Υπολογιστική Τομογραφία Ακτίνων-Χ (X-ray Computed Tomography, CT)

Transcript

1 Υπολογιστική Τομογραφία Ακτίνων-Χ (X-ray Computed Tomography, CT) Κωσταρίδου Ελένη Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Τμήμα Ιατρικής, Πανεπιστήμιο Πατρών 1

2 Προβολική Απεικόνιση Ακτίνων X (ακτινογράφηση) φιλμ (δισ-διάστατη αναλογική προβολική καταγραφή) Στη προβολική απεικόνιση η εικόνα αναπαριστά την εξασθένηση της δέσμης ακτίνων X, που προέρχεται από την επιπροβολή της εξασθένησης, λόγω όλων των επί μέρους δομών (ιστών) κατά μήκος της διαδρομής της δέσμης 2

3 Η πολογιστική τομογραφία παρέχει εικόνες τομών του υπό εξέταση αντικειμένου (ανθρώπινο σώμα). Βασικά χαρακτηριστικά: Λεπτή δέσμη ακτίνων-χ Βασικά Χαρακτηριστικά CT Καταγραφή εξασθένησης μέσω προβολών Ψηφιακή καταγραφή Η τομή αποτελείται από διακριτά στοιχεία όγκου (voxels). Η τιμή κάθε voxel αντιστοιχείται στη τιμή του εικονοστοιχείου (pixel) της εγκάρσιας τομογραφικής εικόνας Μέγεθος pixel (Δx, Δy) Υψος voxel (S) 3

4 3-διάστατη απεικόνιση α β Τρισδιάστατη απεικόνιση θώρακος στο CT κατά μήκος των κύριων ανατομικών αξόνων (β). Δισδιάστατη απεικόνιση στα αντίστοιχα επίπεδα (εγκάρσιο,γ, στεφανιαίο, α, οβελιαίο, δ). γ δ 4

5 Γιατί CT; (α) Εγκάρσια τομογραφική εικόνα κεφαλής (β) Αντίστοιχη προβολική εικόνα (οβελιαία) Η τομογραφική εικόνα (α) αναπαριστά την εξασθένηση της δέσμης ακτίνων X που οφείλεται σε κάθε voxel και pixel, και επομένως η αντίθεση εικόνας καθορίζεται από τις διαφορές των τιμών έντασης (τόνοι του γκρι) γειτονικών pixel. Στη προβολική απεικόνιση (β), η αντίθεση εικόνας ορίζεται με τον ίδιο τρόπο, μόνο που οι τιμές έντασης της εικόνας προκύπτουν από την επιπροβολή της εξασθένησης, λόγω όλων των επί μέρους δομών (ιστών) κατά μήκος τηςδιαδρομής της δέσμης 5

6 Τι μετράμε στο CT; Στην αναλογική προβολική ακτινογράφιση μόνο η χωρική κατανομή της έντασης της δέσμης μετά την αλληλεπίδρασή της με το αντικείμενο μετράται: I(x,y). Στην υπολογιστική τομογραφία εκτός της μέτρησης της έντασης της δέσμης μετά την αλληλεπίδρασή της με το αντικείμενο (I) μετράται και η ένταση της πρωτογενούς ακτινοβολίας I0, ώστε να υπολογισθεί η εξασθένησή της της δέσμης σε κάθε προβολή. 6

7 Υπολογισμός του συντελεστή γραμμικής εξασθένησης μ(x,y) 1. Ομοιογενές Αντικείμενο/Μονοχρωματική Δέσμη (τετριμένη περίπτωση) 2. Ανομοιογενές Αντικείμενο/Μονοχρωματική Δέσμη: προϋποθέτει άθροισμα (ολοκλήρωμα) της επιμέρους εξασθένησης κατά μήκος των διαδρομών/διαστημάτων (di) των συστατικών του αντικειμένου (γραμμικοί συντελεστές εξασθένησης, μi). 7

8 Γεωμετρία παράλληλης δέσμης (parallel-beam geometry) Προβολή (Ι θ (r), θ=0) Παράμετροι: θ, η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της δέσμης ακτίνων X με τον άξονα y r, η γραμμική απόσταση από την αρχή των αξόνων, σε διεύθυνση κάθετη προς τη διεύθυνση της δέσμης I 0, η αρχική ένταση της δέσμης Εξασθένηση p(r)=-ln(ι θ (r)/i 0 ), θ=0 8

