DISTILAREA SI RECTIFICAREA
|
|
- Διδώ Γερμανού
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DISTILAREA SI RECTIFICAREA
2 DISTILAREA SI RECTIFICAREA o DISTILAREA operatia de separare a componentilor unui amestec omogen de lichide, pe baza diferentei de volatilitate a componentilor. o Operatia de distilare este o operatie dubla, compusa din: Fierberea partiala a amestecului; Condensareavaporilor. oin RECTIFICARE, perechea de operatii (fierbere condensare) se repeta de mai multe ori. o RECTIFICAREA = DISTILARE REPETATA.
3 DISTILAREA SI RECTIFICAREA o Separarea prin distilare este cu atat mai usoara si mai completa, cu cat diferenta dintre volatilitatile componentilor este mai mare (cu cat raportul volatilitatilor este mai departat de unitate). o Separarea si conditiile separarii depind de relatiile dintre proprietatile fazei lichide si a fazei de vapori ale sistemului (echilibrul LICHID VAPORI).
4 DISTILAREA SI RECTIFICAREA o Variante ale operatiei de distilare: Distilarea simpla; Distilarea fractionata; Antrenarea cu vapori; Rectificarea; Distilarea azeotropa; Distilarea extractiva; Distilarea adsorbtiva; Distilarea moleculara.
5 DISTILAREA SI RECTIFICAREA o Prin fierbere, un amestec lichid, omogen, multicomponent, degaja vapori. o Datorita presiunilor de vapori diferite ale componentilor, compozitia fazei de vapori este diferita de compozitia fazei lichide din care provine. o In timpul fierberii vaporii degajati sunt, in general, maibogatiin componentiusor volatili, faza lichida imbogatindu-se in componenti greu volatili.
6 DISTILAREA SI RECTIFICAREA o In cazul unui amestec binar: in faza de vapori trece preponderent componentul cu temperatura de fierbere (TF) mai mica = componentul usor volatil Componentul cu TF mai mare = componentul greu volatil, se concentreaza preponderent in faza lichida. o Vaporii scosi in afara spatiului de degajare si condensati intr-un condensator de suprafata = DISTILAT; o Lichidul nevaporizat din aparatul de fierbere = REZIDUU.
7 ECHILIBRUL LICHID - VAPORI oun lichidunar (monocomponent, pur) fierbe la temperatura la care presiunea de vapori a substantei este egala cu presiunea la care se realizeaza fierberea. Apa fierbe la P = 1,013x10 5 Pa la T = 100ºC o Temperatura ramane constanta in timpul fierberii (daca presiunea este mentinuta constanta); o Compozitia fazei lichide = compozitia fazei de vapori = constante in timpul fierberii.
8 ECHILIBRUL LICHID - VAPORI o Intr-un lichid MULTICOMPONENT fierberea incepe cand suma presiunilor partiale ale componentilor egaleaza presiunea din sistem (la care se realizeaza fierberea); o Temperatura se modifica (creste) in timpul fierberii (la P = const.); o Compozitia fazei lichide difera de compozitia vaporilor (exceptie facand amestecurile azeotrope); o Compozitia lichidului si a vaporilor variaza in timp, lichidul imbogatindu-se in component greu volatil, iar vaporii in component usor volatil.
9 ECHILIBRUL LICHID - VAPORI o Tipuri de amestecuri: Binare (2 componenti); Ternare (3 componenti); Multicomponente (mai mult de 3 componenti). o Amestecuri lichide binare: Amestecuri (solutii) miscibile in orice proportii (total miscibile): Fara punct de fierbere constant (ideale); Cu temperatura de fierbere maxima (reale); Cu temperatura de fierbere minima (reale). Amestecuri partial miscibile; Amestecuri total nemiscibile.
10 AMESTECURI IDEALE diagrame de echilibru o Echilibrul de faze se reprezinta in urmatoarele diagrame: Izoterma de echilibru (T = constant); Izobara de echilibru (P = constant); Linia de echilibru (P, T = constant). o Componentul A usor volatil; o Componentul B greu volatil.
11 AMESTECURI IDEALE diagrame de echilibru 1 Vapori (V) P A, P B, P T P T = P A + P B p A = P A. x A T f V + L y A p B = P B. x B Lichid (L) 0 x A 1 0 x A, y A 1 0 x A 1 a) b) c) a. Izoterma; b. Izobara; c. Linia de echilibru.
12 AMESTECURI IDEALE diagrame de echilibru P A, P B, P T P T = P A + P B p A = P A. x A p B = P B. x B 0 x A 1 Presiunea partiala a componentului B in amestec Presiunile partiale din faza de vapori ale componentilor in echilibru cu faza lichida: - Sunt functii liniare de compozitia fazei lichide; - Se calculeaza din legea lui Raoult: p p A B = = P P A B x x A B Fractia molara a componentului B in amestec Presiunea de vapori a componentului B in stare pura, la temperatura de fierbere a amestecului
13 AMESTECURI IDEALE diagrame de echilibru Curba de condensare T f Curba de fierbere Lichid (L) V + L Vapori (V) 0 x A, y A 1 otemperatura de fierbere: Functie de compozitia amestecului; Variaza intre TF ale celor doi componenti.
14 AMESTECURI IDEALE diagrame de echilibru o t 1 TF a componentului usor volatil; o t 2 TF a componentului greu volatil; o In timpul fierberii (intre B si E) compozitia globala a sistemului mixt L-V ramane constanta; o Raportul L-V in sistemul mixt este dat de rap. segmentelor: L = V Mv Ml
15 A AMESTECURI IDEALE diagrame de echilibru Linia de echilibru reda relatia dintre compozitia vaporilor (y A ) in functie de compozitia lichidului (x A ) Pentru amestecurile ideale, curba are ecuatia: y = 1 + α x A ( α 1) xa in care α reprezinta volatilitatea relativa (raportul dintre volatilitatile celor 2 componenti: α = P A P B = y y A B x x 1 y A B A 0 x A 1
16 AMESTECURI IDEALE diagrame de echilibru o Forma curbei de echilibru depinde de volatilitatea relativa a celor 2 componenti; o Intreaga curba se gaseste deasupra diagonalei patratului in care este trasata diagrama; o Datele pentru trasarea diagramei se calculeaza pe baza legilor lui Raoult si Dalton.
