Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT. Σ.

Transcript

1 Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM

2 x x x IDFT X X X x 3 x 4 DFT X 3 X 4 x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7

3 DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία σημείων DFT (ευθύς μετασχηματισμός ): X( ) DFT [x(n)] n x(n) e jπn / Ν e π j παράγοντας στροβιλισμού αναστροφής- twiddle factor X( ) n x(n) n 3

4 DFT - Ορισμοί IDFT (αντίστροφος μετασχηματισμός ): x(n) IDFT [X( )] X( ) n n e π j παράγοντας αναστροφής 4

5 παράδειγμα 4 X( ) n x(n) e j πn 5 4 Για το σήμα : x { 3 } O DFT 5 υπολογίζεται: X() Χ() +e -jπ/5 + e -jπ/5 +3e -jπ3/ j Χ() +e -j4π/5 + e -j4π/5 +3e -j4π3/ j Χ(3) j Χ(4) j Ο αριθμός των δειγμάτων του σήματος και ο αριθμός των συντελεστών DFT είναι ίδιος 5 5

6 Τι είναι ο DFT?? 6

7 7 Ανάλυση σε συναρτήσεις βάσεως jπn πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j πn j )e X( )e X*( )e X( )e X*( )e X( )e X*( )e X( ) X( )e X( )e X( )e X( )e X( )e X( )e X( )e X( ) X( )e X( )e X( )e X( )e X( )e X( )e X( )e X( ) X( j πn e πn πn 7 j j e e πn j 7 X( )e (n) x [ ] [ ] [ ] n ) )( X( ) πn )]sin( Im X( [ ) πn cos( ) ReX( ) πn )]sin( Im X( [ ) πn cos( ) ReX( ) πn )]sin( Im X( [ ) πn cos( ) ReX( ) X(

8 παράδειγμα ανάλυση n 7 σύνθεση Το ψηφιακό σήμα των σημείων αναλύεται σε άθροισμα (συν)ημιτονικών ψηφιακών σημάτων

9 Ο DFT σε μορφή πίνακα X() X D n x x(n) n x D X X( ) X( )... X( ) ( ) x( ) x( )... x( ) D 9

10 Παρατηρούμε: D n { },n,...,ν

11 Αντίστοιχα ο ορίζεται ως εξής: D ) ( ) ( ) ( D Αποδεικνύεται : D D... I D D Άρα X D X D x

12 παράδειγμα D + x x x x x x x x D X X Παρατήρηση O DFT είναι το άθροισμα και η διαφορά των σημείων x,και x. - π / j e

13 3 παράδειγμα (συνέχεια) j j j j D Στην εύρεση των πινάκων αυτών εμφανίζονται οι διάφορες δυνάμεις του παράγοντα αναστροφής Ν π j e j 4 4

14 Παράγοντας αναστροφής (Twiddle Factor TF) e π j π j π e π e j e π j e 4π j 4

15 παράγοντας αναστροφής e j π e j π π j e π/ ισχύει πάντα: 9 πχ. 4 4 j n ( n ) mod( ) j n+ / n 5

16 DFT και DTFT 6

17 Σχέση DFT και DTFT X(e iω ) DTFT [x(n)] n x(n)e jωn X() DFT [x(n)] n x(n) n n x(n) e π j n jω X() X(e ) π ω Συμπέρασμα: Ο DFT προέρχεται από δειγματοληψία του DTFT 7

18 DFT - DTFT - DFS x(n) X(e jω ) DTFT n x(n) ω X() DFS n DFT

19 παραδείγματα X ( ) 3 x ( n ) e n j π n 4 3 Για το σήμα x(n)[,,,] υπολογείστε: α)τον DTFT β) τον DFT 4 α) Ο DTFT : 3 jω jω n jω jω j3ω X (e ) x(n)e + e + e + e n j4ω jω jω jω e {e e } sin( ω) j 3ω e jω jω/ jω / jω/ e e e {e e } sin(ω / ) β) Ο DFT 4 : j 4 4 j X X 3 n jπ / 4 4( ) x(n)4,,,, 3; 4 e n 4 ( ) j 3 X4 ( ) ( j) + ( j) + ( j) + ( j) j + j 4 6 X4 ( ) ( j) + ( j) + ( j) + ( j) + X4 ( 3)... 9

