Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ
|
|
- Μαθθαῖος Κυπραίος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή μς ζωή χρησιμοποιούμε προτάσεις, όπως: «Σήμερ είνι ωρί μέρ γι εκδρομή» «Μου τη δίνουν τ Μθημτικά» Οι πρπάνω προτάσεις ν κι πό γρμμτική ή συντκτική άποψη είνι σωστές, πό Μθημτική άποψη έχουν έν μειονέκτημ. Δεν μπορούν ν χρκτηριστούν ως ληθείς ή ψευδείς. Στ Μθημτικά όμως, οι προτάσεις που χρησιμοποιούμε πρέπει πέρν κάθε μφιβολίς ν μπορούν ν χρκτηριστούν ληθείς ή ψευδείς. Γι πράδειγμ μθημτικές προτάσεις είνι οι εξής: Μ.Π.1: (Μθημτική πρότση 1): «Ο ριθμός είνι διιρέτης του 6» Μ.Π.: «Υπάρχει φυσικός ριθμός x τέτοιος ώστε x 5» Γι όλες τις πρπάνω μθημτικές προτάσεις, μπορούμε με σιγουριά ν ισχυριστούμε ν είνι ληθείς ή ψευδείς. Έτσι η Μ.Π.1 είνι ληθής, όπως κι η Μ.Π., ενώ η είνι ψευδής. Πρτήρηση: Στο σχολικό βιβλίο, ντί του όρου «μθημτική πρότση» ή του πιο γενικού «λογική πρότση», χρησιμοποιείτι ο όρος «ισχυρισμός». Προτσικός τύπος είνι μί μθημτική έκφρση που περιέχει μί μετβλητή κι η οποί γίνετι λογική πρότση γι κάθε τιμή της μετβλητής.
2 Ποσοδείκτες Ας θεωρήσουμε τους προτσικούς τύπους: px : «γι τον πργμτικό ριθμό x ισχύει x 0». qx : «γι τον πργμτικό ριθμό x ισχύει x 1 7». Πρτηρούμε ότι ο πρώτος προτσικός τύπος γίνετι ληθής πρότση γι οποιδήποτε τιμή του πργμτικού ριθμού x. Λέμε τότε ότι ο προτσικός τύπος μί κθολική πρότση. px είνι Στ Μθημτικά γι ν δηλώσουμε ότι ένς προτσικός τύπος είνι ληθής γι κάθε τιμή της μετβλητής που περιέχει, χρησιμοποιούμε το σύμβολο που λέγετι κθολικός ποσοδείκτης. Επίσης πρτηρούμε ότι ο δεύτερος προτσικός τύπος γίνετι ληθής πρότση μόνο γι x 3, ενώ γι οποιδήποτε άλλη τιμή του x γίνετι ψευδής πρότση. Δηλδή υπάρχει πργμτική τιμή του x γι την οποί ο προτσικός τύπος qx γίνετι ληθής πρότση. Στ Μθημτικά γι ν δηλώσουμε ότι υπάρχει τιμή της μετβλητής γι την οποί ένς προτσικός τύπος γίνετι ληθής, χρησιμοποιούμε το σύμβολο που λέγετι υπρξικός ποσοδείκτης. 9
3 Λογικές πράξεις Με τις πλές λογικές προτάσεις, δεν μπορούμε ν εκφράσουμε πάντοτε υτό που θέλουμε. Έτσι δημιουργούμε «σύνθετες» προτάσεις συνδέοντς πλές προτάσεις με τις λεγόμενες «λογικές πράξεις». Αυτές είνι οι πρκάτω: Η άρνηση : Από την λογική πρότση p, μπορούμε ν δημιουργήσουμε την άρνηση της p που συμβολίζετι με p ή όχι p. Η πρότση p είνι ληθής ότν η p είνι ψευδής, ενώ είνι ψευδής ότν η p είνι ληθής. Πράδειγμ: Αν έχουμε την πρότση p : «5 7», η άρνηση της p είνι η πρότση: «5 7». Ο πίνκς λήθεις γι την πρότση p είνι ο εξής: p p Δηλδή ότν η πρότση p είνι ληθής (A), η άρνησή της ντίστροφ. Η συνεπγωγή p είνι ψευδής (Ψ) κι Έστω δύο ισχυρισμοί p κι q. Αν πό την λήθει του ισχυρισμού p μπορούμε ν συμπεράνουμε την λήθει του ισχυρισμού q, τότε λέμε ότι ο p συνεπάγετι τον q κι γράφουμε p q. Η πρότση p λέγετι υπόθεση κι η πρότση q λέγετι συμπέρσμ Πράδειγμ: Αν x, τότε p: υπόθεση x 0 κι γράφουμε: x x 0. q: συμπέρσμ Θεωρούμε ότι η συνεπγωγή p q είνι ψευδής μόνο στη περίπτωση που η υπόθεση p είνι ληθής κι το συμπέρσμ q είνι ψευδής πρότση. Σε κάθε άλλη περίπτωση η συνεπγωγή p q είνι ληθής πρότση. O πίνκς λήθεις της συνεπγωγής p q είνι ο πρκάτω. p q p q 10