9 Πώς μετράμε στο CT: Γεωμετρία παράλληλης δέσμης Απλή γεωμετρία μετατόπισης/στροφής λεπτής δέσμης για τη λήψη προβολών στην υπολογιστική τομογραφία. 9

10 r, θ Sampling - Ημιτονόγραμμα Δθ Δr Στην πράξη, η διακριτή δειγματοληψία, αντιστοιχεί σε γωνιακή λήψη προβολών με βήμα Δθ, και βήμα δειγματοληψίας ανά προβολή Δr, το οποίο αντιστοιχεί στο βήμα δειγματοληψίας (διατομή ή διάσταση στοιχείου) του ανιχνευτή. Ημιτονόγραμμα είναι η δισδιάστατη διακριτή συνάρτηση p(nδr,mδθ); Πίνακας Μ γραμμών και Ν στηλών. 10

11 r, θ Sampling - Ημιτονόγραμμα Ψηφιακό ομοίωμα Shepp-Logan Ημιτονόγραμμα - p(r,θ) του ομοιώματος Shepp-Logan 11

12 r Sampling (Δr) Beam width (Δs) προβολή Πλάτος δέσμης e= a c Δειγματοληψία ανιχνευτή Δείγματα του e FT προβολήs FT δέσμης FT e FT ( r n r FT i FT: πλάτος μετασχηματισμού Fourier, k, χωρική συχνότητα Η συνθήκη για την αποφυγή της αλληλεπικάλυψης (του FT e) στnν j είναι: 1 r 2 s r s 2 (όριο Nyquist) 12

13 Πώς υπολογίζουμε μια τομογραφική εικόνα στο CT; Οπισθοπροβολή (a) Ανακατασκευή Εικόνας από Προβολές: Ο Radon απέδειξε το 1917 ότι η δισ-διάστατη χωρική κατανομή μιας τομής φυσικού αντικειμένου είναι δυνατόν να υπολογισθεί εάν είναι γνωστός μεγάλος αριθμός επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων (προβολών) του αντικειμένου. (b-d) Οπισθοπροβολή με 2, 3 και πολλές προβολές. 13

14 Οπισθοπροβολή Για κάθε προβολή p θ (r), ανάθεση των τιμών της σε όλα τα εικονοστοιχεία της υπό ανακατασκευή τομογραφικής εικόνας, της ίδιας διέυθυνσης. Επανάληψη του προηγολυμενου βήματος, για όλες τις γωνίες θ. Οι τιμές των προβολών αθροίζονται, στις συντεταγμένες στις οποίες συμπίπτουν. 14

15 Οπισθοπροβολή (2) Επειδή οι τιμές δεν συμπίπτουν με τις διακριτές θέσεις των δειγμάτων nδr του ανιχνευτή, απαιτείται παρεμβολή των τιμών μεταξύ γειτονικών δειγμάτων του ανιχνευτή. 15

16 Οπισθοπροβολή (Παράδειγμα) f(x,y)= αρχική αρχικοποίηση back-project back-project (4,6) at 0 0 (1,5,4) at back-project 3 (3,7) at back-project (3,5,2) at τελική 3 16

17 Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων (Άμεση ανακατασκευή Fourier) Υπολογισμός του μονοδιάστατου μετασχηματισμού Fourier κάθε προβολής p θ (r): Χρήση του θεωρήματος της κεντρικής τομής (central slice theorem), το οποίο συσχετίζει το μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier μιας προβολής του αντικειμένου υπό γωνία θ, P θ (k), με το δισδιάστατο μετασχηματισμό Fourier του αντικειμένου σε πολικές συντεταγμένες P(k,θ). Απαιτείται παρεμβολή για τη μετατροπή των δειγμάτων P(k,θ) σε καρτεσιανές συντεταγμένες F(k x,k y ), η οποία εισάγει artifacts. Υπολογισμός του αντίστροφου δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier για τον υπολογισμό της f(x,y). 17