20 DTFT DFT

21 Αύξηση της πυκνότητος του φάσματος με DFT γίνεται με ελάττωση του βήματος ωπ/ν δηλ με αύξηση του Ν. επιτυγχάνεται με πρόσθεση μηδενικών στη ακολουθία (zero padding) Η "πράξη" αυτή δεν αλλάζει την απόκριση συχνότητας (DTFT) αλλά αυξάνει την συχνότητα δειγματοληψίας του DTFT

22 Γιά το σήμα x(n){,,,,,,,} υπολογίζουμε τον DFT ( σημείων) X Αρα X... X X X () 7 n () ()....6e () X x(n) (4) n (3)....e,,,3...7; j67.5 j.5 X X (7) (5) DTFT 4 DFT DFT

23 Ανάλυση του DFT: ω π Ν ή καλύτερα f fs Ν 3

24 Φάσματα μεγάλης ανάλυσης Δύο συχνότητες ω και ω (διαφοράδω) γίνονται αντιληπτές εφόσον ω π Ν Η διαδικασία του zero-padding αυξάνει την πυκνότητα δειγματοληψίας αλλά σε καμία περίπτωση δεν μεταβάλλει το φάσμα Η(e jω ). Το φάσμα αυτό καθορίζεται για κάθε ω την στιγμή που δίνονται τα Ν σημεία x(n). παράδειγμα 4

25 παράδειγμα π x(n) cos( n) + π cos(.5n) + π cos( 3n) 4 σημεία - -4 DFT 3 DFT 64 Μόνο μέγιστα 5

26 Παράδειγμα -συνέχεια 4 σημεία - -4 DFT 3 DFT 64 εμφανίζεται και το τρίτο μέγιστο 6

27 Ιδιότητες του DFT X() DFT [x(n)] n x(n) n Γραμμικότητα: DFT[ax (n)+bx (n)] adft[x (n)] +bdft[x (n)] Περιοδικότητα: Χ(+)X() Εχει νόημα??? 7

28 X( ) DFT n x(n) [x(n)] n Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Συμμετρίες (για πραγματικές σειρές) X() X X() εάν ( ) εάν - απόδειξη Χ() πραγματικός ο DFT Ν είναι μιγαδικός αριθμός επομένως έχει Ν τιμές. Επειδή όμως προέρχεται από Ν σημεία x(n) πρέπει να έχει Ν βαθμούς ελευθερίας. Εάν Νάρτιος τότε και ο Ν/ όρος είναι πραγματικός αριθμός διότι: X( ) X*( ) για / X(Ν / ) Χ*(Ν Ν / ) Χ*(Ν / )

29 X( ) DFT n x(n) [x(n)] n Συμμετρίες -απόδειξη X( ) DFT n n n n( ) [x(n)] x(n) n x(n) x(n) x(n) nn n ( n )* * X ( ) 9

30 » Xfft(x) Χ() - Πραγματικός x X() X() i X() i X(3) i X(4) i X(5) X(6) i X(7) i X() i X(9) i Χ(5) - Πραγματικός 3

31 Για πεπερασμένη ακολουθία x(n) Ν δειγμάτων (Ν άρτιος ) με DFT την ακολουθία X() : Αν x(n) -x(-n-) X(). π.χ. 6 n 3

32 Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) X( ) DFT n x(n) [x(n)] n Kυκλική αντιστροφή : ορισμός: x() x( n) x( n) εάν εάν n n - DFT [x( n)] X( ) X() X( ) εάν εάν - Χ * () 3

33 Κυκλικές διεργασίες Καινούρια έννοια Αντιστροφή ολίσθηση (μετατόπιση) 33

34 Αντιστροφή 3 τρόποι μελέτης: Περιοδική επέκταση Περιστροφή Αριθμητική υπολοίπου (mod) 34

