Ενότητα 4: Φιλτράρισµα στο Πεδίο Συχνοτήτων (ΙΙ)

Transcript

1 Ενότητα 4: Φιλτράρισµα στο Πεδίο Συχνοτήτων (ΙΙ)

2 Διδιάστατο Θεώρηµα Συνέλιξης Διδιάστατη Κυκλική Συνέλιξη: 4/0./0 f x, y h x, y = ( ( f m, n h(x m, y n) Διδιάστατο Θεώρηµα Συνέλιξης: f x, y h x, y F u, v H(u, v) f x, y h x, y F u, v H(u, v)

3 Διδιάστατο Θεώρηµα Συνέλιξης Σφάλµα Επικάλυψης (wraparound error). Λύση: Προσθήκη µηδενικών τιµών στο τέλος των δυο συναρτήσεων. Για τη διδιάστατη περίπτωση (όπως είναι οι εικόνες) αυτό εκφράζεται ως εξής: f ; x, y = < f x, y, 0 x 1 and 0 y 1 0, x P y Q

4 Διδιάστατο Θεώρηµα Συνέλιξης h ; x, y = H h x, y, 0 x M I 1 and 0 y N I 1 0, M I x P and N I y Q Με τα P και Q να ορίζονται ως: P + M I 1 Q + N I 1

5 Φιλτράρισµα Στο Πεδίο των Συχνοτήτων g x, y = F /0 H u, v F(u, v) Οι συναρτήσεις F, H, g είναι πίνακες διαστάσεων M x N F, g αντιπροσωπεύουν τις εικόνες εισόδου και εξόδου αντίστοιχα, ενώ το H το φίλτρο στο χώρο συχνοτήτων

6 Φιλτράρισµα Στο Πεδίο των Συχνοτήτων Ο προσδιορισµός του H απλοποιείται σηµαντικά χρησιµοποιώντας συναρτήσεις οι οποίες είναι συµµετρικές ως προς το κέντρο του => και η F πρέπει να ακολουθεί την ίδια συµπεριφορά => Πολλαπλασιάζουµε την εικόνα εισόδου µε ( 1) 5O1

7

8

9

10

11 Φιλτράρισµα Στο Πεδίο των Συχνοτήτων Διακριτός Μ/Σ Fourier: πίνακας µιγαδικών αριθµών => πραγµατικό & φανταστικό µέρος F u, v = Re F u, v g x, y = F /0 H u, v Re F u, v + jim{f(u, v)} + jh(u, v)im{f(u, v)} H γωνία φάσης δε µεταβάλλεται από την εφαρµογή του φίλτρου επειδή η συνάρτηση H(u,v) απαλείφεται όταν σχηµατίζεται ο λόγος του φανταστικού προς το πραγµατικό µέρος.

12 Φιλτράρισµα Στο Πεδίο των Συχνοτήτων Τα φίλτρα που επηρεάζουν εξίσου το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος δεν έχουν καµία επίδραση στη φάση και ονοµάζονται φίλτρα µηδενικής µετατόπισης φάσης. Τα φίλτρα που θα δούµε εδώ θα είναι µόνο φίλτρα µηδενικής µετατόπισης φάσης.

13

14 Περίληψη Βηµάτων Για Το Φιλτράρισµα Στο Πεδίο Των Συχνοτήτων 1. Για την εκάστοτε δεδοµένη εικόνα εισόδου f(x,y) διαστάσεων M x N υπολογίζουµε τις τιµές των παραµέτρων P και Q της διαδικασίας συµπληρώµατος µε µηδενικά. Συνήθως οι τιµές που επιλέγονται είναι P = 2M και Q = 2N 2. Κατασκευάζουµε τη συµπληρωµένη µε µηδενικά εικόνα f p (x,y) µεγέθους P x Q προσθέτοντας το απαραίτητο πλήθος µηδενικών στην εικόνα f(x,y)

15 Περίληψη Βηµάτων Για Το Φιλτράρισµα Στο Πεδίο Των Συχνοτήτων 3. Πολλαπλασιάζουµε την εικόνα f p (x,y) επί την παράσταση ( 1) 5O1 έτσι ώστε να κεντράρουµε το µετασχηµατισµό της. 4. Υπολογίζουµε το διακριτό Μ/Σ Fourier F(u,v) της εικόνας που κατασκευάζουµε στο Βήµα Δηµιουργούµε µια πραγµατική συµµετρική συνάρτηση του φίλτρου H(u,v) διαστάσεων P x Q της οποίας το κέντρο αντιστοιχεί σε συχνότητες ( P/2, Q/2). Επίσης υπολογίζουµε το γινόµενο G(u,v) = H(u,v)F(u,v) χρησιµοποιώντας την πράξη του πολλαπλασιασµού πινάκων στοιχείο-στοιχείο.