17 AMESTECURI REALE diagrame de echilibru o Amestecurile reale prezinta abateri de la legea lui Raoult; o Presiunile partiale nu mai variaza liniar cu compozitia fazei lichide; o Introducandu-se coeficientii de activitate, γ A ; γ B, se poate scrie leagea Raoult extinsa: p A = P A x A γ A p B = P B ( 1 x ) γ B B
18 AMESTECURI REALE diagrame de echilibru odacaγ A > 1 (p A ) real > (p A ) ideal o Abaterea de la idealitate este pozitiva si presiunea totala de vapori prezinta un maxim (P max ); o Temperatura de fierbere variaza dupa o curba cu un minim; o Valoarea minima a TF corespunde compozitiei pentru care presiunea de vapori este maxima. o Prima parte a liniei de echilibru este deasupra diagonalei, iar a doua parte sub diagonala;
19 AMESTECURI REALE diagrame de echilibru odacaγ A < 1 (p A ) real < (p A ) ideal o Abaterea de la idealitate este negativa si presiunea totala de vapori prezinta un minim (P min ); o Temperatura de fierbere variaza dupa o curba cu un maxim; o Valoarea maxima a TF corespunde compozitiei pentru care presiunea de vapori este minima; o Prima parte a liniei de echilibru este sub diagonala, iar a doua parte deasupra diagonalei;
20 AMESTECURI REALE diagrame de echilibru o Amestecurile cu: γ A > 1 azeotrop pozitiv; γ A < 1 azeotrop negativ; o Amestecurile azeotrope NU se pot separa prin distilare obisnuita.
21 AZEOTROP POZITIV izoterma de echilibru γ > 1 ; T = constant Presiunea p B P T = P A + P B p A 0 x A 1
22 AZEOTROP POZITIV izobara de echilibru γ > 1 ; P = constant T B Temperatura T A T azeotrop < T A < T B 0 x A 1
23 AZEOTROP POZITIV linia de echilibru γ > 1 ; P, T = constant 1 y A x = y 0 x A 1
24 γ < 1 ; T = constant AZEOTROP NEGATIV izoterma de echilibru Presiunea P T = P A + P B p A p B 0 x A 1
25 AZEOTROP NEGATIV izobara de echilibru γ < 1 ; P = constant T azeotrop > T B > T A T B Temperatura T A 0 x A 1
26 AZEOTROP NEGATIV linia de echilibru γ < 1 ; P, T = constant 1 y A x = y 0 x A 1
27 AZEOTROP POZITIV o Se cunosc cateva mii de astfel de amestecuri;
28 AZEOTROP POZITIV
29 AZEOTROP POZITIV
30
31 AZEOTROP POZITIV
32 AZEOTROP POZITIV
33 AZEOTROP NEGATIV
34 AZEOTROP TERNAR
35 SISTEME NEMISCIBILE o In practica nu exista lichide complet nemiscibile, ci cu solubilitate reciproca diferita; o Daca solubilitatea reciproca este foarte mica, amestecul poate fi considerat practic nemiscibil: Benzen apa Sulfurade carbon apa o Amestecurile nemiscibile sunt formate din 3 faze: 2 faze lichide si o faza de vapori.
36 SISTEME NEMISCIBILE o Conform legii fazelor (Gibbs): F + L = C + 2 L = 1 o Fiecare dintre componenti emite vapori ca si cum s-ar afla in absenta celui de-al doilea component: p = P ; p = P ; p = P + A A B o Amestecul fierbe cand presiunea totala p egaleaza presiunea de lucru din aparatul in care afla sistemul. B A P B
37 SISTEME NEMISCIBILE o TF sistem < TF component usor volatil din acest motiv sistemele nemiscibile se mai numesc si amestecuri azeotrope eterogene sau heteroazeotropi; o Ca o consecinta, un lichid cu TF ridicata poate fi separat la temp. mai mici daca se amesteca cu un lichid nemiscibil avand TF scazuta;
38 SISTEME NEMISCIBILE o Pe toata durata fierberii, temperatura si compozitia vaporilor raman constante, pana cand, din cauza vaporizarii, unul din componenti dispare din faza lichida; o In acest moment temp. creste brusc pana la TF a substantei pure ramase in faza lichida.
39 SISTEME NEMISCIBILE
40 SISTEME PARTIAL MISCIBILE o Sunt acele amestecuri bicomponente care pe un anumit domeniu al concentratiilor formeaza solutii omogene, iar in rest amestecuri eterogene; o Pe intervalele de solubilitate se comporta ca si lichidele total miscibile (ideale sau reale); o Pe intervalul de insolubilitate se comporta ca un amestec total nemiscibil.
41 SISTEME PARTIAL MISCIBILE oexemple: Butanol apa; Eter etilic apa; Fenol apa; Acetat de butil apa; Furfurol apa.
42 SISTEME PARTIAL MISCIBILE
43 Metode de separare prin distilare o Functie de gradul de separare a componentilor amestecului initial, de debitele de operare, de destinatia fractiilor separate: Distilare simpla (diferentiala); Distilare extractiva; Antrenare cu vapori; Distilare moleculara; Rectificare.
