν κτνοήσουν την έννοι κι ν δουν ορισμένες χρήσιμες εφρμογές..5 Ν δοθεί έμφση στη γεωμετρική ερμηνεί των Θεωρημάτων Rolle κι Μέσης Τιμής που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο μετά τη διτύπωση των θεωρημάτων υτών. Στην εφρμογή 3 ν γίνει συζήτηση γι το τι εκφράζει το πηλίκο S(,5) S(),5 (μέση τχύτητ της κίνησης) με στόχο ν κτνοήσουν οι μθητές ότι υτό που ποδεικνύετι είνι ότι κτά τη διάρκει της κίνησης υπάρχει τουλάχιστον μι χρονική στιγμή κτά την οποί η στιγμιί τχύτητ θ είνι ίση με τη μέση τχύτητ που είχε το υτοκίνητο σε όλη την κίνηση. Ενλλκτικά, θ μπορούσε ν συζητηθεί στην ρχή του κεφλίου το γεγονός, ότι κτά τη διάρκει της κίνησης ενός υτοκινήτου κάποι στιγμή της διδρομής η στιγμιί τχύτητά του θ είνι ίση με τη μέση τχύτητά του (κάτι που οι μθητές το ντιλμβάνοντι διισθητικά). Στη συνέχει, ν διτυπωθεί η μθημτική σχέση που εκφράζει το γεγονός υτό, κι ν τεθεί το ερώτημ ν το συμπέρσμ μπορεί

12 ν γενικευθεί κι γι άλλες συνρτήσεις. Η πάντηση στην ερώτηση υτή είνι το Θεώρημ Μέσης Τιμής..6 Στην ρχή της διδσκλίς υτού του κεφλίου μπορεί ν συνδεθεί η μονοτονί μις συνάρτησης f σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της με την διτήρηση του λόγου μετβολής f ( ) f ( ) ποδειχτεί ότι η συνάρτηση f είνι: i) γνησίως ύξουσ στο Δ, ν κι μόνο ν στο διάστημ υτό. Συγκεκριμέν, ν f ( ) f ( ), δηλδή, ν κι μόνο ν όλες οι χορδές της γρφικής πράστσης της f στο διάστημ Δ έχουν θετική κλίση. ii) γνησίως φθίνουσ στο Δ, ν κι μόνο ν f ( ) f ( ), δηλδή, ν κι μόνο ν όλες οι χορδές της γρφικής πράστσης της f στο διάστημ Δ έχουν ρνητική κλίση. Με τον τρόπο υτό θ συνδεθεί η μονοτονί με την πράγωγο κι θ δικιολογηθεί το γιτί στην πόδειξη του θεωρήμτος της μονοτονίς f ( ) f ( ) χρησιμοποιούμε το λόγο μετβολής..7 Τ προβλήμτ μεγίστων ελχίστων ποτελούν μί πό τις σημντικές εφρμογές του διφορικού λογισμού που δικιολογούν κι ποδίδουν ξί στη διδσκλί του. Συγχρόνως, συγκεντρώνουν στοιχεί πό τη διδσκλί προηγούμενων ενοτήτων κι έτσι ποτελούν μι κλή ευκιρί επνλήψεων κι συμπληρώσεων. Κρίνετι σκόπιμο ν συζητηθούν κτά το δυντόν περισσότερ προβλήμτ. Μετά την εφρμογή ν διδχθεί ως εφρμογή η άσκηση 3 ) i) της Β Ομάδς. Ως πόδειξη, εκτός πό εκείνη που περιέχετι στο βιβλίο λύσεων, μπορεί ν δοθεί κι η κόλουθη που είνι έμμεση συνέπει της εφρμογής. Ζητούμενο: Γι κάθε είνι e κι το «=» ισχύει μόνο γι. Απόδειξη: Γι όλους τους θετικούς ριθμούς ισχύει ln κι το «=» ισχύει ν κι μόνο ν. Επομένως κι γι τον θετικό e ισχύει ln e e κι το «=»

