Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Transcript

1 Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεριότητ Πράξεων Η προτεριότητ των πράξεων είνι: (Από τις πράξεις που πρέπει ν γίνοντι πρώτες, προς τις πράξεις που θ εκτελούντι τελευτίες) 1. Πράξεις μέσ στις πρενθέσεις 2. Δυνάμεις 3. Πολλπλσισμοί/(Διιρέσεις) 4. Προσθέσεις/(Αφιρέσεις) Πρτήρηση: Στο επίπεδο του λυκείου πρέπει ν νγνωρίσουμε ότι η πρόσθεση κι η φίρεση είνι το ίδιο. Δηλδή ότι μί φίρεση ισοδυνμεί με την πρόσθεση του ντίθετου: a b = a + ( b) Έτσι πό εδώ κι πέρ θ γνωρίζουμε πως η φίρεση είνι κι υτή έν είδος πρόσθεσης.το ίδιο a συμβίνει κι με τη διίρεση: b = a1 b Με προϋπόθεση ότι ξέρετε πρόσθεση κι πολλπλσισμό με τη γενική έννοι θ πρέπει ν κτλβίνετε τ πρκάτω πρδείγμτ στ οποί χρησιμοποιώ τις πρενθέσεις γι ν δείξω ποιες πράξεις πρέπει ν προηγηθούν: Πρδείγμτ: = 5 + (3 5) = = 20 1

2 = (7 2 ) + (3 7) = = = 5 ((2 3 ) 5) 1 = 5 (8 5) 1 = = 36 (5 7) 3 (5 1) = ( 2) 3 4 = ( 8) 4 = 32 2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Στη φυσική, πολλές φορές έχουμε ένν τύπο κι ζητάμε ν υπολογίσουμε κάποιο άλλο μέγεθος εκτός πό υτό ως προς το οποίο είνι λυμένος ο τύπος. Χρειάζετι λοιπόν ν μάθουμε πως θ λύνουμε τύπους (ή ισοδύνμ εξισώσεις). Αν κι στο επίπεδο του λυκείου υτά θεωρούντι ήδη γνωστά, θ κάνουμε μι σύντομη κι σίγουρ όχι λεπτομερή πό μθημτική άποψη εισγωγή σε υτό το θέμ. Ο λόγος είνι πως πολλοί μθητές φτάνουν στο λύκειο χωρίς ν έχουν μάθει ν λύνουν εξισώσεις κι υτό τους κάνει δύντο ν πρκολουθήσουν το μάθημ της φυσικής. Εδώ θ προσπθήσουμε ν μάθουμε επίλυση των πλών εξισώσεων φυσικής της Α λυκείου. Η διδικσί είνι πολύ πλή. Ακολουθούμε τ πρκάτω βήμτ όσες φορές χρειστεί: 1. Εντοπίζουμε τον όρο που έχει τη χμηλότερη προτεριότητ πράξεων με τον όρο που θέλουμε ν φήσουμε μόνο του. 2. Βρίσκουμε ποι πράξη έχει ο όρος υτός με το όρο ως προς τον οποίο λύνουμε 3. Κάνουμε την ντίθετη πράξη με τον όρο υτό σε ολόκληρ τ δύο μέλη της εξίσωσης. Πρτήρηση: Ο τρόπος που περιγράψμε λύνει όλες σχεδόν τις εξισώσεις που χρειζόμστε στη φυσική Α λυκείου λλά είνι πλά έν πρώτο βήμ. Θ τον βελτιώσουμε πρκάτω. 2.1 Πρδείγμτ: Έστω ότι θέλουμε ν λύσουμε την εξίσωση y = x + β ως προς x Στο πρώτο βήμ βρίσκουμε τον όρο με τη χμηλότερη προτεριότητ... Ο όρος υτός είνι το β που προστίθετι...κάνουμε λοιπόν την ντίθετη πράξη: φιρούμε το β κι πό τ δύο μέλη της εξίσωσης: y β = x + β β y β = x Έπειτ το τελευτίο που πρέπει ν "διώξουμε" είνι το. Αυτό πολλπλσιάζετι με το x... Δηλδή θ κάνουμε διίρεση με : Σελίδ 2

