Συνοπτικές Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. Εισαγωγη Στις Συνηθεις Διαφορικες Εξισωσεις

Transcript

1 Συνοπτικές Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Κεφάλαιο # Εισαγωγη Στις Συνηθεις Διαφορικες Εξισωσεις Εισαγωγή Υπάρχει μεγάλη ποικιλία από επιστημονικά προβλήματα στα οποία το χαρακτηριστικό αίτημα είναι ο προσδιορισμός μιας ποσότητας από τον ρυθμό μεταβολής της, από την ταχύτητα δηλαδή με την οποία αλλάζουν οι τιμές της. Για παράδειγμα: ο προσδιορισμός της θέσης ενός αντικειμένου από την γνώση της ταχύτητας και/ή της επιτάχυνσής του ο προσδιορισμός της ποσότητας ραδιενεργούς ουσίας που απομένει μετά από ένα δοσμένο χρονικό διάστημα αν γνωρίζουμε τον ρυθμό αποσύνθεσής της. Σε παραδείγματα ό- πως αυτά προσπαθούμε να προσδιορίσουμε μια άγνωστη συνάρτηση από μερικές πληροφορίες που μπορούν να εκφραστούν σε μορφή μιας σχέσης αναφερόμενης σε τουλάχιστο μια από τις παραγώγους της άγνωστης συνάρτησης. Οι σχέσεις αυτές ονομάζονται διαφορικές εξισώσεις και ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την σπουδή τους είναι διαχρονικά στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος και της μελέτης των ερευνητών. Οι διαφορικές εξισώσεις Δ.Ε. κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες: στις συνήθεις Δ.Ε., στις οποίες η ζητούμενη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής και στις Δ.Ε. με μερικές παραγώγους, όπου η ζητούμενη συνάρτηση είναι συνάρτηση δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Ένα απλό παράδειγμα μιας συνήθους Δ.Ε. είναι η σχέση f x=fx η οποία ικανοποιείται από την εκθετική συνάρτηση fx = e x. Θα δούμε παρακάτω ότι κάθε λύση της ;; είναι της μορφής fx = Ce x, όπου C τυχούσα σταθερά. Η σχέση 2 fx,y 2 x + 2 fx,y 2 y είναι παράδειγμα Δ.Ε. με μερικές παραγώγους. Αυτή ειδικά η Δ.Ε. λέγεται εξίσωση του Laplace και παρουσιάζεται στη θεωρία του ηλεκτρισμού και

2 του μαγνητισμού, στη μηχανική των ρευστών και άλλού. Το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης Laplace περιέχει διαφόρων ειδών συναρτήσεις μεταξύ των οποίων fx,y=x+ 2y,fx,y=e x cosy,fx,y=log x 2 +y 2. Η συστηματική μελέτη των Δ.Ε. άρχισε από τον καιρό του Newton και του Leibniz και συνεχίζεται μέχρι σήμερα. Στις παρούσες σημειώσεις θα ασχοληθούμε με τους απλούστερους τύπους συνήθων Δ.Ε. και θα τις εφαρμόσουμε για να επιλύσουμε κάποια φυσικά προβλήματα τα οποία εκφράζονταιμοντελοποιούνται με αυτές. Η επίλυση των Δ.Ε. τις οποίες θα θεωρήσουμε θα γίνει με την βοήθεια κάποιων πολύ ειδικών τεχνασμάτων. Όταν εργαζόμαστε με μια Δ.Ε. γράφουμε συνήθως y αντί για fx, y αντίγια f xκαισημειώνουμετιςπαραγώγουςανώτερηςτάξηςμε y,y κ.λ.π., χωρίς αυτό φυσικά να εμποδίζει την χρησιμοποίηση και άλλων γραμμάτων για την παράσταση της συνάρτησης και των παραγώγων της. Ένας άλλος συμβολισμός για τις παραγώγους που θα χρησιμοποιήσουμε είναι αυτός του Leibniz σύμφωνα με τον οποίο τις παραγώγους y,y,y κ.λ.π. αντί- κ.λ.π. μιαςσυνάρτησης yxτιςσυμβολίζουμεμε dy y y dx,d2 dx 2,d3 dx 3 στοιχα. Μερικά παραδείγματα συνήθων Δ.Ε. είναι τα εξής: dy dx = 7x2 + 2x+ e y y + 2 y 2 = 4 d3 y dx 3 + sinxd2 y dx 2 + 5xy= 0 y +e x y=cosx. Στις παραπάνω Δ.Ε. η άγνωστη συνάρτηση είναι η yx και η Δ.Ε. είναι μια σχέσημεταξύ της yx καιτων παραγώγων της yx. 2 Βασικές Έννοιες και Ορισμοί Τάξη μίας Δ.Ε. είναι η μεγαλύτερη τάξη παραγώγου που εμφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγμα: ΗΔ.Ε. y e 7x y + 5x 7 y= 0έχει τάξη 3. ΗΔ.Ε. d 2 3 y + dx 2 5 dy +y 7dy dx dx = 5x έχειτάξη 2. ΗΔ.Ε. y = 3x 2 + 5x 7 έχειτάξη. 2

