Απειροστικός Λογισμός Ι (HY110)

Transcript

1 Απειροστικός Λογισμός Ι (HY110) Διάλεξη #1

2 Απειροστικός Λογισμός Ι Διδάσκοντες Τσαγκατάκης Γρηγόρης, Μάριος Πιτικάκης, Βοηθοί Αϊδίνη Αναστασία, Τρουλλινού Ειρήνη, Ζερβού Μιχαέλα Αρετή, Πεντάρη Αναστασία, Συμιακάκης Ανδρέας, Δρακωνάκης Κωνσταντίνος, Δροσάκης Δρόσος,

3 Διαλέξεις Πληροφορίες για το μάθημα Τρίτη 4-6 & Πέμπτη 2-4 Φροντιστήριο: Παρασκευή 4-6 Ώρες γραφείου: Τρίτη 3-4 B304 Υλικό μαθήματος 3

4 Πληροφορίες για το μάθημα Αξιολόγηση μαθήματος Ασκήσεις (20%) Πρόοδος (προαιρετική) (30%) Τελική Εξέταση (50% ή 80%) Ασκήσεις 4 υποχρεωτικές σειρές ασκήσεων και 1 άσκηση bonus (+10%) με χρήση προγραμμάτων όπως Matlab/octave/python/c + γραπτή αναφορά 4

5 Συγγράμματα Πληροφορίες για το μάθημα "Thomas Απειροστικός λογισμός" των Joel Hass, Chrisopher Heil & Maurice D. Weir. 14 έκδοση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2018 Εγγραφή στην σελίδα του μαθήματος στο elearn Εγγραφή στην λίστα του μαθήματος: με στο: χωρίς subject με κείμενο: subscribe hy110-list 5

6 6

7 Επισκόπηση διαλέξεων Συναρτήσεις Όρια συναρτήσεων Συνέχεια Παραγώγιση Εφαρμογές παραγώγων Παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισμένο ολοκλήρωμα συνεχών συναρτήσεων Αριθμητική ολοκλήρωση Αόριστο ολοκλήρωμα Τεχνικές ολοκλήρωσης και γενικευμένα ολοκληρώματα Ακολουθίες & Σειρές Υπερβατικές συναρτήσεις 7

8 «Μεγάλα δεδομένα» 8

9 Μεγάλα δεδομένα στην αστροφυσική Sky Survey Project Volume Velocity Variety The Palomar Digital Sky Survey 3 PB Sloan Digital Sky Survey (SDSS) 50 TB 200 GB per day Images, redshifts Large Synoptic Survey Telescope (LSST ) ~ 200 PB 10 TB per day Images, catalogs Square Kilometer Array (SKA ) ~ 4.6 EB 150 TB per day Images, redshifts 9

10 Μεγάλα δεδομένα για το κλίμα 10

11 Μεγάλα δεδομένα στην νευροεπιστήμη 11

12 12

13 13

14 14

15 15

16 16

17 Εξέλιξη της Τεχνητής Νοημοσύνης Artificial intelligence-created medicine to be used on humans for first time, BBC news, 30/1/2020 Coronavirus: Can AI Make A Difference? Forbes, 2/2/

18 Εγκέφαλος και Νευρωνικά δίκτυα 86 Δις νευρώνες συνάψεις 18

19 (Τεχνητά) Νευρωνικά Δίκτια 19

20 Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Training Inference (Test) 20

21 Μοντελοποίηση 21

22 Μοντελοποίηση 22

23 Μοντελοποίηση Είσοδος: x Έξοδος: f x = [ 1,0,1] 23

24 Συναρτήσεις Συνάρτηση y = f(x) x : ανεξάρτητη μεταβλητή y : εξαρτημένη μεταβλητή Gottfried Wilhelm Leibniz Leonhard Euler

25 Συναρτήσεις Συνάρτηση y = f(x) x : ανεξάρτητη μεταβλητή y : εξαρτημένη μεταβλητή Gottfried Wilhelm Leibniz Leonhard Euler

26 Συναρτήσεις Συνάρτηση y = f(x) x : ανεξάρτητη μεταβλητή y : εξαρτημένη μεταβλητή Gottfried Wilhelm Leibniz Εναλλακτικά z = g(t) { x, f x : x R} f: x y Leonhard Euler

27 Συναρτήσεις Μια συνάρτηση f από το πεδίο ορισμού D στο πεδίο τιμών Y είναι ένας κανόνας που αναθέτει μια μοναδική τιμή f(x) Y για κάθε x D 27

28 Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2 f t = 4 3 t g x = x 2 3x 28

29 Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2, [1, ) f t = 4 3 t g x = x 2 3x 29

30 Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2, [1, ) f t = 4 3 t, 3 3,, 0 0, g x = x 2 3x 30

31 Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2, [1, ) f t = 4 3 t, 3 3,, 0 0, g x = x 2 3x, 0 3, [0, ) 31

32 Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων 32

33 Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων y = f(x) y f(x) x x (many-to-one) This is OK in a function (one-to-many) This is NOT OK in a function 33

34 Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων y = f(x) x y f(x) x Κριτήριο κατακόρυφης ευθείας (many-to-one) This is OK in a function (one-to-many) This is NOT OK in a function 34

35 Γραφικές Παραστάσεις Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 στο διάστημα [-2,2] Να παρασταθούν οι συναρτήσεις και εξηγήστε αν είναι γραφικές παραστάσεις του x y = x y 2 = x 2 35

36 Σχεδιασμός γραφικών παραστάσεων 36

37 Προσέγγιση γραφική παράστασης #x: 5 #x: 9 #x: 41 37

38 Διάγραμμα συνδιασποράς 38

39 Τμηματικές συναρτήσεις Η συνάρτηση απόλυτης τιμής x, x 0 x = ቊ x, x < 0 x, x < 0 f x = ቐx, 0 x 1 1, x > 1 39

40 Τμηματικές συναρτήσεις Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης για τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις 40

41 Συναρτήσεις μέγιστου/ελάχιστου ακεραίου Συνάρτηση μέγιστου ακεραίου: μέγιστος ακέραιος μικρότερος ή ίσος του x 2.5 = 2, 0 = 0, 1.5 = 2 Συνάρτηση ελάχιστου ακεραίου: ελάχιστος ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του x 2.5 = 3, 0 = 0, 1.5 = 1 41

42 Συναρτήσεις μέγιστου/ελάχιστου ακεραίου 42

43 Αύξουσες και Φθίνουσες συναρτήσεις Έστω η συνάρτηση f x ορισμένη σε ένα διάστημα I και x 1, x 2 I Αν f x 2 > f x 1 για κάθε ( ) x 2 > x 1, τότε η f x ονομάζεται αύξουσα στο I Αν f x 2 < f x 1 για κάθε ( ) x 2 > x 1, τότε η f x ονομάζεται φθίνουσα στο I Το I μπορεί να είναι πεπερασμένο (φραγμένο) ή άπειρο (μη φραγμένο) 43

44 Αύξουσες και Φθίνουσες συναρτήσεις Σε ποια διαστήματα είναι αύξουσες/φθίνουσες οι παρακάτω συναρτήσεις y = 1 x y = 1 x 44

45 Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Η συνάρτηση y = f(x) είναι Άρτια συνάρτηση του x αν f x = f(x) Περιττή συνάρτηση του x αν f x = f(x) Προέλευση Σχέση με δυνάμεις του x y = x 2, y = x 4 -> άρτιες γιατί ( x) 2 = x 2 y = x 1, y = x 3 -> περιττές γιατί ( x) 3 = x 3 45

46 Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Συμμετρίες Οι άρτιες είναι συμμετρικές ως προς y Οι περιττές είναι συμμετρικές ως προς (0,0) 46

47 Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Παραδείγματα f x = x 3 + x f x = 3 f x = x

48 Γραμμικές Συνήθης συναρτήσεις f x = mx + b όπου m (κλίση) και b σταθερές 48

49 Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά 49

50 Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά f x = x 1 f x = x 2 50

51 Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά f x = x 1 2 f x = x 1 3 f x = x 3 2 f x = x

52 Συνήθης συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις p x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n μη αρνητικός ακέραιος (βαθμός) a 0, a 1,., a n πραγματικές σταθερές (συντελεστές) 52

53 Ρητές συναρτήσεις f x = p(x) q(x) Συνήθης συναρτήσεις όπου p(x), q(x) πολυώνυμα 53

54 Συνήθης συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυώνυμα και αλγεβρικές πράξεις 54

55 Συνήθης συναρτήσεις Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 55

56 Εκθετικές συναρτήσεις Συνήθης συναρτήσεις f x = α x όπου a > 0 και a 1 σταθερά, (0, ) 56

57 Συνήθης συναρτήσεις Λογαριθμικές συναρτήσεις f x = log α x όπου a > 0 και a 1 σταθερά (0, ), 57

58 Πράξεις συναρτήσεων Έστω η f x με πεδίο ορισμού D(f) και η g x με πεδίο ορισμού D(g). Για κάθε x D(f) D(g), ορίζουμε τις f + g x = f x + g(x) f g x = f x g x fg x = f x g(x) f f(x) x = όπου g(x) 0 g g(x) cf x = cf x όπου c σταθερa 58

59 Πρόσθεση συναρτήσεων 59

60 Παράδειγμα Έστω οι f x = x και g x = 1 x με πεδία ορισμού D f = [0, ) και D g = (, 1]. Τα κοινά σημεία ορισμού D(f) D g = [0,1] 60

61 Παράδειγμα 61

62 Μετατόπιση συναρτήσεων Κατακόρυφη μετακίνηση: y = f x + k 62

63 Μετατόπιση συναρτήσεων Οριζόντια μετακίνηση: y = f x + h 63

64 Μετατόπιση συναρτήσεων 64

65 Αλλαγή κλίμακας Για c > 1 y = cf x y = 1 f x c y = f cx επιμηκύνεται κατακόρυφα κατά c συμπιέζεται κατακόρυφα κατά c συμπιέζεται οριζόντια κατά c y = f 1 c x επιμηκύνεται οριζόντια κατά c 65

66 Αλλαγή κλίμακας 66

67 Αλλαγή κλίμακας Για c = 1 y = f x y = f x ανάκλαση ως προς άξονα x ανάκλαση ως προς άξονα y 67