4 Η ισοδυνμί Έστω δύο ισχυρισμοί p κι q. Αν πό την λήθει του ισχυρισμού p μπορούμε ν συμπεράνουμε την λήθει του ισχυρισμού q κι πό την λήθει του ισχυρισμού q μπορούμε ν συμπεράνουμε την λήθει του ισχυρισμού p, τότε λέμε ότι οι ισχυρισμοί p κι q είνι ισοδύνμοι κι γράφουμε p q. Είνι φνερό ότι ν οι ισχυρισμοί p κι q είνι ισοδύνμοι, ισχύουν κι οι δύο συνεπγωγές: p q κι q p Μί ισοδυνμί θεωρείτι ληθής πρότση ότν οι προτάσεις p κι q είνι κι οι δύο ληθείς ή κι οι δύο ψευδείς. Πρδείγμτ: Α: Β: x x x 9 3 ή 3 p q το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισόπλευρο p q Ο πίνκς λήθεις της ισοδυνμίς είνι ο πρκάτω: p q p q Ο σύνδεσμος «ή» (διάζευξη). Έστω δύο ισχυρισμοί p κι q. Από τους ισχυρισμούς υτούς μπορούμε ν δημιουργήσουμε τον ισχυρισμό «p ή q». Ο ισχυρισμός «p ή q» λέγετι διάζευξη των p κι q. Δεχόμστε ότι ο ισχυρισμός ληθεύει ότν ένς τουλάχιστον πό τους p κι q ληθεύει. Πράδειγμ: Ο ισχυρισμός 5 ή p 0 q, θεωρείτι ληθής γιτί είνι ληθής ο ισχυρισμός p p q p ή q 11
5 Ο σύνδεσμος «κι» (σύζευξη) Έστω δύο ισχυρισμοί p κι q. Από τους ισχυρισμούς υτούς μπορούμε ν δημιουργήσουμε τον ισχυρισμό «p κι q». Ο ισχυρισμός «p κι q» λέγετι σύζευξη των p κι q. Δεχόμστε ότι ο ισχυρισμός «p κι q» ληθεύει ότν κθένς πό τους p κι q ληθεύει. Πράδειγμ: Ο ισχυρισμός: Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει 1 0 κι p q είνι σωστός, γιτί είνι ληθεύουν κι οι δύο ισχυρισμοί p κι q. Ο ισχυρισμός: Αν,β κέριοι, τότε ο ριθμός β είνι κέριος κι δεν είνι ληθής, γιτί δεν είνι ληθής ο ισχυρισμός q. p Ο πίνκς λήθεις της σύζευξης είνι ο πρκάτω: p q p κι q ο ριθμός είνι κέριος β Σημείωση: Ότν συνδέουμε δύο ή περισσότερους ισχυρισμούς με τις λεγόμενες «λογικές πράξεις» δηλδή άρνηση, σύζευξη, διάζευξη, συνεπγωγή κι ισοδυνμί, προκύπτει ένς «λογικός τύπος». Αν ο λογικός τύπος είνι ληθής γι κάθε τιμή των ισχυρισμών που περιέχει, λέμε ότι ποτελεί «τυτολογί», ενώ ότν είνι πάντ ψευδής λέμε ότι ποτελεί «ντίφση». Πράδειγμ Ν ποδείξετε ότι ο λογικός τύπος p ή p κι q p είνι τυτολογί. Θ κτσκευάσουμε τον πίνκ λήθεις του λογικού τύπου p q p κι q p ή p κι q p ή p κι q p p ή p κι q p είνι πάντ ληθής, άρ είνι Πρτηρούμε ότι ο λογικός τύπος τυτολογί. q 1
