Διακριτά Μαθηματικά. Αρχοντία Γιαννοπούλου Όλγα Φουρτουνέλλη. Χειμερινό Εξάμηνο

Transcript

1 1 / 50 Διακριτά Μαθηματικά Αρχοντία Γιαννοπούλου Όλγα Φουρτουνέλλη Χειμερινό Εξάμηνο

2 Απαρίθμηση 2 / 50

3 3 / 50 Βασικές Έννοιες Απαρίθμησης Κανόνας Γινομένου Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Αφαίρεσης Κανόνας Διαίρεσης

4 4 / 50 Κανόνας Γινομένου Έστω ότι έχουμε μία διαδικασία που αποτελείται από 2 επί μέρους εργασίες. Αν υπάρχουν n 1 τρόποι για να υλοποιηθεί η 1 η εργασία και για κάθε ένα από αυτούς υπάρχουν n 2 τρόποι για να υλοποιηθεί η 2 η τότε υπάρχουν συνολικά n 1 n 2 τρόποι για την υλοποίηση της διαδικασίας.

5 5 / 50 Παράδειγμα Κανόνα Γινομένου Να βρείτε το πλήθος των συναρτήσεων f : A B οπου A = m και B = n. n m Να βρείτε το πλήθος των 1-1 συναρτήσεων f : A B οπου A = m και B = n. n (n 1) (n m + 1)

6 6 / 50 Κανόνας Αθροίσματος Αν μία διαδικασία μπορεί να υλοποιηθεί είτε από μία εργασία που υλοποιείται με n 1 τρόπους είτε από μία εργασία που υλοποιείται με n 2 τρόπους (όπου όλοι είναι μεταξύ τους διακεκριμμένοι) τότε υπάρχουν συνολικά n 1 + n 2 τρόποι για την υλοποίηση της διαδικασίας.

7 7 / 50 Παράδειγμα Κανόνα Αθροίσματος Έστω ότι θέλουμε να ονομάσουμε μία μεταβλητή χρησιμοποιώντας έναν χαρακτήρα του Λατινικού αλφαβήτου είτε κεφαλαίο είτε μικρό (όπου τα κεφαλαία και τα μικρά γράμματα θεωρούμε διακεκριμμένα). Με πόσους τρόπους μπορούμε να την ονομάσουμε;

8 8 / 50 Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να ονομάσουμε μία μεταβλητή χρησιμοποιώντας δύο χαρακτήρες οι οποίοι μπορούν να είναι γράμματα του Λατινικού αλφαβήτου είτε κεφαλαία είτε μικρα (όπου τα κεφαλαία και τα μικρά γράμματα θεωρούμε διακεκριμμένα) και ψηφία από το 0 έως το 9. Με πόσους τρόπους μπορούμε να την ονομάσουμε; ( ) ( ) Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το πολύ ένα ψηφίο στους δύο χαρακτήρες; ( ) ( ) + ( ) ( )

9 9 / 50 Κανόνας Αφαίρεσης Αν μία διαδικασία μπορεί να υλοποιηθεί είτε από μία εργασία που υλοποιείται με n 1 τρόπους είτε από μία εργασία που υλοποιείται με n 2 τρόπους τότε υπάρχουν συνολικά n 1 + n 2 τρόποι μείον το πλήθος των τρόπων υλοποίησης που είναι κοινοί στις δύο διαφορετικές εργασίες για την υλοποίηση της διαδικασίας.

10 10 / 50 Συμβολοσειρά από bit Πόσες συμβολοσειρές από 6 bit υπάρχουν τέτοιες ώστε είτε να ξεκινάνε από 11 είτε να τελειώνουν σε 00;

11 11 / 50 Κανόνας Διαίρεσης Αν μία διαδικασία μπορεί να υλοποιηθεί με n τρόπους και σε κάθε εργασία w αντιστοιχούν ακριβώς d από αυτούς τους τρόπους (διαφορετικοί από τους υπόλοιπους) τότε υπάρχουν συνολικά n/d εργασίες που υλοποιούν την διαδικασία.