35 Τι είναι κυκλική Αντιστροφή?? Είδαµε x() x( n) x( n) εάν εάν n n - 35

36 x(n) (α) x(-n) (β) α)η ακολουθία x(n) n n β)η ακολουθία x(-n) γ) η x(n) και η x(-n) πανω σε ένα κύκλο σε αντίθετη φορά - n (γ) n δ) H x(-n) με την κλασσική έννοια της αντιστροφής αλλά σε περιοδική επέκταση του σήματος x(n) (δ) n 36

37 ολίσθηση (μετατόπιση) 37

38 Ολίσθηση με Περιοδική επέκταση Οταν μια ακολουθία Ν σημείων πρέπει να μετατοπισθεί ακολουθούμε τα εξής βήματα: μετατρέπουμε την ακολουθία x(n) σε περιοδική x~ (n) x((n)) μετατοπίζουμε κατά m δείγματα x~ (n m) x((n m)) κρατάμε μία περίοδο x~ (n m)r R είναι ένα ορθογώνιο παράθυρο που έχει Ν μόνο μη μηδενικές τιμές (και ). 3

39 α) η ακολουθία x(n) x.7 n για n 5 (6 σημεία) β) η περιοδική επέκταση γ) μετατόπιση κατά τρία σημεία x(n-3).5 δ) η τελική ακολουθία (6 σημεία)

40 Ολίσθηση με Περιστροφή x(n) (α) x(n-) (β) n n (γ) (δ) n n 4

41 Κυκλική Ολίσθηση με αριθμητική διαδικασία y c,m (n) y((n m)) όπου ((n-m)) (n-m) mod 4

42 Παράδειγμα Δίνεται η y(n). Να βρεθεί η y(n ) Ν5,m 3 4 n 4

43 43 ) y( ) ( y )) (( Επειδή )) y(( )) y(( ) ( y c, c, ) y( ) ( y )) (( Επειδή )) y(( )) y(( ) ( y c, c, ) y( ) ( y )) (( Eπειδή )) y(( )) y(( ) ( y c, c, n y(n-)

44 3 4 n y c, ( 3) Επειδή y c, y(( 3 )) 5 + (( )) ( 3) y( ) 5 y(( )) 5 5 y c, ( 4) Επειδή y c, y(( 4 )) 5 + (( )) ( 4) y( ) 5 y(( )) 5 5 y(n ) 3 4 n 44

45 Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Ιδιότητα της Κυκλική ολίσθησης Αν x(n) X() τότε x(n m) X()e π j m m Χ() 45

46 Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Κυκλική Συνέλιξη x (n) x (n) x(m)x ((n m)) m Ισχύει η εξής βασική ιδιότητα: DFT[x (n) x (n)]x () X () 46

47 Kυκλική συνέλιξη - Παράδειγμα Για τις ακολουθίες x {,,} και x {,,3,4} Να υπολογισθεί η κυκλική συνέλιξη 4 σημείων: x (n) x (n) Επειδή η x είναι ακολουθία 4 σημείων τροποποιούμε: x (n) {,,,}, x (n){,,3,4} Στη συνέχεια στο πεδίο του χρόνου υπολογίζουμε: 3 n x (m)x (-m) {,,,} {,4,3,} T 5 m 3 n x (m)x ((-m)) 4 {,,,} {,,4,3} T m n 9 n3 4 Αρα x (n) x (n) {5,,9,4} 47

48 κυκλική συνέλιξη - Παράδειγμα (συνέχεια) Αντίστοιχα στο πεδίο των συχνοτήτων (DFT) έχουμε: DFT{x (n)} { 5, --j,, -+j} DFT{x (n)} {, -+j, -, --j} X () X (){5, 6+j, -, 6-j} IDFT{X () X ()} x (n) x (n) {5,, 9, 4} 4

49 κυκλική συνέλιξη - Παράδειγμα - (συνέχεια) Γραφική αναπαράσταση των ακολουθιών του παραδείγματος x {,,,} και x {,,3,4} 4 x (-m) x (m) x (-m) Οι δύο εσωτερικοί κύκλοι παριστάνουν τις κυκλικές ακολουθίες x (m) και x (-m). Στον εξωτερικό κύκλο δεικνύεται η x (-m) 49