6 Μέθοδοι πόδειξης Ότν ορίζουμε μί μθημτική έννοι, χρησιμοποιούμε άλλες έννοιες που έχουν οριστεί προηγούμεν. Έτσι όμως οδηγούμστε σε ορισμένες έννοιες που δεν μπορούν ν οριστούν λλά θεωρούντι «ρχικές» έννοιες. Γι πράδειγμ οι έννοιες σημείο, ευθεί κι επίπεδο είνι ρχικές έννοιες στη Γεωμετρί. Επίσης ότν ποδεικνύουμε μί πρότση, στηριζόμστε σε προηγούμενες προτάσεις που έχουν ποδειχθεί. Έτσι όμως οδηγούμστε σε κάποιες προτάσεις που δεν μπορούν ν ποδειχθούν. Οι προτάσεις υτές την λήθει των οποίων δεχόμστε χωρίς πόδειξη, λέγοντι «ξιώμτ». Γι πράδειγμ η πρότση: «Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,β ισχύει β β» είνι Αλγεβρικό ξίωμ. Μί μθημτική πρότση έχει δύο μέρη. Την υπόθεση κι το συμπέρσμ. Απόδειξη είνι η διδικσί με την οποί χρησιμοποιώντς την υπόθεση κι λογικά βήμτ κτλήγουμε στο συμπέρσμ. Οι συνηθισμένες ποδεικτικές μέθοδοι είνι οι εξής: Ευθεί πόδειξη: Ξεκινάμε πό την υπόθεση κι χρησιμοποιώντς τ δεδομέν κι προηγούμενες γνώσεις, κτλήγουμε στο συμπέρσμ. Πράδειγμ: x y Αν, ν ποδείξετε ότι x y. y x Απόδειξη: Έχουμε x y x y xy y x 0 x y 0 x y 0 x y. x y xy 13
7 Απόδειξη με ισοδυνμίες. Ξεκινάμε πό τη σχέση που θέλουμε ν ποδείξουμε κι με ισοδυνμίες κτλήγουμε σε κάτι που ισχύει. Πράδειγμ: Αν 0 x y ν ποδείξετε ότι x y 1x 1y Απόδειξη: Έχουμε x y 1x 1 y ισχύει πό υπόθεση. 1 x0,1 y0 1 1 x y y x x xy y xy x y που Απόδειξη με πγωγή σε άτοπο. Έστω ότι θέλουμε ν ποδείξουμε την συνεπγωγή p q κι διπιστώνουμε ότι η ευθεί πόδειξη δεν έχει ποτέλεσμ. Ένς τρόπος με τον οποίο μπορούμε ν εργστούμε σε μί τέτοι περίπτωση, είνι η «πγωγή σε άτοπο». Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει το συμπέρσμ q, άρ θ ισχύει η άρνηση του q. Χρησιμοποιώντς τώρ τ δεδομέν, στο τέλος κτλήγουμε σε κάτι που δεν ισχύει, δηλδή κτλήγουμε σε άτοπο. Πράδειγμ: Αν ο ριθμός είνι κέριος κι ο κι ο είνι περιττός. είνι περιττός, ν ποδείξετε ότι Απόδειξη: Έστω ότι ο δεν είνι περιττός, άρ θ είνι άρτιος. Δηλδή θ έχει μορφή κ, όπου κ φυσικός ριθμός. Έτσι έχουμε κ 4κ κ που σημίνει ότι ο ριθμός είνι άρτιος. Αυτό όμως είνι άτοπο, φού πό την υπόθεση ο είνι περιττός. Κτλήξμε σε άτοπο γιτί υποθέσμε ότι ο ριθμός είνι άρτιος. Άρ ο ριθμός είνι περιττός. 14
8 Λυμένες Ασκήσεις 1. Ν βρείτε ποιοι πό τους πρκάτω ισχυρισμούς είνι σωστοί κι ποιοι λάθος.. Αν x 4, τότε x β. Αν x τότε x 4 γ. Ισχύει xy 0 x 0 y δ. Η λογική πράξη «p κι q» είνι ληθής ότν μί τουλάχιστον πό τις προτάσεις p κι q είνι ληθής. ε. Αξίωμ λέμε μί πρότση που μπορούμε ν την ποδείξουμε.. Σωστό. β. Λάθος. Π.χ. ν x 4. x τότε γ. Σωστό. Το πηλίκο κι το γινόμενο δύο ριθμών είνι πάντ ομόσημοι ριθμοί. δ. Λάθος. Όπως φίνετι πό τον πίνκ λήθεις, η λογική πράξη «p κι q» είνι ληθής ότν κι οι δύο προτάσεις p κι q είνι ληθείς. ε. Λάθος. Αξίωμ είνι μί πρότση την οποί δεχόμστε ως ληθή, χωρίς πόδειξη.. Ποιες πό τις πρκάτω φράσεις είνι λογικές προτάσεις;. Ο ριθμός 8 είνι περιττός. β. Ο ριθμός 5 είνι ρητός. γ. Τ Κύθηρ ποτέ δεν θ τ βρούμε.. Είνι λογική πρότση κι είνι ψευδής. β. Επίσης είνι ψευδής λογική πρότση. γ. Δεν είνι λογική πρότση. 