16 Περίληψη Βηµάτων Για Το Φιλτράρισµα Στο Πεδίο Των Συχνοτήτων 6. Κατασκευάζουµε την επεξεργασµένη εικόνα από την εξίσωση g ; x, y = real F /0 G(u, v) 1 5O1 όπου το πραγµατικό µέρος επιλέγεται έτσι ώστε να αγνοήσουµε τις παρασιτικές µιγαδικές συνιστώσες οι οποίες προκύπτουν από τις υπολογιστικές ανακρίβειες, ενώ ο δείκτης p χρησιµοποιείται για να δείξει πως ασχολούµαστε µε πίνακες συµπληρωµένους µε µηδενικά 7. Κατασκευάζουµε το τελικό επεξεργασµένο αποτέλεσµα g(x,y) εξάγοντας την περιοχή διαστάσεων M x N από το άνω αριστερό τεταρτηµόριο του πίνακα g ; x, y

17

18 Αντιστοιχία Ανάµεσα Στο Φιλτράρισµα Στο Πεδίο του Χώρου και στο Πεδίο Των Συχνοτήτων Στην πράξη πολλές φορές υλοποιούµε το φιλτράρισµα δια µέσου της συνέλιξης χρησιµοποιώντας µικρές µάσκες (εύκολη υλοποίηση σε υλικό ή/και λογισµικό) Οι έννοιες που σχετίζονται µε το φιλτράρισµα είναι πιο κοντά διαισθητικά στο πεδίο των συχνοτήτων Εκµετάλλευση των ιδιοτήτων και των δυο πεδίων: Καθορισµός των φίλτρων στο χώρο τον συχνοτήτων Εξαγωγή µικρών χωρικών µασκών για φιλτράρισµά στο πεδίο του χώρου

19

20

21

22 Ιδανικά Βαθυπερατά Φίλτρα H u, v = H 1, if D(u, v) D 3 0, if D(u, v) > D 3 D 0 µια θετική σταθερά (συχνότητα αποκοπής) D(u,v) η απόσταση ανάµεσα στο σηµείο (u,v) του χώρου των συχνοτήτων και στο κέντρο του τετραγώνου της συχνότητας D u, v = u P/2 ^ + v Q/2 ^

23

24

25

26

27 Βαθυπερατά Φίλτρα τύπου Butterworth H u, v = D(u, v)/d 3 ^` D 0 µια θετική σταθερά (συχνότητα αποκοπής) D(u,v) η απόσταση ανάµεσα στο σηµείο (u,v) του χώρου των συχνοτήτων και στο κέντρο του τετραγώνου της συχνότητας D u, v = u P/2 ^ + v Q/2 ^

28

29

30

31 Βαθυπερατά Φίλτρα τύπου Gauss H u, v = e /ab (c,d)/^a e b D 0 µια θετική σταθερά (συχνότητα αποκοπής) D(u,v) η απόσταση ανάµεσα στο σηµείο (u,v) του χώρου των συχνοτήτων και στο κέντρο του τετραγώνου της συχνότητας D u, v = u P/2 ^ + v Q/2 ^

32

33

34

35

36

37 Υψιπερατά και Βαθυπερατά Φίλτρα H fg u, v = 1 H hg (u, v)

38 Ιδανικά Υψιπερατά Φίλτρα H u, v = H 0, if D(u, v) D 3 1, if D(u, v) > D 3 D 0 µια θετική σταθερά (συχνότητα αποκοπής) D(u,v) η απόσταση ανάµεσα στο σηµείο (u,v) του χώρου των συχνοτήτων και στο κέντρο του τετραγώνου της συχνότητας D u, v = u P/2 ^ + v Q/2 ^

39 Υψιπερατά Φίλτρα τύπου Butterworth H u, v = D 3 /D(u, v) ^` D 0 µια θετική σταθερά (συχνότητα αποκοπής) D(u,v) η απόσταση ανάµεσα στο σηµείο (u,v) του χώρου των συχνοτήτων και στο κέντρο του τετραγώνου της συχνότητας D u, v = u P/2 ^ + v Q/2 ^

40 Υψιπερατά Φίλτρα τύπου Gauss H u, v = 1 e /ab (c,d)/^a e b D 0 µια θετική σταθερά (συχνότητα αποκοπής) D(u,v) η απόσταση ανάµεσα στο σηµείο (u,v) του χώρου των συχνοτήτων και στο κέντρο του τετραγώνου της συχνότητας D u, v = u P/2 ^ + v Q/2 ^

41

42

43

44

45

46

47 Η Λαπλασιανή στο Πεδίο Συχνοτήτων

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58