50 Ιδιότητες του DFT (συνέχεια) Γραμμική συνέλιξη Από κυκλική συνέλιξη γραμμική συνέλιξη Έστω x (n) μία ακολουθία σημείων και x (n) μία ακολουθία σημείων. H γραμμική συνέλιξη είναι x 3 (n) x (n) x (n) + x ()x (n ) Η ακολουθία x 3 (n) είναι μία ακολουθία + σημείων. Επιλέγοντας Ν Ν +Ν - σημεία υπολογίζεται η κυκλική συνέλιξη x 4 (n) x 4 (n) x (n) x (n) x 3 (n) για n - 5

51 Kυκλική και γραμμική συνέλιξη Γραφική αναπαράσταση περίοδος () x(n) x(n) h(n) h(n) y(n) y(n) n Κυκλική (περιοδική) Συνέλιξη Γραμμική (μη περιοδική) Συνέλιξη n Για να έχουμε σωστό αποτέλεσμα συνέλιξης πρέπει κάθε ακολουθία να έχει 7+5- σημεία 5

52 Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier FFT - Fast Fourier Transform 5

53 FFT X() n { x(n) } x(n) DFT n για κάθε Ν μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί Πόσες πράξεις χρειάζονται για τον υπολογισμό του DFT?? και Ν- προσθέσεις. συνολικά για όλα τα Ν μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και Ν(Ν-) προσθέσεις Δηλ. οι πράξεις για υπολογισμό του DFT είναι C o( ) 53

54 FFT O βασικός αλγόριθμος FFT είναι: decimation in time (DIT-FFT) και βασίζεται σε δύο χαρακτηριστικές ιδιότητες του παράγοντα αναστροφής: την περιοδικότητα n+ n 5 την συμμετρία n+ / n 5 j 54

55 Ενα πείραμα!! DFT 7 3.4j -9 j +.4j - -.4j -9 + j - 3.4j DFT 4 DFT 4 3 j -9 -j 4 -+j - j 7 3.4j -9 j +.4j - -.4j -9 + j -3.4j Υπολογίζω: exp(-jpi/) j -j i Και βρίσκω: 3+4*7, 3-4*-... Δηλαδή ο DFT των σημείων υπολογίζεται σαν DFT 4 σημείων!! 55

56 FFT με διαίρεση στο χρόνο με βάση το Decimation in time Radix- FFT Διάσπαση του DFT. Μία ακολουθία x(n) με δείγματα (άρτια) έχει DFT: X() n n x(n),,... «διασπάμε» σε άρτιους και περιττούς όρους ως εξής: / n / (n+ ) x(n + ) n (n) X() x(n) + / n π π / n j n n j / x(n) n + / x(n / + ) e Ν e Ν n E πειδή: n n / 56

57 (συνέχεια) Ορίζοντας τις υπο-ακολουθίες ως: g(n) h(n) x(n) x(n + ) n Και τους αντίστοιχους DFT: G() H() / n / n n / n / g(n) h(n),,... Έχουμε: X() G() + H() 57

58 Παράδειγμα Ν X G + H 7 x x x 4 x 6 DFT 4 G G G G 3 3 X X X X 3 x x 3 x 5 x 7 DFT 4 H H H H X 4 X 5 X 6 X 7 5

59 (συνέχεια) Απλοποίηση G(+/)G(), H(+/)H() X() G() + H() X( + / ) G( + / ) + + / H( + / ),,... / + / 5 π/ X() G() + H() τελικά,,... X( + / ) G() H() 59

60 Παράδειγμα Ν (συνέχεια) X X + / G G + H H,,... x x x 4 x 6 DFT 4 G G G G 3 3 X X X X 3 x x 3 x 5 x 7 DFT 4 H H H H 3 3 X 4 X 5 X 6 X 7 6

61 Αυτός είναι ο τύπος συγκερασμού πεταλούδας (butterfly) όπου με συνδυασμό DFTs Ν/ σημείων υπολογίζεται ο DFT Ν σημείων. X() G() + X( + / ) H() G() H(),,

62 Η διαδικασία συνεχίζεται εφόσον Ν Β 6

63 63 παραδείγματα + + / / / / / / / / /... H... H H G... G G X... X X... H... H H G... G G X... X X Για Ν jh H G G H H G G X X jh H G G H H G G X X (συνέχεια)