3. Ποιες πό τις πρκάτω προτάσεις είνι πλές κι ποιες σύνθετες;. Έν ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. β. Αν έν τρίγωνο είνι μβλυγώνιο, δεν μπορεί ν είνι ισόπλευρο. γ. Οι ριθμοί 3 κι 4 είνι διιρέτες του 0.. Η πρότση είνι πλή. β. Η πρότση είνι σύνθετη γιτί είνι της μορφής p q όπου p : «το τρίγωνο είνι μβλυγώνιο» κι q : «το τρίγωνο δεν είνι ισόπλευρο». γ. Η πρότση είνι σύνθετη γιτί είνι της μορφής p κι q όπου p : «ο ριθμός 3 είνι διιρέτης του 0» κι q : «ο ριθμός 4 είνι διιρέτης του 0». 15
9 . Το Λεξιλόγιο της Λογικής 4. Ν βρείτε τις πλές προτάσεις πό τις οποίες ποτελείτι κάθε μί πό τις επόμενες σύνθετες προτάσεις.. Αν ο ριθμός είνι άρρητος κι ο ριθμός β είνι ρητός, τότε ο ριθμός β είνι άρρητος. β. Αν οι γωνίες κι β είνι κτά κορυφήν, τότε είνι ίσες κι ντίστροφ. γ. Αν β κι β γ τότε.. Θεωρούμε τις πλές προτάσεις: p : «ο ριθμός είνι άρρητος», q : «ο ριθμός β είνι ρητός» κι r : «ο ριθμός β είνι άρρητος». Τότε η πρότση: Αν ο ριθμός είνι άρρητος κι ο ριθμός β είνι ρητός, τότε ο ριθμός β είνι άρρητος γράφετι ως εξής: p κι q r. β. Θεωρούμε τις πλές προτάσεις: p : «οι γωνίες κι β είνι κτά κορυφήν» κι q : «β». Τότε η πρότση: Αν οι γωνίες κι β είνι κτκορυφήν, τότε είνι ίσες κι ντίστροφ γράφετι ως εξής: p q. γ. Θεωρούμε τις πλές προτάσεις: p : «β», q : «β γ» κι r :. Τότε η πρότση: Αν β κι β γ 5. Ν ποδείξετε ότι ο λογικός τύπος p κι q τότε γράφετι p κι q r. p είνι τυτολογί Κτσκευάζουμε τον πίνκ λήθεις του λογικού τύπου p κι q p q p κι q p κι q p p. Από τον πίνκ λήθεις βλέπουμε ότι γι οποιονδήποτε συνδυσμό τιμών των λογικών προτάσεων p κι q η τιμή λήθεις του λογικού τύπου p κι q p είνι πάντ. Άρ ο προτσικός τύπος είνι τυτολογί. 16
10 6. Αν,β είνι ρητοί ριθμοί, x άρρητος κι ισχύει βx 0, ν ποδείξετε ότι β 0 Θ ποδείξουμε την πρότση με πγωγή σε άτοπο. Έστω ότι β 0. Τότε έχουμε βx 0 βx x x. Η ισότητ υ- β τή μς λέει ότι ο ριθμός x είνι ρητός γιτί είνι πηλίκο δύο ρητών. Αυτό όμως είνι άτοπο, γιτί πό την υπόθεση ο x είνι άρρητος. Κτλήξμε σε άτοπο γιτί υποθέσμε ότι β 0. Άρ θ είνι β 0. Γι β 0 η ισότητ βx 0 γίνετι 0x Αποδείξμε λοιπόν ότι β Ν ποδείξετε ότι ο λογικός τύπος p κι q p ή q είνι ντίφση. Κτσκευάζουμε τον πίνκ λήθεις του λογικού τύπου p κι q p ή q p q p q p κι q p ή q p κι q p ή q Πρτηρούμε ότι γι οποιονδήποτε συνδυσμό τιμών των λογικών προτάσεων p κι q η τιμή του λογικού τύπου p κι q p ή q είνι πάντ. Άρ ο λογικός τύπος είνι ντίφση ( ή ντιλογί). Είνι φνερό πό τον πρπάνω λογικό τύπο ότι η άρνηση της πρότσης p κι q είνι η πρότση p ή q. Ας πάρουμε γι πράδειγμ δύο πργμτικούς ριθμούς,β κι ς θεωρήσουμε την ισότητ β 0. Τότε όπως ξέρουμε θ είνι 0 κι β 0. Έτσι ν θεωρήσουμε τις προτάσεις: p: 0 κι q: β 0 περιγράφετι πό την σύζευξη p κι q. Αν τώρ θεωρήσουμε την άρνηση της ισότητς β 0, τότε θ ισχύει 0 ή β 0, η ισότητ β 0 β 0, δηλδή τη σχέση. Δηλδή η σχέση β 0 περιγράφετι πό την διάζευξη p ή q. Έτσι μπορούμε ν πούμε ότι οι προτάσεις p κι q κι p ή q είνι ισοδύνμες. 17