18 Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων (Central Slice Theorem) Αντιστοιχία συμβόλων: P(x,θ) F(u,θ) p(r,θ) P(k,θ) 18

19 Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων (Polar-to-Cartesian) Απαιτείται παρεμβολή για τη μετατροπή των δειγμάτων P(k,θ) σε καρτεσιανές συντεταγμένες F(k x,k y ) 19

20 Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων (Filtered Backprojection) Για την αποφυγή του βήματος της παρεμβολής, χρησιμοποιείται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier σε πολικές συντεταγμένες: Η συνάρτηση f(x,y) ανακατασκευάζεται με οπισθοπροβολή της p*(r,θ), που αντιστοιχεί στον αντίστροφο μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, ως προς k, της P*(k,θ). 20

21 Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων (Filtered Backprojection) Η P*(k,θ) υπολογίζεται με πολλαπλασιασμό με τη συνάρτηση φίλτρου k. Λόγω ισοδυναμίας των πράξεων της συνέλιξης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ του πεδίου του χώρου και του πεδίου Fourier, η p*(r,θ) υπολογίζεται και με συνέλιξη με κατάλληλλη συνάρτηση (πυρήνας συνέλιξης), που αντίστοιχεί στον αντίστροφο μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, της συνάρτησης φίλτρου. Φιλτράρισμα FT ημιτονογράμματος ή τροποποίηση ημιτονογράμματος με κατάλληλο πυρήνα συνέλιξης Οπισθοπροβολή φιλτραρισμένου ημιτονογράμματος 21

22 Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων (Reconstruction Filter) Λόγω της διακριτής δειγματοληψίας η μέγιστη χωρική συχνότητα του φίλτρου k, που ονομάζεται (Ram-Lak), καθορίζεται από: k max 1 s 1 2 r 22

23 Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων (Reconstruction Filter-Window) Hamming window (solid line) Hanning window (dashed line) k k k x Hamming window x Hanning window Για τον περιορισμό της ενίσχυσης των υψηλών συχνοτήτων η συνάρτηση φίλτρου πολλαπλασιάζεται με συνάρτηση λείανσης (smoothing window): Για α=0.54 και 0.5 παράθυρα Hamming και Hanning αντίστοιχα. 23

24 Ανακατασκευή στο πεδίο συχνοτήτων (Reconstruction kernel) Το φίλτρο k,που ονομάζεται (Ram-Lak), αντιστοιχεί μαθηματικά στη διαφορά δύο συναρτήσεων: τετραγωνικού και τριγωνικού παλμού. Ο αντίστροφοφος μετασχηματισμός Fourier αυτών αντιστοιχεί στη συνάρτηση πυρήνα συνέλιξης για την τροποποίηση των προβολών: Οπισθοπροβολή Συνέλιξη 24

25 Πυρήνες Συνέλιξης (Φιλτράρισμα Προβολών Hμιτονογράμματος) Επιλογή του κατάλληλου πυρήνα λειαίνει (ομαλοποεί) ή οξύνει τις ακμές της ανακασκευασμένης εικόνας. 25

26 1 2 h (m) Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Παράδειγμα συνέλιξης) f (n) Αναδίπλωση ή Αντικατοπτρισμός της h(m) γύρω από το δείγμα: h(-m). 2. Ολίσθηση της h(-m) από αριστερά προς τα δεξιά, με βήμα 1, και υπολογισμός του αθροίσματος των επιμέρους (κοινών) γινομένων. back-projection

27 Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Παράδειγμα) f(x,y)= αρχική αρχικοποίηση back-project back-project (-2,1,4,-3) at 0 0 (-5/2,5,-5/2) at / / /2 7 back-project (-3/2,-1/2,11/2,-7/2) at /2 7 5 back-project (-5/2,5,-5/2) at τελική 27

28 Αλγόριθμος φιλτραρισμένης οπισθοπροβολής Εκκίνηση του αλγορίθμου ανακατασκευής (κενή εικόνα) Χρήση απλής οπισθοπροβολής συνοδεύεται από ασάφεια εικόνας, λόγω της εξάπλωσης τοπικών τιμών εξασθένησης σε απομακρυσμένες θέσεις Τροποποίηση της κάθε προβολής πριν την οπισθοπροβολή, με κατάλληλη μαθηματική συνάρτηση (πυρήνας συνέλιξης), που περιέχει θετικούς και αρνητικούς λωβούς μειώνει τη ασάφεια εικόνας. 28

