Διαφορικές εξισώσεις

Transcript

1 Διαφορικές εξισώσεις Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικές εξισώσεις τεχνικές 73 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Kglyos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Τα πάντα για τις Διαφορικές εξισώσεις Πλήρης διαφορικές : Έστω μορφή δ.ε. P(,)( y d,) Q 0 y dy καλείται πλήρης αν Τότε θα υπάρχει σταθερή συνάρτηση Q(,)( y,) P y y u(,)( y,) u y u(,) y :( c,),(,) P y Q y y Οπότε με τα τελευταία δεδομένα ολοκληρώνοντας κάθε φορά ως προς μία μεταβλητή προσπαθώ να βρω τη συνάρτηση u(,) y yd dy 0.. ye y ' y e y y 3. y d y dy 0 3. y y d 3 y dy 0 5. y y ye d e dy 0 6. yd dy 0 3 y d y y dy y si y cos d si dy 0 8.

3 τηλ. Οικίας : κινητό : Χωριζομένων μεταβλητών : Ότι πιο εύκολο σε διαφορική εξίσωση αρκεί να μπορείς να διαχωρίσεις τα με τα yκαι να πάρει τη μορφή P()() d Q0 y dy Τότε απλά ολοκληρώνεις και υπολογίζεις d y ' y ' y dy y 3 y 0. e d ydy 0,(0) y 3. d dy 0 d y y dy y ' 7. y y ' e y y y y ',(3) y y Αν έχω μορφή y '(,) f y Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις : όπου f t, ty f, y τότε καλούνται ομογενείς dy Τότε θέτω y u, ' u u ' και αντικαθιστώντας θα προκύψει μορφή χωριζομένων μεταβλητών με d, u Το νου σου : μην ξεχάσεις να ξαναγυρίσεις στην y Κολπάκι : όταν λύσεις ως προς y, βαθμός αριθμητή = βαθμό παρανομαστή 8. y ' y ' y y y ' y y ' y y y

4 τηλ. Οικίας : κινητό : y ' y y ' y y ' y y y Γραμμικές πρώτης τάξης : Αν έχω μορφή y '()() P y Q τότε καλείται γραμμική πρώτης τάξης Το ενδιαφέρον είναι ότι η λύση είναι έτοιμη : y e c Q() e d P()() d P d Προσοχή σα μέθοδο μπορείς να ακολουθήσεις την παρακάτω διαδικασία (με πολ/στη) : εφόσον έχεις φέρει τη διαφορική στη μορφή y '()() P y Q υπολόγισε τον πολ/στη : P() d e οπότε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη μ αυτή της ποσότητα το πρώτο μέλος θα πάρει τη μορφή K()() y'() L και συνεχίζεις πολύ απλά 5. y ' 3y 6 6. y ' y 7. y ' y 8. y ' 7 y e 9. y ' 7y 30. y ' 7y si 3. y ' y ', 0 3 y ' y,(0) y 3. y y y 33. 3

5 τηλ. Οικίας : κινητό : Beroulli: Μοιάζει με τη μορφή της γραμμικής αλλά δεν είναι.αν έχω μορφή y '()() P y Q y τότε καλείται Beroulli Το ενδιαφέρον είναι ότι θέτω z y και η διαφορική μετατρέπεται σε γραμμική πρώτης τάξης 3. y ' y y 35. y ' y 6 y 36. y ' y y 9 5 με y( ) Riccati: Μοιάζει με τη μορφή της γραμμικής αλλά δεν είναι.αν έχω μορφή καλείται Riccati Προφανώς αν το R() 0 μετατρέπεται σε μία Beroulli με. y '()()() P y0 Q y R τότε Για να λυθεί η Riccati πρέπει να βρούμε μια ειδική της λύση την οποία θα τη συμβολίσουμε με y.για την ειδική λύση προσπάθησε να εμπνευσθείς από την R(). Το ενδιαφέρον είναι ότι θέτω z ' z y y & y ' y ' και η διαφορική μετατρέπεται σε μία απλή γραμμική πρώτης y y z z τάξης y ' y y y '( y ) y y ' y a (ειδική λύση της μορφής y ) (ειδική λύση της μορφής y a ) a b (ειδική λύση της μορφής y ) Γραμμικές ομογενείς τάξης με σταθερούς συντελεστές : Θα έχω μορφή y a y... a y ' a 0, ομογενείς, η τάξης o Τότε θα δημιουργώ την χαρακτηριστική εξίσωση a... a a 0 την οποία θα πρέπει να λύσω, είτε έχει πραγματικές ρίζες, είτε όχι. Αν έχω ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους :,,... y c e c e... c e. Θυμίζω ότι στην ()() abi a abi a περίπτωση που οι ρίζες είναι μιγαδικοί τότε ισχύει : e e cos b, e e sib o