11 8. Ν ποδείξετε ότι ο λογικός τύπος p qp κι p είνι ντίφση. Κτσκευάζουμε τον πίνκ λήθεις του πρπάνω λογικού τύπου κι έχουμε: p q q p p p κι q p q p κι q Πρτηρούμε ότι γι οποιονδήποτε συνδυσμό τιμών των λογικών προτάσεων p κι q η τιμή του λογικού τύπου p qp κι q είνι πάντ. Άρ ο λογικός τύπος είνι ντίφση ( ή ντιλογί). 9. Έστω,β δύο περιττοί κέριοι ριθμοί. Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός είνι άρτιος. β Αφού οι ριθμοί,β είνι περιττοί, θ υπάρχουν κέριοι κ,λ έτσι ώστε κ 1 κι β λ 1. Επομένως θ έχουμε: β κ 1λ 1 κ λ κ λ 1 Ο ριθμός. π.χ. με ρ. Δηλδή Τότε θ είνι 4κ 4κ 1 4λ 4λ 1 4κ 4λ 4κ 4λ κ λ κ λ 1 είνι κέριος, άρ μπορούμε ν τον συμβολίσουμε κ λ κ λ 1 ρ. β ρ. Η ισότητ υτή σημίνει ότι ο ριθμός β είνι άρτιος. 18
12 Ασκήσεις γι λύση 1. Ποιοι πό τους πρκάτω ισχυρισμούς είνι Σωστοί (Σ) κι ποιοι λάθος (Λ); i. Όλες οι προτάσεις μπορούν ν χρκτηριστούν ως ληθείς ή ψευδείς. ii. Υπάρχει πργμτικός ριθμός x τέτοιο ώστε x x. iii. Γι κάθε πργμτικό ριθμό x ισχύει x x. iv. Οι σύνθετες προτάσεις ποτελούντι πό πλές προτάσεις που συνδέοντι μετξύ τους με τις λογικές πράξεις. v. Η p q είνι ψευδής μόνο ν η p είνι ψευδής κι η q είνι ληθής. vi. Η διάζευξη δύο ισχυρισμών είνι πάντ ληθής πρότση. vii. Οι ρχικές έννοιες της Γεωμετρίς είνι: σημείο, ευθεί κι κύκλος. viii. Αξίωμ είνι μί λογική πρότση που προκύπτει πό έν θεώρημ. ix. Η πγωγή σε άτοπο χρησιμοποιείτι μόνο στη Γεωμετρί. x. Στην ευθεί πόδειξη, ξεκινάμε πό την υπόθεση κι κτλήγουμε στο συμπέρσμ. i ii iii iv v vi vii viii ix x. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις, γι τους ριθμούς κι β, κυκλώστε το γράμμ Σ ν ο ισχυρισμός είνι σωστός κι το γράμμ Λ ν είνι λνθσμένος. 1. β 0 0 ή β Γι κάθε πργμτικός ριθμός ισχύει 4. Αν 1, τότε 5. Αν,β πργμτικοί ριθμοί, με β, τότε 6. β β 7. Αν 0 τότε β 34 3 κι β β 0 0 ή β 0 β
13 3. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω προτάσεις ώστε ν προκύψουν ληθείς ισχυρισμοί.. Η έκφρση, λέγετι υπρξικός β. Η έκφρση «γι κάθε» λέγετι... γ. Αν η πρότση p είνι., τότε η πρότση p είνι ληθής. δ. Η ισοδυνμί δύο προτάσεων είνι, ότν η μί πό τις δύο προτάσεις είνι κι η άλλη είνι ψευδής. ε. είνι μί, την λήθει της οποίς δεχόμστε χωρίς πόδειξη. 4. Στις πρκάτω προτάσεις ν συμπληρώσετε τ κενά με τις εκφράσεις: «υπάρχει, τέτοιο ώστε» ή «γι κάθε., ισχύει», όπως στ δύο πρώτ πρδείγμτ, έτσι ώστε ν προκύψουν ληθείς προτάσεις. 1: Υπάρχει πργμτικός ριθμός x τέτοιος ώστε : Γι οποιονδήποτε φυσικό ριθμό x, ισχύει κέριος x,. x x 1, x φυσικός x, 6.., φυσικός x,. x x. x x x. x. 5. Ν γράψετε την άρνηση των πρκάτω ισχυρισμών. i. x 5, ii. y 3, iii. x 1 ή x 4 iv. z 4, v. x y, vi. x y. 6. Στον πρκάτω πίνκ δίνοντι στη πρώτη στήλη κάποιες σχέσεις κι στη δεύτερη στήλη υπάρχουν άλλες προτάσεις που είνι ισοδύνμες των προτάσεων της πρώτης στήλης. Ν κάνετε την ντιστοιχί των ισοδύνμων προτάσεων. Στήλη Α Στήλη Β Ι x x 1 x y 1 ή x y 1 ΙΙ x x ή x ΙΙΙ x x3 0 κι x 1 3 x y 0 ΙV x y 0 4 x 1 V xy, θετικοί κέριοι κι xy 1 5 x 0 ή x 1 6 x y 1 7 x 8 x 3 0
