Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων
|
|
- Ζαχαρίας Βασίλης Μαλαξός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων ΕΜΠ - ΣΧΟΛΗ ΑΤΜ Ακ. Έτος Β.Βεσκούκης, Δ.Παραδείσης, Δ.Αργιαλάς, Δ.Δεληκαράογλου, Β.Καραθανάση, Β.Μασσίνας Γενικά στοιχεία για το μάθημα Εισάγεται στα πλαίσια της αναβάθμισης του προγράμματος σπουδών (Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευσης & Αρχικής Επαγγελματικής Κατάρτισης - ΕΠΕΑΕΚ) Επιλογή στο 6ο εξάμηνο 1
2 Γενικά στοιχεία Συνιστώμενο τουλάχιστον για τα μαθήματα: Ειδικά Θέματα Δορυφορικής Γεωδαισίας Γεωφυσικές Διασκοπήσεις Βαρυτημετρία Θαλάσσια Γεωδαισία Δορυφορική Γεωδαισία Στοιχεία γήινου πεδίου βαρύτητας Ψηφιακή Τηλεπισκόπηση Ραντάρ Ψηφιακή Φωτογραμμετρία. Γενικά στοιχεία Το μάθημα περιλαμβάνει: θεωρία, ασκήσεις, εργαστήρια σε MATLAB ή σε άλλο λογισμικό Εφαρμογές 2
3 Αρχική διάρθρωση μαθήματος Έννοια, Είδη και κατηγορίες σημάτων. Αναλογικά / ψηφιακά σήματα. Συνεχή / διακριτά σήματα. Ντετερμινιστικά και στοχαστικά σήματα. Στατιστικά χαρακτηριστικά σήματος και θόρυβος. Μετατροπή αναλογικού σε ψηφιακό σήμα (δειγματοληψία). Μετάδοση σήματος. Μέσο και σύστημα. Συστήματα εισόδου εξόδου. Γραμμικά συστήματα: παραδείγματα και ιδιότητες, απόκριση ώθησης (impulse response). Μεταβλητές [θέση & χρόνος] & παράμετροι σήματος. Συνέλιξη (convolution) και συσχέτιση (correlation) διακριτών σημάτων. Μετάδοση σημάτων, διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση σημάτων. Αρχική διάρθρωση μαθήματος Επεξεργασία σήματος. Φασματική Ανάλυση. Συνάρτηση συσχέτισης & φάσμα. Μετασχηματισμός Fourier. Διακριτός μετασχηματισμός (DFT): βασικέςέννοιεςκαι ιδιότητες. Ο αλγόριθμος του Ταχύ μετασχηματισμού Fourier (FFT). Εφαρμογές DFT: φασματική απόκριση συστήματος (frequency response), φάσματα ισχύος, ενέργειας, εύρους (energy & power spectrum), συνέλιξη στον χώρο των συχνοτήτων κλπ. Έννοια & σκοπός φίλτρων. Είδη φίλτρων. Στοχαστικά & ντετερμινιστικά φίλτρα. Ψηφιακά φίλτρα: βασικές ιδιότητες, φίλτρα κινητού μέσου όρου, φίλτρα παραθύρου, γραμμικά φίλτρα,. Σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων. 3
4 Αρχική διάρθρωση μαθήματος Φίλτρα Kalman με έμφαση στις σχέσεις μεταξύ φίλτρων Kalman, και μεθόδων ελαχίστων τετραγώνων για την ανάλυση διαδοχικών μετρήσεων (Bayes Sequential Estimation) και μετρήσεων κατά φάσεις (Phase Estimation). Μη γραμμικά συστήματα μετάδοσης & τρόποι επεξεργασίας των σημάτων εξόδου. Οι έννοιες & οι σκοποί της Γραμμικοποίησης. Κανονικοποίησης. Φίλτρα απαλοιφής συγκεκριμένων συχνοτήτων. Διδιάστατα σήματα & ψηφιακές εικόνες. Οδιδιάστατος DFT: ιδιότητες και εφαρμογές. Εφαρμογή φίλτρων συχνοτήτων. Εφαρμογή επεξεργασίας σήματος στην ανάλυση γεωδαιτικών δεδομένων, στην ανάλυση εικόνας, στους υδατικούς πόρους και στις χρόνο-συναρτησιακές σειρές. Σελίδα web courses/general/sigproc Να την επισκέπτεστε συχνά! 4
5 Με λιγότερα λόγια... Το μάθημα περιλαμβάνει Εισαγωγή στα σήματα και την επεξεργασία σημάτων (Β.Βεσκούκης) Matlab (Β.Μασσίνας) Εφαρμογές για ΑΤΜ Εφαρμογή 1 Εφαρμογή 2 Εφαρμογή 3 Διαδικαστικά θέματα Ασκήσεις προς επίλυση στο σπίτι και παράδοση Ασκήσεις στο εργαστήριο Γραπτή εξέταση Συνυπολογισμός βαθμολογίας εξέτασης και παραδόσεων ασκήσεων στον τελικό βαθμό 5
6 Βιβλία, σημειώσεις, κλπ Φωτοτυπίες που θα μοιραστούν εγκαίρως Διαφάνειες διαλέξεων Επιλεγμένο υλικό που θα διατίθεται από τη σελίδα του μαθήματος Επιλεγμένα web sites Ερωτήσεις 6
7 Τι είναι σήμα; Σήμα είναι μια ποσοτική περιγραφή ενός φαινομένου, ηοποίαφέρει πληροφορία Υπάρχουν πολλοί τύποι σημάτων ανάλογα με το μέσο και τον τρόπο μετάδοσης Είδη σημάτων Σήματα συνεχούς χρόνου (CT:continuous time) 7
8 Είδη σημάτων Σήματα διακριτού χρόνου (DT:discrete time) Είδη σημάτων Συνεχούς χρόνου: το σήμα έχει τιμές για οποιοδήποτε σημείο του άξονα του χρόνου Διακριτού χρόνου: το σήμα έχει τιμές για συγκεκριμένα σημεία του άξονα του χρόνου 8