3 y β = x x = y β Άλλ πρδείγμτ 1)x x 0 = u(t t 0 ) ως προς u: Εδώ πρτηρούμε ότι ο "άγνωστος" μς πολλπλσιάζετι με όλο το t t 0. Δηλδή δε μπορούμε ν διώξουμε πρώτ το t 0. Πρέπει ν το διώξουμε όλο μζί διιρώντς κι τ δύο μέλη με t t 0 : x x 0 = u(t t 0 ) x x 0 = u(t t 0) t t 0 t t 0 u = x x 0 t t 0 2)u = u 0 + t ως προς t: Πρώτ διώχνουμε το u 0 που έχει πρόσθεση με τον όρο μς (Ο όρος μς είνι προς το πρόν το γινόμενο t το οποίο προηγείτι σν πράξη): u = u 0 + t u u 0 = u 0 + t u 0 u u 0 = t Τώρ μπορούμε ν διώξουμε κι το διιρώντς με υτό: u u 0 = t u u 0 = t t = u u 0 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μί δευτεροβάθμι εξίσωση έχει τη γενική μορφή: x 2 + βx + γ = 0 Μί τέτοι εξίσωση μετσχημτίζετι μέσω των πρκάτω τύπων: = β 2 4γ x 1, x 2 = β ± 2 στην (x x 1 )(x x 2 ) = 0, η οποί έχει τις λύσεις: x = x 1 κι x = x 2. Σελίδ 3

4 3.1 Πράδειγμ: Ν βρεθεί το t γι το οποίο ισχύει: 3t 2 15t + 12 = 0 Όπως βλέπουμε η πρπάνω εξίσωση περιέχει έν τριώνυμο ως προς t. Ακολουθώντς τις πρπάνω σχέσεις γι: = 3 β = 15 γ = 12 έχουμε: = ( 15) = = 81 κι t 1, t 2 = 15 ± Δηλδή: t 1 = 4 κι t 2 = 1. = 15 ± 9 6 Πρτήρηση: Στην πργμτικότητ η σχέση μς μετσχημτίστηκε ως εξής: 3t 2 15t + 12 = 0 3 (t 4) (t 1) = 0 Η οποί έχει λύσεις τις λύσεις που πήρμε πρπάνω. Σελίδ 4

5 4 ΜΟΝΑΔΕΣ ΣΤΟ S.I. Τ επτά θεμελιώδη μεγέθη κι οι ντίστοιχες μονάδες τους στο Διεθνές Σύστημ Μονάδων (S.I.) φίνοντι στον πρκάτω πίνκ: Φυσικό Μέγεθος Μονάδ στο S.I. Σύμβολο Μονάδς Μήκος Μέτρο m Χρόνος Δευτερόλεπτο s Μάζ Χιλιόγρμμο (Κιλό) Kg Έντση ηλεκτρικού ρεύμτος Ampere A Ποσότητ ύλης mol mol Θερμοκρσί Βθμός Kelvin K Έντση φωτεινής πηγής Candela Cd 5 ΠΡΟΘΕΜΑΤΑ ΜΟΝΑΔΩΝ Τ προθέμτ των μονάδων φίνοντι στον πρκάτω πίνκ: Όνομ Σύμβολο Αξί Tera T Giga G 10 9 Mega M 10 6 Kilo K = 1 deci d 10 1 centi c 10 2 mili m 10 3 mikro μ 10 6 nano n 10 9 pico p ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 0 = 1 β γ = (β+γ) β γ = (β γ) ( β ) γ = (β γ) 1 β = β Σελίδ 5