12 12 / 50 Παράδειγμα Κανόνα Διαίρεσης Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 άτομα σε ένα στρογγυλό τραπέζι αν δύο τρόποι θεωρούνται ίδιοι όταν όλοι έχουν τον ίδιο αριστερό και δεξιό γείτονα; 4! 4 = 24 4

13 13 / 50 Αρχή του Περιστερώνα Αν k + 1 αντικείμενα τοποθετηθούν σε k κουτιά τότε τουλάχιστον ένα κουτί θα περιέχει δύο ή περισσότερα αντικείμενα. Πόρισμα: Μία συνάρτηση f από ένα σύνολο με k + 1 στοιχεία σε ένα σύνολο με k στοιχεία δεν είναι 1-1.

14 14 / 50 Γενικευμένη αρχή του Περιστερώνα Αν N αντικείμενα τοποθετηθούν σε k κουτιά τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα κουτί που περιέχει N k αντικείμενα.

15 15 / 50 Τραπουλόχαρτα Πόσα τραπουλόχαρτα από μία τυπική τράπουλα 52 χαρτιών πρέπει να τραβήξουμε ώστε 3 χαρτιά να έχουν το ίδιο χρώμα; 3 χαρτιά να είναι σπαθιά;

16 16 / 50 Αύξουσες ή φθίνουσες γνήσιες υπακολουθίες Κάθε ακολουθία από n διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς περιέχει μία υπακολουθία μήκους n + 1, η οποία είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα. 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7

17 17 / 50 Αριθμοί Ramsey R(m, n): Ελάχιστο πλήθος μίας ομάδας ανθρώπων όπου είτε m από αυτούς είναι αμοιβαία φίλοι είτε n από αυτούς είναι αμοιβαία εχθροί. Να δείξετε ότι είναι δυνατόν σε μία ομάδα 5 ανθρώπων να μην υπάρχουν ούτε 3 άνθρωποι που είναι αμοιβαία φίλοι ούτε 3 άνθρωποι που είναι αμοιβαία εχθροί.

18 18 / 50 Paul Erdős Suppose aliens invade the earth and threaten to obliterate it in a year s time unless human beings can find the Ramsey number for red five and blue five. We could marshal the world s best minds and fastest computers, and within a year we could probably calculate the value. If the aliens demanded the Ramsey number for red six and blue six, however, we would have no choice but to launch a preemptive attack.

19 19 / 50 Μεταθέσεις Μία μετάθεση ενός συνόλου διαφορετικών αντικειμένων είναι μία διατεταγμένη τοποθέτηση αυτών των αντικειμένων. Μία διατεταγμένη τοποθέτηση r στοιχείων ενός συνόλου ονομάζεται μετάθεση-r.

20 20 / 50 Παράδειγμα Ποιές είναι οι μεταθέσεις-3 του συνόλου S = {a, b, c, d}; abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb

21 21 / 50 Πλήθος μεταθέσεων Έστω n: θετικός ακέραιος r: ακέραιος με 1 r n τότε P(n, r) = n (n 1) (n r + 1) μεταθέσεις-r ενός συνόλου με n στοιχεία.

22 22 / 50 Πλήθος μεταθέσεων Εάν n θετικός ακέραιος και 0 r n τότε P(n, r) = n! (n r)! P(n, n) = n!

23 23 / 50 Συνδυασμοί Ένας συνδυασμός-r στοιχείων ενός συνόλου είναι μία μη-διατεταγμένη επιλογή r στοιχείων από το σύνολο. Άρα, ένας συνδυασμός-r είναι ένα υποσύνολο του συνόλου που αποτελείται από r στοιχεία.