9 Είδη σημάτων Αναλογικά (συνεχούς πλάτους): Ητιμήτουσήματοςμπορείναείναι οποιαδήποτε (συνεχούς πλάτους) Ψηφιακά (διακριτού πλάτους): Η τιμή του σήματος ανήκει σε ένα σύνολο διακριτών προκαθορισμένων τιμών Είδη σημάτων Συνδυασμοί: Συνεχούς χρόνου, συνεχούς πλάτους -> αναλογικό σήμα Διακριτού χρόνου, διακριτού πλάτους-> ψηφιακό σήμα Συνεχούς χρόνου, (διακριτού πλάτους) (Σ.Χ.) Διακριτού χρόνου, (συνεχούς πλάτους) (Δ.Χ.) 9
10 Είδη σημάτων Ας χαρακτηρίσουμε τα παρακάτω σήματα Αναλογικό Διακριτού χρόνου Ψηφιακό Παραδείγματα Αναλογικά Ο φυσικός ήχος που παράγεται από μία χορδή μουσικού οργάνου (ισχύς ηχητικού κύματος) Το ασθενές ηλεκτρικό σήμα ενός "πικαπ" (τάση ηλεκτρικού ρεύματος) Το ενισχυμένο ηλεκτρικό σήμα που φτάνει στα ηχεία (τάση ηλεκτρικού ρεύματος) 10
11 Παραδείγματα Ψηφιακά Ενα byte πληροφορίας Τα δεδομένα που μεταφέρονται στο internet Τα δεδομένα που είναι αποθηκευμένα σε ένα CD/ DVD ΨηφιακάσήματακαιDSP Γιατί είναι χρήσιμα τα ψηφιακά σήματα; 11
12 Είδη σημάτων Περιοδικό σήμα: f(t)=f(t+t) Μη περιοδικό σήμα Είδη σημάτων Ντετερμινιστικό σήμα: κάθε τιμή του μπορεί να προβλεφθεί από ένα μαθηματικό τύπο, κανόνα, κλπ 12
13 Είδη σημάτων Στοχαστικό (τυχαίο) σήμα: ητιμή του έχει μεγάλη αβεβαιότητα και δεν μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια Αλλες διακρίσεις σημάτων Αρτια - περιττά Δεξιά - αριστερά Πεπερασμένου - άπειρου μήκους 13
14 Στατιστικά χαρακτηριστικά Γνωστά μεγέθη από τη στατιστική Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Στατιστικά χαρακτηριστικά Αν θέλουμε να κατασκευάσουμε πρόγραμμα για τον υπολογισμό των μεγεθών 14
15 Στατιστικά χαρακτηριστικά Μέση τιμή και τυπική απόκλιση Στατιστικά χαρακτηριστικά μ και σ γιαμερικάσήματα 15
16 Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Αρμονική ταλάντωση και επειδή Ω=2πF Περιοδικό με βασική περίοδο Τ p =1/F Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. 16
17 Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler Το ημιτονοειδές σήμα Σ.Χ. γράφεται Ημιτονοειδή σήματα Δ.Χ. Κατά (μερική) αναλογία με τα ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. και θέτοντας ω=2πf Περιοδικό μόνο για f ρητό αριθμό 17
18 Ημιτονοειδή σήματα Δ.Χ. Αναλογικό σε ψηφιακό σήμα Δύο αποφάσεις Πόσο συχνά θα παίρνουμε δείγμα Πόσες τιμές θα έχει το πεδίο τιμών Τρία στάδια Δειγματοληψία: μετατροπή σε σήμα διακριτού χρόνου Κβαντοποίηση: μετατροπή σε σήμα διακριτού πλάτους (ΔΧ+ΔΠ=ψηφιακό) Κωδικοποίηση: μετατροπή σε ακολουθία δυαδικών ψηφίων 18
19 Μετατροπέας A/D Από αναλογικό σε σήμα Δ.Χ. Σε καθορισμένες χρονικές στιγμές, παίρνουμε δείγματα του αναλογικού σήματος x analog (t) ή x a (t) τα οποία αποτελούν τις τιμές του ψηφιακού σήματος x(n). Χρόνος - δείγμα: 19
20 Από αναλογικό σε σήμα Δ.Χ. Συχνότητα δειγματοληψίας Ποια είναι μια "καλή" συχνότητα λήψης δειγμάτων ώστε το ψηφιακό σήμα να φέρει "όλη" την πληροφορία του αναλογικού; 20
21 Συχνότητα δειγματοληψίας Εξαρτάται από τη μέγιστη συχνότητα του σήματος Θεώρημα Nyquist / Shannon Η συχνότητα δειγματοληψίας F s με την οποία λαμβάνονται δείγματα ενός αναλογικού σήματος, πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη μεγαλύτερη συχνότητα F max που περιέχεται στο σήμα. Πολλές και σημαντικές εφαρμογές Παράδειγμα Δίνονται τα αναλογικά σήματα x 1 (t) = sin[2π * (1/8) t] και x 2 (t) = sin[2π * (-7/8) t] Ποιαψηφιακάσήματαθαπροκύψουν μετά τη δειγματοληψία αυτών με συχνότητα F s = 1 Hz; 21
22 Παράδειγμα...πρέπει να εξετάσω τις τιμές του σήματος για τις χρονικές στιγμές t=0, 1T, 2T, 3T,, nt Παράδειγμα 22
23 Από σήμα Δ.Χ. σε ψηφιακό Κβάντιση (quantisation) ΗμετατροπήσήματοςΔ.Χ. - συνεχούς πλάτους σε ψηφιακό (Δ.Χ. - διακριτού πλάτους) Κάθε δείγμα παριστάνεται με ένα πεπερασμένο πλήθος ψηφίων (0 ή 1) Εισάγεται αναπόφευκτα σφάλμα κβάντισης (quantisation error) ήθόρυβος κβάντισης (quantisation noise) Σφάλμα κβάντισης Εστω ότι x(n) είναι τα δείγματα εισόδου στον κβαντιστή x q (n) είναι τα κβαντισμένα δείγματα Σφάλμα κβάντισης: e q (n)=x(n)-x q (n) Βήμα κβάντισης Δ=(x max -x min )/(L-1) L είναι τα επίπεδα κβάντισης x max, x min oι ακραίες τιμές του σήματος 23
24 Σφάλμα κβάντισης Σφάλμα κβάντισης ΕΡΩΤΗΣΗ: Από τι εξαρτάται το πλήθος των επιπέδων κβάντισης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Από τον αριθμό των bit της λέξης που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση κάθε δείγματος 24