44 DISTILAREA SIMPLA o Da rezultate bune numai la separarea amestecurilor formate din lichide cu puncte de fierbere departate, care nu formeaza azeotropi. o Operatia consta in fierberea amestecului de separat, indepartarea vaporilor pe masura ce acestia se formeaza din spatiul de fierbere, urmata de condensarea lor intr-un condensator exterior. o CONDENSATUL = DISTILAT (fractiunea usoara) o LICHIDUL DIN BLAZ = REZIDUU (fractiunea grea)
45 DISTILAREA SIMPLA o Daca in timpul distilarii se colecteaza mai multe fractiuni de distilat, operatia poarta denumirea de DISTILARE FRACTIONATA Primele fractiuni, bogate in component usor volatil = frunti de distilare; Ultimele fractiuni, sarace in component usor volatil = cozi de distilare;
46 DISTILAREA SIMPLA fara deflegmator 1. Blaza de distilare; 2. Condensator; 3. Alimentare amestec; 4. Sistem de incalzire (manta, serpentina, fascicul tubular); 5. Evacuare reziduu; 6. Evacuare distilat; 7. Colector distilat; 8. Reflux; 9. Deflegmator (condensator de reflux);
47 DISTILAREA SIMPLA o Gradul de separare se imbunatateste daca o parte din DISTILAT se reintroduce in blaza de distilare sub forma de REFLUX. o Cu cat cantitatea refluxata este mai mare, cu atat distilatul este mai bogat in component usor volatil. o Refluxul se introduce prin intermediul unui DEFLEGMATOR (condensator de reflux); EXTERIOR BLAZEI; DEASUPRA BLAZEI (INTERIOR).
48 DISTILAREA SIMPLA cu deflegmator exterior 1. Blaza de distilare; 2. Condensator; 3. Alimentare amestec; 4. Sistem de incalzire (manta, serpentina, fascicul tubular); 5. Evacuare reziduu; 6. Evacuare distilat; 7. Colector distilat; 8. Reflux; 9. Deflegmator (condensator de reflux);
49 DISTILAREA SIMPLA cu deflegmator interior 1. Blaza de distilare; 2. Condensator; 3. Alimentare amestec; 4. Sistem de incalzire (manta, serpentina, fascicul tubular); 5. Evacuare reziduu; 6. Evacuare distilat; 7. Colector distilat; 8. Reflux; 9. Deflegmator (condensator de reflux);
50 DISTILAREA SIMPLA o Vaporii formati sunt in echilibru cu lichidul din care provin numai atata timp cat ei se gasesc in fierbator; o In ansamblu, vaporii formati nu se afla in echilibru cu lichidul ramas in blaz; o Datorita acestui fapt ecuatia de bilant de materiale se intocmeste pentru un interval de timp dt, cand se transforma in vapori dl moli de lichid cu concentratia x in echilibru cu vaporii de concentratie y.
51 DISTILAREA SIMPLA o L cantitatea de lichid in fierbere aflata in fierbator intr-un moment oarecare; o Lichidul are compozitia x in component volatil, iar vaporii in echilibru cu lichidul au compozitia y ; o Dupa ce se evapora cantitatea de lichid dl, concentratia lichidului devine (x - dx) iar a vaporilor (y - dy); o Bilantul componentului volatil: dx = ( L dl) ( x dx) + dl ( y dy)
52 DISTILAREA SIMPLA o Prin dezvoltare si neglijarea diferentialelor de ordin 2, dupa separarea variabilelor rezulta: dl dx = L y x o Ecuatia descrie relatia dintre concentratiile celor 2 fractiuni la momentul t al operarii: L L F 0 dl L = x F x 0 dx y x ln L L 0 F = x F x 0 dx y x
53 DISTILAREA SIMPLA o Rezolvarea ultimei ecuatii permite fie: Determinarea compozitiei unei fractiuni cunoscand compozitia celeilalte fractiuni si cantitatea de distilat (reziduu); Determinarea cantitatii finale de reziduu, cand se cunosc concentratiile fractiilor care se obtin; o Integrala se poate rezolva grafic, analitic sau numeric, functie de modul in care se exprima relatia de echilibru y = f(x).
54 Daca y = f(x) se cunoaste sub forma curbei de echilibru: DISTILAREA SIMPLA 1 y 0 y* y* x y y F y F x F y 0 x 0 0 x F x x 0 1
55 DISTILAREA SIMPLA 1 y * x Perechile de valori y-x se iau de pe curba de echilibru, iar integrala se rezolva grafic: x 0 x F dx y * x x F x 0 x
56 DISTILAREA SIMPLA CONTINUA o Daca vaporii rezultati prin fierberea amestecului nu sunt evacuati pe masura ce se formeaza, ci sunt mentinuti in contact cu lichidul din care au provenit, sistemul L V se gaseste tot timpul in echilibru. o Operatia se realizeaza in regim continuu, stationar, numindu-se Distilare in echilibru; Distilare integrala; Distilare flash.
57 DISTILAREA SIMPLA CONTINUA o Daca distilarea simpla se realizeaza continuu, iar sistemul L V se gaseste in conditii de echilibru se poate scrie: o Bilantul total de materiale: F = D + W o Bilantul componentului volatil: x F F y D D o De unde se obtine: D F = = x y F D x x + W W x W W F debitul de alimentare; D debitul de distilat; W debitul de reziduu.
58 DISTILAREA SIMPLA CONTINUA o Daca se considera debitul de alimentare: F = 1 mol, D = x y F D x x W W o Ecuatia care contine necunoscutele x W si y D se rezolvapunandconditiade echilibruintrex siy; o Aceasta conditie este data, de ex., in diagrama de echilibru; o Solutia se obtine prin incercari succesive.
59 ANTRENAREA CU VAPORI o Amestecurile practic nemiscibile se separa prin antrenare: Cu vaporide apa; Cu un gaz care nu reactioneaza cu componentii amestecului; o Utilizarea aburului are avantajul: Cresterii vitezei de distilare; Scaderii temperaturii de fierbere a amestecului. o Daca gazul (aburul) barboteaza printr-o coloana de lichid suficient de inalta, contactul G L fiind intim, amestecul G V care paraseste lichidul va fi in echilibru cu acesta si gazul (aburul) va fi saturat in componenti volatili.
60 ANTRENAREA CU VAPORI o In industria alimentara antrenarea cu vapori se practica pentru: Marirea vitezei si reducerea temperaturii de distilare; Evitarea unor fenomene de descompunere: Recuperarea dizolvantului din miscela; Dezodorizarea uleiului in faza de rafinare; Antrenarea anumitor componenti volatili care prin aceasta metoda distila la temperaturi inferioare temperaturii aburului.