29 Matlab Κώδικας (2010a) % original (phantom) image P = phantom(512); figure (1),imshow(P,[]) Παράλληλη δέσμη (3) % Compute parallel-beam projection data of the phantom image T=1; % T=180, 90, 40, 20, 10, 5, 4, 3, 2, 1 for 2, 4, 9, 18, 36, 72, 90, 120, 180 and 360 projections, respectively theta = 0:T:360; [R1,xp] = radon(p,theta); method_inter='nearest'; % Interpolation: 'nearest', 'linear', 'cubic, 'spline' filter='shepp-logan'; % Filter: 'None, 'Ram-Lak', 'Shepp-Logan', 'Cosine', 'Hamming','Hann' filter_cutoff=0.85; % Cut-off frequency: 100%, 95%, 85%, 65%, 55%, 45%, 35% and 25% of window % Reconstructed image output_size = max(size(p)); I1 = iradon(r1,t,method_inter,filter,filter_cutoff,output_size); figure (2),imshow(I1) 29

30 Shepp-Logan CT ψηφιακό ομοίωμα Pixel Profile αρχικής εικόνας Shepp-Logan CT ψηφιακό ομοίωμα 30

31 Επίδραση αριθμού προβολών (1) 2 προβολές 4 προβολές 9 προβολές 18 προβολές Παράμετροι: Interpolation: Nearest neighbor; Filter: Shepp-Logan; Cut-off frequency: 85% of window 31

32 Επίδραση αριθμού προβολών (2) 36 προβολές 72 προβολές 90 προβολές 120 προβολές 32 Παράμετροι: Interpolation: Nearest neighbor; Filter: Shepp-Logan; Cut-off frequency: 85% of window

33 Επίδραση αριθμού προβολών (3) 180 προβολές 360 προβολές Αρχική Παράμετροι: Interpolation: Nearest neighbor; Filter: Shepp-Logan; Cut-off frequency: 85% of window 33

34 Επίδραση μεθόδου παρεμβολής (interpolation) Nearest neighbor Linear Αρχική Παράμετροι: Projections: 360; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window 34

35 Επίδραση μεθόδου παρεμβολής (2) Cubic Spline Αρχική Παράμετροι: Projections: 360; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window 35

36 Επίδραση φίλτρου ανακατασκευής (1) No filter Ram-Lak filter Shepp-Logan filter Παράμετροι: Projections: 360; Interpolation: Nearest neighbor; Cut-off frequency: 85% of window 36

37 Επίδραση φίλτρου ανακατασκευής (2) Cosine filter Hamming filter Hanning filter Παράμετροι: Projections: 360; Interpolation: Nearest neighbor; Cut-off frequency: 85% of window 37

38 Επίδραση συχνότητας αποκοπής του φίλτρου ανακατασκευής (1) Αρχική Cut-off freq: 100% Cut-off freq: 95% Παράμετροι: Projections: 360; Interpolation: Linear; Filter: Hanning 38

39 Επίδραση συχνότητας αποκοπής του φίλτρου ανακατασκευής (2) Cut-off freq: 85% Cut-off freq: 65% Cut-off freq: 55% Παράμετροι: Projections: 360; Interpolation: Linear; Filter: Hanning 39

40 Επίδραση συχνότητας αποκοπής του φίλτρου ανακατασκευής (3) Cut-off freq: 45% Cut-off freq: 35% Cut-off freq: 25% Παράμετροι: Projections: 360; Interpolation: Linear; Filter: Hanning 40

41 Γεωμετρία δέσμης τύπου βεντάλιας (fan-beam geometry) Παράμετροι: β, η γωνία που σχηματίζει ο άξονας συμμετρίας της δέσμης ακτίνων X με τον άξονα y (π+fan angle ή 2π) γ, η γωνία που σχηματίζει ο άξονας συμμετρίας της δέσμης ακτίνων X με την ακτίνα που διέρχεται από το σημείο (x,y) (γωνιακή απόσταση) R, η απόσταση πηγής και κέντρου field of view (FOV), R FOV / 2 fan angle L, η απόσταση του σημείου (x,y) από την πηγή 41