6 7 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ Σε υτή την πράγρφο, θ προυσιάσουμε μέσ πό πρδείγμτ έν τρόπο γι ν μεττρέπουμε πό τη μί μονάδ στην άλλη. Ο τρόπος που θ προυσιάσουμε, δεν είνι ο ευκολότερος δυντός... είνι όμως ένς γενικός τρόπος κι μπορούμε ν τον εφρμόσουμε πάντ. Επίσης, ο τρόπος υτός είνι μι κλή εξάσκηση επίλυσης εξισώσεων κι συνιστώ στους δύντους κυρίως μθητές ν επιμείνουν κι ν εξσκηθούν σε υτό τον τρόπο ώστε ν κάνουν επ' ευκιρίς κι λίγη εξάσκηση στην επίλυση εξισώσεων. 7.1 Ν μεττρπούν τ 8 Km σε m. Λύση Όπως είδμε στην προηγούμενη πράγρφο, κάθε έν πό τ προθέμτ των μονάδων, ντιστοιχεί σε ένν ριθμό. Εδώ έχουμε το Kilo. Το Kilo ντιστοιχεί στον ριθμό Έτσι, μπορούμε ν ντικτστήσουμε το πρόθεμ υτό με τον ντίστοιχο ριθμό. Έχουμε δηλδή: 8Km = m 7.2 Ν μεττρπούν τ 64 g σε Kg. Λύση Εδώ δε μπορούμε πλώς ν ντικτστήσουμε το πρόθεμ με τον ριθμό στον οποίο ντιστοιχεί. Ξεκινάμε πό μι μονάδ χωρίς πρόθεμ κι θέλουμε ν κτλήξουμε σε μι μονάδ που έχει πρόθεμ. Η λογική, είνι όμοι με υτήν της επίλυσης εξισώσεων. Έτσι θ ξεκινήσουμε πό υτό που ξέρουμε: 1Kg = 10 3 g Επειδή όμως θέλουμε ν μεττρέψουμε τ g σε Kg κι όχι το ντίστροφο πρέπει ν λύσουμε την πρπάνω εξίσωση ως προς g. Έχουμε λοιπόν: 1Kg 10 3 = 103 g 10 3 Δηλδή: 1g = 10 3 Kg (1) Τώρ ρκεί ν ντικτστήσουμε το g με το ίσο του πό την εξίσωση (1): 64g = Kg Σελίδ 6

7 7.3 Ν μεττρπούν τ 6 Kg σε μg. Λύση Αυτή τη μεττροπή θ την κάνουμε σε δύο στάδι. Αρχικά θ μεττρέψουμε τ Kg σε g κι έπειτ τ g σε μg. Έχουμε λοιπόν: 6Kg = g (2) Τώρ θ εφρμόσουμε τη μέθοδο του προηγούμενου πρδείγμτος γι ν μεττρέψουμε τ g σε μg: 1µg = 10 6 g 1µg 10 6 = 10 6 g g = 10 6 µg (3) Τέλος θ ντικτστήσουμε το g πό την εξίσωση (3) στην εξίσωση (2): 6Kg = g = µg = µg 7.4 Ν μεττρπούν τ 72 Km/h σε m/s. Λύση Εδώ έχουμε ν μεττρέψουμε μί σύνθετη μονάδ. Η λογική που θ κολουθήσουμε είνι κριβώς η ίδι μόνο που χρειάζετι ν μεττρέψουμε κι τ Km σε m κι την h σε s. 72Km/h = 72Km 1h = m 1h 72Km/h = 2 10m/s = 20m/s = m 60min = m 60 60s = m s Στην πρπάνω μεττροπή, έχουμε χρησιμοποιήσει ότι μί ώρ είνι 60 λεπτά (1h = 60min) κι έν λεπτό είνι 60 δευτερόλεπτ (1min = 60s). Σελίδ 7

8 7.5 Ν μεττρπούν τ 94Kg m 2 σε μg mm 2 Λύση Άλλη μί σύνθετη μονάδ. Εδώ, πρέπει ν μεττρέψουμε τ Kg σε g κι τ m 2 σε mm 2. Έτσι, έχουμε: 94Kg m 2 = 94Kg 1m 2 = g 1m 2 (4) Όμως: 1µg = 10 6 g Άρ: 1µg 10 6 = 10 6 g 10 6 Δηλδή: 1g = 10 6 µg (5) Επίσης: 1mm = 10 3 m Άρ: 1mm 10 3 = 10 3 m 10 3 Δηλδή: 1m = 10 3 mm (6) Είμστε ήδη ρκετά κοντά στο ζητούμενο: Ν μεττρέψουμε το m 2 σε mm 2... Αρκεί ν υψώσουμε στο τετράγωνο κι τ δύο μέλη της εξίσωσης (6) (1m) 2 = (10 3 mm) 2 1m 2 = 10 6 mm 2 (7) Τέλος, ντικθιστούμε το m 2 πό την εξίσωση (7) στην εξίσωση (4) κι το g πό την (5) στην (4) κι έχουμε: 94Kg m 2 = g 10 6 mm 2 = µg 10 6 mm 2 = µg mm 2 Σελίδ 8

9 7.6 Ν μεττρπούν τ 43Kg/m 3 σε mg/cm 3 Λύση 43Kg/m 3 = 43Kg 1m 3 = g 1m 3 (8) 'Ομως: 1mg = 10 3 g 1mg 10 3 = 10 3 g g = 10 3 mg (9) κί: 1cm = 10 2 m 1cm 10 2 = 10 2 m m = 10 2 cm Άρ: (1m) 3 = (10 2 cm) 3 1m 3 = 10 6 cm 3 (10) Οπότε η (8) γίνετι μέσω των (9) κι (10): 43Kg/m 3 = g 1m 3 = mg 10 6 cm 3 = mg 10 6 cm 3 = 43mg/cm 3 Αυτό σημίνει πως οι μονάδες Kg/ms κι mg/cm 3 είνι ισοδύνμες. Σελίδ 9

10 8 ΓΡΗΓΟΡΕΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ Στην προηγούμενη ενότητ, μάθμε πως ν κάνουμε μεττροπές μονάδων. Από την ρχή, είπμε πως δεν είνι ο πιο εύκολος τρόπος λλά είνι ο πιο γενικός κι λύνει όλ τ προβλήμτ μεττροπής μονάδων. Σε υτή την ενότητ, θ δούμε ένν πιο γρήγορο λλά λιγότερο γενικό τρόπο μεττροπής μονάδων. Ο κινούριος υτός τρόπος, στηρίζετι στο γεγονός πως όλ τ προθέμτ μονάδων που γνωρίσμε στην ντίστοιχη ενότητ, ισοδυνμούν με μι δύνμη του 10. Έτσι μπορούμε ν χρησιμοποιούμε το πινκάκι (που φορά τη μονάδ μέτρο) κι τον πρκάτω τύπο γι ν μετσχημτίζουμε τις μονάδες: Σύμβολο Αξί Εκθέτης Tm Gm Mm Km m dm cm mm μm nm pm Αρχική μονάδ = 10 ( β) Τελική μονάδ (όπου ο εκθέτης της ρχικής μονάδς κι β ο εκθέτης της τελικής μονάδ) Πρδείγμτ: 1cm = 10 ( 2 3) Km = 10 5 Km 1Km = 10 3 ( 3) mm = 10 6 mm 1m = 10 0 ( 2) cm = 10 2 cm Σελίδ 10

11 9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9.1 Οι τριγωνομετρικοί ριθμοί σε ορθογώνιο τρίγωνο Έστω ότι έχουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που φίνετι πρκάτω: γ A θ β B Γι τη γωνί θ του πρπάνω τριγώνου θ πρέπει ν ξέρουμε τους εξής τρεις τριγωνομετρικούς ριθμούς: Το ημίτονο, το συνημίτονο κι την εφπτομένη της θ. Οι ορισμοί των πρπάνω τριγωνομετρικών ριθμών είνι: ημθ = συνθ = εφθ = πένντυ κάθετη υποτείνουσ = γ προσκείμενη κάθετη υποτείνουσ = β γ πένντυ κάθετη προσκείμενη κάθετη = β Γ 9.2 Χρήσιμες τριγωνομετρικές τυτότητες Στην προηγούμενη ενότητ ορίσμε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς με βάση έν ορθογώνιο τρίγωνο. Στ ορθογώνι τρίγων όμως, ισχύει το πυθγόρειο θεώρημ: γ 2 = 2 + β 2 Διιρώντς την πρπάνω σχέση με γ 2 έχουμε: γ 2 γ 2 = 2 + β 2 γ 2 1 = 2 γ 2 + β2 γ 2 1 = ( γ )2 + ( β 2 γ ) ημ 2 θ + συν 2 θ = 1 Επίσης, πό τη σχέση:εφθ =, διιρώντς τον ριθμητή κι τον πρνομστή του δεύτερου μέλους με γ, β έχουμε: εφθ = γ β γ εφθ = ημθ συνθ Σελίδ 11

