Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 6: Επέκταση των Μαρκοβιανών μοντέλων

Transcript

1 Θεωρί Τηλεπικοινωνικής Κίνησης Ενότητ 6: Επέκτση των Μρκοβινών μοντέλων Μιχήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών κι Τεχνολογίς Υπολογιστών

2 Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Ππσωτηρίου Θεωρί Τηλεπικοινωνικής Κινήσεως κι Εφρμογές Μιχήλ Δ. Λογοθέτη Δεύτερη Έκδοση Το βιβλίο υτό πευθύνετι κτ' ρχήν σε τηλεπικοινωνικούς μηχνικούς κι μηχνικούς Η/Υ. Δεδομένης όμως της διεισδυτικότητς της Θεωρίς Τηλεπικοινωνικής Κινήσεως στον γενικότερο επιστημονικό τομέ των μηχνικών, συνιστάτι η γνώση του ντικειμένου του βιβλίου υτού σ' όλους τους Ηλεκτρολόγους/Ηλεκτρονικούς Μηχνικούς κι ιδιιτέρως σε όλους όσους εξειδικεύοντι στον τομέ των τηλεπικοινωνικών δικτύων ή δικτύων υπολογιστών ως διχειριστές, νλυτές ή σχεδιστές. Πρόθεση του συγγρφέ είνι το βιβλίο υτό ν ποτελέσει εγχειρίδιο μελέτης γι προπτυχικούς φοιτητές. Συνιστάτι δε ως βσικό υπόβθρο στους φοιτητές που ενδιφέροντι ν κολουθήσουν μετπτυχικές σπουδές στους προνφερθέντες τομείς. Copyight 22 Α. Ππσωτηρίου & ΣΙΑ Ο.Ε. Μιχήλ Δ. Λογοθέτης 2

3 Σκοποί ενότητς Περιγρφή των διδικσιών «γέννησης θνάτου» Περιγρφή κι νάλυση των Μρκοβινών μοντέλων Μ/Μ/() κι M()/M/ 3

4 Περιεχόμεν ενότητς Διδικσίες «γέννησης θνάτου» Το μοντέλο Μ/Μ/() Το μοντέλο Μ()/M/ 4

5 Διδικσίες «γέννησης θνάτου» () Βσικοί ορισμοί Στοχστική διδικσί (tochatic poce): Έν σύνολο τυχίων μετβλητών {N(t) t } με πράμετρο τον χρόνο t κι Ν(t) τον ριθμό των υπρχουσών κλήσεων στο σύστημ σε χρόνο t. Μρκοβινή διδικσί (Makov poce): Ονομάζετι μι στοχστική διδικσί που έχει την Μρκοβινή ιδιότητ, π.χ. η κτάστση μετά πό το χρόνο t εξρτάτι μόνο πό την κτάστση στον χρόνο t. 5

6 Διδικσίες «γέννησης θνάτου» (2) Μι Μρκοβινή διδικσί στην οποί η μετάβση κτστάσεων γίνετι κτά έν βήμ κάθε φορά, λέγετι διδικσί γέννησης θνάτου (Bith Death oce) κι περιγράφετι πό την σχέση (2), γι Δt λδt, j k j Nt Δt knt j μδt, j k j, k j 2 j,k,,2,... (2) όπου λ j κλείτι ρυθμός γέννησης κι μ j, ρυθμός θνάτου με μ =. Επίσης, με Ν(t)=j συμβολίζουμε την περίπτωση η διδικσί ν βρίσκετι στην κτάστση j στον χρόνο t. Σημείωση: Η ρίθμηση των σχέσεων συνεχίζετι πό την ενότητ 5!! 6

7 Διδικσίες «γέννησης θνάτου» (3) Το διάγρμμ μετάπτωσης κτστάσεων, σε διδικσί γέννησης θνάτου φίνετι στο πρκάτω σχήμ. λ - Δt λ Δt - + μ Δt μ (+) Δt Από την σχέση «ρυθμός εξόδου = ρυθμός εισόδου» έχουμε την εξίσωση μονίμου κτστάσεως (teady tate equatio): λ (λ +μ ) +μ + + =, =,,..., = (3) 7

8 Διδικσίες «γέννησης θνάτου» (4) Αθροίζοντς τις εξισώσεις που προκύπτουν πό την (3) γι κάθε κι χρησιμοποιώντς την συνθήκη κνονικοποίησης έχουμε λλλ, μμ 2μ 2 (4) 8

9 9 Το μοντέλο Μ/Μ/() () Έστω σύστημ νμονής Μ/Μ/, με εξυπηρετητές, κλήσεις που κολουθούν την κτνομή oio, εκθετικά κτνεμημένο χρόνο εξυπηρέτησης κι περιορισμένες θέσεις νμονής, έστω θέσεις. Στην περίπτωση υτή χρησιμοποιώντς την (4) κι θέτοντς: προκύπτει ότι: λ μ λ, μ μ μ λ! μ λ! (5)