25 Σφάλμα κβάντισης Για ημιτονοειδή σήματα, ο λόγος σήματοςπροςθόρυβοκβάντισης αυξάνεται (βελτιώνεται) κατά περίπου 6dB για κάθε bit που προστίθεται στο μήκος λέξης Υπενθύμιση 1 db = 10log 10 (P2/P1) = 20log 10 (V2/V1) Όπου P=ισχύς, V=τάση Και επειδή log 10 (2) = 0,3 (περίπου) 3 db αντιστοιχούν σε διπλασιασμό της ισχύος, 6 db αντιστοιχούν σε διπλασιασμό της τάσης 25
26 Χαρακτηριστικές τιμές Θεωρητικό ακουστικό φάσμα 20 Hz έως 20 KHz Ανθρώπινη φωνή στο τηλέφωνο 300 Hz 3,3 KHz Μουσικά CDs 16 bit = 2 16 επίπεδα κβαντισμού 44 KHz συχνότητα δειγματοληψίας SACD 96,8 KHz συχνότητα δειγματοληψίας Χαρακτηριστικά σήματα Δ.Χ. Μοναδιαίο δείγμα (unit sample) ή κρουστικός παλμός Μοναδιαία βηματική ακολουθία (unit step sequence) Σταθερή ακολουθία (constant sequence) Γραμμική ακολουθία (linear sequence) Εκθετική ακολουθία (exponential sequence) 26
27 Χαρακτηριστικά σήματα Δ.Χ. Μοναδιαίο δείγμα x(n)=δ(n) Χαρακτηριστικά σήματα Μοναδιαία βηματική ακολουθία x(n)=u(n) 27
28 Χαρακτηριστικά σήματα Σταθερή ακολουθία x(n)=a Χαρακτηριστικά σήματα Γραμμική ακολουθία x(n)=a n 28
29 Χαρακτηριστικά σήματα Εκθετικό σήμα x(n)=a n, 0<a<1 Χαρακτηριστικά σήματα Εκθετικό σήμα x(n)=a n, -1<a<0 29
30 Χαρακτηριστικά σήματα Εκθετικό σήμα x(n)=a n, a>1 Χαρακτηριστικά σήματα Εκθετικό σήμα x(n)=a n, a<-1 30
31 Χαρακτηριστικά σήματα Εκθετικό σήμα x(n)=a n για a μιγαδικό (a=re jω ) και r=1 Χαρακτηριστικά σήματα Εκθετικό σήμα x(n)=a n για a μιγαδικό (a=re jω ) και r<1 31
32 Χαρακτηριστικά σήματα Εκθετικό σήμα x(n)=a n για a μιγαδικό (a=re jω ) και r>1 Βασικές πράξεις Ολίσθηση ή μετατόπιση στο χρόνο (time shift) y(n) = x(n-k) Περιπτώσεις: k>0 χρονική καθυστέρηση k<0 χρονική προπόρευση 32
33 Παραδείγματα ολίσθησης Ολίσθηση κρουστικής ακολουθίας Παραδείγματα ολίσθησης Ολίσθηση βηματικής ακολουθίας 33
34 Βασικές πράξεις Σχέση μεταξύ κρουστικού σήματος δ(n) και βηματικής ακολουθίας u(n) Η βηματική ακολουθία είναι ένα άθροισμα κρουστικών σημάτων Το κρουστικό σήμα είναι μια διαφορά βηματικών ακολουθιών που διαφέρουν κατά μία χρονική μονάδα Βασικές πράξεις Οποιοδήποτε σήμα μπορεί να γραφεί ως άθροισμα γινομένων κρουστικών σημάτων με συντελεστές βάρους 34
35 Παράδειγμα Εστω το σήμα x(n)={-2, 2, 3, 2, 0, -1, 2} Για χρόνους -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 Γράφεται ως: x(n)= -2δ(n+2) +2δ(n+1) +3δ(n) +2δ(n-1) +0δ(n-2) -1δ(n-3)+2δ(n-4) ή x(n)= x(-2)δ(n+2)+ x(-1)δ(n+1)+ x(0)δ(n)+ x(1)δ(n-1)+ x(2)δ(n-2)+ x(3)δ(n-3)+ x(4)δ(n-4) δηλαδή Παράδειγμα x(n)={-2, 2, 3, 2, 0, -1, 2} x(n)= x(-2)δ(n+2)+ x(-1)δ(n+1)+ x(0)δ(n)+ x(1)δ(n-1)+ x(2)δ(n-2)+ x(3)δ(n-3)+ x(4)δ(n-4) 35
36 Συστήματα Σύστημα είναι οποιαδήποτε διάταξη η οποία δέχεται ως είσοδο ένα (ή περισσότερα) σήματα και παράγει ως έξοδο ένα (ή περισσότερα) σήματα Σύστημα διακριτού χρόνου: όταν οι είσοδοι και οι έξοδοι είναι σήματα διακριτού χρόνου Συστήματα x(n) Σύστημα y(n) 36
37 Συστήματα Γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα συστήματα διακριτού χρόνου (LTI: Linear, Time-Invariant) Γραμμικό σύστημα Αν σε είσοδο x 1 (n) έχει απόκριση y 1 (n) και σε είσοδο x 2 (n) έχει απόκριση y 2 (n) τότε σε είσοδο ax 1 (n)+bx 2 (n) έχει απόκριση ay 1 (n)+by 2 (n) Συστήματα 37
38 Συστήματα Συστήματα Χρονικά αμετάβλητο σύστημα Χρονικήολίσθησητηςεισόδουπροκαλεί χρονική ολίσθηση της εξόδου: Αν σε είσοδο x(n) έχει απόκριση y(n) τότε σε είσοδο x(n-k) έχει απόκριση y(n-k) Ευσταθές σύστημα (stable) Μια φραγμένη είσοδος παράγει μια φραγμένη έξοδο 38
39 Συστήματα Συστήματα Αιτιατό σύστημα (causal) Η έξοδός του εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα ή και προηγούμενες τιμές της εισόδου Εχουμε: γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα, Ευσταθή, αιτιατά συστήματα διακριτού χρόνου 39
40 Παράδειγμα Ας εξετάσουμε κάποια σήματα ως προς τη γραμμικότητα, την ευστάθεια, τη χρονική μεταβλητότητα και την αιτιατότητα Παράδειγμα Προφανώς γραμμικό, ευσταθές, χρονικά αμετάβλητο και αιτιατό 40