12 9.3 Γνωστοί τριγωνομετρικοί ριθμοί Πολλοί κθηγητές, επιμένουν οι μθητές τους ν γνωρίζουν τους τριγωνομετρικούς ριθμούς κάποιων γωνιών. Σε υτή την ενότητ, θ μάθουμε ν κτσκευάζουμε με εύκολο τρόπο το πινκάκι με τους ριθμούς υτούς που θ μς χρειστούν. Το πρώτο που πρέπει ν θυμόμστε, είνι πως συμπεριφέροντι οι τριγωνομετρικοί ριθμοί ότν υξάνετι η γωνί. (Προσοχή: Στ πλίσι υτού του βιβλίου, η γωνί νήκει στο διάστημ [0, 90 ]) Ας φντστούμε το ορθογώνιο τρίγωνο του προηγούμενου σχήμτος. Θέλουμε ν δούμε πώς συμπεριφέρετι το ημθ κι το συνθ ότν η γωνί θ υξάνετι. Ο εύκολος τρόπος, είνι ν κρτήσουμε στθερή την υποτείνουσ.αυτό μπορεί ν γίνει, ν το σημείο Β κινηθεί πάνω σε κυκλικό τμήμ με κέντρο το Α. Έτσι, το ΑΒ=γ θ πρμείνει στθερό.σχεδιάζουμε λοιπόν τ πρκάτω σχήμ, στο οποίο έχει υξηθεί η γωνί θ χωρίς ν μετβληθεί η υποτείνουσ γ: B γ θ A β Γ Πρτηρούμε, ότι ενώ η υποτείνουσ γ πρμένει στθερή, η πένντι κάθετη πλευρά υξάνετι ενώ η προσκείμενη κάθετη β μειώνετι.έτσι, πό τους τύπους: ημθ = γ κι συνθ = β,κτλβίνουμε ότι όσο υξάνετι η γωνί θ (στο διάστημ [0, 90 ]), το ημθ θ πρέπει ν υξάνετι γ ενώ το συνθ θ μειώνετι. Πρτηρούμε επίσης, ότι όσο η γωνί θ μειώνετι, η πένντι κάθετη πλευρά τείνει ν μηδενιστεί. Αυτό σημίνει πως το ημ0 θ πρέπει ν είνι μηδέν. Είμστε έτοιμοι λοιπόν ν κτσκευάσουμε το πρκάτω πινκάκι στο οποίο έχουμε βάλει τους πιο εύκολους ριθμούς που μπορούμε ν φντστούμε: θ ημθ συνθ Προσοχή: Το πρπάνω πινκάκι δεν είνι έτοιμο κι δεν πρέπει ν χρησιμοποιείτι. Σελίδ 12

13 Το τελευτίο βήμ, είνι ν βάλουμε όλους τους πρπάνω ριθμούς μέσ σε τετργωνική ρίζ κι ν διιρέσουμε δι δύο. Έχουμε λοιπόν: θ ημθ 0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 συνθ 4/2 3/2 2/2 1/2 0/2 Το πινκάκι μς είνι πλέον έτοιμο κι μπορούμε ν το χρησιμοποιήσουμε... Θ ήτν όμως κλύτερ ν το πλοποιήσουμε λίγο κόμ κάνοντς τις πράξεις που γίνοντι εύκολ: θ ημθ 0 1/2 2/2 3/2 1 συνθ 1 3/2 2/2 1/ ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Το πρώτο πράγμ που πρέπει ν κάνουμε ότν έχουμε ν διβάσουμε μι γρφική πράστση είνι ν κοιτάξουμε τι μέγεθος πριστάνετι σε κάθε ένν πό τους άξονες της γρφικής μς πράστσης. Έστω πχ ότι το πρκάτω διάγρμμ πριστάνει τη θέση ενός ντικειμένου που κινείτι πάνω σε ένν άξον x σε συνάρτηση με το χρόνο ( x=f(t) ). Ο άξονς t μς δείχνει λοιπόν χρονικές στιγμές ενώ ο άξονς x μς δείχνει θέση: x(m) A 5 6 t(s) Το σημείο Α λοιπόν μς δείχνει πως το κινητό μς πέρσε τη χρονική στιγμή t=6s πό τη θέση x=5m. Σελίδ 13

14 Προσοχή: Κοιτάξτε προσεκτικά στο πρκάτω διάγρμμ κι βρείτε τι σημίνουν τ σημεί Α κι Β. x(m) 5 A 0 B 7 t(s) Με λίγη προσοχή, ντιλμβνόμστε πως η πληροφορί που μς δίνει το σημείο Α είνι ότι το κινητό μς τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκετι στη θέση x=5m.ομοίως το σημείο Β μς πληροφορεί ότι το κινητό μς τη χρονική στιγμή t=7s βρίσκετι στη θέση x=0. Προσοχή: Αν διβάστε νάποδ τ πρπάνω σημεί, προσπθήστε ν κάνετε την πρκάτω άσκηση: Ξεκινήστε ν φντάζεστε έν σημείο Γ ν μετκινείτι πό το Α στο Β... δείτε τι κάνει το ο χρόνος (t) (πό πού μέχρι πού πηγίνει) κι τι κάνει η θέση x... Με λίγη προσπάθει θ διπιστώσετε πως το διάγρμμ πριστάνει έν κινητό του οποίου η θέση μειώνετι με την πάροδο του χρόνου (όσο υτός μεγλώνει). Προσπθήστε ν διβάσετε το διάγρμμ κι ντίστροφ (Από το Β στο Α). Θ διπιστώσετε ότι έχουμε το ντίστροφο φινόμενο. 11 ΜΕΤΑΒΟΛΗ Στο πρώτο μόλις κεφάλιο, θ συνντήσουμε το σύμβολο Δ.Το σύμβολο υτό είνι ένς τελεστής (όπως λέμε στ μθημτικά) κι θ το συνντάμε πάντ μπροστά πό έν άλλο σύμβολο π.χ.: Δt... υτό σημίνει t τελικό t ρχικό κι είνι η μετβολή του χρόνου. Όπου λοιπόν συνντάμε το σύμβολο Δ, θ ξέρουμε πως υτό σημίνει τελική ρχική τιμή του μεγέθους που κολουθεί το Δ κι θ ονομάζετι μετβολή του μεγέθους υτού. Θ γνωρίσουμε πρκάτω τη μεττόπιση που είνι η μετβολή της θέσης x = x τελικό x ρχικό. Σελίδ 14