3 ΟΡΙΣΜΟΣ Λύση μιας Δ.Ε. με άγνωστη συνάρτηση y και ανεξάρτητη μεταβλητή x στο διάστημα I καλείται μια συνάρτηση yx η οποία ικανοποιείταυτοτικάτηνδ.ε.γιακάθε x στο I. Παράδειγμα: Ησυνάρτηση yx=2e x +xe x είναιμία λύσητης Δ.Ε. y + 2y +y= 0. Πράγματι, υπολογίζουμε την πρώτη και δεύτερη παράγωγο y = 2e x +e x xe x = e x xe x y =e x e x +xe x =xe x και αντικαθιστώντας στην Δ.Ε. έχουμε xe x + 2 e x xe x + 2e x +xe x =xe x 2e x 2xe x + 2e x +xe x = 0. Μερική λύση ονομάζεται μια οποιαδήποτε λύση της Δ.Ε. Γενική λύση μιας Δ.Ε. είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων που είναι λύσεις της Δ.Ε. Παράδειγμα: Ησυνάρτηση yx= x4 2 είναι μία μερική λύση της Δ.Ε. y x 2y x 4 = 0 2 αφού y x=2x 3 καιάρα y x 2y x 4 = 2x 3 x 4 x 2 = 2x 4 x 4 x 4 = 0. 2 Παρομοίως, η συνάρτηση yx = x x2 είναι επίσης μερική λύση. Θα αποδείξουμε παρακάτω ότι κάθε λύση της Δ.Ε.;; είναι της μορφής yx= x4 2 +cx2 γιακάποιοπραγματικόαριθμό c.μεάλλα λόγιαηγενικήλύσητηςδ.ε.;; είναι yx= x4 2 +cx2,c R Προβλήματα αρχικών τιμών Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, με την επίλυση Δ.Ε. απαντάμε, μεταξύ άλλων, σε προβλήματα προσδιορισμού μίας ποσότητας από πληροφορίες 3