41 Παράδειγμα x(n) Σύστημα y(n) Γραμμικό y(n-1) Αιτιατό Χρονικά αμετάβλητο Ευσταθές: Εφαρμόζω ως είσοδο τον κρουστικό σήμα θεωρώντας ότι y(-1)=0 δηλαδή το σύστημα αρχικά ήταν σε ισορροπία Παράδειγμα y(0)=δ(0)+2y(-1)=1+2 0=1 y(1)=δ(1)+2y(0) =0+2 1=2 y(2)=δ(2)+2y(1) =0+2 2=4 y(3)=δ(3)+2y(2) =0+2 4=8... y(n)=2 n δηλαδή απειρίζεται για φραγμένη είσοδο, δηλαδή μη ευσταθές 41
42 Παράδειγμα Γραμμικό Μη αιτιατό διότι απαιτεί γνώση μελλοντικών τιμών εισόδου Μεταβλητόμετοχρόνο(αποδείξτε!) Ευσταθές; Παράδειγμα Μη γραμμικό διότι... Αιτιατό διότι... Μημεταβλητόμετοχρόνοδιότι... Ευσταθές διότι... 42
43 Κρουστική απόκριση Ορισμός Το σήμα εξόδου ενός LTI συστήματος με είσοδό τη μοναδιαία κρουστική ακολουθία δ(n), ονομάζεται κρουστική απόκριση h(n) του συστήματος και το χαρακτηρίζει (επίσης: φυσική απόκριση) Κρουστική απόκριση Σημαντική ιδιότητα Αν μεταφέρουμε χρονικά την εφαρμογή της δ(n) στην είσοδο του συστήματος, θα έχουμε αντίστοιχη χρονική μεταφορά της εξόδου (γιατί;) 43
44 Συνέλιξη Ισχυρισμός Αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(n) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος (LTI), τότε μπορούμε να βρούμε την απόκρισή του σε οποιαδήποτε είσοδο x(n). Συνέλιξη (convolution) y(n)=x(n)*h(n) Συνέλιξη Είδαμε ότι Μπορούμε να γράψουμε οποιοδήποτε σήμα x(n) ως άθροισμα γινομένων της κρουστικής συνάρτησης με τις τιμές του x(n) ολισθημένες χρονικά. 44
45 Συνέλιξη Για κάθε όρο του γινομένου Η απόκριση του συστήματος (έξοδος) θα είναι: Γράψαμε τους όρους της απόκρισης σε συνάρτηση με την κρουστική απόκριση του συστήματος Συνέλιξη Και τελικά Δηλαδή Με τη βοήθεια της συνέλιξης μπορούμε να γνωρίζουμε την έξοδο ενός συστήματος σε οποιαδήποτε είσοδο, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση του συστήματος 45
46 Συνέλιξη Υπολογισμός της συνέλιξης Με τη μέθοδο της ολισθαίνουσας ράβδου Με τη μέθοδο των διαγωνίων Με τη Matlab Με πρόγραμμα (C, C++) 46
47 Ολισθαίνουσα ράβδος Παίρνουμε τον αντικατοπτρισμό του h(n) ως προς το σημείο 0 ώστε να υπολογίσουμε το h(-m) Τον τοποθετούμε κάτω από την πρώτη τιμή του σήματος εισόδου x(n) έτσι ώστε η δεξιότερη τιμή του αντικατοπτρισμού να επικαλύπτεται χρονικά με την πρώτη τιμή του σήματος εισόδου Αθροίζουμε τα γινόμενα των επικαλυπτόμενων τιμών: αυτή είναι η απόκριση y(n) Ολισθαίνουμε δεξιά μέχρι να πάρουμε μόνο ένα γινόμενο Οποιος κατάλαβε, στον πίνακα!!! Παράδειγμα Εστω σύστημα με h(n)={1, 2, 3} σήμα εισόδου x(n) = {3, 4, 5, 2} Ζητάμε την απόκριση y(n) 47
48 Παράδειγμα x(n) h(n) Σήμα εισόδου Κρουστική απόκριση συστήματος h(-m) Αντικατοπτρισμός της κρουστικής απόκρισης Παράδειγμα h(-m) h(1-m) h(2-m) h(3-m) h(4-m) y(0)=3 1=3 y(1)= =10 y(2)= =22 y(3)= =24 y(4)= =19 h(5-m) y(5)=2 3=6 48
49 Παράδειγμα Με αυτόν τον απλό τρόπο... υπολογίσαμε την έξοδο y(n) του συστήματος με h(n)={1, 2, 3} σε είσοδο x(n)={3, 4, 5, 2} ως τη συνέλιξη x(n)*h(n) Μέθοδος των διαγωνίων Γράφουμε τις Ν τιμές του σήματος εισόδουστιςστήλεςενόςπίνακα Γράφουμε τις Μ τιμές της κρουστικής απόκρισηςστιςγραμμέςτουίδιουπίνακα Στα κελιά του πίνακα γράφουμε το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών Η συνέλιξη είναι τα αθροίσματα όλων των διαγωνίων του πίνακα "πάνω δεξιά -> κάτω αριστερά" Οποιος κατάλαβε, στον πίνακα!!! 49
50 Παράδειγμα Εστω σύστημα με h(n)={1, 2, 3} σήμα εισόδου x(n) = {3, 4, 5, 2} x(0) x(1) x(2) x(3) h(0) h(1) h(2) Πρόγραμμα C++ Μερικά χρήσιμα τμήματα κώδικα: Δυναμική δέσμευση μονοδιάστατου πίνακα ακεραίων int * pinakas; pinakas=new int[ν]; //Ν is a variable if (pinakas==null) { cerr<<"not enough memory"; exit(9); }... for(i=0;i<n;i++) cin>>pinakas[i]; // use as normal... delete pinakas; // free memory 50
51 Πρόγραμμα C++ Δυναμική δέσμευση πίνακα 2 διαστάσεων int i,n,m; N=10; M=20; // N, M = dimensions int** Matrix = NULL; Matrix = new int*[n]; if (Matrix==NULL) { cerr<<"error allocating memory. Exiting...\n\n"; exit(9); } for(i=0;i<n;i++) { Matrix[i]=new int[m]; if (Matrix[i]==NULL) { cerr<<"error allocating memory. Exiting...\n\n"; exit(9); } } Πρόγραμμα C++ (συνέχεια) // free memory for(i=0;i<ν;i++) delete[] Matrix[i]; delete[] Matrix; 51