13 ισχύει μόνο γι e δηλδή. Επομένως e κι το «=» ισχύει μόνο γι. Άρ e κι το «=» ισχύει μόνο γι..8 Υπενθυμίζετι ότι θ μελετηθούν μόνο συνρτήσεις που είνι τουλάχιστον δύο φορές πργωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους. Γι το λόγο υτό δεν θ διδχτούν οι σκήσεις 3iv κι 3v της Α ομάδς..9 Γι μι διισθητική κτνόηση του κνόν De L Hospital προτείνετι, πριν τη ln διτύπωση του, ν δοθεί στους μθητές ν υπολογίσουν το lim, το οποίο είνι της μορφής. Οι μθητές θ διπιστώσουν ότι δυσκολεύοντι ν υπολογίσουν το όριο υτό με τις μεθόδους που γνωρίζουν μέχρι τώρ. Γι ν τους βοηθήσουμε ν υπολογίσουν το πρπάνω όριο προτείνουμε ν δοθεί σε υτούς η κόλουθη δρστηριότητ. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ i) Ν πρστήσετε γρφικά στο ίδιο σύστημ συντετγμένων τις συνρτήσεις ii) ln κι g f. Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες των γρφικών πρστάσεων των f κι g στο κοινό τους σημείο A(,) είνι οι ευθείες ε : y κι ζ : y ντιστοίχως κι ν τις χράξετε. iii) Ν κάνετε χρήση του γεγονότος ότι «κοντά» στο οι τιμές των συνρτήσεων f ln κι g προσεγγίζοντι πό τις τιμές των εφπτομένων τους y κι y γι ν κτλήξετε στο ln συμπέρσμ ότι «κοντά» στο η τιμή του πηλίκου είνι κτά προσέγγιση ίση με την τιμή του πηλίκου, δηλδή ότι «κοντά» στο ln ισχύει: ;, ( ) που είνι το πηλίκο των κλίσεων των πρπάνω ευθειών. 3

14 Επομένως, «κοντά» στο ισχύει γράφετι: f f lim g g f f ;, το οποίο υπό μορφή ορίου g g ΣΧΟΛΙΟ Η διπίστωση του γεγονότος ότι «κοντά» στο οι τιμές των συνρτήσεων ln κι g f προσεγγίζοντι πό τις τιμές των εφπτομένων τους y κι y μπορεί ν γίνει κι με τη βοήθει ενός δυνμικού λογισμικού (πχ. Geogebra), ως εξής: Πριστάνουμε γρφικά τις συνρτήσεις y y ln κι κι στη συνέχει χράσσουμε τις εφπτόμενες τους y κι y ντιστοίχως (σχήμ 7). Έπειτ, κάνουμε λλεπάλληλ ZOOM κοντά στο σημείο A (,) πρτηρήσουμε ότι η y. Θ y ln θ συμπέσει με την ευθεί y, ενώ η θ συμπέσει με την ευθεί y (σχήμ 8). Σχήμ 7 4

15 Σχήμ 8 Ν τονιστεί ότι οι κνόνες De l Hospital δεν είνι πάντ πρόσφοροι γι τον υπολογισμό ορίων προσδιόριστων μορφών. Έτσι, ν έχουμε το όριο lim κι επιχειρήσουμε ν εφρμόσουμε τον κνόν βρίσκουμε κι δηλδή επιστρέφουμε εκεί που ρχίσμε χωρίς ν βρούμε το όριο. Χωρίς τον κνόν βρίσκουμε: lim lim lim Ν τονιστεί ότι ενδέχετι μι συνάρτηση ν τέμνει μι πλάγι ή οριζόντι σύμπτωτη της. Ως πράδειγμ μπορεί ν δοθεί (ευκτίο ν δοθεί κι το γράφημ) η συνάρτηση f ( ) που έχει σύμπτωτη την y η οποί τέμνει την γρφική πράστση σε άπειρ σημεί.. Η γρφική πράστση μις συνάρτησης είνι μι περιεκτική μορφή νπράστσης που πρέχει πληροφορίες γι τη συνάρτηση με άμεσο κι εύληπτο τρόπο. Συγχρόνως η διδικσί μελέτης κι χάρξής της βοηθάει στην εμπέδωση κι ενοποίηση προηγούμενων γνώσεων. Στην περίπτωση που η συνάρτηση εκφράζει έν φινόμενο, η γρφική πράστσή της προσφέρει επιπλέον κτνόηση του φινομένου. Γι το λόγο υτό προτείνετι η χάρξη της γρφικής 5

16 πράστσης κι συνρτήσεων που μελετήθηκν σε προβλήμτ προηγούμενων πργράφων (πχ στην.7) Κεφάλιο 3 ο 3. Ν δοθεί έμφση στ προβλήμτ που διτυπώνοντι στο σχολικό βιβλίο στην ρχή της ενότητς κι ν τονιστεί η σημσί της ντίστροφης διδικσίς της πργώγισης. Θ ήτν κλό ν συζητηθούν διεξοδικά ορισμέν πό υτά ή άλλ νάλογ, ώστε ν προκύψει η σημσί της ρχικής συνάρτησης. Ν συζητηθεί μόνο η πρώτη πράγρφος που φορά στην πράγουσ συνάρτηση. Το όριστο ολοκλήρωμ πρλείπετι κι ντί του πίνκ όριστων ολοκληρωμάτων ν δοθεί ο πρκάτω πίνκς των πργουσών μερικών βσικών συνρτήσεων. Α/Α Συνάρτηση Πράγουσες f ( ) G( ) c, c R, f ( ) G( ) c, c R 3 f ( ) G( ) ln c, c R 4 f ( ) G( ) c, c 5 f ( ) συν G( ) ημ c, c 6 f ( ) ημ G( ) συν c, c 7 8 f ( ) G( ) εφ c, c R συν f ( ) G( ) σφ c, c R ημ 9 f ( ) e G( ) e c, c R f ( ) G( ) c, c ln 6

17 Σημείωση: Οι τύποι του πίνκ υτού ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οποίο οι πρστάσεις του που εμφνίζοντι έχουν νόημ. Οι δύο ιδιότητες των όριστων ολοκληρωμάτων στο τέλος της πργράφου μπορούν ν νδιτυπωθούν ως εξής: Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι πράγουσες των f κι g ντιστοίχως κι ο λ είνι ένς πργμτικός ριθμός, τότε: i) Η συνάρτηση F G είνι μι πράγουσ της συνάρτησης f g κι ii) Η συνάρτηση λf είνι μι πράγουσ της συνάρτησης λf. Οι εφρμογές κι οι σκήσεις ν γίνουν με τη χρήση των ρχικών συνρτήσεων. 3.4 Το πρώτο μέρος που φορά στον υπολογισμό του εμβδού πρβολικού χωρίου ν γίνει με τρόπο που ν νδεικνύει την ξιοποίηση των θροισμάτων κι της ορικής διδικσίς γι την εύρεση υπολογισμό του εμβδού. Στη συνέχει ν γίνει διισθητική προσέγγιση της έννοις του ορισμένου ολοκληρώμτος κι ν συνδεθεί με το εμβδόν ότν η συνάρτηση δεν πίρνει ρνητικές τιμές κι με τον υπολογισμό του πρβολικού χωρίου που προηγήθηκε. Ν γίνει η εφρμογή του βιβλίου γι το ολοκλήρωμ στθερής συνάρτησης κι οι ιδιότητες που κολουθούν. Ν δοθεί στους μθητές η δυντότητ ν χρησιμοποιούν, νπόδεικτ, τις πρκάτω προτάσεις φού προυσιστούν σύντομ οι, προφνείς, ποδείξεις τους: «Έστω f κι g δυο συνεχείς συνρτήσεις σε έν διάστημ, β. β β Αν f g γι κάθε, β, τότε θ ισχύει: f d g d. Αν, επιπλέον, οι συνρτήσεις f κι g δεν είνι ίσες στο [, β] (δηλδή, ν β β υπάρχει ξ [, β], με f ( ) g( ) ), τότε θ ισχύει: f d g d» Επισήμνση: Η ισότητ του πρώτου πλισίου είνι η εξής: β ν f d lim f ( ξκ )Δ ν κ 7

18 3.5 Η εισγωγή της συνάρτησης f t dt γίνετι γι ν ποδειχθεί το Θεμελιώδες Θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού κι ν νδειχθεί η σύνδεση του Διφορικού με τον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Γι το λόγο υτό δεν θ διδχθούν εφρμογές κι σκήσεις που νφέροντι στη συνάρτηση στη συνάρτηση g ( ) f t dt. f t dt κι γενικότερ 3.7 Κτά τη διδσκλί της πργράφου μπορεί ν χρειστεί ν συζητηθούν έννοιες κι διδικσίες πό τις προηγούμενες τάξεις, όπως επίλυση εξισώσεων κι νισώσεων, συστημάτων, γρφικές πρστάσεις βσικών συνρτήσεων. Επισήμνση: Από τη διδκτέ-εξετστέ ύλη εξιρούντι οι Ασκήσεις του σχολικού βιβλίου που νφέροντι σε τύπους τριγωνομετρικών ριθμών θροίσμτος γωνιών, διφοράς γωνιών κι διπλάσις γωνίς. Οι διδάσκοντες/ουσες ν ενημερωθούν ενυπόγρφ. Η ΥΦΥΠΟΥΡΓΟΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΟΦΙΑ ΖΑΧΑΡΑΚΗ Εσωτ. Δινομή Δ/νση Σπουδών, Προγρ/των & Οργάνωσης Δ.Ε., Τμ. Α Δ/νση Πιδείς, Ομογ., Διπ. Εκπ/σης, Ευρ. κι Μειον. Σχολείων Διεύθυνση Θρησκευτικής Εκπ/σης & Διθρ. Σχέσεων Δ/νση Ειδικής Αγωγής κι Εκπ/σης Αυτ. Διεύθυνση Ιδιωτικής Εκπ/σης Αυτ. Τμήμ Πρότυπων κι Πειρμτικών Σχολείων Διεύθυνση Εξετάσεων κι Πιστοποιήσεων, Τμ. Α ΑΚΡΙΒΕΣ ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ 8