6 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν έχω ρίζα λ με πολλαπλότητα κ τότε στη λύση θα εμφανίσω : e, e, e,..., e 0. y '' y ' y 0. y '' y ' y 0. y '' y 0 3. y ''' y '' 3 y ' 0. y '' 0 5. y '' y 0 6. y '' y ' 30y 0 7. y '' y ' y 0 8. y '' y ' y 0 9. y ''' 6 y '' y ' 6y y ''' 9 y '' 0y 0 5. y ''' 6 y '' y ' 36y y y ''' 7 y '' y ' 6y 0 5 y y y y y y ''' '' ' 0 5. y '' y ' y y '' 7 y ' y '' 5y y '' y ' y 0 Γραμμικές μη ομογενείς τάξης με σταθερούς συντελεστές : Θα έχω μορφή y a y... a y '() a f,μη ομογενείς, η τάξης Τότε η γενική λύση της είναι της μορφής : y yo y Με yo η γενική λύση της ομογενούς o y a y... a y ' a 0 (λύση όπως πριν) Με y η μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Προσοχή : η μερική λύση θα προσδιορισθεί σύμφωνα με τον πίνακα που ακολουθεί : Τα πολυώνυμα P(),() Q ίδιου βαθμού με P (),() Q o 5

7 τηλ. Οικίας : κινητό : η P() η P() e Τύπος f () Ρίζες χαρακτηριστικής εξίσωσης Μερική λύση y 3 η P ()() b Q b, l a βαθμού l, αντίστοιχα η ()() P b Q b e l, βαθμού l, αντίστοιχα a Αν λ=0 δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής Αν λ=0 είναι ρίζα με πολλαπλότητα κ Αν το λ=αδενείναι ρίζα της χαρακτηριστικής Αν το λ=α είναι ρίζα με πολλαπλότητα κ Αν bi δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης Αν bi είναι ρίζα πολλαπλότητας κ Αν a bi δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης Αν a bi είναι ρίζα με πολλαπλότητα P () P () P () e a P () e a P ()() b Q b a l, P ()() b Q b a l, P ()() b Q b e a l, P ()() b Q b e a l, a a y '' y ' 3y 0e y '' y ' y e y '' 0 y ' 5y e 5 y y ''' y '' y ' 6. y '' 3 y ' y y A B 63. y ''' 3 y '' y ' y A B 6. y '' y ' 3y e y A B e 65. y '' 3 y ' y e y A B C e 66. y '' 3 y ' y 0 y A B 67. y '' y 0 y A B 6

8 τηλ. Οικίας : κινητό : Εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές : Θα έχω μορφή y a y... a y a y g Τότε η γενική λύση της είναι της μορφής : y yo y Με yo η γενική λύση της ομογενούς y a y... a y a y 0. Τότε θα δημιουργώ την χαρακτηριστική εξίσωση a... a a 0 την οποία θα πρέπει να λύσω. Αν έχω ρίζες t t t διαφορετικές μεταξύ τους :,,... y c c... c. Αν έχω ρίζα λ με πολλαπλότητα κ τότε στη λύση θα εμφανίσω :, t, t,..., t t t t t Με y η μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Προσοχή : η μερική λύση θα προσδιορισθεί σύμφωνα με τη μορφή που έχει η συνάρτηση g. Δηλαδή : o y y 5 για μερική λύση θα θεωρήσω : y y A A 5 οπότε με γενική λύση y c θα έχω λύση y c 5 o y y για μερική λύση θα θεωρήσω : y y A b A, B οπότε με γενική λύση y c θα έχω λύση y c o Προσοχή : αν μια μερική λύση δε μπορείς να τη βρεις από την προφανή μορφή της g αυτοσχεδιάσεις. Να λυθούν οι εξισώσεις διαφορών : y y 3y 7, y 0, y t t t o y 5y 6y 5, y 3, y t 69. t t t o 5 y 3 y y, y, y y y 6, y t t t o 7. t t o y y y y y y 8, y 3, y o μπορείς να 7