61 ANTRENAREA CU VAPORI o APLICATII: Separarea micilor cantitati de substante volatile din cantitati mari de produs in ansamblu nevolatil; Separarea constituentilor nemiscibili cu punct de fierbere ridicat; Cand produsul este instabil la temperaturi ridicate sau se asociaza cu alti componenti; Cand se poate utiliza incalzirea cu contact direct pentru evitarea anumitor pericole de denaturare.
62 ANTRENAREA CU VAPORI 1. Distilator; 2. Barbotor; 3. Amestec supus distilarii; 4. Conducta; 5. Condensator; 6. Faza lichida usoara; 7. Faza lichida grea; 8. Decantor.
63 ANTRENAREA CU VAPORI
64 DISTILAREA MOLECULARA o Se utilizeaza pt. separarea subst. care nu suporta temp. ridicate si au o masa moleculara mare (~10 3 ); o Se realizeaza la vid ( mm Hg), cand drumul liber mediu al moleculelor depaseste distanta dintre suprafata calda de vaporizare si cea rece de condensare. o D.p.d.v. al structurii operatiilor, este o distilare simpla care se desfasoara la vid inaintat.
65 DISTILAREA MOLECULARA o o Este necesara intensificarea celor 4 procese elementare componente: 1. Difuziunea componentilor prin lichid; 2. Vaporizarea la suprafata lichidului; 3. Transportul vaporilor catre suprafata de condensare; 4. Condensarea vaporilor pe suprafata condensatorului; Prin: (1) Micsorarea stratului de lichid (pana la 1/100 mm); (1) Marirea temperaturii lichidului; (1) Reinnoirea suprafetei de vaporizare prin turbulente intensa; (2) Marirea suprafetei de vaporizare; (3) Evitarea ciocnirilor intermoleculare (reducerea presiunii); (3) Dispunerea paralele a celor doua suprafete; (4) Racirea intensa a suprafetei de condensare ( T = min. 70 K)
66 DISTILAREA MOLECULARA 1. Spatiu vidat; 2. Suprafata calda; 3. Suprafata rece; 4. Distilat; 5. Reziduu.
67 DISTILAREA MOLECULARA Ø = 0,5 m L = 10 m Q = 60 L/h
68 DISTILAREA MOLECULARA
69 DISTILAREA MOLECULARA
70 DISTILAREA MOLECULARA o APLICATII: Separarea vitaminei A din untura de peste (conc. initiala 0,08-0,1%, randament 70%); Separarea vitaminei F din uleiurile vegetale (bumbac, soia); Separarea alcoolilor superiori cu catena lunga; Distilarea gudroanelor; Fractionarea bitumului; Prelucrarea subst. organice termolabile cu TF ridicata; Separarea chininei din scoarta plantei.
71 RECTIFICAREA o Rectificarea = distilare simpla repetata o Se utilizeaza pentru separarea majoritatii amestecurilor total miscibile cu comportare ideala o Amestecurile azeotrope pana la punctul de azeotropie se supun si ele rectificarii o Scopul rectificarii: Obtinerea unor produse cat mai pure; Obtinerea unor produse cat mai concentrate: o Separarea este cu atat mai completa cu cat numarul distilarilor si condensarilor este mai mare.
72 RECTIFICAREA o Principii de rectificare: Distilari simple cuplate in serie
73 RECTIFICAREA o Principii de rectificare: Distilari simple cu barbotare directa a vaporilor
74 o Principii de rectificare: Coloana de rectificare cu talere Functionare in regim continuu, stationar RECTIFICAREA
75 PRINCIPIUL RECTIFICARII AMESTECURILOR BINARE IN COLOANE CU TALERE o In lungul coloanei de rectificare, T variaza intre TF reziduu (~TF comp. greu volatil) si TF distilat (~TF comp. usor volatil); o Compozitia fazelor variaza de la un taler la altul al coloanei; o Conc. comp. usor volatil in vapori creste de la baza catre varful coloanei; o Conc. comp. usor volatil in lichid scade de la varful catre baza coloanei; o Modificarea comp. vaporilor si lichidului pe fiecare taler determina si modificarea temperaturilor.
76 PRINCIPIUL RECTIFICARII AMESTECURILOR BINARE IN COLOANE CU TALERE Pe talerul n : Curge lichidul de pe talerul n-1 Barboteaza vaporii de pe talerul n+1 Vaporii de pe n+1 condenseaza partial, avand T mai mare decat lichidul de pe n Fractiunea condensata contine preponderent comp. greu volatil
77 PRINCIPIUL RECTIFICARII AMESTECURILOR BINARE IN COLOANE CU TALERE Pe talerul n : Prin condensare se elibereaza caldura latenta pe seama careia se vaporizeaza o parte din lichidul care vine de pe n-1 si care are o T mai mica Fractiunea lichida vaporizata va contine in principal comp. usor volatil
78 PRINCIPIUL RECTIFICARII AMESTECURILOR BINARE IN COLOANE CU TALERE Prin trecerea de pe un taler pe altul, vaporii se imbogatesc in comp. usor volatil, iar lichidul in comp. greu volatil, prin 2 efecte: Condensarea unei parti din comp. greu volatil din vaporii care vin de pe talerul inferior; Vaporizarea unei parti din comp. usor volatil din lichidul care vine de pe talerul superior.