64 Σχήμα - Τύπος συγκερασμού πεταλούδας (πάλι!!!) /-DFT -DFT / G Χ() + X / H _ Χ(+/) - 64

65 Τελικά με τον FFT μειώσαμε τις πράξεις?? 65

66 Ας ξαναδούμε τις πράξεις ( Ν) X( ) DFT n [x(n)] x(n) n X X + / G G + H H,,... x x DFT G G X X x 4 4 G X x 6 G 3 X 3 x x 3 x 5 x 7 DFT 4 3 H H H H 3 X 4 X 5 X 6 X 7 66

67 ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ.. Για ένα επίπεδο απαιτούνται: Ν/ πολλαπλασιασμοί και Ν προσθέσεις Για Ν Β σημεία τα επίπεδα Β είναι: Βlog Επομένως συνολικά απαιτούνται: / Νlog πολλαπλασιασμοί και Νlog προσθέσεις Απαραίτητη προϋπόθεση: Β Για Ν4 / 4 log 4 4 πολλαπλασιασμοί Ν / log πολλαπλασιασμοί 67

68 μάλλον μειώσαμε τις πράξεις!! DFT Αριθμός πράξεων 5 5 FFT 3 4 Αριθμός σημείων, 6

69 Χρόνος υπολογισμού FFT Matlab: tic, toc xrand(,5);tic;yfft(x,5);toc Elapsed time is.53 seconds. xrand(,4);tic;yfft(x,4);toc Elapsed time is. seconds. 69

70 Radix- FFT - ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ x o x o x o A o G o X o x x x 4 A G X x x 4 x B o 4 G X x 3 x 6 x 6 B 4 G 3 X 3 x 4 x x C o H o X 4 x 5 x 3 x 5 C H X 5 x 6 x 5 x 3 D o 4 H X 6 x 7 x 7 x 7 D 4 H 3 3 X 7 7

71 7 παράδειγμα j -j 5+j - 5-j -4 -+j -6 --j (-j) -j -(-j) 4 5+j+j -+6j 5-j+j 5+j-j --6j 5-j-j

72 Διαδικασία: Bit reversal n(b b b )b +b +b r(b b b ) b + b +b x o x o x o x x x 4 x x 4 x x 3 x 6 x 6 x 4 x x x 5 x 3 x 5 x 6 x 5 x 3 x 7 x 7 x 7 7

73 Bit reversal (παράδειγμα) Για Νέχουμε την ακολουθία x(n) όπου Για τον υπολογισμό του FFT χωρίζουμε σε υπόακολουθίες: Ομοίως n n n [ ] [ 4 6] [ 3 5 7] [ 4] [ 6] [ 5] [3 7] όπου υπολογίζουμε τον DFT κάθε ζευγαριού 73

74 Ταχεία συνέλιξη (Fast Convolution) Η συνολική διαδικασία φιλτραρίσματος με FFT περιλαμβάνει : την εύρεση των δύο FFTs δηλ. της κρουστικής απόκρισης h(n) και του σήματος εισόδου x(n) την εύρεση του γινομένου των δύο FFTs. την αντιστροφή (υπολογισμός του IFFT) Η συνολική αυτή διαδικασία έχει την ονομασία ταχεία συνέλιξη (fast convolution) x(n) FFT h(n) FFT Πολλαπλα σιασμός ΙFFT y(n) 74

75 Ταχεία συνέλιξη (γραφικά) h(n) x(n) y(n)x(n) h(n) 64 IFFT H() H() X() X() 75

76 Συνέλιξη κατά τμήματα (bloc convolutions) Μέθοδος επικάλυψης πρόσθεσης (overlap and add) Μέθοδος επικάλυψης αποθήκευσης (overlap and save - select and save) x(n) h(n) h(-n) y(n) 76

77 x(n) h(n) Συνέλιξη με την μέθοδο επικάλυψηςπρόσθεσης y y y y(n) 77

78 x(n) Συνέλιξη με την μέθοδο επικάλυψηςαποθήκευσης. Η επικάλυψη είναι 3 σημεία (4-). Τα 3 πρώτα δείγματα σε κάθε επί μέρους συνέλιξη απορρίπτονται. h(n) y y y y(n) 7