14 7. Ν ντιστοιχίσετε κθέν πό τους ισχυρισμούς της 1 ης ομάδς με τον ισοδύνμό του ισχυρισμό της ης ομάδς. 1 η ομάδ η ομάδ Α x 3 1 x 0 ή x 1 Β x 4x 0 x 4 Γ x x 3 x ή x Δ x 9 κι x 0 4 x 0 κι x 3 Ε xx3 0 5 x ή x 4 Ζ x 4 6 x 3 Η x 16 κι x 4x 0 7 x 3 8 x κι x 9 x 3 ή x 3 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η 8. Έστω p,q δύο προτάσεις. Ν ποδείξετε ότι η ισοδυνμί p q q p (που είνι γνωστή στ Μθημτικά ως «ντιθετοντιστροφή»), είνι τυτολογί. 9. Έστω p,q δύο προτάσεις. Ν ποδείξετε ότι οι πρκάτω ισοδυνμίες είνι τυτολογίες. (Νόμοι de Morgan). p ή q p κι q Α: Β: p κι q p ή q. 10. Ν ποδείξετε ότι ο πρκάτω λογικός τύπος (Νόμος του συλλογισμού), είνι τυτολογί: p q κι q rp r. 11. Έστω,β δύο κέριοι ριθμοί. Ν ποδείξετε ότι: i. Αν οι,β είνι άρτιοι, τότε κι ο ριθμός +β είνι άρτιος. ii. Αν οι,β είνι περιττοί, τότε ο ριθμός.β είνι περιττός. iii. Αν ο είνι άρτιος κι ο β είνι περιττός, τότε οι ριθμοί +β κι.β είνι περιττοί. 1
15 1. Αν οι ριθμοί,β,γ,δ είνι με τη σειρά που δίνοντι διδοχικοί φυσικοί, ν - ποδείξετε ότι: i. β γ δ. ii. Ο ριθμός βδ γ είνι περιττός. iii. Ο ριθμός β γ δ είνι άρτιος λλά όχι πολλπλάσιο του Έστω κέριος ριθμός. Ν ποδείξετε ότι ν ο είνι περιττός, τότε κι ο είνι περιττός. 14. Έστω κέριος ριθμός. Ν ποδείξετε ότι ν ο είνι περιττός. είνι περιττός, τότε κι ο 15. Έστω άρρητος ριθμός κι ρ ρητός ριθμός. Ν ποδείξετε ότι: Α: Ο ριθμός ρ είνι άρρητος. Β: Αν ρ 0, ο ριθμός ρ είνι άρρητος. Γ: Αν ρ 0, ο ριθμός ρ είνι άρρητος.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
Διαβάστε περισσότεραν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για
165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότερα1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]
Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότεραf (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το
Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους
0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n
ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια της συνάρτησης
Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότερα( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:
Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΜέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό
Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα
Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ
Διαβάστε περισσότεραΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ
«Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.
367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ
ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ. Ν χρκτηρίσετε κθεµιά πό τις πρκάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Αν 0 κι > 0 τότε + > 0. Αν > > 0 τότε ² - ² > 0 γ. Αν τότε > 0 δ. Αν = τότε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότεραγια την εισαγωγή στο Λύκειο
Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας
Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια του διανύσματος
Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Έννοιες
Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης
Διαβάστε περισσότεραΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την
Διαβάστε περισσότερα1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι
Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ
78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. μ χ χ, μ, ν, ν 0 ν χ χ 0 ή χ 0 ή χ 0
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Αριθμοσύνολ Σύνολ Αριθμών * ) Φυσικοί ριθμοί Ν 0,,,,..., ν, ν, ν, ν, ν,... Ν Ν 0 ) Ακέριοι ριθμοί Ζ..., ν, ν, ν,...,,,,0,,,,..., ν, ν, ν,... + * Ζ Ν,,,..., ν, ν,
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Η συνεπαγωγή ν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι το P συνεπάγεται το Q και γράφουμε P Q Π.χ, όταν α=β
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:
Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραΕκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση
Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,
Διαβάστε περισσότεραΠαρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση
Διαβάστε περισσότερα1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ
. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ 1.1. Κάθε πρότση της μορφής f(x) = φ(x), όπου f κι φ είνι λγερικές πρστάσεις της μετλητής
Διαβάστε περισσότερα1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες
Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της
Διαβάστε περισσότεραΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ
Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραα β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής
Διαβάστε περισσότερατριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για
3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0
Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο
996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις
Διαβάστε περισσότεραΘ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης
1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο
Διαβάστε περισσότεραΜ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη
255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε
Διαβάστε περισσότεραΑ5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων
Διαβάστε περισσότερα3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με
Διαβάστε περισσότερα