79 PRINCIPIUL RECTIFICARII AMESTECURILOR BINARE IN COLOANE CU TALERE o Mecanismul se repeta pe fiecare taler, ducand in final la separarea amestecului initial in 2 fractiuni: La varf: DISTILAT = bogat in comp. usor volatil; La baza: REZIDUU = bogat in comp. greu volatil; o Gradul de separare a amestecului depinde de numarul treptelor de contact (numarul talerelor)
80 BILANT DE MATERIALE LA RECTIFICARE 3 Alimentare 4 1 L n V n 9 L m V m 2 V 1, y 1 Reflux 1 2 n - 1 n n + 1 m - 1 m m + 1 N Reziduu 7 Distilat y N+1 = y W xc 1. Coloana 2. Talere 3. Zona de concentrare 4. Zona de epuizare 5. Refierbator 6. Condensator 7. Racitor de distilat 8. Distribuitor de reflux 9. Taler de alimentare
81 BILANT DE MATERIALE LA RECTIFICARE V 1, y 1 Reflux xd oalimentare: F, x F o Reziduu: W, x W 3 Alimentare 4 L n V n 9 L m V m n - 1 n n + 1 m - 1 m m Distilat odistilat: D, x D oreflux: L, x D 2 N y N+1 = y W 1 5 Reziduu
82 BILANT DE MATERIALE LA RECTIFICARE o Procesul decurge CONTINUU in regim STATIONAR o Debitele (F, W, D, L), temperaturile (T F, T D, T W ) si compozitiile (x F, x D, x W ) raman CONSTANTE in timp o Pentru a asigura un flux de lichid in zona de concentrare, o parte din lichidul obtinut prin condensarea vaporilor de distilat este introdusa pe primul taler de la partea superioara. Acesta este REFLUXUL, de aceeasi compozitie cu distilatul
83 BILANT DE MATERIALE LA RECTIFICARE o Bilantul global de materiale (pe intreaga coloana): o Bilantul componentului usor volatil pe intreaga coloana: o Bilantul global pe condensator: o Cifra de reflux: F = D + F x F = W D x D + W x W ( R 1) V = L + D V = D + R = L D
84 LINII DE OPERARE o Relatia intre conc. fluxurilor de vapori si de lichid pe cele 2 zone (concentrare, epuizare) ale coloanei de rectificare se obtine dintr-un bilant al componentului usor volatil. o In regim stationar, pentru primul taler (1) de la varful coloanei se poate scrie: V y + L x = L x + V y D 1 o Deoarece: y = y = x 1 D D
85 LINII DE OPERARE o Tinand cont de definitia cifrei de reflux, R = L/D L = DR si V = D(R + 1): osau: ( ) ( ) D D D D D D x x x V L y x V x x L y V x V x L x L y V + = + = + = + ( ) ( ) D x D x x 1 R D R D y + + =
86 LINII DE OPERARE 1 R x x 1 R R y x 1 R R 1 R x 1 R R y x 1 R 1 R x 1 R R x 1 R R y D D D D = = = o Ecuatia liniei de operare in zona de concentrare: Panta dreptei: Ordonata la origine: b x a y 1 R x x 1 R R y D + = = 1 R R + 1 Rx D +
87 LINII DE OPERARE o Pentru stabilirea ecuatiei liniei de operare in zona de epuizare, se intocmeste bilantul componentului usor volatil in aceasta zona: Lichidul = Reflux + Debit de alimentare ( ) W W x V W x V F L y x W y V x F L + = + = + ( ) global bilantului ecuatia - din D F W 1 R D V D R L = + = =
88 LINII DE OPERARE o Notand F/D = F se obtine in final ecuatia liniei de operare in zona de epuizare: R + F' F' 1 y = x x W R + 1 R + 1 oin care: Panta dreptei: R + F' R + 1 Ordonata la origine: F' 1 x W R + 1
89 TRASAREA LINIILOR DE OPERARE o Pozitia dreptelor (liniilor) de operare depinde de valoarea CIFREI DE REFLUX, respectiv de valoarea raportului L/D o Pentru trasarea liniilor de operare trebuie cunoscute: Compozitiile: x W, x F, x D ; Linia de echilibru. o Liniile de operare servesc la calculul numarului treptelor teoretice de contact (talerelor teoretice).
90 TRASAREA LINIILOR DE OPERARE 1 1 y* = y F R x min D + 1 D Rx + 1 y 2 0 x W x F x D 1
91 TRASAREA LINIILOR DE OPERARE o Linia de operare a zonei de concentrare intersecteaza diagonala intr-un punct de abscisa x D ; al doilea punct este dat de ordonata la origine x D /(R + 1); o Linia de operare a zonei de epuizare intersecteaza diagonala intr-un punct de abscisa x W ; al doilea punct este de abscisa x F. o Deoarece talerul de alimentare apartine ambelor zone, punctul de abscisa x F se va gasi la intersectia celor doua drepte de operare. Acesta este cel de-al doilea punct prin care se traseaza linia de operare a zonei de epuizare.
92 o Este o unitate ideala de contact; o Din contactul intre refluxul care cade de pe talerul superior (n + 1) si vaporii care se ridica de pe talerul inferior (n - 1), talerul teoretic (n) produce vapori si lichid in echilibru termodinamic TALERUL TEORETIC
93 DETERMINAREA NUMARULUI DE TALERE TEORETICE o Functie de numarul talerelor teoretice se stabileste numarul real de talere, pe baza caruia se calculeaza INALTIMEA coloanelor de rectificare; o Metode de determinare a nr. de talere teoretice: Metoderiguroase(bazatepe3 tipuride relatii: de echilibru, de bilant de materiale, de bilant termic); Metode simplificate (bazate pe 2 tipuri de relatii: de echilibru, de bilant de materiale).
94 DETERMINAREA NUMARULUI DE o Metode riguroase: TALERE TEORETICE Metoda analitica SOREL; Metoda grafica PONCHON-SAVARIT; o Metode simplificate: Metoda analitica din taler in taler (metoda simplificata SOREL); Metoda grafica McCABE-THIELE.
95 DETERMINAREA NUMARULUI DE TALERE TEORETICE o Metodele simplificate fac abstractie de efectele termice de pe talere, avand la baza ipotezele simplificatoare: Caldurile latente molare de vaporizare ale componentilor din amestec sunt egale sau apropiate; Caldura de amestecare este neglijabila; Pierderile de caldura in exterior sunt neglijabile; Temp. amestecului de alimentare este egala cu TF de pe talerul de alimentare; Vaporii rezultati la varful coloanei sunt condensati total, fara subracire, astfel incat refluxul are temp. egala cu temp. vaporilor care parasesc coloana. o Ca urmare a acestor ipoteze, fluxul de lichid si cel de vapori raman constante in lungul coloanei.