15 12 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ H λέξη ρυθμός πό μόνη της περιέχει την έννοι του χρόνου. Μς δείχνει δηλδή πάντ πόσο γρήγορ (ή πότομ) γίνετι κάτι. Έτσι η φράση ρυθμός μετβολής πρπέμπει στο πόσο γρήγορ μετβάλλετι έν μέγεθος. Αυτό κριβώς είνι ο ρυθμός μετβολής. Έστω ότι έχουμε έν μέγεθος Μ, το οποίο μετβάλλετι σε συνάρτηση με το χρόνο όπως φίνετι στο πρκάτω διάγρμμ: M M 2 M 1 B A θ t 1 t 2 t Πρτηρούμε ότι πό τη στιγμή t 1 έως τη στιγμή t 2 το μέγεθος Μ μετβλήθηκε κτά M 2 M 1. Έτσι, ν προσπθήσουμε ν βρούμε το ρυθμό μετβολής του μεγέθους Μ με βάση υτά τ σημεί του διγράμμτος, θ M χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: t Αυτός ο τύπος εκφράζει νλογί ως προς τη μετβολή του μεγέθους κι ντίστροφη νλογί ως προς τη μετβολή του χρόνου. Δηλδή, ότν κρτήσουμε στθερό το t, όσο υξάνετι η μετβολή του μεγέθους M, τόσο υξάνετι κι ο ρυθμός μετβολής. Ενώ ντίθετ, γι μι συγκεκριμένη μετβολή M όσο μικρότερο είνι το χρονικό διάστημ t τόσο μεγλύτερος είνι ο ρυθμός μετβολής του M. Πρτηρούμε όμως ότι υτός ο ρυθμός μετβολής, φορά δυο διφορετικές τιμές του χρόνου... Δεν νφέρετι σε μί κι μόνο χρονική στιγμή... Το M είνι λοιπόν στην πργμτικότητ ο μέσος ρυθμός μετβολής γι το χρονικό διάστημ (t 1, t 2 ) κι μπορούμε ν πούμε ότι t M = M 2 M 1 = εφθ. t t 2 t 1 Σελίδ 15

16 Γι ν κτλάβουμε τι είνι ο ρυθμός μετβολής που νφέρετι σε μί μόνο χρονική στιγμή, πρέπει ν φντστούμε το Δt ν μικρίνει πλησιάζοντς τη ζητούμενη χρονική στιγμή. πχ το t 1. Αυτό μπορεί ν γίνει ν πλησιάζουμε συνεχώς το σημείο Β προς το σημείο Α. Στο τέλος θ κτλήξουν ν συμπέσουν κι πό μέσ τους ν περνάει η εφπτόμενη ευθεί στην κμπύλη στο σημείο Α όπως βλέπουμε στο σχήμ: M M 2 B M M 1 A θ M 1 A θ t 1 t 2 t t 1 t Ο στιγμιίος ρυθμός μετβολής (ή πλά ο ρυθμός μετβολής) τη χρονική στιγμή t 1 γράφετι dm dt κι ισχύει: dm dt = εφθ'. Κτλβίνουμε λοιπόν ότι ο στιγμιίος ρυθμός μετβολής, είνι η κλίση του διγράμμτος του ζητούμενου μεγέθους στο διάγρμμά του σε συνάρτηση με το χρόνο. Σελίδ 16