79 Αλγόριθμος Goertzel Είναι μία μέθοδος υπολογισμού του FFT με διαδικασία συνέλιξης - φιλτραρίσματος Βασίζεται στην περιοδικότητα του παράγοντα αναστροφής Εφαρμογή : ανίχνευση DTMF σημάτων 79

80 Αλγόριθμος Goertzel (συνέχεια) m Για τον DFT Ν έχουμε: X( ) x( m) x( m) m m e π j m επειδή m X( ) x( m) x( m) e ΝΑΙ y (n) Θεωρούμε: Η παραπάνω σχέση μπορεί να X() x(n) h n ( n) x(n) θεωρηθεί συνέλιξη??? m Η έξοδος του φίλτρου για n δίνει την τιμή του DFT στη συχνότητα ω π y (n) m x m ( m) e π j ( nm) π j ( m)

81 Αλγόριθμος Goertzel (συνέχεια) Η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου αυτού είναι: j H ( z) y ( n) e y ( n ) x( n) z π + Για αποφυγή των μιγαδικών πράξεων πολλαπλασιάζουμε με τον όρο z και έχουμε : H ( z) z π cos z + z

82 Αλγόριθμος Goertzel (συνέχεια) Από όπου προκύπτει ότι : v y π cos v ( ) ( ) ( ) + ( ) n ( ) ( ) ( ) n v n v n n v n x n Η η (επαναληπτική) σχέση υπολογίζεται για n,, και έχει πραγματικούς αριθμούς μόνο. Η η σχέση από την οποία βρίσκεται ο X() υπολογίζεται μόνο για κάθε n. ν (n) -

83 Ανίχνευση DTMF σημάτων με τον Αλγόριθμο Goertzel 697 Hz 77 Hz 5 Hz 94 Hz 9 Hz 4 7 * 336 Hz Hz # 633 Hz A B C D 3

84 Για την ανίχνευση των συχνοτήτων του DTMF, χρειάζονται φίλτρα. Επειδή μόνο το μέτρο X() χρειάζεται, οι προηγούμενες σχέσεις υπολογισμού γίνονται: X( ) ν κ (Ν) + y ν κ () (Ν ) ν () π cos ν κ ν (Ν ) ()ν ( ) Οι μιγαδικές πράξεις έχουν εξαλειφθεί!! 4

85 FIR Φίλτρα δειγματοληψίας φάσματος.5 H(ω) συχνότητα ω F s Η απόκριση συχνότητας δειγματοληπτείται σε Ν σημεία στο διάστημα π ( F s ) Με τον IDFT λαμβάνουμε την επιθυμητή κρουστική απόκριση h(n) 5

86 Φίλτρα δειγματοληψίας φάσματος (σχεδιασμός) Η()H(e jω ) ωπ/ A()e jφ(),, - Θυμόμαστε θ -Μω η φάση φ() προσδιορίζεται από τις συνθήκες:. γραμμική φάση συμμετρικοί h(n) φ( ) - - π. H()H*(-) φ( ) και - φ( ) - π - π για (Ν - ) -,,... για +,....., - 6

87 Φίλτρα δειγματοληψίας φάσματος (παράδειγμα) Προδιαγραφές: βαθυπερατό με ζώνη διέλευσης -.3π Επιλέγουμε Ν σημεία βήμα δειγματοληψίαςπ/.π H() π 9 6 π 7

88 Για το πλάτος (μέτρο): Η(),,,, 3μηδενικά.,,, Υπολογίζουμε Φάση: π φ φ.95π( - ) για για,,...9,,...9 h[,,, zeros(,3),,]; phi[-.95*pi*(:9).95*pi*(-(:9))]; Hh.*exp(j.*phi); coeffifft(h);.4 freqz(coeff). πλάτος συχνότητα xπ

89 Φίλτρα δειγματοληψίας φάσματος (συνέχεια) Απόκριση Η απόκριση διέρχεται από τα σημεία που έγινε η δειγματοληψία Η εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής είναι πολύ «φτωχή»