42 Γεωμετρία δέσμης τύπου βεντάλιας (γ, β sampling) Αντιστοιχία παραμέτρων μεταξύ γεωμετρίας παράλληλης δέσμης και τύπου βεντάλιας : Δγ r θ γ β Δβ 42

43 Προσαρμογή αλγορίθμου φιλτραρισμένης οπισθοπροβολής Όρια ολοκλήρωσης του r [ -FOV/2, FOV/2] θ = γ + β r = R sinγ 43

44 Δέσμη σχήματος βεντάλιας (3) Matlab Κώδικας (2010a) close all; clear all %% phantom image P = phantom(512); figure (1),imshow(P,[]) %% Compute fan-beam projection data of the phantom image R = 380; %% R > = image size / 2 %% parameters FanSensorGeometry1='arc'; % 'arc' and 'line' FanSensorSpacing1=0.25; %, the arc of sensors is fixed = 87.7 degrees, Spacing (Δr): , , , , FanRotationIncrement1=1; % Increment (Δs): 1 0 method_inter='linear'; % Interpolation: 'nearest', 'linear', 'cubic', 'spline' filter='hann'; % Filter: 'None','Ram-Lak','Shepp-Logan','Cosine','Hamming','Hann filter_cutoff=0.85; %% cut-off frequency: 95%, 85%, 65%, 45%, 25% of window [F3, sensor_pos, fan_rot_angle] = fanbeam(p,r,'fanrotationincrement',fanrotationincrement1, 'FanSensorGeometry',FanSensorGeometry1,'FanSensorSpacing',FanSensorSpacing1); 44

45 Δέσμη τύπου βεντάλιας (4) %% Plot the projection data figure (2), imagesc(fan_rot_angles, sensor_pos, F3) colormap(hot); colorbar xlabel('fan Rotation Angle (degrees)') ylabel('fan Sensor Position (degrees)') % % Reconstruct the image from the fan-beam projection data using ifanbeam. In each reconstruction output_size = max(size(p)); FanCoverage1='cycle'; %'minimal', 'cycle', no difference exists Ifan3=ifanbeam(F3,R,'FanRotationIncrement',FanRotationIncrement1, 'FanSensorGeometry',FanSensorGeometry1, 'FanSensorSpacing',FanSensorSpacing1,'Filter',filter,'FrequencyScaling',... filter_cutoff,'interpolation',method_inter,'outputsize',output_size); figure (3), imshow(ifan3) yi=[84,309]; xi=[262,262]; c = improfile(ifan3,xi,yi) figure(4),plot(c) %%original c1 = improfile(p,xi,yi) figure(5),plot(c1) 45

46 Επίδραση δειγματοληψίας (1) Αρχική Sampling: Sampling: Παράμετροι: Rotation Increment: 1 0 ; Interpolation: Linear; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window 46

47 Επίδραση δειγματοληψίας (2) Sampling: Sampling: Sampling:

48 Επίδραση δειγματοληψίας (3) Sampling: Sampling: Sampling:

49 Επίδραση μεθόδου παρεμβολής (interpolation) Nearest neighbor Linear Αρχική Παράμετροι: Spacing: ; Increment: 1 0 ; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window 49

50 Επίδραση μεθόδου παρεμβολής (2) Cubic Spline Αρχική Παράμετροι: Spacing: ; Increment: 1 0 ; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window 50

51 Επίδραση φίλτρου ανακατασκευής (1) No filter Ram-Lak filter Shepp-Logan filter Παράμετροι: Spacing: ; Increment: 1 0 ; Interpolation: Linear; Cut-off frequency: 85% of window 51

52 Επίδραση φίλτρου ανακατασκευής (2) Cosine filter Hamming filter Hanning filter Παράμετροι: Spacing: ; Increment: 1 0 ; Interpolation: Linear; Cut-off frequency: 85% of window 52