10 Το μοντέλο Μ/Μ/() (2) Με βάση την ορική συνθήκη: προκύπτει τελικά ότι:!!!! (6)

11 Το μοντέλο Μ/Μ/() (3) Με την βοήθει των (5), (6) υπολογίζουμε το μέσο μήκος L της ουράς νμονής: ρ ρ d ρ!! dρ ρ L... ρ ρ ρ ρ ρ! ρ 2 όπου p = /. Σημείωση: Αν ρ = τότε είνι δύσκολο ν κτλήξουμε σε τύπο γι το L άρ κι γι τ υπόλοιπ μεγέθη. Προκειμένου ν ξεπερστεί η δυσκολί υτή μπορούμε ν χρησιμοποιήσουμε την σχέση (7) θέτοντς όπου ρ =.99. (7)

12 2 Το μοντέλο Μ/Μ/() (4) H μέση τιμή των κλήσεων σε όλο το σύστημ υπολογίζετι ως εξής: Από τον νόμο του Little, προκύπτει ο μέσος χρόνος πρμονής των κλήσεων στο σύστημ ως: L N N N L L (8) ' N N T λ(-) λ (9)

13 3 Το μοντέλο Μ/Μ/() (5) Από την (9) υπολογίζουμε τον μέσο χρόνο νμονής στην ουρά, W: Ενδιφέρον προυσιάζει η περίπτωση όπου =. Τότε: ' λ L μ T W (2) (2) (22)

14 Το μοντέλο Μ/Μ/() (6) Επίσης: N (23) L N Τέλος, ο υπολογισμός της πιθνότητς πωλείς των κλήσεων στο σύστημ δίνετι πό την (25) κι (26) (η τελευτί ότν =): (24) B ρ! (24) B = 2 (25) 4

15 Το μοντέλο Μ/Μ/() (6) Πράδειγμ Έστω έν σύστημ μετάδοσης πκέτων όπου τ πκέτ έχουν μετβλητό μήκος που κολουθεί την γεωμετρική κτνομή με μέση τιμή L bit, κι μετφέροντι με τχύτητ u bp. Τότε ο χρόνος μετάδοσης (με άλλ λόγι ο χρόνος εξυπηρέτησης) μπορεί ν προσεγγιστεί με μι εκθετική κτνομή με μέση τιμή h=(l/u)ec. Υποθέτοντς ότι τ πκέτ κτφθάνουν τυχί, κι ότι πρέχετι κτχωρητής πκέτων χωρητικότητς, τότε μπορούμε ν εφρμόσουμε το μοντέλο M/M/(). Π.χ., ν L=2 bit κι u=24 bp, έχουμε h=2/24=.5ec. Επίσης, ν ο ρυθμός ύξησης είνι λ=4 πκέτ/ec κι ο ριθμός των γρμμών είνι =3, τότε το φορτίο κίνησης είνι = λh= 4.5 = 2el. Γι =, προκύπτει ότι W =.27 ec κι B =.26 Γι = 2, προκύπτει ότι W =.222 ec κι B =.4 5

16 6 Το μοντέλο Μ()/Μ/ () Στο μοντέλο υτό θεωρούμε ότι οι κλήσεις προέρχοντι πό περιορισμένο ριθμό πηγών ενώ το σύστημ έχει άπειρη ουρά νμονής. Χρησιμοποιώντς την θεωρί «γέννησης θνάτου» κι την (4) κι θέτοντς: προκύπτει ότι: μ μ μ λ λ!! (26)!! (27)

17 7 Το μοντέλο Μ()/Μ/ (2) Η μέση τιμή των κλήσεων στο σύστημ κι στην ουρά νμονής υπολογίζετι πό τις σχέσεις (28) κι (29), ντιστοίχως, ως εξής:!! N (28) N L N L (29)

18 Το μοντέλο Μ()/Μ/ (3) Ο μέσος χρόνος πρμονής στο σύστημ κι ο μέσος χρόνος νμονής στην ουρά, υπολογίζοντι πό τις σχέσεις (3) κι (3), ντίστοιχ: T N λ( - N) (3) W L λ(- N) όπου ο προνομστής εκφράζει τον μέσο ρυθμό των κλήσεων που πργμτικά εισέρχοντι στο σύστημ. Σημειώνουμε ότι η προηγούμενη νάλυση ισχύει γι εξωτερικό πρτηρητή! (3) 8

19 9 Το μοντέλο Μ()/Μ/ (4) Γι ένν εσωτερικό πρτηρητή, θέτοντς τ λ, μ στην (4) κι εφρμόζοντς την ιδιότητ ASTA (Π[]=[ ]) προκύπτουν οι σχέσεις: vh vh h W vh vh M /! / i h t i h t vh e vh M t vh vh vh (32) (33) (34) (35)

