Digital Image Processing

Transcript

1 Digital Image Processing Φιλτράρισμα στο πεδίο των Πέτρος Καρβέλης Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008.

2 Φίλτρο: μια διάταξη ή ένα υλικό για την καταστολή ή την ελαχιστοποίηση κυμάτων ή ταλαντώσεων συγκεκριμένων. Συχνότητα: Το πλήθος των επαναλήψεων της ίδιας ακολουθίας τιμών μιας περιοδικής συνάρτησης που παρατηρείται κατά την διάρκεια μιας μοναδιαίας μεταβολής της ανεξάρτητης μεταβλητής Λεξικό Webster

3 Η τρελή Ιδέα του Fourier (1807): Οποιαδήποτε περιοδική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων διαφορετικών με τον κάθε όρο από τους όρους να πολλαπλασιάζεται με διαφορετικό συντελεστή. Στην αρχή δεν τον πίστεψαν: ο Laplace, ο Poison ακόμη και ο Lagrange. Jean Baptiste Joseph Fourier Για το λόγο αυτό δεν μεταφράστηκε η αρχική εργασία του στα Αγγλικά μέχρι το 1878.

4 1-D Διακριτός μετασχηματισμός Fourier: M 1 j2 ux/ M ( ) ( ), 0,1,2,...,M1 F u f x e u x0 1-D Διακριτός Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier: 1 f x e x M M 1 j2 ux/ M ( ) F(u), 0,1,2,...,M1 x0

5 Παράδειγμα: Να υπολογιστεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier της δειγματοληπτημένης συναρτήσεως που φαίνεται παρακάτω

6 Παράδειγμα: f ( x) sin(2 ft), f Δειγματοληπτούμε την συνάρτηση με f s =150 και υπολογίζουμε το φάσμα του μετασχηματισμού Fourier 2 2 Fu ( ) Re(F(u)) Imag(F(u)

7 Φάσμα του μετ. Fourier F(u u

8 Πώς μοιάζει μια ημιτονική εικόνα; Μ=Ν= f ( x, y) 255sin 2 x y, xy, 1023 Πόση είναι η Οριζόντια συχνότητα και η κάθετη Συχνότητα της εικόνας; Άρα πόσες είναι οι περιοδικές επαναλήψεις της εικόνας κατά τον x, y άξονα;

9 Πώς μοιάζει μια ημιτονική εικόνα; Μ=Ν= f ( x, y) 255sin 2 x, xy, 1023

10 2-D Διακριτός μετασχηματισμός Fourier: M 1 ux vy j2 M N F( u, v) f ( x, y) e, u 0,1,2,...,M1, u 0,1,2,..., N 1 x0 2-D Διακριτός Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier: M 1 ux vy j2 M N 1 f ( x, y) F( u, v) e, x 0,1,2,...,M1, y 0,1,2,..., N 1 MN x0

11 2-D Διακριτός μετασχηματισμός Fourier: x,y συντεταγμένες χώρου (θέσεις pixels) ενώ u,v συχνότητες. Άρα μας επιτρέπει την μετάβαση από το πεδίο του χώρου στο πεδίο των. M 1 ux vy j2 M N F( u, v) f ( x, y) e, x0 u 0,1,2,...,M1, u 0,1,2,..., N 1 Χρήσιμο στην επεξεργασία εικόνας (π.χ. φίλτρα) και όχι μόνο.

12 Μια εικόνα αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς ή ακεραίους που εκφράζουν την φωτεινότητα ή το χρώμα της εικόνας σε εικονοστοιχεία-pixels της. DFT είναι γενικά μιγαδικός Άρα μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού αριθμού F( u, v) F ( u, v) 1F real imag M1N1 u v Freal ( u, v) f ( x, y) cos 2 x y x0 y0 M N M1N1 u v Fimag ( u, v) f ( x, y) sin 2 x y x0 y0 M N