96 DETERMINAREA NUMARULUI DE TALERE TEORETICE PRIN METODA GRAFICA SIMPLIFICATA McCABE - THIELE 1. Se traseaza, la scara, curba de echilibru a amestecului binar care trebuie separat; 2. Se fixeaza pe abscisa punctele x W, x F si x D ; 3. Se traseaza linia de operare a zonei de concentrare, stiind ca aceasta intersecteaza diagonala in punctul D de abscisa x = x D si are ordonata la origine y 0 = x D /(R + 1);
97 DETERMINAREA NUMARULUI DE TALERE TEORETICE PRIN METODA GRAFICA SIMPLIFICATA McCABE - THIELE 4. Se traseaza linia de operare a zonei de epuizare stiind ca aceasta intersecteaza diagonala in punctul W de abscisa x = x W si ca cele doua drepte se intersecteaza intr-un punct de abscisa x = x F ; 5. Pornind din D se duce o paralela la axa x care intersecteaza curba de echilibru in punctul (1), a carui abscisa, x 1, da compozitia pe primul taler.
98 DETERMINAREA NUMARULUI DE TALERE TEORETICE PRIN METODA GRAFICA SIMPLIFICATA McCABE - THIELE 6. Din (1) se coboara o verticala pana la linia de operare, fixand punctul de coordonate (x 1, y 2 ) care da compozitia fazelor intre talerul (1) si talerul (2). 7. Se continua constructia in trepte pana la depasirea punctului de abscisa x = x W. 8. Numarul punctelor de intersectie dintre liniile orizontale si curba de echilibru = numarul talerelor teoretice ale coloanei pt. realizarea separarii impuse.
99
100 REFLUX MINIM, MAXIM SI OPTIM o Cifra de reflux, R parametru important al operatiei de rectificare; o Pentru o separare impusa (x D, x W ) dintr-un amestec dat (F, x F ), valoarea R influenteaza dimensiunile instalatiei (diametrul si inaltimea coloanei, suprafata de transfer de caldura a fierbatorului si condensatorului) si in final costurile de investitii si de exploatare.
101 REFLUX MINIM, MAXIM SI OPTIM o Pt. fiecare cifra de reflux, pozitia liniei de concentrare se schimba; o Panta data de R/(R + 1) creste odata cu cresterea lui R. REFLUX MAXIM o La D = 0, R = (maxim): x R D = 0 si = R + 1 R+ 1 1 o Liniile de operare se confunda cu diagonala patratului. o Situatia apare cand distilatul condensat este refluxat integral in coloana.
102 REFLUX MINIM, MAXIM SI OPTIM REFLUX MINIM o Corespunde cazului cand cele doua linii de operare se intersecteaza intrun punctsituatpe curba de echilibru: Rmin xd yf = R + 1 x x R min min = x y D F D x x F F F
103 REFLUX MINIM, MAXIM SI OPTIM o In practica, R min < R < R max ; ouzual: R ( 1,2 3,5 ) Rmin = L o R maxim = H minim (nr. minim de talere); o R minim = H maxim (nr. de talere), consum minim de caldura;
104 REFLUX MINIM, MAXIM SI OPTIM
105 REFLUX MINIM, MAXIM SI OPTIM o Reflux optim: = cheltuieli investitii cheltuieli exploatare MINIM + =
106 BILANTUL TERMIC AL COLOANELOR DE RECTIFICARE o Scopul intocmirii: Calculul consumului de caldura la fierbatorul coloanei Debitul de agent termic Suprafata necesara de transfer de caldura. o In regim stationar: (calduri intrate) = (calduri iesite) o Debite masice [kg/s]: F,W,L,D,V,M A
107 F, c pf, T F BILANTUL TERMIC AL COLOANELOR DE RECTIFICARE V, i v L, c pd, T D Q p Fluxul total de caldura furnizat prin intermediul fierbatorului: Q = M A Tinand cont ca: L = D R ( i i ) = M r A A A C M A, i A V = D ( R + 1) M A, i C i V = r V + c pv T V F = D + W W, c pw, T W
108 BILANTUL TERMIC AL COLOANELOR DE RECTIFICARE o Din ecuatia generala de bilant termic: o Se obtine fluxul termic introdus in fierbator: p W pw V C A D pd F pf A A Q T c W i V i M T c L T c F i M = = + + ( ) ( ) ( ) p D pd F pf F pf W pw V A A Q T c T c D T c T c W r 1 R D r M Q = =
109 DIMENSIONAREA COLOANELOR DE RECTIFICARE o DIAMETRUL: este functie de debitul si viteza vaporilor care circula pe inaltimea coloanei. o Debitul vaporilor este constant pe inaltimea coloanei: D D R ( R + 1) V = D ( ) V T temperatura in coloana [ºC] P presiunea in coloana [mm col. Hg] R + 1 M Debitul de distilat [kg/s] Cifra de reflux Masa vaporilor [kg/s] T 273 V 0 M P m s 3 Vol. molar [m 3 /kmol] Masa molara medie a vaporilor [kg/kmol]
110 DIMENSIONAREA COLOANELOR DE RECTIFICARE o Diametrul coloanei rezulta din ecuatia debitului: V = v V πd o Viteza vaporilor v V = 0,3 0,6 m/s la presiune atmosferica; odacav V este mica barbotarea nu este uniforma pe sectiunea coloanei; odacav V este mare: se antreneaza lichid de pe un taler pe altul se ineaca coloana (daca este prevazuta cu umplutura) 4 2 C
111 ln DIMENSIONAREA COLOANELOR DE RECTIFICARE o Pentru coloanele cu contact diferential, viteza se calculeaza in functie de viteza de inec (viteza de inversie a fazelor): v 2 i g V a 3 L ρ C v V ( ρ ρ ) D μ 0,16 D C ( 0,7 0,8) vi = L 1,75 a suprafata specifica a umpluturii [m 2 /m 3 ]; g acceleratia gravitationala [m/s 2 ]; V L volumul liber al umpluturii [m 3 /m 3 ]; M debitul [kg/s]; = K 0,25 μ - viscozitatea [cp]; ρ - densitatea [kg/m 3 ]; K constanta avand val. 0,125 pt. coloanele de rectificare. M M D C ρ C indice pt. faza continua; D indice pt faza discontinua. D ρ C ρ C 0,125
112 DIMENSIONAREA COLOANELOR DE RECTIFICARE o INALTIMEA COLOANEI Coloane cu contact in trepte: H n = n = TR n h TT TR ηt η T = 0,2 0,8 functie de proprietatile fizice ale fazelor si de conditiile hidrodinamice; h = 0,1 0,6 m functie de parametrii hidrodinamici si de proprietatile sistemului de separat. Coloane cu contact diferential: H H ( NUT) ( IUT) = = n TT ( IETT) n TR nr. talerelor reale; n TT nr. talerelor teoretice; h distanta dintre talere; η T randamentul global al coloanei n TT se determina prin metoda McCabe-Thiele; IETT se determina experimental.