52 Ιδιότητες της συνέλιξης Αντιμεταθετική: x(n)*h(n)=h(n)*x(n) Προσεταιριστική: [x(n)*h 1 (n)]*h 2 (n)=x(n)*[h 1 (n)*h 2 (n)] Επιμεριστική: x(n)*[h 1 (n)+h 2 (n)]=x(n)*h 1 (n)+x(n)*h 2 (n) Αντιμεταθετική ιδιότητα x(n)*h(n)=h(n)*x(n) Ερμηνεία: Η απόκριση θα είναι ίδια, ανεξάρτητα απότοανθεωρούμεωςσύστηματο h(n) ήτοx(n) 52
53 Προσεταιριστική ιδιότητα [x(n)*h 1 (n)]*h 2 (n)=x(n)*[h 1 (n)*h 2 (n)] Ερμηνεία: Η σύνδεση διαδοχικών LTI συστημάτων ισοδυναμεί με ένα LTI σύστημα με κρουστικήαπόκρισητησυνέλιξητων επιμέρους κρουστικών αποκρίσεων Επιμεριστική ιδιότητα x(n)*[h 1 (n)+h 2 (n)]=x(n)*h 1 (n)+x(n)*h 2 (n) Ερμηνεία: Η παράλληλη σύνδεση LTI συστημάτων ισοδυναμεί με LTI σύστημα με κρουστική απόκριση το άθροισμα των κρουστικών αποκρίσεων των επιμέρους συστημάτων 53
54 Δύο σημαντικές σχέσεις Συνέλιξη με την κρουστική ακολουθία a δ ( n)* bg( n) = abg( n) aδ ( n m)* bg( n) = abg( n m) Παράδειγμα Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος του σχήματος, όταν h 1 (n)=δ(n)+1/2 δ(n-1) h 2 (n)=1/2 δ(n)-1/4 δ(n-1) h 3 (n)=2 δ(n) h 4 (n)=-2(1/2) n u(n) 54
55 Παράδειγμα Σχεδιάζω κάπως διαφορετικά το σύστημα ώστε να γίνει προφανές ποιες ιδιότητες της συνέλιξης θα χρησιμοποιήσω h 1 (n) + h 2 (n) h 3 (n) h 4 (n) + Παράδειγμα Σχεδιάζω κάπως διαφορετικά το σύστημα ώστε να γίνει προφανές ποιες ιδιότητες της συνέλιξης θα χρησιμοποιήσω h 1 (n) επιμεριστική 2 + προσεταιριστική h 2 (n) h 3 (n) h 4 (n) + επιμεριστική 1 55
56 56 Παράδειγμα Οπότε: h(n)=h 1 (n)+h 2 (n)*[h 3 (n)+h 4 (n)] ή h(n)=h 1 (n)+h 2 (n)*h 3 (n)+h 2 (n)*h 4 (n) h 1 (n) h 2 (n) h 3 (n) h 4 (n) + + 1) ( 2 1 ) ( ) ( 1)*2 ( 4 1 ) ( )*2 ( 2 1 ) ( *2 1) ( 4 1 ) ( 2 1 ) ( )* 2( 3 = = = n n n n n n n n n n h n h δ δ δ δ δ δ δ δ δ Παράδειγμα [ ] ) ( ) ( 2 1 1) ( ) ( 2 1 1) ( ) ( 2 1 ) ( )* ( 4 1 ) ( )* ( 2 1 ) ( * 1) ( 4 1 ) ( 2 1 ) ( )* ( n n n u n u n u n u n u n n u n n u n n n h n h n n n n n n n δ δ δ δ δ δ = = = + = = =
57 Παράδειγμα και τελικά h 1 1 ( n) = δ ( n) + δ ( n 1) δ ( n) δ ( n 1) + = n [ δ ( n) ] δ ( ) και αυτά διότι a δ ( n)* bg( n) = abg( n) aδ ( n m)* bg( n) = abg( n m) Συσχέτιση (correlation) Φυσική σημασία Η αναζήτηση του μέτρου της ομοιότητας σημάτων y(n) και x(n) επιτυγχάνεται μέσω της συσχέτισης r(n) των σημάτων. Η συσχέτιση είναι ένα σήμα του οποίου η τιμή μεγιστοποιείται εκεί όπου μεγιστοποιείται η πιθανότητα το y(n) να "ομοιάζει" προς το x(n). 57
58 Συσχέτιση (ορισμός) = r( l) x( n) y( n l), = n < l < l: καθυστέρηση (lag) Συντελεστής συσχέτισης ρ xy r ( l) ρ xy xy = E x ( Ex E 2 n ) x y n= n= = E = y 2 ( n) y Συσχέτιση Παράδειγμα 58
59 Συσχέτιση Υπολογισμός της συσχέτισης Υπολογίζουμε τη συνέλιξη των σημάτων Χωρίς να κάνουμε αναδίπλωση του ενός σήματοςόπωςστησυνέλιξη Συνέλιξη: y(n)=a(n)*b(n) Συσχέτιση: c(n)=a(n)*b(-n) Συσχέτιση ΠΡΟΣΟΧΗ Η συνέλιξη μας δίνει το σήμα εξόδου ενός συστήματος όταν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση αυτού. Η συσχέτιση συνήθως εντοπίζει ένα γνωστό σήμα μέσα σε ένα σήμα που περιέχει θόρυβο Τα παρεμφερή μαθηματικά στον υπολογισμό είναι "ευτυχής σύμπτωση" 59
60 Μετασχηματισμοί Fourier Ιστορία Ο Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) ήταν Γάλλος μαθηματικός και φυσικός που πρότεινε ότι οποιοδήποτε συνεχές περιοδικό σήμα μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ημιτονικών κυματομορφών. Την εργασία έκριναν οι Lagrange ( ) και Laplace ( ). O Lagrange απέρριψε την εργασία του Fourier η οποίατελικάδημοσιεύτηκεμετάτοθάνατοτου Lagrange... Μερικά σχόλια Ηύπαρξηκαιημοναδικότηταμιας σειράς ημιτονικών συναρτήσεων είναι θέματα που απασχολούν τους μαθηματικούς Οι μηχανικοί αποκτούν ένα εργαλείο Σύνθεσης σημάτων Ανάλυσης σημάτων το οποίο έχει πολλές εφαρμογές 60
61 Είδη μετασχηματισμών Fourier Σήματα Μη περιοδικά, συνεχή Περιοδικά, συνεχή Μη περιοδικά, διακριτά Περιοδικά, διακριτά Μετασχηματισμός Fourier Fourier Transform (FT) Fourier Series (FS) Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Discrete Fourier Transform (DFT) Χρήσιμα μαθηματικά 61