24 24 / 50 Παράδειγμα Ποιοί είναι οι συνδυασμοί-3 του συνόλου S = {a, b, c, d}; Mεταθέσεις-3: abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb Συνδυασμοί-3: abc, abd, acd, bcd

25 25 / 50 Πλήθος συνδυασμών Έστω n: θετικός ακέραιος r: ακέραιος με 0 r n τότε C(n, r) = n! r! (n r)! συνδυασμοί-r ενός συνόλου με n στοιχεία. C(n, r) = C(n, n r)

26 26 / 50 Παραδείγματα Πόσοι τρόποι υπάρχουν να σταθούν 8 άνδρες και 5 γυναίκες σε μία γραμμή ώστε καμμία γυναίκα να μη στέκεται δίπλα σε μία άλλη; Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθουν σε ένα ράφι μίας βιβλιοθήκης k έργα από r τόμους το καθένα και n k έργα από s τόμους το καθένα έτσι ώστε οι τόμοι του ίδιου έργου να μη χωρίζονται;

27 27 / 50 Παραδείγματα Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματισθεί ένα k-μελές συμβούλιο ενός συλλόγου n ανδρόγυνων εάν πρέπει να περιλαμβάνει ακριβώς r γυναίκες δεν μπορούν να συμμετέχουν δύο σύζυγοι, και δεν υπάρχει κανένας περιορισμός; Έστω n στοιχεία στην περιφέρεια ενός κύκλου. Συνδέοντας καθ όλους τους δυνατούς τρόπους τα σημεία αυτά πόσες χορδές μπορούμε να κατασκευάσουμε; Αν τα σημεία αυτά θεωρηθούν ως κορυφές, πόσα k-γωνα μπορούμε να κατασκευάσουμε;

28 28 / 50 Παραδείγματα Σε κάθε σύνολο n + 1 διαφορετικών θετικών ακέραιων που δεν υπερβαίνουν το 2n υπάρχουν δύο που διαιρούν ο ένας τον άλλο, και δύο που είναι σχετικά πρώτοι. Δοθέντος οποιουδήποτε συνόλου 10 θετικών ακεραίων που δεν υπερβαίνουν το 50 υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά υποσύνολα 5 στοιχείων, τα οποία έχουν το ίδιο άθροισμα.

29 29 / 50 Διωνυμικοί Συντελεστές Διωνυμική έκφραση: άθροισμα δύο όρων Διωνυμικός συντελεστής: C(n, r) (γράφεται ώς ( n r) ) (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) = x 3 + 3x 2 y + 3y 2 x + y 3 ( ) ( ) ( ) = x 3 + x 2 y xy 2 + ( ) 3 y 3 3

30 Διωνυμικό Θεώρημα (x + y) n = n j=0 ( ) n x n j y j j Ποιός είναι ο συντελεστής του x 12 y 13 στο ανάπτυγμα του (x + y) 25 ; (2x 3y) / 50

31 31 / 50 Πορίσματα n k=0 ( ) n = 2 n, k n ( ) n ( 1) k = 0, n > 0, k k=0 n ( ) n 2 k = 3 n k k=0

32 32 / 50 Η ταυτότητα του Pascal n, k θετικοί ακέραιοι ( ) n + 1 = k ( ) n + k 1 ( ) n k ( 0 0) ( 1 ) ( 1 0 1) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( )

33 33 / 50 Θεώρημα του Vandermonde m, n, r μη αρνήτικοι ακέραιοι και r m, n ( ) m + n = r r ( m )( ) n r k k k=0 ( ) 2n = n n k=0 ( ) n 2 k

34 34 / 50 Θεώρημα n, r μη αρνητικοί ακέραιοι με r n ( ) n + 1 = r + 1 n j=r ( ) j r

35 35 / 50 Παράδειγμα Πόσες συμβολοσειρές μήκους r μπορούν να σχηματιστούν από τα κεφαλαία γράμματα του Λατινικού Αλφάβητου; 26 r

36 36 / 50 Μεταθέσεις με επανάληψη Σύνολο n στοιχείων Mεταθέσεις-r στοιχείων με επανάληψη n r

37 37 / 50 Παράδειγμα Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλέξουμε 5 χαρτονομίσματα από ένα χρηματοκιβώτιο που περιέχει χαρτονομίσματα των 5 ευρώ, 10 ευρώ, 20 ευρώ, 50 ευρώ, 100 ευρώ, 200 ευρώ, 500 ευρώ; ( ) 11 5

38 38 / 50 Συνδυασμοί με επανάληψη Σύνολο n στοιχείων Συνδυασμοί-r στοιχείων με επανάληψη ( ) ( ) n + r 1 n + r 1 = r n 1

39 39 / 50 Πόσες διαφορετικές συμβολοσειρές προκύπτουν αναδιαττάσσοντας τα γράμματα της λέξης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 10! 3!2!

40 40 / 50 Μεταθέσεις με μη Διακεκριμένα Αντικείμενα n αντικείμενα n i τύπου i, 1 i k n! n 1!n 2! n k!

41 41 / 50 Διακεκριμένα Αντικείμενα σε Διακεκριμένα Κουτιά n διακεκριμένα αντικείμενα k διακεκριμένα κουτιά n i αντικείμενα στο κουτί i n! n 1!n 2! n k!

42 42 / 50 Τραπουλόχαρτα 4 παίκτες 5 χαρτιά ο καθένας Με πόσους τρόπους μπορούν να κατανεμηθούν; ( 52 5 )( 47 5 )( 42 5 )( ) 37 = 5 52! 5!5!5!5!32!

43 43 / 50 Μη-Αρνητικές Ακέραιες Λύσεις Εξισώσεων οπου x i 0. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 ( )

44 44 / 50 Βιβλία σε Ράφια Με πόσους τρόπους τοποθετούνται 15 όμοια βιβλία σε 4 διακεκριμένα ράφια; Πώς θα το εκφράζαμε ως εξίσωση; όπου x i > 0. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15

45 45 / 50 Βιβλία σε Ράφια Αν πρέπει να τοποθετήσουμε τουλάχιστον ένα βιβλίο σε κάθε ράφι; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 οπου x i 1. Ισοδύναμα, θέτοντας x i = x i + 1. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 11 Αν επιπλέον το τέταρτο ράφι πρέπει να έχει το πολύ 5 βιβλία; οπου x i 1 και x i 4. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15

46 46 / 50 Βιβλία σε ράφια Με πόσους τρόπους τοποθέτουνται 15 διακεκριμένα βιβλία σε 4 διακεκριμένα ράφια; Αν μας ενδιαφέρει η θέση του κάθε βιβλίου στο ράφι; ( ) ! 15 Αν δεν μας ενδιαφέρει η θέση του στο ράφι; x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =15,x i 0 15! x 1!x 2!x 3!x 4!

47 47 / 50 Επανάληψη Σε μία ακολουθία m ακεραίων υπάρχει ένας ή περισσότεροι διαδοχικοί όροι που το άθροισμα τους διαιρείται από το m. n 2 n 1 n i=1 j=i+1 k=j+1 1 = ( ) n 3. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να αντιστοιχίσουμε 24 φοιτητές σε 5 ακαδημαϊκούς συμβούλους;

48 48 / 50 Επανάληψη Πόσα υποσύνολα ενός συνόλου 20 στοιχείων έχουν γνήσια λιγότερα από 5 στοιχεία; περισσότερα από 14 στοιχεία; άρτιο πλήθος στοιχείων; Ο Αγ. Βασίλης έχασε τη λίστα 100 καλών και κακών παιδιών και αποφάσισε να τους χωρίσει τυχαία. Με πόσους τρόπους μπορεί να τους χωρίσει στις λίστες;

49 49 / 50 Επανάληψη Κατάστημα παγωτών 28 διαφορετικές γεύσεις, 8 διαφορετικές μορφές σιροπιού, 12 επικαλύψεις. Πλήθος μερίδων με 3 μπάλες παγωτό (πιθανά επιλέγουμε μία γεύση πολλές φορές χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής), 1 μπάλα παγωτό, 1 σιρόπι, 1 επικάλυψη, 3 μπάλες παγωτό (πιθανά επιλέγουμε μία γεύση πολλές φορές χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής), δύο διαφορετικά σιρόπια (χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής), και τρεις διαφορετικές επικαλύψεις (όπου δεν μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής).

50 50 / 50 Επανάληψη 45 χριστουγεννιάτικες μπάλες 9 κοκκινες, 9 λευκές, 9 ασημί, 9 χρυσές, και 9 μωβ τοποθετούνται σε 4 καλάθια. Δείξτε ότι κάποιο καλάθι περιέχει 3 μπάλες ενός χρώματος και 3 μπάλες ενός άλλου χρώματος.