53 Επίδραση συχνότητας αποκοπής του φίλτρου ανακατασκευής (1) Αρχική Cut-off freq: 95% Cut-off freq: 85% Παράμετροι: Spacing: ; Increment: 1 0 ; Interpolation: Linear; Filter: Hanning 53

54 Επίδραση συχνότητας αποκοπής του φίλτρου ανακατασκευής (2) Cut-off freq: 65% Cut-off freq: 45% Cut-off freq: 25% Παράμετροι: Spacing: ; Increment: 1 0 ; Interpolation: Linear; Filter: Hanning 54

55 Συγκριτική αξιολόγηση δεσμών παράλληλης και βεντάλιας (1) Αρχική Parallel beam Fan-beam: spacing Παράμετροι: Interpolation: Linear; Projections: 360; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window 55

56 Συγκριτική αξιολόγηση δεσμών παράλληλης και βεντάλιας (2) Αρχική Parallel beam Fan-beam: spacing Παράμετροι: Interpolation: Spline; Projections: 360; Filter: Hanning; Cut-off frequency: 85% of window 56

57 Τιμές Εικόνας CT: Μονάδα Hounsfield CTvalue ( T water) 1000 HU water 57

58 Η φυσική σημασία του μ(x,y) I I o e d [ L 1 ] ( E, Z) μ/ρ (E, Z), ο συντελεστής μαζικής εξασθένησης εξαρτάται από την ενέργεια (E) της δέσμης ακτίνων X, και τον ατομικό αριθμό (Z) του υλικού του αντικειμένου. 58

59 Παρουσίαση εικόνας στο CT: Τεχνική Παραθύρου (window/level) Η συνάρτηση παραθύρου αντιστοιχεί ένα τμήμα του εύρους τιμών μιας εικόνας (εύρος τιμών εισόδου) στο διαθέσιμο εύρος της οθόνης 8 παρουσίασης (εύρος τιμών εξόδου): L 2 Η κλίση καθορίζει το βαθμό ενίσχυσης. s 0, min min L 1, rmin r rmax r r max r r L 1, r min r r r max Παράμετροι: εύρος παραθύρου (window width), στάθμη (level), r max rmax r min 2 r min 59

60 Τεχνική Παραθύρου στο CT Θώρακος 60

61 Παράδειγμα Ανάλυσης Εκόνας σε MDCT Θώρακος: Ποσοτική εκτίμηση τρισ-διάστατης έκτασης και σταδιοποίηση προτύτων διάχυτων αλλοιώσεων διέχυτων προτύ (eter 61

62 Προ-επεξεργασία: Αλγόριθμοι τμηματοποίησης πνευμονικών πεδίων και αγγειακού δέντρου P. Korfiatis, C. Kalogeropoulou, A. Karahaliou, A. Kazantzi, S. Skiadopoulos, L. Costaridou, Texture classification-based segmentation of lung affected by interstitial pneumonia in high-resolution CT, Medical Physics; (12): P. Korfiatis, C. Kalogeropoulou, A. Karahaliou, A. Kazantzi, L. Costaridou, Vessel tree segmentation in presence of interstitial lung disease in MDCT, IEEE Transactions on Information Technology in Biomedicien; (2):

63 Ταξινόμηση του πνευμονικού παρεγχύματος σε φυσιολογικό και 2 κατηγορίες παθολογίας (Interstitial Lung Disease, ILD) P. Korfiatis, A. Karahaliou, C. Kalogeropoulou, A.Kazantzi, L. Costaridou, Texture Based Identification and Characterization of Interstitial Pneumonia Patterns in Lung Multidetector CT, IEEE Trans. Inform Tech. Biomed. ; (3):

64 Βιβλιογραφία Willi A. Kallender. Chapter 1: Principles of Computed Tomography. Computed Tomography. Publicis MDC Verlag, 2000, Munich, Germany. David J.Goodenough, Chapter 8: Tomographic Imaging, In Handbook of Medical Imaging Vol.1. Physics and Psychophysics, Society of Photo- Optical Instrumentation Engineers, SPIE, Press, 2000,Bellingham, Washington, USA. Paul Suetens. Chapter 3: X-ray Computed Tomography. Fundamentals of Medical Imaging. Cambridge University Press, second ed. 2009, New York, USA. 64