20 Το μοντέλο Μ()/Μ/ (5) Προκειμένου ν υπολογίσουμε το προσφερόμενο φορτίο κίνησης, θέτουμε λ τον ρυθμό φίξεων, οπότε =λh, όπου h είνι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης. Συμβολίζοντς τον μέσο ριθμό κλήσεων στο σύστημ ως N Έχουμε πό την επέκτση του νόμου του Little: N a W (36) Επειδή: a vh( N) προκύπτει τελικά ότι: =νh/[+ν(w+h)] (37) η οποί ντιστοιχεί στην σχέση (24) του μοντέλου Μ()/M/(). 2

21 Το μοντέλο Μ()/Μ/ (6) Πράδειγμ 2 Έστω τηλεπικοινωνικό σύστημ στο οποίο προσφέρετι φορτίο κίνησης. el πό 5 πηγές κλήσεων. Αν ο ρυθμός εξυπηρέτησης των κλήσεων είνι.333 ec κι ο ριθμός των εξυπηρετητών είνι ίσος με 2 ν υπολογισθούν : ) Η μέση τιμή των κλήσεων στο σύστημ. β) Ο μέσος χρόνος νμονής των κλήσεων στο σύστημ. 2

22 Το μοντέλο Μ()/Μ/ (7) ΛΥΣΗ ) Η μέση τιμή των κλήσεων στο σύστημ υπολογίζετι πό την σχέση: N!! γι =5, =. κι =2, όπου:!.62! Προκύπτει τελικά ότι: N.47 22

23 Το μοντέλο Μ()/Μ/ (8) β) Από την σχέση T N λ( - N) υπολογίζουμε Τ = 3. ec. Στην γρφική πράστση του σχήμτος φίνετι η μετβολή του μέσου χρόνου νμονής των κλήσεων στο σύστημ σε ec γι διάφορες τιμές του κι γι δύο τιμές του. Μέσος waitig χρόνος tie T νμονής 6 5 =5 4 =2 μ =/3 3 2 = el 23

24 Τέλος Ενότητς

25 Χρημτοδότηση Το πρόν εκπιδευτικό υλικό έχει νπτυχθεί στo πλίσιo του εκπιδευτικού έργου του διδάσκοντ. Το έργο «Ανοικτά Ακδημϊκά Μθήμτ Πνεπιστημίου Πτρών» έχει χρημτοδοτήσει μόνο την νδιμόρφωση του εκπιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείτι στο πλίσιο του Επιχειρησικού Προγράμμτος «Εκπίδευση κι Δι Βίου Μάθηση» κι συγχρημτοδοτείτι πό την Ευρωπϊκή Ένωση (Ευρωπϊκό Κοινωνικό Τμείο) κι πό εθνικούς πόρους. 25

26 Σημειώμτ 26

27 Σημείωμ Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το πρόν έργο ποτελεί την έκδοση.. 27

28 Σημείωμ Ανφοράς Copyight Πνεπιστήμιο Πτρών, Μιχήλ Λογοθέτης. «Θεωρί Τηλεπικοινωνικής Κίνησης. Επέκτση των Μρκοβινών μοντέλων». Έκδοση:.. Πάτρ 25. Διθέσιμο πό τη δικτυκή διεύθυνση: 28

29 Σημείωμ Αδειοδότησης Το πρόν υλικό διτίθετι με τους όρους της άδεις χρήσης Ceative Coo Ανφορά, Μη Εμπορική Χρήση Πρόμοι Δινομή 4. [] ή μετγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξιρούντι τ υτοτελή έργ τρίτων π.χ. φωτογρφίες, διγράμμτ κ.λ.π., τ οποί εμπεριέχοντι σε υτό κι τ οποί νφέροντι μζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμ Χρήσης Έργων Τρίτων». [] c a/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζετι η χρήση: που δεν περιλμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος πό την χρήση του έργου, γι το δινομέ του έργου κι δειοδόχο που δεν περιλμβάνει οικονομική συνλλγή ως προϋπόθεση γι τη χρήση ή πρόσβση στο έργο που δεν προσπορίζει στο δινομέ του έργου κι δειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διφημίσεις) πό την προβολή του έργου σε διδικτυκό τόπο Ο δικιούχος μπορεί ν πρέχει στον δειοδόχο ξεχωριστή άδει ν χρησιμοποιεί το έργο γι εμπορική χρήση, εφόσον υτό του ζητηθεί. 29

30 Διτήρηση Σημειωμάτων Οποιδήποτε νπργωγή ή δισκευή του υλικού θ πρέπει ν συμπεριλμβάνει: το Σημείωμ Ανφοράς το Σημείωμ Αδειοδότησης τη δήλωση Διτήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμ Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 3

31 Σημείωμ Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο υτό κάνει χρήση του κόλουθου έργου: Εικόνες/Σχήμτ/Διγράμμτ/Φωτογρφίες/Πίνκες [] Μιχήλ Λογοθέτης, Θεωρί Τηλεπικοινωνικής Κινήσεως κι Εφρμογές, 2 η έκδοση, Ππσωτηρίου, 22 3