4 σχετικά με το ρυθμό μεταβολής της. Αν, για παράδειγμα, έχουμε μία διαρροή ραδιενεργού υλικού σήμερα και θέλουμε να μάθουμε την ακριβήαριθμητικά ποσότητα που θα υπάρχει σε 5 χρόνια, θα πρέπει προφανώς να γνωρίζουμε την ποσότητα που αρχικώς διέρρευσε. Δηλαδή, θα πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή της ζητούμενης συνάρτησης την χρονική στιγμή 0 ή γενικά, σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της. Οι Δ.Ε. που συνοδεύονται από μία συνθήκη που πρέπει να πληροί η ζητούμενη συνάρτηση ονομάζονται Δ.Ε. μα αρχικές συνθήκες ή αλλιώς προβλήματα αρχικών τιμών. Παράδειγμα: ΗΔ.Ε.;;μαζίμετηναπαίτηση y2=20είναιέναπρόβλημα αρχικών τιμών. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα βρίσκουμε πρώτα την γενική λύση βλέπε σχέση;; παραπάνω και από το σύνολο των λύσεων αναζητούμε ποιά συγκεκριμένη συνάρτηση ικανοποιεί την δοθείσα σχέση που εδώ είναι 20=y2= c22 20=8+4c c= 3. Άρα, ημοναδική μερικήλύσηστοδοθέν πρόβλημα είναι yx= x x Εκπεφρασμένες και Πεπλεγμένες λύσεις Δ.Ε. Σε όλα τα προηγούμενα παραδείγματα οι λύσεις μερικές ή γενικές που α- ναφέρθηκαν εκφράζονταν μέσω συγκεκριμένων συναρτήσεων ως προς x. Δηλαδή οι λύσεις ήταν της μορφής y=fx,c,c R 4 για κάποια συνάρτηση F. Όταν η λύση μιας Δ.Ε. δίνεται με την μορφή ;; λέμε ότι η λύση είναι σε εκπεφρασμένη μορφή. Αυτό δεν είναι πάντα εφικτό. Αυτό που συμβαίνει πολύ συχνά είναι να καταλήξουμε σε μία σχέση της μορφής Gx,y,c=0,c R. 5 Σε αυτές τις περιπτώσεις λέμε ότι οι λύσεις της Δ.Ε. εκφράζονται σε πεπλεγμένη μορφή από την παραπάνω σχέση. Παράδειγμα: Παρακάτω θα μάθουμε να λύνουμε την Δ.Ε. y= y x y+x 4

5 και όπως θαδούμεηλύσηορίζεταιπεπλεγμένα από τηνσχέση 2 log x 2 +y 2 y + arctan +c= 0. 6 x Θα ήταν μάταιη κάθε απόπειρα επίλυσης ως προς y της εξίσωσης αυτής. Σε τέτοιες καταστάσεις περιοριζόμαστε να λέμε απλά ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει μια οικογένεια λύσεων και συγκεκριμένη τιμή της σταθεράς c δίνεικαιαπό μία ειδική λύσητηςδ.ε. 3 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Στο εξής θα ασχοληθούμε μόνο με συνήθεις Δ.Ε. πρώτης τάξης, δηλαδή, με Δ.Ε. που η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής και στην εξίσωση εμφανίζεται μόνο η πρώτη παράγωγος. Πιο συγκεκριμένα, θα περιγράψουμε την μεθοδολογία επίλυσης δύο ειδικών κατηγοριών Δ.Ε. πρώτης τάξης. Η γενική μορφή μιας Δ.Ε. πρώτης τάξης είναι y =fx,y 7 Για παράδειγμα, y +e x y=xy και y = y2 x xy είναι Δ.Ε. πρώτης τάξης. Ισχύει το εξής θεμελιώδες θεώρημα για τις συνήθεις Δ.Ε. πρώτης τάξης, που αφορά την ύπαρξη και το μονοσήμαντο της λύσης αυτών. ΘΕΩΡΗΜΑ2ΈστωηΔ.Ε. y =fx,yκαι x 0,y 0 σημείοστοπεδίοορισμού της f.αν ισχύειότι f συνεχήςστοορθογώνιο R= { x,y R 2 : x x 0 <ε, y y 0 <ε } f x,y είναισυνεχήςστο R y τότε υπάρχει μοναδική λύση yx της Δ.Ε. y = fx,y με την ιδιότητα yx 0 =y Συνήθεις Δ.Ε. με χωριζόμενες μεταβλητές Οι Δ.Ε. με χωριζόμενες μεταβλητές είναι αυτές που η συνάρτηση fx,y στην σχέση;; είναι το γινόμενο δύο συναρτήσεων hx και gy. Συνεπώς, 5

6 η γενική μορφή μιας Δ.Ε. με χωριζόμενες μεταβλητές είναι y =hxgy 8 Αντικαθιστώντας y = dy dx έχουμεγια gy 0 dy dx =hxgy gy dy=hxdx και η εύρεση της λύσης επιτυγχάνεται εκτελώντας τις δύο παρακάτω ολοκληρώσεις ως προς x καιως προς y gy dy= hxdx Παράδειγμα: ΕπίλυσητηςΔ.Ε. xdx y 2 dy= 0 Έχουμε xdx=y 2 dy xdx= y 2 dy x2 2 =y3 3 +C y= 3 Παράδειγμα: Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών 3x 2 2 3C. e x dx ydy= 0 με y0=. Υπολογίζουμε e x dx ydy= 0 e x dx=ydy e x dx= και συνεπώς η γενική λύση είναι ydy e x = y2 2 C y 2 = 2e x + 2C. Για ναικανοποιείται ηαρχικήσυνθήκη y0=, πρέπει y0 2 = 2e 0 + 2C =2+2C C= 2. Άρα η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι y 2 = 2e x 2 2 ή y= 2e x. Σημειωτέον ότι η συνάρτηση yx = 2e x παρ όλο που είναι λύση της Δ.Ε., δεν αποτελεί λύση του δοσμένου προβλήματος αρχικών τιμών διότι y0= 2e 0 =,δηλαδή, δεν πληροίτηναρχικήσυνθήκη y0=. Παράδειγμα: ΕπίλυσητηςΔ.Ε. xy +x 2 y = +y 2. 6

7 Υποθέτοντας x 0 έχουμε y +y 2y = xx y +y 2dy= y 2 +y 2dy= xx 2 + dx x + x x 2 + dx 2 log +y 2 = logx 2 log +x 2 +C log +y 2 = 2 logx log +x 2 + 2C +y 2 =e 2 lnx ln x 2 ++2C = x2 e 2C x 2 + e y=± 2C x 2 x Γραμμικές Δ.Ε. Μια πρώτης τάξης Δ.Ε. εξίσωση λέγεται γραμμική αν είναι της μορφής y +pxy=qx 9 όπου p,qείναισυνεχείςωςπρος xσυναρτήσεις. Αν qx=0τότεηεξίσωση ;;γίνεται y +pxy= 0 0 η οποία λέγεται ομογενής γραμμική Δ.Ε. Ηορολογία«γραμμική»προέρχεταιαπότογεγονόςότιαν y x,y 2 xείναι δύολύσειςτηςομογενούςτότεκάθεγραμμικόςσυνδυασμός λ y +λ 2 y 2 είναι επίσης λύσητης;;: λ y +λ 2 y 2 + λ y +λ 2 y 2 px = λ y +λ 2 y 2+λ y px+λ 2 y 2 px = λ y +pxy +λ2 y 2 +pxy 2 = λ 0+λ 2 0=0 Επίλυση γραμμικής Δ.Ε.: Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης ;; με κατάλληλη συνάρτηση vx έτσι ώστε το αριστερά μέλος της εξίσωσης ;; να ισούται με την παράγωγο vxy συνάρτηση αυτή είναι η vx=e pxdx της συνάρτησης vxy. Η αφού vxy = e pxdx y = e pxdx y+e pxdx y = e pxdx pxdx +e pxdx y = vxpx+vxy =vx y +px. 7

8 Ολοκληρώνοντας έχουμε vxy = qxvxdx+c= yx= qxvxdx + C vx όπου vx=e pxdx. Συνεπώς η γενική λύση της γραμμικής εξίσωσης ;; είναι yx= e pxdx Παράδειγμα: Επίλυσητης y x=x 2 + 3y,x> 0. pxdx qxe dx+c,c R. ΜεταρέπουμετηνΔ.Ε.στην μορφή y +pxy=qx: y x 3y=x 2 y + 3 px= 3/x y=x με x qx=x 3 Υπολογίζουμε vx =e x dx =e 3 x dx =e 3 logx = e logx 3 =x 3 = x 3 και από τοντύπο;; έχουμε yx= x x x =x =x /x 3 3dx+C 3 2dx+C 3 x +C = x 2 +Cx 3. Παράδειγμα: Επίλυσητης y + 2xy= 2xe x2. Από τοντύπο;;και για px=2x,qx=2xe x2 έχουμε yx = e 2xdx 2xe e x2 2xdx dx+c =e x2 2xe x2 e x2 dx+c = e x2 2xdx+C =e x2 x 2 +C. Παράδειγμα: Επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών ty + 2y=t 2 t+,y= 2. Για την γραμμική Δ.Ε. ty + 2y=t 2 t+ y + 2 y= t2 t+ }{{} t }{{ t } px qx υπολογίζουμε vx=e 2 t dt =e 2 logt =t 2 καιηγενικήλύσηείναι yt = t 2 t+ t 2 t = t 4 t 2 t 2 dt+c 4 t3 3 +t2 2 +C = t 3 t 2 +t dt+c t 2 = t2 4 t C t 2 Θέτοντας t= προσδιορίζουμετο C ώστε y= 2 : 2 =y= C C= = 2. 8

9 Εφαρμογή: Γνωρίζουμε ότι ο σχετικός ρυθμός αύξησης ενός πληθυσμού βακτηρίων είναι ανάλογος του πληθυσμού. Αν την χρονική στιγμή t = 0 ο πληθυσμός είναι 200 και την χρονική στιγμή t= 0h είναι 280 να βρεθεί ο πληθυσμός των βακτηρίων την χρονική στιγμή t = 30h. Έστω Pt οπληθυσμός την χρονικήστιγμή t.μας δίνεταιότι P =kp γιακάποιασταθερά k>0.λύνουμεαυτήντηνπρώτηςτάξηςδ.ε.καιέχουμε P dp=kdt logp=kt+c Pt=eC e kt Αυτή είναι η γενική λύση και από τα δεδομένα μας θα πρέπει να προσδιορίσουμε τις σταθερές k και C δηλαδή να βρούμε την συγκεκριμένη μερική λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες που έχουμε: Αφού P0=200= 200=e C e 0 =e C άρα Pt=200e kt Αφού P0=280= =e0k = k= 280 log 0, 033 άρα Pt=200e 0,033t. Από την τελευταία σχέση μπορούμε να υπολογίσουμε το πληθυσμό σε οιαδήποτε χρονική στιγμή: P30=200e 0, = 200e 0, , 7=542. 9

10 . Να βρεθεί η γενική λύση κάθε μιας εκ των παρακάτω χωριζόμενων μεταβλητών Δ.Ε. a y =y 2 x 3 Απ: y= 4 x 4 +C b xdx+ y dy= 0 Απ: y=e x2 2 +C c y = y x 2 Απ: y=e x +C d y = xex 2y Απ: y=± e x x e x +C 2. Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα αρχικών τιμών: a sinxdx+ydy= 0, y0= 2 Απ: y= 2 cosx+ 2C, C= b x 2 + dx+ Απ: y dy= 0, y = y=e x3 3 x+c, C= 4 3 c dy dx = y2 2x 9,x> 9/2,y5= 2 Απ: y= log 9+2x+C, C= 2 d xe x2 +yy = 0,y= Απ: y= e x2 +C, C= 0 3. ΝαβρεθείηγενικήλύσηκάθεμιαςεκτωνπαρακάτωγραμμικώνΔ.Ε. a y y 2x =0 Απ: vx=e x, y= 2x 3+Ce x b y + 2xy= 2x 3 Απ: vx=e x2, y=x 2 + C c y +y= sinx d y + x y= x 4+ x 2 x e x2 Απ: vx=e x, y= cosx + sinx + C 2 2 e x Απ: vx=x, y= + logx 2x 3 x + C x 4. Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα αρχικών τιμών: a y 3y x= 0,y0= Απ: vx=e 3x, y= 3x+ +Ce 3x, C= 0/9 9 b y x y=x4 x 2 +x,x> 0,y=3/4 x Απ: vx=, y=x5 4 x3 2 +x2 +Cx, C= 0 c y + x y=e4x,x> 0,y= /2 Απ: vx=x,y= e4x 4x 6x + C x, C= 2 3e3 6 d y + 2 x y= x 2+2 x + 3,x> 0,y=4 Απ: vx=x 2, y= x + +x+ C, C= x 2 0