2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

Transcript

1 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ β. Οι τυτότητες Μι γι πάντ µάθε τις τυτότητες ( ) +β + β+β ( ) β β+β ( +β)( β ) β Στ Μθηµτιά, ν άτι δε θυµόµστε σωστά είνι σ ν µη το γνωρίζουµε θόλου ( ) +β + β+ β +β ( ) β β+ β β +β ( +β)( β+β ) β ( β)( +β+β ) ( +β+γ ) + β + γ + β + βγ + γ

2 Μάθε τις τυτότητες ι ντίστροφ. ( ) + β +β + β Τέλειο τετράγωνο ( ) β+β β»» β +β β ( )( ) Από άθροισµ σε γινόµενο + β+ β +β +β»» ( ) β+ β β β»» ( ) ( +β)( β+β ) +β ( β)( +β+β ) β + β + γ + β + βγ + γ Από γινόµενο σε άθροισµ ( +β+γ ) 4. Μέθοδοι πόδειξης ισότητς ή νισότητς i) Ευθεί πόδειξη : Ξεινάµε µε µι υπόθεση ι µε συνεπγωγές φθάνουµε στο ποδειτέο. ii) Με ισοδυνµίες : Ξεινάµε µε το ποδειτέο ι µε ισοδυνµίες φθάνουµε σε άτι που ισχύει iii) Αντίστροφη ευθεί πόδειξη : Ξεινάµε µε το ποδειτέο ι µε «ρεί ν ποδείξω» φθάνουµε σε άτι που ισχύει. iv) Απγωγή σε άτοπο : Αρνούµεθ το ποδειτέο ι µε συνεπγωγές φθάνουµε σε άτοπο ( άτι που δεν ισχύει ) 5. Μέθοδοι πόδειξης ισοδυνµίς δύο προτάσεων i) Με ισοδυνµίες : Ξεινάµε µε τη µι πρότση ι µε ισοδυνµίες φθάνουµε στην άλλη. ii) Με ευθύ ι ντίστροφο : Ευθύ. Θεωρούµε υπόθεση τη µί πρότση ι µε συνεπγωγές φθάνουµε στην άλλη. Αντίστροφο. Θεωρούµε υπόθεση την άλλη πρότση ι µε συνεπγωγές φθάνουµε στην πρώτη

3 ΣΧΟΛΙΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Συγεριµένος ριθµός χωρίς πρόσηµο σηµίνει ότι είνι θετιός, δηλδή έχει πρόσηµο , +, +. Τυχίος ριθµός χωρίς πρόσηµο ε σηµίνει ότι είνι θετιός, φού µπορεί ν έχει µέσ του το Αόµη ι ν γράψουµε +, δε σηµίνει ότι ο είνι θετιός.. Οι δύο σηµσίες του συµβόλου «+» i) Μπροστά πό ριθµό σηµίνει ότι ο ριθµός είνι θετιός +, + 1, + 5 ii) Μετξύ δύο ριθµών σηµίνει την πράξη της πρόσθεσης 5 +, 5 +, 5 + ( ), 5 + ( ) 4. Οι δύο σηµσίες του συµβόλου i) Μπροστά πό ριθµό σηµίνει ότι ο ριθµός είνι ρνητιός, 1, 5 ii) Μετξύ δύο ριθµών σηµίνει την πράξη της φίρεσης 5, 5, 5 ( ), 5 ( )

4 4 5. Η πράξη της πρόσθεσης i) Πρόσθεση οµοσήµων (+) + (+5) ( ) + ( 5) 8 Θέτουµε το οινό πρόσηµό τους ι προσθέτουµε τους ριθµούς ii) Πρόσθεση ετεροσήµων ( ) + (+ 5) + + (+ 5) ( 5) Θέτουµε το πρόσηµο του µεγλύτερου ι φιρούµε τους ριθµούς 6. Η πράξη της φίρεσης 7 5 (προφνές) ( 6) 1 5 ( 6) Αν το ποτέλεσµ δεν είνι προφνές, µεττρέπουµε την φίρεση σε πρόσθεση λλάζοντς το πρόσηµο του δεύτερου ριθµού. 7. Η επιµεριστιή ιδιότητ ντίστροφ Μς δίνει οινό πράγοντ : β + γ ( β + γ) + y ( + y ) 4 4β 4( + β) 4 4β 4( β)

5 5 8. Έν λάθος β γ β γ (Πρέπει ν είνι 0 ). Γι το σωστό : 1 ος τρόπος β γ β γ 0 (β γ) 0 0 ή β γ 0 0 ή β γ ος τρόπος ( ιερεύνηση) β γ β γ 0 (β γ) 0 (1) Ότν 0, η (1) γίνετι β γ 0 β γ Ότν 0, η (1) ληθεύει γι άθε β, γ. 9. Ισχύουν οι ισοδυνµίες i) βγ 0 0 ή β 0 ή γ 0 Π.χ ( )( + ) 0 0 ή 0 ή ή ή ii) βγ 0 0 ι β 0 ι γ 0 Π.χ ( + 1) ( 1) ι 0 ι ι 0 ι Η διίρεση µε το 0 είνι δύντη. Επειδή άθε λάσµ δηλώνει διίρεση, υποχρεώνουµε άθε πρνοµστή ν είνι 0, ώστε το λάσµ ν έχει νόηµ πργµτιού ριθµού. Π.χ Γι ποιες τιµές του η πράστση Π 1 πργµτιού ριθµού; Απάντηση : Πρέπει 0 έχει νόηµ