113 INSTALATII DE RECTIFICARE Rectificare discontinua cu condensare totala a vaporilor si reflux partial: 1 rezervor amestec; 2 pompa; 3 blaz; 4 coloana de rectificare; 5 sistem de incalzire; 6 condensator; 7 distribuitor de reflux; 8 racitor; 9 rezervor de distilat; 10 rezervor de reziduu.
114 INSTALATII DE RECTIFICARE Rectificare discontinua cu reflux total: 1 condensator; 2 vas colector distilat; 3 preaplin; 4 coloana de rectificare; 5 sistem de incalzire; 6 racord evacuare distilat.
115 INSTALATII DE RECTIFICARE RECTIFICARE CONTINUA: 1 pompa; 2 rezervor alimentare; 3 coloana rectificare; 4 recuperator caldura; 5 preincalzitor; 6 blaz; 7 condensator suprafata; 8 racitor; 9 vas de control; 10 rezervor distilat; 11 rezervor reziduu; C zona de concentrare; E zona de epuizare.
116 COLOANE DE RECTIFICARE
117 COLOANE DE RECTIFICARE Dimensiuni clopote
118 COLOANE DE RECTIFICARE
119 COLOANE DE RECTIFICARE TIPURI DE CLOPOTE
120 COLOANE DE RECTIFICARE TALER GLITSCH
121 COLOANE DE RECTIFICARE BLAZE DE RECTIFICARE: a cu manta; b cu serpentina; c cu schimbatorde caldura tubular orizontal; d cu sistem de incalzire exterior
122 COLOANE DE RECTIFICARE Coloana de rectificare cu talere rotative: 1 blaza; 2 portiune cilindrica; 3 talere tronconice fixate de peretele fix; 4 talere tronconice fixate de axul rotativ; o Lichidul curge in film subtire pe talerul fix de la periferie spre ax (gravitational), trece pe talerul rotativ pe care curge (centrifugal) de la ax catre periferie. o Vaporii parcurg acelasi drum in sens invers. o Avand eficacitate mare, se utilizeaza pentru separari dificile (separarea apei din apa grea).
123 COLOANE DE RECTIFICARE COLOANE PELICULARE: a coloana de rectificare; b fierbator; c condensator; 1 cilindru vertical; 2 agitator interior; 3 manta de incalzire exterioara; o Se folosesc cu precadere pentru separarea amestecurilor termolabile cu punct de fierbere ridicat si viscozitate mare. o Uneori este necesara cuplarea a 2 astfel de aparate, unul cu rol de fierbator si altul cu rol de coloana de rectificare.
124 COLOANE DE RECTIFICARE COLOANELE CU UMPLUTURA: Contactul fazelor se realizeaza numai la suprafata filmului de lichid care uda umplutura; Transferul de masa este mai redus decat in cazul barbotarii; Ofera o concentrare mai mare a suprafetei de contact in unitatea de volum (functie de tipul umpluturii); Au rezistenta hidraulica mica, sunt mai simple si mai ieftine decat cele cu talere.
125 DISTILAREA AZEOTROPA SI EXTRACTIVA o Exista amestecuri greu de separat prin distilare simpla sau rectificare o Amestecuri binare cu volatilitati apropiate (volatilitatea relativa = 1,0 1,1) o Curba de echilibru este f. apropiata de diagonala potentialul transferului este mic necesitatea utilizarii unui numar mare de talere investitii ridicate cost ridicat al separarii.
126 DISTILAREA AZEOTROPA SI EXTRACTIVA o Amestecurile azeotrope sunt imposibil de separat prin distilare simpla sau rectificare. o In procesele de distilare azeotropa (DA) sau extractiva (DE) se adauga amestecului de separat un al treilea component: Antrenant (DA) Dizolvant(DE) care are rolul de a deplasa echilibrul L V intr-o directie favorabila separarii.
127 DISTILAREA AZEOTROPA SI EXTRACTIVA o La DA, antrenantul adaugat formeaza un azeotrop (pozitiv sau negativ) cu unul sau cu ambii componenti ai amestecului initial; o La DE, dizolvantul adaugat nu formeaza azeotrop, ci mareste de cateva ori volatilitatea relativa.
128 DISTILAREA AZEOTROPA SI EXTRACTIVA o DE este mult mai utilizata decat DA deoarece: nr. substantelor care indeplinesc conditia de dizolvant este mai mare; se obtin separari bune cu un nr. redus de talere; recuperarea dizolvantilor se poate face, de cele mai multe ori, prin distilare simpla. o Alegerea dizolvantului se face experimental; o Dizolvantul trebuie sa aiba TF cu cel putin 50 K mai ridicat decat componentul greu volatil din amestecul de separat.