13 Άρα ο DFT μιας εικόνας έχει μέτρο και φάση Το μέτρο του DFT 2 2 F( u, v) F ( u, v) F ( u, v) real imag Η φάση του DFT F (, ) 1 imag u v ( uv, ) tan Freal ( u, v) Matlab Fm = abs(fft2(f)); %μέτρο του DFT A = angle(fft2(f)); %φάση σε ακτίνια Τι αναπαριστά το στοιχείο F(0,0);

14 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (1/3)

15 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (2/3)

16 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (3/3)

17 Συμμετρία του Μετ. Fourier Από την ιδιότητα της συμμετρίας και περιοδικότητας προκύπτουν συμμετρίες ως προς το μέσο της συχνότητας (u,v)=(m/2,n/2) Για καλύτερη απεικόνιση θεωρούμε μια απεικόνιση με κέντρο τον αξόνων (u,v) το κέντρο του πίνακα.

18 Fourier Magnitude Fourier Spectrum F u v R u v I u v 2 2 (, ) (, ) (, ) 1/2 f(x, y F(u, v

19 Fourier Magnitude Fourier Spectrum F u v R u v I u v 2 2 (, ) (, ) (, ) 1/2 f(x, y F(u, v

20 Fourier Magnitude Fourier Spectrum F u v R u v I u v 2 2 (, ) (, ) (, ) 1/2 f(x, y F(u, v

21 Fourier Magnitude Fourier Spectrum F u v R u v I u v 2 2 (, ) (, ) (, ) 1/2 f(x, y 1 + log F(u, v

22 Τα βασικά βήματα φιλτραρίσματος στο πεδίο των

23 Κατηγορίες Φίλτρων Υψιπερατό φιλτράρισμα: αποκοπή χαμηλών (π.χ. ανάδειξη ακμών) Χαμηλοπερατό Φίλτράρισμα: αποκοπή υψηλών (απαλοιφή θορύβου) Ζωνοφρακτικό Φίλτράρισμα: αποκοπή ενδιάμεσων

24 Από Χωρικά φίλτρα σε Φίλτρα Έστω εικόνα μεγέθους MxN και φίλτρο mxn Για χωρικό φιλτράρισμα εφαρμόζουμε τη σχέση g=f*h Για φιλτράρισμα στο πεδίο των g=f.h Όμως το H είναι mxn Επεκτείνεται η μάσκα h με μηδενικά ώστε να έχει διαστάσεις MxN Υπολογίζουμε τον DFT της νέας μάσκας h Εφαρμόζεται G=F.H g=idft(g)

25 Χαμηλοπερατό φίλτρο Το ιδεατό χαμηλοπερατό φίλτρο έχει συνάρτηση μεταφοράς : D(u,v) η απόσταση του σημείου u,v από το σημείο (0,0) D 0 θετικός αριθμός H ( u, v) 1 D( u, v) 0 D( u, v) D D 0 0

26 Χαμηλοπερατό φίλτρο Αποτελέσματα από χαμηλοπερατά φίλτρα με cutoff συχνότητες απόστασης 5,15,30,80, 230

27 Χαμηλοπερατό φίλτρο Μειονεκτήματα των ιδεατών χαμηλοπερατών φίλτρων Δεν είναι υλοποιήσιμα από υλικό Δημιουργία ringing effect (εξαιτίας της απότομης μεταβολής) H ( u, v) 1 Λύση Butterwoth φίλτρα 2 1 D( u, v) D0 n

28 Σύγκριση ιδεατού και φίλτρου Butterworth

29 Φίλτρα Gauss στο πεδίο των Είναι χαμηλοπερατά φίλτρα και έχουν συνάρτηση μεταφοράς: H ( u, v) e D(u,v) D 0 2

30 Φίλτρα Gauss στο πεδίο των D 0 =30 D 0 =10

31 Υψιπερατά φίλτρα Είναι φίλτρα τα οποία χρησιμοποιούνται για την ανάδειξη ακμών στις εικόνες Υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς: H High =1-H Low

32 Υψιπερατά φίλτρα Ιδεατό(IDEAL High Pass Filter IHPF) H IHPF =1-H ILPF Butterwoth H BHPF =1-H BLPF Gauss H GHPF =1-H GLPF

33 Υψιπερατά φίλτρα