6 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποιοι πό τους πράτω ριθµούς είνι θετιοί ι ποιοι ρνητιοί ; 4, + 4, 5, + ( 5), ( 5), 0,, β Θετιοί είνι οι 4, + 4, ( 5) Αρνητιοί είνι οι 5, + ( 5) Ας σηµειώσουµε ότι : Ο 0 δεν είνι ούτε θετιός ούτε ρνητιός Κθένς πό τους, β µπορεί ν είνι θετιός, µπορεί ρνητιός, µπορεί 0 Σχόλι,. Ν γίνουν οι πράξεις [ + ( y) + 1] [ + ( y) + 1] [ + y + 1] [4 y + 1] 8 + 6y Από πρενθέσεις σε γύλες. Ν γίνουν οι πράξεις [ + ( y) + 1] ( + y 1) [ + ( y) + 1] ( + y 1) [ + y + 1] y + Από πρενθέσεις σε γύλες [4 y + 1] y y y y

7 7 4. Ν γίνουν οι πράξεις [4[ ( + y) + 1] [( + y) + ]] [4[ ( + y) + 1] [( + y) + ]] [4[ 6y + 1] [ + y + ]] Από πρενθέσεις σε γύλες [ 1 4y + 4 y ] [ 14 6y +1] 8 + 5y 5. Ν γίνουν οι πράξεις ( + β)( + y) ( + β)( + y) ( + β) + ( + β)y + β + y + βy Επιµεριστιή 6. Ν γίνει γινόµενο η πράστση + β + y + βy ( + β) + (y + βy) ( + β) + ( + β)y ( + β)( + y) + β + y + βy Επιµεριστιή ντίστροφ 7. Ν γίνει γινόµενο η πράστση y β + βy y β + βy ( y) (β βy) ( y) β( y) ( y) ( β) Επιµεριστιή ντίστροφ

8 8 8. Ν συµπληρώσετε τις ισοδυνµίες i) β 0 ii) β 0 i) β 0 0 ή β 0 ii) β 0 0 ι β 0 Ιδιότητες της θεωρίς 9. Αν β + y βy 0 ι β, ν ποδείξετε ότι y β + y βy 0 ( β) + (y βy) 0 ( β) + y( β) 0 ( β) y( β) y β β 0, οπότε διιρούµε τ δύο µέλη µε β 10. Ν βρείτε γι ποιες τιµές του η πράστση Π 1 + πργµτιού ριθµού. Πρέπει Σχόλιo 10 έχει νόηµ 11. Αν y 5y + 4 ι y 0, ν υπολογίσετε το λόγο y 5y + 4 6y y y y

9 y Αν ι y 0, ν υπολογίσετε το λόγο y Περιορισµός : y 0 y + y y + y ( y) + y + y 4 y y 1 4 y 1. Ν ετελεστούν οι πράξεις ) ( + 1) β) ( 1) γ) ( + 1) ) ( + 1) β) ( 1) γ) ( + 1) ( 1 ) Ν ετελεστούν οι πράξεις ) ( 1) β) ( + 1) γ) ( ) ) ( 1) ( 1+ ) ( 1+ ) β) ( + 1) ( ) γ) ( ) ( )

10 Ν ετελεστούν οι πράξεις ) ( + 1) β) ( 1) γ) ( + β ) ) ( + 1) ( ) β) ( 1) ( ) γ) ( ) + β ( ) + β + ( β ) + β + β 16. Ν µεττρπούν σε γινόµενο οι πρστάσεις ) β) + 1 γ) δ) 4 4 +β β ) β) γ) δ) ( + 1) 1 + ( 1) ( ) ( + 1) 4 4 +β β ( ) β + ( β ) ( β ) 17. Ν ετελεστούν οι πράξεις i) ( + 1) ii) στ) ( 1) i) ( + 1) ii) ( 1)

11 Ν µεττρπούν σε γινόµενο οι πρστάσεις ) 1 β) 4 γ) 4 9 δ) ε) + 1 ) β) γ) δ) ε) 1 1 ( 1)( + 1) ( ) ( )( + ) ( + 1) + 1 ( 1) ( )( + ) 19. Ν µεττρπούν σε γινόµενο οι πρστάσεις ) + 1 β) 1 γ) 8 + δ) 8 ε) 4 4 y ) β) ( + 1)( 1 ( 1)( + 1) + + 1) γ) ( + )( + ( + )( + 4) ) δ) 8 ( )( + + ) ε) 4 4 ( )( + + 4) y ( ) ( y ) ( y )( + y ) ( y)( + y) ( + y )

12 1 0. Ν ετελεστούν οι πράξεις 1 1 i) ( + )( ) ii) ( 1+ )( 1 ) iii) ( )( + ) i) ( + 1)( 1) 1 ii) ( 1+ )( 1 ) 1 ( ) 1 4 iii) ( )( + ) ( ) 9 1. Ν ετελεστούν οι πράξεις i) ( +β γ ) ii) ( β+γ ) i) ( +β γ ) [ + β + ( γ) ] + + β + ( γ ) + β + β( γ ) + ( γ) β + γ + β βγ γ ii) ( β+γ ) [ + ( β) + γ ] + ( β) β + γ + ( β ) + ( β) γ + γ γ 4β 4βγ + γ