129 DISTILAREA AZEOTROPA
130 DISTILAREA AZEOTROPA Obtinerea etanolului anhidru prin DA cu benzen: 1 coloana de distilare; 2 racord alimentare; 3 racord evacuare vapori; 4 condensator; 5 decantor; 6 racord evacuare reziduu; 7 coloana distilare strat apos.
131 DISTILAREA EXTRACTIVA Obtinerea toluenului din benzina utilizand fenolul ca dizolvant: 1 coloana eliminare fractiuni nearomatice din benzina; 2 - Coloana de separare toluen fenol;
In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental.
ECHILIBRUL FAZELOR Este descris de: Legea repartitiei masice Legea fazelor Legea distributiei masice La echilibru, la temperatura constanta, raportul concentratiilor substantei dizolvate in doua faze aflate
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραPROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI
PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραEXTRACTIA LICHID - LICHID
EXTRACTIA LICHID - LICHID CONCEPTE DE BAZA Extractia L L, operatie unitara frecvent utilizata in industria farmaceutica pentru: recuperarea si purificarea unui anumit component din solutia in care a fost
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραReactia de amfoterizare a aluminiului
Problema 1 Reactia de amfoterizare a aluminiului Se da reactia: Al (s) + AlF 3(g) --> AlF (g), precum si presiunile partiale ale componentelor gazoase in functie de temperatura: a) considerand presiunea
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραINTRODUCERE. gazoase, lichide, solide; - monofazice, - polifazice. LUCIAN GAVRILĂ Transfer de masa 1 2
TRNSFERUL DE MSĂ INTRODUCERE o În multe dintre industriile de proces (chimica, alimentara, etc.), în urma unor transformări fizice sau chimice rezultă amestecuri de substanţe: gazoase, lichide, solide;
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραŞTIINŢA ŞI INGINERIA. conf.dr.ing. Liana Balteş curs 7
ŞTIINŢA ŞI INGINERIA MATERIALELOR conf.dr.ing. Liana Balteş baltes@unitbv.ro curs 7 DIAGRAMA Fe-Fe 3 C Utilizarea oţelului în rândul majorităţii aplicaţiilor a determinat studiul intens al sistemului metalic
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραI. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.
Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραCONDENSAREA. o Procesul de trecere a vaporilor sau gazelor in stare lichida prin: o Aparatele in care decurge procesul de condensare: CONDENSATOARE
CONDENSAREA CONDENSAREA o Procesul de trecere a vaporilor sau gazelor in stare lichida prin: Racire; Racire si comprimare simultana; o Aparatele in care decurge procesul de condensare: CONDENSATOARE Scopul
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραStudiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραIngineria proceselor chimice şi biologice/10
Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi acultatea de Inginerie Chimică şi Protecţia Mediului Ingineria proceselor chimice şi biologice/1 n universitar 213-214 Titular disciplină: Prof.dr.ing. Maria
Διαβάστε περισσότεραFig. 1. Procesul de condensare
Condensarea este procesul termodinamic prin care agentul frigorific îşi schimbă starea de agregare din vapori în lichid, cedând căldură sursei calde, reprezentate de aerul sau apa de răcire a condensatorului.
Διαβάστε περισσότερα2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα1. APARATE TIP COLOANA IN INDUSTRIA CHIMICA
1. APARATE TIP COLOANA IN INDUSTRIA CHIMICA 1.1 Caracterizarea aparatelor tip coloană 1.1.1 Definire şi elemente componente Aparatele de tip coloană sunt recipiente cilindrice cu diametru mic comparativ
Διαβάστε περισσότεραNoțiuni termodinamice de bază
Noțiuni termodinamice de bază Alexandra Balan Andra Nistor Prof. Costin-Ionuț Dobrotă COLEGIUL NAȚIONAL DIMITRIE CANTEMIR ONEȘTI Septembrie, 2015 http://fizicaliceu.wikispaces.com Noțiuni termodinamice
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE. Necesitatea utilizării a două trepte de comprimare
INSTALAŢII FRIGORIFICE ÎN DOUĂ TREPTE DE COMPRIMARE NOŢIUNI INTRODUCTIVE Necesitatea utilizării a două trepte de comprimare Odată cu scăderea temperaturii de vaporizare t 0, necesară obţinerii unor temperaturi
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραa. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.
1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică Sisteme de încălzire a locuinţelor Scopul tuturor acestor sisteme, este de a compensa pierderile de căldură prin pereţii locuinţelor şi prin sistemul
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 013 Axa prioritară nr. 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;
Διαβάστε περισσότεραExemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Διαβάστε περισσότεραII. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραUnitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon
ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013
ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 8. Un conductor de cupru ( ρ =,7 Ω m) are lungimea de m şi aria secţiunii transversale de mm. Rezistenţa conductorului este: a), Ω; b), Ω; c), 5Ω; d) 5, Ω; e) 7, 5 Ω; f) 4, 7 Ω. l
Διαβάστε περισσότερα11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα10. SCHIMBĂTOARE DE CĂLDURĂ
ermotehnică 2 0. SCHMBĂOARE DE CĂLDURĂ Schimbătoarele de căldură sunt dispozitive în interiorul cărora, un agent termic cald, numit agent termic primar, transferă căldură unui agent termic mai rece, numit
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραALGEBRĂ ŞI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ FIZICĂ
Sesiunea august 07 A ln x. Fie funcţia f : 0, R, f ( x). Aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei, x x axa Ox şi dreptele de ecuaţie x e şi x e este egală cu: a) e e b) e e c) d) e e e 5 e.
Διαβάστε περισσότερα1. PROIECTAREA UNUI SCHIMBĂTOR DE CĂLDURĂ REGENERATIV CU SERPENTINĂ ÎN MANTA
a. Agentul frigorific 1. PROIECTAREA UNUI SCHIMBĂTOR DE CĂLDURĂ REGENERATIV CU SERPENTINĂ ÎN MANTA MARIMI DE INTRARE b. Debitul masic de agent frigorific lichid m l kg/s c. Debitul masic de agent frigorific
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραReflexia şi refracţia luminii.
Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular
Διαβάστε περισσότερα