62 Discrete Fourier Transform Συμβολισμοί "Χρόνος": x(n), Συχνότητα: X(n) DTFT O DFT είναι μια ειδική περίπτωση του DTFT με δείγματα που λαμβάνονται σε ισαπέχουσες διακριτές συχνότητες Discrete Fourier Transform Θεωρούμε σήμα x(n) Ν δείγματα (0 έως Ν-1) Η Χ(e iω ) είναι περιοδική με περίοδο 2π Ισαπέχοντα σημεία: Δω=2π/Ν Ορισμός του DFT 62
63 Discrete Fourier Transform Ορισμός του DFT (ευθύς) Αντίστροφος DFT (Inverse DFT - IDFT) Discrete Fourier Transform Από τον ορισμό x(n+n)=x(n) X(k+N)=X(k) διότι περιοδικό 63
64 Discrete Fourier Transform Συμβολισμοί: N x( n) DFT X ( k) όπου W N λέγονται "παράγοντες στροφής" Discrete Fourier Transform Παράγοντες Στροφής για Ν=8 64
65 Discrete Fourier Transform Παράδειγμα: Υπολογισμός του DFT του x(n)={1,1,0,0} Θα χρησιμοποιήσω τον ορισμό και θα υπολογίσω τα W Παράδειγμα W 4 = e 2π j 4 2π j W4 = e = cos(0) j sin(0) = 1 j W = e 2π 1 1 π π 4 4 = cos( ) j sin( ) = j 2 2 2π j W4 = e = cos( π ) j sin( π ) = 1 j W = e 2π 3 3 3π 3π 4 4 = cos( ) j sin( ) = 0 j( 1) = 2 2 j 65
66 Παράδειγμα...οπότε και συνεχίζοντας έτσι: Χ(2)=0, Χ(3)=1+j Ο DFT της δ(n) Από τον ορισμό της δ(n): δ(n)=1 για n=0 και δ(n)=0 αλλού Οπότε 66
67 Ο DFT της δ(n) Ηδ(n) δίνει συχνότητες για όλες τις τιμές του k, δηλαδή καλύπτει όλο το φάσμα συχνοτήτων ("Λευκό" φάσμα) Να γιατί χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της απόκρισης Ο DFT της σταθερής ακολουθίας Από τον ορισμό της σταθερής ακολουθίας: x(n)=a για n=0,1,...n-1 και x(n)=0 αλλού 67
68 Ο DFT της σταθερής ακολουθίας και με λίγα μαθηματικά... οπότε τελικά Χ(k)=ANδ(κ), k=0,1,...,n-1 Δύο χρήσιμες επεκτάσεις Κυκλική ολίσθηση Μετατόπιση σήματος μήκους Ν κατά n 0 με πλήρωση των κενών θέσεων από τις n 0 τελευταίες τιμές του σήματος Κυκλική συνέλιξη Επέκταση της συνέλιξης με χρήση της κυκλικής ολίσθησης 68
69 Κυκλική ολίσθιση Συμβολισμός modulo <a> b : a modulo b = το υπόλοιπο της διαίρεσης του a με το b Κυκλική ολίσθηση Αν n 0 >N η κυκλική ολίσθηση ισοδυναμεί με την κυκλική ολίσθηση κατά <n 0 > N Κυκλική ολίσθηση Αρχική ακολουθία x(n) [Ν=6] Κυκλική ολίσθηση της x(n) για n 0 =2 69
70 Κυκλική ολίσθιση Αρχική ακολουθία x(n) [Ν=6] Περιοδικήεπέκτασητηςx(n) Κυκλική ολίσθιση Γραμμική ολίσθηση της περιοδικής επέκτασης της x(n) για n 0 =2 Κυκλική ολίσθηση της x(n) για n 0 =2 70
71 Κυκλική συνέλιξη Εστω Σήματα x 1 (n), x 2 (n) με N τιμές (0 έως Ν-1) Ορισμός κυκλικής συνέλιξης Ακολουθία με επίσης Ν τιμές Αντιμεταθετική ιδιότητα x 1 (n) x 2 (n) = x 2 (n) x 1 (n) Υπολογισμός κυκλικής συνέλιξης Παρομοίως με τη συνέλιξη Κατοπτρισμός της μίας ακολουθίας Κυκλική ολίσθηση της κατοπτρισμένης Αθροισμα γινομένων Ευκολότερος προγραμματισμός Παράδειγμα: x 1 ={1,2,3}, x 2 ={4,5,6} x 1 x 2 ={31,31,28} 71
72 Ιδιότητες του DFT Για x1( n) DFT N N X1( k) x2( n) DFT X 2( k) Ισχύουν οι ιδιότητες Γραμμικότητα Κυκλική ολίσθηση στο χρόνο Κυκλική ολίσθηση στη συχνότητα Συζυγής ακολουθία Κατοπτρισμός στο χρόνο Κυκλική συνέλιξη Ιδιότητες του DFT Γραμμικότητα Σήμα DFT Κυκλική ολίσθηση στο χρόνο Σήμα DFT 72
73 Ιδιότητες του DFT Κυκλική ολίσθηση στη συχνότητα Σήμα DFT Συζυγής ακολουθία Σήμα DFT Ιδιότητες του DFT Κατοπτρισμός στο χρόνο Σήμα DFT Κυκλική συνέλιξη Σήμα DFT 73
74 Ο DFT σε μορφή πινάκων Θεωρούμε ότι Στοιχείο (i,j) για i=0..n-1 j=0..n-1: W N i*j Ο DFT σε μορφή πινάκων Τότε X=Wx διατύπωση DFT x=w -1 X αντίστροφος DFT (IDFT) x=(1/n)w*x W*=συζυγής μιγαδικός W -1 =(1/N)W* WW*=NI Απαιτούνται Ν 2 μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και Ν(Ν-1) μιγαδικές προσθέσεις! 74
75 Ο DFT σε μορφή πινάκων Αλγόριθμοι FFT Γρήγοροι τρόποι υπολογισμού του DFT βασιζόμενοι σε ιδιότητες των πινάκων και σε περιορισμούς επί των σημάτων Πολυπλοκότητα: (Ν/2) log 2 N 75
76 Αλγόριθμοι FFT DFT με αλγόριθμο FFT Σήμα (Ν) DFT FFT DFT/FFT ,5 sec μονοκαναλικής μουσικής ποιότητας CD
Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων
Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων ΕΜΠ - ΣΧΟΛΗ ΑΤΜ Ακ. Έτος 2004-2005 Β.Βεσκούκης, Δ.Παραδείσης, Δ.Αργιαλάς, Δ.Δεληκαράογλου, Β.Καραθανάση, Β.Μασσίνας Γενικά στοιχεία για το μάθημα Εισάγεται στα πλαίσια της
Διαβάστε περισσότεραΗμιτονοειδή σήματα Σ.Χ.
Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Αρμονική ταλάντωση και επειδή Ω=2πF Περιοδικό με βασική περίοδο Τ p =1/F Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. 1 Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler Το ημιτονοειδές σήμα
Διαβάστε περισσότεραΜερικά χρήσιμα τμήματα κώδικα: Δυναμική δέσμευση μονοδιάστατου πίνακα ακεραίων
Πρόγραμμα C Μερικά χρήσιμα τμήματα κώικα: Δυναμική έσμευση μονοιάστατου πίνακα ακεραίων it * piakas; piakas=ew it[ν]; //Ν is a variable if piakas==null { cerr
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 4 : Σήματα Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 4 : Σήματα Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα ομιλίας Είδη /Κατηγορίες Σημάτων Στοιχειώδη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 4 : Σήματα Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 4 : Σήματα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα ομιλίας Είδη /Κατηγορίες Σημάτων Στοιχειώδη Σήματα Χαρακτηριστικές Τιμές Σημάτων Τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 10: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT)
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Ανελίξεις (1) Αγγελική Αλεξίου
Στοχαστικές Ανελίξεις (1) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Ενότητες Μαθήματος Ενότητα 1 Εισαγωγή Ορισμός Στοχαστικών ανελίξεων Στατιστική Στοχαστικών Διαδικασιών Στασιμότητα Εργοδικότητα Ενότητα 2 Διαδικασίες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603)
Διαβάστε περισσότεραΕπικοινωνίες στη Ναυτιλία
Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σήματος
Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Εργαστήριο 3 Εισαγωγή στα Σήματα Αλέξανδρος Μανουσάκης Τι είναι σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 7: Μετατροπή Σήματος από Αναλογική Μορφή σε Ψηφιακή Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετατροπή Αναλογικού Σήματος σε Ψηφιακό Είδη Δειγματοληψίας: Ιδανική
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 11: Εφαρμογές DFT Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 06-7 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x t, t,
Διαβάστε περισσότεραΟ μετασχηματισμός Fourier
Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ.
Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM / x X x X x X x 3 x DFT X 3 X x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 / DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία σημείων
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής
Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το
Διαβάστε περισσότερα1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Το ζεύγος εξισώσεων που ορίζουν το
Διαβάστε περισσότεραΕξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»
Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 1, Μέρος 2ο: ΠΕΡΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΉχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1
Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Διάλεξη 1. Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου. Τι είναι σήμα; Παραδείγματα
University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Τι είναι σήμα; Είναι μεταβολές ενός φυσικού μεγέθους που αναπαριστούν ή μεταφέρουν
Διαβάστε περισσότερα15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής
15/3/9 Από το προηγούμενο μάθημα... Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Δάλ Διάλεξη 3 η : «Επεξεργαστές Ε ξ έ Δυναμικής Περιοχής» Φλώρος
Διαβάστε περισσότερα3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα
3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 009-0 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙςΤΗΜΗς & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑς ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 2 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst233
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΤΑΧΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΤΑΧΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΟ Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ
Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011
Εισαγωγή στα Σήματα Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Τελευταία ενημέρωση: 11/11/2011 Τι είναι ένα σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα δειγματοληψίας
Δειγματοληψία Θεώρημα δειγματοληψίας Ένα βαθυπερατό σήμα πεπερασμένης ενέργειας που δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες των W Hertz μπορεί να περιγραφθεί πλήρως από τις τιμές του σε χρονικές στιγμές ισαπέχουσες
Διαβάστε περισσότερα17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση
ΗΜΥ 429 7. Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση 1 Μαθηματικές ιδιότητες Αντιμεταθετική: a [ * b[ = b[ * a[ παρόλο που μαθηματικά ισχύει, δεν έχει φυσικό νόημα. Προσεταιριστική: ( a [ * b[ )* c[ = a[ *( b[ * c[
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 1: Σήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Σήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Διαφορές Αναλογικής Ψηφιακής Επεξεργασίας Παραγωγή Ψηφιακών
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα ΙΙ
Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 5: Μετασχηματισμός Ζ Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογή στις ψηφιακές επικοινωνίες
Δειγματοληψία Εφαρμογή στις ψηφιακές επικοινωνίες Γεννήτρια σήματος RF, (up converter Ενισχυτής) Προενισχυτής down-converter Ψηφιοποιητής σήματος RF Μονάδα ψηφ. επεξεργασίας Μονάδα ψηφ. επεξεργασίας 100
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας
University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣήµατα και συστήµατα διακριτού χρόνου
Σήµατα και συστήµατα διακριτού χρόνου Βασικές ψηφιακές πράξεις Πρόσθεση {x 1 (n)}+{x 2 (n)}={x 1 (n)+x 2 (n)} Πολλαπλασιασµός Κλιµάκωση Μετατόπιση Αναδίπλωση {x 1 (n)}.{x 2 (n)}={x 1 (n).x 2 (n)} a{x(n)}
Διαβάστε περισσότεραDFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform
DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Ορισµοί O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, αναφέρεται σε µία πεπερασµένου µήκους ακολουθία σηµείων και ορίζεται ως εξής: X(
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραx[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)
Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επεξεργασία Σήματος. Νόκας Γιώργος
Εισαγωγή στην Επεξεργασία Σήματος Νόκας Γιώργος Βιβλιογραφία στον εύδοξο 1. Γ. Β. Μουστακίδης, Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων και Συστημάτων, εκδόσεις Α. Τζιόλα & Υιοί Ο.Ε., Θεσσαλονίκη,
Διαβάστε περισσότεραΕπεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας
Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Ενότητα 0: Εισαγωγή στο µάθηµα 2 Διαδικαστικά Παράδοση: Παρασκευή 16:00-18:30 Διδάσκων: E-mail:
Διαβάστε περισσότεραΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ διακριτές σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου χρονοσειρές (time series)
Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ Είναι σύνηθες να μελετάμε διάφορα φαινόμενα σε διακριτές (και όχι συνεχείς) τιμές της μεταβλητής του χρόνου, οπότε, μιλάμε για για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου. Τα σήματα διακριτού
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ y t x Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 ΤΥΠΟΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Analog: Continuous Time & Continuous Amplitude Sampled: Discrete Time & Continuous
Διαβάστε περισσότεραFFT. Θα επικεντρωθούμε στο ΔΜΦ αλλά όλα ισχύουν και για τον
University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 5 και Ανάλυση με (Κεφ. 9.0-9.5, 10.0-10.2) ΟΔΜΦ Ο αντίστροφος ΔΜΦ Θα επικεντρωθούμε στο ΔΜΦ αλλά όλα ισχύουν και για τον αντίστροφο ΔΜΦ
Διαβάστε περισσότεραΜετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση
Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση MYE006: ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Διάρθρωση μαθήματος Μετάδοση Βασικές έννοιες Διαμόρφωση ορισμός είδη
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος
Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,
Διαβάστε περισσότερα27-Ιαν-2009 ΗΜΥ (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό
ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 2 Βασικά μέρη συστήματος ΨΕΣ Φίλτρο αντι-αναδίπλωσης
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα ΙΙ
Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 2: Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Η έννοια της Απόκρισης Συχνότητας Ιδιότητες της Απόκρισης
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος
ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος Τα κεφάλαια του μαθήματος 1 ο κεφάλαιο: Σήματα & Συστήματα 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση Fourier 3 ο κεφάλαιο: Απόκριση κατά συχνότητα 4 ο κεφάλαιο: Δειγματοληψία
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΣύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων
Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT. Σ.
Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM x x x IDFT X X X x 3 x 4 DFT X 3 X 4 x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς
Κεφάλαιο Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 5 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215
Διαβάστε περισσότεραΜετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση MYE006-ΠΛΕ065: ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου Διάρθρωση μαθήματος Βασικές έννοιες μετάδοσης Διαμόρφωση ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 10: Παλμοκωδική Διαμόρφωση, Διαμόρφωση Δέλτα και Πολύπλεξη Διαίρεσης Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Παλμοκωδική Διαμόρφωση (PCM) Παλμοκωδική Διαμόρφωση
Διαβάστε περισσότερα20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier
ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΑ. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι.
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΞ. ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΧΕΙΜ. 00 - ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Για τα παρακάτω συστήματα εισόδου εξόδου α. y ( 3x( x( n ) β. y ( x( n ) / γ. y ( x( x( n ) δ. y( x( n ) Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Επεξεργασία στο πεδίο της συχνότητας Φασματικές τεχνικές Γενικά Τεχνικές αναπαράστασης και ανάλυσης
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Διακριτού Χρόνου (Discrete-Time Systems) Κυριακίδης Ιωάννης 2011
Συστήματα Διακριτού Χρόνου (Discrete-Time Systems) Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Τελευταία ενημέρωση: 11/11/2011 Πράξεις διακριτών σημάτων (υπενθύμιση) Πρόσθεση x(n) + y(n) Αφαίρεση x(n) y(n) Πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 12: Δειγματοληψία και ανακατασκευή (IV) Παρεμβολή (Interpolation) Γενικά υπάρχουν πολλοί τρόποι παρεμβολής, π.χ. κυβική παρεμβολή (cubic spline
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 7-8 : Συστήματα Δειγματοληψία Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 7-8 : Συστήματα Δειγματοληψία Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Κεφάλαιο 7 ο Ταξινόμηση Συστημάτων Κρουστική Απόκριση Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER Για το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών εκθετικών περιοδικών σημάτων, για =, ±, ±, ±3, παρατηρούμε ότι m, T m d T,, m m T m Τα εκθετικά σήματα,, =, ±, ±,...,
Διαβάστε περισσότεραΔομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Διαβάστε περισσότεραH ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. στις τηλεπικοινωνίες
H ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ στις τηλεπικοινωνίες Διάταξη συστήματος ψηφιακής επικοινωνίας Γεννήτρια σήματος RF, (up-coverter Ενισχυτής Προενισχυτής- dow-coverter- Ψηφιοποιητής σήματος RF Μονάδα ψηφ.
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e
ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 AΣΚΗΣΗ () [ ] (.5)
Διαβάστε περισσότερα27/4/2009. Για την υλοποίηση τέτοιων αλγορίθμων επεξεργασίας απαιτείται η χρήση μνήμης. T η περίοδος δειγματοληψίας. Επίκ. Καθηγητής.
Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Διάλεξη 6 η : «Επεξεργαστές με Μνήμη (Mέρος ΙI)» Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής Από προηγούμενο μάθημα... Αναπαράσταση καθυστέρησης ενός δείγματος η περίοδος δειγματοληψίας
Διαβάστε περισσότερα2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.
2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή
Διαβάστε περισσότεραΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Δρ. Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογικά και ψηφιακά συστήματα Μετατροπή
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΣήματα- συμβολισμοί. x(n)={x(n)}={,x(-1),x(0), x(1),.} x(n)={0,-2,-3, -1, 0, 1, 2, 3, 4,0 }
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1-1 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-1 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-1),x(), x(1),. x()={,-2,-3,-1,, 1, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-1),x(), x(1),.} x()={,-2,-3, -1,,
Διαβάστε περισσότερα1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ
. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/60 Πληροφορίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /6 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-),x(), x(),. x()={,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} x()={,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, } 2/6
Διαβάστε περισσότεραΑντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων
Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Προσεγγίσεις εύρεσης του αντίστροφου ΜΖ Τυπικά ο i-zt γίνεται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας
Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΠροηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών
Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότερα